随笔(十三)— 深圳的大梅沙

在读书期间笔者就没有旅游的习惯,每次看到身边同学发一些关于旅游的视频或者图片,心里面虽然也会想去,但是总由于各种原因而迟迟不愿意动身。后来博士毕业之后来到深圳,稍微培养了一点旅游的习惯,主要也是为了给紧张忙碌的生活减缓一些压力。博士毕业距今已经有差不多七年的时间,在这七年的时间里,去过两次日本,两次台湾,一次韩国,一次老挝,其他就是三亚,厦门,长沙,广州,潮汕,惠州。其他的城市可能也是出差居多,例如北京,上海等。

上面提到的国家,地区,或者城市,有一部分是跟着公司所组织的团队建设一同前往,有一些则是自己安排的出行计划。在深圳的工作时间也有七年,但其实笔者并没有去过深圳的景点。世界之窗,欢乐谷,东部华侨城都还没有去过。而对于深圳的著名景点之一的大梅沙,笔者也仅仅去过两次。

第一次去大梅沙是因为刚刚入职公司,需要跟随公司参加其新入职员工的培训,时间长度是十天。在这十天里面,笔者作为新人听到了无数的新名词,很多之前完全没有听过,也没有了解过的东西。除了介绍公司架构,公司文化等,还有不少的团队活动,例如篮球比赛,毕业晚会。现在回想起来这些事情肯定觉得不难,但是笔者作为当时的新人,还是有一定的压力。因为每天的日程安排都十分的紧凑,这与之前读博期间的生活形成了鲜明的对比。

深圳中兴拓展基地的宿舍 1(来自百度地图)​
深圳中兴拓展基地的宿舍 2(来自百度地图)​

在 2015 年的时候,大家都可以正常生活,无论是个人的工作还是公司的集中培训都不会有太大的风险。公司一直都比较重视应届生的培养计划,毕竟应届生是公司未来发展的基础。于是,那段时间有一部分应届生都会在大梅沙附近进行封闭十天的培训。

在那十天,除了完成日常的学习培训之外,其余的时间基本上就是自己的了,虽然回想起来也没有太多自己的时间。当时貌似也抽空去大梅沙走了一下,看了一下深圳的海。随着当时十天的封闭培训结束,每个培训班的同事们也就回到了各自的工作岗位,三年之后凑了一些同事出来吃饭,但后来有一些同事最终还是离开了深圳去其他城市继续发展。感觉就像是做完了一个临时项目,后续就很难再次汇聚到一起做一些有意思的事情了。

来到 2022 年,全国上下都或多或少受到了疫情的影响,大梅沙有段时间也是关闭状态。近期深圳的疫情不算严重,很多景点重新开放给群众。但此刻我已经换了一家新的公司,来大梅沙还是跟着团队活动。这次活动的组织者在大梅沙八号仓附近租了一个民宿,整个团队的同事都来这边放松一两天。从民宿到大梅沙海滨公园大约 10 分钟的路程,如果需要逛街的话可以考虑旁边的大梅沙八号仓。由于疫情影响的原因,之前可以走的一些路已经被封了起来,而且大梅沙的人数跟之前相比其实并没有那么多。来了深圳之后,日常都是在办公室和家两点一线,很少会出门看海。不过,每次看海就会想到一个故事:“smale 当年在研究数学的时候,每天就拿着一支笔和几张纸去巴西的海滩坐着,直到把动力系统的问题研究出来为止。”

新加坡东海岸—摄于20150515
新加坡东海岸的珍宝海鲜楼 — 20150515

在 2015 年离开新加坡之前,应该是唯一一次去新加坡的东海岸,毕竟 NUS 是位于新加坡的西海岸。当时在新加坡的东海岸走了整整一个下午,晚餐的时候在珍宝海鲜楼点了一个黑胡椒螃蟹,以及一瓶 Corona 啤酒。当时去东海岸的动机可能只是想走一走新加坡,看一看新加坡整个城市,看一看东海岸的海滩。回想起来,从南京毕业了之后就再也没回过南京,从新加坡毕业了之后就再也没有回过新加坡了。

样本量与置信区间

在现实生活中,如何从一份海量的数据中选择合适的样本数量进行调研反馈,从而反映总体的情况是一个常见的问题。例如,在千万人口的城市进行某项调研如何选择样本;在某些国家的大选活动中,该发放多少问卷才能够反映整体情况;在机器学习模型的精确率抽检过程中,究竟应该选择多少样本数进行抽检,才能够反馈其模型的精确率;这些都是生活和工作中常遇到的问题。

通常来说,在这里会有两种比较常见的情况:
1. 通过置信度(confidence level),置信区间(confidence interval),总体数量(population),来计算样本数(sample size);
2. 通过置信度(confidence level),总体数量(population),样本数量(sample size),比例(percentage),来计算置信区间(confidence interval);

样本数的计算

当一个调研是随机抽样的时候,可以通过统计的方法来确定最小的样本数。一般情况下,样本数可以按照以下简单规则来进行选取:

  • 最小样本数是 100:对于一份抽样数据而言,至少要抽取 100 个样本来进行评估;而当全体总数小于 100 的时候,只需要全部抽取出来进行调研和分析即可;
  • 一个合适的最大样本数(maximum sample size)可以用以下公式简单计算:\min(1000, 0.1 * N), 其中 N 表示总量;例如,当 N = 5000 时,最大样本数可以选择 500;而当 N = 200000 时,最大样本数只需要选择 1000 即可;
  • 在调研和抽样的时候,可以在最小样本数和最大样本数之间选择一个合适的值;
    (1)选择一个靠近最小样本数的值是因为:有限的资金和时间;只需要一个粗糙的估计;不需要对总体做类别分析且只需要一个整体的结论即可;大家对这个结论并不会有过多的质疑;这个分析结果并不会过多影响下游的分析决策。
    (2)选择一个靠近最大样本数的值是因为:充足的资金和时间;想要得到发一个精确的估计;有可能会对总体进行分组分析;大家会对这个结论有质疑;这个分析结果会导致下游的很多重要决策。
  • 对于样本数的选择,可以简单的参考下表:
总量总量总量总量总量总量
误差范围(Margin of Error)> 5000500025001000500200
\pm 10\%969493888165
\pm 7.5\%17116516014612792
\pm 5\%384357333278217132
\pm 3\%1067880748516341169
置信度 95% 的前提下
  • 从表格中可以看出,如果只需要保证置信度在 95%,当总量很大的时候,其实只需要抽取 1067 个样本进行分析即可。
  • 在线计算样本量的网站有两个,分别是:
    (1)https://www.surveysystem.com/sscalc.htm
    (2)https://www.calculator.net/sample-size-calculator.html?
置信度 95%
置信度 99%

通过以上的案例可以看出,在设置了置信度(Confidence Level),置信区间(Confidence Interval),总量(Population)之后,就可以得到一个样本数量(Sample Size Needed)。其中,置信区间也就是误差范围(Margin of Error)。

例如,如果置信度是 95%,置信区间(confidence interval)= 4,在样本中有 47% 的比例选择了某个选项,那么就表示 95% 的置信度,在所有数据中有(47%-4%, 47%+4%)=(43%,51%) 的比例选择了某个选项。95% 置信度表示这句话正确的概率是 95%,99% 置信度表示这句话正确的概率是 99%。

置信区间的计算

置信区间的计算是由三个因素决定的,分别是:置信度(Confidence Level),样本数量(Sample Size),总量(Population)。一般来说,

  • 置信度:置信度越大,表示置信区间将会越大。相对 99% 的置信度而言,95% 的置信度所产生的置信区间会小;
  • 样本大小:样本越多,越能够反映总体情况,置信区间将会越小;
  • 占比(Percentage):样本中选择某个结果的比例;由于选择 Percentage(p) 和 1-p 所得到的置信区间(Confidence Interval)是一样的,因此:
    (1)Percentage(p) 越接近 0 或者 1,则置信区间越小;
    (2)Percentage(p) 越接近 50%,则置信区间越大,因为此时的不确定性最高;
置信区间的计算 1
置信区间的计算 2
置信区间的计算 3
置信区间的计算 4

统计理论分析

假设 N 表示总体的数量,X 表示总体中满足某个选项的数量,n 表示抽样的数量,x 表示样本中满足某个选项的数量。令 P=X/N, \hat{p}=x/n.

定理. 一个总体满足某个选项的比例可以通过样本中满足某个选项的比例来进行估计。如果置信度是 C,且正态分布的概率用 Prob 表示,那么

Prob\bigg(-z^{*}<\frac{\hat{p}-P}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}<z^{*}\bigg)=C,

换言之,\hat{p}-z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}<P<\hat{p}+\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}. 其中 z^{*}C 的关系如下图所示。其置信区间是 w = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.

正态分布

由于置信区间是 z^{*}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, 所以,n=(z^{*}/w)^{2}\cdot\hat{p}(1-\hat{p})\leq (z^{*}/w)^{2}/4. 最大样本数可以选择为 (z^{*}/w)^{2}/4.

同时,根据正态分布的定义可以得到:

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-z^{*}}^{z^{*}}e^{-t^{2}/2}dt=C,

从而,

C=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z^{*}/\sqrt{2}}e^{-t^{2}}dt=erf(z^{*}/\sqrt{2}),

其中,erf(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z}e^{-t^{2}}dt.

因此,最大样本数是 (z^{*}/w)^{2}/4=\bigg(\frac{erf^{-1}(C)}{\sqrt{2}w}\bigg)^{2}, w 表示置信区间,C 表示置信度。

置信区间的公式是:z^{*}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{2}\cdot erf^{-1}(C)\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.

从 WolframAlpha 可以得到:erf^{-1}(0.95)=1.38590, erf^{-1}(0.99)=1.82139.

  • 如果置信区间是 3\%, 置信度 C=95\% 的时候,最大样本数是:(1.38590 / (\sqrt{2} * 0.03))^2=1067;
  • 如果置信区间是 3\%, 置信度 C=99\% 的时候,最大样本数是:(1.82139 / (\sqrt{2} * 0.03))^2=1843;
  • 如果置信度是 C=95\%, \hat{p}=50\%, n=1000, 置信区间是 \sqrt{2} * 1.38590 * \sqrt{0.5 * 0.5 /1000}=0.031=3.1\%;
  • 如果置信度是 C=99\%, \hat{p}=50\%, n=1000, 置信区间是 \sqrt{2} * 1.82139* \sqrt{0.5 * 0.5 /1000}=0.0407=4.1\%.

参考资料

  1. 在线计算工具(1):https://www.surveysystem.com/sscalc.htm
  2. 在线计算工具(2):https://www.calculator.net/sample-size-calculator.html
  3. http://www.tools4dev.org/resources/how-to-choose-a-sample-size/
  4. https://www.chedong.com/blog/archives/001462.html
  5. https://www.afenxi.com/23249.html
  6. https://www.zhihu.com/question/23017185
  7. https://blog.csdn.net/liangzuojiayi/article/details/78044780
  8. :Sample Size Determination: https://en.wikipedia.org/wiki/Sample_size_determination#Estimation_of_a_proportion
  9. Population proportion: https://en.wikipedia.org/wiki/Population_proportion#cite_note-:0-4
  10. 张伟平:中文讲义:http://staff.ustc.edu.cn/~zwp/teach/Math-Stat/mathstat.htm
  11. http://staff.ustc.edu.cn/~zwp/teach/Prob-Stat/probstat.htm

社交网络之间的帐号映射

帐号映射的整体介绍

在现实生活中,用户通常会同时使用多个社交网络,例如国外的 Twitter,Instagram,Facebook,也可能使用微信,QQ,微博等国内的产品。基于这些产品的不同定位,用户自身的社交网络会有很大的差异,那么如何通过机器学习算法找到一个人的社交网络帐号就成为了一个有趣的问题。在学术界,有学者对开源的 Facebook,Twitter 等社交网络数据进行了研究,设计了一套帐号映射的技术方案。

帐号映射这个课题有很多的别名,例如:

  • Social identity linkage;
  • User identity linkage;
  • User identity resolution;
  • Social network reconciliation;
  • User account linkage inference;
  • Profile linkage;
  • Anchor link prediction;
  • Detecting me edges;

帐号映射的目的就是将社交网络上这些看似不同的帐号映射到自然人:帐号(user accounts)-> 真实的自然人(real natural person)。令社交网络 \mathcal{G}=\mathcal{G}(\mathcal{U},\mathcal{E}) 是一个图,顶点是帐号 \mathcal{U}=\{u_{1},\cdots,u_{n}\}, 边是由帐号之间的连线 \mathcal{E}\subseteq \mathcal{U}\times\mathcal{U} 所构成的。

帐号映射(User Identity Linkage)的定义是:给定两个社交网络 \mathcal{G}^{s}=(\mathcal{U}^{s},\mathcal{E}^{s})\mathcal{G}^{t}=(\mathcal{U}^{t},\mathcal{E}^{t}), 其目标是找到一个函数 \mathcal{F}:\mathcal{U}^{s}\times\mathcal{U}^{t}\rightarrow\{0,1\} 使得,
\mathcal{F}(u^{s},u^{t})=\begin{cases}1,\text{ if } u^{s} \text{ and } u^{t} \text{ belong to same person,}\\ 0, \text{ otherwise.} \end{cases}
其中 u^{s}\in\mathcal{U}^{s}, u^{t}\in\mathcal{U}^{t}.

上述函数 \mathcal{F} 就是模型需要学习的目标函数,进一步地,对于 u^{s}\in\mathcal{U}^{s}, u^{t}\in\mathcal{U}^{t}, 学习得到的预测函数 \mathcal{\hat{F}}(u^{s},u^{t})=p\in [0,1] 表示两个帐号属于同一个自然人的概率值。

一个帐号在社交网络的属性包括很多方面,例如:

画像属性(Profile Features)内容属性(Content Features)社交网络属性(Network Features)
ID(社交网络的唯一标识)时间戳(timestamp)关注,被关注,好友关系(Friendship)
身份证 ID(identity card)语音(speech)点赞(like)
手机号(phone)视频(video)评论(comment)
昵称(username)图片(image)@(at)
头像(head image)文本(text)收藏(collect)
性别(gender)设备信息(device)消息(message)
年龄(age)wifi 信息(wifi)回复(reply)
邮箱(email)地理位置(gps)
个人网页(url)
职业(occupation)
常见的社交网络数据

一般情况下,

  1. 画像属性:绝大多数帐号都会有基础的画像信息;
  2. 内容属性:不活跃的帐号较难获取;
  3. 社交网络属性:线上的社交网络关系并不代表线下的社交网络关系,存在一定的噪声数据。

帐号映射的技术框架可以基于特征工程来做,然后使用有监督算法,无监督算法,或者半监督算法来进行帐号对之间的训练和预测。

帐号映射的技术框架

帐号映射的特征工程

帐号的画像特征

对于社交网络 \mathcal{G}=\mathcal{G}(\mathcal{U},\mathcal{E}) 中的一个帐号 u\in\mathcal{U} 而言,用 \overrightarrow{p_{u}}=(p_{u}^{1},\cdots,p_{u}^{m}) 来表示画像特征向量,其中 m\geq 1 表示画像属性特征的个数。对于两个社交网络 \mathcal{G}^{s},\mathcal{G}^{t} 的帐号 u^{s},u^{t} 而言,可以得到相应的画像特征向量 \overrightarrow{p_{u^{s}}},\overrightarrow{p_{u^{t}}}, 然后可以用基于距离(distance-based)或者基于频率(frequence-based)的方法来获得向量的距离或者相似性。换句话说,就是通过加权平均算法来获得结果:

sim(\overrightarrow{p_{u^{s}}},\overrightarrow{p_{u^{t}}})=\sum_{1\leq i\leq m}w_{i}\cdot sim(p_{u^{s}}^{i},p_{u^{t}}^{i}), 或者

dis(\overrightarrow{p_{u^{s}}},\overrightarrow{p_{u^{t}}})=\sum_{1\leq i\leq m}w_{i}\cdot dis(p_{u^{s}}^{i},p_{u^{t}}^{i}),

其中 sim 表示相似度,dis 表示距离。

基于距离的方法(distance-based)的方法很多,例如:

  1. 文本(text field)之间的距离可以考虑用 Jaro-Winkler distance,Jaccard similarity,Levenshtein distance 等方法;
  2. 图像(visual field)之间的距离可以考虑用 mean square error,dot product,angular distance,peak signal-to-noise ratio,Levenshtein distance 等方法;

基于频率的方法(frequence-based)可以考虑 bag-of-word model,TF-IDF model,Markov-chain model 等方法;

帐号的内容特征

帐号所产生的内容数据包括三个部分:

  1. 时间上的数据(temporal):时间戳的数据;
  2. 空间上的数据(spatial):帐号的设备数据,IP 数据,WIFI 数据,地理位置数据等等;
  3. 内容上的数据(post):帐号所产生的内容数据,包括但不限于视频,文本,语音,图片等。

用数学公式来描述就是 \overrightarrow{c_{u}}=\{(t_{1},s_{1},p_{1}), \cdots,(t_{m},s_{m},p_{m})\}, 其中 t_{i},s_{i},p_{i}(1\leq i\leq m) 分别表示时间戳,空间数据,内容数据。

在某个时间段内,帐号所产生的内容特征可以提炼出用户在社交网络上的行为数据和内容数据,形成一个行为序列。通过这个行为序列,可以得到用户的内容特征。

  1. 基于兴趣的特征(Interest-based):可以基于内容数据判断帐号对哪些内容更感兴趣;
  2. 基于风格的特征(Style-based):基于内容数据得到帐号的写作风格,例如常用词语等;
  3. 基于轨迹的特征(Trajectory-based):基于帐号的行为轨迹数据,包括设备,IP,WIFI,地理位置以及相应的时间戳,得到帐号的足迹(footprint)。

帐号的社交网络特征

社交网络包括两种:

  1. 局部社交网络(local network):查看帐号的邻居(关注,被关注,好友关系)等诸多数据;
  2. 全局社交网络(global network):查看帐号在全局数据中的位置情况;

对于帐号的社交网络特征,包括以下两种常见形式:

  1. 基于邻居的特征(Neighborhood-based):共同好友数,共同邻居个数,Jaccard Coefficient,Overlap Coefficient,Dice Coefficient,Adamic/Adar score;
  2. 基于嵌入的特征(Embedding-based):通过计算帐号在相应的社交网络的嵌入特征,然后计算特征之间的距离或者相似性。

帐号映射的建模思路

机器学习的常见算法包括有监督算法(supervised model),无监督算法(unsupervised model)和半监督算法(semi-supervised model)。

基于上面的特征工程,加上合适的权重之和可以得到一个分数(score),也就是:

\mathcal{F}(u^{s},u^{t})=\alpha \cdot sim_{p}(\overrightarrow{p_{u^{s}}}, \overrightarrow{p_{u^{t}}})+\beta\cdot sim_{c}(\overrightarrow{p_{u^{s}}}, \overrightarrow{p_{u^{t}}})+\gamma\cdot sim_{n}(\overrightarrow{p_{u^{s}}}, \overrightarrow{p_{u^{t}}}),

其中 sim_{p}, sim_{c}, sim_{n} 分别表示画像(profile),内容(content),社交网络(network)之间的相似度。

如果有样本的话,全体样本是 \mathcal{Q}=\{(u^{s},u^{t}),\forall u^{s}\in\mathcal{U}^{s},\forall u^{t}\in\mathcal{U}^{t}\}, 那么正样本是 \mathcal{M}=\{(u^{s},u^{t}),u^{s}\in\mathcal{U}^{s},u^{t}\in\mathcal{U}^{t}, u^{s} \text{ and } u^{t} \text{ belong to the same person}\}, 负样本 \mathcal{N}=\mathcal{Q}-\mathcal{M}. 在实际使用的时候,要注意采样的比例和负样本的选择方法。

帐号映射的评价指标

对于 u^{s}\in\mathcal{U}^{s}, u^{t}\in\mathcal{U}^{t}, 假设
\mathcal{Q}=\{(u^{s},u^{t}),\forall u^{s}\in\mathcal{U}^{s},\forall u^{t}\in\mathcal{U}^{t}\} 是所有的帐号对,
\mathcal{M}=\{(u^{s},u^{t}),u^{s}\in\mathcal{U}^{s},u^{t}\in\mathcal{U}^{t}, u^{s} \text{ and } u^{t} \text{ belong to the same person}\} 是所有属于相同自然人的帐号对,
\mathcal{N}=\mathcal{Q}-\mathcal{M} 是所有属于不同自然人的帐号对。
\mathcal{A}= {被算法映射成相同自然人的帐号对},\mathcal{B}= {被算法映射成不同自然人的帐号对};用 TP, TN, FN, FP 来描述就是:

  • True Positive(TP):|\mathcal{A} \cap \mathcal{M}|;
  • True Negative(TN):|\mathcal{B}\cap\mathcal{N}|;
  • False Negative(FN):|\mathcal{B}\cap\mathcal{M}|;
  • False Positive(FP):|\mathcal{A}\cap\mathcal{N}|;

那么,Precision = TP / (TP + FP)=|\mathcal{A}\cap\mathcal{M}|/|\mathcal{A}|, Recall = TP / (TP + FN)= |\mathcal{A}\cap\mathcal{M}|/|\mathcal{M}|.

另外,F1=2\cdot Precision \cdot Recall / (Precision + Recall), Accuracy=(TP+TN)/(TP+TN+FP+FN).

部分论文细节

  1. Liu, Jing, et al. “What’s in a name? An unsupervised approach to link users across communities.” Proceedings of the sixth ACM international conference on Web search and data mining. 2013. 本篇文章主要是基于用户的名字来识别跨网络的用户的,提取用户的特征之后,使用 SVM 分类器来进行识别;
  2. Riederer, Christopher, et al. “Linking users across domains with location data: Theory and validation.” Proceedings of the 25th International Conference on World Wide Web. 2016. 本篇文章主要是基于用户的内容特征来进行建模;
  3. Labitzke, Sebastian, Irina Taranu, and Hannes Hartenstein. “What your friends tell others about you: Low cost linkability of social network profiles.” Proc. 5th International ACM Workshop on Social Network Mining and Analysis, San Diego, CA, USA. 2011. 本篇论文是根据社交网络中的用户邻居数据,来判断用户之间相似性的。

参考文献

  1. Shu, Kai, et al. “User identity linkage across online social networks: A review.” Acm Sigkdd Explorations Newsletter 18.2 (2017): 5-17.
  2. Liu, Jing, et al. “What’s in a name? An unsupervised approach to link users across communities.” Proceedings of the sixth ACM international conference on Web search and data mining.
  3. Riederer, Christopher, et al. “Linking users across domains with location data: Theory and validation.” Proceedings of the 25th International Conference on World Wide Web. 2016.
  4. Labitzke, Sebastian, Irina Taranu, and Hannes Hartenstein. “What your friends tell others about you: Low cost linkability of social network profiles.” Proc. 5th International ACM Workshop on Social Network Mining and Analysis, San Diego, CA, USA. 2011.

近似最近邻搜索算法 ANNOY(Approximate Nearest Neighbors Oh Yeah)

在搜索的业务场景下,基于一个现有的数据候选集(dataset),需要对新来的一个或者多个数据进行查询(query),返回在数据候选集中与该查询最相似的 Top K 数据。

Google:the two-tower neural network model

最朴素的想法就是,每次来了一个新的查询数据(query),都遍历一遍数据候选集(dataset)里面的所有数据,计算出 query 与 dataset 中所有元素的相似度或者距离,然后精准地返回 Top K 相似的数据即可。

但是当数据候选集特别大的时候,遍历一遍数据候选集里面的所有元素就会耗费过多的时间,其时间复杂度是 O(n), 因此,计算机科学家们开发了各种各样的近似最近邻搜索方法(approximate nearest neighbors)来加快其搜索速度,在精确率和召回率上面就会做出一定的牺牲,但是其搜索速度相对暴力搜索有很大地提高。

在这个场景下,通常都是欧式空间里面的数据,形如 \bold{x}=(x_{1},\cdots,x_{n})\in \mathbb{R}^{n}, 其中 n 是欧氏空间的维度。常用的距离公式包括:

  • Manhattan 距离:L1 范数;
  • Euclidean 距离:L2 范数;
  • Cosine 距离:1 – Cosine 相似度;
  • 角距离:用两个向量之间的夹角来衡量两者之间的距离;
  • Hamming 距离:一种针对 64 维的二进制数的 Manhattan 距离,相当于 \mathbb{R}^{64} 中的 L1 范数;
  • Dot Product 距离\bold{x}\cdot \bold{y}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}.
欧氏空间的数据点聚类

在近似最近邻搜索(ANN)领域,有很多开源的算法可以使用,包括但不限于:

  • Annoy(Approximate Nearest Neighbors Oh Yeah);
  • ScaNN(Scalable Nearest Neighbors);
  • Faiss(Billion-scale similarity search with GPUs);
  • Hnswlib(fast approximate nearest neighbor search);

本文将会重点介绍 Annoy 算法及其使用案例;

ANN 的 benchmark

Annoy 的算法思想

本文以 \mathbb{R}^{2} 中的点集来作为案例,介绍 annoy 算法的基本思想和算法原理。

二维欧氏空间中的点集

用 n 表示现有的文档个数,如果采用暴力搜索的方式,那么每次查询的耗时是 O(n), 采用合适的数据结构可以有效地减少查询的耗时,在 annoy 算法中,作者采用了二叉树这个数据结构来提升查询的效率,目标是把查询的耗时减少至 O(\ln(n)).

