NUS E-Open House

March 3, 2020 zr9558 Leave a comment

新加坡（Singapore）

新加坡被誉为“花园城市”，又称为“狮城”，它位于马来半岛的南端，地处在马六甲海峡最南端的位置。属于热带雨林气候的新加坡，一年只有雨季与旱季两个季节，从而导致狮城降雨频繁，气温长期处于 25-34 摄氏度左右。新加坡是一个多民族融合的国家，英语作为其官方语言。

新加坡国立大学（National University of Singapore）

位于新加坡西海岸的新加坡国立大学（National University of Singapore）是一所综合性大学，近十年在泰晤士报（Times）世界大学排名和 QS 世界大学排名上，NUS 都长期名列前茅，属于亚洲的顶级学府。NUS 的前身成立于 1905 年，今年恰好是 NUS 115 校庆的年份。发展至今，NUS 已经是拥有多个学院的综合性大学，其中包括理学院（Faculty of Science），工学院（Faculty of Engineering），商学院（Business School）等诸多学院。

NUS Open Day（新加坡国立大学开放日）

学校的排名除了全体教职工的努力之外，优秀的生源也是保障学校能够持续运营的必要条件。因此，在每个学年的第二个学期，大约在 2，3月份的时候，NUS 都会开展 Open Day，目的之一就是对新加坡的本地学生和国际学生宣传 NUS。除了宣传自己的硬件设施，专业特色，教授质量之外，还会宣传校园生活（Campus Life），基础设施和历年优秀学生的就业情况。

当年笔者还在 NUS 就读的时候，就有幸参加过 NUS 的 Open Day，不过当年只是为了凑热闹而去观看了一些活动，并没有在申请学校之前就享受到这些福利。每年到了 Open Day 之际，都会有大批中学生或者理工院校的学生前来 NUS，通过参观 NUS 的情况，来判断 NUS 是否适合自身的发展。

NUS E-Open House

由于 2020 年的开局实在是不利，世界上的诸多国家都受到了新型冠状病毒的影响，自然新加坡也不例外。可能是因为这个原因，2020 年的 NUS Open Day 就从线下（Offline）搬到了线上（Online），通过网络这一个重要的媒介来开展 Open Day。今年的 NUS E-Open House 应该是历史上首次在网上举办的校园开放日活动，同时校方在 NUS 的官网上也进行了大力的宣传。

NUS-E-OpenDay-Facebook-3 — NUS E-Open House 2020

除此之外，NUS 也通过 Facebook 账号也进行了推广，并且学生们可以通过 Facebook，YouTube，Instagram，Zoom 等诸多社交网络工具来全方位的了解 NUS。

由于本次的 NUS E-Open House 为期九天，从 2020-02-26 到 2020-03-05，个人感觉 Open Day 不如称之为 Open Week。在这段时间，NUS 的所有学院将会通过网络向全世界展示 NUS 的魅力。在这段时间里，学生和家长，包括想要继续深造的职场人士都可以通过社交网络了解到 NUS 的方方面面。

NUS-E-OpenDay-Web-1 — 2020 年 NUS E-Open House 的日程安排

除了学院之外，每个学院都会基于自身的条件来设计相关的项目。因此，向外部人士展示各个学院的项目细节也是一个非常重要的环节。

当然，学习是大学生活的一部分，除了学习之外，校园生活也是许多家长和学生关心的话题之一。于是，丰富多彩的校园生活则是 NUS 的一大特色。

NUS 的院系

Faculty of Arts and Social Sciences（艺术与社会科学学院）

前几年，随着直播（Live）这门技术的蓬勃发展，直播已经融入了人们生活的方方面面。FASS 的学生则是通过直播的方式向大家介绍了学院的地理位置，食堂，校园生活，学习等诸多内容，让观众感受到了在校学生的热情与活力。

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当然，只有学生的宣传是远远不够的，此时需要整个院系的努力才能够把宣传力度加到最大。在 NUS e-Open House 的主页上，可以找到 FASS 的活动时间和宣传安排，使用各种各样的宣传渠道，对这个专业感兴趣的学生就会早早订阅并且关注这一消息。

在 FASS 中，学生们可以选择的专业也是非常多的，不仅包括中文，日语，哲学，历史等常见课程，还包括心理学，社会科学等方向。

Business School（商学院）

在商学院，不仅邀请了院系的教授与未来的学生们直接对话，还邀请了学生代表进行发言，通过亲身经历来向大家展示这几年在商学院得到的知识与心得。

NUS-E-OpenDay-Business-3 NUS-E-OpenDay-Business-1 NUS-E-OpenDay-Business-2

School of Continuing and Lifelong Education（持续与终身教育学院）

学习不仅仅是学生时期的事情，在这个高速发展的时代，学习这件事情将会伴随我们每个人一生的时间。于 2016 年成立的 School of Continuing and Lifelong Education 会给每个成年人提供持续教育的机会。它主要是为了想学习新技能的成年人或者想拿到学位的成年人而设置的。在这个学院有本科项目和硕士项目，还有短期项目或者各种培训。如果想拿到某些证书或者学位，其实这里是个不错的选择。

当年在新加坡国立大学（NUS）读书的时候，身边就有一些攻读 Master 学位的同学，当时他们就已经在公司工作了，在工作之余会选择 part time 的硕士在进行攻读。只要达到了学分或者做完了相应的 Project 就可以拿到 Master 学位。

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Department of Mathematics（数学系）

新加坡国立大学数学系的前身可以追溯到 1929 年的 Raffles College。当时理学院开设了数学，化学，物理三门课程，不过总共也就只有十个学生和三位教师，其中有一位是数学教师。第一届数学系的领导（从1931年到1959年）是 Alexander Oppenheim 教授，他是在美国芝加哥大学获得的博士学位。从 1929 年开始，在新加坡的教育系统中，数学教育事业得到了巨大的发展，对现在的新加坡国立大学和南洋理工大学的建立起到了至关重要的作用。

随着 NUS 的建立，数学系就进入了一个新的时代。新的校区在 Kent Ridge，1986 年理学院和数学系就在这里成立。这个时候，数学系就有了巨大的发展，不仅在本科生的招生规模方面有了巨大提高，在研究生项目规模上也有了一定的深度的提升。

在本次的 NUS E-Open House 中，Science 的每个院系都提供了相应的宣传资料，并且所有学科统一模板，由各个学科的教授来向大家介绍这些专业的背景，学习内容和相关优势。在 NUS 的数学系（Department of Mathematics），则是由 Prof Tan 来给大家介绍院系的相关内容。

NUS-E-OpenDay-Science-3

通过 Prof Tan 的PPT，我们可以得到选择数学系的五大原因分别是：

Finding Good Jobs；
Wide Range of Career Choices；
Multiple Pathways；
Myriads of Real World Applications；
Life Long Learning Skills。

