# 离散数学第一讲：集合论的创立和第三次数学危机

－－Cantor

$X=\{ x_{0}, x_{1},...\} \text{ and } \mathbb{N}=\{0,1,2,...\}.$

$|X|=|\mathbb{N}|=\aleph_{0}.$

$2\mathbb{N}=\{ 0,2,4,6,...\}, |2\mathbb{N}|=\aleph_{0}$

$\mathbb{Z}=\{...,-1,0,1,...\}$ is countable. The set $\mathbb{Q}$ is countable.

$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ is also countable.

$f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}, (a_{i} \in \mathbb{Z}, a_{n}\neq 0)$

$h(f(x))$小的先数。因此整系数多项式是可数的。

Russle 悖论（Russel Paradox ）