用中垂线来作为切分平面

刚开始的时候,在数据集中随机选择两个点,然后用它们的中垂线来切分整个数据集,于是数据集就被分成了蓝绿两个部分。然后再随机两个平面中各选出一个顶点,再用中垂线进行切分,于是,整个平面就被切成了四份。

继续切分

用一颗二叉树来表示这个被切分的平面就是:

用二叉树来表示切分平面

后续继续采用同样的方式进行切分,直到每一个平面区域最多拥有 K 个点为止。当 K = 10 时,其相应的切分平面和二叉树如下图所示。

持续随机切分
K = 10 的时候,每个子平面最多 10 个点
相应的二叉树

下面,新来的一个点(用红色的叉表示),通过对二叉树的查找,我们可以找到所在的子平面,然后里面最多有 K = 10 个点。从二叉树的叶子节点来看,该区域只有 7 个点。

红叉表示需要查询的点
搜索路径

在 ANN 领域,最常见的两个问题是:

  1. 如果我们想要 Top K 的点,但是该区域的点集数量不足 K,该怎么办?
  2. 如果真实的 Top K 中部分点不在这个区域,该怎么办?

作者用了两个技巧来解决这个问题:

  1. 使用优先队列(priority queue):将多棵树放入优先队列,逐一处理;并且通过阈值设定的方式,如果查询的点与二叉树中某个节点比较相似,那么就同时走两个分支,而不是只走一个分支;
  2. 使用森林(forest of trees):构建多棵树,采用多个树同时搜索的方式,得到候选集 Top M(M > K),然后对这 M 个候选集计算其相似度或者距离,最终进行排序就可以得到近似 Top K 的结果。

同时走两个分支的的示意图:

随机生成多棵树,构建森林的示意图:

随机生成多颗树

Top K 的查询方法:

选择候选区域
获得区域中的所有点
区域中 Top K 点排序

Annoy 算法原理:

构建索引:建立多颗二叉树,每颗二叉树都是随机切分的;

查询方法
1. 将每一颗树的根节点插入优先队列;
2. 搜索优先队列中的每一颗二叉树,每一颗二叉树都可以得到最多 Top K 的候选集;
3. 删除重复的候选集;
4. 计算候选集与查询点的相似度或者距离;
5. 返回 Top K 的集合。

Annoy 的编程实践

Annoy 的安装:

pip install annoy

Annoy 的 Python 接口函数

常用的 Annoy Python 接口函数包括以下内容:

  • a = AnnoyIndex(f, metric):f 指的是向量的维度,metric 表示度量公式。在这里,Annoy 支持的度量公式包括:”angular”, “euclidean”, “manhattan”, “hamming”, “dot”;
  • a.add_item(i, v):i 是一个非负数,表示 v 是第 i 个向量;
  • a.build(n_trees, n_jobs=-1):n_trees 表示树的棵数,n_jobs 表示线程个数,n_jobs=-1 表示使用所有的 CPU 核;
  • a.save(fn, prefault=False):表示将索引存储成文件,文件名是 fn;
  • a.load(fn, prefault=False):表示将索引从文件 fn 中读取出来;
  • a.unload():表示不再加载索引;
  • a.get_nns_by_item(i, n, search_k=-1, include_distances=False):返回在索引中的第 i 个向量 Top n 最相似的向量;如果不提供 search_k 值的话,search_k 默认为 n_tree * n,该指标用来平衡精确度和速度;includ_distances=True 表示返回的时候是一个包含两个元素的 tuple,第一个是索引向量的 index,第二个就是相应的距离;
  • a.get_nns_by_vector(v, n, search_k=-1, include_distances=False):返回与向量 v Top n 最相似的向量;如果不提供 search_k 值的话,search_k 默认为 n_tree * n,该指标用来平衡精确度和速度;includ_distances=True 表示返回的时候是一个包含两个元素的 tuple,第一个是索引向量的 index,第二个就是相应的距离;
  • a.get_item_vector(i):返回添加索引的时候的第 i 个向量;
  • a.get_distance(i, j):返回第 i 个向量与第 j 个向量的距离;
  • a.get_n_items():返回索引中的向量个数;
  • a.get_n_trees():返回索引中的树的棵数;
  • a.on_disk_build(fn):在一个文件 fn 中构建索引,并不在内存中构建索引;
  • a.set_seed(seed):用给定的种子初始化随机数生成器,需要在建树,添加向量构建索引之前使用该函数;

影响 annoy 算法效率和精度的重要参数:

  • n_trees:表示树的棵数,会影响构建索引的时间。值越大表示最终的精度越高,但是会有更多的索引;
  • search_k:值越大表示搜索耗时越长,搜索的精度越高;如果需要返回 Top n 最相似的向量,则 search_k 的默认值是 n_trees * n;

Annoy 的使用案例

from annoy import AnnoyIndex
import random

# f 表示向量的维度
f = 40
# 'angular' 是 annoy 支持的一种度量;
t = AnnoyIndex(f, 'angular')  # Length of item vector that will be indexed
# 插入数据
for i in range(1000):
    v = [random.gauss(0, 1) for z in range(f)]
    # i 是一个非负数,v 表示向量
    t.add_item(i, v)

# 树的数量
t.build(10) # 10 trees

# 存储索引成为文件
t.save('test.ann')

# 读取存储好的索引文件
u = AnnoyIndex(f, 'angular')
u.load('test.ann') # super fast, will just mmap the file

# 返回与第 0 个向量最相似的 Top 100 向量;
print(u.get_nns_by_item(0, 1000)) # will find the 1000 nearest neighbors

# 返回与该向量最相似的 Top 100 向量;
print(u.get_nns_by_vector([random.gauss(0, 1) for z in range(f)], 1000))

# 返回第 i 个向量与第 j 个向量的距离;
# 第 0 个向量与第 0 个向量的距离
print(u.get_distance(0, 0))
# 第 0 个向量与第 1 个向量的距离
print(u.get_distance(0, 1))

# 返回索引中的向量个数;
print(u.get_n_items())
# 返回索引中的树的棵数;
print(u.get_n_trees())

# 不再加载索引
print(u.unload())

基于 hamming 距离的 annoy 使用案例:

from annoy import AnnoyIndex

# Mentioned on the annoy-user list
bitstrings = [
 '0000000000011000001110000011111000101110111110000100000100000000',
    '0000000000011000001110000011111000101110111110000100000100000001',
    '0000000000011000001110000011111000101110111110000100000100000010',
    '0010010100011001001000010001100101011110000000110000011110001100',
    '1001011010000110100101101001111010001110100001101000111000001110',
    '0111100101111001011110010010001100010111000111100001101100011111',
    '0011000010011101000011010010111000101110100101111000011101001011',
    '0011000010011100000011010010111000101110100101111000011101001011',
    '1001100000111010001010000010110000111100100101001001010000000111',
    '0000000000111101010100010001000101101001000000011000001101000000',
    '1000101001010001011100010111001100110011001100110011001111001100',
    '1110011001001111100110010001100100001011000011010010111100100111',
]

# 将其转换成二维数组
vectors = [[int(bit) for bit in bitstring] for bitstring in bitstrings]

# 64 维度
f = 64
idx = AnnoyIndex(f, 'hamming')
for i, v in enumerate(vectors):
    idx.add_item(i, v)

# 构建索引
idx.build(10)
idx.save('idx.ann')
idx = AnnoyIndex(f, 'hamming')
idx.load('idx.ann')
js, ds = idx.get_nns_by_item(0, 5, include_distances=True)

# 输出索引和 hamming 距离
print(js, ds)

基于欧几里得距离的 annoy 使用案例:

from annoy import AnnoyIndex
import random

# f 表示向量的维度
f = 2
# 'euclidean' 是 annoy 支持的一种度量;
t = AnnoyIndex(f, 'euclidean')  # Length of item vector that will be indexed
# 插入数据
t.add_item(0, [0, 0])
t.add_item(1, [1, 0])
t.add_item(2, [1, 1])
t.add_item(3, [0, 1])

# 树的数量
t.build(n_trees=10) # 10 trees
t.save('test2.ann')

u = AnnoyIndex(f, 'euclidean')
u.load('test2.ann') # super fast, will just mmap the file

print(u.get_nns_by_item(1, 3)) # will find the 1000 nearest neighbors

print(u.get_nns_by_vector([0.1, 0], 3))

参考资料

  1. GitHub 的 Annoy 开源代码:https://github.com/spotify/annoy
  2. Nearest neighbors and vector models – part 2 – algorithms and data structures:https://erikbern.com/2015/10/01/nearest-neighbors-and-vector-models-part-2-how-to-search-in-high-dimensional-spaces.html
  3. ann-benchmark 的效果测试:https://github.com/erikbern/ann-benchmarks

牛熊证基础知识以及案例介绍

牛熊证基础知识

牛熊证跟期权一样,是带有杠杆的衍生产品,可以做到以小博大的效果。只需要用部分资金,就可以跟踪标的资产的表现。

以小博大

期权与牛熊证的对比

  • 牛证(Bulls):与看涨期权(Call)类似,在对股票看涨的时候用;
  • 熊证(Bears):与看跌期权(Put)类似,在对股票看空的时候用;
期权牛熊证标的股票上涨标的股票下跌
看涨期权(Call)牛证权证理论价格上涨权证理论价格下跌
看跌期权(Put)熊证权证理论价格下跌权证理论价格上涨
期权与牛熊证

期权与牛熊证的价值:

  • 期权的价值 = 内在价值 + 时间价值;
  • 牛熊证价格 = 内在价值 + 财务费用;
期权内在价值时间价值
看涨期权max{股价 – 行权价, 0}权利金 – 内在价值
看跌期权max{行权价 – 股价, 0}权利金 – 内在价值
期权的价值

牛熊证与期权的不同:牛熊证有强制收回机制;

  • R 类牛熊证:收回价 != 行使价,被收回后有可能还有价值;收回之后只要没有触碰到行使价,就会有剩余价值结算;收回之后一旦触碰行使价,就没有剩余价值。
  • N 类牛熊证:收回价 = 行使价,被收回后没有价值。
牛熊证每股剩余价值(被收回后)计算公式
牛证每股剩余价值(结算价 – 行使价) / 换股比率
熊证每股剩余价值(行使价 – 结算价) / 换股比率
剩余价值的计算
牛证收回价 > 牛证行使价
熊证收回价 < 熊证行使价

牛熊证可以在观察期(包括开市前时段,持续交易时段,收市竞价交易时段)被收回。即使牛熊证在下午 4 点之后停止买卖,但是如果标的股票在收市竞价交易时段触发收回价,该牛熊证认可被收回。

牛熊证上午被收回
牛熊证下午被收回

到期之后,牛熊证也会被收回并结算,具有内在价值的牛熊证将获得现金价值。牛熊证的最后交易日 = 牛熊证的到期日减去一个交易日;

牛熊证内在值财务费用
牛证(股价 – 行使价) / 换股比率财务费用 =(行使价/换股比率)x 财务利率(一年)x (剩余年期(日数至到期日)/365)
熊证(行使价 – 股价) / 换股比率财务费用 =(行使价/换股比率)x 财务利率(一年)x (剩余年期(日数至到期日)/365)
牛熊证的价值

备注:

  • 距到期日越远的牛熊证,财务费用越大;距到期日越近的牛熊证,财务费用越小;当到期或者被收回时,财务费用会归零;
  • 财务费用占牛熊价值的比率较少,就算是较长期的产品,普遍也在几个百分点内,而牛熊证上市时的年期最少为 3 个月,因此每日的财务费用扣减,实际上相当轻微。
牛熊证即使没有触发收回价,到期了也会被回收

牛熊证的杠杆比率

杠杆比率:当其他因素不变的情况下,每当股票价格变化约为 1% 时,其相应的牛熊证价格的变化幅度。用公式来描述就是:

杠杆比率 = 股价/(牛熊证价格 x 换股比率)

举例说,当 XXXX 股票上升 1%,一只实际杠杆为 20 倍的 XXXX 牛证,权证价理论上升 20%;一只实际杠杆为 15 倍的 XXXX 熊证,权证价理论下跌 15%。

牛熊证牛熊证的杠杆比率股价越接近行使价股价越远离行使价
牛证股价/(牛熊证价格 x 换股比率) = 股价 / [(股价 – 行使价) + 财务费用 x 换股比率]杠杆比率越大杠杆比率越小
熊证股价/(牛熊证价格 x 换股比率) = 股价 / [(行使价 – 股价) + 财务费用 x 换股比率]杠杆比率越大杠杆比率越小
杠杆比率

牛熊证的溢价

溢价是一个证券市场术语,指所支付的实际金额超过证券或股票的名目价值或面值。 而在基金上,则专指封闭型基金市场的买卖价高于基金单位净资产的价值。 我们通常说一支股票有溢价,是指在减掉各种手续费等费用之后还有钱。

牛证溢价(%)= [( 牛证价格 x 换股比率 ) + 行使价 – 相关资产价格]/相关资产价格

熊证溢价(%)= [( 熊证价格 x 换股比率 ) – 行使价 + 相关资产价格]/相关资产价格

牛熊证的影响因素:

  • 相关资产价格;
  • 财务费用;
  • 溢价;
  • 利率;
  • 股息;
  • 市场持仓量和市场供求;

事实上,牛熊证行使价及年期长短,亦会影响到牛熊证价格,但由于这两个条款在产品发行时已经决定,期内不能改变,因此这只会影响产品的定价,属于基本因素而非市场因素。牛熊证价格并无时间值损耗,但财务费用会每日扣减,而且近年利率低企,因此所占牛熊证价格的比例相当低,如非持有长时间,影响极轻微,因此坊间部分有关牛熊证的信息,会指时间对牛熊证价格没有太大影响。

在到期日之前可以影响牛熊证价格的因素:

牛证价格熊证价格
正股价格上升理论上升理论下跌
正股价格下降理论下降理论上升
越接近到期(财务费用会每日扣减)理论下跌理论下跌
财务费用上升理论上升理论上升
利率上升理论上升理论下跌
派息多于预期理论下跌理论上升
影响因素

在到期日之前不能影响牛熊证的因素:

牛证价格熊证价格
与行使价距离越远理论较高理论较高
年期越长理论较高理论较高
隐含波动率几乎不影响几乎不影响
不能影响的因素

牛熊证重仓区

牛熊证重仓区,是根据发行人每日上载至交易所的报告,统计整个市场同一资产牛熊证的所有市场持仓,归纳出最多资金持有的收回价区域。

以恒指牛熊证街货图(又称市场持仓图)为例,不少投资者会视牛证或熊证重仓区,为大市的支持位或阻力位,原因是投资者真金白银买入收回价在若干水平的牛熊证,自然是有信心指数不会升穿或跌穿该水平。但是,支持位和压力位在未来的一段时间内是有可能被打破的。

重仓区相对期指对冲张数的增减,亦反映出投资者加仓或减仓的取向,从中或可推断出资金对后市的看法。

支持位和压力位预估

牛熊证的主要风险

牛熊证的主要风险在于以下几点:

风险解释
强制收回标的股价一旦在观察期触碰收回价,就会被强制收回。
杠杆效果标的股价一旦与投资者的预期相反,则有可能造成比例上的巨大亏损。
到期日一旦牛熊证到期就会被收回,跟股票是不一样的。
流通量注意该牛熊证的流通量,尽量购买交易活跃的牛熊证。
牛熊证的风险控制

牛熊证的买卖差价

牛熊证的买卖差价指的是:发行商最高买入价和最低卖出价之间的差价。这个是投资者的买卖成本。

买入价卖出价
牛证 A0.110 0.112
牛证 B0.1040.108
买卖差价

牛证 A 的交易成本是:0.112 – 0.110 = 0.002,牛证 B 的交易成本是 0.108 – 0.104 = 0.004。说明牛证 A 的交易成本相对牛证 B 的交易成本低。

牛证的锁定收益

如果购买了标的股票大涨,投资者想提前锁定收益,但是又害怕股票大跌造成损失,又害怕股票大涨错过机会。则可以考虑购买牛证:

牛证份数 = 正股股数 x 牛证兑换比率

的牛证数量。如果股票后续大跌,则牛证有收回机制,可以有效控制损失。

熊证的对冲风险

买卖股票的理想与现实

如果购买了标的股票,如果想要减少看错市场的风险,则需要购买

熊证份数 = 正股股数 x 熊证兑换比率

的熊证数量,就能够有效地做对冲。

牛熊证案例分析

以瑞银集团的牛熊证网站为例:可以作为标的股票的包含以下几十种。

可以选择标的股票

香港交易所的股票:

香港交易所股价

标的香港交易所的瑞银 55481 牛证:

瑞银 55481 牛证

标的香港交易所的瑞银 65406 牛证:

瑞银 65406 牛证

香港交易所的瑞银 66253 熊证:

瑞银 66253 熊证

以香港交易所的牛熊证街货图为例:

香港交易所(2021-11-19)的牛熊证街货图

除了瑞银的牛熊证之外,在市面上还有其他发行商的牛熊证可以选择,例如:

  • 港交瑞信二二牛 K.C
  • 港交汇丰一乙牛 M.C
  • 港交瑞银二六熊 B.P

这些文字的含义分别是:

  • 港交:表示标的股票;如果是标的腾讯控股(00700),则会写腾讯;
  • 瑞信,汇丰,瑞银表示牛熊证的发行商;
  • 二二表示 2022 年 2 月到期,一乙表示 2021 年 12 月到期,二六表示 2022 年 6 月到期;
  • 牛表示牛证,熊表示熊证;
  • C 表示 Call,P 表示 Put,分别对应看涨期权和看跌期权。

备注:以上所有内容不包含任何投资建议,仅供参考。

参考资料

  1. 瑞信资料:https://warrants-hk.credit-suisse.com/sc/tutorial/cbbc
  2. 瑞银资料:https://warrants.ubs.com/gb/education/cbbc_education
  3. 老虎证券资料:https://www.tigersecurities.com/help/detail/79776806

芝加哥枪声之后,妈妈决定冒着疫情风险去美国接他回家

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11月7日,四川乐山。从美国芝加哥寄来一个快递,那是一盒香水,是在芝加哥留学的24岁的郑少雄寄给母亲的。一个看不懂的英文牌子,母亲平常不舍得买。郑少雄用节省下来的生活费买了一瓶,算好时间,请快递员正好当天送达。那天,是母亲57岁生日。

郑少雄从未忘记过母亲的生日。自2015年到香港大学读本科起,到殒命芝加哥枪击案之前,每天晚上十点半,他都会打来电话,道一声晚安,以平复母亲的牵挂。

郑少雄和他的家,是无数中国普通留学生家庭的缩影:母亲是一家当地医院的普通职工,家庭收入不高。她节衣缩食,拼尽力气想帮助儿子有一个更好的未来。

芝加哥秋天的冰雨骤然击破了这个家庭的梦想。美国时间11月9日下午,一名持枪的歹徒,在芝加哥大学主校区附近的人行道上,用枪击中了郑少雄的胸口。7小时后,可怕的消息在互联网上飞速传播。而远在四川乐山家里的母亲,因为联系不上自己的儿子,开始浑身发抖。

本文的叙述者金谷,是和郑少雄一起长大的“兄弟”。“他妈妈和我妈妈是初中和高中时的好闺蜜。我们从小一起玩耍,一起求学,情同手足。”当噩耗传来,金谷的母亲一直守在郑少雄母亲的身边,陪伴着她共度难关。

在新冠疫情肆虐的当下,这起悲剧仍然牵动了中美两边无数人的心。中国外交部和众多网民对郑少雄的命运倾注了极大关注,美国方面也将开通绿色加急通道办理,就在今天(11月14日)下午,他的母亲将启程,飞往上海面签,然后前往芝加哥,亲自接儿子回家。

郑少雄出游照片

以下是金谷的讲述。

是的,领事馆打电话来了!

2021年11月10日,一个再普通不过的星期三。一早我来到公司,开始工作。10点37分时,我妈妈突然在家庭群里发了一个消息:“芝加哥大学发生枪击案,一个24岁学统计的娃儿遭了(枪击),联系不上三同(郑少雄小名),他妈妈在发抖,我正在往三同妈妈家里跑!”

我看到这个消息,心里一紧,但随即略微放宽了心。因为在我印象中,三同非常谨慎,很有安全意识。他刚去芝加哥大学读研究生,就在我们的家庭群里分享了一个实时监控当地街区发生枪击情况的app,让我们放心,说一切情况都在他把控之中。

到 11点,我参加一个线上会,看到媒体已经开始报道这个事件了,但只有一个通告,没说受害者是谁。我赶紧查芝加哥中国领馆,以及芝加哥大学校警的电话,让妈妈们去打。那时,我心里还认为,“24岁”“统计学”这两个特征可能只是巧合,三同依然安好。

11点49分,我妈在群里发了一个消息:“是的,领馆打电话来了。”

“天呐!”我一下子懵了,立刻离开会议室,给我妈打电话,电话那头清晰地传来啜泣声。从这一刻开始,我们的天都塌了。我在公司的电话隔间里脑子完全空白,只觉得狭小的电话室在不断缩小,缩小,使劲挤压着我的身体,我无法呼吸,无法思考,无法表达。

这个“是的”,好像一阵风一样吹过去了,而我还是不能相信它是“真的”。直到电话再次响起,我家人的哭声从电话里再度传来。我才“真的”接受了这个消息,嚎啕大哭。

泪眼模糊中,电脑上的时间显示是中午12点31分。一种更猛烈的悲痛捶打着我的胸口--从2015年到港大开始离家求学,每天晚上22点30分,三同都要给妈妈打电话,分享当天的学习生活,道一声晚安。而此时此刻,正是芝加哥时间,三同平常给妈妈道晚安的时候。

郑少雄与妈妈

对他来说,“学霸”的标签太单薄了

我和郑少雄在娘胎中就相识了。他妈妈和我妈妈是初中和高中的好闺蜜。我们从小一起玩耍,一起求学,情同手足。

这些天,我看到很多报道,都说三同是“学霸”。在我心目中,用“学霸”这个词来形容三同真是太简单了,这个标签太单薄。对我来说,更重要的是,从小到大,我都能感受到他对身边的人以及这个世界,怀抱并展示出的极大善意。

郑少雄小名叫三同,和麻将里的“三筒”同音。我们的老家在四川乐山。每次假期回去,我们最大的乐趣就是玩麻将。每天晚上,不论白天做啥,晚上都会聚在我家阳台的小餐桌上,把桌面翻过来打麻将。

牌局的成员一般是5个人,两位妈妈和我们三兄弟(我有一个孪生哥哥,我们仨称为“三兄弟”)。三同是麻将高手,他能用统计理论来算牌,我们开玩笑说,他杀鸡用牛刀。他说,这是学以致用。麻将打1块钱的,每天都打到很晚,大家乐此不疲。三同常常是赢家,赢了的钱就请我们去楼下的烧烤店搓一顿。听说三同打牌厉害,家里自居高手的三大姑八大姨都要来切磋一把,阳台到晚上常常像是擂台。擂主不易撼动,但总是充满了欢声笑语。

2000年,我们三兄弟在乐山太阳岛游玩。下图的最前面就是郑少雄。

小学的时候,三同竞选班长,事前问妈妈可不可以自己给自己投票,妈妈说,只要你真心想为同学们做事情,哪怕别人一票不给你投,你都应该给自己投一票。选举的结果是全票通过。老师告诉妈妈,带了十多年的班级,三同是唯一一个62票全票当选班长的孩子。

初中时,放学在操场打球,快结束时,有个姓张的同学说,谁帮他上楼拿书包,就给谁5块钱。其他同学都没反应,三同却说他去拿,领走了同学的5块钱。我们还纳闷这不像他的风格。第二天,班主任老师出乎意料地在课堂上表扬了张同学。我们才知道,三同把那5块钱以张同学的名义捐给班里了,换了一个新拖把。

现在回想起来,初中的那段岁月特别单纯开心。我们那时候喜欢聚在一起研究电脑。有一次三同家换了新电脑,赶紧约在一起,下载好“孤岛危机”准备体验一番。三同妈妈要去医院值夜班,临走给我们说:“你们仨聚一起,随便咋个耍!”