NUS-E-OpenDay-Science-Math-6 — 数学系学生的就业统计

从学校统计到的数学系学生毕业出路来看，其实数学系学生们的选择范围还是相对广泛的。不仅包括教育行业（Education）和科研行业（Research），还包括金融（Finance），科技（Technology），信息管理（Information Management）等诸多热门方向。就业的公司不仅包括星展银行（DBS），花旗银行（CitiBank），还包括 Google，Facebook 等科技公司。如果学生在读大学之前并不确定未来要做什么方向的话，并且对学习数学有一定的能力和兴趣的前提下，在本科期间选择数学专业其实是一个不错的选择。

NUS-E-OpenDay-Science-Math-8 — 数学系学生的就业方向

俗话说，数学是科学的基础。数学不仅仅是数学书上的一道道定理，而是可以解决现实生活问题的重要工具。在天气预测方向，动力系统（Dynamical System）有着独特的应用；在机器学习领域，微积分，线性代数与概率论则为这门学科提供了理论基础。在金融领域，Black-Scholes 方程，Monte Carlo 模拟则是其中的重要模型。从这些学科的发展来看，数学不仅可以为这些学科提供理论基础，也是解决这些学科难题的重要工具之一。

NUS-E-OpenDay-Science-Math-12 — 数学在各个学科中的应用

NUS-E-OpenDay-Science-Math-16 — NUS 数学系的项目

数学系的课程以难著称，有人说：“没有比数学书更好的劝退材料”。要想劝退一个人学习数学，其实是非常简单的。在 NUS 数学系，数学系的课程难度就是课程 ID 的第一个数字。例如 MA1100，就表示 Level 1 的课程，属于数学系的入门课。MA4270 就表示 Level 4 的课程，属于数学系本科课程中较难的课程。学生们可以根据自身的情况和时间安排选择相关的课程进行学习。

当然，每个专业都有着不同的细分方向，虽然刚入学的时候，同一院系的学生所学课程都是一样的，但是随着时间的迁移，不同的学生会选择不同的方向进一步的深造。在数学系，通常会有 Math（数学），Applied Mathematics（应用数学），Quantitative Finance（金融数学），数据科学与分析（Data Science & Analytics）这几个方向。学生们需要在学习的过程中根据自身的兴趣和需要选择最合适自己的方向。

NUS-E-OpenDay-Science-Math-17 — NUS 数学系的项目

在本科的时候，通常都会有不少学有余力的学生，不满足于只学习一门课程，或者不满足于仅仅拿到一个学位。此时，NUS 数学系还可以提供双学位的项目（Double Degree Programme），或者选择双主修的项目（Double Major Programmes）。学生可以在其中选择经济学，管理学，商业分析，计算机科学，信息安全这几个方向进行辅修，从而把在数学系学到的知识进一步地应用在其他学科中。

Application（NUS 的申请）

在新加坡国立大学的官网上，可以找到其申请的入口，学生们可以根据自身的情况申请相应的项目，从而度过一个丰富多彩的大学生活。

结束语

通过新加坡国立大学的校园开放日（NUS Open Day），我们可以了解到 NUS 的院系特点，校园生活，学习项目等很多内容。而 NUS E-Open House 则是在这个特殊时期的一个创新，充分利用互联网的优势，把 NUS 的特色通过网络传递给大家，向大家充分展示了 NUS 的魅力之处。

参考资料：

职场纵横, 每天的时间。。。。

为什么【在家办公比上班还累】？

February 8, 2020 zr9558 Leave a comment

野原广志在家工作的一天

《在家里工作的爸爸哦》

看到这里想必大家也知道为什么在家里工作效率低了。从《蜡笔小新》这个纪实版动画可以分析得知大致有以下几个原因：

工作与生活的时间界限感不强，导致工作的开始时间不明确；
被家里的琐事频繁打断：例如洗衣服，照顾小孩，收快递，送东西等；
自制力不强：容易被电视，电脑，游戏等好玩的东西所吸引。

因此，野原广志在家一天工作的产出几乎是零。

解决这类问题的思路有以下几个：

1. 划清工作和生活的界限：找一个单独的房间，不被打扰，专心致志地工作。让自己从工作切换到生活的成本增加，而不是处于可以随意地切换工作与生活的状态。如果找不到相应的房间，就找一个桌子，日常生活不要坐到桌子前。但是一旦坐到了桌子前，就表示进入了工作状态。就表示不能够轻易地被打扰，要尽快开始一天的工作。

2. 使用日历表：根据自身情况，制定基于自己工作和生活状态的日历表，使用 Google Calendar 或者其他计时工具，把自己一天的日程安排下来，让自己在固定的时间内做固定的事情，不要被其他事情所打扰。

例如下图，就是笔者在上班的时候的日程安排：

3. 制定详细的工作计划：包括制定每天需要输出的工作内容，无论是写了多少企划书，写了多少页 PPT，写了多少代码，完成了多少个功能点，都需要有非常明确的指标。只有制定了明确的目标，才能够督促自己完成任务。

4. 规划固定时间：吃饭，睡觉，娱乐等固定的时间先划分好，不到万不得已，不能随便改变生活规律，一旦改变生活规律，要想纠正回正常状态就会非常的困难。

5. 区分工作内容：提前区分哪些是需要团队协作的项目，哪些是靠自己就能够独立完成的项目。对于需要团队协作的项目，尽量提前安排好时间，毕竟跨地域沟通需要一定的成本，需要对方也在线，把时间和人提前安排好会明显优于临时安排。对于那些靠自己就能够独立完成的项目而言，只需要保证工作的时候不被打扰，专心致志地做完即可。

职场人士在家工作确实可以体验自由职业者谋生或者博士生做科研的状态，确实也可以做到自行安排自己的时间，但是要做时间的主人，而不是做时间的奴隶。

Number Theory

素数之美

February 2, 2020 zr9558 Leave a comment

素数的定义

素数是在中小学课本里面就会出现的数学概念，它指的是只能够被 1 和它本身整除的正整数。在正整数中，2, 3, 5, 7, 11 等都是素数。同时，每一个正整数（不小于 2）都可以写成多个素数的乘积，例如 $35 = 5 * 7, 10 = 2 * 5$ 。从素数的定义可以看出，判断一个数是否是素数是需要通过“乘法”的。而在数学的研究历程中，数学家们同样也关心由素数之间的加法所产生的奇妙结论。

哥德巴赫猜想（Goldbach’s Conjecture）

随着徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》的问世，哥德巴赫猜想在国内早已家喻户晓。其中，哥德巴赫猜想包括两个部分：

[Theorem] 每一个大于 7 的奇数都可以写成三个素数之和；
[Conjecture] 每一个大于 6 的偶数都可以写成两个素数之和。

从猜想的陈述来看，如果第 2 部分是正确的，那么可以根据公式 $n = (n-3) +3$ 直接得到第 1 部分是正确的，因此第 2 部分被称为强哥德巴赫猜想，第 1 部分被称为弱哥德巴赫猜想。其中哥德巴赫猜想的第 1 部分已经被彻底解决，而哥德巴赫猜想的第 2 部分目前最好的结果被称为陈氏定理（ Chen’s Theorem）。用数学的语言来说，这两个定理的陈述分别是：

