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普林斯顿大学数学系的崛起:把研究生”扔到河里”,游过去的就成为博士

王则柯

(中山大学岭南学院教授)

普林斯顿大学数学系和普林斯顿高等研究院数学部,在20世纪30和40年代迅速成为美国学术界冉冉上升的明星,不仅在拓扑学、代数学和数论方面独占鳌头,也在计算机理论、运筹学和新生的博弈论处于领先地位。

第二次世界大战以后,大家都返回普林斯顿,科学和数学被视为战后创造更加美好的世界的关键。由于数学在战争年代对于美国的贡献,政府似乎突然意识到纯粹研究的重要性,军方尤其如此,纷纷拨款资助纯粹理论方面的研究项目。人们充满热情地筹划举办新的一届世界数学家大会,而上一届大会是在战前的阴郁日子里召开的。

1948年秋天,数学系主任所罗门·列夫谢茨教授在西休息室召集所有一年级研究生谈话。他用浓重的法国口音给他们讲述生活的道理,整整讲了一个小时。他的目光锐利,情绪激动,大声说话,还不断用木头假手敲桌子。

他说他们是最优秀的学生,每个人都是经过精心挑选才来到这里的,但是这里是普林斯顿,是真正的数学家从事真正的数学研究的地方,和这里已经成名的数学家相比,他们只不过是一群无知可怜的娃娃而已,普林斯顿就是要把他们培养成人。

他说他们可以自己决定要不要上课,他不会骂他们,分数没有任何意义,只是用来满足那些”讨厌的教务长”的”把戏”

他对大家的唯一要求就是每天参加下午茶的聚会,在那里他们会见到世界上最了不起的数学家

当然了,如果他们愿意,他允许他们参观高等研究院,看看他们能不能幸运地见到爱因斯坦、戈德尔或者冯·诺伊曼。

他一再重复的一点是,教授们绝对不会把他们当做娃娃。对于年轻研究生们,列夫谢茨的这番话无异于美国作曲家苏萨的鼓舞人心的乐曲。

毫无疑问,列夫谢茨富有企业家精神,精力充沛。他在莫斯科出生,在法国接受教育,酷爱数学,却由于不是法国公民而不能选修数学,只好学习工程学,后来移民美国。

23岁那年,他正在著名的电气公司西屋公司工作,一场严重的变压器爆炸事故发生,夺去了他的双手。用了几年时间,他才得以康复。其间他深感痛苦绝望,不过这场事故最终促使他下定决心,追求自己的真爱——数学

他到克拉克大学攻读博士学位,那里因为1912年弗洛伊德曾经举办精神分析讲座而闻名。不久,列夫谢茨和那里的另一位数学系学生相爱,两人结为秦晋之好。毕业之后,他在内布拉斯加州和堪萨斯州教了将近10年的书,一直寂寂无名。

课余时间他撰写了多篇具有原创思想的精辟的论文,渐渐引起学术界的重视,终于有一天,来自普林斯顿大学的一个电话邀请改变了他的生活道路,他成为普林斯顿大学数学系首批犹太人教师之一

列夫谢茨身材高大,举止粗暴,衣着毫无品味可言。刚来的时候,因为人们常常在走廊里假装看不见他,避免和他打招呼,他常常自称为”看不见的人”。但是他很快证明自己具有非凡的魄力,可以跨越远比这些过分拘谨、媚上傲下的同事更加困难的障碍,一手将普林斯顿数学系从一个”有教养的平凡之辈”培养成为令人景仰的”巨人”。

列夫谢茨招聘数学家只有一个条件,这就是原创性的研究。他注重独立思考和原创精神高于一切,蔑视那些优美或刻板的证明据说他从来没有在课堂上做完一个正确的证明

他的第一部全面论述拓扑学的著作提出了”代数拓扑学”的术语,影响深远,其主要价值在于体系,而不是细节,细节方面的确有很有一些欠斟酌的地方。有人传说他是在”一个休息日”里完成这部著作的,他的学生们根本没有机会帮助他整理。

他了解数学的绝大多数领域,但是他的演讲往往没有条理。他的编辑作风专制而又有个性,使普林斯顿一度令人厌倦的《数学年刊》(Annals of Mathematics)一跃成为世界上最受推崇的学术刊物。

有人批评他将许多犹太学生拒之数学系的门外,他却辩解说这是因为担心他们毕业之后多半找不工作。不过,没有人可以否认他确实具有极佳的判断力。他训斥别人,独断专行,有时相当粗暴,但是他的目标只有一个,就是为数学系赢得世界声誉,将学生们培养成和他自己一样坚韧不拔的真正的数学家

列夫谢茨关于研究生数学教育的思想是以德国和法国名校的传统为基础的,很快就成为普林斯顿的指导纲领,其核心是尽快使学生投入到他们自己的研究工作中去。由于普林斯顿数学系本身就积极从事研究工作,同时有能力对学生进行指导,列夫谢茨的想法得以付诸实践。

博学固然是一项值得尊敬的才能,但这并不是列夫谢茨的目标,他更强调学生应该有能力提出自己独特的看法,作出重要的原创性的发现。

普林斯顿给予学生最大的压力和最小的管制。列夫谢茨就说过,系里不要求学生非来上课不可。数学系确实设立了自己的一整套课程,不过考勤和分数一样,几乎只是幻象

到了在学生的成绩报告上打分的时候,一些教授会给所有学生判C,另一些教授则会都给A,装装样子而已。一些学生根本不需要上一节课就可以得到分数。的确,所谓成绩单只是用来讨好那些墨守成规、被称为”俗人”的教务长之辈。

比如数学系传统的口试,可能只是要求学生翻译一段法语或德语数学论文。由于选定的论文充满数学符号,文学极少,即便没有多少外语知识的学生也能看出个大概头绪。如果实在搞不清楚,只要学生许诺回去好好研读这份论文,老师们也可能判他合格。

真正要计算成绩的是”总考”,包括5个题目,其中3个由数学系选择,另外2个由考生自行选择,在第一年的年终或第二年进行。不过,即便是这次考试也可能依据每个学生的具体优缺点而进行设计

举例而言,如果某个学生对一篇论文掌握得很好,而且他总共就知道这一篇论文,那么考官确实有可能大发善心,出题时自觉把内容限制在这篇论文里,好让这个学生顺利通过考试。

学生动笔写毕业论文之前,最重要的事情是要找到一个高资历的教授支持自己选择的题目。整个数学系的教师对学生都相当了解,如果他们认为某个学生实在没有能力完成自己的题目,列夫谢茨就会毫不犹豫地更换导师或干脆叫他离开因此,通过了总考的学生通常在两三年里就能取得博士学位,而在哈佛则需要六七年,甚至更长的时间。

则柯(即作者本人——编者注)在1981-1983初次到普林斯顿大学进修的时候,当时的系主任项武忠教授还在津津乐道列夫谢茨建立的传统:普林斯顿数学系把研究生”扔到河里”,游过去的,就成为博士

普林斯顿总是有最好的教授,最好的访问学者,他们授业解惑,可以说是有问必答,但是决不关心考试。如果你自己不思进取,没有人会逼迫你。

普林斯顿总是开最先进的课,每周好几次请世界一流的数学家讲演自己的最新发现。她提供最好的环境,是不是能够利用这个环境,是研究生自己的事情

至于列夫谢茨,教授们都有点儿夸大地说,正因为他从来没有在课堂上完整地做完一个正确的证明,他的学生不得不把他的漏洞补上,从而练就了本事。

如果教授在课堂上讲的都已经十分正确十分完备,而学生能够把教授所讲背得滚瓜烂熟,那不叫本事。懂得高等教育的人都知道,如果每一步都要讲解得十分完备,你根本不可能在大学讲授一门象样的课程

本文转自《书城》2000年第3期文章仅作分享,不代表一读EDU观点和立场。一读EDU编辑部对原文略有编辑、调整,如需引用,请参考《书城》2000年第3期原文。

博士后老张归国记

【注:本文几乎没有版权可言,或者说,即使有版权,也很难找到当初的作者群了——是的,这篇小说甚至没有一个明确的作者。最早大概是在2009年开始在留学生论坛里流传的一个故事,当时只有第1、2部分,大家的猜测却出奇的一致:一定是某位在美留学的大龄生物学博士或博后写的,毕竟写得太真实了,很多人表示自己感同身受,几乎要读哭了。后来,大概在2012年,第3部分开始出现在国内论坛里。基于这一部分的情节中透漏出来对国内工作的熟稔程度,大家猜测这位作者应该是在国内郁郁不得志的青年高校教师或师资博后。很快,在水木社区上开始流传以女主角为主线第4部分。由于这一部分对女性心理的准确把握,大家又开始怀疑这是一位女网友的作品。然而,争议最大的也就是这一部分。因为初次发布的版本就是文中的悲剧结尾,所以作者收到了“你太恶毒”的评价。几天后,网上出现了不悲不喜的结尾。至此,《博士后老张归国记》正式完篇。另外,需要提醒的是,第3部分的最后一个自然段与第4部分的悲剧结尾是互相矛盾的,但与不悲不喜的结尾完美契合,这也证明了不悲不喜的结尾才是符合作者原意的续作。虽然不断有人对后两部分不满,要求写出一个喜剧结局来,但是因为前两部分的基调已定,再怎么改,也只能做到不悲不喜。】

第一部分:老张相亲

老张不老,博五快要结束,博六就要开始。

且慢,这博士咋读了五年还没读完?

这个问题已经被老张的爸爸妈妈爷爷奶奶叔叔阿姨包括刚学会说话的侄子侄女问了无数遍,老张的耳朵都快起了老茧,回答也快把嘴皮磨破老茧了。

读个生物博士我容易么我。老张心想。

可是老张父母等不及啦,左邻右舍拼命地问:张爸,你儿子咋读书读到30岁还没个完呢?还真读上瘾啦?怎么,到现在对象还没找上?那你们老两口可得趁着这个机会好好享享清福哟……唉,不能和你多说了,我那孙子一准醒了……

老张父母心里那个不是滋味呀。想着当初从老张出生开始,他们为了老张跑在别的孩子前头,费了多大力气。老张这孩子以县第一名考上名牌大学的时候,老张父母多荣耀。后来老张又出国了,老张父母多扬眉吐气光宗耀祖。可是这跑着跑着,老张这孩子咋还是不争气,落到别人后面了呢。眼见着隔壁那跟老张同年的学习不好的王二孩子都光屁股满地跑了,学说广告词了,这老张咋还对象都没个影呢。
当然了,在老张父母心目中,老张那是老张他爸,而老张依然是张娃子。

老张很想把父母签过来玩玩,可是他离家五年,对父母的感情越来越捉摸不定起来。有时候他觉得心里很想爸妈,简直想到骨头里去了。但有时候吧,他想到父母那两张喋喋不休的嘴巴,他就恨不得离他们越远越好。

这周末给家里电话,张爸又唠叨了:隔壁王二他小子今天学会了一句英语了,见人都说好肚油肚。老张不耐烦地说,那都是哪辈子的英语了,人都说 howareyou。张爸气愤地说:你会说有啥了不起,人小孩说稀罕。你啥时候给整个小孩出来说好肚油肚你就烧高香吧。张妈一看苗头不对立刻从张爸手里抢过电话,边数落张爸“你怎么还老跟孩子急”,然后对老张说:“儿啊,最近有碰到啥中意的姑娘没?”老张说“中意的姑娘没碰到,小伙倒是认识了好几个”。张妈柔中带刚地说“你别老和你妈打岔,你看我和你爸也老了,再老都不能帮你们带孩子了……”老张打呵欠:“那个‘们’一撇还没有呢”。听着老张那吊儿郎当的口气,张妈的好脾气也受不了了:“你这孩子,咋就不让我和你爸省点心呢?你看隔壁王二跟你同年的,小孩都学会说英语了……”

每次电话都是这样的死循环,老张每次挂了电话都想,这人生真是三十年河东三十年河西,想当初小时候父母老是说“再和王二那没出息的厮混,小心我(你爸)打断你的腿!”或者就是说“跟好学好,跟叫花子学讨,你别老跟着王二学坏,是不是人家讨饭你也跟着讨饭去?”结果这还没过三十年,就变成了“你看看人家王二,跟你一样大,不但媳妇娶了,儿子生了,这生的儿子还都会说英语了。”

说真的,老张自己心里也着急。咋不着急?这眼看着大好春光都陪着小白鼠度过,为啥那红袖添香夜读书的姑娘她就是迟迟不出现呢?难道我老张真的是命犯孤星?不能啊。

总结来总结去,原因只有一个:僧多粥少。

老张在学校五年了,除了第一年,年年接新生。可是接来接去接的都是男生。偶尔接到个把女生吧,安置下来后就杳无音信。很多女生刚来的时候都有海誓山盟的男友,纯洁美好的让老张不敢作任何妄想。等几个月一过这些女生同国内男友吹灯拔蜡之后,老张又发现她们不管丑的美的统统让别人捷足先登了。没办法,谁让他除了带TA写paper做实验之外还得伺候小白鼠呢。

有时老张甚至幻想,有一天某只小白鼠含情脉脉地看着他,偷偷咬他一口。他正要生气的时候,发现一貌美如花的白衣MM正咬着手指巧笑倩兮地看着他呢。

可是老张的白鼠姑娘依然没有出现,这春节一过,老张立刻被打上了30的标签。虽然老张自己一再重申这30岁是野蛮的毫无道理的,因为他明明还未满29岁,可是老张爸妈不干了:“儿子,人家都说30而立,你咋什么都没立呢?书书没念完,老婆老婆没找到,儿子更是没个影。”

老张还想像往常一样打马虎眼过去,可是老两口认真了:“今年你安排个时间回来,我们托人找些姑娘你相一相。”

“那哪成?那没有感情基础。”老张嗫嚅地说。

老张爸在电话那头把眼珠子一瞪:“要个屁的感情基础!你要是有那本事找个有感情基础的,你也不至于到30了还光棍一条!”

老张想再次重申自己还未满30,可是想到电话那头老爸直飙而上的血压,忍了口气,陪笑说“行,我跟老板商量商量,今年回趟家,找个老婆给我爸生孙子!”老张爸再一吼:“这是正经事情,别跟你爸嬉皮笑脸的。”“是是”,老张无奈地说。

老张的飞机一落地,老张就不是实验室那个勤勤恳恳伺候小白鼠的老张了。老张是学业有成年轻有为青年老张。这是老张爸给他的定位。老张对自己的定位稍土一些,头衔叫相亲别动队。本来他觉得此行是一个搞笑的主题,但当他见到已经老态明显的父母时,忽然意识到他爸说的是正确的:“这是正经事情”。他决心把它当成一个project来搞。

第一个星期老张分别见了A,B,和C。说实在的她们挺好的,长的挺好的,谈吐挺好的,家境挺好的,什么都挺好的。但是老张相亲的时候老容易走神,这让她们觉得老张这人挺不靠谱的。A说的是,你这人挺好的,但是我不太想去美国发展,真不好意思。B说的是,你挺好的,可是吧我觉得我不适合你。C什么也没有说,礼貌地说了再见,就再也没有见过。

第二个星期老张又见了D,E,F和G。这四个姑娘也都挺好的,老张也没有再走神发呆,他开始进入状态。他觉得D虽然漂亮,但是学历有点低。E谈吐不错,但长的有点那个,还赶不上学校女生的平均水平。F挺有趣,但是她年龄太小,他怕和她有代沟,跟不上她的步伐。G各方面平平朝上,但是怎么说呢,略显精明,她甚至还说“听说你们生物在国外挺不好混的”,害的老张一口热茶差点噎进气管里。

第三个星期老张见了H,I,J,K,L…他发现原来世界上单身的女孩还挺多的。但是他见得越多,她们在他心里就越平面,变得像一张张扑克牌。他抽一张出来还挺好的,再抽一张出来也挺好的。但一张和一张之间,他看不出有什么分别。

于是后来,老张只好做了一张Excel表格,给她们每人各项打分,再加权平均。外貌的权重是20%,学历加专业权重20%,做饭手艺权重10%……渐渐的这些活色生香的女子在他心里就变成了一个一个的数字:8.5,9.3,7.6……9.3不错,可惜9.3没有看上他。也许还是8.5好,会做一点饭,人也算温柔,妈说屁股有点大能生孩子……

一个半月的相亲生活,在飞机的轰鸣声中渐渐远去。

老张定了8.5和另一个8.8的作为可行性发展对象,回到学校后继续联系。老张发现原来从未谈过恋爱的自己居然有不少恋爱天赋,可能是因为隔着屏幕看不到脸,老张的脸皮也就厚了起来。8.5和8.8都挺爱和他聊天的。再后来,老张就定了8.5,因为张妈听介绍人说8.5的个性好一些,于是就逼着老张和8.8断了。据说8.8为此还哭了,老张说不清楚,感觉也有点难受,但是既然妈说了8.5就8.5吧,本来就是为了爸妈找的老婆,还是听他们的吧。

老张和8.5谈了半年的msn恋爱,婚期定了,国庆。

老张其实挺不喜欢国庆结婚的,但是老张的爸妈和8.5的爸妈都挺喜欢的,普天同庆嘛,再者亲戚朋友也抽的出空来吃酒席。所以老张又跟老板请假。老板有点不高兴,可是人结婚大事,总不能不让人去,但也很是给了老张几天脸色,并暗示像他这样休假下去六年毕业都挺困难的。
但老张终于要结婚了啊,老张已经过了29岁生日,再过一年就要满30岁了。古人云30而立,又云先成家后立业,所以这家是一定要成的了。老张想到终于要有红袖添香了,心底挺高兴的。但转眼又想到自己真要独自承担起一个家了,心底又有点乱。临近回国,他又开始想就这样和一个见过几面的人结婚是不是太草率仓促了。可是,一切都在如火如荼的准备之中,他更像是一只流水线上等待宰割的鸭子。

直航飞机经过气流层,上下颠簸着老张醒来了。其时老张正在梦里快速回放相亲过的ABCDEFG,以及后来的9.3,7.6,8.5。他恍惚地睁开朦胧的眼睛,看见飞机椅背上的飞机航行状态图,原来真的是三万英尺。他想起大学毕业时候吼的歌,悄悄爱过的女孩,想起她的长长黑发,透明眼睛,芊芊背影。她的笑声,她在操场上跑过的姿势,每一丝每一时都那么立体。老张不由得想出了神。

他终于明白为什么自己在和ABC相亲的时候会走神:他在想她。

他终于明白为什么自己总是在追女生的时候后知后觉:他一直爱她。

原来他的潜意识里,是有一个女孩的,只是他一直强迫着自己遗忘。

这世上竟然没有真正的相忘于江湖。至少他老张没有做到。但,又怎么样呢,此刻他已是一个待婚的男人。

下了飞机,老张在接机口看到了他的8.5。老张看过她很多照片,所以一眼认出她来。她有点羞涩的笑着,挥手叫老张的名字。老张拖着行李箱大踏步地走过去,一直走到她面前。老张的手在衣兜里摸到一枚戒指,这戒指是用来向她求婚的。但老张终究没有在众目睽睽之下单膝跪地,他把戒指塞到她手里,她说“谢谢”。因为这事情早就计划好,这也就算求婚成功了。

婚礼办的盛大而热闹,东方而西方。老张的姑姑说老张穿着西服也有点人模狗样起来了,老张的阿姨说这就叫佛靠金装人靠衣装。酒店里宾客来来往往,热热闹闹,老张父母简直比老张还激动,脸上笑起的皱纹好像绽放着一朵大菊花。

老张站在台上,听着欢快的音乐以及嘈杂人声,忽然想这究竟是不是一场梦。或者自己是主持人,身边的主持人才是新郎。但他有点想不通自己到底是怎么卷入这一场闹剧里来。可是忽然一切都安静下来,婚礼进行曲响起,红地毯的一端,是他的新娘披着白纱,挽着她父亲的手臂款款走来。

不知为什么,老张忽然有些不忍看这一幕,抑或是不敢。他偏过头,看到主宾席上盛装的父母婆娑泪眼中期待的目光。他忽然明白,他是在这期待的目光里越走越远:他在这期待的目光里迈出人生的第一步,他在这期待的目光里独自踏上北上的列车,他在这期待的目光里抛下曾经的她赴美追逐梦想,他又是在这期待的目光里一次又一次地流水相亲。而此刻,他在这从未改变的期待的目光里,不能不再次勇敢地直面现实,甜蜜而微苦地傻笑着伸手接过他8.5的妻。

第二部分:老张的人生全线溃败

老张的博士整整读了六年。

这六年中,他无数次地憧憬过拿到那张毕业证书,正式成为一个有Dr头衔的人时的场景。他是会大笑,还是会哭泣?也许会呐喊,更可能会绕着会场狂奔。他想像过无数个场景,而当他真的从老教授手里接过那张薄薄的纸时,他却什么感觉也没有。像是一只刚刚被注射了麻药的小白鼠,从汗毛末梢一直麻木到心里。是无比空洞的茫然。而这种茫然直接地反射到他的脸上,使他在余雨的相机里怎么看怎么平面,有点像是一个活死人。

“你又怎么了啊?天天吵着要毕业,现在毕业了,还板着个脸。我跟着你真是他妈的倒霉透了,瞧瞧你那副棺材脸,看着都折寿!”老张回到座位上之后,余雨不满地挖苦他。老张对此没有作出任何回应,甚至连一丝愤怒也没有——他已经习惯了。有时候他想这究竟是不是一个规律:婚姻使女人聒噪,使男人沉默,然后女人的聒噪使男人愈加沉默,而男人的沉默则导致女人的更多聒噪。不过,不管这个规律是否适用于大部分婚姻,老张的婚姻早就陷入了这个恶性循环是确定一定以及肯定的。

老张只是不太明白余雨为什么会变成现在这个样子。在相亲的时候,她虽然不是最出众,但也是十分美好的。那时的她不讲脏话,也不摔东西,也不会用恶毒的语言诅咒老张。但即使余雨变成如今这个样子,在老张心里,她依然是他相濡以沫的妻。他从来没有后悔过当初回国相亲,也从来没有后悔在众多的相亲对象里挑中了余雨。在老张的世界里,这个世界上没有所谓“如果”这个命题,存在即是合理。已经发生的就是既定事实,所能做的就是积极勇敢地去面对它。所以当老张面对余雨暴风骤雨般的辱骂时,没受过什么情感教育的他所能做到的最好就是沉默地包容以及忍让。

但余雨和老张想的不一样。她无时无刻不在后悔。如果时间可以倒回到她的25岁,她绝对不会同意和老张相那个莫名其妙的亲,又鬼使神差地被老张的美国博士光环蒙蔽,抛却工作,家人,亲戚,朋友,跟着老张一起来到这个鸟不生蛋的混蛋美国。自从来美国之后,她的脾气变得越来越坏,学会了讽刺,挖苦,诅咒,歇斯底里的怒吼以及摔东西。更让她生气的是,她所有讽刺,挖苦,诅咒,怒吼,以及摔东西的影响对象只有一个,那就是老张,这个一棍子打不出一个闷屁的老张。她讽刺挖苦诅咒老张的时候,老张从来不还嘴,甚至连一点生气的表示都没有,好像她根本不存在,她所采用的一切恶毒词汇对他没有任何撼动力。当她怒吼或者摔东西的时候,老张倒确实会紧张,但他紧张的并不是她,他是害怕余雨的动静太大吵到邻居报警。每次余雨看到老张紧张地搓着手,一副小心翼翼叫她不要吵到邻居的样子她就越发生气:她怎么会嫁给一个这样窝囊的人!从头到脚,怎么看怎么窝囊!

余雨并不知道,任何一个人如果在老张的实验室干上六年活,基本上都会变得像老张差不多窝囊。而老张之所以比其他人要显得更窝囊,则完全应该归功于余雨这一年零四个月以来的陪伴与照顾。

不过,对于老张成功地博士毕业以及找到一个博士后职位,余雨和老张两个人都很高兴。虽然博士后的钱不多,只有三万出头,但是毕竟比老张博士时候的奖学金高出来不少,手头可以宽裕一些,甚至还可以存上一点钱。让余雨非常高兴的还有一点就是他们终于要离开这个荒无人烟的农村了,这让她从心底里觉得欢畅起来。晚上余雨在电脑上看碟的时候看一个当年的下放知青描述当年知道终于可以回城时的激动澎湃的心情,忘我地笑着跟老张说,你知道吗我现在的心情跟她还真是他妈的像。而好久没有听过余雨高兴口气的老张反应又不适时宜地慢了半拍,表情尴尬地给了一个“哦”字,又招来余雨对他的一个白眼和一顿抱怨。

抱怨归抱怨,老张从余雨的口气里还是听出来她心情不错。于是晚上上床的时候,老张壮起胆子,半开玩笑地跟余雨说:“余雨,要不咱们也生个娃吧。”

黑暗中的余雨没有作声,老张便将这看作是余雨的默许,开始往她身上爬。

余雨睁着眼睛,悲哀地看着激动到有点战战兢兢的老张。跟激动的老张相比,没有一丝感觉的她好像是一具解剖台上的尸体——她太清楚他下面都要做什么,因为他每一个步骤都像完美设计的实验程序,每次与每次之间哪怕相隔数月,都几乎没有太大误差。有一刻她看着胸脯白白胖胖松松垮垮估计有A-罩杯的老张,忽然觉得心里有一股说不出来的恶心。这恶心终于让她猛然醒悟过来今天忘记提醒老张采取必要的安全措施,但老张已然完成了他的最后一个步骤,满足地趴在了她的身上。

余雨推开他走进洗手间去冲水,一边冲一边怒气冲冲地对老张吼:“如果怀孕了怎么办?如果怀孕了怎么办?”老张还沉浸在征服的喜悦中,高兴地回答说:“怀上了就生呗!”但是余雨一边冲着一边就开始哭了,一边哭一边诅咒老张顺带问候老张全家,老张就拿着她的洗澡毛巾唯唯诺诺地靠在浴室门口讨好地看着她。老张没有反对余雨问候他全家是因为余雨也不能算是完全冤枉他父母。老张的父母没有太多文化,不懂得什么叫做越俎代庖,在他们看来,他们所做的一切都是为老张,为余雨,为他们家庭的将来好。而且在他们看来,结婚就是为了生孩子,否则干嘛还要结婚呢。所以从余雨刚刚嫁给老张开始,他们就开始督促余雨生孩子的事情,而他们的不当沟通方式也引起了余雨的直接反感。余雨说,我是一个有血有肉的人,不是生孩子的机器,我生孩子是我的事,关你父母什么事?他们想生让他们自己生去。在老张听来,这话实在是大逆不道,且不说让两个五十多岁的人生孩子是否具有可行性,自己活了三十岁也从没能为父母做点什么,生个孩子让他们尽天伦之乐享绕膝之欢是一件怎么也不能说过分的事情。但是余雨说的话从她的角度看,也并非没有道理。所以在这件问题上,他保持缄默了很久,平常也不触及这个敏感话题,直到今夜。所以此刻靠在浴室门口的老张虽然表面上唯唯诺诺,心里却是酣畅淋漓,心里反反复复地回荡着一句“春风得意马蹄疾,一朝看尽长安花”。虽然余雨在哭,但她经常哭,哭哭也就过去了。夫妻吗,就是床头吵架床尾合,何况她即使再生气,她也没有朋友可以找,没有娘家可以回。生活空间被限制在这小小的一室户里,再大的矛盾它也顶不上天去。

过了几天,老张和余雨把家里的旧家具能卖的卖了,该扔的扔了,把其他东西零零总总地收拾了一下塞进车后备箱和后座里,在空落落的房子里留了个影,就开车奔向了新生活。老张告别的时候,眼里闪过一丝泪光,但兴高采烈的余雨并没有注意到。也幸好她没有注意到,否则她一定会嘲笑老张窝囊,受虐狂,在这样的鬼地方呆了六年居然还产生感情了,真是天生蠢材。余雨已经想好了,到了城里,她要好好地学习,狠下一把劲,把托福和GMAT考了,申请读研,结识新的朋友,走出老张阴影笼罩下的小世界,走进五彩斑斓的大世界。至于几天前夜晚的突发事件则已被余雨远远地抛在了脑后,因为她的哭不过是为了震慑老张,而潜意识里觉得窝囊的老张就那一次绝对搞不出什么来。

然而余雨错了。老张就像她当时诅咒的那样,是坏到骨子里的坏。他成功算计了她,先是把她算计到了美国,接着又算计着她怀了孕,让她的完美计划彻底泡汤。但余雨怀孕这件事在老张看来却完全不一样,是件值得昭告天下的大喜事。他在读博士的时候做了无数个实验,最后才勉强成功了一次发了个论文毕了业。这样一比较,他在造人方面的天赋就显著的多,只一次就成功了,就那么一次。年满三十岁的老张终于要成为一个父亲,他多么高兴,他多么骄傲。他觉得这个孩子是他人生的转折点,分水岭。为了孩子,老张想,自己一定要好好干,多出结果,早日结束博士后的生涯,做上助理教授,将来带着余雨和这个孩子,以及可能会有的下一个孩子,吃香的,喝辣的,其乐融融,做一个美国社会的典型中产幸福之家。老张并没有把这些憧憬告诉余雨,原因有很多。一,他觉得这种话在现实生活中说出来非常恶心,毕竟人生不是小说,更不是电视连续剧;二,他认为只要自己认真去做,余雨一定能够懂他;三,他没有必要为自己找麻烦,接受余雨的再一次打击及嗤之以鼻;四,因为荷尔蒙水平不稳定,余雨的脾气变得比怀孕前更差,所以基本上没有一个合适的机会和气氛对余雨做以上煽情温情矫情的表白。事实上老张在余雨怀孕后,说的话并没有比以前更多。有次余雨发脾气的时候,老张斟酌了很久,跟她说“老婆,不要生气,生气对宝宝不好”,立刻被余雨吼了回去 “宝宝宝宝,你就知道宝宝,我不是个人?!哪条法律规定我不能生气?我一生气我还跑去堕胎呢!”吓得老张赶紧闭嘴。

好在余雨不会真的去堕胎。有时候老张觉得美国确实还是有些非常好的规定,比如禁止妇女随便堕胎。有天他看国内的新闻,说一个怀孕七八个月的80后妻子跟丈夫吵架,决定不跟他过了,便立刻去医院做了引产,引产完就提出离婚,看得他一身冷汗。余雨也是一个80后,所以老张深信如果自己和余雨身在国内,他在余雨肚子里播种的孩子可能真的无法撑到安全落地。每每想到这点,老张都不由得深吸一口气,虔诚地感谢上苍及美国成全了他一颗赤父之心。

老张的博士后生涯开展的不太顺利,准确地来说其实是开展的太不顺利。老张的新老板和旧老板在行事风格指导下属上的背道而驰,让从火焰山跳进北冰洋的老张极端无所适从。老张的旧老板是一个有无数想法的人,老张所要做的就是尝试他这些想法看是否可以实现。因为旧老板的想法太多期限很紧,老张并没有时间考虑这些想法是否愚蠢,更不要说培养自己独立找想法的能力。但新老板居然没有一个想法给他。第一次和老张碰面,新老板说完“张,你可以先构思一个项目,想出了轮廓之后再来和我讨论”就拍拍屁股去开会了,将目瞪口呆的老张撂在一片苍茫茫前不见古人后不见来者的异度空间。

总是会有办法的,老张安慰自己说。多看论文,勤思考,一定会有想法的,一定会有的,一定。但是老张发现不知道从什么时候开始,他已经无法坐下来安静地思考,或者说,余雨没有给他任何安静思考的机会与空间。即使他不在家去了图书馆或者呆在实验室,他的心里也无时无刻不牵挂着余雨和她肚子里的孩子,或者说,是他的心已经被余雨的声音和动静填满了。因为效率低下,老张不得不更长时间地泡在图书馆或者实验室里。老张想起来小的时候母亲挑选用来孵小鸡的鸡蛋,对着光照一照,中间有一个小黑点就证明这个鸡蛋可以孵出小鸡。他真想把他要看的那些论文对着光照一照,看哪些论文看了之后会孵化出新的论文来。

老张看完了近期的所有期刊后,却依然没有归纳出任何属于自己的想法。老张是一个纯粹的接收者,像一个黑洞。或者说老张是一个男人,要一个男人努力地去怀孕生孩子确实是太过于难为他。而更大的痛苦是,老张好不容易想出了一个构思,去网上一谷歌发现早在两三年前人家就已经写成论文发表了。老张没有想当初决定读博士是不是一个错误,因为后悔与反思不是他的风格。老张也没有想过转行,因为他的人生已经有十年投入到这个行业当中去,那是他的黄金十年,他不能说放弃就放弃。也许再挖一寸就能见到井水。也许,可能,或者。老张越来越害怕那一个月一次的组会。

余雨不知道老张在新的实验室的所有挣扎,她所看到的只是一个早出晚归的老张,一个对老婆和孩子不负责任的老张。她和老张的交流越来越少,老张似乎也并没有注意到。余雨想通了,她是不可能和这个人过一辈子的,尽管她已经有了他的孩子。

在心理上把老张当成是一个陌生人以后,余雨平静了很多,在挺着大肚子为自己做饭的时候也不再会哭,也不会在去论坛上讨伐老张的不管不问,让他在无数的跟贴中被骂得死无全尸灰飞烟灭。余雨开始认真地学习准备考试和申请学校。余雨发现这个失败的婚姻让她认识到了自己的坚强。未来不管怎么样,应该都不会比现在更差,更可怕。

该来的终于来了,周日的时候老张的新老板给老张发了一封信,要求和他单独谈谈。老张颤抖着手关掉了邮件窗口,像一个老年帕金森综合症患者,余雨斜着眼角看了他一眼,便低下头继续做题。余雨对他这种惊弓之鸟的状态已经习惯了,烂泥是永远扶不上墙的。她做着手里的题,想像它们是一双翅膀两双翅膀,可以终于带着她逃跑,离开,飞翔。她觉得由衷的愉悦。

进了老板的办公室,老张小心翼翼地在老板对面的位置上坐下来。
老板:“张,你知道我找你来是为什么。”
老张:“其实不太清楚。”
老板:“你已经连续五个月在组会上没有任何发言了。”
老张:“我一直在努力,我在努力。”
老板:“我是付你薪水的。”
老张:“嗯,我知道,谢谢。”
老板:“你有没有想过,也许你并不适合学术这条路。”
老张:“不会,我知道有志者事竟成,努力一定会有回报的,在将来的某一天。”
老板:“也不是所有的努力都会有回报,进行学术研究是需要创造力与天分的。”
老张:“我觉得我会有。”
老板:“我欣赏你的态度,但是还是要尊重现实。现在全球性的经济危机袭来,实验室的资金到位并不是很理想。”
老张觉得一股寒气从脚心直升到头顶,他说:“您能再给我六个月时间吗?”还没等老板说什么,老张听见自己继续在用磕磕巴巴的英语说: “我妻子还有两个月就生孩子了,她没有工作,可不可以再给我六个月时间,我一定加油,一定。”
老板:“张,很抱歉,但我的实验室不是慈善机构。”
老张:“我求你,我们全家求你了。”
老板:“如果六个月之内还没有进展,我是没有办法再继续雇佣你了。”
老张:“那一定,谢谢。”

老张和余雨的孩子提前了半个月诞生了,是个女孩,只有六磅重。老张捧着小小的女儿,心里百感交集。他给孩子取名叫Ann,中文名叫安安,希望她能够平平安安地长大。而余雨因为产后晕厥,错过了对孩子姓名的否决机会,否则她是绝对不会给女儿取这样一个土了吧唧的名字的。不过她在这件事上并没有纠缠太久,因为她的大部分精力都用于和前来给她坐月子的老张妈作斗争上了。

余雨不爱老张,更不会爱他妈。对于她一个年过半百的人来给她照顾月子,她并没有太多的感激之情。因为这个孩子本身就是他们全家算计她的,他们自然应该负责任。余雨在过去近两年里学会了无视老张,其实与老张的沉默有着密不可分的关系。她发现她就无法无视絮絮叨叨的老张妈。她出了月子就要考试,所以月子里依然还在看书做题。老张妈一看到就要说她,说月子里不能劳神,看书容易变瞎。余雨不睬她,她就说余雨目无尊长。在余雨看来,没有直接顶撞她,已经证明了自己的极高修养和良好家教。

老张没有卷入这场家庭斗争,因为他已经自顾不暇了。有很多时候人们相信奇迹,但奇迹永远只会发生在小说里,电影里。现实中你以为你在最无助的时候买个彩票就能中上五百万,往往是对号码对了半天发现连50块都中不了。所以如果你要是认为老张真的能够在那宽限的六个月中进行头脑风暴,构思风起云涌,那不过是你同情老张,愿意陪他一起意淫做梦。

老张在挣扎了三个月之后,终于意识到他的唯一出路跟网上的建议一样,就是寻找下一个实验室做他的冤大头。于是他跟余雨建议让他妈把孩子带回国去带,这样节省生活开支,更不至于让孩子在很小的时候就跟着他们颠沛流离。余雨二话不说就同意了,孩子对于她来说完全是个累赘,在肚子里的时候是,生出来之后依然是。她的考试结果出来都不错,申请顺利的话到了九月份就可以开始上学读研了。而开始上学就意味着她终于可以摆脱死气沉沉的老张,絮絮叨叨的老张妈,以及哭哭啼啼的老张女儿。现在有这样一个机会让她提前摆脱掉后两者,有什么理由能让她不欣然接受呢。至于骨肉情深,余雨并没有太多的体会。她认为,只有和爱人生的孩子,才是值得疼爱与珍视的。对于安安,她只能说妈妈对不起你,因为她真的爱不起来。

原来经济危机不仅仅会出现在历史和政治课本上,它是一场能够真正波及到每个人的风暴。老张从来没有想过自己和经济能扯上任何关系,在这场危机中他却好像和经济是绑在一根绳上的蚂蚱。他联系了很多实验室,都是一句话:没钱。在危机中依然有钱的实验室都是厉害的实验室,看不上老张这个在实验室做了一年就被老板扫地出门的Loser。但老张还是要感谢美国政府,体贴地把他的OPT从一年延长到了二十九个月,让他尚可以苟延残喘一把,也好歹可以支撑到余雨开始上学。余雨并不知道老张已经失业了,因为他依然每天早出晚归。大部分的时间老张是去公共图书馆,有的时候只是在公园里闲逛。他只是不想让余雨沮丧,担心,难过。她已经好久不再苛责他,这让他非常感激,又非常不安。老张喜欢余雨的安静,像他最初认识她时的样子。而余雨的安静又让他觉得无比的不安,就好象暴风雨来临之前,总是无比的宁静。他知道余雨拿到了录取通知书,但是什么专业哪个学校一无所知,余雨不说,他就不敢问。余雨依然给他做饭,两个人一起吃饭的时候却尴尬的只有咀嚼食物的声音。老张有时候想开口发声,但看到余雨那张漠然的脸,千言万语往往只化成几个字“嗯,不错,这个挺好吃的。”余雨也并不回答他,仿佛他是个透明的泡泡。

转好身份的那天,余雨给老张摆了一桌鸿门宴。

老张回到家,看见桌上的酱鸭,蒸鱼,西红柿炒蛋,鱼香肉丝,茶树菇排骨汤以及香槟,堆出一个笑脸,装作很快活地问余雨:“哟嗬,今天伙食不错,有什么可庆祝的吗?”

