随笔(九)— 师门轶事

导师篇:

  1. 有一次在办公室跟导师聊天,导师问:“初来新加坡,你的住宿条件好不好,有没有空调?”听到这话我心想导师那么关心学生生活,深受感动,连忙说:“住宿条件一般,暂时没有空调”。导师说:“这样不行啊,没有空调不方便熬夜工作”。我继续说:“白天工作就好了呀”。导师说:“我见过的数学家都是要熬夜工作的,无一例外,白天杂事繁多,夜晚夜深人静适合思考数学”。
  2. 导师说:“每个 PHD 刚来学校的时候,其实我前三年都没怎么管,是因为想看一下学生独立发展能够发展成什么样,了解一下学生的数学能力极限在哪里。”于是,师兄们的毕业年限纷纷变成了 6 年,7 年, 8 年。前三年导师也没有跟我交流过太多论文技术,博士第四年才给我些许帮助,可能也是想看看本人的极限在哪里。后来我独立证明了一个 Real Bound Theorem 也就知道自身的极限大概是哪里了。
  3. 有一次我讲讨论班,自我感觉准备充分,但是讲的时候总是被打断和提问。导师回头就说:“讲讨论班的时候,不要让台上的人觉得很舒服,一定要让他觉得很难受”。还有一次我讲论文,刚说了两句话。导师说:“作为一个搞过多年数学的人,一听你这几句话,就知道你没有懂”。有一次我说我貌似得到一个新的结果,刚讲解了几句,导师就发现了问题,立刻说:“目前你都是一个 PHD 了,怎么还能写出这样一个数学公式”?
  4. 在某次聚餐上,导师说:“目前二师兄已经写好论文了,大师兄应该很快就把论文写好了,三师兄再努力一下搞一年”。然后回头看了看我,说:“你还有很多年”。事后来看,本人博士第四年努力了一下,总共花了一年时间就把论文交上去了。
  5. 同样是一次聚餐,导师问我们师门几人:“你们几个最近每天花在科研上的时间有多少,是一个小时还是两个小时?”大家顿时沉默不言。当时我阅读了一本关于拖延症的书籍,确实也按照书中所说治疗本人的拖延症,每天至少也有三个小时投入写论文中。我就如实告知导师。导师立刻说:“三个小时是肯定不够的,但是这个应该不算太差”。
  6. 在交了毕业论文之后,原本是按照导师计划留在本校做一段时间的研究员,但是导师当天突然告诉我没有给我申请相关职位,于是我就瞬间没有资金来源了,只好安心回家度假。当时想想也算好事,回家过年也算是一大喜事,毕竟留学五年也没有机会回国过年。有一天,系里面突然联系我,让我提供论文中的一些细节和证明。但是我的心里真的是无数 XXX 呼啸而过。看在还没有毕业的份上,即使没有任何收入也只能静下心来补充数学证明。
  7. 在本人的毕业聚餐上,我表达了以后不继续做动力系统的想法,导师和答辩老师都说:“学了数学的人搞不了其他的,只能继续从事数学研究”。当时我就不以为然,觉得自己肯定能够做其他事情,但是修改论文一直在耗费我的时间,也没有努力学习转行技能,当时确实又不知道可以做什么。在最后一次见面的时候,导师跟我说:“如果想回数学界的话,两年内基本上还是可以回来的”。并且导师也跟我的同学表达 XX 未来肯定会回到数学界。但是,我后来找到了一份工作,日常搞搞机器学习和金融数学,最后就不考虑回数学界的事情了。

师兄篇:

  1. 有次一个日本教授来新加坡访问,我们问:“跟他是不是只能说日语了?”二师兄立刻回答:“不要紧,你的三师兄一直都会几句日语”。 但是我回想很久,一直都没有听过三师兄说过日语。
  2. 在大师兄的毕业答辩上,有一个国内的教授问我:“你打算什么时候毕业,是不是明年?”我当时恰好把论文写得差不多了,立刻回答:“我打算今年就交论文毕业”。回想起师兄们的 6 年,7 年,8 年,当时觉得自己真的是毕业神速。
  3. 大家有段时间都在办公室里面玩暗黑 3,基本上是有时间就会开始打游戏。有一次三师兄突然告诉我,玩游戏卖装备已经回本了。于是,三师兄在我心目中一直就是游戏大神的形象。
  4. 在二师兄毕业了之后,在新加坡的就只剩下大师兄,三师兄还有我。有一段时间我们三人为了努力毕业,每周六早上都会去办公室搞讨论班,虽然我也听不懂师兄们在聊啥,但是也只能假装很有兴趣,因为毕业是头等大事。
  5. 在帮大师兄拿毕业证的时候,心想大师兄经过八年的辛苦工作终于毕业了。于是想到自己还没有一个合适的结果,拿学位证遥遥无期,顿时觉得心情十分低落。