这下我们可玩美了。“孤岛危机”是单人游戏。我们坐电脑前,轮流操作,另外两人参谋指挥,转眼间从下午到了晚上,我们调暗灯光继续奋战,直到累到不行,才去睡觉。睡觉时想起游戏里的恐怖,背后发凉,三同说,没事儿,熟练地去锁好房门,我们仨挤在一起,没多久就进入了梦乡。

那时,三同的妈妈在医院,经常值夜班。三同很小就自己照顾自己。我虽然比三同大两岁,但这种体验对童年的我来说反而没有。

高中时,我们从乐山相继考入成都。三同就读成都七中林荫校区,我在成都九中宁夏校区,学校相隔很近,周末我上补习班就在七中旁边,下了课就到三同的出租屋,吃三同妈妈和姨婆做的美食,或者他们母子到我们的出租屋来聚一聚。

我们在出租屋里挤着睡,聊一晚上的天,然后开始下一周紧张的学习生活。记得他要准备竞选“成都七中形象大使”时,我们拿着借来的高级相机到七中去,各种摆拍,用当时的小儿科水平努力想把他拍得高大上一些,最终他也凭借品学兼优和阳光帅气的外形,还有钢琴、书法、乒乓球的出色才艺,当选成都七中的形象大使。

2013年,在成都出租屋内学习(左一为郑少雄)。

在高手如云,竞争激烈的成都七中,三同也常独占鳌头,他学习从不蛮干。不熬夜,不刷题,往往是把一个题目从不同的角度钻透,然后举一反三,一通百通,学得轻松有趣,还可以腾出时间和精力,给其他同学传经送宝。

我记得,他曾利用周末的时间买了一些白折扇,然后在校园里面摆摊,哪个同学希望他在折扇上写什么内容,他就写。除去折扇的成本十块钱之外,多收五块钱。这样赚了几百块钱,全部捐做班费。我妈妈当时还出“高价”二十元,请他写了一把扇子。

在多姿多彩的校园生活背后,是三同妈妈每周五下班后,从乐山乘坐两个半小时的大巴车,到成都的出租屋,给三同做点好吃的家常菜,补补营养。然后周日晚上再坐大巴车赶回乐山,三年下来,车票累成了一座小山,足足有数百张。

 2014年,在成都七中校园。

出事前一周,三同被拍到一张照片。照片上的他正在打乒乓球,看起来神采飞扬。其实,他是个性格内向的人。

有件小事我记得很清楚,小学时学乒乓球,球室在教学楼顶,夏天十分闷热,妈妈去球室接他,发现他站在球台旁帮人捡球,满头大汗,问他是不是不喜欢打球啊,他说他特别想打,但还没学会,打不过别人。在妈妈鼓励下,他才慢慢上手。后来,他越打越好,成为他拿手的才艺之一。

2021年11月3日,在芝加哥参加乒乓球比赛。

一边写下这些往事,一边泪水不断涌上眼底。发生在我们生命中的这些小事情,仿佛就在昨天,可是残酷的现实告诉我,我和三同已经是天人两隔。

2017年三兄弟同游西昌
2015年三兄弟同游香港赛马会

怕花钱,他在香港一年没买西瓜吃,回来才大吃一顿

三同比我高考晚一年,香港大学是我们共同的向往,我未能如愿。三同不出意外取得651分的成绩,实现了我们兄弟共同的愿望。大家商议志愿填报的微信群,群名也因此改成了“圆梦香港”,群友有三同、他妈妈、我妈妈以及我的孪生哥哥。六年来这个群一直很活跃,虽然天各一方,但一直在分享着生活的点滴和对彼此的祝愿。

港大高额的学费,让三同家压力山大。三同妈妈是医院普通职工,但是她绝不想因为家庭经济原因,让出类拔萃的孩子不能飞得更高。

自从上了港大,他妈妈就开始节衣缩食,变卖了房产,甚至不得不向亲朋好友筹借学费。了解三同的亲友,都愿意帮助这么优秀的孩子一臂之力,尽管如此,三同妈妈的衣服,还是从原来的几百元到后来的几十元,家里常年只开一盏灯。

和妈妈相依为命的三同,自己也在想办法。他通过网络了解到宋庆龄基金会可以为他这样的学生提供帮助,就悄悄向基金会申请,最终为自己争取到了宝贵的奖学金。一切都搞定之后,他才把好消息告诉妈妈,让妈妈喜出望外。

郑少雄获得宋庆龄基金会奖学金
郑少雄获得香港政府奖学金
郑少雄在美国大学生数学建模竞赛获得O奖(特等奖),为该大赛的最高奖项。

为了尽可能减轻家里的经济负担,三同在学校尽量节省各种开支。因为觉得香港的西瓜太贵,他整整一年没有尝过西瓜的味道,放假回来,放开了大吃一顿!

他还下决心提前完成学业,帮妈妈缓解学费的压力。他几门功课同时修习。高铁,飞机,等公交车的站台,餐馆的饭桌,随处都是三同的自修室。

在港大求学期间,因为出众的表现,他当选为香港大学学生大使,接待到港大访问的社会各界人士,也因此获得了港大每年出去看世界开眼界的机会。一边上学,三同一边总结了自己的一些学习经验,和学姐合作,写成《做事的逻辑》一书,由四川大学出版社出版。这本书的版权费,对他们家虽是杯水车薪,也多少缓解了一点学费的压力。

最终,他提前一个学期,以一级荣誉从港大毕业,是港大当之无愧的杰出校友,也是我们一家人心目中的骄傲。

只是,万万没有想到,再一次看到“一级荣誉”这四个字,竟是在香港大学校长张翔教授的悼念信中。

香港大学统计学本科毕业之后,三同想继续深造,他拿到了世界一流学府芝加哥大学的研究生offer,芝大的统计学专业在世界上都是领先的。

像从前一样,他也尽力争取奖学金和各种打工机会。开学没几个月,新冠疫情爆发,三同只能在学校门口租的房子上网课,却依然把自己的生活安排得井井有条。哪怕是给自己做一份简单的早餐,他也会有精致的摆盘,拍张照发给妈妈,告诉她自己过得很好。邻居间,也留下了这个年轻的学生爱做饭的印象。

郑少雄在芝加哥学习自制月饼,分享给邻居同学。
2021年郑少雄生日,和母亲的对话。

我们知道芝加哥的治安不好,总牵挂着他。每当新闻里报道芝加哥又发生了枪击案之后,他总会晒出一个app,上面显示着枪击案的信息通报,让我们不用担心,他有足够强的安全意识,一切尽在掌控之中。

但妈妈又怎能不担心呢?三同妈妈虽然每天都牵挂着儿子,却很少告诉三同,去年过年回家的时候,我和他妈妈一起在公园散步,看到蹒跚学步的孩子时,他妈妈会提起三同学步的样子;在成都的街头看到穿着七中蓝色校服走过的少年时,会恍惚觉得是他的身影;甚至晚上回家坐在客厅时,会觉得三同随时会从房间里走出来……她关注芝加哥的天气,关注芝加哥的新闻,更在有暴力事件发生时寝食难安……但她每次跟儿子联系,总是表达出鼓励和祝愿。今年9月当她再次听到枪击案新闻的时候如是说:

每当大洋彼岸的芝加哥,传来枪击案的消息,郑少雄的母亲只能用文字表达牵挂。

今年夏天他硕士学位答辩结束,继续申请博士学位本来是他的心愿,也应该能够达成。但他不想让已经退休的妈妈继续生活在压力中。

三同妈妈身体并不好,在他小学时,意外脚踝骨骨折,脚上上了4颗螺钉,用了5根钢针固定,做了两次手术,初中时因为气胸曾被抢救。在港大读书期间,她又因为急性胰腺炎而再次做手术,随着年龄的增大,妈妈又得了高血压等慢性病,这一切都是三同的牵挂,最终他决定放弃读博,选择就业。他想在美国先锻炼一下,积累经验,然后回国发展,还清债务,孝敬妈妈。

郑少雄照顾母亲的照片。

可惜这样一个心怀善意,聪慧纯洁的生命,冤死在罪恶的子弹之下。

噩耗传来的前三天,他给妈妈寄来了生日礼物

三同对妈妈特别好。去美国之前,他把家里的每一个插座都换成开关式,方便妈妈使用,还给妈妈买了分药盒,以免她忘记吃药等。每个母亲节,妈妈的每个生日,三同都会用自己节省的零花钱准时给妈妈送礼物。

今年11月7日,像以往一样,妈妈收到了儿子从美国算好时间准时寄到的礼物,是一瓶香水,妈妈舍不得买的香水。那天她很开心,在群里晒了儿子的礼物。没想到,三天以后,三同就不在了,这瓶香水也成了这一生她收到的儿子最后的生日礼物。

2021年11月7日,郑少雄母亲和我母亲的聊天记录。

悲剧发生的11月10日早上,三同妈妈给我妈妈发来微信,说:学校出事了,联系不上三同,那时候她浑身发抖。从11点到11点40分,他妈妈一直焦急地在各种留学群里询问,拜托各种朋友联系芝加哥官方。11点50分,手机上突然显示领事馆来电。

我妈妈知道大事不妙,当场就崩溃大哭。接起电话,传来了一个略带港澳腔的声音:“你是不是郑少雄妈妈?你的身边有没有亲人?郑少雄出事了,现在在医院里面,已经停止了心跳……”

从11月10日到现在,各种朋友、同学、同事都来慰问,亲人们也第一时间来到了三同妈妈的身边。在外人看来,三同妈妈表现出了一种出乎意料的坚强,有条不紊地处理各种事务。但我们知道,这份坚强却是极其的脆弱,因为这是妈妈为了能再见到三同,在强力支撑。三同可是他妈妈的一切呀!就在9月份,三同刚完成研究生学业,即将开始新生活的,三同妈妈如是说:

当希望变成绝望,这是何等的灾难;当三同妈妈做出要冒着疫情赴美接儿子回国的决定后,用自己的血肉之躯去面对这份绝望的时候,又是何等伟大的母爱。这条回家路不好走,路上势必还会有重重困难。作为三同的兄弟,现在也是他妈妈的“儿子”。如今,我最大的心愿就是帮助妈妈走过这一关,以告慰弟弟三同的在天之灵。

就在今天(11月14日),三同妈妈将飞往上海,面签,然后经底特律,到芝加哥,去接回儿子。外交部和网民对三同的命运都倾注了极大的关注,美国领馆也将开通绿色加急通道办理。希望三同这条艰难的回家路,能够多一点好运和顺利。

斯人已逝,生者何堪。三同的回家路很长,他妈妈的下半生也很长,最后,由衷地希望三同妈妈的下半生能感受到这个世界的最大善意。

注:口述内容和文中图片均得到郑少雄家人独家授权

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期权入门知识整理(一)

期权的基础知识

期权被定义为“在约定日期之前以固定价格购买(或者出售)资产的权利,而不是义务”。

期权的定义主要包含以下四个方面:

  • 约定日期:每个期权都有一个到期日,通常为具体的某个月份或者某一天;
  • 固定价格;
  • 购买或者出售;
  • 权利,非义务。

期权类型:

  • 看涨期权(call):具有买入权利的期权,是指在约定日期之前以固定价格购买资产的权利;
  • 看跌期权(put):具有卖出权利的期权,是指在约定日期之前以固定价格出售资产的权利。

期权的分类:

  • 美式期权(American-Style Options):允许期权购买者在到期日之前的任何时间行使期权;
  • 欧式期权(European-Style Options):不允许期权购买者在到期日之前行使期权;

在这里,通常使用的都是美式期权;

最简单地,有四种基本的期权策略:

  • 买入看涨期权(Long Call):认为股票行情会上涨;
  • 卖出看涨期权(Short Call):认为股票行情会下跌;
  • 买入看跌期权(Long Put):认为股票行情会下跌;
  • 卖出看跌期权(Short Put):认为股票行情会上涨;
策略收益风险盈亏平衡点
买入看涨期权策略无限支付的权利金行权价加上权利金
卖出看涨期权策略收到的权利金无限行权价加上权利金
买入看跌期权策略行权价减去支付的权利金支付的权利金行权价减去权利金
卖出看跌期权策略所收到的权利金行权价减去权利金行权价减去权利金
四种基本的期权策略

备注:

  • 买入看涨/看跌期权的风险有限:指的是最大损失就是支付的权利金;
  • 卖出看涨/看跌期权的风险无限:指的是无穷大;

用图像来描述四种基本的期权策略。黑点表示行权价,横线纵轴 = 0 表示盈亏平衡,纵轴 > 0 表示利润,纵轴 < 0 表示损失。横轴表示标的资产价格。

分别是:Long Call,Long Put,Short Call,Short Put
预计股票方向期权策略
认为股票未来会涨买入看涨期权 + 卖出看跌期权
认为股票未来会跌买入看跌期权 + 卖出看涨期权
简单策略组合

期权的希腊字母(Greeks):

希腊字母定义性质
Delta衡量期权价格相对标的资产价格变动的敏感度,数学公式:Delta = 期权价格的变化 / 标的资产的变化。看涨期权的 Delta>0,看跌期权的 Delta<0;
看跌期权的 Delta = 看涨期权的 Delta – 1。
Gamma衡量期权价格相对于标的资产价格变化速度(即加速度)的敏感性。Delta 的变化率。
Theta衡量期权价格相对于到期时间变化的敏感性,通常都是负数。当期权是平值和距离到期日不足30天时,时间衰减最快。
Vega衡量期权价格相对于资产波动率变化的敏感性。历史波动率
Rho衡量期权价格相对于无风险利率变化的敏感性。利率
Zeta衡量期权价格每变动 1% 时,隐含波动率的变化百分比。
Greeks

影响期权变化的部分因素:

如果看涨期权价值将看跌期权价值将
股票上涨上升下降
股票下降下降上升
股票波动率上升上升上升
股票波动率下降下降下降
随时间推移下降下降
影响期权价值的部分因素

短期期权和长期期权(Long-term Equity Anticipation Securities,简称 Leaps):两者从定义上来看没有本质区别,但是其 Greeks 有着明显的差异性。

长期看涨期权定价曲线(行权价 80)
期权时间衰减的百分比

相对短期期权而言,

  • 长期期权因时衰减是不快的;
  • 买入长期期权的时机把握并不需要像买入短期期权那么精确;
  • 长期看跌期权对股票运动的反应远没有短期看跌期权那么敏感;

长期期权策略:代替买卖股票。

  • 买卖长期期权而不是买卖普通股股票;
  • 使用长期看跌期权来保护已经持有的股票;
  • 使用长期期权而不是卖空股票;

价差策略

价差类别定义
垂直价差(vertical spread)到期日相同但是行权价不同的期权组合。
水平价差(horizontal spread)到期日不同但是行权价相同的期权组合。
对角价差(diagonal spread)垂直价差和水平价差的结合,到期日和行权价都不同的期权组合。
价差的种类

垂直价差策略(vertical spread)

垂直价差策略股票预期具体操作风险与收益
牛市看涨期权垂直价差策略牛市在到期日相同的前提下,买入一份行权价较低的看涨期权,同时卖出一份行权价较高的看涨期权。都有上限
牛市看跌期权垂直价差策略牛市在到期日相同的前提下,买入一份行权价较低的看跌期权,卖出一份行权价较高的看跌期权。都有上限
熊市看涨期权垂直价差策略熊市在到期日相同的前提下,买入一份行权价较高的看涨期权,同时卖出一份行权价较低的看涨期权。都有上限
熊市看跌期权垂直价差策略熊市在到期日相同的前提下,买入一份行权价较高的看跌期权,同时卖出一份行权价较低的看跌期权。都有上限
垂直价差策略

水平价差策略(horizontal spread),也称为时间价差或者跨期价差。

水平价差策略股票预期具体操作风险与收益
牛市看涨期权跨期价差策略牛市在行权价相同的前提下,卖出一份近期的看涨期权,同时买入一份远期的看涨期权。在近期到期日时,都有上限。
熊市看跌期权跨期价差策略熊市在行权价相同的前提下,卖出一份近期的看跌期权,同时买入一份远期的看跌期权。在近期到期日时,都有上限。
水平价差策略

反向跨期价差策略:跟跨期价差的买卖方向相反,但是不常用。

  • 在行权价相同的前提下,买入一份近期的看涨期权,同时卖出一份远期的看涨期权;
  • 在行权价相同的前提下,买入一份近期的看跌期权,同时卖出一份远期的看跌期权。

对角价差(diagonal spread)

对角价差策略股票预期具体操作风险和收益
牛市看涨对角价差策略牛市卖出一份近期的行权价较高的看涨期权,买入一份远期的行权价较低的看涨期权。在近期到期日时,都有上限。
熊市看跌对角价差策略熊市卖出一份近期的行权价较低的看跌期权,买入一份远期的行权价较高的看跌期权。在近期到期日时,都有上限。
对角价差

比率价差策略

可以通过看涨期权或者看跌期权来合成比率价差策略。

比率价差策略股票预期具体操作风险和收益
看涨期权比率价差(ratio call spread)牛市(中性)在到期日相同的前提下,买入 一份行权价较低的看涨期权,卖出 k 份行权价较高的看涨期权(k>1)。收益有限,风险无限。
看跌期权比率价差(ratio put spread)熊市(中性)在到期日相同的前提下,买入 一份行权价较高的看跌期权,卖出 k 份行权价较低的看跌期权。收益有限,风险无限。
比率价差策略

比率选择的方法:

  • 比率价差同卖出比率基本相似:买入实值的看涨期权;
  • 比率价差应该用收入来建立,保证下行方向没有风险;
  • 比率价差应该用 delta 值来建立,也称为 delta 价差;

波动率策略

预期股价有大幅波动,但是不确定上涨还是下跌。

波动率策略股票预期具体操作风险和收益
跨式价差大幅波动在到期日相同的前提下,同时买入行权价相同,一份看涨期权和一份看跌期权。风险有限,收益无限。
宽跨式价差大幅波动在到期日相同的前提下,同时买入行权价不同,一份看涨期权和一份看跌期权。要保证看涨期权的行权价高于看跌期权的行权价。风险有限,收益无限。
条式策略中性到熊市看跌在到期日相同的前提下,买入两份平值看跌期权,一份平值看涨期权,比例为 2:1 的关系。风险有限,收益无限。
带式策略中性到牛市看涨在到期日相同的前提下,买入两份平值的看涨期权,一份平值的看跌期权,比例为 2:1 的关系。风险有限,收益无限。
波动率策略

区间震荡策略

预期股票会在一个区间范围内波动,有明显的支撑位和压力位。

区间震荡策略股票预期具体操作风险和收益
看涨期权蝶式策略中性在到期日相同的前提下,买入一份行权价较低的(实值)看涨期权,卖出两份行权价居中(平值)看涨期权,买入一份行权价较高(虚值)看涨期权。行权价之间应该保持相同差额。收益有限,风险有限。
看跌期权蝶式策略中性在到期日相同的前提下,买入一份行权价较低的(虚值)看跌期权,卖出两份行权价居中的(平值)看跌期权,买入一份行权价较高的(实值)看跌期权。行权价之间应该保持相同差额。收益有限,风险有限。
看涨期权鹰式策略中性在到期日相同的前提下,买入一份行权价较低的(实值)看涨期权,卖出一份行权价次低的(实值)看涨期权,卖出一份行权价次高的(虚值)看涨期权,买入一份行权价较高的(虚值)看涨期权。行权价之间应该保持相同差额。收益有限,风险有限。
看跌期权鹰式策略中性在到期日相同的前提下,买入一份行权价较低的(虚值)看跌期权,卖出一份行权价次低的(虚值)看跌期权,卖出一份行权价次高的(实值)看跌期权,买入一份行权价较高的(实值)看跌期权。行权价之间应该保持相同差额。收益有限,风险有限。
蝶式和鹰式策略

参考资料

  1. Cohen, Guy. The bible of options strategies: the definitive guide for practical trading strategies. Pearson Education, 2005.
  2. McMillan, Lawrence G. Options as a strategic investment. Penguin, 2002.
  3. Natenberg, Sheldon, and Jeffrey M. Cohen. “Option volatility & pricing: advanced trading strategies and techniques.” (1994): 51.

随笔(十二)— 《股票大作手操盘术》- 华尔街传奇操盘手的交易思想和内心世界

近日,在知乎的一次课程上偶然听到了华尔街大亨 Jesse Livermore 这个名字,对金融不甚了解的我去网上查了一下这位大神的传奇人生。

杰西·劳伦斯顿·利弗莫尔(英语:Jesse Lauriston Livermore,1877年7月26日-1940年11月28日)是美国华尔街大亨,被当年的《时代》杂志形容为“最活跃的美国股市投机客”(the most fabulous living U.S. stock trader)。

Jesse Livermore

杰西·利弗莫尔生于马萨诸塞州,自小家境穷困,父亲以务农为生。利弗莫尔在学校很用功,一年内完成三年课业,父亲却要他辍学。13 岁带着母亲给的 5 美元,在波士顿的“潘伟伯公司”(Payne Webber)当擦黑板小弟,利弗莫尔对数字过目不忘,熟记各种股市数据,研读行情。1893年,利弗莫尔 16 岁初涉股市就取得成功,分到 3.12 美元的利润,等到赚 1000 美元后,他辞掉工作,专心买卖股票,以放空出名,有“华尔街大空头”之称。 在 20 岁前,他凭精湛的预测股价走势的技巧,在赌博股票价格波动的赌场里赚钱,许多庄家因而损失惨重,把他拒于门外,他曾多次假手于朋友助他买卖交易,但最后都多次败露给发现;利弗莫尔遂前往纽约,操作纽约证券交易所(New York Stock Exchange)的股票,但一开始投资并不顺利,半年内输光家产。最后他只得向经纪公司借 500 美元,重回波士顿,再赚回 10000 美元。

1901 年,美国股市大涨,利弗莫尔在纽约买入“北太平洋公司”的股票大赚,财产爆增至五万美元。但不久,利弗莫尔再次输光。1907 年 10 月24 日大赚 300 万美元,并引发华尔街股市大崩盘,银行家 J.P.摩根(J.P Morgan,摩根公司创办人)曾致电利弗莫尔请求他停止放空,告诉利弗莫尔恐怕整个股票市场即将被摧毁。随后华尔街股市因利弗莫尔大手平仓而止跌,他感觉自己“那一刻就像皇帝”。利弗莫尔成了华尔街的知名人物。利弗莫尔曾有句名言:“华尔街不曾变过。口袋变了,股票变了,华尔街却从来没变,因为人性没变。”并且认为“投资人必须提防很多东西,尤其是自己。”他随时自省,因为“市场永远不会错,只有人性会犯错”。1908年,他听从棉花大王珀西·汤玛士(Percy Thomas)建议,做多棉花期货,结果惨遭套牢。短短几周内,他宣布破产,还负债 100 万美元,此时罹患忧郁症。 第一次世界大战爆发,利弗莫尔惨赔,积欠 100 万美元以上。1917 年 4 月,利弗莫尔在市场上开始告捷,偿还所有债务。1929 年,华尔街股灾前,利弗莫尔占进先机,预先大手放空所有股票。后大崩盘其间,累积赚取超过一亿美元,当时美国一年税收仅 42 亿美元,当时利弗莫尔拥有全纽约最漂亮的办公室,位于第五大道 730 号,还有私人专用电梯。

利弗莫尔高度自律,他晚上 10 点就寝,早上 6 点起床,开始大量阅读欧洲、美国各地报纸。他尽量少收信,也尽可能不回信。为了掌握行情,他在曼哈顿豪宅、度假小屋、旅馆,以及豪华游艇上都装了股价电报机。他喜欢美女,曾结婚三次,还养了许多情妇。1923 年新年前的星期五,利弗莫尔带着公事包,包内装着一年内所有交易纪录与笔记,在银行经理陪伴下,走进银行金库。接下来的三天二夜,利弗莫尔在五千万的纸钞堆里,仔细检讨过去一年某些交易失败的原因。待到星期一早上他离开金库时,他会在身上的口袋塞满钞票,并在两个礼拜内用掉这些钞票。

利弗莫尔 1900 年第一次结婚,后来炒股破产,妻子 Netit (Nettie) Jordan 不愿变卖首饰支持他炒股,两人感情失和,终于在1917年离婚。他的第二任演员妻子温德特(Dorothy Wendt)嗜酒、花名在外,最后温德特跟他离婚,还把他的财产挥霍一空,又在一次酒醉后,对长子开枪,造成长子残废。家庭生活的失衡,使他因为私人生活问题而致心灰意冷,他多次破产,但也多次从破产中崛起。1934 年 3 月 5 日第四次破产,患有深度抑郁症。他的儿子说服他写书,借此鼓舞情绪,1940 年 3 月,利弗莫尔出版《股票作手杰西·利弗莫尔尔操盘术》(How to Trade in Stocks),但书卖得不好。同年11月他在饭店用晚餐时,留下遗书给第三任妻子Harriett Metz Noble,然后在洗手间举枪自杀。 利弗莫尔的遗书:

“ Cant help it. Things have been bad with me. I am tired of fighting. Cant carry on any longer. This is the only way out. I am unworthy of your love. I am a failure. I am truly sorry, but this is the only way out for me. (忍受不了,所有事情对我来说都很差。我厌倦了抵抗,不能够再坚持下去,这是唯一的出路!我不值得你去爱,我是个失败者,我…真的很对不起,但这个方法是我唯一的出路。) ”

生命中最后一年的长期抑郁症应该是自杀的主要原因。

这位华尔街的传奇大亨的书籍《How to Trade in Stocks》至今被奉为经典之作。下面摘选书籍中部分经典交易法则。

从宏观到微观进行交易的原则 — 关注市场大趋势

原则一,在进行交易之前,投机者必须了解现在的整个大势 — 也就是市场的最小阻力线。他必须搞清楚,现在这条最小阻力线是向上的还是向下的,且这一原则适用于个股和整个大势。在交易之前你所要明白的最基本的事情就是整个大势何去何从,是向上,向下还是震荡。在最终决定交易之前你必须要搞清楚这一点。如果现在整个大势对你不利,那么你现在在做交易就是非常吃亏的 — 要记住,你应该跟随趋势,顺风而行,千万不要逆市操作,而最重要的一点是 — 千万不要跟市场争执!