余雨打开香槟,为他斟满酒杯,浅浅地笑了笑:“我转好身份了。”
“不错啊,独立了。”老张抿了口香槟,“是该好好庆祝一下。”
“吃吧,你回来的晚,都快凉了。”余雨说。

得妻若此,夫复何求啊,老张心想。所有的困难都会过去的,哪怕他转行,对,哪怕他转行。最近他在图书馆博览群书,大开眼界,学会了沉没成本这个词。他终于明白他的黄金十年已经像泰坦尼克号一样沉没了,他不适合学术界,他要去工业界,老老实实找一份工作,养家糊口。他依然可以带着余雨和安安奔上小康之路。

但是在老张大快朵颐风卷残云觉得生活掀开新的篇章的时候,他听见余雨说:“张晓翔,我觉得咱们就到这里吧。”“啊,我还可以再吃一点。”老张说。

“我不是说吃饭,”余雨说,“我是说我们。”

老张含着鸭子放下筷子:“余雨,这是什么意思。”

余雨说:“我们离婚吧。”

老张偏头看她,一副不敢相信的样子。但是他的大脑却仿佛早已预知这一切的发生,迅速接受了现实,并且让他的眼泪以最快的速度充满他的眼眶,并且沿着脸颊流下来。余雨看着他这幅窝囊的样子,有些不忍,但她心里清楚地明白,长痛不如短痛,一个错误的不修正,只会引起更多的一连串的错误。在她心里,她和老张这两年多的婚姻,也是一个沉没成本。

在冷静的余雨面前,老张的心像是被石头撞着,是巨大的闷痛。他从来没有像此时此刻觉得自己那么失败过。当他流着泪跪在老板面前请求他再宽限六个月的时候,他觉得不能比这更失败了;后来他抱着安安去打针,小小的安安被护士扎了好几针哇哇大哭,他抱着安安就陪她一起哭,他觉得不会有比这更无力的时候了;然而他的人生却像是一架笔直向下的过山车,带着惊恐无助的他一路冲向深不见底的地方。他没有想余雨的行为是忘恩负义,是过河拆桥,他只是在想他到底是怎么走到了这一步,到底是哪里走错了。怎么会到今天这样,四面楚歌。想到头痛的老张把脸埋在手里,发出受伤的兽一般低沉哀嚎的声音。

余雨不知道老张的心里一直背着那么重的包袱,也不知道他是在一直怎样努力地用他的方式保护着她。否则她不会选择在老张最无助的时候提出离婚,也或者她根本会爱上他。但是正如老张所坚持的那样,这个世界上是没有如果的。如果老张没有那么沉默,也许他就不再是老张,而是老李,老王,老吴了。老张最终没有告诉余雨他的处境,而是同意了离婚。老张把所有积蓄的一大半给了余雨,虽然没有很多钱,但是尚可以缓解一下她要开始念书的经济压力。余雨同意把安安留给老张,因为她知道老张爱安安比她爱的多的多。老张收拾好自己的东西离开之前,余雨说,有空还可以像朋友一样聚聚。老张看着她,说:“余雨,我没有照顾好你,你一定要幸福。”余雨从来没有听过老张这样讲话,她忍不住抱住他哭。老张小心翼翼地拍着她,没有流泪。因为他的泪水在过去的半个月里已经流尽了,结了痂,成了厚厚的盔甲。他也知道,他不会再和余雨像朋友一样聚聚了,他的失业期已经超过了规定期限,失去了在美国的停留权。

老张回国的机票已经订好了,在五天以后。因为并没有什么地方可去,老张拖着箱子,买了一张不知道去哪里的火车票。他在美国七年,勤勤恳恳,兢兢业业,基本上没有出去旅游过。现在要走了,倒是可以看看美国的大好河山。老张坐在靠窗的座位旁,如饥似渴地盯着路边的风景。而那些风景都是转瞬即逝的,就像老张的青春。他想起高中毕业上大学的时候也是坐的火车,也是一样地看风景。那时的老张还是小张,没有现在这么胖,瘦瘦的,浑身透着一股灵气。然后他想起和前老板的那次谈话,他说,做学术是需要天赋的。然后很久以前,余雨最常挂在嘴边的话就是“张晓翔你怎么那么窝囊”。老张眼里的风景和脑子里的画面交织在一起,难解难分。于是他长长地叹了一口气。

“哥们,咋了?”老张旁边的黑人问叹气的老张。

老张说:“我刚刚离婚了。”

“那确实他妈的糟糕”,黑人说,“不过,女人嘛,没什么。走一个,自然会再来一个,这就是人生啊,哥们。”

这段话让老张想起那首王洛宾的歌:太阳下山明早依旧爬上来,花儿谢了明年还是一样的开,我的青春一去无影踪,我的青春小鸟一去不回来
于是老张就不再和他搭话,开始眯起眼睛睡觉,他实在是太累太累了。

终于,老张拿着登机牌坐在候机厅里,透过巨大的玻璃窗户看着外面的飞机,以及像蚂蚁般繁忙的人们。当初他就是这样一个人来的美国,如今他又要一个人回去了。未来的路怎么走,他不清楚。他是否留恋这里,他也不清楚。如果是几个月以前的他,他可能会哭,但是这几个月他坚强了很多。他知道即使他哭,他也不会是为离开美国而哭泣,他哭的不过是自己的韶华。但自从他明白了这些过去的投入都是沉没成本之后,他就不容易为这个哭。他也不再留恋余雨,他能够衷心的祝愿她幸福,说明他不够爱她。他们两个本来就是不对的两个人,余雨没有错。过去的已经过去,而未来即将到来。当飞机升空,再次将老张推向椅背的时候,他紧紧地闭上了眼睛。

祝老张幸福。

第三部分:老张祝福大家,世事静好,平安喜乐

老张不记得自己是怎么下飞机,然后又是怎么到宾馆的。他一路上并没有喝酒,却老觉得自己醉醺醺的,看什么都不太真实。好像有一刻他曾拉着行李箱狂奔,越跑越觉得自己是一头被拴在一个巨大的磨上的驴——他那么努力地往前狂奔,却逃不了回到原点的命运。

老张没有告诉任何人回国的事,连自己爸妈也没有讲。以前听别人说出国就是一条不归路,总觉得有点装B。真到了自己头上,就发现这话说的其实一点也不假。虽然大家嘴里都说如今中国往上美国往下,但谁也不会真以为老张这种裸归族是识时务的俊杰。至于老张父母,虽然总跟邻居叨叨说羡慕人家儿孙绕膝,但提起老张“在美国”时还是不免有种半惆怅的欢喜。所以老张决定还是等找到工作后再分次告诉爸妈他海归及离婚这两件事,好歹不会显得他的人生多么苍凉,也略微缓冲下对二老造成的冲击。

可是没有想到,原来拿着海归文凭在自己的祖国找工作居然也这么难。虽然老张经过博士后经历的洗礼明白了自己不是块做学术的料,但不知道为什么,回国后的第一想法还是去学术界试试。于是老张拿着简历找了几所高校,转了好几圈找到所谓的“相关负责人”。

“相关负责人”的态度却相当傲慢,拿着老张印着J. Biochem.文章的简历对老张说:“你这个条件——虽然是海归,但论文的数量不多,质量也一般哪。博士后做了一年,什么结果都没有——为什么不继续做了?”老张有些尴尬,刚要回答,对方却自己接下去了:“我看你也是没有办法才回来的吧?这样吧,我们这里正在招师资博士后,你要是觉得有兴趣就把简历留下,如果有教授对你有意向的话再跟你约面试的事情。”老张第一次听说“师资博士后”这个名词,本来还想问问清楚,结果对方一副日理万机的样子,直接给老张下了送客令。

回去一百度,才知道师资博士后是个畸形产物,跟大学扩招差不多,主旨是为了构建和谐社会。简而言之是又要做科研又要去教书,并且永远都在考核期。至于待遇就更不清楚,居然是按照人事部全国博士后管委会相关文件制度发放工资。还有这么个部门。老张思来想去,觉得自己虽然对学校留恋,但实在犯不着去做个师资博士后,于是决定还是找个工业界的位置算了。

以前听别人说找“学术界”“工业界”的工作,基本上论调是“唉,混AP无望,只好去工业界了”,好像只要一个有志于学术界的人声明放弃搞学术了,就会立刻被工业界喜出望外地一抢而空。但这事没有发生在老张身上。老张海投了无数份简历,收到的回音却寥寥无几。后来才想到是投工业界的简历需要重新修改的缘故。但不知不觉好几个星期已经过去了。老张本来打算工作定下来后再就近租个房子的,结果发现找工作居然要打持久战,才退了宾馆在光华BBS上找人合租了个廉价的两室一厅。

跟老张合租的是一个大学刚毕业的男生,叫何方。说来也巧,居然也是生物专业的。重点大学本科毕业,不想再继续往上读了,所以也跑来上海找工作。听说老张在美国拿了博士学位,还“读”了一年博士后,景仰不已。结果何方找到工作两个星期以后,老张才拿了三个面试,而且有两个已经明确地黄了。两人晚上在一起喝酒的时候,何方说,兄弟,没事,工作和感情一样,都是水到渠成的事。他们不要你是他们的损失,别跟他们一般见识。再说了,你不是还有一个面试吗,还是美国企业,大公司,好好把握呗。老张抿了口酒,苦笑着说,怎么感觉啥事儿到你嘴里都不算个事儿?何方装作老朽的样子捋了把不存在的胡子说,年轻人,万般皆浮云哪。兄弟,干杯!

老张跟美国公司的面试还挺顺利的,因为方向对口,老张几乎没有在任何一个技术问题上面卡壳。最后一轮面试是见大头。大头说,你的专业知识不错啊。老张谦逊地说,还好,还好。大头说,你填的期望薪资有点偏高嘛。老张有点怀疑自己的耳朵——他明明只填了八千月薪。大头说,我也理解你的想法,博士,海归,还发了一篇非常不错的论文,怎么样都值八千一个月。但是我们公司是按职位来定薪水的,这个职位呢本来就是硕士也可以,所以薪水我们最高只能开五千。你也是找第一份工作,对薪水有期望正常,但是更应该看公司给你提供的发展空间,你认为呢?听了这番话,老张觉得全身的血都刷地一下子涌到头顶上来了。月薪五千,二十多年的寒窗苦读就这样被标了价。老张很想吼一句F word,但是沉默了半晌之后,他听见自己的声音说:“谢谢您,请您再给我一点时间考虑一下吧。”然后轻飘飘地,他被自己的脚带离了那个尴尬的地方。

晚上回去跟何方说的时候,何方说,妈的,兄弟你真是虎落平阳遭犬欺。老张说,没错,就是那种感觉。何方说,不过我要是你,就先把那份工作接了,以后再慢慢跳呗,骑驴找马总比走路找马强。老张说,兄弟,你年轻,有的是资本。我年纪已经大了,第一份工作起点重要。我就不信我他妈的找不到一份像样的工作。何方说,对!不蒸馒头也要蒸口气呀!兄弟,干杯!

然而老张仿佛是被诅咒了,接下来整整一个月,他居然连一个面试都没有。何方的培训期结束,基本上每天都要加班到很晚才回家,自然也无暇再陪老张喝两杯小酒。老张开始每晚做同一个主题的梦,那就是他在各种胡同或者迷宫或者森林里迷路,找不到出口。或者好不容易找到了出口,伸头一看,小路原来通向万丈深渊。

比工作毫无着落更糟糕的是老张的储蓄也日渐减少。他起初以为余雨比他更需要钱,所以把大部分储蓄都留给了余雨,结果到了上海才知道为什么大家都管这儿叫魔都。这地方真的能把一个正常的人变成魔鬼,连从来视金钱如粪土的老张,如今也是满脑袋地在想着马内这种阿堵物。老张后来打电话给那个美国公司的人力资源部,告诉他们说可以接受月薪五千的条件,结果他们说招的人已经上班两个多星期了。老张想,实在不济就去学校做那个劳什子的师资博士后,结果也再没有教授电过他。

老张也开始赶场各种招聘会。但是就像何方说的那样,除了高校里的正式招聘会,外面的大部分都是些低层工作,不适合他这种级别的人去跑。但是和一个人在家里憋着等电话相比,老张还是更宁愿去赶招聘会,可以些微弥补点内心的空虚。但是当他真的跟那些刚毕业的年轻面孔挤在同一个招聘台位前时,心里又是另一样的惶恐。后来招聘会赶多了,感觉就有点像当年去相亲:回到家以后,根本想不起来今天又给哪几个公司递了简历,又分别申请的是什么职位。后来就根本不看是哪些公司在招聘了,就随着人潮走到各个台子前看看。遇到并没有合适的位置的地方,也装作专业地瞅着招聘职位发一会儿呆。

“嘿,张晓翔!”有人狠狠地拍了一下正在发呆的老张的肩膀。

老张吓了一跳,定神一看,居然是高中同桌林立群。

“你不是去美国了吗,怎么回来了也不说一声?”林立群说,“还真不把咱当哥们儿了?”

这话老张还真不知道从哪里接起,因为他从来没有觉得自己跟林立群是哥们儿过。那时候老张是班里的尖子生,林立群是班里的“害鬼”,两人同桌纯属班主任一厢情愿的“一帮一”想法。结果一学年结束,老张还是那个老张,林立群还像老师说的那样“鸡立鹤群”,两人虽然没起过冲突,但也基本没有过共同语言。可是老张还没怎么反应过来,林立群已经吆喝着收了招聘的摊子,把老张押到他的车里去共赴午餐了。

吃饭的时候老张才了解到林立群出现在招聘会场纯粹是个偶然事件。因为他已经是一个不大不小的生物科技公司老总了,这天公司没什么事,才想起去招聘会凑凑热闹。推杯换盏之间,两人不知不觉都有些醉。十几年没怎么联系过的两个人,此刻竟像生死之交似的开始互诉衷肠。老张基本上半带哭腔地说完了这些年发生的事情后,林立群拍着他的背说:“晓翔,跟你说句真心话,我觉得你挺傻的。你会念书考试,这个不假。但你还是傻。有本畅销书叫什么来着,对,穷爸爸富爸爸,回头你得看看!那里面说有些人就爱买些实质上是负债的资产,这说的不就是你吗?你说你当年高中的时候考试,每次你都非得憋着考个全校第一。看上去光鲜吧,其实是给自己下套。后来你有次不小心考了个第二,你眼泪噼里啪啦往下掉的事儿你还记得不?后来你上了名牌大学热门专业,咣,又一个套。大家都觉得你该往上念,你就又往上继续念了,咣咣又两个套,对不,一个是美国留学一个是博士学位?

现在你海归了,看着光鲜,事实你心里也清楚。套儿哽在那儿呢,上不去下不去的,别人看着好,自己难受,其实不值当!你再看看我,当初那老班怎么说我的,说我‘鸡立鹤群’,‘害群之马’。但是我高中乐得轻松,我爸妈也对我没期望,后来我上了个大专他们还给祖宗上香祭拜,搞笑吧!大专毕业,他们都觉得我要是能找到个工作就谢天谢地,结果我找了份工作,月薪八百,他们高兴的什么似的。后来我不高兴干了,把工作辞了,我爸妈伤心也伤心,但也没觉得天要塌下来了,反正我就是那么一个败家子,他们习惯了。后来我开始捯饬保健品,瞎打瞎闹的,运气不错,居然搞了个公司出来。他们还是对我没期望,觉得我搞起来的公司,不是今天就是明天就会倒掉。结果,嘿,后来我给公司换了个时髦名字,如今快要做上市了,我这也算是给自己下了个套。不过有过去的基础摆在那儿呢,我没压力,反正该怎么着就怎么着吧。”
老张借着酒劲,腆着脸说:“立群,不如你招我去你们公司干吧。”林立群立刻打了个哈哈,说:“晓翔,你现在有点儿饥不择食了啊。我这个破公司,对你来说就是个小庙堂,留你是耽误你。哥们儿还是看好你的。”老张还想说点儿什么,林立群抬腕看表,说:“哎呀晓翔,真不好意思,一不小心都这个点儿了,我晚上还约了一个经销商吃饭。那我们改日再聚,好吧!”

跟林立群吃过饭后的一个多星期,老张都没有再去赶过招聘会的场子。他好像是害怕再碰见林立群或者其他什么混的风生水起的熟人,又好像是病了。他的时差明明几个月前就倒过来了,如今白天却老想睡觉。一睡觉就又重复地做万丈深渊的梦,有时他还梦见自己义无反顾地跳下去,然后一头冷汗地被吓醒过来。老张也没有办法再想任何关于钱的事情。

他查账户余额的时候一身冷汗,何方跟他提起很快要交下面一季度房租的时候他也是一身冷汗。为什么啥都那么贵?只买打折商品也那么贵?为什么还是找不到工作,连面试也没有?为什么,为什么自己的人生就像他们调侃的那样是个茶几,上面摆满了杯具?难道还要跟着摆放上餐具?

“你看了浙大那个讣告没有,简直是太可笑了。干杯!”难得没有加班的何方又跟老张喝上了。

“什么讣告?”老张随口问。

“啊?你不知道?就是浙大那个跳楼海归博士的讣告啊。上面居然还注明了微波炉,空调什么的,在网上都被人骂死了。哪有这样恶心人的讣告。”

可是老张听到何方说“跳楼海归博士”六个字,一下子被吓的清醒了,以为何方说的是自己。去网络上一搜,果然是铺天盖地的讨论以及媒体报道。老张仔仔细细读了浙大的讣告,句句都像是写自己的。原来人如果活得卑微,连死了也不会有尊严。浏览完几乎所有的相关讨论,老张觉得被代入着死了一次,然后有幸看到了自己死去之后发生的所有事情,忽然觉得好轻松,想好好地睡上一觉。

老张这一觉睡了整整十六个半小时,异常踏实,连梦都没有做。醒来之后何方说,兄弟,你这一觉睡的够久的,有点吓人。老张说,还好还好,十六个半小时不就等于正常睡眠八小时吗。何方说,看来这一觉睡的精神可以啊,都会开玩笑了。老张说,必须的。何方说,哇,兄弟你不是被穿越了吧,整个人说话口气都变了。老张只是笑笑。

老张的钱本已所剩无几,便给安安买了满满一旅行箱的廉价玩具和一张回家的火车票。看着路边变得越来越熟悉的风景,老张想起很多少年时的时光,真的就如歌里唱的那样:还记得你说家是唯一的城堡,随着稻香河流一路奔跑,微微笑小时候的梦我知道。

老张的父母看到老张回家,惊喜多过于诧异。安安已经开始认生了,开始甚至不要老张接近她,过了一段时间之后就开始张开胳膊要求老张抱抱。老张抱她抱上了瘾,手都麻木了还不舍得放。老张没有想到原来父母已经知道了他离婚的事,因为余雨的爸妈已经为此事登门道歉过了,并且还送了一副金手镯给安安。老张解释了一下决定回国发展的事,老张爸说:儿子,这些天来我跟你妈思来想去,觉得我们自始至终都在包办你的人生。你也三十好几了,大了,你想过怎样的生活,就去过怎样的生活吧。你要是想留在老家去县中当个老师我们也不反对。

老张他爸只是随口一说,老张却觉得这个提议不错,于是就去县中找了下校长。当年的高考县状元,现在的海归博士后,居然要回母校当老师,校长当然是乐开了花,还给开了两千五百元月薪的高工资,至少校长觉得已经够高了。条件嘛,就一条儿,老张必须在两年内考取教师资格证。老张自我调侃说,这真是雄关漫道金如铁,而今迈步从头越啊。他的同事也开他玩笑,说,海归博士后有什么了不起,我有教师资格证书,他还没有!这件事还差点儿被电视台炒作,后来由于老张实在不愿露面才作罢。不过还是有小报记者找到了老张,想知道他的心路历程。老张说,我一个同学跟我说,有些东西,看似光鲜,其实是给自己的人生下套。我当时觉得他是小人得志,在找机会揶揄我,回头一想可不就是那么回事吗。所以我就把我自己的套给砸碎了,过我自己真正想过的日子。

后来,擅长考试的老张很快拿到了教师资格证,反正他也就只擅长这事儿而已。正如何方当初说的那样,感情和工作是一回事,要讲究水到渠成的缘分。老张再婚的那天,还接到了余雨的电话。余雨在电话里说,当初是自己不懂事,对不起老张。如今她也只能祝福他。电话这头的老张笑一笑,宽厚地说:没事儿,都过去了。对了,安安很喜欢她的新阿姨,你放心。你也要幸福。

最后,老张祝福大家,世事静好,平安喜乐。

第四部分:余雨的故事,以及主角们的结局

老张刚刚离开美国的时候,余雨看着变得有些空荡荡的家,心里也有些空荡荡的。离婚这件事她向往已久,但如今真的发生了,却又仿佛变了味道。晚上一个人吃饭的时候,余雨忍不住趴在和老张一起搬回来的二手桌子上哭了起来。记得那时她和老张刚刚搬到这里,家里什么都没有。隔了几条街刚好有个台湾女生要搬家甩卖家具,余雨一眼就看上了这个桌子。付完钱后才知道桌子有多重,没几条街的距离,余雨和老张愣是花了四十多分钟才磕磕碰碰地把它弄回家,还调整了好几次姿势才顺利地把它从门里塞了进来。余雨不知道为什么自己要想起这些事,她明明从来没有爱过老张,也不想再那么窝囊地生活,否则她干嘛要跟老张离婚呢。可是环顾四周,好像每件东西都跟老张有着千丝万缕的联系,都要叫她忍不住放声大哭。

哭归哭,余雨明白她和老张是再也回不去了。她打电话告诉爸妈离婚的事情,差点没把他们气晕过去。余雨从小到大都是一个听话的孩子,在离婚这件大事上居然自己拿了主意。余雨的妈妈又着急又生气,质问她老张到底是哪里不好,不抽烟不喝酒不赌博不嫖娼,又对她一心一意,基本上可以算是新好男人。余雨说她从来没有爱过老张,余雨的爸爸火了,问那么当初她为什么要嫁给他。余雨也不知道怎么回答这个问题。彼时的余雨在一家民企做着一个不上不下的职位,几乎每天都幻想着有王子骑着白马来救驾,然后老张就出现了。结果结婚了她才发现老张根本不是个王子,甚至连白马都算不上,充其量只能算是一头闷驴。但余雨作为一个活生生的人,怎么能就这样和一头驴共度余生。所以余雨说,也许是时过境迁吧。余雨的妈妈直说她糊涂,连孩子都生了,还以为人生可以从头再来。余雨的爸爸吃了几片降压药还是愤怒,说他决不会养出余雨这种忘恩负义的女儿,叫她以后再也不要打电话回家,回国也不准再踏进他的家门。

余雨没有料到父母的反应会如此强烈,而且她不明白爸爸为什么会说她“忘恩负义”。且不说老张到底对她有没有恩情,即便有,她为他尽心尽力地做了两年多的饭,又生了个女儿,基本上也算还的差不多了吧。但是这些话她没法和父母讲,就像她没法和父母讲她这几年过的是怎样的日子一样。挂了电话,余雨用手环抱住自己,哭到胃痛。

原来人真的是越长大越孤单,有那么一天连家都不再是温暖的港湾。是这样的无路可退。好在学校很快就开学了,余雨的生活一下子变得忙碌起来。因为老张给她留下的钱最多只能支撑两个学期的花费,所以除了注册课程和参加社团,她还费了好一番力气在学校找了一份校内工作。余雨发现人果然是一充实就快乐的多。坐在教室里的时候,余雨看着身旁错错落落各色各样的人们,怀疑自己是不是在做梦:昨天她还像一只被关在笼子里的仓鼠一样因为没有出路对老张大发雷霆,转眼她已俨然是一名重返校园前程似锦的独立女性,人生是如此奇妙。

但是这种快乐的感觉并没有持续多久,烦心事就接踵而至了。起先是学校对于国际学生的英语摸底考试成绩出来了,余雨有三门不及格,所以还要额外修三门英语课,平白无故多了好几千的开销。然后是她发现她很难跟上老师讲课的进度,尤其是印度老师的课,基本上属于无解的听不懂状态。而最让她感觉烦恼的是,她发现自己不知道从什么时候开始,好像失去了与人交往的技能。出国之前,余雨还有一帮要好的小姐妹,不管是知心的还是不知心的话,凑在一起总能唧唧喳喳说上一天。后来余雨出国了,发现美国的生活原来根本不像她们想象的那样美好,更要命的是她才知道原来自己拿的陪读签证根本是二等公民的标志,现实中受歧视,连在网上也要被侮辱。老张本来想介绍实验室的女生给余雨认识,拓展一下她的生活圈子,结果人家高高兴兴地来吃了余雨做的饭,却自始至终没有正眼瞧过一下余雨。后来那帮女生走了以后,余雨生气地跟老张大吵了一架。老张好心办了坏事,从那以后再也没有提过帮余雨介绍朋友的事。余雨日子过得不好,自然也不愿意跟国内的小姐妹再联系,甚至连和父母打电话都不再有什么话讲。她一直以为自己的话越来越少只是因为心里不高兴,等高兴了自然就好了,可是现在才发现原来这种退化竟然是永久性的。她心里很期待交往新的朋友,可是别人一和她说话或者微笑,她就不知道该怎么办才好。甚至连上课老师要求做自我介绍的时候,轮到余雨,她都有些手足无措,不知道眼睛要向哪里看,手该往哪里摆。

余雨在学校正式交到的第一个也是唯一一个朋友是李芸。

那天余雨正在学校的餐厅专心地对付一块两美元的廉价皮萨,李芸一手端着盒饭,一手掂着一个大书包走过来,用中文跟余雨说:“嗨,我可以坐在这里吗?”余雨慌忙点点头。李芸便说:“我在英语课上看到过你,你也是来读会计的吗?”余雨又点点头。

熟了之后,李芸说,要不是在课上听过你回答问题,那天八成要以为你是个哑巴呐,你怎么那么金口难开啊。余雨就对她笑笑。

李芸比余雨小两岁,也是从陪读签证转的学生签证,不过性格上跟余雨相差了十万八千里,更准确地说,是和现在的余雨性格相差了十万八千里。她虽然是跟余雨同时入学的,却基本上已经跟学校里所有的中国人混了个脸熟。李芸说:“开始我还以为会计真的是F2专属专业呢,没想到还有国内名校过来的F1,哈哈。不过他们的眼睛都长在头顶上,不爱跟我们这些奸懒馋滑的F2一起玩儿。”

没多久余雨就发现李芸说的没错,甚至连上课的时候,都是F1和F1坐一块,F2和F2坐一块,也不知道他们最开始是怎样分辨出各自所属的群体的。

余雨没有告诉别人她也是从F2转的F1,但是她只和李芸熟点,所以也就和李芸一起跟F2同学扎堆。时间久了,大家也就默认她也是F2出身,只是有点奇怪她从来没有提过任何关于她老公的事情。但因为余雨向来都比较沉默寡言,她们就没有指望从余雨那里探出什么口风来,也算是相安无事。

不知不觉中,一个学期就过去了,冬天到了。余雨陆陆续续地收到了老师伊妹儿来的成绩,除了印度老师给的B+,其他三门都还不错,两门拿了A-,一门拿了A。虽然不能和李芸的全A比,但她已经很开心了。可是这样的开心却有找不到人分享的感觉。余雨后来打过几个电话回家,但是只要爸爸听出是她打的电话,就立刻给掐掉,也不知道他怎么对自己的女儿有这么深的仇恨。余雨的妈妈虽然要好的多,但是她也依然不能接受余雨跟老张离婚这事,每次电话基本上都围绕着余雨糊涂不懂事以后要吃亏展开。尤其是后来老张回到县中去教书,余雨妈妈说:“我们被你方阿姨(当初给余雨和老张介绍牵线的媒人)说的要死,说当初不该把你介绍给张家,把人家害到这个地步。唉,我和你爸爸现在都不太敢出门,怕出去给别人戳脊梁骨。”余雨本来听说老张回到县中去教书心里还有点难过和不忍,后来被妈妈说的多了也觉得很烦,心想他自己不争气关我什么事。于是后来余雨也渐渐地不爱给家里打电话了,什么都放自己心里闷着。

第二个学期上到一半的时候发生了一件大事:李芸突然退学了。那时余雨正和所有的同学一起为了找暑期实习的事情忙的晕头转向,也没有对李芸几天没来上课这事特别上心。后来听同学说是因为李芸在学校交男朋友的事情被她老公发现了,所以逼着她退学的。余雨对于这件事一直都有点将信将疑,因为李芸虽然活泼开朗爱交朋友,但是基本上张口闭口都是“我老公”,一副幸福甜蜜的样子。但大家都有点言之凿凿的样子,搞得余雨也不是很确定。在四大皆空之后,余雨一度想给李芸打个电话,可是她不知道如果真的接通了电话后该和李芸说点儿什么,所以一拖再拖,最终没有打。

改了无数次简历,对着镜子练了无数次面试之后,余雨最终拿到了一个小会计师事务所的暑期实习 ,时薪二十块。她辞掉校内工作的时候,一直对她很苛刻的老太太忍不住抱着她哭,说余雨是她最好的助手,搞得余雨也有些伤感。为什么人总是这样呢,拥有的时候不好好珍惜,直到失去的时候才追悔莫及。但是她知道李芸会撇撇嘴说:“美国人都这样,就会搞些台面上的东西。”李芸好像对什么都看得比较透。但就在余雨正式开始实习之前,传来了李芸自杀未遂然后脑子出了点问题的消息。不多久以后就听说李芸被她爸妈接回国去了。

此后余雨的日子就开始平淡得像翻日历,每天都游走在家,学校,公司的三点一线之间。在念会计之前,余雨还为选专业的事情很是纠结了一番,真正上班了才发现原来会计真的很适合自己。整理那些乱七八糟的数字的时候,就好像也连带着梳理自己的心情。余雨的老板也很喜欢她的认真和聪明,经常对余雨说,雨,你实习完之后可一定要留下来啊,我们这儿需要你。后来余雨真的留在那里做了整整一年的实习生。然而就像李芸以前常讲的那样,美国人最擅长搞的就是台面上的东西,而美国人中最最奸诈的就要属犹太人。但是李芸以前讲的话实在太多,余雨并没有句句都听进去,所以在这上面吃了一个大亏。当余雨的犹太老板明确告诉余雨说因为公司没有名额不能将她转成正式员工的时候,距离余雨毕业只剩一个月的时间,而数天前他还真诚地看着她的眼睛恳求她不要出去找工作就留在这里。这一切来的太突然,简直将余雨一下子打懵了。

自从打算跟老张离婚以后,她就下定决心要努力为自己挣一个美好的明天,当初选择无爱的会计也无非是为了找工作容易。可是此刻余雨终于明白命运对人的嘲弄,也开始理解当初老张的失败并不是因为他不够努力不作为。就好像会计基础说的那样,有借必有贷,借贷必相等,也许出来混的,都是要还的吧。