[Theorem (Vinogradov)] 假设 $N$ 是一个奇数，令 $r(N) = \sum_{p_{1}+p_{2}+p_{3}=N}1$ 表示关于 $N$ 的计数函数，其中 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 都是素数。则存在一个一致有界的函数 $\Omega(N) \in (c_{1},c_{2})$ （ $c_{2}>c_{1}>0$ ）对于充分大的奇数 $N$ ，有以下式子成立

$r(N) = \Omega(N)\cdot \frac{N^{2}}{(\ln(N))^{3}}\cdot\bigg\{1+O\bigg(\frac{\ln\ln(N)}{\ln(N)}\bigg)\bigg\}.$

备注：从以上公式可以看出， $\lim_{N\rightarrow \infty} r(N) = +\infty.$ 换句话说， $\exists N_{0}, \forall N\geq N_{0},$ 弱哥德巴赫猜想成立。

[Theorem (Chen)] 假设 $N$ 是一个偶数，令 $r(N)=\sum_{p+n=N}1$ 表示关于 $N$ 的计数函数，其中 $p$ 是素数， $n$ 表示最多为两个素数的乘积。则当 $n$ 充分大的时候，有以下式子成立：

$r(N) >> \Omega(N)\cdot \frac{2N}{(\ln(N))^{2}},$

其中 $\Omega(N) = \prod_{p>2} \bigg(1-\frac{1}{(p-1)^{2}}\bigg)\prod_{p|N, p>2}\frac{p-1}{p-2}.$

备注：

在哥德巴赫猜想的研究过程中，通常数学家把偶数可表示为 $a$ 个素数的乘积与 $b$ 个素数的乘积之和这个问题，简称为 $a + b$ 问题。所以，陈景润证明的 “1+2” 并不是指 1+2 = 3，而指的是对于每一个充分大的偶数，要么是两个素数之和，要么是一个素数加上两个素数之积。其实可以简单的理解为 $p_{1}+p_{2}$ 或者 $p_{1}+p_{2}\cdot p_{3}$ ，在这里 $p_{1},p_{2},p_{3}$ 都是素数。从以上公式可以看出， $\lim_{N\rightarrow \infty} r(N) = +\infty.$
1920 年，挪威数学家 V.Brun 证明了 “9+9″，开启了数学家研究哥德巴赫猜想之路；1966 年，中国数学家陈景润证明了 “1+2″，把素数的筛法推向了顶峰。

孪生素数猜想（Twin Primes Conjecture）

在上千年的素数研究历程中，除了哥德巴赫猜想，孪生素数（Twin Primes）的研究也是数论中的一个重要课题。所谓孪生素数就是相差为 2 的两个素数，例如 $(3,5), (5,7), (11,13),\cdots$ 等等。因此，就有人提出猜想：孪生素数有无穷多对。换句话说，如果用 $p_{n}$ 表示第 $n$ 个素数，那么孪生素数猜想就是 $\liminf_{n\rightarrow +\infty}(p_{n+1}-p_{n})=2$ . 除了孪生素数本身之外，也有学者猜测，对于所有的正整数 $k\geq 1,$ 形如 $(p,p+2k)$ 的素数对同样有无穷多对。于是，在网上就有人对于有限的素数对进行了计算，让大家更好地看到素数之间的分布情况。

下面是部分关于素数间距（小间距，Small Gaps）的结论：

1940 年，Paul Erdos 证明 $\exists c>0$ 使得 $\liminf_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_{n}}{\ln(p_{n})}<c.$
2005 年，Daniel Goldston，Janos Pintz 和 Cem Yildirim 证明 $\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\ln(p_{n})}=0.$
2007 年，上述结果被改进为 $\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\sqrt{\ln(p_{n})}\cdot (\ln\ln(p_{n}))^{2}}=0.$
2013 年，张益唐证明了 $\liminf_{n\rightarrow\infty}(p_{n+1}-p_{n}) < 7 * 10^{7}$ ，随后这个结果被改进到 246。

除了素数之间的小间距之外，素数之间的大间距（Big Gaps）同样也有很多结论：

1931 年，Erik Westzynthius 证明 $\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\ln(p_{n})} =\infty.$
2014 年，Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, Terence Tao 和 James Maynard 证明 $p_{n+1}-p_{n}>c\cdot \frac{\ln(n)\cdot \ln\ln(n) \cdot \ln\ln\ln\ln(n)}{\ln\ln\ln(n)}$ 对于某个 $c>0$ 和无穷个 $n$ 成立。

素数定理

在研究素数的过程中，研究素数的分布规律就是这一切的关键所在。其中，素数定理则是描述素数分布的一个重要结论。类似的，关于孪生素数的分布也有一个上界的估计。

[素数定理] 假设 $\pi(x)$ 表示不大于 $x$ 的所有素数的个数，那么 $\lim_{x\rightarrow \infty}\pi(x)/(x/\ln(x)) = 1.$

[孪生素数个数的上界] 假设 $\pi_{2}(x)$ 表示不大于 $x$ 的所有孪生素数个数，那么存在常数 $C>0$ 使得 $\pi_{2}(x)\leq C\cdot x/(\ln(x))^{2}.$

备注：从这两个定理可以粗糙地刻画出素数与孪生素数在实数轴的分布情况，并且可以看出孪生素数相对于素数则是少很多的。因为 $\lim_{x\rightarrow+\infty}\pi_{2}(x)/\pi(x)=0.$

素数的性质

在中小学的竞赛部分，大家总能够接触到一个关于素数的定理。

[Theorem (Euclid)] 素数有无穷多个。

证明：假设素数是有限个，不妨设为 $p_{1},\cdots, p_{n}$ ，那么 $N = \prod_{i=1}^{n}p_{i}+1$ 就是合数，但是它却不能被所有的素数 $p_{1},\cdots,p_{n}$ 整除，所以导致矛盾。因此素数是无穷多个。证明完毕。

除此之外，在大学里面学习级数的时候，通常都会研究调和级数（Harmonic Series）的性质。所谓调和级数指的就是所有正整数的倒数和，形如：

$S(x) = \sum_{1\leq n\leq x} \frac{1}{n}.$

从定积分与级数的关系可以得到 $\lim_{x\rightarrow +\infty}S(x) = +\infty$ 并且 $S(x) = \ln(x) + O(1).$ 也就是说，所有正整数的倒数和是发散的。

利用这种思路，其实可以分析所有素数的倒数和，也就是说 $\sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p}.$ 通过欧拉公式可以得到：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \prod_{p\text{ prime}}\bigg(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+\cdots\bigg)= \prod_{p\text{ prime}} \frac{1}{1-\frac{1}{p}},$