(持续补充)

《我的几何人生》— 丘成桐

最近在看丘成桐先生的自传《我的几何人生》,书中有不少的数学内容,也有很多有意思的事情。下面整理了一下部分内容,欢迎大家一起来阅读。

萨拉夫可说是我第一个遇上的懂得当代数学的人,他用“美式风格”讲授常微分方程,鼓励学生在课堂上提问和投入讨论。这种方式对中国学生(包括我)来说,是非常不习惯的,我们一直被要求安安静静地听课,不可打断老师的话题。萨拉夫这种自由奔放的教学风格,比较随性和自然,但有时也会在讲课中间碰到困难,呆立当场。在这些场合,我就会出手相助了。如此一来,我很快便引起他的注意。有时觉得可以时,他就让我上一部分课。我也常常到他家中,帮他准备讲义,或提出不同的解题方法。

崇基体育部的主任卢惠卿也是伯克利来的,她力劝萨拉夫罢手,说坚持下去只会令情况更糟糕。她知道我家缺钱后,提议挣钱的另一方法,就是给校内的教授教太极。教员中很多是老外,对太极这国粹并不了解。坦白讲,太极并不是我的强项,但借此挣点钱也算轻松,我很感激卢的安排。

来伯克利之前,我自以为了解拓扑学,它研究最广义下物体的形状以及分类,但代数拓扑课提供了全新的角度,把拓扑问题化为代数问题处理。开始时有些紧张,因为学生比以前上课时更加投入。我没有打算说很多话,但其他同学则踊跃发言,似乎头头是道。几个星期后,我把课本(就是Edwin Spanier本人编写的)看了一大半,发觉大部分同学都是在吹牛瞎说。

可是到了1970年8月他从普林斯顿回来,情况就不同了,他戏剧性地提议我改变方向。普林斯顿的安德雷·韦依(André Weil)是声望极高的数学家,陈师在那里跟他谈了一次,十分兴奋。韦依指出,当前数学的发展,已使数论上著名的黎曼猜想变得只有一步之遥了。1859年黎曼提出了他的猜想,用以解释质数不依常规的分布。伟大的黎曼三十九岁就英年早逝,他没有给出答案。超过一个世纪之后,人们还不知这猜想的对错。陈先生期望我能破解它。我正急于定下论文的题目,陈先生催促我立时开始工作。毫无疑问,这是个极具挑战性的难题。出于个人的品位,我对几何问题的兴趣远比对解析数论的大。研究大问题往往要花上几年时间才能取得进展,必须靠激情始能坚持下去,因此我不为黎曼猜想所动。也许我的本能反应是对的,黎曼猜想至今尚未破解。

就在这时候【保钓事件】,陈先生生病住院一个月,我和一群中国学生去医院探望他,却对他讲的一番话感到愕然。他并不赞成我们政治上的行动。虽然他和杨振宁等知名人士联署了一封信,刊登在《纽约时报》上,内容和游行学生所说的大同小异,但他劝我们立刻停止行动。他说:“人生不外名与利,学生运动两者皆不达。”……在那一刻我理解到,即使陈先生和我的价值观并不相同,但我也可以从他身上学到许多东西,当然也要正确地看待他或其他人的意见。我相信他是为我着想,可是说到底,我还是要依靠父亲的教导立身处世。

项武义是系里的年轻教授,陈先生很喜欢他。有次他请我到他家出席隆重晚宴,开始时并不知道那是有所图的,他打算将他太太的亲戚介绍给我。当我知道后,便开诚布公对他说我心中另有所属。项武义很失望,当然此乃人之常情。我知他是一番好意,但这些事情也不是能敷衍以对的。几年后我从一些日本数学家口中得知小平邦彦的故事,小平是日本首位菲尔兹奖的得主。他们有位朋友是小平的学生,小平要这位出色的年轻人迎娶他的女儿。那学生心想如果拒绝的话,必定会触怒大师,于是只好乖乖答应,成为小平的东床快婿了。不久之后,我搬到东岸去。武义的兄长项武忠是耶鲁的数学教授,后来转到普林斯顿去。他请我吃晚饭,到了晚饭时才知道他夫妇想撮合我和他们的一个亲戚,当我告诉他们我心中已有人时,他和武义一样显得很失望。从一方面看,能够受邀结识某人的亲友,从而发展一段浪漫的关系,自是受宠若惊之事,但事情如此了结,使项氏兄弟不悦,似为未来之麻烦定了基调。