余雨就是在这个时候认识廖芹芹的。说刚刚认识也不确切,因为她们明明在一起修了好几门课,只是此前从来没有交谈过。那天也不知道是因为什么原因,两个人都脱离了各自的群体落了单,坐在了一起。余雨那时的心情已经糟糕到极致,连上课都忍不住一直流泪。廖芹芹给她递了一张纸巾。下课后廖芹芹才知道余雨是因为工作的事情哭,让她有些惊讶。她一直以为只有没有退路的F1才会为了找工作这种事情抓狂,F2再不济总是可以回去让老公继续养着。余雨沉默半晌,告诉她自己在两年前就离婚了,把廖芹芹吓了一跳,因为她还是第一次在现实生活中近距离接触一个离婚女人,还颇像网上流传的搬运工版本。于是她和余雨说,你连婚都敢离,还有什么好怕的,回头我把一个会计师事务所的单子发给你,你挨个给他们发简历,实在不成就打电话去一个一个骚扰,登门拜访都成。反正you have nothing to lose。虽然后来基本上所有同学都知道了余雨离婚的事,余雨还是因为廖芹芹那句话一直对她心存感激。在这种光脚不怕穿鞋的精神鼓舞下,余雨居然拿到了两个公司的聘请通知。

刚刚到新公司上班没几天,余雨就发现背后老是有人冲她丢纸团。她有点不敢相信这年头还有人玩高中时逗女生的把戏,回过头想瞪人,却看见一群故作无辜却忍俊不禁的笑脸。看见余雨回头,他们很高兴,连忙凑过来跟她做自我介绍。而事实是余雨根本不擅长记美国人的名字,直到一个多星期以后才把他们各人和名字对上号。但那帮家伙俨然已经把余雨当成了自家姑娘,成天玉玉玉地叫个不停,虽然他们在工作方面和余雨并没有什么交集。

后来余雨一直想不起来自己是从什么时候开始记住杰森的名字的。杰森也是“那帮家伙”中的一个,也是最年轻最帅的一个,比余雨还要小三岁。余雨也想不起来自己到底是从什么时候开始和他渐渐地熟稔起来的,是第一次杰森给她听他IPOD里面的老乐队Phish的歌,还是下雨天在公司的内部messenger上面给她说“Rain rain go away, come here another day”,又或是那天余雨问他周末是不是打算和女友去看电影时他说“why you think I should have a girlfriend”?和杰森在一起,余雨觉得自己变得快乐了很多,他总有那么多好玩的事情可以讲。余雨听说美国人不打小孩,就问他小时候有没有被爸爸打过,他说,哦,我爸爸拿着皮带跟在我后面追,我就在前面疯跑,但是我知道他不会打我,他也从来没有打过我。余雨说,那你为什么还要跑呀。杰森说,如果你是我,看见我爸拿着一根皮带跟在后面怒气冲冲地追赶,你也会跑的呀。然后两人在一起笑的抹泪。杰森还给她看非死不可上面他幼儿园时的照片,小小的杰森灰头土脸地坐在教室一角,丝毫没有要长成玉树临风的迹象。公司summer party结束的时候,杰森第一次短暂地抱余雨,说,路上小心哦。余雨说,我又没有喝酒。杰森莞尔一笑,说,傻瓜,你得当心我们这些喝了酒的坏人呀。过三十岁生日的那天,余雨有些沮丧,杰森说,你要是真的那么在意年龄,我们交换好了呀,那么就是我三十岁了,哇哦,确实有点大了哦。

即使心底再怎样不愿承认,余雨也清楚地知道自己是喜欢上杰森了。跟老张提离婚的时候,她从来没有想过这辈子还要再恋爱结婚。后来经不住妈妈一再唠叨,她也去交友网站注册了个帐号,但是联系她的几个男人没有一个稍微靠点谱的,后来就不了了之。但是无论如何她也没有想过要喜欢一个美国男人,还是搞的姐弟恋。李芸以前一直说美国人就喜欢搞台面上的东西,所以余雨也不清楚杰森到底是喜欢她呢,还是完全出于人道主义精神地逗那时成天不开心的她欢笑。甚至于像网上说的那样,这个年纪的美国男人约会无非是为了玩玩而已。

杰森是在他家的船上和余雨表白的,那时余雨正在出神地看船底溜过的水母泛起盈盈的蓝光,而不远处的公园正在放着烟火。后来的事情就比较美国化了,杰森领她回家去自己的房间,看桌上摆着的童年少年青年的照片。聊了一会儿天,杰森便去洗手间淋浴,留下余雨坐在桌边,不知道该怎么样开口和他坦白自己的过去以及怎么样继续。然而想想又觉得可笑,自己明明已经是结婚又离婚连孩子都生过的过来人了,面对男人居然还拘谨的像个处女。也许爱一个人的时候就是这样,有点像政客竞选时希望自己的过去光辉灿烂,一丝污点也没有。等杰森出来的时候,他惊讶地发现余雨竟然已经把桌上放的红酒喝掉了半瓶,而她根本是从来不喝酒的人,连summer party那么多人劝她都没有喝。更令他惊讶的是,余雨喝了那么多居然还没有醉倒,英文居然也流利了很多,不停地要跟他说这样说那样,而且句子跟句子之间毫无逻辑可言。

第二天早晨,余雨头疼欲裂地在杰森的床上醒来,却发现杰森已经不在身边了。她发现自己居然是和衣而睡的,难道昨天晚上什么都没有发生?桌上是杰森倒好的牛奶和一张龙飞凤舞的便条:雨,面包在冰箱,早餐愉快。余雨满心欢喜地讲便条收起,好像是得了一条“存在过”的凭证。吃过早饭,到了公司却发现杰森并没有去上班,一连好几天都没有消息。余雨有些忐忑地试着问了一下他们组的人,他们说,啊,你不知道啊,杰森忽然大姨妈来了,吵着闹着要去滑雪,请了两个星期的假,也不知道是不是真的跑澳大利亚去了——这个疯子,老板都差点儿把他给开了。嘿嘿,你已经开始想他啦?整整两个星期。余雨觉得自己的心里凉凉的,每天都像在深海里行走。空气像水一样厚重,压得她喘不过气来。这就是爱情吗。幸好还有工作可以填补这样空虚的灵魂。但是即使在忙碌地工作,她依然觉得整个人都空空的。两个星期之后,杰森回来了,还是年轻阳光的样子,只是皮肤好像又晒黑了一点。他还是跟余雨笑着打招呼,说自己怎样跑去悉尼滑了好多天的雪,但是余雨知道和以前不一样了。而那个表白,好像当时的烟花一样绽放又消泯了,仿佛从来没有存在过。留着便条又有什么用呢?三十岁的余雨还是那么傻。

余雨是最后一个知道杰森要换工作的人。而且是最后一天才知道。她问杰森为什么,杰森说,更高的工资,更自由的工作时间,更好的职位,为什么不呢。余雨说,杰森,你知道我问的是什么。杰森说,如果你真的想知道为什么,我们可以去街上走走。余雨想也没想放下手上的工作就出去了。在熙熙攘攘的街头,杰森说,雨,我去悉尼滑雪其实也是想冷静一下。其实我还是喜欢你的,只是……只是你配不上我。

然后你可以找到更好的吗?那你为什么要跟我表白呢?余雨想到那句经典拒人台词,有点恼怒地问。

杰森笑了一下,说,雨,你不要生气,其实我能接受你结过婚的事,活了这么多年,谁的身后没有点阴影呢。我和家人谈了一下,他们也不是不能接受你离过婚,雨,他们只是没办法接受一个不要自己小孩的母亲做我的妻子。你能理解吗?

余雨没有想到他要说的是这些,一下子愣住了。是连眼泪都流不出来的痛。余雨开始零零星星地想起那晚和杰森说的那些话,说自己这些年是怎样的痛苦,一直到工作才真正甩掉F2的帽子,还是因为美国人压根儿搞不懂自己国家签证的事儿。她当初是怎样和老张相亲,稀里糊涂地嫁人,直到现在都不愿意回想自己曾经怀孕生女的事实,却每次洗完澡看着依然松弛的小腹感伤。还有小学时的梦想,大学时妈妈怎么样叫她小小年纪不要交男朋友,后来工作了又开始急着让她相亲结婚。反正正如杰森当时所体会到的那样,乱七八糟,毫无逻辑。然而也是狼狈得一览无遗。

回到公司,两个人都装作好像什么都没有发生过。下午的时候,杰森像每个离职的同事那样平常地来和余雨道别。余雨看着他,快要哭出来。但是因为他们平常本来感情就不错,所以别的同事也不以为意,还起哄说,哈,傻瓜小雨想要一个拥抱来着。于是拥抱。是那样近,又那么远。

没有了杰森的生活好像也没有多少的不同,余雨的生活只是越来越趋于平淡。她健身,上班,烹饪,偶尔酗酒。杰森的家人说的没有错,不要小孩的母亲心得有多狠。余雨无论如何也不明白当初是怎么毫无表情地让老张妈把小小的安安带走的,甚至连一张合影都没有和她照。和杰森分手之后,她好像越来越想念安安,甚至于看到街上玩耍的孩童都要心痛。她想过给安安打电话,也真的打过,但是每次听电话的都是老张妈或老张爸。他们问她要找谁的时候,她说张安安。可是张安安还那么小,他们就奇怪地问她是谁,她就不知道该怎么回答,做贼心虚一般地挂了电话。次数多了,他们也猜出来了,问她“你是余雨吗”。从那以后,余雨就再也没敢打过电话。

老张妈打电话告诉余雨妈老张要再婚的消息时,客客气气地说“其实也没什么,就是亲家一场,跟你们知会一声。”但是余雨妈可不会这么想。老张自从回了县中教书之后,人变得开朗许多,学历又高,自然有不少姑娘倾慕。余雨妈本来就为余雨当初草率离婚恨的不得了,如今又被亲家有意无意地示威抢白,忍不住又叨叨余雨一番,说她当初昏头昏脑不想好,有了孩子还离婚,如今看她一个二婚头还没嫁出去,老张已经香饽饽一样被下街头抢跑了。但经过多年的历练,余雨只抓住了重点,那就是老张要再婚的事,于是回她说,那也挺好的,晓翔确实是个好人,他会幸福的。余雨妈一时竟然不知道该怎么把话题继续下去。

可能不仅仅是女人,应该是每个人都会犯贱。就好像小孩子明明已经不要的玩具丢掉,如果被别的小孩捡走,却又要去生生地要回来,其实自己并不是真的珍惜。而成人的世界又有不同,不是什么东西说要回来就要回来的。给老张打完电话,余雨躺在床上,回想起和老张半路夭折的婚姻,忽然有点面目模糊的感觉,也不明白自己当时哪来那么多的愤怒。如果当初没有离婚,现在是不是也还不错,有个完满的三口之家。可是在老张那里哪里有如果这种事,余雨想着他一根筋的样子又有点明白当初为什么要那么生气。更可恨的是这个人居然连回国都没有告诉自己一声。早知道他这么薄情,当初那么多追求的男生里就不该挑中他。那么也就不会遇见杰森。好像也没有后悔遇见他。这些乱七八糟的事情让余雨想的有些头痛,直想睡觉,可是头越痛就越睡不着,越要想事情,成了恶性循环。

喝了几杯酒,又分次吃了十几粒安眠药以后,余雨终于把困倦不已的脑袋成功地放进梦境里了。这感觉真是又甜美又舒服。她好像是躺在船上被海浪轻轻地摇着,像一个襁褓中的婴儿。很多亲人和朋友和她招手问候,有国内的也有国外的,她真没想到这些人能聚在一块儿。然后她梦见自己漂到了一处古色古香的地方,池塘里荷花开的正好,水波清澈见底,像是仙境一般。最后是大片大片盛开的郁金香,而一个亭亭少女站在最那头。不知为什么,余雨知道那就是安安,于是叫:安安。安安看了她一眼,说,你不是我妈妈。余雨说,我是妈妈呀。但自己吐出的妈妈这两个字生涩无比。安安转身就跑,一边跑一边说,你不要我了,你不是我妈妈。余雨急了,一边叫着安安一边跟着她跑,却跑进越来越浓的雾里面去。

【不悲不喜的结局】

翻江倒海无休无止的催吐洗胃过后,余雨终于醒了过来。护士说,你真是太幸运了,要不是电话打的及时不知道会发生什么事情。

余雨疲倦地对她笑笑,说,我可以吃点东西吗,好饿。护士笑,每个洗完胃的人第一句话都是这个啊,连自杀的都没有说让我去死的。余雨也笑。

死里逃生的感觉原来是这么好,所有稀松平常的事情都有异常幸福的味道。余雨满足地啃着三明治,庆幸自己当时居然醒悟过来且死撑着拨打了911。

重新回公司上班的时候,余雨照见自己在玻璃门上的影子。那种感觉,就好像是和另一个自己迎面走来,又擦肩而去。她对自己提醒着不要放弃自己,永远不要。

感恩节假期的时候,余雨回到了阔别几年的家。余雨爸看到女儿瘦弱的样子,将扬起要打她的手放下,又抬起去拭眼角的泪花。余雨抱住他和妈妈,说,对不起,让你们担心。

余雨还去见了安安,没想到她已经长到这么大了。安安有些警惕地看她,老张说,安安,这是你的妈妈呀,去,让妈妈抱一抱。安安看看老张,扑闪扑闪几下眼睛,听话地走到余雨的怀里。余雨小心翼翼地抱着安安,问她:可以让妈妈亲一下吗?安安摇摇头,又点点头。老张笑着说,她现在有时还把摇头和点头搞混呢。

经过老张老婆的批准,两个曾经剑拔弩张的人如今隔着一张茶桌遥遥相对,都有一种恍若隔世的感觉。老张说,好像是掉进水里差点儿被溺死了,如今终于站在桥上看云淡风轻。余雨跟他不经意地提了过量服用安眠药的事。老张惊讶于余雨竟然因为他再婚而“殉情”,余雨笑他自作多情,那不过是心里有事儿,又喝了酒,不小心drug overdose罢了。老张心有余悸地说,以后别再喝了,酒多误事也伤身。余雨说,已经戒了。老张说,现在这状态看上去还行。余雨说,嗯,昏睡时我想通的最大一件事就是要学着接受自己。老张说,没错儿,我们都是普通人。余雨说,确实没错儿。

老张送余雨下楼。看着她渐远的背影,老张听到风里传来甲壳虫的Yesterday,这歌声让他想起不知什么时候在网络上看到的一篇短文:

如果,你就这样轻飘飘,轻飘飘地
跌落在风里
你会飞到哪去
是飞到云上,还是飞进溪流里
在最后的一瞬,你会看到谁的名字
它让你叹息,还是欣喜
后来,谁在为你唱最后一首歌
她唱的轻缓,而又湍急
她唱你的一生就像个夏季,五月方始,八月就结束
你的微笑像干掉的花瓣被镶在透明相框中,她一边唱一边看着你哭
而那天你是见了谁微笑,然后,跌落在风里
要相信人的一生大多是骗局,误会,以及不必要的相逢,和擦肩而过
谁叫你依旧心怀感激,为了那些相逢,相识,和所有来不及的不悲,或喜

【悲剧结局】

手机响起的时候,老张正带着安安在操场上放风筝。

那边说:您好,这里是纽约警署,请问您是余雨的丈夫吗?

老张说:呃,我是她前夫。

那边说:哦,不好意思,她填的紧急联系人还是您的信息。我们有一个不幸的消息要通知您。余雨已经在两天前去世了,我们初步怀疑她是自杀,但具体原因还在调查中。无论如何,希望您能通知她的家人来处理一下后事。

老张说:对不起,我没太听懂,您可以再说一遍吗?

对方一共重复了三遍,可是老张还是听不懂,或者他的脑子根本已经是一片空白,又或者他根本就不想听懂。

风筝的线不知道怎么搞得断了,安安一边追一边嚷嚷着“爸爸风筝飞跑跑啦”,老张也听不懂她在嚷嚷什么。他好像一下子被扔到一段真空里,树是漂浮的,云是漂浮的,一切都是漂浮的,包括他自己。

老张从来没有想过自己还会再回到美国,还是和余雨的爸妈一起。离婚后他也做过好几个与余雨重逢的梦,但从来没有现在这个场景。

余雨的公寓在十七楼,她以前总相信这种所谓的幸运数字,居然现在还是相信。老张看到她桌上摆的还是她大学一年级时和室友拍的照片,笑容还是无忧无虑得让老张觉得那不是他所认识的余雨。余雨的妈妈一边哭一边唱着悔不该当初让老张把余雨带到美国来,老张好像是第一次听到“悔不该”这个词,然后又想起以前最讨厌的“如果”。

他从来没有像现在这样强烈地盼望世界上有所谓“如果”:如果可以退回到“悔不该”的时候,那么那天电话里他就不要叫余雨“放心”;如果时间可以再倒退一点,他就可以直接从余雨汗津津的手心里把那枚求婚的戒指抠回来,那么他们就不会结婚;如果干脆再倒回一点,那么他自己当初就不要来这个操蛋的美国。这些无数令人憎恨的如果在老张的心里撞击着,一度要使他窒息。于是他走到窗边,把窗子拉开,是那么新鲜的空气,那么好的街景。隔着十七楼的距离,来来往往的车流也有了远离尘嚣的宁静。余雨是那么热爱生活的一个人,他从来没有试图了解过。是他将她归纳成一个数字,又变成如今这个小小的盒子的。余雨的妈妈说的其实都对。

“张,你在做什么!?”美国警察惊呼。

然而老张已经像一片羽毛一样,轻飘飘地从窗口跃出去了。他有些惊异于人的身体可以如此轻盈,于是他像无数个梦里那样舒展开双臂。只是和梦里不同的是,此刻的他没有一丝恐惧和哀伤,反倒有种投入一场爱情般的欣喜。

离地面越来越近的时候,老张听到风里传来甲壳虫的Yesterday,这歌声让他想起不知什么时候在网络上看到的一篇短文:

如果,你就这样轻飘飘,轻飘飘地
跌落在风里
你会飞到哪去
是飞到云上,还是飞进溪流里
在最后的一瞬,你会看到谁的名字
它让你叹息,还是欣喜
后来,谁在为你唱最后一首歌
她唱的轻缓,而又湍急
她唱你的一生就像个夏季,五月方始,八月就结束
你的微笑像干掉的花瓣被镶在透明相框中,她一边唱一边看着你哭
而那天你是见了谁微笑,然后,跌落在风里
要相信人的一生大多是骗局,误会,以及不必要的相逢,和擦肩而过
谁叫你依旧心怀感激,为了那些相逢,相识,和所有来不及的不悲,或喜

昨夜无眠,为了一个学生

程代展:昨夜无眠,为了一个学生

昨夜无眠,为了一个学生。

五年前,他在清华大学数学系四年级。他可以保送直接攻读博士学位,参加了我们所的入学考试后,研究室建议我考虑他。面谈后,我同意了。

事情开始得非常顺利,他请我担任他大学毕业论文的导师,我给了他一个解矩阵半张量积方程的小题目。讨论了几次之后,他就做下去了。他很快进入角色,做了一些小的结果。他的毕业论文,我修改过。后来他告诉我,得了“优”。我也比较满意,觉得他赢在了起跑线上。

硕博连读的第一年,他在研究生院上课,接触不多。第二年回所,我很快发现了他的优点。从素质上说,他数学基本功扎实,和他讨论数学问题是一种享受。一些需要细想或计算的问题,交给他就好了。少则数小时,多则一、两天,一定会给你一个“Yes”或“No”的解答。

他在科研上的敏感性也很难得。例如在讨论布尔网络可控性时,他首先发现了控制传递矩阵的特性,我们一起,很快导致了一个很简洁的能控性公式。这个公式不久后被两个以色列人重新发现。碰巧我是他们文章的审稿人,我告诉他们:一模一样的公式我们已经发表了。这是一个比较深刻的结果,后续引用也很多。没有他,这就不是我们的了。

他在实验室口碑很好,他负责研究生的一些组织工作,很负责,室领导也很满意。他被认为是室里最用功的学生,白天、黑夜都在实验室干活。虽然家在北京,但周末常不回家,有时回家看看,半天就回来了。

他几乎是个无可挑剔的好学生,听话出活,对我的要求(现在反省可能有些过份了),从来不说:“No”。我渐渐地被他感动了,将自己的希望寄托在他身上。我跟他说:“我是一个失败的运动员,当我成了教练员,就把全部希望放在了学生身上,但愿他们能实现自己当年的梦想。”

当博二开始的时候,他的研究成果已经相当多了。为了他的成长,我对他提了个要求:30%时间做研究,70%时间念书。这一年,他主要上了微分几何以及相对论的课。另外,由于自己主要在确定性方向工作,我不希望他在随机方面有缺陷。

我让他自学“随机过程”,每周报告一次,用的教材是Z. Brzezniak, T Zastawniak, Basic Stochastic Processes。我要他连每一道习题都要讲清楚。到了第二学期,听众只剩我一个人,我们还是一直坚持到讲完。事实证明,这些结果在他后面关于概率布尔网络及混合策略博弈的工作中得到很好的应用。

我自己一生吃了英语的不少亏,因此,我一再强调他英语一定要过关。从博一开始,我每年都安排他出国开会至少一次。博三,在我的协助和支持下,安排他到英国、美国、新加坡等进行学术访问。上个暑假,他到英国Glasgow访问了两个半月,他明天就要去美国Texas Tech Univ.访问四个月。新加坡的Xie教授答应他什么时候去都可以。

他有一张令人羡慕的成绩单。他已经发表了十几篇期刊论文、十几篇会议论文(至少一半是国际会议)。还有一本和我及我另一个毕业学生合写的专著:“Introduction to Semi-tensor Product of Matrices and Its Applications”,World Scientific (600 pages) 。他的论文包括IEEE TAC的Regular Paper (第一作者),Automatica的Regular Paper (第二作者),Systems and Control Letters (第一作者),中国科学 (第一作者),等等。同行一看就知道这些文章的份量。

他还有若干在审或待发表的文章。例如,他在Glasgow大学访问时写的一篇文章。他曾要求我参加,我要他把我名字去掉,给我道个谢就行。我就是希望培养他真正独立从事科研的能力。这篇文章投IEEE TAC,最近编辑部来信,作为 Regular Paper,一次就接受了。IEEE TAC是IEEE CSS的旗舰杂志。

他多次被评为三好学生,获得若干种奖学金,今年得了数学院的院长特别奖。他还得过控制界很有影响的关肇直奖。他才二十五岁!我对他充满期待,也充满信心。他成了我对未来的一个梦!

我坚持要求,他毕业后到国外做两年博士后。他已经得到英国Glasgow Univ.和瑞典Royal Institute of Technology的博士后邀请(注意,不是“申请获准”,而是“邀请”)但我认为他应当到正在最前沿做最好的研究工作的地方去。半年前我和UCSB大学的一位当红教授联系,他当时口头同意接受他。不久前在日本见到该教授,确定在今年CDC两人见面一谈,算是Interview罢。

这似乎是一个美丽的故事。然而,矛盾出现在半年前。一天,他突然跟我说,毕业后他想去银行,或者到中学当教师。他还告诉我,他已经考过会计师。我大吃一惊,但以为是年轻人一时头脑发热。几次争辩后,我甚至义正辞严地对他说:“你就死了这条心罢,我是绝对不会答应的。”

后来,他同意了我这样的建议:先做两年博士后,两年后再做决定。我跟他明确说:“我既不要你跟我做,也不要你做与我有关的题目。但你天生就是做科研的材料,不能自暴自弃。”

时间过得飞快,上周五,他突然对我说,北京某中学给他Offer,要在本周二(今天)前签约,而他明天就要到美国去了。我一下子急了,和他谈了两个钟头。好话坏话都说尽了。好话是:“你这样做,中国,甚至世界可能会失去一个优秀的科学家。”坏话是:“年轻人要有理想,有抱负,怎么可以向往‘老婆孩子热炕头’的生活?”我告诉他:“你一定会悔的。”可不管我怎么说,他就只重复一条理由:“做研究太累,没兴趣,不想做了。”最后,他答应再好好想一想,大家就不欢而散了。

周一见了他,就问他想得如何。他说回了一趟河北老家,和父母以及老家亲戚都谈过,他们都支持他。我傻眼了,说他们不了解科研,也不了解你的情况,你应该和教授们谈谈。昨天,室里许多人跟他谈。我还搬兵找到陈老师,心想:“我的话你不听,老院士劝你,总该听罢?”陈老师是个爱才的人,一听这事也急了,立刻答应:“我可以找他。”可惜,陈老师似乎也没能动摇他的决心。

昨天我们对他是连番轰炸,直到晚上,几位年轻人,还有一位来访的年轻教授,一起请他吃饭。准备在席间再劝劝他。昨晚我回到家里,饭后一个人发呆,欲哭无泪。我曾对他说过:“我的底线是:最后的决定权还是你的,我不会强迫你。”那位访问教授背后曾问我:“你明明是为他好,明明知道他的决定是错的,为什么不能强迫一下?”这勾起了我的心病,我告诉她:“因为强迫儿子按我的意志生话,我把他逼上了绝路。我不能再……”

昨天晚上十点多,我实在忍不住,给一位年青同事打电话。他告诉我:他们的“鸿门宴”还在继续,只是仍无进展。现在,也许他正在签约……反省自己,我一直把他当着一个听话的好孩子。总是像父母亲一样强行安排他的一切,很少了解和尊重他的意愿。

我对这一切的解释就是:“我是为了你好!”可这够吗?现在的我,是又一次“哀莫大于心死”。

可谁能告诉我:是我错了,还是他错了?

程代展,2012年11月13日

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学生:我为什么逃离科研

在来美国的前一天晚上和程老师吃饭的时候,师兄告诉我们程老师下午发的博客已经上科学网首页了,但当时也只有40多个回复而已,我们也没有在意,毕竟程老师的博文经常上科学网首页。当晚我们并没有继续讨论我工作选择的事情,而是像往常一样随便侃了侃,甚至还讨论了点学术问题。回宿舍以后我还跟几个好友开玩笑的说“哥出名了,上科学网首页了”。但没想到的是,我真的出名了,第二天我下飞机开了手机以后,短信不断。这几天很多朋友、同学、实验室老师、甚至毕业后就一直没有联系过的本科辅导员都纷纷对我表示关心,或支持我的决定,或劝我重回科研道路,不管怎样,我都很感动,在这里先向他们的关心表示感谢。当然也还有几位记者发邮件过来要采访。我本来不想回应,想继续沉默下去的,但是程老师说他认为这个事情的讨论对许多年轻博士生是有好处的。仔细想一想,这也许是我这个科研逃兵在离开前能对科研界做的最后的,其实也是唯一的贡献了。反正也已经出名了,程老师把书名、奖项都列出来了,想肉我的早就肉到了,死猪不怕开水烫了,就发在人人吧。

前面两部分我要先帮程老师和我家里人说几句话,对这些不感兴趣的可以直接从第三部分开始看。

一、关于程老师

首先要帮程老师说几句话,因为很多支持我的都说程老师太push了。其实我一直觉得程老师是国内科研界少有的非常nice的导师之一,不但不push,还经常告诫我要多休息,多出去玩玩儿。另外程老师也给我们之间创造很多学术之外的沟通机会,会隔三差五的带我们出去吃饭,和我们几乎是无所不谈。我研一的时候在程老师面前还是非常拘谨的,但没多久就能畅所欲言了。实验室秘书都说程老师的学生都跟他“没大没小”的。只是在和他的交流中我一直不敢说自己以后不想搞科研了,因为我深知程老师对我寄予厚望,我说出来他肯定非常失望的,而又因为这几年和程老师培养出的感情,我不想让他失望。我甚至一直在想就这样坚持搞科研搞下去,但真正到了该抉择的时候,我还是选择了自私的按自己的意愿。

二、关于家里的意见

还好我父母都不上科学网、水木这样的网站,不然看到那些说我是因为他们给的压力而放弃科研的猜测后,不知他们会不会鸭梨山大。我父母确实是没钱没权也没啥本事的,不过因为有单位分的房住,他们靠自己不高的工资在北京也是生活无忧的,所以他们也从来没有要求过我赚大钱养活他们,只要我过得开心就好,他们甚至还认为家里如果能出个科学家是件光宗耀祖的事情。我年轻的时候也是向往过赚大钱的,不过渐渐的觉得自己其实更喜欢稳定安逸的生活,钱够花就成,当然能保证稳定安逸的话钱还是多多益善哈。所以如果不是我彻底厌恶了科研的话,我觉得科研这工作挺符合我的要求的,社会地位不低,待遇也足够过比较体面的生活了,关键是极度自由。我光棍节那天回姥姥家(程老师听成了老家,差了个lao,不过这无所谓了)算是开了个会,并不是他们劝我赶紧去挣钱,而是我想问问他们对我选择中学这样一个地位不高,挣钱也不多(不算自己外面接活的话,挣钱真的多不到哪去,被it民工们秒杀,更别提金融界的温拿了。而以我的性格,除非真的缺钱,不然应该不会去接活的),还挺累的职业有没有什么意见。最后大家一致认为我真的厌恶科研的话,坚持干一辈子科研一定不会幸福的,而他们并不在意我的名利地位什么的,中学老师也挺好。

三、我为什么逃离科研

其实很简单,唯一的原因就是没兴趣了。没兴趣还算个比较中性的词的话,我其实可以说我已经厌恶科研了,主要原因有两个:

1. 累。但再次强调这不是程老师强迫的,程老师给我安排的大多数任务都没有给定deadline,只是因为我从小被教育成听话的“好”孩子,只要别人给了我任务并且应该是我做的任务,不管我喜不喜欢,都会尽力去完成,不只是科研问题,甚至是帮实验室干杂活,都是完成的既快又好。这样的结果就是导致了程老师以为我喜欢做科研,所以就忍不住不停的给我安排任务。如此恶性循环了下去。后来实验室秘书也说,如果当时我能更加变通的面对程老师安排的任务,给三件就做一件,程老师也不会批评我什么的,而我也不会被自己给自己的压力压垮了。当然比体力累更重要的是心累,体力其实有时候根本就谈不上累,我甚至可以好几天在实验室坐着无所事事的刷着微博逛着人人,甚至干脆出去跟朋友打牌爬山什么的去了,但这时脑子里还一直装着那些想不出来的问题,还有一些该做但实在是很烦,不想去做的任务(比如审一些很水很水很水的文章…),半刻也不得安宁。当我决定退出科研的时候,心里是久违的无比的轻松,而这样的轻松,更加坚定了我的决心;

2. 没能力。这真不是装13。我虽然是有几篇控制界顶级期刊的文章,但顶级期刊的文章不等于是顶级文章。说实话,我还真是觉得我这几篇大文章无论理论上还是应用上都不算真的有用,甚至技术难度上也没啥挑战性,只是相比当今大批的水文,这些算是矬子里拔将军,我也没有为这些文章以及由这些文章而带来的荣誉真正的兴奋过。然后发的那么多其他文章中还有一半以上是程老师被一些国内期刊、会议邀稿而又不好不给面子,临时凑的没啥营养的综述类文章,而且真的是程老师自己主笔的,我只是帮帮忙而已。反正我是觉得这些只能证明我比较勤奋,根本不能说明我有天赋有能力。如果我继续搞科研的话,我能想象出的结果只有两个,要么迫于学校要求发文章的压力沦为灌水机器,虽然还能混得不错,不过天天自己鄙视自己,要么就是坚持不发水文,但又因为能力不足以做出真正有价值的工作而混得很惨。我觉得程老师的博文下面有一条回复对于我的看法是相当正确的:

“[682]kanhaoxi

2012-11-17 04:42

From what you described, especially“听话出活,对我的要求,从来不说:‘No’”, this student is clearly not a top student. If he is not even a top student, he will definitely not be a top researcher. In this case, it is better to advise him to get into some other things. Unfortunately, many Chinese professors’ definition of top students are different from other people. They usually promote those students similar to this student of yours. This is unfair to truly top students.”

当然也有一些对现在科研界风气的不满,不过这个我了解不深,就不胡说了,说多了被人笑话,还有推卸责任之嫌。

四、我为什么选择中学

1. 我觉得我有足够能力应对中学数学的知识。这与我觉得我完全没能力做有价值的科研工作形成了鲜明的对比。不过除了知识能力,教中学更重要的是授课能力。我很清楚我现在的授课能力和优秀教师还有很大差距,但通过了学校的试讲,也在试讲中pk掉了不少北师清华北大的硕士博士们,至少说明了我还是具备基本的授课能力,我也相信授课能力是通过我自己的努力可以提高的。当然除了授课以外,优秀的中学教师还需要很多其他素质,比如基本的师德,对孩子的关心,亲和力等等,但这些我觉得我都还是不错的。

2. 我也很喜欢教会别人知识的那种成就感。我也做过家教,我觉得当几个小时的家教比搞几个小时的科研舒服多了。我今年寒假还帮一个微积分挂了的大一孩子补了两天的微积分,当她告诉我她补考得了90多分的时候,那成就感啊,杠杠的。

3. 生活比较稳定。以后生活中比较麻烦的事情,比如住房、子女入学等都可以解决了(房子不给产权,只是在职就可以住),但是中学老师的工资对一个博士毕业生来说确实不算多。

4. 我真的是没时间找其他工作,找工作的黄金时间我在美国啊。其实我之前真的都准备听程老师话,毕业去做博后了,因为我本来是要10月底就来美国访问的。但签证意外的被check了,于是要晚走半个月。然后没事干,就投了投简历,其实我也只投了4所高中,没有投其他行业,甚至我投的时候我也觉得我一定是赶不上试讲了,其中我在投给人大附的简历中还写道“因为本人11月至3月在美国,如果有幸能有资格通过初选参加试讲,是否可能将试讲安排在3月?”。但没想到有两所学校很快就通知试讲了,其中某个学校的效率意外的高,上午试讲下午群面第二天终面,终面后不让走,等都面完了直接出结果,于是赶上了我能在出国前签约,要不我觉得他们也不会把职位给我留到回国后。这种种意外也算是一种缘分吧,再加上该学校也是所很好的学校,他们的教育改革理念(至少是宣传片上的)我也很欣赏,并且他们的待遇在高中也是很好的,跟家里商量后我就同意了。另外我真的没有考CPA啊,程老师记错了,我怎么会有时间准备CPA…..