两边取对数可以得到 $\ln\bigg(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\bigg) = \sum_{p\text{ prime}} -\ln\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg),$

由于 $-\ln(1-x) = x + O(x^{2})$ ，并且 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty$ , $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6},$ 可以得到

$\ln\bigg(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \bigg)= \sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{p} + O\bigg(\sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{p^{2}}\bigg).$

等式的左边是发散的，右侧的第二项是收敛的，因此右侧的第一项（素数的倒数和）是发散的。进一步地，可以得到两个结论：

$\sum_{p\text{ prime}, p\leq x} \frac{1}{p} = \ln\ln(x) + O(1);$
$\prod_{p\text{ prime}, p\leq x}\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg)^{-1} = c\cdot\ln(x)+o(1),$ 这里， $c>0$ 是一个常数。

至此，我们得到了两个级数的定理：

[Theorem] 所有正整数的倒数和是发散的；
[Theorem] 所有素数的倒数和是发散的。

从第 2 个结论同样可以得到素数是无穷多个。于是，就有数学家猜测如果孪生素数的倒数和是发散的，那么孪生素数同样也是无穷多对。但是在 1915 年，数学家 Brun 证明了，孪生素数的倒数和是收敛的，这个收敛的数字也被称为 Brun 常数。

[Theorem] 所有孪生素数的倒数和是收敛的。

证明：通过孪生素数个数的上界公式，可以得到存在 $C>0$ 使得对于充分大的 $x$ ，有

$\pi_{2}(x) \leq C\cdot \frac{x}{(\ln(x))^{2}}$

成立。假设素数序列 $p'_{1}, p_{2}',\cdots, p_{n}',\cdots$ 使得 $p, p+2$ 都是素数，那么 $n = \pi_{2}(p_{n}') \leq C\frac{p_{n}'}{(\ln(p_{n}'))^{2}}\leq C\frac{p_{n}'}{(\ln(n))^{2}}$ ，进一步可以得到

$\frac{1}{p_{n}'} \leq C\frac{1}{n\cdot (\ln(n))^{2}}$

对于充分大的 $n$ 成立。而右侧是收敛的，i.e. $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\cdot(\ln(n))^{2}}<+\infty.$ 因此，孪生素数的倒数和是收敛的。证明完毕。

备注：由于孪生素数的倒数和是收敛的，因此，通过孪生素数的倒数和来证明孪生素数有无穷多对这条路就被封死了。

在研究孪生素数的过程中，其目的是为了研究素数之间的间距究竟能有多小，也就是分析 $\liminf_{n\rightarrow+\infty}(p_{n+1}-p_{n})$ 的上界。同样的，也可以研究素数之间的间距究竟有多大，并且可以分析其量级大约是多少，此时就需要研究 $\limsup_{n\rightarrow+\infty}(p_{n+1}-p_{n}).$

[Theorem] 对于充分大的 $x$ 而言，在 $[1,x]$ 内，素数之间的最小间隔 $\min_{p_{n}\leq x} (p_{n}-p_{n-1})\leq (1+o(1))\ln(x);$ 同时，素数之间的最大间隔 $\max_{p_{n}\leq x}(p_{n}-p_{n-1})\geq (1+o(1))\ln(x).$

证明：考虑区间 $[1,x]$ ，通过素数定理可以得到在 $[1,x]$ 区间内的素数大约是 $\pi(x) \sim x/\ln(x)$ 个。于是把该区间 $[1,x]$ 切割成长度为 $\ln(x)$ 的子区间，区间的个数为 $x/\ln(x),$ 通过鸽笼原理 (Pigeonhole Principle) 可以得到此定理的结论。

备注：除此之外，证明相邻素数的间隔没有上限还可以用构造法。考虑 $n!+2, n!+3, \cdots, n!+n$ 这 $n$ 个连续的合数，所以两个相邻的素数必在 $[n!+2, n!+n]$ 这个区间两侧。因此相邻素数的间隔没有上限，i.e. $\limsup_{n\rightarrow+\infty}(p_{n+1}-p_{n})=+\infty.$

Eratosthenes 筛法（Eratosthenes Sieve Method)

Eratosthenes 筛法是数学家 Eratosthenes 提出的一种筛选素数的方法，其思路比较简单：想要筛选出 $[2,n]$ 中的所有素数，则首先把 $[2,n]$ 中的所有正整数按照从小到大的顺序 $2, \cdots, n$ 来排列，然后按照如下步骤执行：

读取数列中当前最小的数 2，然后把 2 的倍数全部删除；
读取数列中当前最小的数 3，然后把 3 的倍数全部删除；
读取数列中当前最小的数 5，然后把 5 的倍数全部删除；（4 已经被第一步去掉了）
读取数列中当前最小的数 7，然后把 7 的倍数全部删除；（6 已经被第一步去掉了）
循环以上步骤直到 $[2,n]$ 中所有的数被读取或者被删除。

其算法复杂度为 $O(n\ln(n))$ 。

Brun 筛法（Brun Sieve Method）

在数学界发展出各种筛法，其重要目的之一就是为了解决孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。除了 Eratosthenes 筛法之外，数学家 V. Brun 也发现了一种筛法，后人称之为 Brun’s Sieve。其目的就是为了估计孪生素数的上界，进一步得到计算孪生素数的倒数和。其主要结论就是 $\pi_{2}(x)\leq C\frac{x}{(\ln(x))^{2}},$ 其中 $C>0$ 是一个常数，并且 Brun 通过其筛法可以得到哥德巴赫猜想中的 “9+9″，在哥德巴赫猜想的发展中属于里程碑式的工作。

Question. 研究素数究竟有什么用？

Answer. 为了人类智慧的荣耀。

参考文献：

Small and Large Gaps Between Primes, Terence Tao, Latinos in the Mathematical Sciences Conference, 2015.
Bounded Gaps Beween Primes, Yitang Zhang, 2013.
Additive Number Theory, Melvyn B.Nathanson, GTM 164.
http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html.