原则三,只交易强势板块中的强势股票。在任何工业板块中,只买最强势的龙头股

原则六,在你买股票之前,在你买股票之前,你必须提前清晰地想好,如果股票走势跟你对着干,那么什么时候你必须清仓,也就是设定一个明确的止损点。更关键的是,你必须遵守事先制定的规则。

原则七,市场里成功的交易员只应该参与那些胜率最高的投机机会。一开始先用小头寸试单,看看你的判断是否正确,之后再不断加码。千万不要一次性建仓 — 用试单来确认判断和时机,同时寻找最小阻力线。试单的方法同样也是”资金管理“的重要组成部分。

原则八,如果出现了”出人意料“的情况,交易员必须马上作出反应。这种情况是你根本无法预测的。如果前面出现一个送钱的机会,那就抓住吧。如果出现一个坏消息,那就赶紧跑,千万不要回头看,也不要犹豫 — 赶快清空自己的头寸。


资金管理的原则

原则一,设定止损点!千万不要亏掉 10% 以上的本金!如果你亏掉了 50%,你需要赚 100% 才算回本。

原则三,每隔一段时间就把账面盈利变现。把你的盈利中的一定比例从市场中提取数来,放在一个安全的地方。

原则四,你必须仔细检查并且理解时间的含义。

时间并不是金钱,很多时候你就应该把钱从市场里面拿出来,放在一边。时间是时间,钱是钱。这个时候你没有把钱挥霍掉,等将来时机成熟你就可以再拿来投资,也许会大赚一笔。所以你要有耐心,耐心是成功的关键。千万不要凡事匆匆忙忙的。

原则五,千万不要急。那些成功的投资者不会时时刻刻都在市场里面投资的。很多时候你都应该完全持有现金。如果你不确定市场的走势,那么就待在场外吧,等下一波行情确认了之后再行动。

原则七,将亏损的股票卖掉。如果所有的风险因素都对你有利,就让赚钱的股票奔跑。

情绪控制的原则

原则一,情绪控制是市场中生存的最关键因素。

原则六,小道消息有各种各样的来源 — 可能来自某个亲戚,你的爱人,或者是一个深度参与了某项投资的朋友,这个朋友希望有钱你也一起赚。不过小道消息也可能来自不发推销员或者罪犯。你要记住:

所有小道消息都是非常危险的—所以最好不要去打听小道消息。

原则八,必须时刻留心你的情绪 — 千万不要因为赚了钱就洋洋自得,或者因为亏了钱就非常沮丧。你必须要达到那种“泰然自若”的状态,能够掌控自己的行动。

原则十,你必须时刻准备好一套投机方法,就像是一个攻击计划。同时,你必须严格按照计划行事。千万不要经常变更自己的计划。找到一个从情绪上和思维方式上跟你吻合的交易模式,并且坚持按照这种模式去交易 — 也就是说,根据适合你自己的方法交易。

原则十二,准备好孤军作战。拿自己的钱投资,就要自己做决定。你交易的时候要保密,不要到处跟别人说。不要公开你赚的钱或者亏的钱。

原则十三,成功的投资者不会每时每刻都在市场里面投资 — 很多时候你就是应该完全清仓,持币观望。如果你不太清楚市场的走向,那就请你暂且等待吧。

原则十五,要想成为市场里面的超级交易员,你需要把以下四点做成极致:
1. 观察力 — 能够不佳偏见地观察市场里面的情况;
2. 记忆力 — 要能够准确客观地记住发生过的重要事件;
3. 计算能力 — 要对数字敏感,跟数字打交道感觉非常舒服;
4. 要有经验 — 能够记住教训,从过去的经验中学习;

之前的经验造就了我们。

原则十七,要随时当心自己的无知 — 你必须要不断地研究和学习时长,不要马马虎虎,而是要深入下去,要做到学富五车。虽然股票市场看上去赚钱又快又容易,很多人因此就傻乎乎地把钱投入到股市中,乱来一起,他们做任何别的事情的时候都不会这样不小心的。那么无知的反面就是渴求知识了。确实,知识就是力量。

原则二十,如果行情走势跟你买入卖出的决定不相吻合,那么久等待一下,直到你与它“吻合”为止。千万不要歪曲行情,自欺欺人,给自己的头寸找借口。

原则二十一,不要接受或者传播小道消息。

原则二十三,千万不要坚持持有下跌的股票,不要“炒股炒成股东”。

原则二十四,千万不要在炒股回调的时候买入,不要再反弹的时候做空。

原则二十六,投机也是一门生意,就像所有其他的生意一样,想要成功,就必须刻苦努力,非常勤奋才行。

随笔(十一)— 一个勤奋的人是如何渐渐的丧失斗志的?

一个本科生 XX 毕业之后充满理想的选择攻读博士学位,导师给他描绘了一个宏伟蓝图,做出来必定发 Annals of Mathematics / Invention Mathematicae,所做的每一件事情都可以推动学科的发展和进步,成就感和使命感都爆棚的那一种。

科研之后 XX 每次需要和导师探讨问题的时候,导师总说这个问题该自己思考,多思考才能有结果。然后读博三年期间导师几乎没有任何过问,事后解释起来要给学生独立发展的机会。第三年结束之后学生 XX 拿出来一个结果给导师,导师说不能发表,也不准挂 arxiv,继续往下做就行了。结果一年后看到导师的另一位学生在某杂志上发表了相同的结果,期间 arxiv 上没见过任何预印稿。

事已至此,XX 毫无办法,只好继续做出来进一步的结果。此刻,导师又说不忙发表,我这里会有博士后的位置,到时候再发表就行。于是学生 XX 就只好安心写毕业论文,等写好毕业论文提交系统之后,导师又说我这里的博士后没有了,你先回国休假吧。于是,XX 过上了没有薪资还要干活的苦日子。好不容易到了毕业那一天,导师说 XX 你要么就去巴西博士后,要么就不要留在学术界了。此时 XX 已经看透了学术界的本质,最终 XX 离开了学术界,极其不爽地去找了一份和科研毫不相关的工作。

过了一年,导师的另一位学生拿着这个课题弄到了青年基金。又过了四年,又是另外一位学生把 XX 博士论文其中的某些章节拆开重新发表,写了一篇极其 trivial 的论文,在此期间 arxiv 同样没有任何预印稿。

慢慢地 XX 接受了这样的人物设定,慢慢地 XX 确实淡化了对数学科研的期待,但慢慢地 XX 也看淡了所谓的科研过程。

石头丢进水里连水花都不溅,只有淡淡的水波, XX 就连石头都懒得丢了。

“就这样吧”,在以后的日子里,XX 对科研说,爱过!”

随笔(十)— 某高校的游戏零容忍政策

知乎热榜

近日,在知乎热榜上出现了一个问题,某高校要求大学生成年人在校期间不准玩游戏,否则取消班级荣誉和福利。

在 2005 年左右,当年的手机还是 Nokia 的时代,移动端的娱乐方式并没有现在那么丰富。大家的娱乐方式通常来说就是聚在一起打扑克,或者在一起玩电脑游戏。当时比较风靡的单机游戏是暴雪公司开放的魔兽争霸,网络游戏也是该公司开发的魔兽世界。而大一的时候,绝大多数人还没有拥有自己的个人电脑,于是为了玩这些游戏通常都只能够去浦口大学门口的多瑙河网吧,因此一些人就出现了白天上课,晚上包夜的情况。也许是刚20岁出头的年纪身体比较好,到了30岁左右的时候,想通宵熬夜就是一件很困难的事情了。有趣的是,当时一个宿舍会有四个人,一旦有一个人开始打游戏,通常都会带动整个宿舍的人一起玩。

南大浦口的多脑河网络

而学生的想象力总是无穷的,总能够挖掘身边无数的资源,变腐朽为神奇。除了浦口大学门口的多瑙河之外,其实学校内部也有机房。当年大一的时候,数学系总会开设 C++ 编程设计这门课,既然是编程课,那么就需要上机实验,因此玉辉楼的数学系机房就是一个还不错的环境。不过既然是机房,那么它的硬件设施就肯定没有外面的网吧好。但是,机房总是免费的,于是就有一些同学会选择在机房玩一些小游戏,当年的几十台机器还是能够择优选择出几台机器可以运行 Diablo II 的。

南大浦口的玉辉楼

在 PC 游戏的时代,如果辅导员或者科任老师如果想抓学生玩游戏,只需要去网吧和宿舍转一圈,如果晚上没有去自习,基本上在宿舍打游戏的概率会很高。但是,目前是手机游戏的时代,除非这位老师有本事把成年人的手机全部没收,否则成年人只需要换个手机,换个电话号码,开个小号就可以解决问题了。手机的携带比电脑的携带方便太多了,只需要找个远离学校的地方就可以随便打游戏了,而且还不留下任何证据。

当时笔者还在本科的时候,身边也有那么几类人:

  1. 从来不玩游戏的:这条措施对他们来说完全不在乎;
  2. 合理安排游戏时间,能够做到游戏和学习均衡的:这条措施对他们来说有着致命打击。本来这批学生看待游戏的态度就是娱乐放松,玩游戏并不会影响每次考试 90 分,更加不会影响这批学生拿奖学金和顺利毕业。
  3. 绝大部分时间用来游戏的:其实这部分学生才是需要辅导员和科任老师需要关注的对象。如果只是本科的话,辅导员和老师应该好言相劝,同时想点办法让他们花点时间学习,也想尽办法让其本科毕业。只要能够让这批学生按时毕业并且拿到学位证,其实玩不玩游戏也没那么重要了。毕竟这批学生的绝大部分时间都用来玩游戏,最终的学习成绩可能也一般,不是奖学金的有力争夺者。但是,保证他们中的绝大部分能够正常毕业是一件非常重要的事情。

在大学本科期间,笔者也玩单机 PC 游戏,其中包括实况足球,魔兽争霸,暗黑破坏神 2;到了博士期间笔者也跟身边的博士生一起在玩暗黑破坏神 3,炉石传说,极品飞车等游戏。但是,玩这些游戏的同时并不影响笔者能够从学校正常毕业,不影响拿奖学金,更加不影响笔者未来在职场上的工作。直到今日,每周五晚上笔者都会跟身边的同事玩一玩王者荣耀放松心情。如果没有游戏的话,很难想象如何从枯燥乏味的学习,科研,工作中解脱出来。如果完全取消游戏的话,可能只能够去游泳健身了。读博的时候,笔者有一位师兄,属于少数的能够通过游戏赚钱的玩家,但是玩游戏这些事情并不影响其能够博士毕业,更加不影响他在未来的工作中取得很好的业绩。

暗黑破坏神 3

在当今社会的学习和工作中,绝大部分人都会觉得枯燥乏味,毕竟学习是一件苦差事,工作有的时候也会是一种煎熬。在这些辛苦的过程中,游戏可以给人带来一些安慰,让一个成年人的身心感到没有那么艰难。毕竟对于成年人来说,生活本就已经如此艰难了,为什么不能够通过游戏寻找一些乐趣呢。

部分家长的言论

现在有不少的家长也会说,不要让孩子打游戏,在大学期间要好好学习。这些当然没错,但是家长们自身也要做好榜样,一边喊着让孩子好好学习,一边却在打游戏和刷短视频,对孩子而言实在是没有任何说服力。最好的是家长也要做好榜样,除了日常的工作之外,在业余时间也要花时间充电,学习除了本专业之外的其他专业知识,做一做高数的题目,例如研究一下机器学习和金融数学等知识。言传身教,对孩子的教育可能会更好。

Terence Tao 的博客

回想起来,当年打游戏的那些同学毕竟学习成绩一般,毕业之后早早投身工作岗位,赚钱买房养家。学习好的那一批人出国留学,结果回来之后房价大涨,错过了发展的红利。所以,有的时候在某些专业上一直拿奖学金,出国搞科研也不见得是一件特别好的事情。对于一些学习好的同学而言,并不适合搞科研,只是纯粹的学习好而已。

之前读博的时候,听一位老师说过一个想法,可能是他真实想法的体现。在 2000 年左右出国的那一批人有的时候心里特别不平衡。因为 2000 年能够出国攻读生物/化学博士的,都是当年的佼佼者,必须要有足够的学习能力,英语能力,科研能力才能够出国。学习成绩一般的同学就在国内发展,买房娶妻生子。结果 20 年后回头一看,留在国内发展的同学随着发展的红利,资产不知道增值了多少倍;留在美国发展的同学,其实资产和收入的涨幅却没有那么大,而在美国一直做科研的瓶颈也会十分明显。到了 2010 年之后,出国的那批学生有一部分在出国之前就知道自己肯定会回国了,到了 2020 年,可能大部分留学生最终都会回到祖国。每一代人对于出国这件事情真的有着完全不同的理解。

深圳房价变迁图

对于很多学生而言,只需要能顺利毕业和找份工作就可以了,至于有没有奖学金和班级荣誉对他们来说无关紧要的,因为这些本来就是为少部分人准备的。大部分人在基础科学的道路上都是陪跑者,只是陪跑到什么时候而已,有可能本科就结束了,有可能直到博士后才会结束。

最后给个结论,对于本科生,硕士生,博士生而言,用全部的时间打游戏肯定是不行的,无论如何都要想正规办法毕业,拿到毕业证和学位证,毕竟从整个社会的大盘来看,华东五校的毕业生还是属于名校生的。

随笔(九)— 师门轶事

导师篇:

  1. 有一次在办公室跟导师聊天,导师问:“初来新加坡,你的住宿条件好不好,有没有空调?”听到这话我心想导师那么关心学生生活,深受感动,连忙说:“住宿条件一般,暂时没有空调”。导师说:“这样不行啊,没有空调不方便熬夜工作”。我继续说:“白天工作就好了呀”。导师说:“我见过的数学家都是要熬夜工作的,无一例外,白天杂事繁多,夜晚夜深人静适合思考数学”。
  2. 导师说:“每个 PHD 刚来学校的时候,其实我前三年都没怎么管,是因为想看一下学生独立发展能够发展成什么样,了解一下学生的数学能力极限在哪里。”于是,师兄们的毕业年限纷纷变成了 6 年,7 年, 8 年。前三年导师也没有跟我交流过太多论文技术,博士第四年才给我些许帮助,可能也是想看看本人的极限在哪里。后来我独立证明了一个 Real Bound Theorem 也就知道自身的极限大概是哪里了。
  3. 有一次我讲讨论班,自我感觉准备充分,但是讲的时候总是被打断和提问。导师回头就说:“讲讨论班的时候,不要让台上的人觉得很舒服,一定要让他觉得很难受”。还有一次我讲论文,刚说了两句话。导师说:“作为一个搞过多年数学的人,一听你这几句话,就知道你没有懂”。有一次我说我貌似得到一个新的结果,刚讲解了几句,导师就发现了问题,立刻说:“目前你都是一个 PHD 了,怎么还能写出这样一个数学公式”?
  4. 在某次聚餐上,导师说:“目前二师兄已经写好论文了,大师兄应该很快就把论文写好了,三师兄再努力一下搞一年”。然后回头看了看我,说:“你还有很多年”。事后来看,本人博士第四年努力了一下,总共花了一年时间就把论文交上去了。
  5. 同样是一次聚餐,导师问我们师门几人:“你们几个最近每天花在科研上的时间有多少,是一个小时还是两个小时?”大家顿时沉默不言。当时我阅读了一本关于拖延症的书籍,确实也按照书中所说治疗本人的拖延症,每天至少也有三个小时投入写论文中。我就如实告知导师。导师立刻说:“三个小时是肯定不够的,但是这个应该不算太差”。
  6. 在交了毕业论文之后,原本是按照导师计划留在本校做一段时间的研究员,但是导师当天突然告诉我没有给我申请相关职位,于是我就瞬间没有资金来源了,只好安心回家度假。当时想想也算好事,回家过年也算是一大喜事,毕竟留学五年也没有机会回国过年。有一天,系里面突然联系我,让我提供论文中的一些细节和证明。但是我的心里真的是无数 XXX 呼啸而过。看在还没有毕业的份上,即使没有任何收入也只能静下心来补充数学证明。
  7. 在本人的毕业聚餐上,我表达了以后不继续做动力系统的想法,导师和答辩老师都说:“学了数学的人搞不了其他的,只能继续从事数学研究”。当时我就不以为然,觉得自己肯定能够做其他事情,但是修改论文一直在耗费我的时间,也没有努力学习转行技能,当时确实又不知道可以做什么。在最后一次见面的时候,导师跟我说:“如果想回数学界的话,两年内基本上还是可以回来的”。并且导师也跟我的同学表达 XX 未来肯定会回到数学界。但是,我后来找到了一份工作,日常搞搞机器学习和金融数学,最后就不考虑回数学界的事情了。

师兄篇:

  1. 有次一个日本教授来新加坡访问,我们问:“跟他是不是只能说日语了?”二师兄立刻回答:“不要紧,你的三师兄一直都会几句日语”。 但是我回想很久,一直都没有听过三师兄说过日语。
  2. 在大师兄的毕业答辩上,有一个国内的教授问我:“你打算什么时候毕业,是不是明年?”我当时恰好把论文写得差不多了,立刻回答:“我打算今年就交论文毕业”。回想起师兄们的 6 年,7 年,8 年,当时觉得自己真的是毕业神速。
  3. 大家有段时间都在办公室里面玩暗黑 3,基本上是有时间就会开始打游戏。有一次三师兄突然告诉我,玩游戏卖装备已经回本了。于是,三师兄在我心目中一直就是游戏大神的形象。
  4. 在二师兄毕业了之后,在新加坡的就只剩下大师兄,三师兄还有我。有一段时间我们三人为了努力毕业,每周六早上都会去办公室搞讨论班,虽然我也听不懂师兄们在聊啥,但是也只能假装很有兴趣,因为毕业是头等大事。
  5. 在帮大师兄拿毕业证的时候,心想大师兄经过八年的辛苦工作终于毕业了。于是想到自己还没有一个合适的结果,拿学位证遥遥无期,顿时觉得心情十分低落。

(持续补充)

《我的几何人生》— 丘成桐

最近在看丘成桐先生的自传《我的几何人生》,书中有不少的数学内容,也有很多有意思的事情。下面整理了一下部分内容,欢迎大家一起来阅读。

萨拉夫可说是我第一个遇上的懂得当代数学的人,他用“美式风格”讲授常微分方程,鼓励学生在课堂上提问和投入讨论。这种方式对中国学生(包括我)来说,是非常不习惯的,我们一直被要求安安静静地听课,不可打断老师的话题。萨拉夫这种自由奔放的教学风格,比较随性和自然,但有时也会在讲课中间碰到困难,呆立当场。在这些场合,我就会出手相助了。如此一来,我很快便引起他的注意。有时觉得可以时,他就让我上一部分课。我也常常到他家中,帮他准备讲义,或提出不同的解题方法。

崇基体育部的主任卢惠卿也是伯克利来的,她力劝萨拉夫罢手,说坚持下去只会令情况更糟糕。她知道我家缺钱后,提议挣钱的另一方法,就是给校内的教授教太极。教员中很多是老外,对太极这国粹并不了解。坦白讲,太极并不是我的强项,但借此挣点钱也算轻松,我很感激卢的安排。

来伯克利之前,我自以为了解拓扑学,它研究最广义下物体的形状以及分类,但代数拓扑课提供了全新的角度,把拓扑问题化为代数问题处理。开始时有些紧张,因为学生比以前上课时更加投入。我没有打算说很多话,但其他同学则踊跃发言,似乎头头是道。几个星期后,我把课本(就是Edwin Spanier本人编写的)看了一大半,发觉大部分同学都是在吹牛瞎说。

可是到了1970年8月他从普林斯顿回来,情况就不同了,他戏剧性地提议我改变方向。普林斯顿的安德雷·韦依(André Weil)是声望极高的数学家,陈师在那里跟他谈了一次,十分兴奋。韦依指出,当前数学的发展,已使数论上著名的黎曼猜想变得只有一步之遥了。1859年黎曼提出了他的猜想,用以解释质数不依常规的分布。伟大的黎曼三十九岁就英年早逝,他没有给出答案。超过一个世纪之后,人们还不知这猜想的对错。陈先生期望我能破解它。我正急于定下论文的题目,陈先生催促我立时开始工作。毫无疑问,这是个极具挑战性的难题。出于个人的品位,我对几何问题的兴趣远比对解析数论的大。研究大问题往往要花上几年时间才能取得进展,必须靠激情始能坚持下去,因此我不为黎曼猜想所动。也许我的本能反应是对的,黎曼猜想至今尚未破解。

就在这时候【保钓事件】,陈先生生病住院一个月,我和一群中国学生去医院探望他,却对他讲的一番话感到愕然。他并不赞成我们政治上的行动。虽然他和杨振宁等知名人士联署了一封信,刊登在《纽约时报》上,内容和游行学生所说的大同小异,但他劝我们立刻停止行动。他说:“人生不外名与利,学生运动两者皆不达。”……在那一刻我理解到,即使陈先生和我的价值观并不相同,但我也可以从他身上学到许多东西,当然也要正确地看待他或其他人的意见。我相信他是为我着想,可是说到底,我还是要依靠父亲的教导立身处世。

项武义是系里的年轻教授,陈先生很喜欢他。有次他请我到他家出席隆重晚宴,开始时并不知道那是有所图的,他打算将他太太的亲戚介绍给我。当我知道后,便开诚布公对他说我心中另有所属。项武义很失望,当然此乃人之常情。我知他是一番好意,但这些事情也不是能敷衍以对的。几年后我从一些日本数学家口中得知小平邦彦的故事,小平是日本首位菲尔兹奖的得主。他们有位朋友是小平的学生,小平要这位出色的年轻人迎娶他的女儿。那学生心想如果拒绝的话,必定会触怒大师,于是只好乖乖答应,成为小平的东床快婿了。不久之后,我搬到东岸去。武义的兄长项武忠是耶鲁的数学教授,后来转到普林斯顿去。他请我吃晚饭,到了晚饭时才知道他夫妇想撮合我和他们的一个亲戚,当我告诉他们我心中已有人时,他和武义一样显得很失望。从一方面看,能够受邀结识某人的亲友,从而发展一段浪漫的关系,自是受宠若惊之事,但事情如此了结,使项氏兄弟不悦,似为未来之麻烦定了基调。

我从约翰·米尔诺的书《莫尔斯理论》学到很多关于这理论的内容。很惊讶莫尔斯本人非常讨厌这本书和它的书名,说它应该叫《极限点理论》才对。传说莫尔斯收到这本书后,随即把它撕烂并扔进垃圾箱,他认为只有自己才配写这题目的书。这种反应好像过激了一点。但我个人对莫尔斯倒没有什么看法,他和他的夫人都挺和善。为了保持良好的关系,以免他发怒,我小心翼翼地不让他知道,我是多么喜爱米尔诺的书,并且从那儿学到不少几何知识呢。

前面提过的项武忠也来了,他是和我同一年到高研院的。他似乎有一种与生俱来的能耐,不用刻意做就能冒犯别人。我也是他这种“天赋”的受害者,不过我不会放在心上。项太太却是十分和气的人,她不断补救丈夫的过失,纵然如此,在下认为她只有部分成功而已。

【尼克松宣布次年访华】莫宗坚不理会众人苦苦劝告,1972年他回国了。他把所有家当都丢在美国,就连车子也是,他要平价卖掉却一时之间找不到买家。可是半年后,他就决定跑回来。或者他和其他人一样,被当时贫困的生活环境,还有微薄的收入惊醒了美梦。很不幸,那时在美国找事情也不容易。项武忠打电话给宗坚的论文导师舒里南·阿比安卡尔(Shreeram Abhyankar),帮助他把原来的职位找回来,因此项跟我说他是莫宗坚的衣食父母。