当然我也知道当高中老师并不是很轻松的事。比如说很累,不过这点搞过科研的表示呵呵。比如遇到实在不听话的孩子和无理取闹的家长,这种事情比较棘手,我有心理准备,但现在还不知道要怎么处理,以后会从同事那里得到经验的吧。再比如我虽然觉得我通过努力能提高自己的授课能力,但万一再怎么努力也真的不行呢?这个….到时再说吧。

写了这么多废话,总之就是我确定我对搞科研没兴趣了,而我觉得我对教中学是有兴趣的。我也觉得中学需要引进优秀博士,前提是得保证他们的教学质量,他们会给学生带来更广阔的视野。当然科研界更是亟需人才的,其实哪里都需要优秀的人才的(这是一句废话)。只是我自己肯定不是科研界需要的人才,对科研没有兴趣的人是不可能做出真正有意义的成果的,我希望自己可以是教育界需要的人才吧。就说这么多了。

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看了大家的评论,这里再多啰嗦几句,要说的不多,就不另开一贴了。

1. 辟个谣,我去的不是人大附中。帖子里说的是我在给人大附中投的简历中写了什么什么,后面说的签约的是“某个学校”。

2. 我强调的对科研失去兴趣是累和没能力,也就是两者交互作用的结果,并不是单纯的累。如果只是累,而我很有能力,能够或者相信自己能够在长久的辛苦后可以得到令自己满意的成果,哪怕中间会经历很多次失败,也会是痛并快乐着,甚至很享受这样的过程。但我现在没有并且也不认为自己有能力可以取得令自己满意的成果,所以这一过程只是痛苦。至于我该不该认为自己没能力,该不该不满意我现在的成果,其他学生如何避免我这样的想法,都是另一层面的问题,也不在我有能力讨论的范围了。而我现在已有的自我认知,是短期内无法改变的了。

3. 有批评说我没有国家使命感没有献身科学的精神,这些批评我都同意,但无法改正。

4. 还有人说我这篇文章会使很多彷徨的年轻学者放弃科研,于是我成了中国科研界的千古罪人什么的。这我就真不敢苟同了。能被我影响而放弃科研的人,一定是跟我一样没兴趣没能力的人,我们的离开不会对真正的科研界造成任何损失。真正的有意义的科研成果也绝不是靠人海战术完成的。中国的国际论文发表量已是世界第二了,但又如何了呢?

5. 确实我投身教育并不是我对教育有多么的热爱,因为我还没从事过,热爱无从谈起。只是我现在相信我有能力,我也觉得我有兴趣。也许几年后,像部分网友们说的那样,我会像现在逃离科研界一样逃离教育界,哪里都是围城,在外面永远搞不清里面是什么样子的。以后的事情以后再说了,也许我会再次厌恶逃离,但也许会很热爱呢,也抑或不喜欢也不讨厌,就这样平淡的继续下去。现在我只是从一条确定性的不幸福的道路,转到了一条有可能幸福或者说是未知的道路。

程代展的学生 

2012年11月23日

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程代展:我的反思(续:昨夜无眠,为了一个学生)

因为明天一早就要飞成都开会, 科学网的访谈参加不了了, 就以这篇博文作为我的答卷罢. 
 
那是一个难眠之夜过后, 自己坐在办公室, 想到此时我的学生可能正在签约, 心头怅然若失, 手中的工作做不下去, 就将心里话写成《昨夜无眠》. 没想到这成了引玉之砖, “一石激起千重浪”. 说明“如何培养学生”,“怎样才能将有天分的学生留在科研第一线” 等问题是科学网上的青年学生和老师们共同关心的焦点. 事件本身和所有网友的意见, 都给我启迪, 催我反思. 现在将我反思的心得提交出来, 算我的回答, 也算我的致谢, 当然, 还是一块再次的抛砖.
 
(1)    我的最大错误是把学生当作我自己的“替身”, 盼着自己没有实现的人生梦想能在他身上实现. 但他是有血有肉、有个性、有想法的年青人, 我却把他当作自己的创造物. 我想让他吸取我人生的教训、克服我身上的弱点. 潜意识里我是在制造完美的自我. 我时时在他身上寻找年轻时我的影子, 我觉得我对他倾注了无数心血和真诚的爱, 实际上也许我却成了说一不二的暴君, 强迫他按我的意志去念书, 去做研究. 也许正是这个让他厌倦了科研.
 
(2)    我只关心他的三件事: 数学基础打得怎么样? 英语口语讲得怎么样? 科研做得怎么样? 对于他个人的思想感情, 生活, 以及家庭情况等都知之甚少. 两人见面, 除了学术还是学术, 没有朋友般的交心, 更没有刻意培养他对学术的兴趣. 对学生, 我只有梆梆控制, 却无视反馈.
 
(3)    网上许多年轻朋友用自己的亲身经历说明: 应当尊重年轻人选择自己生活道路的权利. 我的学生其实也说过, 他的价值观和我不一样. 我接受了大家的观点, 中午给他发了个 E-mail, 告诉他 (他现在还在去美国的飞机上) : 不管他最终的选择是什么, 我都支持他.  
 
(4)    中午, 一位清华年轻教授给我来电话, 他曾是我的博士后, 他用自己的经历给我上了一课: 他是正宗清华子弟兵, 从本科到博士, 在清华上了十年. 然后跟我做了两年博士后. 也是一个极聪明的好学生. 但上完博士后他却要去公司, 当时我也很不理解. 他说, 他当时也是厌倦了学校和科研所的生活, 想过一种新的生活. 他后来又回了清华, 而且做得很好. 我相信, 我的这位学生如果真喜欢科研, 将来某一天他也会回归的.
 
怎么带好学生, 让他们健康成长, 是值得老师们反思的一个问题. 但是, 事情还有另一个方面: 
 
(1) 我仍然相信, 一个博士生去当中学教师是一种教育资源和人力的浪费. 他学的许多知识: 例如微分流形, 鞅不等式之类的东西, 到中学不成了天方夜谭? 那怕微积分, 线性代数这些初等数学知识, 都不会有用武之地. 这不是看不起中学教师, 中学教师对社会, 对民族科学文化水平的提高同样至关重要, 但一个师大本科毕业生会比像我的学生这样受过专问训练的高等人才干得更好得多. 因此, 让博士们, 特别是像我的学生这样优秀人才去教中学, 是教育制度的失败, 社会人才分配的失衡.
   
(2) 据说北大清华本科毕业生, 一等的上公司, 二等的出国, 三等的才去读研. 中国要走科技强国之路, 如果不能将有天分, 有潜质的年轻学子推上和留在科研岗位上, 将会后继无人. 国家花大力气从国外引进百人计划, 千人计划, 这我不反对. 但是, 难道国内就没有可以与他们一较上下的优秀人才, 为什么就不重视他们呢? 难道就不相信, 中国人自己也可以培养出一流的人才? 引进总是有限的, 国家应当为年轻人的成长创造条件. 
 
(3) 高校和科研院所待遇低, 是人才流失的一大原因. 还拿我的学生说罢, 他到的中学可以给他提供住房和不错的工资. 他们说, 他如果到大学, 要奋斗五到十年才能达到这个水平. 据我所知, 他家境欠佳, 他面临生活的压力. 正像许多参加讨论的年轻人说的, 大学的青年教师工资低, 没住房. 许多得了博士学位的年轻人, 他们多半都小三十了, 面临着结婚生子的压力, 靠空洞的 “理想”, “事业”,  “追求” 等能拴得住他们吗?
 
(4) 虽然近年来国家对教育与科研的经费投入不断增加, 但目前高校与科技机构经费分配极不合理. 少数特权者占有大量资源, 各种基金重叠分配. 而身缠多金的“学术带头人”却常常只是“学术捎客”, 弄了钱让下面的年轻人干活, 自己挂名. 国家应当更多关心那些高校和科研院所中的“小博士”们的疾苦, 给他们创造安心工作的条件, 他们才是科研的主力. 再强调一次, 高校和科研院所中的贫富悬殊一点不比社会上轻. 
 
最后, 谢谢所有网上给我留言的朋友. 也感谢那么多给我打电话、发 E-mail的朋友. 十八大刚过, 愿它给年轻学子带来实质性的改善, 中国的科技进步归根到底靠的是他们.

程代展
写于2012年11月14日

评复旦姜文华事件 — 国际经济学家张五常

关于复旦大学青年教师姜文华刺杀王永珍教授的事,当然是悲剧。我不想评论,但好些朋友问及,我不妨将自己的观点说说。首先要说的,是我知道的只是一些网上数据,没有其他。

姜文华显然是一个天赋不俗的数学家。这样说不仅因为他在国际的知名学报发表过好些文章,重要是有一篇据说被“大量引用”。作为一个炎黄子孙,文章在西方被引用不容易。种族歧视明显。

举一个例,诺斯的一本说明是拜我为师的书,被引用了约四万次,但我这个可怜的师傅的所有英语作品加起来,被引用还不到九千!杨小凯就曾经为文直指斯蒂格利茨抄袭我的一个脚注获诺奖而破口大骂。

其他还有几位诺奖得主也被中国的同学替我骂了。这些事我历来不管,因为认为将来的经济思想史会有公论。不要误会,我绝对不是说文章被引用的次数多有什么了不起。

在经济学来说,无数的被引用次数多的文章是废物,何况我对姜文华从事的数学一无所知。我只是要说,一个炎黄子孙在西方发表学术文章,多被引用不是那么容易。


姜文华的学术生涯本来不错。他在美国攻读博士的Rutgers University有水平,而博士后参与研究的NIH与Johns Hopkins University皆属世界级。2012年回国后任教于苏州大学五年,其后姜文华进入复旦大学任教职。从美国的常规看,过了五、六年,姜文华从一家大学转到另一家,复旦聘请他时应该给予他终身雇用合约。这是美国的惯例。

这里,姜文华从苏州大学转到复旦,是往高处转,应该获终身雇用合约为起点才对。但没有。算是有学术贡献的姜文华,博士后在美国研究两年,苏州大学五年,复旦大学五年,共十二年,还没有获得终身雇用合约,被解雇,不是悲剧是什么?


也不要误会,我绝对不是说姜文华应该被升为副教授或获终生雇用合约。我不知道。我要说的,是纵观上述的姜文华的履历,他的上司应该在两三年前就给他信息,让他知道获取终身雇用合约的机会如何。

美国的大学就是这样处理的。姜文华从苏州转到复旦是向上走,复旦给他的合约应该是tenure track的,即是走向有机会获取终身雇用合约之途。


从我知道的美国的制度看,这一关的重要性难以夸张,因为如果拿不到终身合约,一定要离校。离校的选择,要向档次较低的学校走,较高的免问。我很怀疑,姜文华走的数学研究路线会有多少家档次较低的大学让他选择。


听说姜文华在复旦教书教得不怎么好。然而,在复旦这种高水平的大学,教书不好不应该是问题:转去主持一些研讨班就是。以研究为主的大学,从来是管思想的深度,不多管教书的如何好听,更不应该讲什么人际关系的。这里的关键,是姜文华今天三十九岁,再不年轻,被复旦革职,于是前无去路,而纯数学家是不容易转业的!


数学的天才稀有。印度的拉马努金的数学天赋不见古人;美国的纳什百年一见。但我们要知道,数学天才患上精神失调的或然率是比较高的。纳什曾经患上严重的精神分裂症,但普林斯顿没有炒他。天赋更高的拉马努金,虽然在精神上属正常,但他曾经说,他有些写出来的令人叫绝的数学方程式,是在梦中母亲告诉他。这不是有点不正常吗?


人的脑子是有着很特别的生理机能。弗里德曼曾经告诉我,思想是脑子的运动,要持续操作才有可为。可惜我们也知道,脑子不停推敲或思考,跟任何体力运动一样,可以受伤闯祸。脑子受伤,小小的伤,也是灾难!


在学问的思想上,我是个可以持久地拼搏的人,但唯恐自己的脑子会出事,就需要混合着多项的其他造诣或玩意。这些行为在香港惹来非议,但在美国却被赏识。我还是幸运的,因为当年博士后正式出道的第一天,就获终生雇用合约,几个月后无端端地被升为正教授。

然后,重要的帮忙是西雅图华大的系主任诺斯与社会科学院的院长鲍特文清楚地告诉我,算文章数量与论学报高下这些衡量准则完全与我无干。我要做什么都可以。只这一点,我就自由自在地在完全没有压力下写出一系列今天一律被认为是经典的文章。

要是我出道时有今天美国或中国的大学初出道的教授遇到的发表文章的压力,我那些经典文章不可能写出来,也可能弄出精神问题了。


最后要说的,据网上所载,这次被杀的王永珍书记是一位忠厚随和的教授,出现这样的不幸让我心境难平,这里我谨向王书记的家人表示慰问。

怀念黄渝 — 一位科大数学怪才在美国的经历

按语:

黄渝出生於云南砚山县,为家中次子,天资聪颖,特别是对数学有着特别的兴趣与爱好。1981年,以云南省高考第六名的成绩考入中国科技大学数学系。在科大读本科时,黄渝逐渐显示出了他在数学领域的杰出才华。大一时就曾解决了所用教材《线性代数》中悬而未决的一个公开问题,后来被该专著作者,著名数学家许以超先生写进了再版书中的前言。1986年,本科毕业黄渝留校在科大北京研究生院读研。1989年获得了美国约翰·霍普金斯大学的全额奖学金,赴美攻读博士学位。

2004年12月25日凌晨4点,黄渝死于车祸。当时他正前往投递报纸的工作途中,由于爆胎下车检修,被一个醉酒驾驶的司机从后面撞击而死。黄渝死时没有留下任何财产。银行里的存款不足100美元。

怀念黄渝 

作者:曾思欣 

黄渝是1989年底来到Johns Hopkins的,我是1990年10月来的,他比我高一个年级,我们虽然不久就认识,但成为很熟的朋友大概是在一两年后了。同在数学系的时候,我和他办过讨论班,还试图合作做过问题(很可惜没有结果)。2000年他搬到纽约后,更是我们家的常客,我们一起吃过无数次的饭,吹过无数次的牛,实在是熟得不能再熟的朋友,他这些年的生活,我应该是最了解的人之一。 

黄渝是2000年12月搬到纽约的,他在我所在的公司工作了近八个月,2001年7月份被layoff。其后的一年多他没有工作,然后从2002年9月份开始他在CUNY的John Jay College当Tutor(他跟我说过这是沈珂兄给介绍的)。后来为了增加收入,大概从2003年初开始他开始早上送报纸。这两个工作他一直干到了最后。此外在CUNY的这两年半他每个星期四都去听数学系的一个俄国教授Kolyvagin的课。Kolyvagin是数论学家,原来在Johns Hopkins待过,那时黄渝就听过他的课。 

黄渝是个非常奇特的人,是我见过的人里最有特点的人,非常与众不同。他的故事多的说不完。有时候我觉得他不象个生活在尘世间的人,好象是生活在一个另外的世界里一样。其实细想起来,这都是有原因的。 

首先黄渝的英文非常差,他是我见过的中国学生里英文最差的。那时Johns Hopkins的学生都知道黄渝闹的笑话,他资格考试的时侯,考他的是数学系的两个教授,Igusa和Zucker,他们问了黄渝三个问题,黄渝全说错了,都是答非所问。好象是问他什么是sheaf,他说成了什么是scheme,问什么是variety,他说成了什么是valuation,等等。Zucker非常恼火,要fail他,但德高望重的Igusa先生坚持让他过了。最后Zucker 对他说:“OK,you passed。”但这句话黄渝也没听懂,所以他考完后不知道过了没有。等过了两天黄渝找到另外一个同学刘刚,请他到Zucker那里去问问到底通过了考试没有。Zucker气得跳出来对他吼:“You must improve your English!”黄渝只是愣愣地看着他,不知道这句话听懂了没有。 

黄渝私下里和我说起过他的英文问题,他说一讲起英文来他嘴里说的和他脑子里想的不是一回事,他也不知道该怎么办,我劝他要多大声朗读,最好要背一些经典的文章。我记得我还借给他一本凯恩斯的小书,要他把前言给背下来,但估计他也没看。 

到纽约之后,我发现他的英文比以前反而还要退步了!两年前我知道他有意在CUNY把Ph.D读完,就劝他尽早去和Kolyvagin谈一谈,黄渝为难地说怕英文不好讲不清楚,我说如果实在不行就把要说的话写在纸上给他看。几个星期后黄渝拿了一页纸来,说写好了,给我看看。我看了之后哭笑不得,大概有十行字,几乎每一行都有语法错误,还有一句的意思正好是说反了!全是小学生都不应该犯的错误,我不明白怎么会写成这样,他不是每天都在看NewYork Times么?我不相信他是不认真,这个语言问题真的成了他的一个无法克服的障碍了。在美国的十几年,他的英文交流障碍一直困扰着他,不知让他受了多少罪。 

有一次出于好奇我问他中文的作文怎么样,他告诉我中学的时候他最怕写记叙文,不知道该写什么好,但不怕写议论文,“只要瞎议论就行了。”黄渝好高谈阔论政治问题,2004年初的时候他从我这儿借去了《走向共和》的VCD,看完之后非常激动,和我讨论了好多次。他非常关注去年的总统大选,和我说过竞选造成的社会分裂很明显,连他的同班同学都出现了矛盾。 

黄渝另外的一个特点是一种出自天性的宽厚和善良,这方面他也是一个极端,从来只考虑别人,不考虑自己。到美国十五年来他孤身一人,贫困潦倒,好象什么厄运都撞上了,不知道吃了多少亏,但我从未听他抱怨过。黄渝跟我说:“我这人没什么,就是有点脾气。”他对生活要求得很少,既使这样他也长期挣扎在边缘,可他的脾气从来没变过,我们总说,黄渝永远是黄渝,总是这个样。 

在Johns Hopkins的时侯黄渝是有名的夜猫子,每天半夜三更叼着根烟在校园里走,谁要找他讨论问题只要半夜去数学系找就行了。黄渝总说:“晚上多安静呀,是看书的好时间。”但他好象白天也不太睡,我们的同学庄德谦说他是“无时不睡,无时不醒”, 是很传神的写照。

大约在92年左右数学系决定黄渝的英文没法上习题课,把他的钱扣了一些,那时黄渝在感情上好象也有些挫折,一度挺消沉的。那时黄渝的导师Shalika,在数学研究上早就不活跃了,而且还在闹离婚,是个在生活和事业上都在走下坡路的人。Shalika开始的时侯对黄渝是基本不管,到了93,94年就催他快毕业。 我不是很清楚他们之间到底发生了什么事,据黄渝说是Shalika给他了一个题目,但他实在没有兴趣,就没做。大概还有其它的一些miscommunication,总而言 之,94年的时侯Shalika对系里说黄渝已经不准备读学位了。从那时起黄渝就离开了Johns Hopkins。 

但是黄渝对Shalika一点怨言都没有,他总说:“Shalika其实对我不错。”我说:“可他把你的前途都毁了。”黄渝说:“我其实无所谓。”怎么可能无所谓?我觉得他是不愿在别人面前说他老师的坏话,他为人的厚道在此也可见一斑。 

94年的夏天黄渝回国住了三个月,这是他在美国的十五年中唯一的一次回国。他虽有美国的绿卡,但没有工作,所以回来后就开始在外面打工。那时他还住在学校附近,我们还能经常见面。他找的工作也是在晚上的,所以有时白天他还到学校来听课。我问他干什么工作,他说:“就是干点活。”我说:“到底干什么活?”他说:“你问那么多干什么?在一个仓库里扛东西。”从那时起黄渝在经济上就一直生活在边缘,一贫如洗,到最后都没有翻身。 

我太太问他:“黄渝,你为什么总是生活在边缘?”黄渝说:“很多人生活在边缘啊。” 我太太说:“可你并不deserve这个样呀。”黄渝默然不语。别人经常为他着急,而他自己反而是有些漠然了。黄渝是个明白人,我觉得他不是不想去改变现状,而是觉得已经是无能为力了。我对他说:“咱们在这世道上混,心不一定要黑,但脸皮一定要厚,是不是?该吹就得吹,该要就得要,否则岂不亏了!” 但黄渝的脸皮从来没厚过。 

几年前我的同学告诉我黄渝从前的朋友徐飞,在Harvard访问的时候一直在找黄渝。徐飞在国内已是晨兴数学所的负责人了。我因此问黄渝愿不愿意回国发展,还能回数学界去。黄渝坚决地否定了这个建议,并叫我不要把他的现状告诉国内数学界的人。我知道他是放不下面子,黄渝毕竟是当年最有希望的学生之一, 这也是人之常情。 

去年四月份我回国探亲,我父母家离苏州大学不远,我抽空去那里找到黄渝以前的好友余红兵兄,我们谈了很久黄渝的事。临走的时候余红兵对我说:“请你转告黄渝,我现在也不是以前的余红兵了,为了钱我也干很多下三滥的事。”我知道他这话是真心的,只有黄渝的朋友才会说这样的话。 

虽然为了基本的生存黄渝都不得不苦苦挣扎,但他从来不是个悲观厌世的人,恰恰相反他非常热爱生活,我们见面的时候他总是有说有笑。黄渝还特别擅长做菜,自己还独创了一些新的花样,这些年来不知有多少人吃过他的菜。来到纽约后黄渝的主要业余爱好好象是钓鱼,这两年来他很多个星期六都是在海边度过的,他说在海边时他一边钓鱼一边有时还读读数学文章。 

几年前的一天黄渝到我们家吃饭,他拿来一本读书杂志指着一篇文章说“这是篇好文章!”要我好好读读。这真是篇美文,在读书的2001年第4期上,题目是“信仰只一细柱香”,说的是二三十年代著名的才女林徽因的故事。我暗暗地想:“看不出来黄渝这小子还这么小资,这么sentimental!”这是黄渝难得的流露这方面的感情世界,谁知道呢,也许在他笑咪咪的外表之下,他真是一个多愁善感的人。 

我和黄渝虽然无所不谈,但我们说的最多的还是数学。众所周知黄渝是个非常有数学才能的人,李尚靖兄说黄渝是最应该拿Ph.D的人,我完全同意。他在数学上非常早熟,来美国的时候就已经是一个成熟的数学家了,这在我所见过的中国学生里是独一无二的。此外他在数学上有非常准确的判断力,而且他在数论,代数和表示论方面的知识几乎是百科全书式的。 

李尚靖兄提到的黄渝在本科时就解决了一个open problem,黄渝和我仔细讲过这段经历。这个问题好象是某种矩阵的分类,在许以超的书上做了正定的情况,黄 渝的一位学兄做了半正定的情况,而黄渝做了所有不定的情况。他说那段时间每天晚上开始算,算到深夜好象差不多了,但第二天早上一下就发现了问题,于是到了晚上又从头开始算,如此反复算了一个多月才最后成功。那时真是黄渝的 一个创造高峰期。黄渝说他的文章由他的同学窦苍柱帮助译成了英文,两部稿子都没发表,还在箱底放着。我想如果在他的遗物里能找到这篇文章,应该找个机会把它给发表了,这大概是黄渝唯一写成的数学文章了。 

最近我读到一篇吴文俊先生纪念陈省身的文章,提到早年做数学的历程,竟有和黄渝完全类似的经历,英雄的道路大概都是一样的。本来我想和黄渝说这事,可惜现在已经没有机会了。 

到美国之后黄渝没能做出和他的才能相称的数学结果,这是非常令人遗撼的。有时我想也许是他渊博的知识和敏锐的判断力多少影响了他的创造力。黄渝经常说:“这些问题都做不动。”好象数学里的问题都做不动一样。科学创造是个复杂的过程,有时不一定需要很多知识,反倒是更需要一些false sense of self-confidence,或者是reckless self-regard,简单说就是要一些狂妄,一些冲劲。现在的著名数学家年轻时多半是个狂人,而这些东西黄渝一点都没有。不过话说回来,任何好的数学工作都需要一些起码的外界条件来支持,而这些条件黄渝早就没有了。 

在所有的数学问题里,黄渝最喜爱的是Hilbert第12问题,我清清楚楚地记着,十几年前的一个晚上,在Hopkins数学系的Help Room里面,黄渝仔细地给我讲了这个问题,说是给定一个数域,如何找到一个超越函数,使得它在某些特殊点上的值生成了给定数域的所有阿贝尔扩张。当这个数域是有理数域时这是分圆域的 理论,当这个数域是虚二次域的时候这是复乘法的理论,所以Hilbert第12问题问的就是如何推广分圆域和复乘法的理论到任意的数域上去。学过数论的人都知道,这个问题有个诗意的名字,出自于当年Kronecker给Dedekind的一封信中,“The dearest dream of my youth。”所以经常被称为“Kronecker青春之梦”,我想这也是黄渝从青春时代就开始的梦想,这个梦他一直做到了最后。 

大概是两年前,对一类特殊的数域,所谓全虚域或者CM域,我有一些新的想法, 我把这些想法和黄渝讨论过,黄渝大概是挺受刺激,也开始重新想这问题。在2004年春天的时候他告诉我对所有的数域他觉得都能解决这个问题了,我问他在全虚域的情形下他找到的超越函数是什么,他说他不是在这种意义下来解决这题的,他用的是一个抽象的方法,类似于形式群的理论,他说主要是从函数域的Drinfeld模理论中得到了启发,关键要把函数的意义进行推广,但推广成什么?他没说,我现在也不知道。 

黄渝嘱咐我不要把他的想法告诉任何人,他说要利用暑假的空余时间好好地把这想法给检查一遍,如果没有问题再告诉我细节。夏天过后我问他进展怎样,他说看上去好象过去了,但有一步总是有问题,他还需要时间。年底前我又问他,他还是说有一步有问题,需要再看看。黄渝是个懒于笔墨的人,我怀疑他是否把自己的想法给写了下来,如果没有的话,他到底是怎么想的就真成一个谜了。 

说实话我一直对他的想法有些怀疑,因为我觉得任何关于Hilbert第12问题的解答都必需和Hecke L函数的变化相符合,也就是要和所谓Stark猜想相符合。按黄渝所说他的解答是一种抽象的函数,我不知道和L函数会有什么关系。这好象也不是Hilbert提这个问题的本意。我把这些疑问和黄渝说过,黄渝并不以为然。谁知道呢,也许他看到了些我没看到的东西,黄渝是能创造奇迹的人。 

在他出事三个星期前的星期六晚上十点,他突然跑到我家里来,原来是他的车坏在了去钓鱼的路上,他辗转坐火车跑了回来。我对他说:“你的这个老破车,如果修要超过1000块钱,就不值得去修了。”他表示同意,但有些惶然地说:“我现在这个样子,如果没了车就好象什么都没有了一样。”最后他的车修了700多块钱。 

事后我和公司的同事刘怡说起这事,刘怡要我劝黄渝不要再去想读Ph.D了,应该去学校里找一份稳定的技术工作,把生活安定下来。我觉得也有道理,在学校里工作也符合他的性格,准备过了年和他好好谈一谈,没想到再也不可能了。 

上个星期一,12月27日我接到他的凶讯,欲哭无泪。这么一个至善至诚的人,竟会死得这么惨烈。我没法接受他的死,我们全家包括小孩早就把他当成了家中的一员了,叫我怎么去和他们讲。我再也见不到他笑眯眯的样子了,再也不能和他吹牛了,再也不能吃他做的菜了,他的突然离去留下来的空白我不知道该怎么样来填补。 

古人云:“死生亦大矣。”面对生死总让人多想想生活的意义,生命的本质。黄渝这后半生,漂泊异乡,历尽磨难,到死也没有翻身。说实话,我看不出什么意义来,我只知道,我再也不会有这么好的朋友了。我会常常想他的。 

有时我想做数学这东西也会害人的,象黄渝这样痴迷数学的人,数学就是他的命,一旦离开数学界,他的精神就全垮了,生活上就随波逐流无所谓了,以至于一路沦落到这个地步。 

最近一两年来,黄渝常常和我们说起他小时候的一些往事,在上学以前他住在云南的一个小县城里,那时总是阳光明媚,四面是郁郁的青山,山上有无尽的野果和野蘑菇。黄渝说这些时,眼睛里闪着光。我知道他是有些想家了,游子悲故乡,自从94年后,他已是离开故乡十年了。有时见到我们为了照顾小孩而狼狈不堪,黄渝会说起小时候因为父亲在外地工作,他的母亲一个人照顾他们兄妹三个的故事。那时他母亲从事一些农业技术的推广工作,经常需要下乡去。每次下乡都带着他们三个,母亲推着一辆车,他的妹妹坐在车里,他和哥哥在后边跟着走在乡间的路上,周围是青青的山,天上飘着白云,我想着这幅图画,这是多么温馨快乐的时光。这些童年的点点滴滴,一直深深刻在他的心里。 

现在这流落异乡的游子就要回到他梦魂萦绕的故乡,永远地安息了。愿故乡的青山和白云永远陪伴着他! 

曾思欣 

2005年1月3日 

【转载】我所认识的姜文华

姜文华是我在Rutgers统计系博士班的学弟,他2004年秋季从复旦数学系本科直接考来,2009年毕业,去NH做博士后,2011年回国。

在美国我和他有7年的overlapping。在Rutgers的头几年,我们做为TA合教过的一二个学期的课,周末定期一起打篮球,但是文华是典型的书呆子,孤傲,害羞,木纳寡言并不善言辞的人,我又比他大,我们俩并不熟,客客气气而己。

我和文华走得很近,能够很长时间的聊天,其实是在文华博士生的最后一年和他博士后的最后一年,当他在生活与事业遇到一些困难的时候。

我所认识的文华是这样一个人:

1,学业和学术都是一流,如果当年,他能随他自己的心愿,毕业之后进美国顶级大学做博士后继续钻研自己感兴趣的学术(当时这扇门对他是开着的,虽然这扇门对于Rutgers多年来的绝大多数博士生是关着的),而不是很不正常地去NH那种学术三流,官僚一流,金玉其外,败絮其中的机构稀里糊涂地做了很多在他眼里的又苦又累又耗时又对他的学术没有帮助的杂事,他今天应该是美国学术圈里一个小有名气的教授。

2,内心干净,心底非常善良,不撒谎也不会撒谎,不害人也不知怎么害人;对别人不设防,不太知人情事故,不知江湖险恶;正因为他太干净,太善良,一旦遇到他认为的不公正,他完全不知所措,心里的反应会比普通人激烈,会有一些极端负面的想法,但他绝非是心里不正常的人,他会咬着牙,把咽不下的那囗气咽下去。

3,在师道尊严的环境中成长,从小的学霸,对老师言听计从,对领导唯唯诺诺,不敢越雷池半步;从不惹事,如果别人和他发生争执,文华习惯性地会以自己退让的方式去解决问题。

4,生活规律,洁身自好,不抽烟,不喝酒,不打牌,不玩游戏,没有任何嗜好,准时上课,从不迟到旷课,每周的生活规规矩矩地安排好,什么时候锻练,什么时候买菜,什么时候在图书馆,什么时候就寝都按定好的时间表走。工作认真负责,兢兢业业,在美国,没有几个TA会像他那样认真备课,耐心给学生答疑。

5,做为一个家中独子的上海人,对钱有概念,但不贪钱,也不追求金钱,绝对不占别人小便宜。文华和我一起吃饭,从来没有让我替他买过单,即使我一再坚持,他也坚决不花别人的钱。

6,对爱情与婚姻很向往,对于自己爱的人和他认为爱他的人,他会用心去交往。文华在Rutgers的头4年,应该半个女朋友也没交,一门心思做学问。快毕业的那年,不知道是他忽然想恋爱了,还是有人看好他的未来,陆陆续续就有人给他介绍对象。

有一阵子,他似乎是系里最popular的钻石王老五。但是许多媒人只看availability(有时这一点也搞不清楚)不看compatibility,给他介绍了许多在我看来非常不合适的candidates。但文华做为nerdy式的爱情小白,完全看不清楚这里面的弯弯绕绕,对于每一个约会都拿出做学问的态度规规矩矩认认真真地对待。


对于约会地点来回的交通线路以及约会地点周围的情况会上网仔细看看,对于约会餐厅的菜谱会提前研究透彻,对于约会对象可能提的问题会在脑子里想象出来,然后沙盘推演。

虽然几乎每个约会都无疾而终,但他还像虔诚的信徒那样,神圣般地对待每一个下一次。有一次他从曼哈顿中城约会回来,大约晚上十点钟来找我,难得地很兴奋,很开心。他告诉我,中间人跟他捎话了这个女生喜欢他,愿意和他继续交往。

我先恭喜他,但是很skeptical,就又问了他一些具体的问题,比如,他们一起吃饭的时候,当他说话的时候,她的眼睛是在盯哪里,在看他,还是桌子上的菜,还餐厅进出的客人?约会完了,各回各家之后,谁跟谁在几点钟先打的电话?

当文华把我的一堆问题回答完之后,他自己也明白,中间人大概没有和他说实话,这个女孩和以前的女孩子们一样大概不会再找他了。他原本阳光灿烂的笑容慢慢消失的他阴郁地安静了下来。

十几年过去了,今天我还对那晚他最终落寞的样子印象深刻,am still feeling such guilty,似乎是我把他捧在手里的希望给拿走了,是我打碎了他那种对前所未有的开阔壮丽之新世纪的无限渴望。

还有一年的夏秋之际,国内有人给他介绍了一个国内某大学教授的千金小姐,马上要到马里兰大学来上研究生,双方通过网络见过面,聊过天,介绍人和双方都父母都很熟,女孩对他很满意。他高兴地给我看那个女孩的照片,一个非常漂亮,极有气质的上海女孩,在国内,追她的人估计可以塞满黄浦江,到了美国,怎么会看上他这样没钱,没工作,没绿卡,前途不明的穷学生呢?我当时强烈怀疑不他又把对方理解错的但这种话我不能说,也没办法说。

从那女孩办签证开始,文华就开始眍心沥血地帮她,女孩飞到美国来,他又亲自过去帮这帮那,安排一切,并拿出这几年从奖学金中攒下的钱,为那女孩买了一辆他付的起的最贵的车。没过多久,那个女孩就列出一堆理由要和他分手,他急得够呛,也完全不知道自己做错了什么,就咨询师姐师兄,看怎样可以弥补,据我所知,他那时努力研究菜谱,提高手艺定期做一些好菜,然后开车200多英里送给女孩吃,还时不时地买一些在他眼里很贵重的礼物,寄给她。但最终这段他非常认真

付出的感情又不了了之。

他处理这件事的善后,彰显他为人的品质:第一,分手之后,他从来没有和那女孩讨论过他花在她身上的钱,总数虽然不会太多,但对于一个学生来讲肯定是巨款;我曾经拿出中国男人特有的狭隘,撺掇过他几次,让他和她把帐算清楚,至少结一点,但每次他都不接我的话。

第二,分手之后,他深受打击,但他也就自己一个人忍了下去,没有追着她死烂打,也没有哭天呛地,絮絮叨叨,惹事生非。那女孩和他分手,我一点也不惊讶,但我一直不明白,她为什么最初会答应他。我的猜测,女孩子马上就要从父母的呵护中到一个完全陌生的环境,她需要一个知根知底,忠厚老实的同乡来帮助她的smooth transition。一旦她过了这个坎儿,他的价值也就不存在了。

7、文华毕业后去NH做了两年博士后,据他说,博士后导师水平低(am not surprised),学术上帮不了他,只一味地给他一堆没什么学术价值的事情做,让他荒废了两年宝贵时光,没能如愿以偿重回美国的顶级大学做tenuretrack,他只好选择回国。

总之,文华是一个纯洁,纯粹的象牙塔里的人,他唯一的passion就是做学问,他不爱财,也不图名,渴望爱情,但是顺其自然,不善也不爱交际,人际冲突中选择退让。有才华,很能干的学者,但需要一个合适的环境,他人生唯一的要求是象牙塔里的一张安静的课桌。如果毕业之后,他能够在一个真正的学术圈里,我坚信,他现在己经成为许多人仰视的偶像。

我不知道文华能否看见我这里写的这些东西,事发那天,消息迅速传到美国,好几个许多年没有联系过的Rutgers校友和我联系。大家为你痛心,为你叹息,不只一个人为你掉了眼泪。

我们一致认为你一定是受到了莫大的委屈,如果我们当中任何一个人前几天在国内,能够和你说说话,事情不会发展成这样;你一生孤单,现在又要以最孤独的方式一个人去面对未来,我们都想为你做点什么。

在这里,我必须为文华做博士时候的导师讲几句话。坊间流传的关于文华的博导的评论和我所了解的情况并不相符。文华的博导很欣赏文华,对他关爱有加,因为对他不善和人打交道的书呆子气很了解,博导对文华的帮助远远超过一般的师生之谊。

文华在做博士后的第二年出困境时候能够在第一时间拿到苏州大学的offer,在苏州大学6年后不续签的情况下能够顺利上升进入复旦大学都是他的博导倾力帮助的结果。明白人都知道,复旦大学的faculty不是一般人可以进去的:每个位子被无数有背景的人盯着,有真本事有名气也不一定能进去。一位教授愿意拿自己的一生攒下来的名誉,动用自己的人脉,冒着风险,去帮助一个已经毕业8,9年,陷在困境中的学生,这是一位非常难得的导师。

统计与大数据专业究竟在学什么?