PHD的生涯

在新加坡的这五年—生活篇（四）

January 29, 2020 zr9558 Leave a comment

在之前的文章里，笔者分别对新加坡留学生的日常生活，人物轶事，过年感受做了回顾。本次将会提到一个重要的话题，那就是电子游戏（Electronic Games）。

对于基础学科的博士生来说，在第一年都会修各种各样的课程，通常来说毕业之前需要修 8 门课，再加上一门听讲座的课程。并且在前两年参加博士生资格考试（Qualify Exam，分为 Writing 和 Oral 两个部分）。一旦博士生通过了博士资格考试，就开始全面进入科研阶段；否则就只能够拿硕士学位离开。众所周知，读书是很多人一起参与的事情，通过考试是可以分出高下的。唯独科研这一件事情，几乎就是自己一个人的战斗。在这一个人的漫漫科研长路中，虽然大部分时间笔者也在奋力向前，努力毕业，但偶尔难免心生疲惫。在疲惫或者想放松的时候，就自然而然地想到了电子游戏（Electronic Games）。

在中学的时候，笔者接触过《帝国时代》（Age of Empires），《暗黑破坏神2》（Diabol 2）等系列游戏；在大学期间，则开始玩《魔兽争霸3》（WarCraft 3），《Dota》；到了博士生的时候，接触到的游戏就更多了，包括但不限于《暗黑破坏神3》（Diabol 3），《炉石传说》（HeartStone），《坦克世界》（World of Tanks），《Fifa 2015》。

在中学的时候，虽然也接触过《暗黑破坏神 2》，但是由于高考等种种因素，没有认认真真地玩过这款游戏。真正开始玩这款游戏应该是在大四下学期（ 2009 年），当时 05级数学系的所有学生都已经从浦口校区搬到了鼓楼校区，男生们都住在筒子楼里面。之所以是筒子楼，意思就是学校的宿舍不够用了，拿家属区的房子来充当宿舍。其实在 2009 年之前，当时还在浦口的时候，暴雪公司就早已对外公布了《暗黑破坏神 3》的一些画面和角色，包括野蛮人的装备配置，闯关场景等诸多画面。但直到 2012 年 5 月份，暴雪公司才正式对外发售这款游戏。在对外发售这款游戏之前，NUS 数学系的很多博士生都沸腾了，纷纷通过各种渠道购买这款游戏，有的人提前在实体店预定，有的人提前在网上购买。笔者当时在暴雪公司的官网上花了 90 SGD 购买这款游戏，包括亚服，美服，欧服三个服务区。虽然博士生的学习十分繁忙，但是 NUS 的暑假总是来得特别早，每个学年基本上 4 月份就完成了教学工作，5 月份的话就已经开始了暑假的生活，直到 7 月底才会结束假期，开始新学年的生活。在种种因素下，除了必要的工作和科研之外，有的博士生就开启了打暗黑 3 的生活。

玩 PC 游戏比较依赖电脑的性能，当时虽然花钱购买了游戏，不过当时的电脑是 2008 年的电脑，在鼓楼珠江路购买的 Lenovo 的 IdeaPad Y 530。即使此电脑性能不行，但也满足了《暗黑破坏神 3》这款游戏的最低配置。因此，在身边的同学都纷纷入坑的情况下，笔者也跟着大家开始玩这款游戏。

LenovoidealpadY530 — Lenovo IdeaPad Y530

不过到了 2010 年之后，iPhone 开始风靡全球，智能手机开始逐渐走入大家的视野。到了 2011 年 7 月份的时候，笔者决定买一台 iPhone。在新加坡，如果是本地人或者 PR，或者有工作签证的人，购买一台 iPhone 的合约机是非常简单的。每人可以签约一台手机，预购费貌似是 200 SGD 左右，然后每个月大概也就花 50 SGD 左右就可以将其拿到。但是对于持有学生签证的人而言就没有那么方便了，必须要缴纳 800 SGD 的押金，时长两年，才能够把手机拿到手。不过在当时 iPhone 的热潮下，跟着贾博士，尹博士一起去 vivo city 的 StarHub 办理手续。除了钱之外，还需要当时银行来往的信件，因为信件上面有每个人的通讯地址，每个月 StarHub 会通过这个地址给签约人寄送当月的通讯费用。由于没有带银行来往的信件，三人还往返了一趟学校与 vivo city，跑了两次才将手机拿到手。

“一入苹果深似海，从此钱财是路人”。苹果的产品确实做得很好，除了 iPhone 4 之外，后续笔者每年都会入手一些苹果的其他产品，包括 iPod Shuffle，itouch，键盘，鼠标，iPad，Mac Air。除了一体机 iMac 没有入手之外，其他的苹果产品均已体验过。当时基于这些产品，在 2013 年的时候把自己的电脑从 Lenovo 换成了 Mac Air，并且在博士生的办公室（Graduate Office 5）搭建了自己的工作环境（自然也可以无缝切换成游戏环境）。

当年在新加坡的时候，师门总共有四个人，分别是大师兄，二师兄，三师兄再加上笔者。其中，大师兄从来不玩任何游戏，二师兄与三师兄在那段时间都会玩《暗黑破坏神 3》。特别地，三师兄是众多博士生中唯一一个能够通过游戏本身回本的。在刚推出的时候，的《暗黑破坏神 3》有拍卖场，很多玩家都会在上面拍卖自己获得的装备，武器，金钱等道具。三师兄又特别擅长研究各种各样的游戏攻略和刷顶级道具，利用拍卖场这一套现工具，三师兄在玩了几个月之后顺利地把自己的装备套现，并且卖到了和游戏本身差不多的价钱。除了博士生同学之外，当年笔者还住在 West Coast Plaza 的 Block 602 #11-28，房东就是 NUS 的讲师，也一起入手了暗黑 3 这款游戏。可见暗黑系列游戏在 80 后一代人心中的地位。

随着时间的推移，科研任务的逐渐加重，新学期的重新开始，博士生中的暗黑 3 热潮已经逐渐淡去。到了 2014 年，暴雪的另一款游戏引起了我的注意，那就是《炉石传说》。炉石传说与暴雪的其他策略竞技类游戏不一样，它是一款卡牌游戏。根据卡牌的抽取顺序和英雄技能的不同，有着完全不一样的打法和策略。刚入门的时候门槛不高，笔者也能够有一些胜率，但是到了某天晚上，不知道是状态不好还是水平不够，一直在输，总没有克制对手的方法。于是，当天晚上笔者就往炉石传说里面充了钱，购买了很多卡包，当晚就拥有了很多卡牌，后来胜率又逐渐提升。果然，游戏只要充钱就会变得更强。

到了 2014 年的下半年，笔者也忙于撰写毕业论文和教学任务。不少当年在一起玩游戏的学长们也已经毕业，即使没有毕业也在努力搞论文。此时也很难凑到一批人像当年一样打暗黑 3。同时，随着智能设备的兴起，电子游戏也已经从以前的 PC 端转到了移动端，包括 iPad 和手机端。在手机端上，其实是没有办法进行复杂的游戏操作的，暗黑 3 这种游戏在 iPad 和手机上几乎是不可行的。在撰写毕业论文的同时，为了舒缓压力，就又挖掘了两款新的游戏，分别是《坦克世界》（World of Tanks）和《Fifa 2015》。

在坦克世界里，相较于各种坦克，笔者更倾向于用反坦克炮，靠灌木丛或者遮掩物躲在一处。一旦队友发现了敌方的踪迹就瞄准，然后就用反坦克炮给予一记重炮。其中，虽然苏系坦克的移动速度一般，但是火力生猛，深受笔者喜爱。