我在石溪教书,第一门课是初等微积分。和在伯克利当研究生时的遭遇一样,我又面对了同样的困难,我的口音太重,学生听不明白。第一个星期之后,班上的人数剧减,有的退选了,有的转到其他组别去。到了最后,原来四十人的班,只有四个留下来。虽然如此,这四个学生到了期终考试,成绩都好到不得了,他们高兴地请我吃晚饭以示庆祝。经历这次磨炼后,我算是通过教学的测试了。

刚刚看到卡拉比猜想时,我正在伯克利的数学图书馆看书,这个问题立时把我抓住了,我有一种强烈的意愿,不管它对不对都要把它解决,我无法抽身离去。陈先生明显无此感觉,他有他自己的兴趣,自己关心的东西,但不知是何原因,他对这问题始终提不起兴趣。

次日早上,我往数学系看伍鸿熙,中途被项武义招到他的办公室。为了迎合他的口味,我告诉他自己近期的工作,利用微分几何中的偏微分方程解决了一个拓扑问题。项武义不以为然,说结果显而易见,用拓扑的方法便足以证明。同样的偏见,曾出现在以后的研讨班中。那次陈先生让我主讲,主题便是用微分几何来解决纯粹拓扑的问题。当时听众有五十多人,大家聚精会神听我讲一个新的用微分几何研究群作用的理论。项武义站起来,说:拓扑学者不需要几何学者来帮忙解拓扑问题,说罢就在陈先生和其他人的面前,拂袖而去。于是,项武义在办公室的黑板上勾写他的做法,即如何不用几何去解决拓扑的问题,可是差不多过了一个钟头,还是没有找到头绪。他突然离开办公室,说要上洗手间去,可是过了大半个钟头,还没有回到办公室来。我只好和伍鸿熙吃饭去了,此后未闻项再谈此事。

在这些故事中,钟开莱对华罗庚每多溢美之词,早年他曾随华学习,而对陈则没什么好话。从这些交谈之中,再加上后来的四处打听,我知道了陈、华不和的部分原因,他们的交恶对整个中国数学界都有负面的影响,对我个人而言亦复如是。根据钟开莱讲的故事,华罗庚是别人眼中的天才。他生长在贫穷的家庭,没受过什么教育,光靠自学,竟破解了数学上好些难题。陈省身终究成就更大,但这是后来的事了。陈并没有经济上的困难,他父亲是个法官,但华的父亲只是个店员,家境并不富裕。1941年,中国政府成立了国家科学大奖,第一届的得主是郭沫若和华罗庚。这个奖类似于美国的国家科学奖,由国家领导人亲自颁发。当时两人住在一起,可以想象这是对陈的打击。随着岁月的推移,陈的愤愤不平也许愈来愈盛,因他从未得过这荣誉,而说故事的钟开莱,其贡献当然未堪与陈比肩,但也得了个银奖。陈、华之争,原来起自芥毫的差别,但随着岁月而加剧。据在下观察,纷争容易形成,但难以化解。有时直到当事人皆不在世,纷争都不见得消散。……钟为人孤僻,和系里其他人相处不来。他和萨姆·卡林(Sam Karlin)都是研究概率的,但从来不闻不问。

贝利在研究某个数学问题,想知道写出一篇高质量的论文后,如何在具审稿制度的学报上发表,因此向师兄求教。“做数学就像是和女孩子睡,”老大哥如此说,“第一次或许有点儿麻烦,但下一次就会顺利得多了。”我不会这样说,但师兄的话或许真的见效。

1974年春天,陈先生邀请我到伯克利演讲。出生于俄罗斯的数学家米哈依尔·格罗莫夫(Mikhail Gromov)被视为当世最杰出的年轻几何学者之一,他正初次访问伯克利,伯克利待之为上宾。在六个月前,我曾和格罗莫夫有过一次不甚愉快的经历。那一次我用几何分析的方法证明了某个空间具有无限的体积,格罗莫夫却说我的证明一定不对。我并不能肯定他是否了解我采用的方法,无论如何,这结果经得起考验,绝没有错。这次在伯克利讲的是另一主题,就是在几何空间中的“谱”,即空间变形时产生的共鸣的、振动的频率。原则上,它和敲打鼓面变形时产生的一系列频率相似。格罗莫夫和上次一样中途发难,宣称我采取的研究路线根本不对。这次我的做法,就如上次争辩中的做法一样,非常倚重非线性偏微分方程,而格罗莫夫并非这方面的专家,或者他只不过是弄不清楚那证明。但他并没有要求我解释明白,而是嚷道我的理论有严重错误。他对我说话的态度,好像我是个差劣的学生,没有好好地做作业。在研讨班上,他花了不少时间来表达对内容的不满。说到底,据我揣摩,是他不认为几何分析值得发展。他坚信任何几何上的定理,都必须用直观几何的方法来证明,不能用拓扑或图形解释的方法,而我不这么看。整个几何分析正好建基于这信念:深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外,还需要加上大量分析的方法,尤其是新近发展的非线性分析的工具,并由其成果支撑。我也很希望从现代物理学和工程学上学习到新的工具和理念,四十年来的经验,显示这是正确而且丰富的想法。这次研讨班不算成功,格罗莫夫不断高声质疑,它怎可能会好。不过,其后我把证明详细地再讲给他听,并答复了他一次又一次的问难,终于把分析的方法化作纯粹的几何术语,阐明了上述空间有无限体积。他最后也释然,对结果默默接受了。几年后,他将我的几何解释应用于其他几何问题上,他的追随者甚至将这些结果冠上他的名字。

后来我和比尔·瑟斯顿也有类似而和谐的交流。瑟斯顿和我同时期在伯克利当研究生,他在几何和拓扑上扬名世界。瑟斯顿看待几何学,就有点像用细小的片片,如乐高般嵌成整个几何的空间或流形,从而勾勒其内部的结构。我则采取差不多相反的做法,利用微分方程来开启物体的内在结构和总体的拓扑。两种理念非常不同,却殊途同归。必须重申,瑟斯顿想得透彻而具原创力,他的论证不必时时详尽清晰,其理念却对数学有深刻而长远的影响。

我写了封信给项武忠(他当时刚从耶鲁转到普林斯顿),问他我可否在普林斯顿以斯隆学者的身份至少待上半年。几天后,他告诉我数学系并没有足够的办公室。时隔多年,人也比较世故了,知道项武忠和其他人如果愿意我来,办公室总是可以找到的。我写信给系主任可能有不同的结果,但已经太迟了。依靠相识的人是个错误,因你不知道他是否欢迎你。(不无讽刺地,几年后情况完全改变了。普林斯顿的系主任请项武忠打电话来,说要请我去当教授。我当下推却了。那不是报复,只是当时还不是去的时机。)

但是,好些代数几何学者对两个代数几何上著名的猜想同时被破解并不高兴,因为我并未用到任何这领域中的标准方法。但芒福德和其他人不一样,他思想开放,两年后哈佛要聘请我,部分原因或许在此。

【1978年】我先后三次跟他说要离开伯克利,但他拒绝相信。我不想他不开心,但经过多月的反复考虑,我最终下定决心离开。从这刻开始,陈先生对我有了不同的看法。虽然我感到在此之前,已经有人在挑拨生事,离间我们。记得几个月前一次晚餐,项武义在我和陈先生面前,谈起陈先生最近的一次中国之行。他问陈先生有没有跟别人说,我在解决了卡拉比猜想之后,成就已超过他了呢?陈先生听了之后非常意外,一下子脸都红了。我如坐针毡,浑身不舒服。虽然我极力解释先生的工作对我来说,高山仰止,怎敢比较,但还是怕陈先生怀疑我在他背后有此想法。有些人想尽办法使陈先生反对我,这只是一个在我面前发生的例子而已。

吴文俊在法国留学,以在代数拓扑学中引进“吴类”成名。他曾经受过陈先生的栽培,长期跟华罗庚不和,他们之间的矛盾导致中国科学院数学所的分裂。当时吴正在创立一个新的独立于数学所的数学研究中心,即系统科学研究所。数学所是由华创立的,作为一个纯数学的拓扑学者,对应用数学所知不多,却去建立系统所,确使人大惑不解,由此可见华、吴矛盾之深了。

一天,有个曾师事吴文俊的学者登门求见,并出示他写的一篇论文。我没时间细看文章,只是随口说它不错。但吴即向有关领导报告,说我认为这学者做出了重要的工作,值得拿一个国家级的奖项。华的一些同事,对此感到不快,觉得这人的工作不值得这个奖项。他们找到了萧荫堂。萧坚持要我上书,纠正我客气话导致的错误。我本无意做这种烦恼事,只是经过萧多次游说后,才勉强上书说明,这项工作不值得国家级的奖项。事情在最后关头才起波折,这位学者当然甚为不快,为一年后一次激烈的争辩埋下伏线。

【1980年】吴文俊的门人又登门求见了,他咄咄逼人地要求我推荐他拿一个重要的奖项,我拒绝了,大家便争吵起来,愈来愈激烈,以致我的血压飙升,差不多要昏倒了。经此可怕的一幕,当地负责接待的老一辈数学家小心翼翼,不让我再受到不速之客的骚扰。一天晚上,陈先生在晚饭后,请了十位受邀来华的重要客人参加茶会。他先请各人坐下来,听取大家对中国数学现状的看法。他批评华罗庚领导的数学所,尽管那是中国数学主要活动之处,并敦促把它关掉。他提议在座十人联名上书,吁请中国政府把数学所永远关闭,话毕全场鸦雀无声,于是他又重复说了一遍。最后,我打破缄默,说:我们都是中国请来的客人,我们只是来访问,不宜喧宾夺主,这样做不恰当。博特同意我的看法,其他人也纷纷表态支持,对陈先生的提法都不愿沾手。

博雷尔要求我把专题年的讲话和文章编为两册,一册和微分几何有关,另一册则是极小曲面,由普林斯顿大学出版社出版。我把两册都差不多编完了,可以付印。六十多页有关几何分析的导引,主要是在霍普金斯医院等候时写好的。我主编的有关微分几何的那册于1982年面世,有关极小曲面的那册,我也已经准备好了。但是有一天,邦别里跑到我的办公室来,要求他做主编。我将全部收集来的文章交给他,没有想到他拖了两年,才原封不动地交给出版社。由于长期的推迟,很多作者对我颇有微词。

在多次访问中,我认识了迈克尔·弗里德曼(Michael Freedman)。那时弗里德曼还是系里的年轻小伙子,正在努力破解四维空间的庞加莱猜想。我们曾经多次讨论这问题,有时就在他家后院的游泳池里面或者旁边。普林斯顿的好些拓扑学者对弗里德曼的方法不以为然。他们倾向于运用米尔诺创立的割补手术技巧,我却对弗里德曼的方案感兴趣。他利用一种叫Bing topology的方法。当工作接近尾声时,我问他结果可否在JDG上发表,他同意了。普林斯顿的人很快便发觉他们要错失成果了。他们断言,文章应该在普林斯顿出版的《数学年刊》上发表,这是天下第一的数学学报。那里的拓扑学家比尔·布劳德(Bill Browder)以及他的同事项武忠都打电话给我,说拓扑学中最好的文章应该在最好的学报,即《数学年刊》上发表,这才是正路。但我不为所动,平静地解释说,已经跟弗里德曼谈过多次了,这是他的决定。如他要撤回文章,我会二话不说立即应允。在最后关头,我跟弗里德曼说,他的文章对JDG十分重要,会大大提升学报的地位,由此也对微分几何这科目有利。这些话最后令弗里德曼没有改变初衷。他的论文《四维流形的拓扑》于1982年发表于JDG,并凭此文获得菲尔兹奖。为了此事,普林斯顿大学《数学年刊》那些人对在下颇有微词,纵使我在高研院上班,离大学只有不到两公里。

我让学生组织了一个研讨班。有些上了年纪的同事却嘀嘀咕咕,他们认为高研院只需要高级研讨班,讨论最新的进展。但我不这样看,培育后进也应该是研讨班的目的。他们又投诉学生讨论所引起的嘈杂声,其实最吵闹之处只在我办公室方圆之地、学生聚集之所。这使我回忆起小时在香港,邻居也曾因父亲教授自己和附近的小孩诗词而抱怨。人常常为这样或那样的事情恼怒,但无论如何,年轻人为学习数学或诗词的热情,都不应当是抱怨的理由。

大概一年后,华罗庚的弟子钟家庆来访问普林斯顿。我提议他跟莫毅明一起,研究某些复几何上的问题。在我的指导下,他们进展良好,并得到一些有趣的结果。可是,正如前面说过,萧喜欢和我竞争较量,当他知道我在指导莫和钟的合作,有时也加入时,就紧张起来了,他建议莫不要和我合作。从那一刻开始直到现在,我再没有和萧或他的弟子合作。这样的结局使我不快。萧荫堂是位卓越的数学家,我们曾一起做了些好的工作,如果能继续下去该多好啊。在这期间,我和萧荫堂又另有瓜葛。彼得·萨那克(PeterSarnark)是菲尔兹奖得主保罗·科恩(Paul Cohen)的学生,毕业之后一直留在斯坦福。科恩希望在短短几年之内将他提升为正教授,这是十分不寻常的,萧托我向普林斯顿的同事朗兰兹寻求专业意见。我不想应允,一方面我不认识“萨那克,另一方面我不熟知萨那克专精的那类数论。可是萧找了我多次,我不得不向朗兰兹求助。萨那克毕业没几年,朗兰兹并没有觉得萨那克的工作有多了不起,这是可以理解的,于是我把这些颇为草率的意见转告了萧。不久之后,就传来在斯坦福的一次系务会议上,有人说我反对萨那克的升职。真相是我什么都没说过,只是在反复的要求下,转达了朗兰兹的某些初步看法而已。这样一来,得罪了一向和我关系不错的科恩,另一方面也搞砸了和萨那克的关系,他们都说升职一事由我一锤定音。虽然其后萨那克和我还是客客气气的,但从这件事中,我上了宝贵的一课。就是在学术上,人际关系十分微妙,有时还会被人在背后捅一刀。此后对不相干的事情,我总是“避之大吉”,但于这方面只算是部分成功而已。

1983年,陈先生在伯克利组织了一个几何分析的计划,4月我到了那里访问三个月。理察和我开了一门几个星期的课,专门讨论有关正纯量曲率流形的一些新定理,以极小曲面作为工具。好几位在石溪的中国研究生告诉我,劳森一位已毕业的学生做了一份详细的笔记,那些笔记可能给格罗莫夫和劳森看了。事关他们不久之后写的一篇论文,理察看了预印本后指出,其中似是袭用了我们的一些想法。理察写了一封申诉信给劳森,他把信寄到伯克利的埃文斯楼的信箱。但信箱封闭了,几个月后信退回给理察,到那时再寄信已来不及了,事情只好不了了之。由此可见,说到底,数学也是讲究竞争的。

萧荫堂、项武忠两人都强烈反对陈先生和格里菲思筹划中的录取中国学生赴美留学的计划。此计划参照“中美联合培养物理类研究生计划”(CUSPEA)这个由诺贝尔物理奖得主李政道几年前创办的著名计划,目的是帮助中国的物理学生考取美国和加拿大的研究院。“文革”后,学校的成绩单、老师的推荐信和类似的文件都难以找到,同时也不见得可信。于是李政道(当时在哥伦比亚大学)就和其他美国物理学者设计了一项考试,每年挑选优秀中国学生赴海外留学。陈先生也想对数学学生按方抓药,由于实验设备价格高昂,不需做实验的数学学生要比物理学生多得多。萧、项和我对派留学生出国没有异议,但是根据陈先生和格里菲思提出的计划,主要的考官由美国数学学会决定。举例来说,1984年的考试,纯粹数学由格里菲思主考(后来为了要我改变想法,他们坚持将我也拉进来参与这个考试),应用数学则由麻省理工的戴维·本尼(David Benny)负责,代表美国数学学会的教授们对哪个学生到哪所学校行使很大的决定权。我们对这个中国学生的计划心中不踏实,因为它的规章使权力落到少数外国学者手上。我们三人都认为参加这个计划的学生,与原计划相比,应对择校有更大的自主权,我们倾向让学生直接申请美国的学校,这样选择会较多,并且比较不受美国数学学会的束缚。我曾前后三次询问陈先生,美国数学学会在计划中的角色是不是他的主意,每次他都否认了,说和此事无关。由此可见,我们对学会原计划的疑问,不应该被视作对陈先生、格里菲思或本尼的攻击,我并没有反对他们。虽然项、萧和我都十分关注此事,他们还提议不如给中国教育部写信,表明对这计划不同的意见,不过他们这封信始终没有写。几个月后,我和郑绍远、学生曹怀东和正在高研院访问的林长寿再次谈起这事,这次我们坐言起行,起草了一封信,内容基本上和上次跟萧、项谈的差不多。这封信本来是由项、萧和我一起署名的,于是我把信(其实是手写的未定稿)寄给萧,看他有何意见。在没有询问我的情形下,萧迅速将它译成英文,送给格里菲思。不久之后,陈先生也看见了。听说陈先生对这个草稿大不高兴,他和我的关系也从此走了下坡路。我一向抱着“自反而缩,虽千万人吾往矣”的原则做人,但情况比事实更糟糕,项、萧两人最初和我一同构思上书,此时却加油添醋,使陈先生更加愤怒,而责任却由我一力承担。此事在中国教育界酿成相当大的风波。国内一众学者为了平息陈先生的愤怒,请求我在第一次口试时,和格里菲思及戴维·本尼一同参加。我也不愿意过分激怒陈先生,同时我参加也表示美国数学学会没有全面控制中国大学生出国。所以我同意参加这一次的口试。回顾一下整个事件,不无讽刺地,这对我造成长久伤害的事件,竟源自我获得数学界至高无上的菲尔兹奖后一次酒后庆祝的交谈。

1982年我们在高研院讲课,现在到了圣迭戈便继续下去。在这课上讲述的是我们原创的工作,其中包含尚未发表的想法。有时我们工作过了午夜,为的就是准备次日的课。我们要找人好好做笔记,把课上的内容保存下来,以便最终整理成两本书:《微分几何讲义》和《调和映射讲义》,打算几年后出版。由于总希望帮助中国的学者来美国访问,让他们既能体验一下研究的气氛,同时又能挣点钱,我便向杨乐打听有无适当的人选。中科院有位姓许的研究人员毛遂自荐。为了这份差事,我付了超过一年的酬劳给他,后来才知犯了大错。许对数学虽然不算外行,却追不上我们的进度,很多时候听不明白,可他又不愿意向理察或我求教。有时,他会私底下问我的学生,但他们对他并不友好,或许觉得他年纪太大,又或许他们不愿花时间。最后,他整理出来的讲义全无价值,这对理察和我是一大打击。我们并没有把所有东西记下来,到了发现许的讲义不能用时,要重新再做一次为时已晚了。到了许要向中科院呈交进展报告时,事情变得更糟了。为了掩饰未能把工作做妥,他把报告变成对我的攻击,说我图谋反对陈先生,又说我想营结他所谓的“丘党”,专门和我的老师作对。其做法是如此拙劣,中科院的人都看出他无中生有。杨乐知道后非常意外,他把许的报告信件给我看了,并且对派遣他来一事道歉,不久许就回去了。

当时已是1985年的下半年,我正在哥伦比亚大学参加会议,和丹尼斯·沙利文在一起,沙利文是纽约城市大学的阿尔伯特·爱因斯坦讲座教授(迄今还是)。弗里德曼想知道自己会不会在明年拿到菲尔兹奖,他以为我们两人会知道,但事实上我们对此一无所知。情急之下,弗里德曼说他比我更值得拿菲尔兹奖,因为在解决庞加莱猜想时,他用了五个原创的想法,而我解卡拉比猜想时只用了一个。差不多一年之后,1986年8月,弗里德曼果真拿了菲尔兹奖,可说是实至名归。

田刚在2012年10月25日在石溪的一次讲话中宣布他可以证明我的猜想,却没有提到证明的内容,但是唐纳森等人也随即宣布了他们的工作,同时在2012年11月19日将他们第一篇文章放在网上。田刚在20日也赶紧将他的文章传上网。(但是在2013年1月28日,他又添加了十五页的修正。)专家一般都认为田刚还是没有完成他的证明,所以陈、唐纳森和孙把不忿公之于世,从“原创性、先后性和数学的正确性”三方面反驳田刚的宣称。田的讲话“欠缺详情”,并且指出,他们看不见“任何证据足以说明,田在石溪那次讲话时就具有完成整个证明的能力”。当时人们能看见在田的工作中,含有“严重的漏洞和错误”,而其后田所做的许多修改和添加,“重现了我们先前引入的想法和技巧,而这些想法和技巧都是早已公开的”。唐纳森才华横溢,声誉极隆,兼且是公认的谦谦君子。我不认为有任何人,包括田本人,能有力地反驳唐纳森等三人对他的指控。

1990年,由于发生车祸,我被卷进刑事案件(之后由法院判决无罪),居留权可能出现大问题。为了保护家人的安全,我决定加入美国籍,开始申请成为美国公民。……我作为无国籍者已过了颇长的时间,成了美国公民之后,国外旅行顿时变得很方便。但这种突然的身份变动,也令我难以释怀。我对出生地中国仍然怀着强烈的感情,身份上却无凭无证。我曾在1980年代考虑成为中国公民,并且向华罗庚的大弟子、当时的中国科学院学部委员陆启铿提到这个想法。他和有关部门讨论以后,托人向我解释,时机还未成熟。后来我在美国遇到一些困难,此事就没有再提起了。

我打电话给中国科学院的杨乐,他当时正在担任中国数学学会的会长,提议中国争取于1998年主办国际数学家大会。杨乐也觉得可取,稍后更跟我说,国内数学界和科学界的领导一致认同这项提议。事情出乎意料地顺利,但我知道必须得到陈先生的首肯。他开始时并不以为然,但郑绍远最后说服了他,他同意了。……过了几天,我和陈先生一起坐车去北京。我不是汲汲求进、努力钻营以求见国家领导的人,然而对这次会面非常期待。在这两小时的车程中,我要好好想想见面时要说什么。陈先生也有点儿紧张,但是当时他只关心南开数学所,对于中国主办国际数学家大会,他则有些事不关己。之所以如此,或因八十二岁高龄的他并不肯定到时是否还健在,但是他希望为南开数学所争取更多的经费。胡国定为他准备了很多资料,尤其是近几个月的领导人讲话。……原先计划北京申办1998年的数学家大会,但国际数学联合会把主办权给了柏林,于是我们便申办2002年的大会。然而情况最后还是变得复杂,以致九年后大会召开时,我竟然完全被排斥在外。……IMU决定由中国数学学会推荐八位中国数学家在大会上做报告。一如既往,我坚持挑选演讲者,必须以其新近工作为原则,但我的对头却要排除我对大会的影响。这时,大家都为成为演讲者而竞争,有的也想进入甄选委员会中。大家因应各种关系而非学术成就而定下人选,我没有被邀请发表任何意见。有些中国学者为了争取成为演讲者,四处拉拢具有影响力的人,投资不少,有如一场彩金很大的赌博。能在ICM讲话意味着实时的认同,还附上金钱和地位。所在单位会把你视为你领域中的主要人物,擢升自然而来,或许还带着某些奖项。一夜之间,你会成为一个杰出的、可以倚重的人物。中国数学学会把这八个名额确定后,才勉强地写信邀请我参加大会,信里还说这是求同存异的精神。他们认为如早些时候找我,我便会在人选上跟他们争吵。到了此刻,我对他们的办事手法已倒尽胃口,已经不想和这大会有任何瓜葛了。

张恭庆,一位来自北京大学深具影响力的数学家,也在仪式上讲了话。他带出来的讯息,就是他要不惜一切代价把【晨兴数学】中心搬到北大去。而从始至终,我们都希望新的中心建于中国科学院,那里才是中国数学的实力所在;而且,至少就我的品位而言,学术气氛也较浓厚。

建造商为了省钱,打算建蹲厕而非坐厕。到了最后,大部分洗手间都用了坐厕,但一楼的洗手间还是用了蹲厕,启宗、乐宗的母亲在大楼开幕典礼时不肯用这洗手间。在号称世界级的研究所,竟还有如此规划疏忽,自己也感到尴尬。