统计学是一门关于数据分析的学科,用于测量,收集,整理,归纳和分析数据的真实情况和估算情况。统计学从 17 世纪的中期逐渐发展起来,不仅存在于概率与数理统计领域,还广泛应用在各种自然学科,社会科学和人文科学上,也会被用于各种团队,企业和国家的决策。随着大数据时代的到来,统计学也与计算机,信息学等领域紧密结合,是数学科学的有力工具之一。

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正态分布

描述统计学(descriptive statistics)又称为叙述统计,是统计学中用于描述和总结所观察到对象的基本统计信息的一门学科。描述统计的结果是对当前已知的数据进行更精确的描述和刻画,分析已知数据的集中性和离散性。描述统计学通过一些数理统计方法来反映数据的特点,并通过图表形式对所收集的数据进行必要的可视化,进一步综合概括和分析得出数据的客观规律。与之相对应的是推断统计学(statistical inference),又称为推断统计,是统计学中研究如何用样本数据来推断总体特征的一门学科。推断统计学是在对样本数据描述的基础上,对总体的未知数据做出以概率形式来描述的推断。推断统计的结果通常是为了得到下一步的行动策略。以上的两个统计学方向都属于应用统计学。

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总体和样本

在有的学校,统计专业是放在数学系里面的,而有的学校则是把统计和数学分开,形成数学系(Department of Mathematics)和统计系(Department of Statistics)。无论分开还是合并,一般情况下都是放在理学院(Faculty of Science)的。

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NUS 统计与应用概率系

统计系和数学系的低年级课程是十分接近的,基本上还是数学分析,线性代数,概率论等一系列的课程。

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Level 1000 和 Level 2000

到了高年级之后,所学的课程与数学系的课程就会出现明显的区别。数学系的学生会学习实分析,复分析,泛函分析等一系列课程。而统计系的学生会学习回归分析,随机过程,数据分析,贝叶斯分析等诸多课程。统计系的学生更偏向应用一些,数学系的学生课程则会更加理论一些。

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Level 3000 和 Level 4000

从 NUS 在 2020 的 E-Open House 的资料可以看出,统计专业的学生,其就业方向也是十分宽泛的,可以考虑去银行,金融机构就职;也可以考虑去咨询公司,也可以去政府或者教育机构找到合适自己的工作。

统计的行业需求
统计专业的行业需求

对于第四年的学生,如果在国内的话,一般情况下会选择保研,考研,找工作,甚至出国留学。有的学生也会选择去找一个长达半年到一年的实习。这个就根据每个同学的实际情况而定了,但是绝大部分也就是这几个选择,或者有人也会选择 gap 一年修正一下。

简要课程安排_3
最后一年的项目

相对于数学系,统计系的课程安排更加偏向于实战与应用,并且其实用性也会高于数学系的理论课程。如果未来要从事数据分析,商业分析等方向的话,其实攻读统计系是一个还不错的选择。

在新加坡国立大学的统计与应用概率系,除了统计系这一经典的专业之外,还提供了数据科学与分析(Data Science and Analytics)这一个新兴专业供学生选择。

众所周知,随着科技时代的到来,数据的增加是非常迅速的,无论是用户自身产生的数据,还是平台方产生的数据,都是十分巨大的。数据的增大那就意味着需要使用各种各样的计算机,统计,数学方面的技术来解决现有的疑难杂症,于是大数据时代的技术也逐渐映入大家的眼帘。

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数据趋势

无论是国内还是国外,都在提倡智慧城市这一概念,那么在智慧城市中,大数据技术就是一个绕不开的话题。各行各业都将会使用大数据系统来做各种服务,包括推荐系统(Recommender Systems),高频交易,风险管理,移动支付等等。通过这些技术,人们的生活质量将会大大提升。通过这些产品,科技将会给人们带来诸多便利。

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智慧城市

而数据科学是一门交叉学科,它需要使用到计算机科学(Computer Science)数学(Mathematics)统计学(Statistics)等多种学科的技术和知识点。如果要应用在金融领域,还会要求从业者掌握金融方面的知识。因此,数据科学在这个时代背景下是具有实用性的,也是很多行业的发展趋势。

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数据科学

从其课程设置也可以看出,学生们所学的课程包括编程,数据结构与算法,也包括微积分和线性代数,还有统计学等诸多基础课。在高年级的时候,将会学习人工智能,计算与优化,数据库,数据处理,机器学习等课程。除此之外,在具体做项目或者实习的时候,将会根据方向的需要来学习相关的业务知识,涵盖了金融,医药,调度优化等诸多领域。

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课程设置

整体来看,统计与数据科学专业是以实用性为目的,培养学生的理科思维,动手能力和数据分析能力的一门学科。如果学生希望学习理科并且将来学以致用的话,其实选择统计或者数据科学是一个不错的选择。

参考资料:

  1. NUS E-Open House:2020,YouTube 视频;
  2. http://www.stat.nus.edu.sg:NUS 统计系官网。

信息与计算科学是一门什么专业?

信息与计算科学是一门什么专业?

在 2005 年刚进入大学校门的时候,数学分析和高等代数就是大一新生的必修课,当年讲高等代数的是丁老师与何老师。由于个人的姓氏英语字母是 Z,则被安排在二班,于是恰好就由何老师教授高等代数课程。刚入学没多久,何老师则在课堂上问大家,“你们当时为什么选择信息与计算科学?”下面顿时一片寂静。何老师紧接着就说可能是因为专业名字的原因,在填写志愿的时候,高中生一看这个专业的名字,既有信息又有计算,就会觉得这是一个非常偏应用的专业,于是就果断地将其填写在第一志愿上。结果入学之后傻眼了,这个专业是被安排在数学系,也就是属于数学这个一级学科。

信息与计算科学(Information and Computing Science)从名字上来看,确实像一个计算机方向的学科,但是它的原名却是计算数学,后来教育部在 1998 年改成了信息与计算科学。该专业强调以信息领域为背景,数学,信息,计算机管理相结合的数学类专业。目的是培养有良好的数学基础,能够熟练使用计算机,初步具备在信息与计算机科学领域的某个方向从事科学研究,解决实际问题,设计开发有关计算机软件的能力的学生。

在数学系的话,就不可避免地要学习各种数学系的课程,通常来说数学系的前两年都是基础课的教育,包括:数学分析,高等代数,解析几何,C++,离散数学,常微分方程,抽象代数,复变函数,数值计算等课程。

到了第三年才开始逐渐分流,学习不同的课程。如果是在数学与应用数学专业,就是学习实变函数,泛函分析,拓扑学,微分几何等课程。如果是在信息与计算科学,则是学习实变函数,泛函分析,偏微分方程数值解,运筹学,计算机图形学,信号处理等课程。在不同的专业上面,所学习到的课程内容则是完全不一样的。而该专业的编程工具主要还是使用 Matlab,毕竟用 C++ 这种编程语言写矩阵运算一类的确实不太合适。

如果是想在信息与计算科学这个专业上学习很多计算机方面的基础课,例如操作系统,计算机网络,计算机组成原理等课程,估计会让学生们大失所望。因为,信息与计算科学是属于数学这个一级学科,是数学系的专业,而不是计算机系的专业。于是,绝大部分高校还是会把它设置在数学学院下面,而不是计算机学院下。不过,确实也听说有的工科学校确实也给数学系的学生传授了很多计算机方面的知识,但整体来看信息与计算科学方面的学生所学的计算机知识还是相对偏少的。PS:当年读书的时候,该专业确实没有设置计算机方面的课程,例如数据结构等计算机的经典课程其实都是相对缺失的。

在校园招聘的时候,信息与计算科学这个名字也具有一定的迷惑性,因为总有很多面试官会认为这是一个计算机的专业,而没有意识到这个是一个数学类的方向。结果问了一堆计算机方面的问题,学生都不一定能够回答得上来。

近些年的机器学习方向很火,有的公司确实也会考虑从数学系招聘一些相关的人才。数学系所学的课程其实整体来看还是偏理论,实践方面的偏少许多,即使是信息与计算科学这个专业,教授的也是矩阵运算,偏微分方程数值解等课程,在工业界确实也有一定的应用,但是确实也算是脱离了实际。一般情况下,在工业界哪能够精准地写出一个偏微分方程或者常微分方程,最常见的都是一大堆表格数据,各种图片和文本数据,极端情况下,连数据都还没有收集好。数学系的学生实践方面的能力在刚毕业的时候确实不太行,不如计算机专业的学生上手极快,但是确实应该给予数学系的学生一定的耐心和鼓励。毕竟两者思考问题的思路和方向是不太一样的,从不同的角度看问题确实能够带来不同的启发。

提到机器学习,不知道现在的课程安排有没有做适当的改进和迭代。如果想要从事数据挖掘和机器学习相关工作的话,光靠信息与计算科学专业所教授的数学课程内容应该是远远不够的,无法满足工业界对人才的需求,因此建议在编程方面还应该补充一些 SQL,Python,C++,Java,Golang 方面的基础知识,也要掌握数据结构中的常见算法,更要把机器学习的相关课程尽量补上。只有这样,才能够在求职就业的时候占据一定的优势。只靠数学系所教的数学想找工作是非常困难的,只有把数学和计算机相结合之后才能够发挥数学系专业人才的优势。

如果学生恰好在信息与计算科学专业就读,最担心的一种情况就是不仅数学没学好,计算机方面的技能也稀松平常,最终耽误了自己。因此,在学习的时候还是建议先打好数学和计算机方面的基础,然后加强社会实践,多参与实习和各种社会活动,通过实习来了解业务问题,才能把所学到的数学知识应用到实践中产生价值。

 

傅里叶分析与调和分析

傅里叶分析

傅里叶变换(Fourier Transform)其实是数学里面非常重要的一门技术。在数学分析里面,就有傅里叶分析的身影,用于计算正整数的倒数和等于 \pi^{2}/6, 并且还有很多其他有意思的性质。

对于初学这门课程的人而言,建议阅读一代数学大师,沃尔夫奖得主 Elias M.Stein 撰写的《傅里叶分析导论》,英文名是 Fourier Analysis An Introduction。

在这本书里面,作者从波动方程和热方程开始,逐渐引入傅里叶变换的基础知识和概念,也介绍了傅里叶级数的收敛性质。其中包括单位区间上的傅里叶变换和实数轴上的傅里叶变换,最终将其推广到高维实数空间中。除此之外,作者也基于这些基础知识介绍了傅里叶分析在其他领域中的应用,包括等周定理(The Isoperimetric Inequality),同程度分布定理(Weyl’s Equidistribution Theorem),数论中的 Dirichlet 定理等等。让读者在学习傅里叶分析的同时,认识到傅里叶分析是在数学各个领域都有着重要应用场景的一门学科。

傅里叶分析导论
傅里叶分析导论

调和分析

之前在北京大学学了整整一个学期的调和分析,是由 BICMR 的苗老师主讲。在这门课上我受益匪浅,故写一篇文章来感激下这位老师,同时写一下自己学习调和分析的感受。

调和分析起源于 Fourier 这位数学家的研究,故也可以称为 Fourier 分析。其主要内容包括算子插值方法,Hardy-Littlewood 极大算子,Fourier变换,Calderon-Zygmund’s Inequality,函数空间,Ap 权等等。下面一一介绍这些基本内容。

(1) 算子插值方法

里面主要有 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 和 Riesz Thorin Interpolation Theorem两个定理,分别是用实变方法和复变方法证明的。这两个定理则是研究算子的 L^{p} 有界性的关键定理,是整个调和分析的基础。

(2) Hardy—Littlewood Maximal Operator

这个是一个相当重要的拟线性算子,利用 Vitali Covering Theorem 和 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 可以证明该算子是 L^{p} 有界的。证明过程不超过10行,但是证明过程相当的漂亮。

(3) Fourier Transformation

调和分析的主要工具,这个工具不仅仅在调和分析上有用,在 PDE 和随机过程中,这也是一个相当重要的工具。它把一个物理空间上的函数,转换成频率空间上的函数,从而获得了很多很好的性质。

(4) Calderon-Zygmund’s Inequality

这个定理是调和分析的经典定理之一,是处理卷积型的奇异积分的。可以看成是 Minkowskii 不等式的推广。Zygmund 把定理的条件放的很弱,只需要加上 Hormander 条件就可以得到算子的 L^{p} 有界性。然后也可以考虑其条件的充要条件。

(5) 函数空间

调和分析里面提到的函数空间包括 Sobolev space,Lipschitz space,Hardy space,Besov space 等等。 其中 Sobolev space 在 PDE 上面用处广泛,其代表作就是 Adams 的 Sobolev Space。Besov Space 里面有一个插值定理,也相当的重要,差不多 5 页吧,当时苗老师让我们全部背下来,嘿嘿。另外, Hardy Space 里面有一个相当重要的定理,就是所谓的 Duality of BMO and H^1 Space. 其证明过程大概有10页吧,是由 C.Fefferman 和 Elias.M.Stein 在上个世纪70年代给出的,方法太经典了,看完之后甚至会觉得自己没有必要学数学了。

(6) Ap weight

这个也是调和分析的分支之一,其中周民强老先生的书上有详细记载,就不一一阐述了。

以上的这些内容就是之前一个学期在北大学习所学到的东西,学了调和分析之后,基本上就不怕所谓的硬分析了。总之收获还是蛮多的,非常欣赏那位老师,一个学期讲了那么多东西。其实以上我提到的只是他讲的东西的一半内容,他后面还讲了很多 Schrodinger 方程的内容,由于本人实力有限,实在是没有能力再学后面的内容了。

ps:去 BICMR 学习是 2009 年的事了,一晃眼 11 年过去了。

参考文献:

  1.  Loukas Grafakos,GTM249,Classical Fourier Analysis
  2. Loukas Grafakos,GTM250,Modern Fourier Analysis
  3. Elias M.Stein 傅里叶分析导论

备注:

  1. 第 1,2 两本书是调和分析的经典之作,几乎涵盖了实变方法的所有内容。不过有点厚,差不多 1100 页。
  2. 除此之外,也可以阅读 Elias M.Stein 所撰写的《调和分析》,但是这本书不适合做教材,只能够作为翻阅的材料进行阅读。

在新加坡的这五年—学术篇

每次提到数学这个词,大家能够想到的就是初等代数,平面几何,组合运算,微积分,线性代数,概率论等方向。但在整个数学领域(Earth of Math)上,还有很多更有意思的领域和研究方向,包括数论,几何,拓扑,分形几何,分析,概率统计,博弈论,代数等诸多方向,每一个方向都有很多优秀的数学家在从事相关研究。

EarthofMath
Earth of Mathematics

当年在数学系的时候,所研究的方向是分形几何(Fractal Geometry)和复动力系统(Complex Dynamics),位于 Earth of Math 的左侧,称之为分形湖泊(Fractal Lakes)。所谓分形,其实是一个粗糙或者零碎的集合形状,可以分成多个部分,且每个部分放大之后与整体有某种相似性,即具有自相似性的性质。而动力系统则是基于某种固定的规则,描述一个空间内的所有点随时间的变化情况,例如钟摆的晃动,水的流动,湖泊里面鱼类的数量。备注:动力系统并不是指汽车的动力系统和发动机引擎,这两者毫无关系。

而复动力系统则是动力系统中的一个分支,研究的是有理函数的迭代性质。所谓函数的迭代,指的是针对有理函数 f(z),考察其定义域的点 z\in \hat{\mathbb{C}}n 次复合,得到 f^{(n)}(z)=f\circ\cdots\circ f(z),进一步可以研究 \lim_{n\rightarrow +\infty}f^{(n)}(z) 的极限。

针对不同的定义域,函数的迭代有着完全不同的研究方法。当时的研究方向是复动力系统(Complex Dynamical Systems)。复动力系统理论的研究始于 1920 年,当时是由数学家 Fatou 和 Julia 研究的,因此复动力系统中的两个重要的集合就是以 Fatou 和 Julia 来命名的,分别称之为 Fatou set 和 Julia Set。随着计算机技术的演进,在上世纪八十年代这些集合可以通过计算机进行可视化,分形几何和复动力系统理论开始蓬勃发展起来。在与双曲几何、分形几何、现代分析学和混沌学等学科发展相互促进的同时,围绕双曲猜想以及 Mandelbrot 集合的研究工作,成为当今复动力系统的研究热点。

举个例子,函数 f(z) = z^{2}+0.7885 e^{ia}a\in[0,2\pi])的 Julia 集合的动图如下:

JuliaSet_1
Julia 集合

当然,科研的时候可不是做一点可视化就算完成任务了,还是需要按部就班的学习各种数学知识和技能。

之前在学校研究动力系统的时候,收集过一些书籍,在此列举给大家,希望对初学者有一定的帮助。One Dimensional Real and Complex Dynamics实与复动力系统)需要学习的资料如下:

基础书籍:

复分析基础:本科生课程。学习数学知识自然需要循序渐进,除了必要的数学分析,高等代数之外,分析学则是动力系统所必备的知识之一。既然是复动力系统,那肯定就要集中于研究复分析,因此本科的复分析则是复动力系统的必修课之一。

(1) Complex Analysis, 3rd Edition, Lars V. Ahlfors

(2) Complex Analysis, Elias M. Stein

进阶复分析:研究生课程

到了研究生阶段,其实也不足以直接上手搞科研,需要进一步地学习黎曼曲面,拟共形映射等专业书籍,才能够为复动力系统的学习打下基础。

(1) Lectures on Riemann Surfaces (GTM 81), Otto Forster

(2) Lectures on Quasiconformal Mappings, Lars V. Ahlfors

实分析基础:本科生课程

研究动力系统,实分析也是其基础知识之一,无论是通过学习 Stein 还是 Rudin 的教材,都是为了进一步地了解基础知识。

(1) Real Analysis and Complex Analysis, Rudin

(2) Real Analysis, Elias M. Stein

专业书籍:

实动力系统:

(1) One Dimensional Dynamics, Welington de Melo & Sebastian VanStrien

这本书难度较大,上手的时候不建议直接看这本书。

OneDimensionalDynamics
One-Dimensional Dynamics

(2) Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics (Cambridge Studies in

Advanced Mathematics), Edson de Faria / Welington de Melo

MathematicalToolsforOneDimensionalDynamics
Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics

复动力系统:

(3) Dynamics in One Complex Variable, John Milnor;Milnor 的教材总是写的清晰明确,容易上手,推荐初学者可以读这本书。

DynamicsinOneComplexVariable
Dynamics in One Complex Variable

(4) Complex Dynamics, Lennart Carleson;Carleson 的教材偏向于分析学,读起来其实也有点难度,还是读 Milnor 的教材相对容易。

ComplexDynamics
Complex Dynamics

(5) Complex Dynamics and Renormalization, Curtis T. McMullen;McMullen 的书适合当做查阅,也不太适合从头到尾读下去。

ComplexDynamicsandRenormalization
Complex Dynamics and Renormalization

(6) Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle, Curtis T. McMullen

Renormalizationand3Manifolds
Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle

(7) Iteration of rational functions (GTM 132), Alan F. Beardon

遍历论:

(8) An Introduction to Ergodic Theory (GTM 79), Walters Peter

学术会议

除了日常的科研之外,博士生时不时地可以去参加一下学术会议,不仅可以去参加本方向的学术会议,也可以去参加其它方向的学术会议,只要有一份邀请函即可。

如果是在 NUS 的 IMS(Institute for Mathematical Sciences)举办的学术会议,一般来说只要是在校的研究生都是可以参加的。记得当时参加的第一个学术会议是关于 PDE 的,标题叫做 Hyperbolic Conservation Laws and Kinetic Equations:Theory, Computation, and Applications(1 November – 19 December 2010)。笔者去听这个系列讲座是因为在 2010 年选择了一门 PDE 的研究生课程,而这个讲座则是作为课程的一部分。

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IMS 的偏微分方程学术会议

笔者参与的另外一个学术会议则是关于动力系统的,标题叫做 Workshop on Non-uniformly Hyperbolic and Neural One-dimensional Dynamics(23 – 27 April 2012),主要是关于非一致双曲动力系统方向的研讨会。笔者记得当时所修的课程应该只有概率论(Probability II)一门课,因此上课的任务不算很重。参会的时间恰好是学期快结束的时候,科研的任务也不算特别繁重。因此,积极参与各种学术会议也算是科研的其中一部分,一来通过参会可以了解当前的学术研究情况,二来可以认识学术界的各种人士,也算是扩大学术交流圈子的好机会。

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IMS 的动力系统学术会议

既然是学术会议,那自然就有各种各样的 Presentations,学术会议的第一天通常是需要有 IMS 的领导来致辞的,表示学术会议正式开始。每天的学术会议都需要有个 chair 来组织,一天的学术会议基本上是从早到晚,大约从早上 9:30 开始,到下午 4:40 结束。而每个学者汇报时间大约是 50 mins 左右。

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第一天的研讨会安排

这次的学术会议是关于动力系统方向的,那师兄们自然是需要上台做报告的。当时上场的师兄包括大师兄和二师兄,至于三师兄和我则暂时没有成果可以汇报。两位师兄在 IMS 的报告厅里面做了十分精彩的成果展示,会议之后也有不少同行来与师兄们讨论问题。

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同门汇报工作

一般来说,每次研讨会的开始和结束都需要有一个仪式,除了 IMS 的领导致辞表示会议开始之外,在茶歇时间(Coffee Break)期间是可以四处走动的,并且在第一次茶歇的时候,全体参会人员都会在 IMS 附近拍照留念,预祝本次研讨会成功举办。

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Group Photo

论文

读到博士自然需要研究一下相应的课题,例如下面这种就是数学系博士生所研究的课题。​

Question. 是否存在 \ell\geq 4 的偶数和复数 c\in\mathbb{C} 使得 f(z)=z^{\ell}+c 的 Julia 集合 J(f) 是正测度?

针对这个课题,数学系的博士生需要翻阅历史上的相关书籍和论文,阅读其相关论文才能够得到前沿技术和进展。当年花时间阅读的论文主要是几篇 Annals 上面的文章,参考资料也是这几篇文章,不过每一篇文章至少都是 40 页左右,基本上看一篇文章需要花几个月的时间。

1. Combinatorics, geometry and attractors of quasi-quadratic maps,Pages 345-404 from Volume 140 (1994), Issue 2 by Mikhail Lyubich

Paper_1

2. Wild Cantor attractors exist,Pages 97-130 from Volume 143 (1996), Issue 1 by Hendrik Bruin, Gerhard Keller, Tomasz Nowicki, Sebastian van Strien

Paper_2

3. Quadratic Julia sets with positive area,Pages 673-746 from Volume 176 (2012), Issue 2 by Xavier Buff, Arnaud Chéritat

Paper_3

4. Polynomial maps with a Julia set of positive measure,Nowicki, Tomasz, and Sebastian van Strien,arXiv preprint math/9402215(1994).

Paper_4

备注:第 4 篇文章 Polynomial maps with a Julia set of positive measure 里面有错误,通过其证明是无法得到最终结论的,因此是否存在正测度的 Julia 集合一直是未知的。直到 2012 年的第 3 篇文章出来,才算证明了二次多项式存在正测度的 Julia 集合。但是对于高次多项式,是否存在正测度的 Julia 集合则是完全未知的。

在拿到论文和课题之后,那就开始需要研究了。草稿纸也算了一张又一张,论文也打印了一份又一份,科研之路哪有一帆风顺的,基本上都是历经曲折,才能够达到毕业的彼岸。毕业的时候写了一篇文章《科研这条路》,以此来纪念读博五年的生涯。

PlanandReality
理想与现实

参考资料:

  1. 科研这条路
  2. 维基百科:Julia 集合

 

一个数学家的辩白

《一个数学家的辩白》是数学大师 Godfrey Harold Hardy 在 1940 年左右的作品,可以称之为 Hardy 本人的自传和内心独白。Hardy 通过自己多年从事数学科研的经验,对数学,文学,哲学,美学等诸多学科的理解,将其写成了一本小册子。给其余的数学工作者,数学爱好者,以及不了解数学的人一个了解数学家内心的机会。

Hardy的照片
G.H.Hardy 的照片

G.H.Hardy(1877 年 2 月 7 日 – 1947 年 12 月 1 日)是一代数论大师,英国数学家,先后在牛津大学(Oxford)和剑桥大学(Cambridge)担任数学教授,与另一位英国数学家 Littlewood 共同研究数学,其研究领域包括解析数论,三角级数,不等式等诸多方向。对数论领域和分析学领域的贡献巨大,是二十世纪英国分析学派的代表人物之一。

Hardy的数学家族谱
G.H.Hardy 的数学家族谱

在卢昌海《黎曼猜想漫谈》这本书里面,提到了 G.H.Hardy 的一则小故事。当年,Hardy 在一次从丹麦回英国的途中,碰巧遇到暴风肆虐。他很担心小船会沉没,于是在上船前给朋友寄了一张明信片,上面写道:“我证明了黎曼猜想。” 如果哈代不幸遇难,因死无对证,后世将无法否认(当然也没法确认)他真的证明了黎曼猜想。然而,上帝不想让他有这样大的荣耀,所以没有让这条船沉没。

在《一个数学家的辩白》这本书中,Hardy 基于个人经历,向大家展示了一位数学家对数学这门学科的一些看法和观点。下面将会摘录其中的一些语句。

假如真的能把我的雕像塑在伦敦纪念碑上的话,我是希望这座碑高耸入云,以至人们见不到雕像呢,还是希望纪念碑矮得可以使人们对雕像一目了然呢?我会选择前一种,而斯诺博士可能会选择后一种。

如果一个数学家发现自己在写关于数学的东西,他会感到很忧伤的。因为数学家的工作是做实事,比如证明新定理,使数学有所发展,而不是谈论自己或别的数学家干了些什么。政治家蔑视时事评论家;画家蔑视艺术评论家;生理学家、物理学家或数学家一般都有类似的感觉。做事者对评论者的蔑视是最深刻的,总的来看也是最合理的。解释、评论、鉴赏是次等工作。

认为“谦卑”的人做不出优秀的工作。比方说,在任何一个学科里,教授的首要职责之一就是对自己这一学科的重要性以及自己本人在这一学科的重要性进行一点夸大。假如一个人总在问自己:“我所做的事是值得做的吗?”以及“我做这个合适吗?”这都会使自己永远无能而且也让别人泄气。这种人该把眼睛闭上一会儿,更多地考虑自己的学科和自己本人的情况,而不是更多地考虑学科与自己所应得的报酬。这不太困难,因为更加困难的是依靠紧闭眼睛来使自己的学科与自己本人不受他人所嘲笑。

我之所以做我的事,因为这事是,而且是惟一的一件我完全可以做好的事。我是个律师,或者是一个股票经纪人,或者是一个职业板球手,这都是因为我对这一特别的工作有些真正的才能。我做律师,是因为我伶牙俐齿,而且对法律之微妙感兴趣;我做股票经纪人,是因为我对股市行情的判断迅速而准确;我做职业板球手,是因为我挥拍非同一般地好。有人说,我做个诗人或数学家也许更好,但不幸的是,我并没有才能做这样的工作。

我并不认为大多数人能够做出上述那样的辩解,因为多数人什么工作也做不好。可是只要这种辩解说得振振有词,它就很难反驳,事实上只有少数人能进行这样的辩解:也许只有 5% 或 10% 的人可做得不错。而只有极少数人可做得真正好。而能做好两件事的人只有寥寥无几的了。假如一个人有真正的才能,他就应该乐于牺牲几乎所有的一切,以充分发挥自己的才能。

我会设想我是在为那些现在和过去都满怀雄心壮志的人写这本书的。一个人的首要任务,进一步说,一个年轻人的首要任务是能显示雄心壮志。雄心是一种可以合情合理地以许多形式表现出的一种宏大高尚的志向。阿提拉(Attila)和拿破仑的野心中就有某种高尚的志向,但最高尚的雄心壮志是在自己身后留下某种永存的价值。

  在这平坦的沙滩上,
  海洋与大地间,
  我该建起或写些什么,
  来阻止夜幕的降临?
  告诉我神秘的字符,
  去喝退那汹涌的波涛,
  告诉我时间的城堡,
  去规划那更久的白昼。

有很多高尚的动机驱使人们进行某项研究。在这些动机中,最为重要的有三种。 首先(舍此必一事无成)是理智的好奇心,也就是对了解真理的渴望。其次是对自己专业工作的自豪感,只有工作才能使自己得以满足的那种渴望。任何自尊的数学家,当他的工作与其才能不相称时,耻辱感会压倒一切。最后一个就是雄心壮志,期望得到名声、地位甚至随之而来的权力和金钱。

假如理智的好奇心、对专业工作的自豪感和雄心壮志是在研究工作中占支配地位的动机的话,那么,毫无疑问,没有哪个人比一个数学家有更好的机会来满足这些条件了。数学家的研究学科是所有学科中最令人好奇的。没有哪门学科中的真理会像数学那样奇异。数学是最精细与最富有魅力的技艺,而且数学研究提供了展示真正的专业技能的机会。最后我还要说的是,正如历史所充分证明的那样,不论数学内在的本质价值何在,其成就是一切成就中最持久的。

数学家,就像画家、诗人一样,都是模式的创制者。要说数学家的模式比画家、诗人的模式更长久,那是因为数学家的模式由思想组成,而画家以形状和色彩创制模式,诗人则以言语和文字造型。一幅画或许蕴含着某种”意境”,但通常是平凡而无关紧要的;比较之下,诗意要重要得多,不过,像豪斯曼坚持认为的那样,人们习以为常地夸大了诗意的重要性。他说:“我难以确信存在诗意之类的东西⋯⋯诗歌并不在于表述了什么,而在于怎样表述。”

 倾江海之水,洗不净帝王身上的膏香御气。

一个有意义的数学概念,一条严肃的数学定理从下述意义上被认为是“普遍的”。数学概念应该是许多数学构造的要素,应能应用于许多不同种定理的证明。

一个有意义的定理必须具备的第二个特性就是“深刻性”。其概念也不易定义,它与“难度”有关,深刻的思想往往难以掌握,但二者也并不完全一样。毕氏定理及推广所蕴含的概念有一定的深度,但现代数学家绝不会认为它难懂。相反,一个定理可能极为肤浅,但却难以证明–如丢番图(Diophantus)的有关求方程整数解的定理。

纯数学和应用数学的这些差异对它们本身很重要,但与我们关于数学“实用性”的讨论毫无关系。我曾谈到过费马和其他一些伟大的数学家的“真正的”数学,具有永恒美学价值的数学,如最好的希腊数学。它们之所以永恒,是因为其中的精华就像文学中的精英部分,在几千年后还能引起千万人强烈的满足感。

对于我的一生,或者说任何一个与我类似的数学家的情况是:我所做的工作扩充了知识,并且帮助他人在这座知识的大厦上添砖加瓦;而这些添加部分与伟大的数学家们的创新,或任何其他大大小小艺术家们的作品的价值的不同仅仅在于程度而不在于种类。这些数学家和艺术家都在死后留下了某种纪念物。

伽罗瓦 21 岁去世,阿贝尔 27 岁去世,拉曼纽扬 33 岁去世,黎曼 40 岁去世。也有些人确实是在较晚时取得伟大成就的,高斯就是在 55 岁时才发表了他的微分几何学的重要论文(但在此十年前他就已经形成了他的基本思想)。我还不知道有哪一个重要的数学进展是由一个年过半百的人创始的。假如一个年长的人对数学不感兴趣而放弃了它,这种损失不论对数学本身还是他本人来说,都不十分严重。

阅读《一个数学家的辩白》这本书,可以通过字里行间看到作为一个数学家的 Hardy 对数学的热爱,对自己正值花甲之年而无法做出更好的科研而流露出一种淡淡的忧伤。

其实,二十世纪三十年代末以后,Hardy 的学术活动就开始逐渐减少。1939 年第二次世界大战爆发,让 Hardy 感到更加苦闷。四十年代以后,Hardy 很少参与学术活动。1947 年 12 月 1 日,Hardy 在剑桥去世,享年 70 岁。留给大家的除了数学上的各种定理,书籍之外,还留下了这一本小册子,《一个数学家的自白》。

参考书籍:

  1. 《一个数学家的辩白》;
  2. 《黎曼猜想漫谈》。

一代数学大师 Rota 的经验与忠告

意大利裔的美籍数学家 Gian-Carlo Rota(1932 年 4 月 27 日 – 1999 年 4 月 18 日)是一位杰出的组合学家。他曾是研究泛函分析(Functional Analysis)出身,后来由于个人兴趣的转移,成为了一位研究组合数学(Combinatorial Mathematics)的学者。Rota 的职业生涯大部分都在麻省理工学院(MIT)度过,曾担任 MIT 的数学教授与哲学教授。

Rota's Photo 1970
1970 年的 Rota

从数学家族谱(Mathematics Genealogy Project)上面可以看到:Gian-Carlo Rota 的导师是 Jacob T. Schwartz,Rota 于 1956 年在耶鲁大学获得数学博士学位,其博士论文的题目是 Extension Theory of Differential Operators。

Rota的数学家族谱_1
Rota 的数学族谱

在 1997 年,Rota 发表了两篇关于人生经验和忠告的文章,分别是 “Ten Lessons I wish I Had Been Taught” 和 “Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department“。下面就来逐一分享这两篇文章中的一些观点。

Ten Lessons I wish I Had Been Taught

Springer Link Ten Lessons I wish I Had Been Taught
Ten Lessons I wish I Had Been Taught

讲座(Lecturing)

每次讲座或者分享的时候都有几个需要注意的事情。

(a)每次讲座都应该只有一个重点。(Every lecture should make only one main point.)

Every lecture should state one main point and repeat it over and over, like a theme with variations. An audience is like a herd of cows, moving slowly in the direction they are being driven towards. If we make one point, we have a good chance that the audience will take the right direction; if we make several points, then the cows will scatter all over the field. The audience will lose interest and everyone will go back to the thoughts they interrupted in order to come to our lecture.

(b)不要超时。(Never run overtime.)

Running overtime is the one unforgivable error a lecturer can make. After fifty minutes (one micro-century as von Neumann used to say) everybody’s attention will turn elsewhere even if we are trying to prove the Riemann hypothesis. One minute overtime can destroy the best of lectures.