在本科的时候，笔者就经常和同学们一起玩实况足球，当时流传的一句话就是“无兄弟，不实况”，意思就是实况足球这种游戏确实要与同学一起竞技才能够体现其游戏乐趣。否则玩足球游戏就是以通关为目的，只要赢了或者获得冠军，游戏就已经结束了。当时大约是 2014 年的 12 月，2010 级的博士生要么已经提交了论文，要么正在提交论文的路上，笔者很少有机会与大家玩网络游戏，当时玩得更多的是单机版游戏，或者就与网上不认识的人随便打一下。

在读博士这几年，关于电子竞技或者生活的回忆还是很多的。生活嘛，总要找一点乐趣才能够坚持下去（未完待续）。

PHD的生涯

在新加坡的这五年—生活篇（三）

January 28, 2020 zr9558

在上一篇文章《在新加坡的这五年—生活篇（二）》中，笔者回顾了那些年在新加坡读书的时候，所遇到的一些有趣的人和事。本篇文章会回顾之前在新加坡的过年轶事。

最近几天正值新春佳节，虽然 2020 年的开局实在是不够顺利，无论是肆意传播的疫情，还是科比的突然离世，都给新的一年带来了不少沉重的色彩。但是新年总要有新的气象，每年都要立一些新的 Flag（虽然 2010 年的 Flag 可能至今都没有完成）。

li_flag

如果是在国内过春节，除了一些特殊的原因之外，那自然是需要回家乡与亲人团聚，坐在一起吃年夜饭，共同看春节联欢晚会。但是对于留学生而言，回国与家人共度春节就显得没有那么方便了。虽然新加坡的工作人士有很多的年假，但是他们的公共假日却少得可怜。很多外国人也很难想象中国人可以有春节黄金周，十一黄金周这种一整周的假期。在新加坡的官网上可以看到，新加坡的公共假日基本上都是一两天，除了中国农历新年放假两天之外，元旦新年，劳动节，新加坡国庆日，圣诞节等诸多假日都只有一天的假期。在这些公共假日里，从宿舍区去办公室是没有校车的，只能靠自己的 11 路走来走去。

SingaporePublicHoliday2020 — 2020 新加坡的公共假日

新加坡是一个多民族融合而成的国家，虽然农历新年对于中国人来说意义非凡，但是私底下有的老师对于留学生春节期间离开新加坡返回中国过节这件事情是有一定的意见的。毕竟这段时间学校已处于开学阶段，一旦有学生要离开助教（Teaching Assistant）或者助研（Research Assistant）岗位，该学生或者院系就需要找到另外的学生来临时代替他的工作，确实会对教学和科研造成一定的影响。不过这个只是说不建议留学生回国，其实留在新加坡的话留学生们也不需要来办公室，安心在家休假过节即可。对于很多留学生而言，即使不能够回国与家人欢度除夕新年，在新加坡体验异国他乡的春节其实也还算一个不错的选择。新加坡是以华人为主的社会，农历新年在新加坡绝对算得上是一个非常隆重的节日。每到农历新年之际，无论是 Chinatown，圣淘沙，还是每家每户，都是张灯结彩，充满了喜庆的氛围。

从 NUS 每年的学校日历来看，对于身处新加坡的留学生而言，农历新年的时候正好是刚刚开启新的学期的时候。即使回国也只能迅速返回学校，毕竟只有两天的假期。除了少数回国的学生之外，大部分留学生们都会在新加坡自行组织过农历新年的活动。对于学校而言，虽然是正月初一和正月初二放假，其实到了大年三十下午的时候，就已经不再组织教学活动了，因为就算上课也会有不少学生缺席。无论是学校的教职工，还是学生，都会在除夕当天下午准备过年的食物和喜庆的礼品。在正月初一和正月初二这两个特殊的日子里，很多商店，超市，饭店都是不开门的，即使是每天营业时间最长的昇菘超市（shengsiong），也会选择在大年三十的下午 3:00 提前下班，让员工们提前回去过除夕。因此，提前去超市准备过春节的食物和年夜饭就是所有留学生的必做的事情。

NUS_2019_2020_calendar — NUS 的 2019-2020 年度日历

要想从 NUS 的 UTown 或者 PGPR 两个宿舍区去昇菘超市可没有那么容易，除了等待 West Coast Plaza 的穿梭巴士和 NUS Bus，只能够选择步行的方式，从数学系 Block S17 出发，步行穿过工学院（Faculty of Engineering），再翻山穿过 Clementi Woods，最后走到昇菘超市。去时容易，返回困难。去程的时候双手空空荡荡，返程的时候可是大包小包全部装满了食物，饮料和酒水。通常来说，这往返一趟办公室和昇菘超市，需要两个小时左右的时间。不过，作为年夜饭的准备，还是非常值得的。

从 2011 年算起到 2014 年，笔者前前后后在新加坡度过了四个春节，那几年的除夕夜分别是在 West Coast Plaza 的川江号子，UTown，UTown，ChinaTown 的国府珍锅吃的年夜饭。印象最深刻的就是在 2014 年大年三十的时候，吃完年夜饭，回到 PGP 之后打开电脑，写下了这一段话，立下了 2014 年的 Flag：

今年是农历的除夕，也就是大年三十，依旧和PHD们出去吃了顿火锅。不知道是不是最后一次在新加坡过年了。前前后后也过去四年了。第一次是West Coast Plaza的川江号子，第二次是utown宿舍，第三次也是在utown宿舍，第四次是在Chinatown的国府珍锅。不知道明年还有没有机会在新加坡过年了。最希望的就是尼玛交了论文就直接可以考虑毕业了，就不用在新加坡这个地方过年了。

Jan 31, 2014 00:18

于是，为了兑现 2014 年初的 Flag，笔者在 2014 年整整奋发图强了半年，终于在 2014 年 7 月份的时候把论文的主要步骤自行推导出来，在 2014 年下半年开学之后花了两三个月时间把所有步骤整理并且装订成册，在 2015 年 1 月份的时候就在系统上提交了自己的博士论文。

每次提到毕业的事情都会觉得心情沮丧，所幸的是最终还是顺利地拿到博士学位。回想起博士生活的点点滴滴，除了科研的过程比较苦逼之外，其他的各种生活还是丰富多彩的。（未完待续）

Mathematics

拉格朗日四平方和定理

January 26, 2020 zr9558 Leave a comment

拉格朗日四平方和定理

每个正整数均可表示为四个整数的平方和。

Every positive integer is the sum of four squares.