佩雷尔曼并没有把这些文章发表于学报。如果他真的这样做,学报的编辑恐怕会要求他在这里或那里写得详细些。我曾几次写信给他,邀请他把工作发表在《微分几何学报》上,这学报从1980年开始就由我主编,但他并没有回复。那就只能靠其他人在佩雷尔曼的论证中,正如《纽约时报》所谓,“把虚点连起来”,然后才能断定它是完整的,还是存在重要的破绽,最后评估它究竟证明了什么。我让理海大学的弟子曹怀东,和曾做我博士后的中山大学的朱熹平,一起仔细地把佩雷尔曼的文章梳理一次,再重新把证明写出来。曹怀东和朱熹平二人堪当此任,他们从1990年代起便研究里奇流,累积了大量的经验,比大部分其他人都适合。克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)是个非营利的基金会,会址与哈佛差不多是一街之隔。他们也出资请了两组数学家去检验佩雷尔曼的证明。他们是布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleiner)和约翰·洛特(John Lott),以及约翰·摩根(John Morgan)和田刚。……由于庞加莱猜想可说是数学的里程碑,我当然希望审视证明的人愈多愈好。但作为一个“传统的人”,我认为作者应负最大的责任,而不是把责任推到别人身上。数学家不只有责任向别人清楚解释自己的工作,同时本人也得弄明白,因为只有把证明通通付诸笔墨,每一步都写出来,才能够肯定其对错。……我邀请了朱熹平于2005—2006学年到哈佛访问。他每周讲几个小时,一连讲了半年,把他和曹怀东的文章从头到尾讲了一次。2005年12月,他们两人把三百多页的论文投到我编辑的《亚洲数学学报》,说明会给出“汉密尔顿和佩雷尔曼有关庞加莱猜想完整证明的详细导引”。这篇论文发表于2006年6月,里面给出了不少佩雷尔曼短文中没有的细节。在此一个月前,克莱纳和洛特发表了《佩雷尔曼文章的注记》,而一个月后,摩根和田刚的文章《里奇流和庞加莱猜想》也上线了。曹、朱的论文发表后,我受到猛烈的抨击。人们说文章投稿后六个月便刊登,时间太短,根本不够时间审稿。事实上,我早已有考虑。首先,出版界会将重要的文章及时发表,这是向来的做法。而且,我也问过几位几何流的专家,包括汉密尔顿和佩雷尔曼,邀请他们审稿,而他们都回绝了,不得已之下我才自己当了审稿人。事实上,除了上述两位外,我在这方面的认识比很多人深刻。而且我在哈佛听了朱熹平的讲课超过60小时,又细心看过文稿,并没有发现任何修补不了的问题,我把推荐发表的意见告知其他编委。我没有发现什么明显的错处,但也不能保证它百分百正确,事实上哪个人能保证?你只能说,经过详尽审视后,就我所知,此文正确。……曹、朱的论文开始后不久,有若干页重复了克莱纳—洛特的论证而没有标注,这是不幸的错误。他们解释说是因为在一整年的工作中,笔记当中有一项具体的证明,即有限的距离意味着有限的曲率,其实来自克莱纳—洛特的文稿。这个疏忽虽不经意,却引发很大的尴尬。作为学报的编辑,这些过失也受到非议。几个月后,学报刊登了曹、朱的道歉,正式鸣谢克莱纳和洛特的工作。……问题是,里奇流的专家并不多,佩雷尔曼的证明结尾处最为晦涩,至今我尚未碰见过一个专家说完全了解。……据我所知,没有人利用佩雷尔曼在文章后半部引入的技巧,成功地解决过其他有意思的题目。这事实意味着其他数学学者并不完全掌握这工作,以及其中的方法。

著名数学家芒福德在1996年到布朗大学去了,原因是他想要多做点应用的东西,但在哈佛得不到支持。

1991年,项武义宣称他证明了具有380年历史,由天文学家约翰尼斯·开普勒提出的开普勒猜想。他又说为了破解它,特意发展了许多球面几何的新工具。他的论文《球堆积问题和开普勒猜想的证明》发表于1993年10月的《国际数学学报》。这本杂志在数学界并不起眼,但是陈先生认为这件工作令项武义当【台湾中研院】院士实至名归,他热情地在院士的聚会中推荐项武义,项武忠也为弟弟的当选造势。三个这方面的权威,普林斯顿的约翰·康威(John Conway),时在密歇根大学的托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)和时在AT&T和山农实验室的尼尔·斯隆(Neil Sloane)都认为项武义的证明无效,根据康威和黑尔斯所言,里面包含“严重的错误”,或如斯隆所言,含有“重要的漏洞”。杨忠道教授指出他本人也研究过这个问题,项的想法并无新意,匈牙利的数学家早就尝试过,而且项的文章错误百出。听了这些专家的意见后,其他的院士都说难以用这件工作来支持他成为院士。投票后,项武义落选了。一个多月后,我在香港中文大学访问。杨振宁先生把我召到他的办公室,他说:“你得罪了你的老师。”我的意见逆了陈先生的意愿。我回答说我一直闭口不言,直至别人问我才开口,而且也是清心直说,并无虚言啊。“你只需要说证明是对的便好了!”听他说完后,我只有无言地离开了他的办公室。

在美国的学术界,绝大部分年纪老迈的学者都不再企图去影响年轻人的学术方向,但在国内,“愈老愈强”似乎是正道。

清朝的时候,大概是从1600—1900年,学者很少研究数学,反而把精力专注于数学史上。研究数学史当然很有价值,你可以知道前人(对我来说,如高斯、黎曼等几何学家)的工作,这是十分有用的。很多美国人不喜欢回头看,有时花了很长时间在某个问题上,当我告诉他们问题是从何处和从何人来的,他们会觉得很惊讶。

百年未解的谜题:庞加莱猜想

《三联生活周刊》2006年8月17日《百年未解的谜题:庞加莱猜想》

十几年来,没有哪一届国际数学家大会,能像8月22日将在西班牙马德里召开的2006年国际数学家大会(ICM2006)这样引人注目。

早在几个月前,ICM2006的网站上,就贴出了这样的消息:“一个有100年历史的数学难题的证明,将在本届大会上宣布。”尽管做出欲说还休的姿态,但看一眼会议的日程表——8月22日17:15至18:15,里查德·汉密尔顿(Richard Hamilton),题目:庞加莱猜想。答案,已经无需再言。

一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想,就是其中的一个。

1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后,庞加莱一度认为,自己已经证明了它。但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来。于是,拓扑学家们开始了证明它的努力。

20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然,英国数学家怀特黑德(Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是,在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特黑德流形。

50年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”(Papa)。在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn’s Lemma)而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言。

这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究,虽然没能产生他们所期待的结果,但是,却因此发展出了低维拓扑学这门学科。

一次又一次尝试的失败,使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而,因为它是几何拓扑研究的基础,数学家们又不能将其撂在一旁。这时,事情出现了转机。

1966年菲尔茨奖得主斯梅尔(Smale),在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决,高维的会不会容易些呢?1960年到1961年,在里约热内卢的海滨,经常可以看到一个人,手持草稿纸和铅笔,对着大海思考。他,就是斯梅尔。1961年的夏天,在基辅的非线性振动会议上,斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明,立时引起轰动。

10多年之后的1983年,美国数学家福里德曼(Freedman)将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上,他证出了四维空间中的庞加莱猜想,并因此获得菲尔茨奖。但是,再向前推进的工作,又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展,有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿(Thruston)就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,并因此获得了1983年的菲尔茨奖。

然而,庞加莱猜想,依然没有得到证明。

人们在期待一个新的工具的出现。

“就像费马大定理,当谷山志村猜想被证明后,尽管人们还看不到具体的前景,但所有的人心中都有数了。因为,一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。

可是,解决庞加莱猜想的工具在哪里?

工具有了

里查德·汉密尔顿,生于1943年,比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候,丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”,但提起他的数学成就,却只有称赞和惺惺相惜。

1972年,丘成桐和李伟光合作,发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想,并因此获得菲尔茨奖。1979年,在康奈尔大学的一个讨论班上,当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候,汉密尔顿刚刚在做Ricci流,别人都不晓得,跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到,1980年,他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说,“于是,我跟他讲,可以用这个结果来证明庞加莱猜想,以及三维空间的大问题。”

Ricci流,以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术,构造几何结构,把不规则的流形变成规则的流形,从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后,丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中,就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。

第一次见到曹怀东,是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间,几乎所有的媒体都在找曹怀东,但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他,在会场里走了好几圈,居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家,依然是远离公众视线的象牙塔中人,即使是名动天下如威滕(Witten),坐在后排,俨然也是大隐隐于市的模样。

1982年,曹怀东考取丘成桐的博士。1984年,当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时,曹怀东也跟了过来。但是,他的绝大多数时间,是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时,丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的,是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为个性和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,今天关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?

在使用Ricci流进行空间变换时,到后来,总会出现无法控制走向的点。这些点,叫做奇点。如何掌握它们的动向,是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后,1993年,汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时,丘成桐隐隐感觉到,解决庞加莱猜想的那一刻,就要到来了。

1995年,丘成桐来到北京。这次,跟他一起来的,还有汉密尔顿。做演讲的时候,丘成桐提出了口号,向汉密尔顿学习。随后,又在新建的晨兴数学中心,开设了关于Ricci流的讨论班。当时在中山大学的朱熹平,便在这段时间跟了上来。

朱熹平最早的研究方向,是与Ricci流关系并不大的偏微分方程。但是,遇到丘成桐后,他开始转型。“那段时间很痛苦的,几乎没什么文章出来。”朱熹平说,“幸好中山大学的制度,工资高,收入只有很少一部分与课题基金和论文挂钩,这才坚持下来。”在报章一度的渲染中,专心研究Ricci流和三维庞加莱猜想的朱熹平,被描述为几年没有论文发表。问及此事,朱熹平哈哈一笑:“我有那么差吗?”事实上,在很短的时间内,他就完成了转型,而且在《数学发明》等著名数学专业杂志上,也先后发表过多篇文章。

汉密尔顿提出的Ricci流,实际上可以分为两类。一种是在实流形上作的实Ricci流,它与三维庞加莱猜想的证明密切相关,另一种是在复流形上作的复Ricci流,它有很多重要的应用,但与庞加莱猜想无关。最早跟随汉密尔顿进行Ricci流研究的曹怀东,主要的方向,其实是复Ricci流。丘成桐的其他一些弟子也不例外。直到后期,部分人才开始转到实Ricci流的方向。后转型的朱熹平,因为用功、投入和耐心,没过多久,就成为国内做实Ricci流最出色的数学家,而他的实干与低调,也赢得了丘成桐格外的青睐。

然而,尽管曹怀东、朱熹平以及朱的学生陈兵龙在Ricci流的研究上取得了很多进展,但是,无论是汉密尔顿还是他们,几经周折,都没能找出解决奇点的好办法。随着拓扑手术次数的增加,奇点也会递增,最终失去控制。几年的时间里,在这个最关键的问题上,研究几乎停滞了。

就在关于Ricci流的工作陷入山重水复疑无路的情形持续了几年之后,远在圣彼得堡的一位特立独行的大胡子数学家,却在几乎不为外界所知的半隐居中,找到了解决问题的柳暗花明又一村。

格里沙!

2002年11月12日,当时在麻省理工学院数学系任教授的田刚在信箱中看到一封显示发件人为“格利高里·佩雷尔曼”(Grigori Perelman)的邮件。

标题:新的预印本
亲爱的田,
可否请你关注我发表在arXiv数学网站上的论文,DG 0211159。
摘要:我们提出了一个Ricci流的单调式,在所有的维度中成立且无需曲率假设……我们还验证了与理查德·汉密尔顿关于瑟斯顿封闭三维流形几何化猜想证明的纲领相关的一些假设,使用先前关于局部曲率下界的塌陷结果,给出了对这一猜想的证明概要。
格里沙·佩雷尔曼

三天之后的晚上,田刚写下了这封回信。

标题:回复:新的预印本

亲爱的格里沙,我正在阅读你的论文。很有意思。你是否愿意访问MIT并就这一工作做几个演讲?
田刚

佩雷尔曼的全名,是格利高里·雅科夫列维奇·佩雷尔曼,但熟悉的人,通常都叫他格里沙。生于1966年的佩雷尔曼,中学时就读的是著名的圣彼得堡第239中,这所学校,一向以高等数学和物理教学闻名。1982年,作为一名高中学生,佩雷尔曼参加了国际数学奥林匹克竞赛,并以满分的成绩获得金牌。此后,他在圣彼得堡大学获得了博士学位,接着在斯特科洛夫研究所(Steklov Institute of Mathematics)谋得职位。1992年秋天,佩雷尔曼前往美国纽约大学库朗研究所访问,随后,又于1993年春天,到了纽约州立大学的石溪分校。就是在这期间,当时就职于库朗研究所的田刚认识了佩雷尔曼。

田刚回忆道,那时候,佩雷尔曼的研究方向,并不是几何分析和Ricci流,而是度量几何。“他的思路很敏捷,做东西技术性和技巧性很强,而且很严谨。”1994年,在加州大学伯克利分校任职米勒访问学者(Miller Fellow)时,佩雷尔曼证明了著名的灵魂猜测(Soul Conjecture),为他赢得了国际声誉。此外,他还曾被邀请在国际数学家大会上做报告。大约在1994年左右,汉密尔顿到库朗研究所作了一个关于Ricci流的报告,佩雷尔曼也是听众之一。“让大家都有点惊讶的是,他居然提了一个关于奇点的问题”——如何解决手术过程中产生的奇点,正是证明庞加莱猜想中的关键一步——“现在看来,那个时候,佩雷尔曼就应该已经对解决庞加莱猜想产生了兴趣。”田刚说。

在米勒访问学者期满后,佩雷尔曼回到圣彼得堡,继续“安静地”任职于斯特科洛夫研究所。有一次,田刚遇到一位当时曾与佩雷尔曼共事的数学家,向他打听佩雷尔曼的近况。得到的消息是,佩雷尔曼几乎已经离群索居,没人知道他在做些什么。然后,就到了2002年11月。就像阿拉丁神灯中的神仙一样,佩雷尔曼现身了,而且,带着有可能是正确的庞加莱猜想的证明论文。

佩雷尔曼的第一篇论文,发表在arXiv网站上。这是一个著名的学术论文网站,最开始的用户多为物理学家,随后,数学家们也纷纷在上面发表自己的论文预印本,以供同行参照评议。不过,通常而言,发表在arXiv网站上的文章不被认为是正式发表的学术论文。

建立一个关键的椭圆形估计,应用粗细分解,来给出瑟斯顿几何化猜测的证明,这被认为是佩雷尔曼的“神来之笔”。在随后发表于网上的第二篇论文中,佩雷尔曼给出了更多的证明细节。看过论文的田刚,益发认识到这项工作的重要性。而“几乎是幸运的”,2002年12月3日,佩雷尔曼给田刚回了信,表示愿意到麻省理工学院演讲。

在一般的描述中,佩雷尔曼是一个怪人:胡子头发都很长,不修边幅,衣服经常很久不洗。今年40岁的他,至今单身,与母亲生活在一起。因为父亲去世早,佩雷尔曼事母至孝,又一种说法是,当时他在美国,曾经有很多学校邀请他任教,但佩雷尔曼坚持回国,原因就是牵挂母亲。2003年访问麻省理工学院时,他的条件之一,就是要携母同行。

不过,在田刚的眼中,佩雷尔曼的“怪”,只是远离物质化和名利世界的一种表现。在讨论学术问题时,他和最严谨的数学家一样,愿意就每一个细节认真地回答。2003年的4月7日、9日和11日,佩雷尔曼在麻省理工学院作了3个演讲,除此以外,在两周的访问时间里,他还作了一系列报告,时间超过20个小时,非常仔细地回答每一个问题。这时候,庞加莱猜想被证明的消息,开始流传出去,《纽约时报》和“数学世界”(MathWorld)网站都刊登了相应的消息。

然而,就是在麻省理工学院的讲座后,有数学家表示,佩雷尔曼的文章存在“gaps”(漏洞),无法读通。就在所有人都期待佩雷尔曼就此作出解释,补全文章的细节之时,佩雷尔曼却不置一词,翩如惊龙,自此隐居不出。两篇文章放在网上,3年多来,没有显示任何准备交由学术杂志发表的迹象。这给曾规定,必须在学术刊物上发表论文才有资格被颁给千年数学问题奖金的克雷数学研究所,出了个不大不小的难题。在接受本刊记者采访时,克雷所所长卡尔森表示,不排除为此修改规定的可能。

可是,佩雷尔曼会接受这笔奖金吗?最近的消息,是他因为不愿参与江湖中的名利之争,已经从斯特科洛夫研究所辞职,靠着10年前在美国访问时的积蓄维生,躲起来思考另一个大问题。因为佩雷尔曼曾经拒绝领取欧洲数学会颁发的一个奖项,很多人怀疑,菲尔茨奖和克雷所的百万悬赏,都未必能打动这个世外高人的心。

三驾马车

如果把庞加莱猜想比作一局棋,在汉密尔顿和佩雷尔曼下完最关键的几步后,余下的,已经是收官的工作。

不能说这个工作不重要。“高手或许一步可以看到7步后的变化,棋艺稍逊的人或许只能看到2步,剩下的5步,就是gaps。”普林斯顿大学数学系的一位教授说,“只有完完整整把每一步的走法写下来,才能算是一个完整的证明。”

而在丘成桐看来,需要做的工作,可能比补上缺失的几步还要多。“一篇论文,从2002年放到现在,3年半的时间,为什么一直没有人站出来说看得懂?关键是其中还有很多问题没有解决。”他认为的关键问题,是几何化猜想,而天降大任于斯人的对象,就是朱熹平和曹怀东。

2005年5月中旬,为了纪念一年前刚刚去世的陈省身先生,丘成桐在哈佛大学组织了一个微分几何的研讨会。朱熹平也被邀请参加这个会议。会议间隙,丘成桐问朱熹平:“做得怎么样了?”

“基本上完成了,可是要到暑假的时候才能全部写出来。”

丘成桐当即决定:“你来哈佛,专门讲这个问题。”经哈佛数学系教授表决同意,这一年9月,朱熹平来到了哈佛,向这一领域的专家讲解他和曹怀东的证明论文。每周讲3个小时,一共讲了70多个小时,这些内容与曹怀东的研究结果汇集整理之后,就是后来发表在《亚洲数学杂志》上的328页的《庞加莱猜想和几何化猜想的完全证明——汉密尔顿-佩雷尔曼Ricci流理论的应用》(A Complete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow)。

《亚洲数学杂志》是丘成桐主编的一本相对比较年轻的杂志。与公认排名前四的《美国数学年刊》、德国的《数学发明》、《美国数学会杂志》和瑞典的《数学学报》相比,分量上的确稍显不足。而且,《亚洲数学杂志》的两名编委,斯瑞尼瓦斯(Srinivas)和普拉萨德(Prasad)在论文发表后写给编委会的邮件中也指出过一些问题:比如,最终发表论文的题目与最初征询编委同意时的题目不一致;直到杂志出版后近半个月的6月13日,杂志全文仍无法下载,与以往惯例不符;论文的审稿没有遵循复杂的程序,留给编委评论的时间也只有3天。之所以会存在这些问题,丘成桐的解释是——“竞争”。虽然在程序上或有可商榷之处,但丘成桐敢于用自己的学术声誉为朱熹平和曹怀东的工作担保:“完完整整,每一步写得清清楚楚,第一次给出了全部的证明,可以用来做教科书。”在接受《科学时报》记者采访时,丘成桐说。而汉密尔顿,则给出了如下的评价:“曹怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上,给出了关于庞加莱猜想证明的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章。他们引入了自己的新思想,使得证明变得更容易理解。”

的确,竞争是激烈的。就在《亚洲数学杂志》6月号出版前的5月25日,密歇根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott),把名为“佩雷尔曼论文注记”(Notes on Perelman’s Papers)的192页文章放到了arXiv网站上。这是对他们2004年关于佩雷尔曼部分工作的注记的修改和补充。

比这再早一些时间,2004年9月,田刚和哥伦比亚大学的拓扑学家约翰·摩根(John Morgan)决定合作,在田刚之前给学生开讨论班研读佩雷尔曼论文时留下的笔记的基础上,撰写一部关于庞加莱猜想的书。这部书稿,得到了克雷数学研究所的著述专项资助(Book Fellow)。2006年5月,摩根和田刚合作完成的书稿提交给了克雷数学研究所,并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上。而此时,国际数学家大会已确定,将由摩根在8月24日作一个关于庞加莱猜想的公众报告。

3个小组,3驾马车,彼此的差异在哪里?在接受本刊记者采访时,摩根说:“2004年8、9月间,我和克莱纳、洛特以及田刚和其他一些人共同参加了一次学术会议。我们研读了佩雷尔曼的第二篇文章。这之后,我认为,我们彼此都觉得佩雷尔曼了解问题所在。我和田刚对庞加莱猜想感兴趣,并且给出了我们认为的完整的证明,而克莱纳和洛特、曹怀东和朱熹平的文章,关心的是整个几何化猜想的问题,并把问题的范围缩小到Shioya-Yamaguchi的工作的范围内。而这项工作,反过来要借助佩雷尔曼自1990年以来未发表的文章。我的感觉是,在最后几步中所引用的数据,可能需要进行更彻底细致的检查。”不过,在克雷研究所所长卡尔森的眼中,事情,也许并没有那么复杂。“克莱纳和洛特,曹怀东和朱熹平,摩根和田刚,3个小组中的每一个都对检验佩雷尔曼的工作做出了重要的贡献。能够有3个独立的数学家小组来做这件事,当然比只有一个小组要好得多了。”

而且,所有的竞争,仿佛只是让佩雷尔曼最终获得菲尔茨奖的成算,变得更大。

如果一切如普遍的预料,那么,在数学论文日益冗长繁复的今日,佩雷尔曼将创下一个新的纪录:可能为他赢来数学家最高荣誉的两篇网上论文,分别只有22页和39页。

“大张旗鼓地面对一个众人皆知的难题,将会冒很大的风险。”1982年的菲尔茨奖得主阿兰·孔曾经在一篇论文的序言中如此写道,“以后人们记住他的将是他的失败,而不是别的。随着年龄的增大,我认识到‘安全地’到达生命的终点是一种很好的自我保护的选择。”对于在过去20年的时间里一直致力于攀登数学世界里的珠穆朗玛峰——黎曼猜想——的阿兰·孔来说,这段话,更像是一段幽默的自嘲。庞加莱猜想的故事,也许会在几个星期、几个月或者几年内迎来一个圆满的——或许也是出人意料的——结局,但它所开拓的疆域,和数学世界广袤无垠充满挑战与乐趣的地平线,还将无穷无尽的向远方延伸。

故事,永远在继续……-

忆皖雄同学

作者:郑方阳,重庆师范大学数学科学学院教授。

第一次见到皖雄是 1982 年的秋天,在北京的中国科学院研究生院。这一年数学所招了 18 名硕士生,其中 5 人来自于科大 78 级,包括皖雄和江明昌,王建荣,苏宇,耿晓。当时科大的同学普遍有“年龄小、基础好”的特点,皖雄入学时还不满 19 岁。第一年住在玉泉,除英语按程度分班之外,基本上修同样的课,第二年开始搬回中关村数学所背后的小楼,大家按各自选择的方向分到不同的教研室。数学所因为华老的缘故,当时数论和函数论是最热门的选择。成绩突出的皖雄和管鹏飞去了函数论组,跟陆啓铿,钟家庆等老师学习多复变。我和吴宏友去了几何组,和上一届的游志平,李明一起在王启明、虞言林老师的指导下学习微分几何。

在中科院两年的同学生涯里,皖雄留给我的印象,一是成绩好,我们当时的学号是按招生考试的成绩来排序的,皖雄的学号我记得不是第一就是第二。科大同学基础很扎实,像代数拓扑、多复变之类的高年级课程,除科大北大等少数院校之外,我们其它学校来的同学大都没有接触过。当时大家的学习积极性都很高,同学们互相切磋互相帮助,印象里每次有同学向皖雄请教问题时他都十分乐于助人,分享他的知识和经验。对皖雄的印象之二是他的性格很温和,很安静,从没见到过他与人争辩或红脸。之三是他对象棋的着迷,当时班上同学中好像没有对手,因此他经常一个人自己研究棋谱,自己跟自己下。皖雄的另一个爱好是古典文学,记得他当时跟我们讲起《水浒》里的情节,连半文半白的台词都一字不差,给我留下很深的印象。

我于 1984 年秋来到加州大学圣迭戈分校,跟随丘先生学习,第二年春皖雄也来了,我们成了同门师兄弟。丘先生在圣迭戈带了一大批中国学生,开启了大规模为祖国培养人才的模式。当时我们同门同学中有清华的曹怀东,王文祥,北大的田刚,复旦的李骏,董瑞涛,杭大的季理真,科学院的皖雄,肖兵等十余个学生,搞得系里有美国研究生酸味十足地问:你们讨论班是用普通话还是广东话?当时的圣迭戈,教授中有丘先生,Rick Schoen, Richard Hamilton, Mike Freedman 等大师,更有一大批前来短期访问的几何和拓扑学家,可以说是世界几何学界的热点和中心之一。中国同学中除了丘先生的学生,还有跟其他老师的林晓松,罗锋,贺正需,张东,白重恩等等,非常热闹。1987 年,丘先生调工作,我们又跟随他转学去了哈佛。记得田刚是 88 年毕业,李骏和我是 89 年,皖雄是 90 年。因此在波士顿我们又同学了两年。现在回想起来,在人生最美好的年龄段,我和皖雄同学了 6 年,的确是缘分使然。