(c)提及听众的成果。(Relate to your audience.)

As you enter the lecture hall, try to spot someone in the audience with whose work you have some familiarity. Quickly rearrange your presentation so as to manage to mention some of that person’s work. In this way, you will guarantee that at least one person will follow with rapt attention, and you will make a friend to boot.

Everyone in the audience has come to listen to your lecture with the secret hope of hearing their work mentioned.

(d)给听众一些值得回忆的东西。(Give them something to take home.)

Most of the time they admit that they have forgotten the subject of the course and all the mathematics I thought I had taught them. However, they will gladly recall some joke, some anecdote, some quirk, some side remark, or some mistake I made.

板书技巧(Blackboard Technique)

(a)开讲前保持黑板干净(Make sure the blackboard is spotless.)

By starting with a spotless blackboard you will subtly convey the impression that the lecture they are about to hear is equally spotless.

(b)从黑板的左上角开始书写(Start writing on the top left-hand corner.

What we write on the blackboard should correspond to what we want an attentive listener to take down in his notebook. It is preferable to write slowly and in a large handwriting, with no abbreviations.

When slides are used instead of the blackboard, the speaker should spend some time explaining each slide, preferably by adding sentences that are inessential, repetitive, or superfluous, so as to allow any member of the audience time to copy our slide. We all fall prey to the illusion that a listener will find the time to read the copy of the slides we hand them after the lecture. This is wishful thinking.

多次公布同样的结果(Publish the Same Result Several Times)

The mathematical community is split into small groups, each one with its own customs, notation, and terminology. It may soon be indispensable to present the same result in several versions, each one accessible to a specific group; the price one might have to pay otherwise is to have our work rediscovered by someone who uses a different language and notation and who will rightly claim it as his own.

说明性的工作反而更有可能被记得(You Are More Likely to Be Remembered by Your Expository Work)

When we think of Hilbert, we think of a few of his great theorems, like his basis theorem. But Hilbert’s name is more often remembered for his work in number theory, his Zahlbericht, his book Foundations of Geometry, and for his text on integral equations.

每个数学家只有少数的招数(Every Mathematician Has Only a Few Tricks)

You admire Erdös’s contributions to mathematics as much as I do, and I felt annoyed when the older mathematician flatly and definitively stated that all of Erdös’s work could be “reduced” to a few tricks which Erdös repeatedly relied on in his proofs. What the number theorist did not realize is that other mathematicians, even the very best, also rely on a few tricks which they use over and over. But on reading the proofs of Hilbert’s striking and deep theorems in invariant theory, it was surprising to verify that Hilbert’s proofs relied on the same few tricks. Even Hilbert had only a few tricks!

别害怕犯错(Do Not Worry about Your Mistakes)

There are two kinds of mistakes. There are fatal mistakes that destroy a theory, but there are also contingent ones, which are useful in testing the stability of a theory.

使用费曼的方法(Use the Feynman Method)

You have to keep a dozen of your favorite problems constantly present in your mind, although by and large they will lay in a dormant state. Every time you hear or read a new trick or a new result, test it against each of your twelve problems to see whether it helps. Every once in a while there will be a hit, and people will say, “How did he do it? He must be a genius!”

不要吝啬你的赞美(Give Lavish Acknowledgments)

I have always felt miffed after reading a paper in which I felt I was not being given proper credit, and it is safe to conjecture that the same happens to everyone else.

写好摘要(Write Informative Introductions)

If we wish our paper to be read, we had better provide our prospective readers with strong motivation to do so. A lengthy introduction, summarizing the history of the subject, giving everybody his due, and perhaps enticingly outlining the content of the paper in a discursive manner, will go some of the way towards getting us a couple of readers.

为老年做好心理准备(Be Prepared for Old Age)

You must realize that after reaching a certain age you are no longer viewed as a person. You become an institution, and you are treated the way institutions are treated. You are expected to behave like a piece of period furniture, an architectural landmark, or an incunabulum.

 

Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department

Springer Link Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department
Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department

不要在其他系讲自己系同事的坏话(Never wash your dirty linen in public)

Departments of a university are like sovereign states: there is no such thing as charity towards one another.

别越级打报告(Never go above the head of your department)

Your letter will be viewed as evidence of disunity in the rank and file of mathematicians. Human nature being what it is, such a dean or provost is likely to remember an unsolicited letter at budget time, and not very kindly at that.

不要进行领域评价(Never Compare Fields)

You are not alone in believing that your own field is better and more promising than those of your colleagues. We all believe the same about our own fields. But our beliefs cancel each other out. Better keep your mouth shut rather than make yourself obnoxious. And remember, when talking to outsiders, have nothing but praise for your colleagues in all fields, even for those in combinatorics. All public shows of disunity are ultimately harmful to the well-being of mathematics.

别看不起别人使用的数学(Remember that the grocery bill is a piece of mathematics too)

The grocery bill, a computer program, and class field theory are three instances of mathematics. Your opinion that some instances may be better than others is most effectively verbalized when you are asked to vote on a tenure decision. At other times, a careless statement of relative values is more likely to turn potential friends of mathematics into enemies of our field. Believe me, we are going to need all the friends we can get.

善待擅长教学的老师(Do not look down on good teachers)

Mathematics is the greatest undertaking of mankind. All mathematicians know this. Yet many people do not share this view. Consequently, mathematics is not as self-supporting a profession in our society as the exercise of poetry was in medieval Ireland. Most of our income will have to come from teaching, and the more students we teach, the more of our friends we can appoint to our department. Those few colleagues who are successful at teaching undergraduate courses should earn our thanks as well as our respect. It is counterproductive to turn up our noses at those who bring home the dough.

学会推销自己的数学成果(Write expository papers)

When I was in graduate school, one of my teachers told me, “When you write a research paper, you are afraid that your result might already be known; but when you write an expository paper, you discover that nothing is known.”

It is not enough for you (or anyone) to have a good product to sell; you must package it right and advertise it properly. Otherwise you will go out of business.

When an engineer knocks at your door with a mathematical question, you should not try to get rid of him or her as quickly as possible.

不要把提问者拒之门外(Do not show your questioners to the door)

What the engineer wants is to be treated with respect and consideration, like the human being he is, and most of all to be listened to with rapt attention. If you do this, he will be likely to hit upon a clever new idea as he explains the problem to you, and you will get some of the credit.

Listening to engineers and other scientists is our duty. You may even learn some interesting new mathematics while doing so.

联合阵线(View the mathematical community as a United Front)

Grade school teachers, high school teachers, administrators and lobbyists are as much mathematicians as you or Hilbert. It is not up to us to make invidious distinctions. They contribute to the well-being of mathematics as much as or more than you or other mathematicians. They are right in feeling left out by snobbish research mathematicians who do not know on which side their bread is buttered. It is our best interest, as well as the interest of justice, to treat all who deal with mathematics in whatever way as equals. By being united we will increase the probability of our survival.

把科学从不可靠中拯救出来(Attack Flakiness)

Flakiness is nowadays creeping into the sciences like a virus through a computer, and it may be the present threat to our civilization. Mathematics can save the world from the invasion of the flakes by unmasking them and by contributing some hard thinking. You and I know that mathematics is not and will never be flaky, by definition.

This is the biggest chance we have had in a long while to make a lasting contribution to the well-being of Science. Let us not botch it as we did with the few other chances we have had in the past.

善待所有人(Learn when to withdraw)

Let me confess to you something I have told very few others (after all, this message will not get around much): I have written some of the papers I like the most while hiding in a closet. When the going gets rough, we have recourse to a way of salvation that is not available to ordinary mortals: we have that Mighty Fortress that is our Mathematics. This is what makes us mathematicians into very special people. The danger is envy from the rest of the world.

When you meet someone who does not know how to differentiate and integrate, be kind, gentle, understanding. Remember, there are lots of people like that out there, and if we are not careful, they will do away with us, as has happened many times before in history to other Very Special People.

参考资料:

  1. Rota, Gian-Carlo. “Ten lessons I wish I had been taught.” Indiscrete thoughts. Birkhäuser, Boston, MA, 1997. 195-203.
  2. Rota, Gian-Carlo. “Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department.” Indiscrete Thoughts. Birkhäuser, Boston, MA, 1997. 204-208.

素数之美

素数的定义

素数是在中小学课本里面就会出现的数学概念,它指的是只能够被 1 和它本身整除的正整数。在正整数中,2, 3, 5, 7, 11 等都是素数。同时,每一个正整数(不小于 2)都可以写成多个素数的乘积,例如 35 = 5 * 7, 10 = 2 * 5。从素数的定义可以看出,判断一个数是否是素数是需要通过“乘法”的。而在数学的研究历程中,数学家们同样也关心由素数之间的加法所产生的奇妙结论。

100以内素数表
100 以内的素数表

哥德巴赫猜想(Goldbach’s Conjecture)

随着徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》的问世,哥德巴赫猜想在国内早已家喻户晓。其中,哥德巴赫猜想包括两个部分:

  1. [Theorem] 每一个大于 7 的奇数都可以写成三个素数之和;
  2. [Conjecture] 每一个大于 6 的偶数都可以写成两个素数之和。

Goldbach_手稿_1
哥德巴赫的手稿

从猜想的陈述来看,如果第 2 部分是正确的,那么可以根据公式 n = (n-3) +3 直接得到第 1 部分是正确的,因此第 2 部分被称为强哥德巴赫猜想,第 1 部分被称为弱哥德巴赫猜想。其中哥德巴赫猜想的第 1 部分已经被彻底解决,而哥德巴赫猜想的第 2 部分目前最好的结果被称为陈氏定理( Chen’s Theorem)。用数学的语言来说,这两个定理的陈述分别是:

[Theorem (Vinogradov)] 假设 N 是一个奇数,令 r(N) = \sum_{p_{1}+p_{2}+p_{3}=N}1 表示关于 N 的计数函数,其中 p_{1}, p_{2}, p_{3} 都是素数。则存在一个一致有界的函数 \Omega(N) \in (c_{1},c_{2})c_{2}>c_{1}>0)对于充分大的奇数 N,有以下式子成立

r(N) = \Omega(N)\cdot \frac{N^{2}}{(\ln(N))^{3}}\cdot\bigg\{1+O\bigg(\frac{\ln\ln(N)}{\ln(N)}\bigg)\bigg\}.

备注:从以上公式可以看出,\lim_{N\rightarrow \infty} r(N) = +\infty. 换句话说,\exists N_{0}, \forall N\geq N_{0}, 弱哥德巴赫猜想成立。

[Theorem (Chen)] 假设 N 是一个偶数,令 r(N)=\sum_{p+n=N}1 表示关于 N 的计数函数,其中 p 是素数,n 表示最多为两个素数的乘积。则当 n 充分大的时候,有以下式子成立:

r(N) >> \Omega(N)\cdot \frac{2N}{(\ln(N))^{2}},

其中 \Omega(N) = \prod_{p>2} \bigg(1-\frac{1}{(p-1)^{2}}\bigg)\prod_{p|N, p>2}\frac{p-1}{p-2}.

备注:

  1. 在哥德巴赫猜想的研究过程中,通常数学家把偶数可表示为 a 个素数的乘积与 b 个素数的乘积之和这个问题,简称为 a + b 问题。所以,陈景润证明的 “1+2” 并不是指 1+2 = 3,而指的是对于每一个充分大的偶数,要么是两个素数之和,要么是一个素数加上两个素数之积。其实可以简单的理解为 p_{1}+p_{2} 或者 p_{1}+p_{2}\cdot p_{3},在这里 p_{1},p_{2},p_{3} 都是素数。从以上公式可以看出,\lim_{N\rightarrow \infty} r(N) = +\infty.
  2. 1920 年,挪威数学家 V.Brun 证明了 “9+9″,开启了数学家研究哥德巴赫猜想之路;1966 年,中国数学家陈景润证明了 “1+2″,把素数的筛法推向了顶峰。

孪生素数猜想(Twin Primes Conjecture)

在上千年的素数研究历程中,除了哥德巴赫猜想,孪生素数(Twin Primes)的研究也是数论中的一个重要课题。所谓孪生素数就是相差为 2 的两个素数,例如 (3,5), (5,7), (11,13),\cdots 等等。因此,就有人提出猜想:孪生素数有无穷多对。换句话说,如果用 p_{n} 表示第 n 个素数,那么孪生素数猜想就是 \liminf_{n\rightarrow +\infty}(p_{n+1}-p_{n})=2. 除了孪生素数本身之外,也有学者猜测,对于所有的正整数 k\geq 1, 形如 (p,p+2k) 的素数对同样有无穷多对。于是,在网上就有人对于有限的素数对进行了计算,让大家更好地看到素数之间的分布情况。

Twin_Prime_2
孪生素数及其推广

下面是部分关于素数间距(小间距,Small Gaps)的结论:

  1. 1940 年,Paul Erdos 证明 \exists c>0 使得 \liminf_{n\rightarrow\infty} \frac{p_{n+1}-p_{n}}{\ln(p_{n})}<c.
  2. 2005 年,Daniel Goldston,Janos Pintz 和 Cem Yildirim 证明 \liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\ln(p_{n})}=0.
  3. 2007 年,上述结果被改进为 \liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\sqrt{\ln(p_{n})}\cdot (\ln\ln(p_{n}))^{2}}=0.
  4. 2013 年,张益唐证明了 \liminf_{n\rightarrow\infty}(p_{n+1}-p_{n}) < 7 * 10^{7},随后这个结果被改进到 246。

除了素数之间的小间距之外,素数之间的大间距(Big Gaps)同样也有很多结论:

  1. 1931 年,Erik Westzynthius 证明 \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{p_{n+1}-p_{n}}{\ln(p_{n})} =\infty.
  2. 2014 年,Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, Terence Tao 和 James Maynard 证明 p_{n+1}-p_{n}>c\cdot \frac{\ln(n)\cdot \ln\ln(n) \cdot \ln\ln\ln\ln(n)}{\ln\ln\ln(n)} 对于某个 c>0 和无穷个 n 成立。

素数定理

在研究素数的过程中,研究素数的分布规律就是这一切的关键所在。其中,素数定理则是描述素数分布的一个重要结论。类似的,关于孪生素数的分布也有一个上界的估计。

[素数定理] 假设 \pi(x) 表示不大于 x 的所有素数的个数,那么 \lim_{x\rightarrow \infty}\pi(x)/(x/\ln(x)) = 1.

[孪生素数个数的上界] 假设 \pi_{2}(x) 表示不大于 x 的所有孪生素数个数,那么存在常数 C>0 使得 \pi_{2}(x)\leq C\cdot x/(\ln(x))^{2}.

备注:从这两个定理可以粗糙地刻画出素数与孪生素数在实数轴的分布情况,并且可以看出孪生素数相对于素数则是少很多的。因为 \lim_{x\rightarrow+\infty}\pi_{2}(x)/\pi(x)=0.

prime_theorem
素数定理

Twin_Prime_Number_1
孪生素数的个数

素数的性质

在中小学的竞赛部分,大家总能够接触到一个关于素数的定理。

[Theorem (Euclid)] 素数有无穷多个。

证明:假设素数是有限个,不妨设为 p_{1},\cdots, p_{n},那么 N = \prod_{i=1}^{n}p_{i}+1 就是合数,但是它却不能被所有的素数 p_{1},\cdots,p_{n} 整除,所以导致矛盾。因此素数是无穷多个。证明完毕。

除此之外,在大学里面学习级数的时候,通常都会研究调和级数(Harmonic Series)的性质。所谓调和级数指的就是所有正整数的倒数和,形如:

S(x) = \sum_{1\leq n\leq x} \frac{1}{n}.

从定积分与级数的关系可以得到 \lim_{x\rightarrow +\infty}S(x) = +\infty 并且 S(x)  = \ln(x) + O(1). 也就是说,所有正整数的倒数和是发散的。

利用这种思路,其实可以分析所有素数的倒数和,也就是说 \sum_{p \text{ prime}} \frac{1}{p}. 通过欧拉公式可以得到:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = \prod_{p\text{ prime}}\bigg(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{2}}+\cdots\bigg)= \prod_{p\text{ prime}} \frac{1}{1-\frac{1}{p}},

两边取对数可以得到 \ln\bigg(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\bigg) = \sum_{p\text{ prime}} -\ln\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg),

由于 -\ln(1-x) = x + O(x^{2}),并且 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}, 可以得到

\ln\bigg(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \bigg)= \sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{p} + O\bigg(\sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{p^{2}}\bigg).

等式的左边是发散的,右侧的第二项是收敛的,因此右侧的第一项(素数的倒数和)是发散的。进一步地,可以得到两个结论:

  1. \sum_{p\text{ prime}, p\leq x} \frac{1}{p} = \ln\ln(x) + O(1);
  2. \prod_{p\text{ prime}, p\leq x}\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg)^{-1} = c\cdot\ln(x)+o(1), 这里,c>0 是一个常数。

至此,我们得到了两个级数的定理:

  1. [Theorem] 所有正整数的倒数和是发散的;
  2. [Theorem] 所有素数的倒数和是发散的。

从第 2 个结论同样可以得到素数是无穷多个。于是,就有数学家猜测如果孪生素数的倒数和是发散的,那么孪生素数同样也是无穷多对。但是在 1915 年,数学家 Brun 证明了,孪生素数的倒数和是收敛的,这个收敛的数字也被称为 Brun 常数。

[Theorem] 所有孪生素数的倒数和是收敛的。

证明:通过孪生素数个数的上界公式,可以得到存在 C>0 使得对于充分大的 x,有

\pi_{2}(x) \leq C\cdot \frac{x}{(\ln(x))^{2}}

成立。假设素数序列 p'_{1}, p_{2}',\cdots, p_{n}',\cdots 使得 p, p+2 都是素数,那么 n = \pi_{2}(p_{n}') \leq C\frac{p_{n}'}{(\ln(p_{n}'))^{2}}\leq C\frac{p_{n}'}{(\ln(n))^{2}},进一步可以得到

\frac{1}{p_{n}'} \leq C\frac{1}{n\cdot (\ln(n))^{2}}

对于充分大的 n 成立。而右侧是收敛的,i.e. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\cdot(\ln(n))^{2}}<+\infty. 因此,孪生素数的倒数和是收敛的。证明完毕。

备注:由于孪生素数的倒数和是收敛的,因此,通过孪生素数的倒数和来证明孪生素数有无穷多对这条路就被封死了。

在研究孪生素数的过程中,其目的是为了研究素数之间的间距究竟能有多小,也就是分析 \liminf_{n\rightarrow+\infty}(p_{n+1}-p_{n}) 的上界。同样的,也可以研究素数之间的间距究竟有多大,并且可以分析其量级大约是多少,此时就需要研究 \limsup_{n\rightarrow+\infty}(p_{n+1}-p_{n}).

[Theorem] 对于充分大的 x 而言,在 [1,x] 内,素数之间的最小间隔 \min_{p_{n}\leq x} (p_{n}-p_{n-1})\leq (1+o(1))\ln(x); 同时,素数之间的最大间隔 \max_{p_{n}\leq x}(p_{n}-p_{n-1})\geq (1+o(1))\ln(x).

证明:考虑区间 [1,x],通过素数定理可以得到在 [1,x] 区间内的素数大约是 \pi(x) \sim x/\ln(x) 个。于是把该区间 [1,x] 切割成长度为 \ln(x) 的子区间,区间的个数为 x/\ln(x), 通过鸽笼原理 (Pigeonhole Principle) 可以得到此定理的结论。

备注:除此之外,证明相邻素数的间隔没有上限还可以用构造法。考虑 n!+2, n!+3, \cdots, n!+nn 个连续的合数,所以两个相邻的素数必在 [n!+2, n!+n] 这个区间两侧。因此相邻素数的间隔没有上限,i.e. \limsup_{n\rightarrow+\infty}(p_{n+1}-p_{n})=+\infty.

Eratosthenes 筛法(Eratosthenes Sieve Method)

Eratosthenes 筛法是数学家 Eratosthenes 提出的一种筛选素数的方法,其思路比较简单:想要筛选出 [2,n] 中的所有素数,则首先把 [2,n] 中的所有正整数按照从小到大的顺序 2, \cdots, n 来排列,然后按照如下步骤执行:

  1. 读取数列中当前最小的数 2,然后把 2 的倍数全部删除;
  2. 读取数列中当前最小的数 3,然后把 3 的倍数全部删除;
  3. 读取数列中当前最小的数 5,然后把 5 的倍数全部删除;(4 已经被第一步去掉了)
  4. 读取数列中当前最小的数 7,然后把 7 的倍数全部删除;(6 已经被第一步去掉了)
  5. 循环以上步骤直到 [2,n] 中所有的数被读取或者被删除。
其算法复杂度为 O(n\ln(n))

埃拉托色尼筛选法
黄色的数为素数

Brun 筛法(Brun Sieve Method)

在数学界发展出各种筛法,其重要目的之一就是为了解决孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。除了 Eratosthenes 筛法之外,数学家 V. Brun 也发现了一种筛法,后人称之为 Brun’s Sieve。其目的就是为了估计孪生素数的上界,进一步得到计算孪生素数的倒数和。其主要结论就是 \pi_{2}(x)\leq C\frac{x}{(\ln(x))^{2}}, 其中 C>0 是一个常数,并且 Brun 通过其筛法可以得到哥德巴赫猜想中的 “9+9″,在哥德巴赫猜想的发展中属于里程碑式的工作。

Question. 研究素数究竟有什么用?

Answer. 为了人类智慧的荣耀。

参考文献:

  1.  Small and Large Gaps Between Primes, Terence Tao, Latinos in the Mathematical Sciences Conference, 2015.
  2.  Bounded Gaps Beween Primes, Yitang Zhang, 2013.
  3.  Additive Number Theory, Melvyn B.Nathanson, GTM 164.
  4.  http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html.

拉格朗日四平方和定理

拉格朗日四平方和定理

每个正整数均可表示为四个整数的平方和。

Every positive integer is the sum of four squares.

例如:

  • 1=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}
  • 2 = 1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}
  • 7 = 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}

证明:可以直接验证如下恒等式

(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}) = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2},其中

\begin{cases} z_{1}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4} \\ z_{2}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3} \\ z_{3}=x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2} \\ z_{4}=x_{1}y_{4}-x_{4}y_{1}-x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}\end{cases}

由于 1 与 2 都明显满足这个定理,那么只需要考虑大于 2 的正整数。而这些正整数都可以分解成素数的乘积,因此,只需要证明该定理对所有的素数成立,则使用以上恒等式就可以得到最终的结论。假设 p 是一个奇素数。

由于 \{a^{2}:a\in\{0,1,\cdots,(p-1)/2\}\} 里面有 (p+1)/2 个不同的同余类,\{-b^{2}-1: b\in \{0,1,\cdots,(p-1)/2\}\} 里面也有 (p+1)/2 个不同的同余类,但是素数 p 的同余类只有 p 个,因此存在正整数 a,b\in \{0,1,\cdots, (p-1)/2\} 满足 a^{2}\equiv -b^{2}-1 (\mod p)。也就是说 a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}\equiv 0(\mod p)。令 n\in\mathbb{Z} 满足 np=a^{2}+b^{2}+1,则有 p\leq np\leq 2(p-1)^{2}/4+1<p^{2}。于是,1\leq n<p

因此存在一个 1\leq n<p 使得 np = a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2} 是四个整数的平方和。于是必定存在一个最小的正整数 m 使得 1\leq m\leq n<p 使得 mp 为四个整数的平方和,不妨设为 mp=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}

Claim. m=1

proof of the claim. 反证法,假设 1<m\leq n<p 成立。令 y_{i}=x_{i}(\mod m) 对于 i\in\{1,2,3,4\} 成立,并且 -m/2<y_{i}\leq m/2。因此,y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}\equiv(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\equiv mp \equiv 0(\mod m)。令 mr = y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}。因此,mr\leq 4(m/2)^{2}=m^{2}

如果 r =m,通过以上不等式得知 r=m 等价于 y_{i}=m/2 对于 i\in\{1,2,3,4\} 都成立。此时,mp = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\equiv 4(m/2)^{2} \equiv 0 (\mod m^{2})。因此,pm 的倍数,这与 p 是素数,m>1 矛盾。所以,r<m 成立。i.e. 1\leq r<m\leq n<p 成立。

进一步地,(mp)\cdot(mr) = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}) = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2},这里的 z_{i} 正如恒定式里面所定义的。由于 y_{i}\equiv x_{i}(\mod m),并且 \sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}\equiv 0(\mod m)。因此,z_{i}\equiv 0(\mod m) 对于 i\in\{1,2,3,4\} 都成立。所以,z_{i}=w_{i}mw_{i}\in\mathbb{Z} 对于 i\in\{1,2,3,4\} 都成立。通过 (mp)\cdot(mr) = \sum_{i=1}^{4}z_{i}^{2} 可以得到 pr=\sum_{i=1}^{4}w_{i}^{2} 成立。但是,1\leq r<m 这与 m 的最小性假设矛盾了。

因此,m=1,Claim 证明完毕。

于是,对于所有的奇素数,都可以表示为四个整数的平方之和。根据之前的分析,可以得到对于所有的正整数,都可以表示为四个整数的平方之和。Lagrange 定理证明完毕。

参考文献

  1. GTM 164, Additive Number Theory, Melvyn B.Nathanson, 1996.

传染病的数学模型

近期,国内的疫情闹得沸沸扬扬,很多省市自治区都出现了流感的患者。回想起之前在学校的时候曾经研究过微分方程和动力系统,于是整理一下相关的数学模型,分享给各位读者。笔者并不是研究这个领域的专家,并且这篇文章只是从微分方程角度出发,分析方程的性质,不一定适用于真实环境,而且真实环境比这个也复杂得多。

关于传染病的数学模型,在许多年前数学界早已做过研究,根据传染病的传播速度不同,空间范围各异,传播途径多样,动力学机理等各种因素,对传染病模型按照传染病的类型划分为 SI,SIR,SIRS,SEIR 模型。如果是按照连续时间来划分,那么这些模型基本上可以划分为常微分方程(Ordinary Differential Equation),偏微分方程(Partial Differential Equation)等多种方程模型;如果是基于离散的时间来划分,那么就是所谓的差分方程(Difference Equation)。

在本文中,将会主要介绍常微分方程中的一些传染病数学模型。在介绍方程之前,首先要介绍一些常用的符号:在时间戳 t 上,可以定义以下几种人群:

  • 易感者(susceptible):用符号 S(t) 来表示;
  • 感染者(infective):用符号 I(t) 来表示;
  • 康复者(Recoverd):用符号 R(t) 来表示;

其次,在时间戳 t 上,总人口是 N(t)=S(t)+I(t)+R(t)。如果暂时不考虑人口增加和死亡的情况,那么 N(t)\equiv N 是一个恒定的常数值。

除此之外,

  • r 表示在单位时间内感染者接触到的易感者人数;
  • 传染率:\beta 表示感染者接触到易感者之后,易感者得病的概率;
  • 康复率:\gamma 表示感染者康复的概率,有可能变成易感者(可再感染),也有可能变成康复者(不再感染)。

在进行下面的分析之前,先讲一个常微分方程的解。

Claim. 假设 x=x(t) 是关于 t 的一个方程,且满足 \frac{dx}{dt} + a_{1}x + a_{2}x^{2}=0x(0)=x_{0},那么它的解是:x(t) = \frac{e^{-a_{1}t}}{\frac{1}{x_{0}}-\frac{a_{2}}{a_{1}}(e^{-a_{1}t}-1)}.

Proof. 证明如下:

通过 \frac{dx}{dt}+a_{1}x+a_{2}x^{2}=0 可以得到 -\frac{d}{dt}\bigg(\frac{1}{x}\bigg) + a_{1}\bigg(\frac{1}{x}\bigg)+a_{2}=0;令 y = 1/x,得到 \frac{dy}{dt}-a_{1}y=a_{2}。所以,\frac{d}{dt}(e^{-a_{1}t}y) = a_{2}e^{-a_{1}t},两边积分可以得到 e^{-a_{1}t}y-y_{0}=\bigg(-\frac{a_{2}}{a_{1}}\bigg)(e^{-a_{1}t}-1),其中 y_{0}=1/x_{0}。求解之后得到:x(t) = e^{-a_{1}t}/\bigg(\frac{1}{x_{0}}-\frac{a_{2}}{a_{1}}(e^{-a_{1}t}-1)\bigg)

SI 模型(Susceptible-Infective Model)

在 SI 模型里面,只考虑了易感者和感染者,并且感染者不能够恢复,此类病症有 HIV 等;

SI_model_1
SI Model

其微分方程就是:

\begin{cases}\frac{dS}{dt} = -\frac{r\beta I}{N} S \\ \frac{dI}{dt}=\frac{r\beta I}{N}S \end{cases}

初始条件就是 S(0)=S_{0}I(0) = I_{0},并且 S(t)+I(t)=N 对于所有的 t\geq 0 都成立。

于是,把 S = N - I 代入第二个微分方程可以得到:\frac{dI}{dt} - r\beta I + \frac{r\beta}{N}I^{2}=0。因此根据前面所提到的常微分方程的解可以得到:

I(t) = \frac{NI_{0}}{I_{0}+(N-I_{0})e^{-r\beta t}}.

这个就是所谓的逻辑回归函数,而在机器学习领域,最简单的逻辑回归函数就是 \sigma(x) = 1/(1+e^{-x}) 这个定义。而 I(t) 只是做了一些坐标轴的平移和压缩而已。由于 \lim_{t\rightarrow +\infty}e^{-t}=0,所以,\lim_{t\rightarrow +\infty}I(t) = N,从而 \lim_{t\rightarrow +\infty}S(t) = 0

通过数值模拟可以进一步知道:

SI_model_graph_1
SI model 的数值模拟(一)

简单来看,在 SI 模型的假设下,全部人群到最后都会被感染。

SIS 模型(Susceptible-Infectious-Susceptible Model)

除了 HIV 这种比较严重的病之外,还有很多小病是可以恢复并且反复感染的,例如日常的感冒,发烧等。在这种情况下,感染者就有一定的几率重新转化成易感者。如下图所示:

SIS_model_1
SIS model

其微分方程就是:

\begin{cases} \frac{dS}{dt} = -r \beta S\frac{I}{N} + \gamma I \\ \frac{dI}{dt}=r\beta S \frac{I}{N} - \gamma I \end{cases},其初始条件就是 S(0)=S_{0}I(0)=I_{0}.

使用同样的方法,把 S=N-I 代入第二个微分方程可以得到:\frac{dI}{dt} - (r\beta - \gamma)I + \frac{r\beta}{N}I^{2}=0. 通过之前的 Claim 可以得到解为:

I(t) = \frac{N(r\beta-\gamma)}{r\beta}/\bigg(\bigg(\frac{N(r\beta-\gamma)}{I_{0}r\beta}-1\bigg)e^{-(r\beta-\gamma)t}+1\bigg).

从而可以得到 \lim_{t\rightarrow +\infty} I(t) = N(r\beta - \gamma)/(r\beta)\lim_{t\rightarrow +\infty} S(t) = (N\gamma)/(r\beta). 这个方程同样也是逻辑回归方程,只是它的渐近线与之前的 SI 模型有所不同。

SIS_model_graph_1
SIS model 的数值模拟(二)

SIR 模型(Susceptible-Infectious-Recovered Model)

有的时候,感染者在康复了之后,就有了抗体,于是后续就不再会获得此类病症,这种时候,考虑 SIS 模型就不合适了,需要考虑 SIR 模型。此类病症有麻疹,腮腺炎,风疹等。

SIR_model_1
SIR model

其微分方程是:\begin{cases} \frac{dS}{dt}=-r\beta S \frac{I}{N} \\ \frac{dI}{dt}=r\beta S\frac{I}{N} - \gamma I \\ \frac{dR}{dt}=\gamma I\end{cases}。其初始条件是 S(0)=S_{0}, I(0)=I_{0}, R(0)=R_{0},并且 S(t), I(t), R(t)\geq 0S(t) +I(t)+R(t)=N 对于所有的 t\geq 0 都成立。

对于这类方程,就不能够得到其解析解了,只能够从它的动力系统开始进行分析,得到解的信息。根据第一个微分方程可以得到:\frac{dS}{dt} = -r\beta S\frac{I}{N}<0,于是 S(t) 是一个严格递减函数。同时,0\leq S(t)\leq N 对于所有的 t\geq 0 都成立,于是存在 S_{\infty}\in[0,\infty] 使得 \lim_{t\rightarrow \infty}S(t)=S_{\infty}.