例如：

$1=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}$ ，
$2 = 1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}$ ，
$7 = 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}$ 。

证明：可以直接验证如下恒等式

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}) = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}$ ，其中

$\begin{cases} z_{1}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4} \\ z_{2}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3} \\ z_{3}=x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2} \\ z_{4}=x_{1}y_{4}-x_{4}y_{1}-x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}\end{cases}$

由于 1 与 2 都明显满足这个定理，那么只需要考虑大于 2 的正整数。而这些正整数都可以分解成素数的乘积，因此，只需要证明该定理对所有的素数成立，则使用以上恒等式就可以得到最终的结论。假设 $p$ 是一个奇素数。

由于 $\{a^{2}:a\in\{0,1,\cdots,(p-1)/2\}\}$ 里面有 $(p+1)/2$ 个不同的同余类， $\{-b^{2}-1: b\in \{0,1,\cdots,(p-1)/2\}\}$ 里面也有 $(p+1)/2$ 个不同的同余类，但是素数 $p$ 的同余类只有 $p$ 个，因此存在正整数 $a,b\in \{0,1,\cdots, (p-1)/2\}$ 满足 $a^{2}\equiv -b^{2}-1 (\mod p)$ 。也就是说 $a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}\equiv 0(\mod p)$ 。令 $n\in\mathbb{Z}$ 满足 $np=a^{2}+b^{2}+1$ ，则有 $p\leq np\leq 2(p-1)^{2}/4+1<p^{2}$ 。于是， $1\leq n<p$ 。

因此存在一个 $1\leq n<p$ 使得 $np = a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}$ 是四个整数的平方和。于是必定存在一个最小的正整数 $m$ 使得 $1\leq m\leq n<p$ 使得 $mp$ 为四个整数的平方和，不妨设为 $mp=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$ 。

Claim. $m=1$ 。

proof of the claim. 反证法，假设 $1<m\leq n<p$ 成立。令 $y_{i}=x_{i}(\mod m)$ 对于 $i\in\{1,2,3,4\}$ 成立，并且 $-m/2<y_{i}\leq m/2$ 。因此， $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}\equiv(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\equiv mp \equiv 0(\mod m)$ 。令 $mr = y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}$ 。因此， $mr\leq 4(m/2)^{2}=m^{2}$ 。

如果 $r =m$ ，通过以上不等式得知 $r=m$ 等价于 $y_{i}=m/2$ 对于 $i\in\{1,2,3,4\}$ 都成立。此时， $mp = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\equiv 4(m/2)^{2} \equiv 0 (\mod m^{2})$ 。因此， $p$ 是 $m$ 的倍数，这与 $p$ 是素数， $m>1$ 矛盾。所以， $r<m$ 成立。i.e. $1\leq r<m\leq n<p$ 成立。

进一步地， $(mp)\cdot(mr) = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}) = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}$ ，这里的 $z_{i}$ 正如恒定式里面所定义的。由于 $y_{i}\equiv x_{i}(\mod m)$ ，并且 $\sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}\equiv 0(\mod m)$ 。因此， $z_{i}\equiv 0(\mod m)$ 对于 $i\in\{1,2,3,4\}$ 都成立。所以， $z_{i}=w_{i}m$ ， $w_{i}\in\mathbb{Z}$ 对于 $i\in\{1,2,3,4\}$ 都成立。通过 $(mp)\cdot(mr) = \sum_{i=1}^{4}z_{i}^{2}$ 可以得到 $pr=\sum_{i=1}^{4}w_{i}^{2}$ 成立。但是， $1\leq r<m$ 这与 $m$ 的最小性假设矛盾了。

因此， $m=1$ ，Claim 证明完毕。

于是，对于所有的奇素数，都可以表示为四个整数的平方之和。根据之前的分析，可以得到对于所有的正整数，都可以表示为四个整数的平方之和。Lagrange 定理证明完毕。

参考文献

GTM 164, Additive Number Theory, Melvyn B.Nathanson, 1996.

Mathematics

传染病的数学模型

January 25, 2020 zr9558 Leave a comment

近期，国内的疫情闹得沸沸扬扬，很多省市自治区都出现了流感的患者。回想起之前在学校的时候曾经研究过微分方程和动力系统，于是整理一下相关的数学模型，分享给各位读者。笔者并不是研究这个领域的专家，并且这篇文章只是从微分方程角度出发，分析方程的性质，不一定适用于真实环境，而且真实环境比这个也复杂得多。

关于传染病的数学模型，在许多年前数学界早已做过研究，根据传染病的传播速度不同，空间范围各异，传播途径多样，动力学机理等各种因素，对传染病模型按照传染病的类型划分为 SI，SIR，SIRS，SEIR 模型。如果是按照连续时间来划分，那么这些模型基本上可以划分为常微分方程（Ordinary Differential Equation），偏微分方程（Partial Differential Equation）等多种方程模型；如果是基于离散的时间来划分，那么就是所谓的差分方程（Difference Equation）。

在本文中，将会主要介绍常微分方程中的一些传染病数学模型。在介绍方程之前，首先要介绍一些常用的符号：在时间戳 $t$ 上，可以定义以下几种人群：

易感者（susceptible）：用符号 $S(t)$ 来表示；
感染者（infective）：用符号 $I(t)$ 来表示；
康复者（Recoverd）：用符号 $R(t)$ 来表示；

其次，在时间戳 $t$ 上，总人口是 $N(t)=S(t)+I(t)+R(t)$ 。如果暂时不考虑人口增加和死亡的情况，那么 $N(t)\equiv N$ 是一个恒定的常数值。

除此之外，

$r$ 表示在单位时间内感染者接触到的易感者人数；
传染率： $\beta$ 表示感染者接触到易感者之后，易感者得病的概率；
康复率： $\gamma$ 表示感染者康复的概率，有可能变成易感者（可再感染），也有可能变成康复者（不再感染）。

在进行下面的分析之前，先讲一个常微分方程的解。

Claim. 假设 $x=x(t)$ 是关于 $t$ 的一个方程，且满足 $\frac{dx}{dt} + a_{1}x + a_{2}x^{2}=0$ 和 $x(0)=x_{0}$ ，那么它的解是： $x(t) = \frac{e^{-a_{1}t}}{\frac{1}{x_{0}}-\frac{a_{2}}{a_{1}}(e^{-a_{1}t}-1)}$ .

Proof. 证明如下：

通过 $\frac{dx}{dt}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=0$ 可以得到 $-\frac{d}{dt}\bigg(\frac{1}{x}\bigg) + a_{1}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)+a_{2}=0$ ；令 $y = 1/x$ ，得到 $\frac{dy}{dt}-a_{1}y=a_{2}$ 。所以， $\frac{d}{dt}(e^{-a_{1}t}y) = a_{2}e^{-a_{1}t}$ ，两边积分可以得到 $e^{-a_{1}t}y-y_{0}=\bigg(-\frac{a_{2}}{a_{1}}\bigg)(e^{-a_{1}t}-1)$ ，其中 $y_{0}=1/x_{0}$ 。求解之后得到： $x(t) = e^{-a_{1}t}/\bigg(\frac{1}{x_{0}}-\frac{a_{2}}{a_{1}}(e^{-a_{1}t}-1)\bigg)$ 。

SI 模型（Susceptible-Infective Model）

在 SI 模型里面，只考虑了易感者和感染者，并且感染者不能够恢复，此类病症有 HIV 等；

其微分方程就是：

$\begin{cases}\frac{dS}{dt} = -\frac{r\beta I}{N} S \\ \frac{dI}{dt}=\frac{r\beta I}{N}S \end{cases}$

初始条件就是 $S(0)=S_{0}$ ， $I(0) = I_{0}$ ，并且 $S(t)+I(t)=N$ 对于所有的 $t\geq 0$ 都成立。

于是，把 $S = N - I$ 代入第二个微分方程可以得到： $\frac{dI}{dt} - r\beta I + \frac{r\beta}{N}I^{2}=0$ 。因此根据前面所提到的常微分方程的解可以得到：

$I(t) = \frac{NI_{0}}{I_{0}+(N-I_{0})e^{-r\beta t}}$ .