1982 年,Hamilton 运用热方程的思想,开创了黎曼流形上 Ricci 流的研究,证明了紧流形上短时间解的存在性,并以此为工具,证明了任何具正 Ricci 曲率的三维单连通紧黎曼流形必微分同胚于三维球面。丘先生以其天才般的几何直观,一直向我们强调 Ricci 流的重要潜力,并建议他的学生曹怀东,周培能,施皖雄等人专攻 Ricci 流,他们成为了继 Hamilton 之后研究 Ricci 流的主力军。

皖雄的一项重要贡献是将 Ricci 流的研究发展到了非紧完备流形上,他在曲率有界的条件下,证明了短时间解的存在性。从紧到非紧,技术上的难度是巨大的,需要高超的技巧以及非凡的定力。皖雄的超级淡定的性格和一丝不苟的作风使得他特别适合这项挑战。同学们大家都知道,皖雄平时的草稿纸都打得比我们多数人的笔记还要工整。他的办公桌上,看过的报纸都整整齐齐地码放好。记得有一次,当皖雄得到了主要的估计式后在讨论班上报告时,他在黑板上写下了长长的公式,足足有二十多项,然后在大家的惊异中说道,这些都是“好项”,另外还有十余个“坏项”需要一一处理。这次讨论班给我留下了极深的印象。据皖雄自己说,当年 Huisken 来访问丘先生并报告他关于平均曲率流的著名结果时,其完全不怕麻烦的精益求精的作风使皖雄很受震撼。丘先生对自己的学生向来期望值较高,不轻易表扬,但对皖雄的工作给予了很高的评价。2003 年,俄国数学家 Perelman 运用 Ricci 流的方法解决了著名的 Poincaré 猜想,其中皖雄的工作也起到了奠基性的作用。

皖雄是纯粹的数学家,对数学研究充满挚爱,教学等工作也十分认真敬业,除此之外,淡泊名利,无欲无求。记得在圣迭戈时,我们都对开车很有兴趣,圣迭戈公共交通的缺乏也使得开车成为出行的必须。但皖雄为了省时间,拒绝学车。平时去中国店买菜,也只是请同学们带面条,酱油等少数必需品,生活上做到了极简。不过同学们互相之间都很关心,田刚和曹怀东年长我们几岁,怕皖雄的饮食过于单调缺乏营养,常常给他带些蔬菜。我印象最深的是,在圣迭戈和波士顿,每次同学们组织派对,都要邀请皖雄,经常是由董瑞涛或我出面,因为我和皖雄是数学所的同学,而董瑞涛本科是科大,与皖雄同学。派对上因为皖雄好静的性格,大家怕他落单,通常都是由李骏和他下象棋,因为其他人的棋艺完全跟不上。李骏是急性子,遇上了长考派的皖雄,只能站起来走来走去,像极了一只来回踱步的老虎。

皖雄毕业后去了普渡,那里地处美国中西部,人烟稀少,中国人尤其少。我后来想,骤然离开了热闹的师门,多半让皖雄在心理上感觉到了孤独,不过我们当时都没有意识到这一点。皖雄从 97 年前后开始了隐居,失联了好一段时间。后来他科大的同学在华盛顿特区找到了他,大家才又重新得知了他的下落。今年国庆节,骤闻皖雄过世的噩耗,十分意外,因为他还这么年轻而且身体向来健康。历史上数学家们大多长寿,但也不乏英年早逝者,可能是要看上天安排他们来的事情做完了没有。皖雄的研究成果,因其在庞加莱/几何化猜想和丘成桐单值化猜想中所起到的重要作用,在数学史上留下了痕迹,这是他最在意的事,也是他毕生的追求。


同学:郑方阳
二零二一年十月二日于重庆

悼念我的学生施皖雄 — 丘成桐

十月一日那天,胡森打电话给我,说施皖雄早上八时去世了。听到这个消息,心中感到莫名的悲恸。

我自七十年代出道,以几何分析为世所知。我和学生 Richard Schoen 以及众多朋友花了十年工夫,完成了现代几何分析的奠基工作。可惜我的中国学生在分析方面的成就,比不上我早期的美国和澳大利亚的学生,只有施皖雄和王慕道是例外。但他们都受到同门的排挤,尤其以施皖雄为最,半生潦倒,才不得展,郁郁而终。

记得友人 Richard Hamilton 1978 秋天在康乃尔大学和我讨论,学习调和映射理论中 J. Eells 和 J.H. Sampson 的工作,并在度量空间寻找类似的几何流。不久,里奇流的概念就诞生了。由于当时没有适当的估值方法,没有办法再进一步。

1982 年,Hamilton 打电话到普林斯敦研究所,告诉我他的最新结果。对于里奇曲率为正的情况,他找到了完美的估值。我大吃一惊,立刻邀请他来普林斯敦,详细解释他漂亮的工作。我当时有六个硏究生,我即时让其中三人做有关里奇流的工作。他们分别是曹怀东、板东重稔(日本人)和 Bennett Chow。前两位的论文是 Kähler 流形里的里奇流。板东做的刚性定理,以后被莫毅明推广。曹怀东做的 Kähler 里奇流,原意是给出我和萧荫堂证明的 Frankel 猜想的另一证明。曹怀东没有完成这个使命,但却证明了 Kähler 里奇流的整体存在性,后人都需要用到这个理论。至于重证 Frankel 猜想,直到如今,里奇流还没有给出完美的成果,尽管田刚多次在一些假设上来完成这个工作(假如我们同意 Frankel 猜想成立的话,这些假设是成立的。)

1984 年,我离开普林斯敦,到加州大学圣地牙哥分校任教。次年即有十五名中国学生来当我的博士生,施皖雄是其中一位。他本来是中国科学院钟家庆的硕士生。他的分析能力比较其他中国学生强,所以我给他博士论文的题目是硏究非紧空间上的里奇流。我还记得,1986 年秋天我带着大伙去访问 Texas Austin。我让田刚学习在物理系的友人 Philip Candelas 的工作。他倒是勤奋去读了 Candelas 还没有发表的文章,得到不少好处。至于施皖雄,我们开了很多讨论班,连星期六和星期日都在硏究估值问题。他虽然是刚开始学习,但是学问突飞猛进。不久,我的朋友都留意到我这个学生了。

施皖雄(前排右)与导师钟家庆(前排中)

1987 年,我决定接受哈佛大学的聘书,由加州迁到波士顿。根据和哈佛大学的合约,我可以带领四名圣地牙哥的学生到哈佛去。我挑选了李骏、施皖雄、田刚和郑方阳。施皖雄 1990 年得到博士学位,论文极为出色,行内众口争传,深得 Hamilton 的喜爱。很多名校都争取他去,Berkeley 的伍鸿熙教授曾多次打电话来,问施皖雄可否去 Berkeley。结果发现施皖雄在没有征询我的意见前,自己决定不去名校。但他申请了加州大学圣地牙哥分校,Hamilton 在那里当教授,又特别了解他的工作,圣地牙哥破例聘请一个刚毕业的学生做 tenure track 的助理教授。直到今天,该校数学系的助理教授都能升等为长聘教授。施皖雄也申请了普渡大学,那里的莫宗坚是研究代数的,我也认识,不知道他用什么甜言蜜语,说服了施放弃了圣地牙哥而选择普渡。

Hamilton 完成正里奇曲率的里奇流后,我建议他用里奇流来破解庞卡莱猜想,其中关键在于控制里奇流中可能出现的奇点。我建议他把我和 Peter Li 的有关工作推广到里奇流上去。这项工作极为复杂,没有想到他居然完成了。

Hamilton 的工作在迈进。1995 年,我在哈佛数学系作报告,指出里奇流将要在不久的将来,解决由 Thurston 提出的有关三维空间几何分类的猜想,同时也解决庞卡莱猜想。我提议邀请 Hamilton 来哈佛访问一年,解释里奇流的重大进展,大学同意了。翌年,Hamilton 来了。在他访问期间,给了很多精采的讲演。由于哈佛大学一般不聘请年纪超过五十岁的教授,我企图说服 MIT 数学系去聘请 Hamilton,可惜还是不行。Daniel Stroock 告诉我的内幕消息是,田刚虽然到 MIT 不久,但要表示他的权威性,他做了一个介绍,说 Hamilton 只懂得一个方程,前途不大,不值得聘请云云。
 
偏偏这时,普渡大学正在考虑施皖雄的终身教职, 而普渡大学不容许自己的导师写介绍信,当时全球做 Kähler 流形的几何分析的学者不会超过五个人,田刚是其中一个。田刚这样的看法,做成了普渡大学不可逆转的裁决。Hamilton 的介绍信一般很晚才寄出,据他说他将普渡大学臭骂了一顿,但是无济于事。当年游说施皖雄应聘的莫宗坚也没有说出一句挽救的话。其实当时施皖雄已完成了几篇极有分量的论文,比同系研究几何的同事的工作来得重要。无论如何,普渡大学没有充分的理由不给予施皖雄终身职位。
 
华人学者在美国的互动,由此可见一斑。此后施皖雄拒绝了其他地方的聘书。而讽刺的是,当年瞧不起里奇流的人,在 Perelman 的工作出来以后,却摇身一变,成为里奇流的专家了。
 
今天,天妒英才,皖雄不幸去世了。我记下这段历史,好让大家知道皖雄的学问是一流的。他在里奇流的工作,比这几年来个别哗众取宠的做里奇流的中国学者来得重要。

现在挑选施皖雄几篇论文如后,可以注意的是:微分几何杂志(Journal of Differential Geometry,JDG)是几何文章最重要的杂志,发表过名家如 Freedman,Donaldson,Witten 等人的成名作。在 1997 年,就是施皖雄离开普渡大学那一年,微分几何杂志发表了施皖雄一篇长达一百多页的长文 [8],假如这篇文章不是特别重要,微分几何杂志是不会发表这样长的文章的。这件事可以作为一个客观的判断:施皖雄是一个杰出的几何学家,在几何流这门学问上会受到数学历史的尊重,排挤他的同行们的工作远逊于他,他受到不公平的待遇,但是几何分析的历史会记得他的工作。


—— 丘成桐

2021.10.03

施皖雄发表的论文

[1] Wan-Xiong Shi, Complete noncompact three-manifolds with nonnegative Ricci curvature, Journal of Differential Geometry 29 (1989), no.2, 353–360.

[2] Wan-Xiong Shi, Deforming the metric on complete Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 30 (1989), no.1, 223–301.

[3] Wan-Xiong Shi, Ricci deformation of the metric on complete noncompact Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 30 (1989), no.2, 303–394.

[4] Wan-Xiong Shi, Ricci deformation of the metric on complete noncompact Kähler manifolds, Ph.D. Thesis, Harvard University (1990).

[5] Wan-Xiong Shi, Complete noncompact Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, Bulletin of the American Mathematical Society 23 (1990), 437-440.

[6] Wan-Xiong Shi and S.-T. Yau, Harmonic maps on complete noncompact Riemannian manifolds, in: A Tribute to Ilya Bakelman (College Station, TX, 1993), pp.79–120, Discourses Math. Appl., No.3, Texas A & M Univ., College Station, TX, (1994).

[7] Wan-Xiong Shi and S.-T. Yau, A note on the total curvature of a Kähler manifold, Mathematical Research Letters 3 (1996), 123–132.

[8] Wan-Xiong Shi, Ricci flow and the uniformization on complete noncompact Kähler manifolds, Journal of Differential Geometry 45 (1997), no.1, 94–220.

[9] Wan-Xiong Shi, A uniformization theorem for complete Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, The Journal of Geometric Analysis 8 (1998), 117–142.


相关背景:

施皖雄博士2021年9月30日逝于美国华盛顿特区去世,享年58岁。施皖雄是中国科学技术大学数学系781校友、哈佛大学博士。这位英年早逝的数学英才为Ricci流解决庞加莱猜测和几何化猜测做出了基础性贡献。

《三联生活周刊》2006年8月17日《百年未解的谜题:庞加莱猜想》

丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的,是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为…和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,今天关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?

汉密尔顿信件对施皖雄评价

丘还有一些跟随他从普林斯顿到圣地亚哥分校的非常杰出的学生,特别是曹怀东,周培能和施皖雄三人。丘成桐鼓励他们研究瑞奇流,他们对这个领域也作出了非常重要的贡献。…施皖雄开创了完整非紧流形上瑞奇流的研究,在许多漂亮的论证基础上他证明了瑞奇流的局部微商估计。奇异点的放大通常会产生非紧致解,证明放大极限的收敛性总是要依赖于施皖雄的微商估计,所以施皖雄的工作是佩雷尔曼和我使用的所有极限论证方法的关键。

汉密尔顿致丘成桐代理律师的信(转载于中国科学院官网,2006.9.30)

光明日报(2006.6.21)《所有中国人都应为他们感到骄傲》

汉密尔顿高度评价了陈省身、丘成桐、施皖雄等中国数学家的贡献,他说:“所有中国人都应该为中国数学家在微分几何领域所取得的成就,和对庞加莱猜想的贡献感到骄傲。”

施皖雄,福建泉州人,1963年10月6日生,2021年9月30日下午8时零7分(当地时间)在美国华盛顿特区去世,享年58岁。 施皖雄1978年10月从福建泉州五中考入中国科学技术大学数学系,1982年7月获得学士学位。同年考入中国科学院数学研究所,师从陆启铿院士和钟家庆教授,1985年获得硕士学位。1985年赴美留学,始在加州大学圣地亚哥分校,1987年起在哈佛大学,师从数学大师丘成桐院士,1989年获得哈佛大学博士学位。1989年起在普渡大学数学系任教,1997年离职,后移居华盛顿特区。施皖雄在微分几何的几何流研究中做出了突破性的工作,建立了非紧空间上里奇(Ricci)流的基本理论,为里奇流解决庞加莱猜测和几何化猜测做出了基础性贡献。 施皖雄为人友善,生活淡泊,与世无争。他酷爱数学,在数学领域做出了突出贡献,是后辈学习的楷模。

施皖雄部分亲友

2021.10.1.

随笔(八)— 加入企业的菲尔兹奖得主 Laurent Lafforgue

法国高等科学研究所(Institut des Hautes Études Scientifiques,IHES)是一个从事数学和理论物理尖端研究的机构。它于 1958 年创立,近几十年来给很多顶尖的数学家和物理学家提供了一个专心研究的场所。有很多的菲尔兹奖(Fields Medal)得主在这个机构工作过,包括 René Thom(1958 年 Fields Medal),Alexander Grothendieck(1966 年 Fields Medal)等数学家。

2021年9月1日的新闻

近日,从 IHES 的官网上可以看到,2002 年的 Fields Medal 得主 Laurent Lafforgue 加盟了法国华为,在公司将会继续从事 Topos Theory 方面的研究工作。数学家 Laurent Lafforgue 原来从事 Langland’s 纲领的研究,师从数学家 Gerard Laumon,师门另外有一个师弟 Ngo Bau Chau 也是 2010 年的 Fields Medal 得主,其研究方向是数论中的自守形式。从 Laurent Lafforgue 的个人简历来看,他在 1984 和 1985 年获得两枚 IMO 银牌。他 1986 年入读巴黎高等师范学院。在巴黎十一大学受 Gérard Laumon 指导完成博士论文之后,继续做出击研究员。2000 年担任发过高等科学研究所数学教授。2002 年获得菲尔兹奖,表彰他对数论和代数几何的贡献。2003 年,他成为法兰西科学院院士。下面是他当年拿到 Fields Medal 的评语。

“Laurent Lafforgue has been awarded the Fields Medal for his proof of the Langlands correspondence for the full linear groups GLr (r≥1) over function fields of positive characteristic.”

Laurent Lafforgue 的数学族谱

关于 Topos Theory,它是范畴论(category theory)中的研究领域之一。本来是纯数学的研究方向,但近期也有数学家将 Topos 与深度学习联系到一起,例如 DNN 等模型就可以用范畴论的一些语言进行描述。bilibili 上面也有这些视频的搬运,有兴趣的朋友可以观看:https://www.bilibili.com/video/BV1iB4y1T7j3/?p=18。

YouTube 的 Toposes 视频

近几十年来,每四年才有机会评选出四个 Fields Medal 得主,而且其研究领域大多数是纯数学领域,与工业界的联系并不直接相关。Fields Medal 的获得者可能不是最聪明的,但是绝对是数学领域中能够说得上话的人物,完全有能力在学术界或者工业界主导一个大型研究方向。

虽然笔者对这位 Fields 奖得主的研究方向完全不懂,但是他被大型科技公司聘请也算是情理之中的事情,毕竟大型科技公司在进行研发的时候,总会遇到各种各样的研发问题,研发问题转换到最后基本上还是数学问题。有一些数学大佬加入公司,后续遇到一些数学问题,直接就可以咨询大佬或者大佬的小弟们。只要目标明确,集思广益,大家总能够基于一些问题提出具体的思路和解决方案。虽然大佬的研究方向可能不一定能够直接应用到科技领域,但是大佬或者相关团队也有可能对其他方向产生兴趣,总有促进科技进步的可能性。对于某些具体的场景和业务问题,大佬们总有诸多小弟,实在不行让一帮数学 PHD 想,总能够得到一些方案和结论。

也许有人会提出疑问:“基础数学和应用数学的差距较大,基础数学的科研工作者真的一定能够在应用数学有突破么?”做科研这件事情没有人能够完全打包票,但是总是需要有人做尝试的。有 Fields Medal 得主和其相关团队帮助,成功的可能性总是相对较大的,毕竟 Fields Medal 得主算是数学家中的状元。除了 Fields Medal 本身之外,大佬在学术界的资源肯定是很多的,总能够给公司输送各种各样的数学人才,这些数学人才虽然在数学上不一定有所建树,但是在公司干活还是绰绰有余的。基本上只要愿意学习,愿意干活,未来留在工业界的可能性还是很大的。转行的知识,只是对一些人难而已,对 IMO 银牌,Fields Medal,各种名校数学博士而言,难度真的没有那么大,只是看是否有意愿转行而已。

PPT 的截图之一

之前在读书的时候,有一个老师讲了一个故事。当年老师还是博士生的时候,遇到一个外国人,问他为什么不去跟 XXX 教授(沃尔夫奖得主)攻读博士学位。外国人说:“我看不出来有什么题目是 XXX 教授做不出来,而我能够做出来的。”这句话用在这里也挺合适,实在不知道有什么数学题目是 Fields 奖得主和小弟们做不出来,而其他普通人能够做出来的。

连 Terence Tao 想搞都搞不定的数学问题,估计大多数普通人连想都不用去想了。普通人一旦做出来,马上晋升大佬行列。

Fields Medal 得主加入高科技公司,也不会是单枪匹马一个人干活,总要有一个团队加上各种各样的资源配置。虽然不确定大佬未来对公司有啥突出成绩,但是能够加入高科技公司,为公司招募更多的优秀人才,对双方都不是一件坏事。

互惠共赢

随笔(七)— 成功与失败之间,应有第三种人生

前段时间,上海某高校发生了一起关于年轻老师的案件,在社会上造成了很坏的影响。除了这个非常特殊的事情之外,近些年笔者也时不时地听到硕士生或者博士生在读书期间由于种种原因想不开而发生的各种悲剧。随着网络的传播速度越来越快,网络上的负能量也是越来越多。造成这些事件的原因可能因为学业压力,也有可能是因为感情问题,甚至还有一些是家庭的因素。但无论是哪种原因,都是大家所不愿意看到的结局。

之前还在读书的时候,身边就有导师为了让学生一定要做出某个课题而禁止学生研究其他方向,并且还说:“一定要把学生逼上绝路才有可能做出好的结果。”也有导师在学生读博期间中途离职而把学生抛下完全不管的。当然,每一个导师都有各自带学生的方式与方法,负责任的导师总能给学生找一个还不错的出路,不负责任的导师基本上也就是对学生就是放羊的态度了。至于学生最后是否顺利地能够找到工作,不同的导师有着完全不同的处理方法。有的导师完全不闻不问的,有的导师拒绝给去学术界的学生写推荐信的,也有导师非常热心地帮学生谋求各种出路。整体来看,如果硕士生或者博士生在读书期间遇到了一个还不错的导师,那真的是做科研的幸运。

对于许多从普通城市出来的学生,在高中期间可能只接触过语数外,理化生等高考课程,对于计算机/金融学/天坑专业也没有概念,在填写志愿的时候一个不小心可能就进入了天坑专业,无论在该专业怎么努力都无法达到社会平均水平,说不定在读书期间还一直被导师所压榨,会被导师一直灌输一种思想:“做科研的人做不了其他行业,只能在科研这条路上一直走下去。”如果这些学生运气比较好,进入了一个未来有发展前景的专业,在同等努力付出的情况下,未来的收益整体肯定会优于某些天坑专业。

当今国内的教育基本上都是让学生从小学开始,走上中学,最终通过大学走向社会,并且在这条路上不停地给学生灌输成功的案例和方法,让学生一步一步的走向所谓的成功之路,但是对于这条路上的失败者却显得不那么宽容。例如,对于一些中途退学的同学,无论是身边的同学,还是学校的老师,甚至社会上的公司都很难接受这样的“失败者”。总是会不由自主地给他们扣上各种各样的标签,甚至从言语还是行动上去打击他们,不停地告诉他们已经失败,绝对没有翻盘的可能性。对于心态比较好的学生可能还能走下去,但是对于心态一般的学生可就不一定了。

俗话说:成功是失败之母。从这句话上来看,好像世界上只有成功和失败两条路,别无选择。但成功与失败是相对的,只是在某个场景下才会有成功或者失败的概念。举一个例子,假设一个学生在 2000 年高考填写志愿的时候选择了生物专业,但是最后由于分数不够被调剂到计算机专业。从学生当年的眼光和角度来看,这次的填写志愿肯定不是成功的。但是就当今生物学和计算机的就业情况来看,就平均水平而言,从事计算机相关工作的收入肯定高过生物学,因此当年被调剂到计算机专业无疑是非常幸运的一件事情。再举一个例子,假设一个学生 2010 年要出国留学,家里面资金有限,只能够将留给学生的婚房卖了供其读书。结果学生读完了之后房价暴涨,回国工作的话自身的工资也有限,短期内再也无法通过自己和家庭的努力买回当年的婚房。因此,在当年申请上国外名校这件事情上是成功的,但是过了几年回头来看这件事情就可能是失败的开始。最后举一个例子,去年某个程序员在面试某家在线教育公司,在得知面试失败之后一时之间难以接受,毕竟面试失败了。但是今年由于种种原因,教育行业进行了大量的改革,那家在线教育公司进行了大量的裁员,回头得知该程序员还庆幸去年没有进入那家公司。当上帝关上了这扇门,就一定会为你打开一扇窗。

一个人和家庭的发展除了要考虑个人的努力,更加要考虑历史的进程。对于一些当年看起来很重要的事情,回头一看也没有那么重要;对于一些当年很执着的事情,回想起来其实根本不值一提。在成长的阶段上,只要做到真正的努力,能够做到问心无愧即可,如果实在是能力不济达不到最优的结果也不需要死磕到底,像什么“把学生逼死了才能做出优秀的结果”简直就是无稽之谈。真正优秀的结果是需要实力和运气的,连人都没了怎么可能做得出结果。如果真正努力了之后实在无法达到下一个更好的结果,那么及时止损,尽快退回到之前的状态也不是特别差的状况。上海某高校的老师如果在 2009 年博士毕业之后早早进入金融行业,计算机行业,甚至通过博士学位进入上海的某些重点高中,可能就不会发生现在的悲剧了。在 2010 年之前,博士进入中学当老师会形成一定的优势,毕竟当时的高中老师有博士学位的还不算特别多。如果选择了学术圈这条路,就一定要适应学术圈的玩法,早日拿到终身教职上岸,也一定要不停地出成绩,否则也很难在学术圈混下去。对于博士生而言,如果早就发现自身不是搞科研的这块料,在拿到学位之后迅速离开学术圈就是一个比较好的选择。当时的离开可能在某些同学和老师的眼里面是一种失败,是一种被迫离开学术圈的失败,但是从个人的长远发展来看,离开学术圈可能比留在学术圈的结果好。

成功和失败其实都只是某个特定时刻的状态,而且在不同的人眼里面对一件事情有着完全不同的看法。努力追求某件事情是合理的,但是为之放弃正常的生活肯定是不对的。不停地努力肯定是必须的,但是如果真正的努力了之后没有取得最后的成功,也没有必要自暴自弃,人生有多条路可以走,某条路没有走成功并不是人生的结束。在一段时间内,每条路上都会有很多人再走,有的人能够在一条路上持续走下去,有的人则会在某个时间点换一条全新的路继续走,但无论走哪条路,目的都是让自己和家庭更好的生活下去,毕竟能够体验生活的美好是一生中最开心的事情。(未完待续)