通过第一个微分方程和第二个微分方程可以得到:\frac{d(S+I)}{dt} = -\gamma I,因此对它两边积分得到 \int_{0}^{T} \frac{d(S+I)}{dt} = -\gamma \int_{0}^{T}I(t)dt. 左侧等于 S(T) + I(T) - S(0) - I(0),上界是 4N,因此令 T\rightarrow \infty 可以得到 \int_{0}^{\infty}I(t) dt\leq 4N/\gamma. 而 I(t)\geq 0 且是连续可微函数,因此 \lim_{t\rightarrow \infty}I(t) = 0。这意味着所有的感染人群都将康复。

由于 S(t) 是严格单调递减函数,因此从第二个微分方程可以得到:当 S(t) = N\gamma/(r\beta) 时,感染人数 I(t) 达到最大值。

SIR_model_graph_1
SIR model 的数值模拟(一)

SIR_model_graph_2
SIR model 的数值模拟(二)

其余模型

在以上的 SI,SIS,SIR 模型中,还可以把死亡因素考虑进去。除此之外,还有 SIRS 模型,SEIR 模型等,在这里就不再做赘述。有兴趣的读者可以参阅相关的参考书籍。

参考文献

  1. Introduction to SEIR Models, Nakul Chitnis, Workshop on Mathematical Models of Climate Variability, Environmental Change and Infectious Diseases, Trieste, Italy, 2017

 

用 Python 来研究数学 — SymPy 符号工具包介绍

SymPy 的简单介绍

SymPy 是一个符号计算的 Python 库,完全由 Python 写成,为许多数值分析,符号计算提供了重要的工具。SymPy 的第一个版本于 2007 年开源,并且经历了十几个版本的迭代,在 2019 年已经基于修正的 BSD 许可证开源了 1.4 版本。SymPy 的开源地址和官方网站分别是:

  1. GitHub 链接:https://github.com/sympy/sympy
  2. SymPy 官方网站:https://www.sympy.org/en/index.html

sympy_logo
SymPy 的 logo

SymPy 的 1.4 版本文档中,可以看出,SymPy 可以支持很多初等数学,高等数学,甚至研究生数学的符号计算。在初等数学和高等数学中,SymPy 可以支持的内容包括但不限于:

  1. 基础计算(Basic Operations);
  2. 公式简化(Simplification);
  3. 微积分(Calculus);
  4. 解方程(Solver);
  5. 矩阵(Matrices);
  6. 几何(geometry);
  7. 级数(Series);

在更多的数学领域中,SymPy 可以支持的内容包括但不限于:

  1. 范畴论(Category Theory);
  2. 微分几何(Differential Geometry);
  3. 常微分方程(ODE);
  4. 偏微分方程(PDE);
  5. 傅立叶变换(Fourier Transform);
  6. 集合论(Set Theory);
  7. 逻辑计算(Logic Theory)。

sympy_tutorial
SymPy 的教学目录

SymPy 的工具库介绍

SymPy 的基础计算

在数学中,基础的计算包括实数和复数的加减乘除,那么就需要在程序中描述出实数与复数。著名的欧拉公式

e^{i\pi}+1 = 0

正好用到了数学中最常见的五个实数。在 SymPy 里面,e, i, \pi, \infty 是用以下符号来表示的:其中 sympy.exp() 表示以 e 为底的函数。

sympy.exp(1), sympy.I, sympy.pi, sympy.oo

而想要计算欧拉公式的话,只需要输入下面的公式即可:

>>> sympy.exp(sympy.I * sympy.pi) + 1
0

如果需要看 e, \pi 的小数值,可以使用 evalf() 函数,其中 evalf() 函数里面的值表示有效数字的位数。例如下面就是精确到 10 位有效数字。当然,也可以不输入。

>>> sympy.E.evalf(10)
2.718281828
>>> sympy.E.evalf()
2.71828182845905
>>> sympy.pi.evalf(10)
3.141592654
>>> sympy.pi.evalf()
3.14159265358979

除此之外,如果需要查看某个实数的有效数字,也是类似操作的:

>>> expr = sympy.sqrt(8)
>>> expr.evalf()
2.82842712474619

而对于实数的加减乘除,则可以如下操作:

>>> x, y= sympy.symbols("x y")
>>> x + y
x + y
>>> x - y
x - y
>>> x * y
x*y
>>> x / y
x/y

而对于复数的加减乘除,则是类似的操作,令两个复数分别是 z_{1} = x_{1} + i y_{1}z_{2} = x_{2} + i y_{2}

>>> x1, y1, x2, y2 = sympy.symbols("x1 y1 x2 y2")
>>> z1 = x1 + y1 * sympy.I
x1 + I*y1
>>>  z2 = x2 + y2 * sympy.I
x2 + I*y2
>>> z1 + z2
x1 + x2 + I*y1 + I*y2
>>> z1 - z2
x1 - x2 + I*y1 - I*y2
>>> z1 * z2
(x1 + I*y1)*(x2 + I*y2)
>>> z1 / z2
(x1 + I*y1)/(x2 + I*y2)

对于多项式而言,有的时候我们希望将其展开,有的时候则需要将其合并,最终将其简化成最简单的形式。

>>> sympy.expand((x+1)**2)
x**2 + 2*x + 1
>>> sympy.expand((x+1)**5)
x**5 + 5*x**4 + 10*x**3 + 10*x**2 + 5*x + 1
>>> sympy.factor(x**3+1)
(x + 1)*(x**2 - x + 1)
>>> sympy.factor(x**2+3*x+2)
(x + 1)*(x + 2)
>>> sympy.simplify(x**2 + x + 1 - x)
x**2 + 1
>>> sympy.simplify(sympy.sin(x)**2 + sympy.cos(x)**2)
1

在多变量的场景下,SymPy 也可以对其中的某个变量合并同类项,同时还可以计算某个变量的某个次数所对应的系数是多少,例如:

>>> expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - x**2 + x**3 + y**2 + x**2*y**2
>>> sympy.collect(expr,x)
x**3 + x**2*(y**2 + 1) + x*(y + 1) + y**2 - 3
>>> sympy.collect(expr,y)
x**3 + x**2 + x*y + x + y**2*(x**2 + 1) - 3
>>> expr.coeff(x, 2)
y**2 + 1
>>> expr.coeff(y, 1)
x

有理函数形如 f(x) = p(x)/q(x),其中 p(x)q(x) 都是多项式。一般情况下,我们希望对有理函数进行简化,合并或者分解的数学计算。

在需要合并的情形下,如果想把有理函数处理成标准格式 p(x)/q(x) 并且去除公因子,那么可以使用 cancel 函数。另一个类似的就是 together 函数,但是不同之处在于 cancel 会消除公因子,together 不会消除公因子。例如:

expr = \frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}+x}

>>> expr = (x**2 + 3*x + 2)/(x**2 + x)
>>> sympy.cancel(expr)
(x + 2)/x
>>> sympy.together(expr)
(x**2 + 3*x + 2)/(x*(x + 1))

除了合并和消除公因子之外,有的时候还希望对分子和分母进行因式分解,例如:

expr = (x**2 + 3*x + 2)/(x**2 + x)
>>> sympy.factor(expr)
(x + 2)/x
>>> expr = (x**3 + 3*x**2 + 2*x)/(x**5+x)
>>> sympy.factor(expr)
(x + 1)*(x + 2)/(x**4 + 1)
>>> expr = x**2 + (2*x+1)/(x**3+1)
>>> sympy.factor(expr)
(x**5 + x**2 + 2*x + 1)/((x + 1)*(x**2 - x + 1))

合并的反面就是部分分式展开(Partial Fraction Decomposition),它是把有理函数分解成多个次数较低的有理函数和的形式。这里需要用 apart 函数:

>>> expr = (x**4 + 3*x**2 + 2*x)/(x**2+x)
>>> sympy.apart(expr)
x**2 - x + 4 - 2/(x + 1)
>>> expr = (x**5 + 1)/(x**3+1)
>>> sympy.apart(expr)
x**2 - (x - 1)/(x**2 - x + 1)

在 SymPy 里面,同样支持各种各样的三角函数,例如:三角函数的简化函数 trigsimp,三角函数的展开 expand_trig,

>>> expr = sympy.sin(x)**2 + sympy.cos(x)**2
>>> sympy.trigsimp(expr)
1
>>> sympy.expand_trig(sympy.sin(x+y))
sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x)
>>> sympy.expand_trig(sympy.cos(x+y))
-sin(x)*sin(y) + cos(x)*cos(y)
>>> sympy.trigsimp(sympy.sin(x)*sympy.cos(y) + sympy.sin(y)*sympy.cos(x))
sin(x + y)
>>> sympy.trigsimp(-sympy.sin(x)*sympy.sin(y) + sympy.cos(x)*sympy.cos(y))
cos(x + y)

同样的,在乘幂上面,同样有简化函数 powsimp,效果与之前提到的 simplify 一样。除此之外,还可以根据底数来做合并,即分别使用 expand_power_exp 函数与 expand_power_base 函数。

>>> sympy.powsimp(x**z*y**z*x**z)
x**(2*z)*y**z
>>> sympy.simplify(x**z*y**z*x**z)
x**(2*z)*y**z
>>> sympy.expand_power_exp(x**(y + z))
x**y*x**z
>>> sympy.expand_power_base(x**(y + z))
x**(y + z)

作为指数的反函数对数,sympy 也是有着类似的展开合并函数,expand_log,logcombine 承担了这样的角色。

\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)

\ln(x/y) = \ln(x) - \ln(y)

>>> sympy.expand_log(sympy.log(x*y), force=True)
log(x) + log(y)
>>> sympy.expand_log(sympy.log(x/y), force=True)
log(x) - log(y)

 

SymPy 的微积分工具

下面,我们会从一个最基本的函数 f(x) = 1/x 出发,来介绍 SymPy 的各种函数使用方法。如果想进行变量替换,例如把 x 变成 y,那么可以使用 substitution 方法。除此之外,有的时候也希望能够得到函数 f 在某个点的取值,例如 f(1) = 1/1 = 1,那么可以把参数换成 1 即可得到函数的取值。例如,

>>> import sympy
>>> x = sympy.Symbol("x")
>>> f = 1 / x
1/x
>>> y = sympy.Symbol("y")
>>> f = f.subs(x,y)
1/y
>>> f = f.subs(y,1)
1

在微积分里面,最常见的概念就是极限,SymPy 里面的极限函数就是 limit。使用方法如下:

>>> f = 1/x
>>> sympy.limit(f,x,0)
oo
>>> sympy.limit(f,x,2)
1/2
>>> sympy.limit(f,x,sympy.oo)
0
>>> g = x * sympy.log(x)
>>> sympy.limit(g,x,0)
0

对于函数 f(x) = 1/x 而言,它的导数计算函数是 diff,n 阶导数也可以用这个函数算。

>>> f = 1/x
>>> sympy.diff(f,x)
-1/x**2
>>> sympy.diff(f,x,2)
2/x**3
>>> sympy.diff(f,x,3)
-6/x**4
>>> sympy.diff(f,x,4)
24/x**5

提到 n 阶导数,就必须要提一下 Taylor Series 了。对于常见函数的 Taylor Series,SymPy 也是有非常简便的方法,那就是 series 函数。其参数包括 expr, x, x0, n, dir,分别对应着表达式,函数的自变量,Taylor Series 的中心点,n 表示阶数,dir 表示方向,包括”+-“,”-“,”+”,分别表示 x\rightarrow x0, x\rightarrow x0^{-}, x\rightarrow x0^{+}

sympy.series.series.series(exprx=Nonex0=0n=6dir='+') >>> g = sympy.cos(x) >>> sympy.series(g, x) 1 - x**2/2 + x**4/24 + O(x**6) >>> sympy.series(g, x, x0=1, n=10) cos(1) - (x - 1)*sin(1) - (x - 1)**2*cos(1)/2 + (x - 1)**3*sin(1)/6 + (x - 1)**4*cos(1)/24 - (x - 1)**5*sin(1)/120 - (x - 1)**6*cos(1)/720 + (x - 1)**7*sin(1)/5040 + (x - 1)**8*cos(1)/40320 - (x - 1)**9*sin(1)/362880 + O((x - 1)**10, (x, 1))

积分的计算函数是 integrate,包括定积分与不定积分:

\int\frac{1}{x}dx = \ln(x)+C

\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx = \ln(2)

>>> f = 1/x
>>> sympy.integrate(f,x)
log(x)
>>> sympy.integrate(f, (x,1,2))
log(2)

对于广义积分而言,就需要用到 \infty 这个概念了,但是在 SymPy 里面的写法还是一样的。

\int_{-\infty}^{0}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx = 1

\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy = \pi

>>> g = sympy.exp(-x**2)
>>> sympy.integrate(g, (x,-sympy.oo,0))
sqrt(pi)/2
>>> g = sympy.exp(-x)
>>> sympy.integrate(g, (x, 0, sympy.oo))
1
>>> h = sympy.exp(-x**2 - y**2)
>>> sympy.integrate(h, (x,-sympy.oo, sympy.oo), (y, -sympy.oo, sympy.oo))
pi

 

SymPy 的方程工具

在初等数学中,通常都存在一元一次方程,一元二次方程等,并且在不同的域上有着不同的解。SymPy 里面的相应函数就是 solveset,根据定义域的不同,可以获得完全不同的解。

\{x\in\mathbb{R}: x^{3}-1=0\}

\{x\in\mathbb{C}:x^{3}-1=0\}

\{x\in\mathbb{R}:e^{x}-x=0\}

\{x\in\mathbb{R}:e^{x}-1=0\}

\{x\in\mathbb{C}:e^{x}-1=0\}

>>> sympy.solveset(sympy.Eq(x**3,1), x, domain=sympy.S.Reals)
{1}
>>> sympy.solveset(sympy.Eq(x**3,1), x, domain=sympy.S.Complexes)
{1, -1/2 - sqrt(3)*I/2, -1/2 + sqrt(3)*I/2}
>>> sympy.solveset(sympy.Eq(x**3 - 1,0), x, domain=sympy.S.Reals)
{1}
>>> sympy.solveset(sympy.Eq(x**3 - 1,0), x, domain=sympy.S.Complexes)
{1, -1/2 - sqrt(3)*I/2, -1/2 + sqrt(3)*I/2}
>>> sympy.solveset(sympy.exp(x),x)
EmptySet()
>>> sympy.solveset(sympy.exp(x)-1,x,domain=sympy.S.Reals)
{0}
>>> sympy.solveset(sympy.exp(x)-1,x,domain=sympy.S.Complexes)
ImageSet(Lambda(_n, 2*_n*I*pi), Integers)

在这里,Lambda 表示的是数学公式,第一个是自变量,第二个是函数,最后是自变量的定义域。

在线性代数中,最常见的还是多元一次方程组,那么解法是一样的:

\begin{cases}x+y-10=0 \\ x-y-2=0\end{cases}

>>> sympy.solve([x+y-10, x-y-2], [x,y])
{x: 6, y: 4}

对于三角函数,也是类似的写法:

\begin{cases} \sin(x-y)=0 \\ \cos(x+y)=0 \end{cases}

>>> sympy.solve([sympy.sin(x-y), sympy.cos(x+y)], [x,y])
[(-pi/4, 3*pi/4), (pi/4, pi/4), (3*pi/4, 3*pi/4), (5*pi/4, pi/4)]

 

SymPy 的矩阵工具

在矩阵论中,最常见的就是单位矩阵了,而单位矩阵只与一个参数有关,那就是矩阵的大小。下面就是 3*3,3*2,2*3 大小的矩阵。

>>> sympy.eye(3)
Matrix([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]])
>>> sympy.eye(3,2)
Matrix([
[1, 0],
[0, 1],
[0, 0]])
>>> sympy.eye(2,3)
Matrix([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0]])

另外还有全零和全一矩阵,意思就是矩阵中的所有值全部是零和一。

>>> sympy.ones(2,3)
Matrix([
[1, 1, 1],
[1, 1, 1]])
>>> sympy.zeros(3,2)
Matrix([
[0, 0],
[0, 0],
[0, 0]])

而对角矩阵也可以使用 diag 轻松获得:

>>> sympy.diag(1,1,2)
Matrix([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 2]])

而矩阵的加法,减法,乘法,逆运算,转置,行列式,SymPy 都是可以支持的:

A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)

B = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)

>>> A = sympy.Matrix([[1,1],[0,2]])
>>> B = sympy.Matrix([[1,0],[1,1]])
>>> A
Matrix([
[1, 1],
[0, 2]])
>>> B
Matrix([
[1, 0],
[1, 1]])
>>> A + B
Matrix([
[2, 1],
[1, 3]])
>>> A - B
Matrix([
[ 0, 1],
[-1, 1]])
>>> A * B
Matrix([
[2, 1],
[2, 2]])
>>> A * B**-1
Matrix([
[ 0, 1],
[-2, 2]])
>>> B**-1
Matrix([
[ 1, 0],
[-1, 1]])
>>> A.T
Matrix([
[1, 0],
[1, 2]])
>>> A.det()
2

在某些情况下,需要对矩阵进行加上一行或者加上一列的操作,在这里就可以使用 row_insert 或者 col_insert 函数:第一个参数表示插入的位置,第二个参数就是相应的行向量或者列向量。而在删除上就很简单了,直接使用 row_del 或者 col_del 即可。

>>> A
Matrix([
[1, 1],
[0, 2]])
>>> A.row_insert(1, sympy.Matrix([[10,10]]))
Matrix([
[ 1, 1],
[10, 10],
[ 0, 2]])
>>> A.col_insert(0, sympy.Matrix([3,3]))
Matrix([
[3, 1, 1],
[3, 0, 2]])
>>> A.row_del(0)
>>> A
Matrix([[0, 2]])
>>> A.col_del(1)
>>> A
Matrix([[0]])

在对角化方面,同样可以使用 eigenvals(),eigenvecs(), diagonalize() 函数:

>>> A
Matrix([
[1, 1],
[0, 2]])
>>> A.eigenvals()
{2: 1, 1: 1}
>>> A.eigenvects()
[(1, 1, [Matrix([
[1],
[0]])]), (2, 1, [Matrix([
[1],
[1]])])]
>>> A.diagonalize()
(Matrix([
[1, 1],
[0, 1]]), Matrix([
[1, 0],
[0, 2]]))

在 eigenvals() 返回的结果中,第一个表示特征值,第二个表示该特征值的重数。在特征向量 eigenvecs() 中,第一个表示特征值,第二个表示特征值的重数,第三个表示特征向量。在对角化 diagonalize() 中,第一个矩阵表示 P,第二个矩阵表示 DA = P*D*P^{-1}

在矩阵中,最常见的还是多元一次方程的解。如果要求 Ax =b 的解,可以有以下方案:

>>> A = sympy.Matrix([[1,1],[0,2]])
>>> A
Matrix([
[1, 1],
[0, 2]])
>>> b = sympy.Matrix([3,5])
>>> b
Matrix([
[3],
[5]])
>>> A**-1*b
Matrix([
[1/2],
[5/2]])
>>> sympy.linsolve((A,b))
{(1/2, 5/2)}
>>> sympy.linsolve((A,b),[x,y])
{(1/2, 5/2)}

 

SymPy 的集合论工具

集合论可以说是数学的基础,在任何数学的方向上都能够看到集合论的身影。在 SymPy 里面,有一个类叫做 sympy.sets.sets.set。在集合论里面,常见的就是边界,补集,包含,并集,交集等常见的操作。但是感觉 SymPy 中的集合论操作主要集中在实数域或者复数域上。

对于闭区间 I=[0,1] 和开区间 J = (0,1) 而言,在 SymPy 中使用以下方法来表示:

I = sympy.Interval(0,1)
J = sympy.Interval.open(0,1)
K = sympy.Interval(0.5,2)

其开始和结束的点可以分别使用 start 和 end 来表示:

>>> I.start
0
>>> I.end
1

其长度用 measure 来表示:

>>> I.measure
1

其闭包用 closure 来表示:

>>> I.closure
Interval(0, 1)

其内点用 interior 来表示:

>>> I.interior
Interval.open(0, 1)

判断其边界条件可以使用 left_open 或者 right_open 来做:

>>> I.left_open
False
>>> I.right_open
False

对于两个集合之间的操作,可以参考以下方法:

I = sympy.Interval(0,1)
K = sympy.Interval(0.5,2)
>>> I.intersect(K)
Interval(0.500000000000000, 1)
>>> I.union(K)
Interval(0, 2)
>>> I-K
Interval.Ropen(0, 0.500000000000000)
>>> K-I
Interval.Lopen(1, 2)
>>> I.symmetric_difference(K)
Union(Interval.Ropen(0, 0.500000000000000), Interval.Lopen(1, 2))

实数集 \mathbb{R} 在 SymPy 中用 sympy.S.Reals 来表示,自然数使用 sympy.S.Naturals,非负整数用 sympy.S.Naturals0,整数用 sympy.S.Integers 来表示。补集的计算可以用减号,也可以使用 complement 函数。

>>> sympy.S.Reals
Reals
>>> sympy.S.Reals-I
Union(Interval.open(-oo, 0), Interval.open(1, oo))
>>> I.complement(sympy.S.Reals)
Union(Interval.open(-oo, 0), Interval.open(1, oo))
>>> sympy.S.Reals.complement(I)
EmptySet()
>>> I.complement(K)
Interval.Lopen(1, 2)
>>> I.complement(sympy.S.Reals)
Union(Interval.open(-oo, 0), Interval.open(1, oo))

 

SymPy 的逻辑工具

在逻辑运算中,我们可以使用 A, B, C 来代表元素。&, |, ~, >> 分别表示 AND,OR,NOT,imply。而逻辑运算同样可以使用 sympy.simplify_logic 简化。

A, B, C = sympy.symbols("A B C")
>>> sympy.simplify_logic(A | (A & B))
A
>>> sympy.simplify_logic((A>>B) & (B>>A))
(A & B) | (~A & ~B)
>>> A>>B
Implies(A, B)

 

SymPy 的级数工具

SymPy 的级数工具有一部分放在具体数学(Concrete Mathematics)章节了。有的时候,我们希望计算某个级数是发散的,还是收敛的,就可以使用 is_convergence 函数。考虑最常见的级数:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = +\infty

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}

>>> n = sympy.Symbol("n", integer=True)
>>> sympy.Sum(1/n, (n,1,sympy.oo)).is_convergent()
False
>>> sympy.Sum(1/n**2, (n,1,sympy.oo)).is_convergent()
True

如果想计算出收敛级数的值,加上 doit() 函数即可;如果想计算有效数字,加上 evalf() 函数即可。

>>> sympy.Sum(1/n**2, (n,1,sympy.oo)).evalf()
1.64493406684823
>>> sympy.Sum(1/n**2, (n,1,sympy.oo)).doit()
pi**2/6
>>> sympy.Sum(1/n**3, (n,1,sympy.oo)).evalf()
1.20205690315959
>>> sympy.Sum(1/n**3, (n,1,sympy.oo)).doit()
zeta(3)

除了加法之外,SymPy 也支持连乘,其符号是 sympy.Product,考虑

\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{n+1}

\prod_{n=1}^{+\infty}\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)

>>> sympy.Product(n/(n+1), (n,1,sympy.oo)).is_convergent()
False
>>> sympy.Product(sympy.cos(sympy.pi/n), (n, 1, sympy.oo)).is_convergent()
True

 

SymPy 的 ODE 工具

在常微分方程(Ordinary Differential Equation)中,最常见的就是解方程,而解方程主要是靠 dsolve 函数。例如想求解以下的常微分方程:

df/dx + f(x) = 0,

d^{2}f/dx^{2} + f(x) = 0

d^{3}f/dx^{3} + f(x) = 0

可以使用 dsolve 函数:

>>> f = sympy.Function('f')
>>> sympy.dsolve(sympy.Derivative(f(x),x) + f(x), f(x))
Eq(f(x), C1*exp(-x))
>>> sympy.dsolve(sympy.Derivative(f(x),x,2) + f(x), f(x))
Eq(f(x), C1*sin(x) + C2*cos(x))
>>> sympy.dsolve(sympy.Derivative(f(x),x,3) + f(x), f(x))
Eq(f(x), C3*exp(-x) + (C1*sin(sqrt(3)*x/2) + C2*cos(sqrt(3)*x/2))*sqrt(exp(x)))

而常微分方程对于不同的方程类型也有着不同的解法,可以使用 classify_ode 来判断常微分方程的类型:

>>> sympy.classify_ode(sympy.Derivative(f(x),x) + f(x), f(x))
('separable', '1st_exact', '1st_linear', 'almost_linear', '1st_power_series', 'lie_group', 'nth_linear_constant_coeff_homogeneous', 'separable_Integral', '1st_exact_Integral', '1st_linear_Integral', 'almost_linear_Integral')
>>> sympy.classify_ode(sympy.Derivative(f(x),x,2) + f(x), f(x))
('nth_linear_constant_coeff_homogeneous', '2nd_power_series_ordinary')
>>> sympy.classify_ode(sympy.Derivative(f(x),x,3) + f(x), f(x))
('nth_linear_constant_coeff_homogeneous',)

 

SymPy 的 PDE 工具

在偏微分方程(Partitial Differential Equation)中,同样可以直接求解和判断偏微分方程的类型,分别使用函数 pdsolve() 和 classify_pde()。假设 f = f(x,y) 是一个二元函数,分别满足以下偏微分方程:

\partial f/\partial x + \partial f/\partial y =0

\partial f/\partial x + \partial f/\partial y + f = 0

\partial f/\partial x + \partial f/\partial y + f + 10 = 0

>>> f = sympy.Function("f")(x,y)
>>> sympy.pdsolve(sympy.Derivative(f,x)+sympy.Derivative(f,y),f)
Eq(f(x, y), F(x - y))
>>> sympy.pdsolve(f.diff(x)+f.diff(y)+f,f)
Eq(f(x, y), F(x - y)*exp(-x/2 - y/2))
>>> sympy.pdsolve(f.diff(x)+f.diff(y)+f+10,f)
Eq(f(x, y), F(x - y)*exp(-x/2 - y/2) - 10)

查看类型就用 classify_pde() 函数:

>>> sympy.classify_pde(f.diff(x)+f.diff(y)+f)
('1st_linear_constant_coeff_homogeneous',)
>>> sympy.classify_pde(f.diff(x)+f.diff(y)+f+10,f)
('1st_linear_constant_coeff', '1st_linear_constant_coeff_Integral')
>>> sympy.classify_pde(f.diff(x)+f.diff(y)+f+10,f)
('1st_linear_constant_coeff', '1st_linear_constant_coeff_Integral')

不过目前的 PDE 解法貌似只支持一阶偏导数,二阶或者以上的偏导数就不支持了。

 

SymPy 的数论工具

在数论中,素数就是一个最基本的概念之一。而素数的批量计算,比较快的方法就是筛法(sieve method)。在 sympy 中,同样有 sympy.sieve 这个工具,用于计算素数。如果想输出前100个素数,那么

>>> sympy.sieve._reset()
>>> sympy.sieve.extend_to_no(100)
>>> sympy.sieve._list
array('l', [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631])

如果想输出一个区间内的所有素数,可以使用 primerange(a,b) 函数:

>>> [i for i in sympy.sieve.primerange(10,100)]
[11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

search() 函数是为了计算某个数附近是第几个素数:

>>> sympy.sieve.search(10)
(4, 5)
>>> sympy.sieve.search(11)
(5, 5)

如果只想获得第 n 个素数,则使用函数 sympy.ntheory.generate.prime(n) 即可。如果是希望计算 x 后面的下一个素数,使用 sympy.ntheory.generate.nextprime(x) 即可。判断 x 是否是素数,可以使用 sympy.ntheory.generate.isprime(x)。

>>> sympy.ntheory.generate.prime(10)
29
>>> sympy.ntheory.generate.nextprime(10)
11
>>> sympy.ntheory.generate.nextprime(11)
13
>>> sympy.ntheory.generate.isprime(11)
True
>>> sympy.ntheory.generate.isprime(12)
False

除此之外,SymPy 的数论方法还有很多,需要读者根据 SymPy 的官方文档自行探索。

 

SymPy 的范畴论工具

SymPy 还支持范畴论(Category Theory)的一些计算方法,在这里简要地列举一下。

>>> A = sympy.categories.Object("A")
>>> B = sympy.categories.Object("B")
>>> f = sympy.categories.NamedMorphism(A,B,"f")
>>> f.domain
Object("A")
>>> f.codomain
Object("B")

由于范畴论是数学的“黑话”,因此其余方法留给范畴论的科研人员自行翻阅。

总结:

整体来看,SymPy 是一个非常卓越的 Python 开源符号计算库。在符号计算领域,不仅支持常见的微积分,线性代数,几何运算,还支持集合论,微分方程,数论等诸多数学方向。后续笔者将会持续跟进并研究这一卓越的开源工具库。

 

参考文献:

  1. Meurer A, Smith C P, Paprocki M, et al. SymPy: symbolic computing in Python[J]. PeerJ Computer Science, 2017, 3: e103.
  2. GitHub:https://github.com/sympy/sympy
  3. SymPy:https://www.sympy.org/en/index.html
  4. Sympy 维基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/SymPy
  5. GreatX’s Blog:数值 Python:符号计算:https://vlight.me/2018/04/01/Numerical-Python-Symbolic-Computing/
  6. SymPy 符号计算-让Python帮我们推公式:https://zhuanlan.zhihu.com/p/83822118
  7. Python 科学计算利器—SymPy库:https://www.jianshu.com/p/339c91ae9f41

 

本科学数学专业是一个很好的选择吗?

知乎问题:https://www.zhihu.com/question/319574112

选专业这件事情其实是因人而异的,很难对所有的人给出一个标准的答案,肯定是基于每个人的不同条件来给出完全不同的建议。这是一个千人千面的问题,而不是一个数学题,通常只有一个标准的解答。

就个人这几年的经验来看,无论选择什么专业,都会有这个专业的优势和劣势,好比科技是一把双刃剑,专业也是同样的道理。在这种情况下,我们就需要分析数学专业究竟有哪些优势,有哪些劣势。只有这样,我们才能够根据自身的情况来具体分析,然后决定最终是否选择数学专业。

数学专业的劣势

于是,我们来看一下数学专业的劣势有哪些:

  • 理论知识太多;
  • 实用技能偏少;
  • 转行需要时间。

下面来逐一解读以上几点。我们可以先看一下数学系的常见课表:

  • 第一年:数学分析,高等代数,解析几何,C++等;
  • 第二年:常微分方程,离散数学,复分析,概率论,数值计算,抽象代数等;
  • 第三年:实分析,泛函分析,偏微分方程,拓扑学,微分几何,偏微分方程数值解,随机过程,数理统计等。

从课表上面来看,基本上可以确定几个结论。首先,数学专业作为基础学科,其特点就是理论知识偏多,而学习到的技能偏少,毕竟所学的内容都是理论型,培养的学生都是理论型选手。因此直接导致的结果就是数学系的学生掌握了一堆理论,但是却没有办法把它们直接转化成生产力。在实战中,总不能就靠一门 C++ 来谋求工作吧。其次,既然数学系传授给学生的实用的技能偏少,那么数学系的学生在需要转行的话,就肯定要补充新的技能。在从理论派走向实战派的过程中,不仅要找好自己的前进方向,还需要花费一定的时间和精力去转行。在这里需要澄清一点,转行并不是轻轻松松,而是需要花费时间,勇气和精力的。

如果不想继续从事数学科研的话,其实还是建议数学系的学生可以早一点进入公司去实习或者工作,至少在公司能够体验一下与学术界完全不同的人生。人生总是有多种可能性的,其实可以在本科或者硕士阶段多去体验一下人生。与数学系不同的是,对于计算机或者工程类专业的学生而言,到了本科一定的阶段,都会从事某个项目或者大作业,这种时候他们就会在边看边学中得到一定的成长,实践能力的训练其实比数学系的人会早很多。其实数学系也有实践,只不过延后了许多,一般只有到了博士生的阶段才需要进行科研的训练和动手的操作,在本科和硕士阶段一般是不需要的,因为现代数学的发展已经不是大部分硕士生能够完成的了,当然优秀的人总是有的。

数学专业的优势

在讲了数学专业的劣势之后,也需要强调一下数学专业的优势,其优势包括:

  • 底层通用技能;
  • 技能不易淘汰;
  • 逻辑思维能力;
  • 转行就业面广。

众所周知,无论是在学术界,还是工业界,数学基本上就是一切的基础。如果计算机行业没有数学,那就是XX计算机学院与XX培训班的区别;如果金融行业没有数学,那就是文艺复兴公司与XX小银行的区别。虽然我们不能够一味的拔高数学在各个行业的作用,但是很多行业还是离不开数学的。这就是所谓的底层通用技能,无论是计算机,金融还是其他领域,都离不开数学的支持。

除此之外,再次回到那张数学系的常见课表:

  • 第一年:数学分析,高等代数,解析几何,C++等;
  • 第二年:常微分方程,离散数学,复分析,概率论,数值计算,抽象代数等;
  • 第三年:实分析,泛函分析,偏微分方程,拓扑学,微分几何,偏微分方程数值解,随机过程,数理统计等。

当年读本科的时候是这张课表,其实过了十年,也是这张课表。本科的数学课程基本上集中在20世纪初之前的数学内容,最多到了20世纪中期。而微积分的发展时间则更加久远了。对于数学系的教育而言,很难做到跳过数学分析,高等代数的教育直接进入实分析和泛函分析。就算老师能够教,学生也听不懂啊,还是只能够从基础一步一步开始。而工业界用到的数学,通常也就是数学本科三年级的所有课程就能够包括了。很难用到很多研究生方面的知识,甚至很多时候也就用用微积分和线性代数,概率论就足够了。因此,一旦学会了这些课程,则是终身受益的知识,因为数学的另外一个特点就是永恒性。无论个人发生什么,学校发生什么,世界发生了什么,数学定理就是数学定理,一旦被证明且确定了证明是正确的,那就是永恒的。个人会死亡,学校也有可能走向没落,世界也有可能发生变化,但是数学定理就像一个永恒的石头永远放在那里。

除了以上两点,数学是最能够培养学生逻辑思维的学科。在以上的本科生课程里面,几乎所有东西都是从几个公理出发,然后通过严格的证明,一点一点地得到最终的结论,并且构建出整个数学大厦。在本科教育里面,数学系的学生只要认真学习,通常来说,逻辑思维能力和数学推导能力都会得到一个很大的提升。并且在后续的学习或者工作中,数学的烙印都会深深地印在身上。

最后,数学的就业面其实是相对宽广很多,主要包括:

  • 科研工作者:数学界,金融界,经济界,计算机方向等;
  • 计算机行业;
  • 金融行业;
  • 教育培训行业;
  • 其他行业。

除了可以继续从事本专业之外,其他方向无论是金融还是计算机都可以转。

结论: 整体来看,其实如果自身条件 OK 的话,并且也愿意在本科期间选择数学专业的话。其实选择数学专业是一个不错的选择。在数学系本科这几年可以根据自身的情况来继续选择合适自己的发展方向,并且在研究生或者工作的时候选择一个适合自己的舞台。

Riemann Zeta 函数(二)

在上一篇文章里面,我们已经给出了 Riemann Zeta 函数的定义,

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}.

其定义域是 [1,\infty)\subseteq\mathbb{R}. 根据级数与定积分的等价关系可以得到:

  1. s = 1 时,\zeta(1) = \infty;
  2. s>1 时,\zeta(s)<\infty.

本文将会重点讲两个内容:

  1. 如何把 Riemann Zeta 函数从 [1,\infty)\subseteq \mathbb{R} 上延拓到 \{s\in \mathbb{C}: \Re(s)>0\} 上;
  2. Riemann Zeta 函数在 \{s\in\mathbb{C}: \Re(s)\geq 1\} 上没有零点。

Riemann Zeta 函数定义域的延拓

如果想把 Riemann Zeta 函数的定义域从 [1,\infty)\subseteq \mathbb{R} 延拓到更大的区域 \{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0\} 上,就需要给出 Riemann Zeta 函数在 \{s\in \mathbb{C}: \Re(s)>0\} 上的定义。而且在原始的定义域 [1,\infty)\subseteq\mathbb{R} 上面,新的函数的取值必须与原函数的取值保持一致。

首先,我们将会在 [1,\infty)\subseteq \mathbb{R} 上面证明如下恒等式:

\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - s\int_{1}^{\infty}\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx.

证明:当 s=1 时,上述等式显然成立,两侧都是 \infty.

\frac{s}{s-1}-s\int_{1}^{\infty}\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx

= \frac{s}{s-1} - s\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx 

= \frac{s}{s-1} - s\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{x-n}{x^{s+1}}dx 

= \frac{s}{s-1} - s\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x^{s}}dx - \int_{n}^{n+1}\frac{n}{x^{s+1}}dx\bigg)

= \frac{s}{s-1} - s\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{s}}dx + \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot\int_{n}^{n+1}\frac{s}{x^{s+1}}dx

= \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot\bigg(\frac{1}{n^{s}}-\frac{1}{(n+1)^{s}}\bigg)

= \sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n^{s-1}}-\frac{1}{(n+1)^{s-1}} + \frac{1}{(n+1)^{s}}\bigg)

= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}.