这个就是所谓的逻辑回归函数，而在机器学习领域，最简单的逻辑回归函数就是 $\sigma(x) = 1/(1+e^{-x})$ 这个定义。而 $I(t)$ 只是做了一些坐标轴的平移和压缩而已。由于 $\lim_{t\rightarrow +\infty}e^{-t}=0$ ，所以， $\lim_{t\rightarrow +\infty}I(t) = N$ ，从而 $\lim_{t\rightarrow +\infty}S(t) = 0$ 。

通过数值模拟可以进一步知道：

简单来看，在 SI 模型的假设下，全部人群到最后都会被感染。

SIS 模型（Susceptible-Infectious-Susceptible Model）

除了 HIV 这种比较严重的病之外，还有很多小病是可以恢复并且反复感染的，例如日常的感冒，发烧等。在这种情况下，感染者就有一定的几率重新转化成易感者。如下图所示：

其微分方程就是：

$\begin{cases} \frac{dS}{dt} = -r \beta S\frac{I}{N} + \gamma I \\ \frac{dI}{dt}=r\beta S \frac{I}{N} - \gamma I \end{cases}$ ，其初始条件就是 $S(0)=S_{0}$ ， $I(0)=I_{0}$ .

使用同样的方法，把 $S=N-I$ 代入第二个微分方程可以得到： $\frac{dI}{dt} - (r\beta - \gamma)I + \frac{r\beta}{N}I^{2}=0$ . 通过之前的 Claim 可以得到解为：

$I(t) = \frac{N(r\beta-\gamma)}{r\beta}/\bigg(\bigg(\frac{N(r\beta-\gamma)}{I_{0}r\beta}-1\bigg)e^{-(r\beta-\gamma)t}+1\bigg)$ .

从而可以得到 $\lim_{t\rightarrow +\infty} I(t) = N(r\beta - \gamma)/(r\beta)$ 且 $\lim_{t\rightarrow +\infty} S(t) = (N\gamma)/(r\beta)$ . 这个方程同样也是逻辑回归方程，只是它的渐近线与之前的 SI 模型有所不同。

SIR 模型（Susceptible-Infectious-Recovered Model）

有的时候，感染者在康复了之后，就有了抗体，于是后续就不再会获得此类病症，这种时候，考虑 SIS 模型就不合适了，需要考虑 SIR 模型。此类病症有麻疹，腮腺炎，风疹等。

其微分方程是： $\begin{cases} \frac{dS}{dt}=-r\beta S \frac{I}{N} \\ \frac{dI}{dt}=r\beta S\frac{I}{N} - \gamma I \\ \frac{dR}{dt}=\gamma I\end{cases}$ 。其初始条件是 $S(0)=S_{0}, I(0)=I_{0}, R(0)=R_{0}$ ，并且 $S(t), I(t), R(t)\geq 0$ 和 $S(t) +I(t)+R(t)=N$ 对于所有的 $t\geq 0$ 都成立。

对于这类方程，就不能够得到其解析解了，只能够从它的动力系统开始进行分析，得到解的信息。根据第一个微分方程可以得到： $\frac{dS}{dt} = -r\beta S\frac{I}{N}<0$ ，于是 $S(t)$ 是一个严格递减函数。同时， $0\leq S(t)\leq N$ 对于所有的 $t\geq 0$ 都成立，于是存在 $S_{\infty}\in[0,\infty]$ 使得 $\lim_{t\rightarrow \infty}S(t)=S_{\infty}$ .

通过第一个微分方程和第二个微分方程可以得到： $\frac{d(S+I)}{dt} = -\gamma I$ ，因此对它两边积分得到 $\int_{0}^{T} \frac{d(S+I)}{dt} = -\gamma \int_{0}^{T}I(t)dt$ . 左侧等于 $S(T) + I(T) - S(0) - I(0)$ ，上界是 $4N$ ，因此令 $T\rightarrow \infty$ 可以得到 $\int_{0}^{\infty}I(t) dt\leq 4N/\gamma$ . 而 $I(t)\geq 0$ 且是连续可微函数，因此 $\lim_{t\rightarrow \infty}I(t) = 0$ 。这意味着所有的感染人群都将康复。

由于 $S(t)$ 是严格单调递减函数，因此从第二个微分方程可以得到：当 $S(t) = N\gamma/(r\beta)$ 时，感染人数 $I(t)$ 达到最大值。

其余模型

在以上的 SI，SIS，SIR 模型中，还可以把死亡因素考虑进去。除此之外，还有 SIRS 模型，SEIR 模型等，在这里就不再做赘述。有兴趣的读者可以参阅相关的参考书籍。

参考文献

Introduction to SEIR Models, Nakul Chitnis, Workshop on Mathematical Models of Climate Variability, Environmental Change and Infectious Diseases, Trieste, Italy, 2017

ZHANG RONG

NUS E-Open House

新加坡（Singapore）

新加坡国立大学（National University of Singapore）

NUS Open Day（新加坡国立大学开放日）

NUS E-Open House

NUS 的院系

Faculty of Arts and Social Sciences（艺术与社会科学学院）

Business School（商学院）

School of Continuing and Lifelong Education（持续与终身教育学院）

Department of Mathematics（数学系）

Application（NUS 的申请）

结束语

参考资料：

为什么【在家办公比上班还累】？

素数之美

素数的定义

哥德巴赫猜想（Goldbach’s Conjecture）

孪生素数猜想（Twin Primes Conjecture）

素数定理

素数的性质

Eratosthenes 筛法（Eratosthenes Sieve Method)

Brun 筛法（Brun Sieve Method）

参考文献：

在新加坡的这五年—生活篇（四）

在新加坡的这五年—生活篇（三）

拉格朗日四平方和定理

拉格朗日四平方和定理

参考文献

传染病的数学模型

SI 模型（Susceptible-Infective Model）

SIS 模型（Susceptible-Infectious-Susceptible Model）

SIR 模型（Susceptible-Infectious-Recovered Model）

其余模型

参考文献

zr9558's Blog