随笔(六)— 终身学习

近几天偶然翻开 Terence Tao 的博客,发现陶教授依旧在 “What’s New” 上面写着各种各样的数学定理和知识。回顾陶教授的博客之路,从 2007 年 2 月份开始,陶教授每个月写 2-3 篇博客,一直创作到了 2021 年,在可预见的未来,陶教授依旧会坚持更新自己的博客。在其背后除了有过人的天赋之外,更重要的是个人的努力和坚持。正所谓,天赋可以确定一个人的上限,努力则可以提高一个人的下限。最可怕的就是这个人不仅在天赋上明显远超其他人,还比其他人更加努力。在这个略微浮躁的社会,一个人在功成名就之后,依然可以保持科研和学习的劲头是一件非常难的事情。

Terence Tao 的博客

现代的数学已经发展成了一个非常庞大的体系,很多人从博士生开始就只会研究其中的一个小方向,在博士后,助理教授,教授等阶段都会在这个小方向上深耕细作。只要这个方向还有可以挖掘的课题和论文,一般情况下都不会进行大方向的转换,最多在一些局部方向上进行调整,所应用的方法也不会与之前的方法大相径庭。对于学术圈的人来说,想重新进入一个全新的领域是有一定的难度的,也并不是所有的人都拥有这个勇气。翻开陶教授的博客,除了研究 PDE 和调和分析之外,其研究领域还包括几何,组合,数论等诸多热门方向。因此,除了陶教授本人的天赋之外,努力真的是一件非常难得的事情。

在新加坡国立大学(NUS)有一个学院叫做 SCALE,其全称是 School of Continuing and Lifelong Education,目标是让想学习的人能够有终身学习的机会。终身学习在整个社会体系下会显得尤其重要。随着时代的变化,知识的增加,一个人在大学期间所学到的知识也是远远不够的,如果不及时对自己的知识进行更新换代,进行提升,那么迟早也会出现各种各样的问题。因此,终身学习也是现在所倡导的一个概念。

NUS 的持续与终身教育学院

近几年笔者也时不时地在网络上跟人聊天,其中交流得较多的还是数学系出身的朋友们。沟通的内容除了聊一些升学考试之类的问题,更多的还是如何从数学系转行去其他领域。从个人发展经历和身边的很多案例来看,数学系的朋友们可以转行方向很多,除了可以从事教师这类与数学相关的工作之外,更多的朋友会转行到人工智能或者金融领域。于是,数学系的学生未来从事人工智能或者金融已经不是什么秘密,关键是转行的路上却是各有各的不同。有的人会持续选择坚持走一条路,有的人则会在学术圈和工业界之间摇摆不定。但无论走哪条路,都有相应的难处,最好不要因为某一条路难走而轻易换方向,毕竟换方向对个人的发展其实是有一定影响的。不过,从人的一生来看,无论做什么都是为了更好地生活,所以如果对某个方向感到厌倦了,更换一下前进的道路也是可以理解的。

金融

随着年龄的增长,人可能会发现自身的注意力和学习力的下降,以前能够每天学习十个小时,到后面可能也就只能够专注地看书半小时甚至十分钟。尤其是遇到学习新内容的时候,就会觉得遇到了阻碍,无论这个阻碍是来自自身还是周边的环境。例如,学数学出身到进入人工智能,从数学开始到金融数学,或者同时掌握数学,人工智能,金融数学等诸多方向,是一件有难度的事情。这几年随着人工智能的逐渐热门,人工智能成为了理工科学生转行的重点方向之一。但是下一个热门方向是什么,那就需要每个人自行去发现和挖掘了,这里面除了个人的眼光之外,更重要的可能是运气。

人工智能

每个人的认知范围都是有限的,一般情况下也很难去赚自身认知范围之外的钱。这种情况下除了有高人指点之外,可能就要扩大自身的认知范围,将自身的认知范围逐渐扩大,在未来的某个时刻才能够有进一步的机会。除了不停地挖掘身边的机会之外,跨界学习可能也是一条路,当然这条路可能不是那么容易走,毕竟对于成年人来说每次新学一门课总是要花费较大成本的。在知乎上,时不时的也会有人提问如何转行到 XXX 方向,或者如何入门 XXX 方向,但是最终能够成功转行并且踏入全新领域的人恐怕不多。这些提问对于提问者而言,可能只是收获了一些回答而已。除了跟进各种新技术之外,学习前人的经典知识也能够不停地扩大自身的认知范围,并且经典的知识其实具有某种永恒性,在某个时间范围内都是相对正确和不容易改变的。即使短期内所学的这些知识暂时用不到,也丝毫不会影响它的正确性和可靠性。

2021 年已经过去了三分之二,不知道距离年初的 FLAG 又完成了多少,每年年初总有各种 FLAG 会出现,但是制定计划容易,执行计划却很难。学习并不是一件轻松愉快的事情,毕竟总有各种各样的事情在不停地消耗时间。学习是需要花费很多时间的,也是在不停地跟自己的惰性做斗争。无论是继续研究数学,还是翻阅人工智能的论文,甚至研究金融数学,都是需要花费时间与精力。计划的执行总是需要坚强的毅力,以及克服各种困难的勇气。除了执行之外,选择 FLAG 和计划也是非常考验人的事情。毕竟方向不对,努力白费,当然完全通过兴趣驱动来阅读书籍也是可以的。但是过于远大的目标或者计划不仅难以实现,也容易让人产生厌烦情绪。在制定计划的时候除了有一个宏大的目标之外,脚踏实地执行计划也是非常考验人的。(未完待续)

大厂的激励,年轻人们不买账了

本文来自微信公众号:界面新闻(ID:wowjiemian),作者:佘晓晨,采访:佘晓晨、陆柯言、司林威,编辑:文姝琪,题图来自视觉中国

腾讯宣布给特别贡献员工发100股股票的那天,李剑锋的反应颇为平淡。

在别人看来,这是一份令人艳羡的年终奖励。作为一家成熟且庞大的互联网公司,腾讯选择用股票这样看得见、摸得着的东西激励员工,也起到了不错的效果:一些入职未满一年的员工也得到了这份奖励,恰逢过年前夕,“感谢小马哥”在社交网站上刷屏了。

但李剑锋觉得,和自己付出的劳累和巨大的工作压力相比,6万多的股票“真的不算什么”。

一个不可否认的事实是,如今,当互联网大厂采用各种各样的途径激励员工时,很多方法不管用了。

还有相当一部分年轻人,在进入大厂的时候就未曾“被激励”。入职一家国内TOP3的电商大厂之后,张微非常明白自己想要的是什么。她不需要鸡汤、也不需要公司的承诺。她看中的,只是自己的发展前景,和当下可见的物质回馈。

2021年3月,一篇来自于阿里内网的文章《致阿里》出现在社交网络上。《致阿里》基于年轻基层员工的视角,表达了他们对于工作、待遇和公司价值观等等的看法。重点在于,文章把年轻基层员工和职级更高的老员工进行了对比,引发了阿里内网激烈的讨论。

很多和发帖者处于同一“阵营”的年轻员工认为,如今公司用心灵鸡汤鼓励员工奋斗的价值观已经过时,也不该强求员工“热爱公司”;另一批站在对立面的高管和老员工则表示,想要获得回报就应该拼搏奋斗,用热情激励员工干活没有错。

关于公司应该如何激励自己,发帖者还在文章中表示:“温饱只是最基本的需求,可问题是一家文化拉垮待遇也拉垮的公司,只会不断的抹黑消耗阿里巴巴这个曾经让人看起来羡慕和憧憬的光环。”

过去十年间,互联网的飞速发展让彼时的年轻一代感受到巨大的机会。很多人走进大厂,期冀着物质和自我价值的双重发展。但在进入大厂之后,很多激励过他们的东西正在失效。对于早期入职互联网大厂的老员工来说,公司的价值观却是的的确确“深入人心”的。

是大厂的激励不够,还是年轻人太难被满足?答案可能都不是。互联网行业发展至今,个体和组织都在变化,而两者之间,还存在着不小的沟壑。

消退的“价值观” 

很难说那些口号有没有发挥作用。

“创新”、“正直”、“协作”,这些词出现在大厂的新员工培训手册上,出现在公司的墙上,也出现在高管的演讲里;有时候,张微能感觉到它们实实在在地渗透到了岗位里。

比如在具体的运营工作中,她会记得坚守原则,留意和其他小组同事的合作,以及回绝供应商逢年过节的一切礼物。但说到底,这也是因为公司的价值观和个人做事的原则相吻合,而非刻意为之。

对于苏曼来说,口号就更加熟悉了。

毕业参加面试,HR问她怎么看待华为的“狼性文化”。她表示认同,不单单是为了通过面试。在她心里,这种文化本质上是强调奋斗者为本。对于一个初出茅庐的大学生来说,这意味着多劳多得。而华为给她的薪资也远远高于同班同学,为公司奋斗成了理所当然的事情。

《华为传》一书中,“狼性文化”被概括成“一种推崇激进、坚韧、善于发现新机遇的品质”,同时,狼性文化强调集体意识,围绕项目或任务进行团队作战。

在一些前辈身上,这种精神体现得格外明显。他们经常告诉苏曼这样的年轻员工,大家要“一起打胜仗”、“一起分享胜利的果实”。苏曼会因此设想未来可能拥有的职级和收入,“你会觉得他们的状态似乎不错,所以愿意朝着那个方向努力。”

崇尚“狼性文化”的华为有一个激励的传统为人熟知:员工全员持股。直到今天,这依然是华为用来激励员工的一个重要方式。苏曼坦言,在公司内部,他们戏称,工资是零花钱,真正的回报是股票。

但等待更多的分红意味着什么?和公司共进退,一年、两年、三年,甚至更久。

有老员工起到表率作用,他们告诉新入职的员工,“刚开始工作,不要在乎一两千的工资差异,三年之后绩效好的话,收入会呈指数级增长。”

根据媒体报道,华为19级(在华为,员工的职级分为13~23级)以上的员工年薪在150万~200万之间。据一位华为员工描述,在现阶段,表现较好的情况下,应届生入职5年之后才可以达到18级。

此外,在华为,员工的薪酬除了工资和股票分红之外,还有海外补助。后两者是很多员工收入构成的重要部分,而不少老员工正是通过早年开拓海外市场实现了“财富自由”。

“一开始是挺受激励的,但过了一段时间,你就会在日复一日的工作中感到疲惫。”随着工作压力的加大,苏曼的热情正在消退。她意识到,老员工说的这些回报,前提是熬过了三年,并且继续熬下去。

张微没有感受到太大的落差,因为从一开始,她就没有被公司的激励打动过。

入职之后,公司领导在大会上鼓励年轻人多多奋斗,传达“能奋斗也是一种幸运”的观点。在张微看来,这些分享完全谈不上“激励”,更不用说那些华而不实的公司周边了。

一些手段甚至起到了反作用。

在现代社会的公司组织中,团建是一种常见的激励方式。促进员工之间的感情、传递企业的价值观、让公司变得更有趣,团建会将这些目的一一覆盖。尤其是在人员复杂、强调团队合作的互联网公司,人力资源部门将团建视为一种必要的激励方法,费尽心思组织员工活动。

张微对公司的团建甚至到了反感的地步。一次团建中,公司让大家进行“花式”的自我介绍,还要用表演的方式学习企业的价值观。“非常尴尬,我不明白这样对提升工作能力到底有什么好处,有的团建还会占用周末。”

十年前的“热情” 

时间拉回到2010年以前,对于当时的年轻人来说,互联网公司的吸引力远比不上光鲜的外企。但他们却更加认同公司的价值观;与此同时,他们也得到了实打实的“物质激励”。

2007年,张建波从一所国内知名技术院校毕业,和同批应届生相比,他拿到的offer算不上突出。但回望在华为工作的这些年,他觉得公司在精神和物质上的激励都很有效。

一些激励方式延续到了现在——例如为期两个月的、纯粹的“价值观培训”。更多的传递是“集体主义精神”在日常工作中的体现:张建波清楚地记得那句口号:“胜则举杯相庆,败则拼死相救。”

“对于大公司来说,这并不是一个口号,它需要有一整套的流程机制去支撑。”入职之后,这种价值观的传输实施到了工作中。他认为,这套口号背后是上一环和下一环之间、跨部门之间的紧密合作机制,“某一个环节出问题很容易被发现,最终形成了一个自觉的、责任制的工作状态。”

同样在2010年之前入职腾讯的郝强有相似的感受。入职腾讯之后,他遇上了“3Q大战”,整个公司在内部时刻强调价值观,尤其是在做产品的时候。团队开会时,大家会考虑产品设计和功能是否符合公司的原则。“不一定是特别认真的强调,但也随时挂在嘴边。”

除了股权之外,郝强印象最深的激励是公司评选的荣誉奖项。在他看来,虽然腾讯当时的发展比不上现在,但当时的员工还是很看重这些荣誉带来的激励。“并不能带来多少钱,但比钱带来的动力要更强。”

将“多劳多得”贯彻到底的华为则把荣誉直接转化成了收入,对于被外派到海外的张建波来说,这种即时的激励格外有效。

在当时,华为的基本工资和涨幅并不高,而海外市场急需扩张,项目奖金鼓励员工持续奋斗。“把一件事情做好之后,可能下个季度一笔钱就到你的账户里了。如果一年做了2-4个项目,激励就会反映到年终奖里,这个感觉是很好的。”

一些看起来仅仅是头衔的荣誉,例如“金牌员工”,也意味着相当一大笔物质回报。张建波称,这意味着你的考评是A,能够比别人多出2-3倍的年终奖。

“当时的我们,对物质生活还是有强烈的向往。”张建波说。

自我和组织发生碰撞

时代变了。

“既得利益者”——一位阿里的员工这样形容那些认同公司文化的前辈。张微的看法也一样,“可能在行业的起步或爆发阶段是有很多机会,当时的奋斗者相比身边人确实会得到巨大的回馈,但在今天,付出和回报的比例和当时一定不同。”

随着人员的扩张和公司架构的成熟,日益庞大的中国互联网公司都在建立更完善的考核体系,和创业时期的“X号员工”相比,年轻人获得回报的周期更长,难度也更大了。

对于80后来说,他们虽然没有经历过物质匮乏的时代,却在大厂的起步期加入了公司,见证过公司的发展给自己带来的改变。

而物质收入只是造成看法差异的因素之一。更多的区别在于,组织发展到了新的阶段,员工们成长的环境也完全不同。

苏曼和张微都毕业于中国顶尖的985高校,同批进入公司的同事大多拥有漂亮的履历和较高的学历水平,找到一份薪资不错的工作对他们来说不是难事。

他们代表的,是一群生于90年代中后期、受过良好高等教育的新一代“互联网人”;这批年轻人成长于中国经济高速发展的时期,也更加重视人文关怀和自我价值。

根据脉脉发布的人才报告,2020年,19家互联网企业的人才平均年龄为29.6岁,其中字节跳动和拼多多的人才平均年龄仅为27岁。

张微认为,大厂激励效果减弱的原因在于,每代人的观念不同,社会发展到今天,很多年轻人意识到自己不是“工作机器”。“在工作以外,这个世界有太多美好的风景、事情和情感需要去体验;在一个相对丰富复杂的环境里成长,完全丢掉生活去工作很难保持心态的稳定。”

时不时的,一些不好的消息还会让张微更加警惕公司的激励。“每次看到拿着稍高一些薪水的同龄人猝死的新闻,我都去提醒自己,无论如何,生理和心理健康是最重要的。”

在张建波周围,一些老同事经常抱怨,“现在的年轻人不好管”、“都要哄着”。老领导觉得他们“太喜欢反抗”,但张建波和郝强能够理解年轻员工的看法。

他们一致认为,80后虽然没有经历物质匮乏的时代,但受到的教育相对保守,更加服从“家长制的管理”——更不用说从“苦日子”过来的70后。

一位阿里高P级别员工表示,他也明显感受到《致阿里》中提到的一些问题,但对于公司的制度和价值观,他认为,“谈不上认不认可,只能说这是合理的。”

看起来,大厂的价值观和对于员工的激励方式,这十年来并没有发生太多的变化。但这也正是矛盾所在:当自我和组织发生碰撞,擅长“拥抱变化”的互联网大厂需要思考的是,如何让自己的激励方式持续行之有效。

郝强认为,大企业的价值观通常都是一些基本的工作原则,这是任何时候都通用的;问题在于,团队中有老员工和新员工,在激励的细则上,需要做出更多的调整。

归根结底,这是一场关于大厂组织架构和组织文化的考验。也许,应该调整的不一定是价值观,而是传达价值观的方式;应该调整的不仅是激励的数量,还有激励的内容和初衷。

(应采访对象要求,文中李剑锋、张微、苏曼、张建波、郝强为化名)

本文来自微信公众号:界面新闻(ID:wowjiemian),作者:佘晓晨,采访:佘晓晨、陆柯言、司林威,编辑:文姝琪


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普林斯顿大学数学系的崛起:把研究生”扔到河里”,游过去的就成为博士

王则柯

(中山大学岭南学院教授)

普林斯顿大学数学系和普林斯顿高等研究院数学部,在20世纪30和40年代迅速成为美国学术界冉冉上升的明星,不仅在拓扑学、代数学和数论方面独占鳌头,也在计算机理论、运筹学和新生的博弈论处于领先地位。

第二次世界大战以后,大家都返回普林斯顿,科学和数学被视为战后创造更加美好的世界的关键。由于数学在战争年代对于美国的贡献,政府似乎突然意识到纯粹研究的重要性,军方尤其如此,纷纷拨款资助纯粹理论方面的研究项目。人们充满热情地筹划举办新的一届世界数学家大会,而上一届大会是在战前的阴郁日子里召开的。

1948年秋天,数学系主任所罗门·列夫谢茨教授在西休息室召集所有一年级研究生谈话。他用浓重的法国口音给他们讲述生活的道理,整整讲了一个小时。他的目光锐利,情绪激动,大声说话,还不断用木头假手敲桌子。

他说他们是最优秀的学生,每个人都是经过精心挑选才来到这里的,但是这里是普林斯顿,是真正的数学家从事真正的数学研究的地方,和这里已经成名的数学家相比,他们只不过是一群无知可怜的娃娃而已,普林斯顿就是要把他们培养成人。

他说他们可以自己决定要不要上课,他不会骂他们,分数没有任何意义,只是用来满足那些”讨厌的教务长”的”把戏”

他对大家的唯一要求就是每天参加下午茶的聚会,在那里他们会见到世界上最了不起的数学家

当然了,如果他们愿意,他允许他们参观高等研究院,看看他们能不能幸运地见到爱因斯坦、戈德尔或者冯·诺伊曼。

他一再重复的一点是,教授们绝对不会把他们当做娃娃。对于年轻研究生们,列夫谢茨的这番话无异于美国作曲家苏萨的鼓舞人心的乐曲。

毫无疑问,列夫谢茨富有企业家精神,精力充沛。他在莫斯科出生,在法国接受教育,酷爱数学,却由于不是法国公民而不能选修数学,只好学习工程学,后来移民美国。

23岁那年,他正在著名的电气公司西屋公司工作,一场严重的变压器爆炸事故发生,夺去了他的双手。用了几年时间,他才得以康复。其间他深感痛苦绝望,不过这场事故最终促使他下定决心,追求自己的真爱——数学

他到克拉克大学攻读博士学位,那里因为1912年弗洛伊德曾经举办精神分析讲座而闻名。不久,列夫谢茨和那里的另一位数学系学生相爱,两人结为秦晋之好。毕业之后,他在内布拉斯加州和堪萨斯州教了将近10年的书,一直寂寂无名。

课余时间他撰写了多篇具有原创思想的精辟的论文,渐渐引起学术界的重视,终于有一天,来自普林斯顿大学的一个电话邀请改变了他的生活道路,他成为普林斯顿大学数学系首批犹太人教师之一

列夫谢茨身材高大,举止粗暴,衣着毫无品味可言。刚来的时候,因为人们常常在走廊里假装看不见他,避免和他打招呼,他常常自称为”看不见的人”。但是他很快证明自己具有非凡的魄力,可以跨越远比这些过分拘谨、媚上傲下的同事更加困难的障碍,一手将普林斯顿数学系从一个”有教养的平凡之辈”培养成为令人景仰的”巨人”。

列夫谢茨招聘数学家只有一个条件,这就是原创性的研究。他注重独立思考和原创精神高于一切,蔑视那些优美或刻板的证明据说他从来没有在课堂上做完一个正确的证明

他的第一部全面论述拓扑学的著作提出了”代数拓扑学”的术语,影响深远,其主要价值在于体系,而不是细节,细节方面的确有很有一些欠斟酌的地方。有人传说他是在”一个休息日”里完成这部著作的,他的学生们根本没有机会帮助他整理。

他了解数学的绝大多数领域,但是他的演讲往往没有条理。他的编辑作风专制而又有个性,使普林斯顿一度令人厌倦的《数学年刊》(Annals of Mathematics)一跃成为世界上最受推崇的学术刊物。

有人批评他将许多犹太学生拒之数学系的门外,他却辩解说这是因为担心他们毕业之后多半找不工作。不过,没有人可以否认他确实具有极佳的判断力。他训斥别人,独断专行,有时相当粗暴,但是他的目标只有一个,就是为数学系赢得世界声誉,将学生们培养成和他自己一样坚韧不拔的真正的数学家

列夫谢茨关于研究生数学教育的思想是以德国和法国名校的传统为基础的,很快就成为普林斯顿的指导纲领,其核心是尽快使学生投入到他们自己的研究工作中去。由于普林斯顿数学系本身就积极从事研究工作,同时有能力对学生进行指导,列夫谢茨的想法得以付诸实践。

博学固然是一项值得尊敬的才能,但这并不是列夫谢茨的目标,他更强调学生应该有能力提出自己独特的看法,作出重要的原创性的发现。

普林斯顿给予学生最大的压力和最小的管制。列夫谢茨就说过,系里不要求学生非来上课不可。数学系确实设立了自己的一整套课程,不过考勤和分数一样,几乎只是幻象

到了在学生的成绩报告上打分的时候,一些教授会给所有学生判C,另一些教授则会都给A,装装样子而已。一些学生根本不需要上一节课就可以得到分数。的确,所谓成绩单只是用来讨好那些墨守成规、被称为”俗人”的教务长之辈。

比如数学系传统的口试,可能只是要求学生翻译一段法语或德语数学论文。由于选定的论文充满数学符号,文学极少,即便没有多少外语知识的学生也能看出个大概头绪。如果实在搞不清楚,只要学生许诺回去好好研读这份论文,老师们也可能判他合格。

真正要计算成绩的是”总考”,包括5个题目,其中3个由数学系选择,另外2个由考生自行选择,在第一年的年终或第二年进行。不过,即便是这次考试也可能依据每个学生的具体优缺点而进行设计

举例而言,如果某个学生对一篇论文掌握得很好,而且他总共就知道这一篇论文,那么考官确实有可能大发善心,出题时自觉把内容限制在这篇论文里,好让这个学生顺利通过考试。

学生动笔写毕业论文之前,最重要的事情是要找到一个高资历的教授支持自己选择的题目。整个数学系的教师对学生都相当了解,如果他们认为某个学生实在没有能力完成自己的题目,列夫谢茨就会毫不犹豫地更换导师或干脆叫他离开因此,通过了总考的学生通常在两三年里就能取得博士学位,而在哈佛则需要六七年,甚至更长的时间。

则柯(即作者本人——编者注)在1981-1983初次到普林斯顿大学进修的时候,当时的系主任项武忠教授还在津津乐道列夫谢茨建立的传统:普林斯顿数学系把研究生”扔到河里”,游过去的,就成为博士

普林斯顿总是有最好的教授,最好的访问学者,他们授业解惑,可以说是有问必答,但是决不关心考试。如果你自己不思进取,没有人会逼迫你。

普林斯顿总是开最先进的课,每周好几次请世界一流的数学家讲演自己的最新发现。她提供最好的环境,是不是能够利用这个环境,是研究生自己的事情

至于列夫谢茨,教授们都有点儿夸大地说,正因为他从来没有在课堂上完整地做完一个正确的证明,他的学生不得不把他的漏洞补上,从而练就了本事。

如果教授在课堂上讲的都已经十分正确十分完备,而学生能够把教授所讲背得滚瓜烂熟,那不叫本事。懂得高等教育的人都知道,如果每一步都要讲解得十分完备,你根本不可能在大学讲授一门象样的课程

本文转自《书城》2000年第3期文章仅作分享,不代表一读EDU观点和立场。一读EDU编辑部对原文略有编辑、调整,如需引用,请参考《书城》2000年第3期原文。

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