从右式的表达式

\frac{s}{s-1} - s \int_{1}^{\infty}\frac{\{x\}}{x^{s+1}}dx

可以看出 \zeta(s) 可以延拓到 \{s \in\mathbb{C}:\Re(s)>0\} 上。而且右侧的函数在 \{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0,s\neq 1\} 是解析的,并且 s=1 是该函数的一个极点。进一步的分析可以得到,我们得到一个关于 (s-1)\zeta(s) 的解析函数,而且 \lim_{s\rightarrow 1}(s-1)\zeta(s)=1. 综上所述:

  1. Riemann Zeta 函数可以延拓到 \{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0\} 上;
  2. Riemann Zeta 函数在 \{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0, s\neq 1\} 上是解析的;s=1 是 Riemann Zeta 函数的极点。

 

Riemann Zeta 函数的非零区域

著名的 Riemann 猜想说的是 \zeta(s) 函数的所有非平凡零点都在直线 \{s\in\mathbb{C}:\Re(s)=1/2\} 上。因此,数学家首先要找出的就是 Riemann Zeta 函数的非零区域。而本篇文章将会证明 Riemann Zeta 函数在 \{s\in\mathbb{C}:\Re(s)\geq 1\} 上面没有零点。

\Re(s)>1 区域

首先,我们要证明当 \Re(s)>1 时,\zeta(s)\neq 0.

在这里,就需要使用一个重要的恒等式:当 \Re(s)>1 时,

\zeta(s) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}

= \prod_{p}\bigg(1+\frac{1}{p^{s}}+\frac{1}{p^{2s}}+\cdots\bigg)

= \prod_{n=1}^{\infty}\bigg(1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\bigg)^{-1},

其中这里的 p 表示所有的素数相乘,而 p_{n} 表示第 n 个素数。

下面我们证明:

\bigg|1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\bigg|^{-1}\geq 1-\frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1} .

事实上,令 s = \sigma + i t,,当 \sigma=\Re(s)>1 时,我们有

\bigg|1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\bigg|^{-1} = \bigg(1+\frac{1}{p_{n}^{s}}+\frac{1}{p_{n}^{2s}}+\cdots\bigg)

\geq 1-\frac{1}{|p_{n}^{s}|}- \frac{1}{|p_{n}^{2s}|} -\cdots

= 1- \frac{1}{p_{n}^{\sigma}} - \frac{1}{p_{n}^{2\sigma}} -\cdots

= 1- \frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1}.

因此,

|\zeta(s)| \geq \prod_{n=1}^{\infty}\bigg|1-\frac{1}{p_{n}^{s}}\bigg|^{-1} \geq\prod_{n=1}^{\infty}\bigg(1-\frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1}\bigg).

同时,

\lim_{n\rightarrow \infty} \bigg(1- \frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1}\bigg) = 1 ,

1-\frac{1}{p_{n+1}^{\sigma}-1} \geq 1- \frac{1}{p_{n}^{\sigma}-1} ,

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{p_{n}^{\sigma}}\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\sigma}}<\infty when \sigma>1.

所以,当 \Re(s)>1 时,\zeta(s) \neq 0.

\Re(s) =1 直线

Claim 1. 下面我们将会证明恒等式:对于 \sigma >1, \text{ } t\in\mathbb{R},

\Re(\ln\zeta(\sigma + it)) = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{\sigma}\ln(n)}\cos(t\ln(n)) ,

其中当 n 形如 p^{\alpha}, p 是素数,\alpha \geq 1. \Lambda(n) = \ln(p). 而对于其余的 n, \Lambda(n)=0.

事实上,根据 Euler 公式,

\zeta(s) = \prod_{p}\bigg(1-\frac{1}{p^{s}}\bigg)^{-1}.

s = \sigma + it, 可以得到

\ln\zeta(s) = -\sum_{p}\ln\bigg(1-\frac{1}{p^{s}}\bigg)

= \sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha s}}

= \sum_{p}\sum_{\alpha=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha\sigma}}\cdot p^{-i\alpha t}

= \sum_{p}\sum_{\alpha = 1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha\sigma}}\cdot e^{-i\alpha t \ln p}

进一步,

\Re(\ln\zeta(s)) = \sum_{p}\sum_{\alpha =1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha\sigma}}\cos(\alpha t \ln p)

并且右侧等于

RHS = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{\Lambda(n)}{n^{\sigma}\ln(n)}\cos(t\ln(n))

= \sum_{p}\sum_{\alpha = 1}^{\infty} \frac{\ln(p)}{p^{\alpha\sigma}\ln(p^{\alpha})}\cos(t\ln(p^{\alpha}))

= \sum_{p}\sum_{\alpha = 1}^{\infty}\frac{1}{\alpha p^{\alpha\sigma}}\cos(\alpha t\ln p).

所以,恒等式成立,Claim 1 证明完毕。

Claim 2.

\Re(3\ln\zeta(\sigma) + 4\ln\zeta(\sigma+it) + \ln\zeta(\sigma+2it))\geq 0,

其中 \sigma>1, t\in\mathbb{R}. 换句话说

|\zeta(\sigma)^{3}\zeta(\sigma+it)^{4}\zeta(\sigma+2it)|\geq 1.

事实上,

从三角函数的性质可以得到:

3+4\cos(\theta)+\cos(2\theta) = 3 + 4\cos(\theta)+2\cos^{2}(\theta)-1

= 2(\cos(\theta)-1)^{2}\geq 0,

所以,从 Claim 1 可以得到

\Re(3\ln\zeta(\sigma) + 4\ln\zeta(\sigma+it) + \ln\zeta(\sigma+2it))

= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^{\sigma}\ln(n)} \cdot ( 3 + 4\cos(t\ln(n)) + \cos(2t\ln(n))) \geq 0.

进一步地,使用 \Re(\ln(z)) = \ln(|z|) 可以得到

0\leq 3\ln|\zeta(\sigma)| + 4\ln|\zeta(\sigma+it)| + \ln|\zeta(\sigma+2it)|

= \ln|\zeta(\sigma)^{3}\zeta(\sigma+it)^{4}\zeta(\sigma+2it)|,

可以推导出 |\zeta(\sigma)^{3}\zeta(\sigma+it)^{4}\zeta(\sigma+2it)|\geq 1. 因此 Claim 2 证明完毕。

Claim 3. \zeta(1+it)\neq 0 对于所有的 \{t\in\mathbb{R}: t\neq 0\} 成立。

反证法:假设 \zeta(s)s=\sigma + it (t\neq 0) 存在阶数为 m 的零点。也就是说:

\lim_{\sigma\rightarrow 1^{+}} \frac{\zeta(\sigma+it)}{(\sigma+it-1)^{m}}=c\neq 0, 其中 m\geq 1.

从 Riemann Zeta 函数的延拓可以知道,\lim_{\sigma\rightarrow 1^{+}}(\sigma -1)\zeta(\sigma) = 1. 并且 \zeta(s)\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)>0, s\neq 1\} 上是解析函数。

从 Claim 2 可以得到:

|(\sigma-1)^{3}\zeta(\sigma)^{3}(\sigma+it-1)^{-4m}\zeta(\sigma+it)^{4}\zeta(\sigma+2it)|

\geq |\sigma-1|^{3}|\sigma-1+it|^{-4m}

\geq |\sigma-1|^{3}\cdot |\sigma-1|^{-4m}

= \frac{1}{|\sigma-1|^{4m-3}}.

\sigma\rightarrow 1^{+}, 可以得到左侧趋近于一个有限的值,但是右侧趋近于无穷,所以得到矛盾。也就是说当 t\neq 0 时, \zeta(1+it)\neq 0 成立。

根据之前的知识,s= 1\zeta(s) 的极点,所以我们得到了本篇文章的主要结论:\zeta(s)\{s\in\mathbb{C}:\Re(s)\geq 1\} 上面没有零点。

 

总结

本篇文章从 Riemann Zeta 函数的延拓开始,证明了 Riemann Zeta 函数在 \{s\in\mathbb{C}:\Re(s)\geq 1\} 上没有零点。在下一篇文章中,笔者将会证明在 \Re(s)=1 附近一个“狭长”的区域上,Riemann Zeta 函数没有零点。

 

从调和级数到 RIEMANN ZETA 函数(一)

Riemann Zeta 函数

Riemann Zeta 函数(Riemann zeta function),\zeta(s),是一个关于复数 s 的方程。在复平面上,当复数 s 的实数部分 \sigma=\Re s >1 时,\zeta(s) 就是如下的级数形式:

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}.

调和级数的概念与性质

既然提到了级数,首先让我们来回顾一下级数的定义是什么?

级数的定义:在数学中,一个有穷或者无穷的序列 (x_{0},x_{1},x_{2},...) 的形式和 S = x_{0}+x_{1}+x_{2}+... 称为级数,里面的每一项都称为级数的通项。

级数收敛的定义:令 S_{n}=x_{0}+...+x_{n},如果存在有限的 S 使得 \lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=S,那么就称该级数收敛。否则,该级数就称为发散级数。

然后下面我们来研究一下调和级数的基本性质。调和级数的表达式写出来十分简单,那就是 Riemann Zeta 函数在 s=1 的取值,i.e.

\zeta(1) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}.

提到级数的收敛或发散,就必须要提到关于级数收敛的等价定理(Cauchy 判别法),那就是:级数 S_{n} 收敛当且仅当对任意的 \epsilon>0,存在 N 使得对于任意的 m, n>N 都有 |S_{m}-S_{n}|<\epsilon.

既然是等价定理,那么就可以使用 Cauchy 判别法来判断调和级数是否收敛。

Method 1.

S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k},

直接通过计算得到

|S_{2n}-S_{n}|=\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2n}+...+\frac{1}{2n}=\frac{1}{2},

说明该级数是不收敛的,也就是调和级数是发散的。

除了基于 Cauchy 收敛准则的证明之外,能否写出判断调和级数发散的其他方法呢?答案是肯定的。以下有一种使用初等数学方法就能够解释调和级数发散的方法。

Method 2.

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}

=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+...

>1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8})+...

=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...=+\infty.

既然都提到了高等数学,那么当然不能仅仅局限于使用初等数学的技巧来解决问题。而且如果只是用初等数学的方法,在拓展性方面就会受到极大的限制。

Method 3. 调和级数的发散可以通过定积分的技巧来进行解决。

HarmonicSeries

1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}

>\int_{1}^{2}\frac{1}{x}dx + \int_{2}^{3}\frac{1}{x}dx+...+\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx

=\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}dx=\ln(n+1)

因此,\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty.

从上面的定积分的方法可以预计出调和级数的量级大约是对数的量级,那么能否精确的估计出来呢?例如下面这个问题:

问题:\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln(n)}=?

通过 L’Hospital 法则可知:\lim_{x\rightarrow 0}x/\ln(1+x)=1.

通过 Stolz 定理可知:

\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}{\ln(n)}

= \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\ln(n/(n-1))}

= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\ln(1+x)}=1

除此之外,我们同样可以证明

\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\ln(n))

这个极限是存在并且有限的。

调和级数的推广

那么,如果在考虑 \zeta(2) 也就是级数

\zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}

是否收敛的时候,能否用到以上类似的技巧呢?首先,确实也存在各种各样的初等数学技巧,例如:

Method 1.

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{2}}<1+\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(n-1)}=1+\sum_{n=2}^{+\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})=2.

Method 2. 使用数学归纳法。也就是要证明:

\sum_{k=1}^{n}1/k^{2}\leq 2-\frac{1}{n}.

n=1 的时候,公式是正确的。假设 n 的时候是正确的,那么我们有\sum_{k=1}^{n}1/k^{2}\leq 2-\frac{1}{n}。计算可得:

\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k^{2}}

<2-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^{2}}

= 2- \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n(n+1)^{2}}

\leq 2-\frac{1}{n+1}.

因此,不等式正确,所以 \sum_{n=1}^{+\infty}1/n^{2} 收敛。

其次,在判断调和级数发散的时候,使用的定积分的方法同样可以应用在这个场景下。

Method 3.

1+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}

<1+\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx+...+\int_{n-1}^{n}\frac{1}{x^{2}}dx

=1+\int_{1}^{n}\frac{1}{x^{2}}dx=1+1-\frac{1}{n}<2.

那么这个是针对次数等于2的情况,对于一般的情形,

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{s}},\sigma = \Re(s)>1.

使用定积分的技术,同样可以证明对于任意的 \sigma = \Re(s)>1,都有 \zeta(s) 是收敛的。但是 \zeta(1) 是发散的。

Riemann Zeta 函数中某些点的取值

除此之外,既然 \zeta(s)\sigma = \Re(s)>1 的时候收敛,能否计算出某些函数的特殊值呢?答案是肯定的,例如,我们可以使用 Fourier 级数来计算出 \zeta(2), \zeta(4), \zeta(6),... 的取值。首先,我们回顾一下 Fourier 级数的一些性质:

假设 f(x) 是一个关于 2\pi 的周期函数, i.e. f(x)=f(x+2\pi) 对于所有的 x \in \mathbb{R} 都成立。那么函数 f(x) 的 Fourier 级数就定义为

a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos(nx) +b_{n} \sin(nx)),

其中,a_{0}= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx,

a_{n}= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx n\geq 1,

b_{n}= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx n\geq 1,

定理 1. 如果 f(x) 在区间 (-\pi, \pi) 上满足 Lipschitz 条件,那么

f(x) =a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n} \cos(nx) +b_{n} \sin(nx)).

定理 2. Parseval’s 恒等式.

\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^{2} dx= 2a_{0}^{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}^{2}+b_{n}^{2}).

下面我们就来证明下列恒等式:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8}

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{4}}=\frac{\pi^{4}}{96}

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}}{90}

证明:

选择在区间 (-\pi, \pi) 上的函数 f(x)=|x|,并且该函数是关于 2\pi 的周期函数。

使用 a_{n}b_{n} 的公式,我们可以得到函数 f(x)=|x| 的 Fourier 级数是

\frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2((-1)^{n}-1)}{\pi} \cdot \frac{cos(nx)}{n^{2}}

从定理1, 令 x=0, 可以得到

0= \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2((-1)^{n}-1)}{n^{2} \pi} = \frac{\pi}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{-4}{(2m-1)^{2}\pi} = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(2m-1)^{2}}

因此,\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8} .

假设 S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} , 可以得到

S=\sum_{odd} \frac{1}{n^{2}} + \sum_{even} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{8} + \frac{1}{4} S .

因此 S=\frac{\pi^{2}}{6} .

从 Parserval’s 恒等式,我们知道

\frac{2\pi^{2}}{3}= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^{2}dx = 2\cdot (\frac{\pi}{2})^{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4((-1)^{n}-1)^{2}}{\pi^{2}\cdot n^{4}} = \frac{\pi^{2}}{2} + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{16}{\pi^{2} (2m-1)^{4}}

因此 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{4}} = \frac{\pi^{4}}{96} .

假设 S=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}} , 得到

S=\sum_{odd} \frac{1}{n^{4}} + \sum_{even} \frac{1}{n^{4}} = \frac{\pi^{4}}{96} + \frac{1}{16} S

因此, S=\frac{\pi^{4}}{90} .

总结

本篇文章从调和级数的发散性开始,介绍了判断调和级数是否收敛的几种方法。进一步考虑了其他级数的收敛性,并通过 Fourier 级数的方法计算出了部分 Riemann Zeta 函数的取值。

Hausdorff dimension of the graphs of the classical Weierstrass functions

In this paper, we obtain the explicit value of the Hausdorff dimension of the graphs of the classical Weierstrass functions, by proving absolute continuity of the SRB measures of the associated solenoidal attractors.

1. Introduction

In Real Analysis, the classical Weierstrass function is

\displaystyle W_{\lambda,b}(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \lambda^n \cos(2\pi b^n x)

with {1/b < \lambda < 1}.

Note that the Weierstrass functions have the form

\displaystyle f^{\phi}_{\lambda,b}(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \lambda^n \phi(b^n x)

where {\phi} is a {\mathbb{Z}}-periodic {C^2}-function.

Weierstrass (1872) and Hardy (1916) were interested in {W_{\lambda,b}} because they are concrete examples of continuous but nowhere differentiable functions.

Remark 1 The graph of {f^{\phi}_{\lambda,b}} tends to be a “fractal object” because {f^{\phi}_{\lambda,b}} is self-similar in the sense that

\displaystyle f^{\phi}_{\lambda, b}(x) = \phi(x) + \lambda f^{\phi}_{\lambda,b}(bx)

We will come back to this point later.

Remark 2 {f^{\phi}_{\lambda,b}} is a {C^{\alpha}}-function for all {0\leq \alpha < \frac{-\log\lambda}{\log b}}. In fact, for all {x,y\in[0,1]}, we have

\displaystyle \frac{f^{\phi}_{\lambda, b}(x) - f^{\phi}_{\lambda,b}(y)}{|x-y|^{\alpha}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \lambda^n b^{n\alpha} \left(\frac{\phi(b^n x) - \phi(b^n y)}{|b^n x - b^n y|^{\alpha}}\right),

so that

\displaystyle \frac{f^{\phi}_{\lambda, b}(x) - f^{\phi}_{\lambda,b}(y)}{|x-y|^{\alpha}} \leq \|\phi\|_{C^{\alpha}} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(\lambda b^{\alpha})^n:=C(\phi,\alpha,\lambda,b) < \infty

whenever {\lambda b^{\alpha} < 1}, i.e., {\alpha < -\log\lambda/\log b}.

The study of the graphs of {W_{\lambda,b}} as fractal sets started with the work of Besicovitch-Ursell in 1937.

Remark 3 The Hausdorff dimension of the graph of a {C^{\alpha}}-function {f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}is

\displaystyle \textrm{dim}(\textrm{graph}(f))\leq 2 - \alpha

Indeed, for each {n\in\mathbb{N}}, the Hölder continuity condition

\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha}

leads us to the “natural cover” of {G=\textrm{graph}(f)} by the family {(R_{j,n})_{j=1}^n} of rectangles given by

\displaystyle R_{j,n}:=\left[\frac{j-1}{n}, \frac{j}{n}\right] \times \left[f(j/n)-\frac{C}{n^{\alpha}}, f(j/n)+\frac{C}{n^{\alpha}}\right]

Nevertheless, a direct calculation with the family {(R_{j,n})_{j=1}^n} does not give us an appropriate bound on {\textrm{dim}(G)}. In fact, since {\textrm{diam}(R_{j,n})\leq 4C/n^{\alpha}} for each {j=1,\dots, n}, we have

\displaystyle \sum\limits_{j=1}^n\textrm{diam}(R_{j,n})^d\leq n\left(\frac{4C}{n^{\alpha}}\right)^d = (4C)^{1/\alpha} < \infty

for {d=1/\alpha}. Because {n\in\mathbb{N}} is arbitrary, we deduce that {\textrm{dim}(G)\leq 1/\alpha}. Of course, this bound is certainly suboptimal for {\alpha<1/2} (because we know that {\textrm{dim}(G)\leq 2 < 1/\alpha} anyway).Fortunately, we can refine the covering {(R_{j,n})} by taking into account that each rectangle {R_{j,n}} tends to be more vertical than horizontal (i.e., its height {2C/n^{\alpha}} is usually larger than its width {1/n}). More precisely, we can divide each rectangle {R_{j,n}} into {\lfloor n^{1-\alpha}\rfloor} squares, say

\displaystyle R_{j,n} = \bigcup\limits_{k=1}^{\lfloor n^{1-\alpha}\rfloor}Q_{j,n,k},

such that every square {Q_{j,n,k}} has diameter {\leq 2C/n}. In this way, we obtain a covering {(Q_{j,n,k})} of {G} such that

\displaystyle \sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^{\lfloor n^{1-\alpha}\rfloor} \textrm{diam}(Q_{j,n,k})^d \leq n\cdot n^{1-\alpha}\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^d\leq (2C)^{2-\alpha}<\infty

for {d=2-\alpha}. Since {n\in\mathbb{N}} is arbitrary, we conclude the desired bound

\displaystyle \textrm{dim}(G)\leq 2-\alpha

A long-standing conjecture about the fractal geometry of {W_{\lambda,b}} is:

Conjecture (Mandelbrot 1977): The Hausdorff dimension of the graph of {W_{\lambda,b}} is

\displaystyle 1<\textrm{dim}(\textrm{graph}(W_{\lambda,b})) = 2 + \frac{\log\lambda}{\log b} < 2

Remark 4 In view of remarks 2 and 3, the whole point of Mandelbrot’s conjecture is to establish the lower bound

\displaystyle \textrm{dim}(\textrm{graph}(W_{\lambda,b})) \geq 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}

Remark 5 The analog of Mandelbrot conjecture for the box and packing dimensions is known to be true: see, e.g., these papers here and here).

In a recent paper (see here), Shen proved the following result:

Theorem 1 (Shen) For any {b\geq 2} integer and for all {1/b < \lambda < 1}, the Mandelbrot conjecture is true, i.e.,

\displaystyle \textrm{dim}(\textrm{graph}(W_{\lambda,b})) = 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}

Remark 6 The techniques employed by Shen also allow him to show that given {\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} a {\mathbb{Z}}-periodic, non-constant, {C^2} function, and given {b\geq 2} integer, there exists {K=K(\phi,b)>1} such that

\displaystyle \textrm{dim}(\textrm{graph}(f^{\phi}_{\lambda,b})) = 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}

for all {1/K < \lambda < 1}.

Remark 7 A previous important result towards Mandelbrot’s conjecture was obtained by Barańsky-Barány-Romanowska (in 2014): they proved that for all {b\geq 2} integer, there exists {1/b < \lambda_b < 1} such that

\displaystyle \textrm{dim}(\textrm{graph}(W_{\lambda,b})) = 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}

for all {\lambda_b < \lambda < 1}.

The remainder of this post is dedicated to give some ideas of Shen’s proof of Theorem1 by discussing the particular case when {1/b<\lambda<2/b} and {b\in\mathbb{N}} is large.

2. Ledrappier’s dynamical approach

If {b\geq 2} is an integer, then the self-similar function {f^{\phi}_{\lambda,b}} (cf. Remark 1) is also {\mathbb{Z}}-periodic, i.e., {f^{\phi}_{\lambda,b}(x+1) = f^{\phi}_{\lambda,b}(x)} for all {x\in\mathbb{R}}. In particular, if {b\geq 2} is an integer, then {\textrm{graph}(f^{\phi}_{\lambda,b})} is an invariant repeller for the endomorphism {\Phi:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\mathbb{R}} given by

\displaystyle \Phi(x,y) = \left(bx\textrm{ mod }1, \frac{y-\phi(x)}{\lambda}\right)

This dynamical characterization of {G = \textrm{graph}(f^{\phi}_{\lambda,b})} led Ledrappier to the following criterion for the validity of Mandelbrot’s conjecture when {b\geq 2} is an integer.

Denote by {\mathcal{A}} the alphabet {\mathcal{A}=\{0,\dots,b-1\}}. The unstable manifolds of {\Phi}through {G} have slopes of the form

\displaystyle (1,-\gamma \cdot s(x,u))

where {\frac{1}{b} < \gamma = \frac{1}{\lambda b} <1}, {x\in\mathbb{R}}, {u\in\mathcal{A}^{\mathbb{N}}}, and

\displaystyle s(x,u):=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \gamma^n \phi'\left(\frac{x + u_1 + u_2 b + \dots + u_n b^{n-1}}{b^n}\right)

In this context, the push-forwards {m_x := (u\mapsto s(x,u))_*\mathbb{P}} of the Bernoulli measure {\mathbb{P}} on {\mathcal{A}^{\mathbb{N}}} (induced by the discrete measure assigning weight {1/b} to each letter of the alphabet {\mathcal{A}}) play the role of conditional measures along vertical fibers of the unique Sinai-Ruelle-Bowen (SRB) measure {\theta} of the expanding endomorphism {T:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}/\mathbb{Z}\times\mathbb{R}},

\displaystyle T(x,y) = (bx\textrm{ mod }1, \gamma y + \psi(x)),

where {\gamma=1/\lambda b} and {\psi(x)=\phi'(x)}. In plain terms, this means that

\displaystyle \theta = \int_{\mathbb{R}/\mathbb{Z}} m_x \, d\textrm{Leb}(x) \ \ \ \ \ (1)

where {\theta} is the unique {T}-invariant probability measure which is absolutely continuous along unstable manifolds (see Tsujii’s paper).

As it was shown by Ledrappier in 1992, the fractal geometry of the conditional measures {m_x} have important consequences for the fractal geometry of the graph {G}:

Theorem 2 (Ledrappier) Suppose that for Lebesgue almost every {x\in\mathbb{R}} the conditional measures {m_x} have dimension {\textrm{dim}(m_x)=1}, i.e.,

\displaystyle \lim\limits_{r\rightarrow 0}\frac{\log m_x(B(z,r))}{\log r} = 1 \textrm{ for } m_x\textrm{-a.e. } z

Then, the graph {G=\textrm{graph}(f^{\phi}_{\lambda,b})} has Hausdorff dimension

\displaystyle \textrm{dim}(G) = 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}

Remark 8 Very roughly speaking, the proof of Ledrappier theorem goes as follows. By Remark 4, it suffices to prove that {\textrm{dim}(G)\geq 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}}. By Frostman lemma, we need to construct a Borel measure {\nu} supported on {G} such that

\displaystyle \underline{\textrm{dim}}(\nu) := \textrm{ ess }\inf \underline{d}(\nu,x) \geq 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}

where {\underline{d}(\nu,x):=\liminf\limits_{r\rightarrow 0}\log \nu(B(x,r))/\log r}. Finally, the main point is that the assumptions in Ledrappier theorem allow to prove that the measure {\mu^{\phi}_{\lambda, b}} given by the lift to {G} of the Lebesgue measure on {[0,1]} via the map {x\mapsto (x,f^{\phi}_{\lambda,b}(x))}satisfies

\displaystyle \underline{\textrm{dim}}(\mu^{\phi}_{\lambda,b}) \geq 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}

An interesting consequence of Ledrappier theorem and the equation 1 is the following criterion for Mandelbrot’s conjecture:

Corollary 3 If {\theta} is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure {\textrm{Leb}_{\mathbb{R}^2}}, then

\displaystyle \textrm{dim}(G) = 2 + \frac{\log\lambda}{\log b}

Proof: By (1), the absolute continuity of {\theta} implies that {m_x} is absolutely continuous with respect to {\textrm{Leb}_{\mathbb{R}}} for Lebesgue almost every {x\in\mathbb{R}}.

Since {m_x\ll \textrm{Leb}_{\mathbb{R}}} for almost every {x} implies that {\textrm{dim}(m_x)=1} for almost every {x}, the desired corollary now follows from Ledrappier’s theorem. \Box

3. Tsujii’s theorem

The relevance of Corollary 3 is explained by the fact that Tsujii found an explicittransversality condition implying the absolute continuity of {\theta}.

More precisely, Tsujii firstly introduced the following definition:

Definition 4

  • Given {\varepsilon>0}, {\delta>0} and {x_0\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}}, we say that two infinite words {u, v\in\mathcal{A}^{\mathbb{N}}} are {(\varepsilon,\delta)}-transverse at {x_0} if either

    \displaystyle |s(x_0,u)-s(x_0,v)|>\varepsilon

    or

    \displaystyle |s'(x_0,u)-s'(x_0,v)|>\delta

  • Given {q\in\mathbb{N}}, {\varepsilon>0}, {\delta>0} and {x_0\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}}, we say that two finite words {k,l\in\mathcal{A}^q} are {(\varepsilon,\delta)}-transverse at {x_0} if {ku}, {lv} are {(\varepsilon,\delta)}-transverse at {x_0}for all pairs of infinite words {u,v\in\mathcal{A}^{\mathbb{N}}}; otherwise, we say that {k} and {l} are{(\varepsilon,\delta)}-tangent at {x_0};
  • {E(q,x_0;\varepsilon,\delta):= \{(k,l)\in\mathcal{A}^q\times\mathcal{A}^q: (k,l) \textrm{ is } (\varepsilon,\delta)\textrm{-tangent at } x_0\}}
  • {E(q,x_0):=\bigcap\limits_{\varepsilon>0}\bigcap\limits_{\delta>0} E(q,x_0;\varepsilon,\delta)};
  • {e(q,x_0):=\max\limits_{k\in\mathcal{A}^q}\#\{l\in\mathcal{A}^q: (k,l)\in E(q,x_0)\}}
  • {e(q):=\max\limits_{x_0\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}} e(q,x_0)}.

Next, Tsujii proves the following result:

Theorem 5 (Tsujii) If there exists {q\geq 1} integer such that {e(q)<(\gamma b)^q}, then

\displaystyle \theta\ll\textrm{Leb}_{\mathbb{R}^2}

Remark 9 Intuitively, Tsujii’s theorem says the following. The transversality condition {e(q)<(\gamma b)^q} implies that the majority of strong unstable manifolds {\ell^{uu}}are mutually transverse, so that they almost fill a small neighborhood {U} of some point {x_0} (see the figure below extracted from this paper of Tsujii). Since the SRB measure {\theta} is absolutely continuous along strong unstable manifolds, the fact that the {\ell^{uu}}‘s almost fill {U} implies that {\theta} becomes “comparable” to the restriction of the Lebesgue measure {\textrm{Leb}_{\mathbb{R}^2}} to {U}.

tsujiiacta

Remark 10 In this setting, Barańsky-Barány-Romanowska obtained their main result by showing that, for adequate choices of the parameters {\lambda} and {b}, one has {e(1)=1}. Indeed, once we know that {e(1)=1}, since {1<\gamma b}, they can apply Tsujii’s theorem and Ledrappier’s theorem (or rather Corollary 3) to derive the validity of Mandelbrot’s conjecture for certain parameters {\lambda} and {b}.

For the sake of exposition, we will give just a flavor of the proof of Theorem 1 by sketching the derivation of the following result:

Proposition 6 Let {\phi(x) = \cos(2\pi x)}. If {1/2<\gamma=1/\lambda b <1} and {b\in\mathbb{N}} is sufficiently large, then

\displaystyle e(1)<\gamma b

In particular, by Corollary 3 and Tsujii’s theorem, if {1/2<\gamma=1/\lambda b <1} and {b\in\mathbb{N}} is sufficiently large, then Mandelbrot’s conjecture is valid, i.e.,

\displaystyle \textrm{dim}(W_{\lambda,b}) = 2+\frac{\log\lambda}{\log b}

Remark 11 The proof of Theorem 1 in full generality (i.e., for {b\geq 2} integer and {1/b<\lambda<1}) requires the introduction of a modified version of Tsujii’s transversality condition: roughly speaking, Shen defines a function {\sigma(q)\leq e(q)}(inspired from Peter-Paul inequality) and he proves

  • (a) a variant of Proposition 6: if {b\geq 2} integer and {1/b<\lambda<1}, then {\sigma(q)<(\gamma b)^q} for some integer {q};
  • (b) a variant of Tsujii’s theorem: if {\sigma(q)<(\gamma b)^q} for some integer {q}, then {\theta\ll\textrm{Leb}_{\mathbb{R}^2}}.

See Sections 2, 3, 4 and 5 of Shen’s paper for more details.

We start the (sketch of) proof of Proposition 6 by recalling that the slopes of unstable manifolds are given by

\displaystyle s(x,u):=-2\pi\sum\limits_{n=0}^{\infty} \gamma^n \sin\left(2\pi\frac{x + u_1 + u_2 b + \dots + u_n b^{n-1}}{b^n}\right)

for {x\in\mathbb{R}}, {u\in\mathcal{A}^{\mathbb{N}}}, so that

\displaystyle s'(x,u)=-4\pi^2\sum\limits_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\gamma}{b}\right)^n \cos\left(2\pi\frac{x + u_1 + u_2 b + \dots + u_n b^{n-1}}{b^n}\right)

Remark 12 Since {\gamma/b < \gamma}, the series defining {s'(x,u)} converges faster than the series defining {s(x,u)}.

By studying the first term of the expansion of {s(x,u)} and {s'(x,u)} (while treating the remaining terms as a “small error term”), it is possible to show that if {(k,l)\in E(1,x_0)}, then

\displaystyle \left|\sin\left(2\pi\frac{x_0+k}{b}\right) - \sin\left(2\pi\frac{x_0+l}{b}\right)\right| \leq\frac{2\gamma}{1-\gamma} \ \ \ \ \ (2)

and

\displaystyle \left|\cos\left(2\pi\frac{x_0+k}{b}\right) - \cos\left(2\pi\frac{x_0+l}{b}\right)\right| \leq \frac{2\gamma}{b-\gamma} \ \ \ \ \ (3)

(cf. Lemma 3.2 in Shen’s paper).

Using these estimates, we can find an upper bound for {e(1)} as follows. Take {x_0\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}} with {e(1)=e(1,x_0)}, and let {k\in\mathcal{A}} be such that {(k,l_1),\dots,(k,l_{e(1)})\in E(1,x_0)} distinct elements listed in such a way that

\displaystyle \sin(2\pi x_i)\leq \sin(2\pi x_{i+1})

for all {i=1,\dots,e(1)-1}, where {x_i:=(x_0+l_i)/b}.

From (3), we see that

\displaystyle \left|\cos\left(2\pi x_i\right) - \cos\left(2\pi x_{i+1}\right)\right| \leq \frac{4\gamma}{b-\gamma}

for all {i=1,\dots,e(1)-1}.

Since

\displaystyle (\cos(2\pi x_i)-\cos(2\pi x_{i+1}))^2 + (\sin(2\pi x_i)-\sin(2\pi x_{i+1}))^2 = 4\sin^2(\pi(x_i-x_{i+1}))\geq 4\sin^2(\pi/b),

it follows that

\displaystyle |\sin(2\pi x_i)-\sin(2\pi x_{i+1})|\geq \sqrt{4\sin^2\left(\frac{\pi}{b}\right) - \left(\frac{4\gamma}{b-\gamma}\right)^2} \ \ \ \ \ (4)

Now, we observe that

\displaystyle \sqrt{4\sin^2\left(\frac{\pi}{b}\right) - \left(\frac{4\gamma}{b-\gamma}\right)^2} > \frac{4}{b} \ \ \ \ \ (5)

for {b} large enough. Indeed, this happens because

  • {\sqrt{z^2-w^2}>2(z-w)} if {z+w>4(z-w)};
  • {z+w>4(z-w)} if {z/w:=u < 5/3};
  • {\frac{2\sin(\frac{\pi}{b})}{\frac{4\gamma}{b-\gamma}}\rightarrow \frac{2\pi}{4\gamma} (< \frac{5}{3})} as {b\rightarrow\infty}, and {2\sin(\frac{\pi}{b}) - \frac{4\gamma}{b-\gamma} \rightarrow (2\pi-4\gamma)\frac{1}{b} (>\frac{2}{b})} as {b\rightarrow\infty} (here we used {\gamma<1}).

By combining (4) and (5), we deduce that

\displaystyle |\sin(2\pi x_i)-\sin(2\pi x_{i+1})| > 4/b

for all {i=1,\dots, e(1)-1}.

Since {-1\leq\sin(2\pi x_1)\leq\sin(2\pi x_2)\leq\dots\leq\sin(2\pi x_{e(1)})\leq 1}, the previous estimate implies that

\displaystyle \frac{4}{b}(e(1)-1)<\sum\limits_{i=1}^{e(1)-1}(\sin(2\pi x_{i+1}) - \sin(2\pi x_i)) = \sin(2\pi x_{e(1)}) - \sin(2\pi x_1)\leq 2,

i.e.,

\displaystyle e(1)<1+\frac{b}{2}

Thus, it follows from our assumptions ({\gamma>1/2}, {b} large) that

\displaystyle e(1)<1+\frac{b}{2}<\gamma b

This completes the (sketch of) proof of Proposition 6 (and our discussion of Shen’s talk).