我从约翰·米尔诺的书《莫尔斯理论》学到很多关于这理论的内容。很惊讶莫尔斯本人非常讨厌这本书和它的书名,说它应该叫《极限点理论》才对。传说莫尔斯收到这本书后,随即把它撕烂并扔进垃圾箱,他认为只有自己才配写这题目的书。这种反应好像过激了一点。但我个人对莫尔斯倒没有什么看法,他和他的夫人都挺和善。为了保持良好的关系,以免他发怒,我小心翼翼地不让他知道,我是多么喜爱米尔诺的书,并且从那儿学到不少几何知识呢。

前面提过的项武忠也来了,他是和我同一年到高研院的。他似乎有一种与生俱来的能耐,不用刻意做就能冒犯别人。我也是他这种“天赋”的受害者,不过我不会放在心上。项太太却是十分和气的人,她不断补救丈夫的过失,纵然如此,在下认为她只有部分成功而已。

【尼克松宣布次年访华】莫宗坚不理会众人苦苦劝告,1972年他回国了。他把所有家当都丢在美国,就连车子也是,他要平价卖掉却一时之间找不到买家。可是半年后,他就决定跑回来。或者他和其他人一样,被当时贫困的生活环境,还有微薄的收入惊醒了美梦。很不幸,那时在美国找事情也不容易。项武忠打电话给宗坚的论文导师舒里南·阿比安卡尔(Shreeram Abhyankar),帮助他把原来的职位找回来,因此项跟我说他是莫宗坚的衣食父母。

我在石溪教书,第一门课是初等微积分。和在伯克利当研究生时的遭遇一样,我又面对了同样的困难,我的口音太重,学生听不明白。第一个星期之后,班上的人数剧减,有的退选了,有的转到其他组别去。到了最后,原来四十人的班,只有四个留下来。虽然如此,这四个学生到了期终考试,成绩都好到不得了,他们高兴地请我吃晚饭以示庆祝。经历这次磨炼后,我算是通过教学的测试了。

刚刚看到卡拉比猜想时,我正在伯克利的数学图书馆看书,这个问题立时把我抓住了,我有一种强烈的意愿,不管它对不对都要把它解决,我无法抽身离去。陈先生明显无此感觉,他有他自己的兴趣,自己关心的东西,但不知是何原因,他对这问题始终提不起兴趣。

次日早上,我往数学系看伍鸿熙,中途被项武义招到他的办公室。为了迎合他的口味,我告诉他自己近期的工作,利用微分几何中的偏微分方程解决了一个拓扑问题。项武义不以为然,说结果显而易见,用拓扑的方法便足以证明。同样的偏见,曾出现在以后的研讨班中。那次陈先生让我主讲,主题便是用微分几何来解决纯粹拓扑的问题。当时听众有五十多人,大家聚精会神听我讲一个新的用微分几何研究群作用的理论。项武义站起来,说:拓扑学者不需要几何学者来帮忙解拓扑问题,说罢就在陈先生和其他人的面前,拂袖而去。于是,项武义在办公室的黑板上勾写他的做法,即如何不用几何去解决拓扑的问题,可是差不多过了一个钟头,还是没有找到头绪。他突然离开办公室,说要上洗手间去,可是过了大半个钟头,还没有回到办公室来。我只好和伍鸿熙吃饭去了,此后未闻项再谈此事。

在这些故事中,钟开莱对华罗庚每多溢美之词,早年他曾随华学习,而对陈则没什么好话。从这些交谈之中,再加上后来的四处打听,我知道了陈、华不和的部分原因,他们的交恶对整个中国数学界都有负面的影响,对我个人而言亦复如是。根据钟开莱讲的故事,华罗庚是别人眼中的天才。他生长在贫穷的家庭,没受过什么教育,光靠自学,竟破解了数学上好些难题。陈省身终究成就更大,但这是后来的事了。陈并没有经济上的困难,他父亲是个法官,但华的父亲只是个店员,家境并不富裕。1941年,中国政府成立了国家科学大奖,第一届的得主是郭沫若和华罗庚。这个奖类似于美国的国家科学奖,由国家领导人亲自颁发。当时两人住在一起,可以想象这是对陈的打击。随着岁月的推移,陈的愤愤不平也许愈来愈盛,因他从未得过这荣誉,而说故事的钟开莱,其贡献当然未堪与陈比肩,但也得了个银奖。陈、华之争,原来起自芥毫的差别,但随着岁月而加剧。据在下观察,纷争容易形成,但难以化解。有时直到当事人皆不在世,纷争都不见得消散。……钟为人孤僻,和系里其他人相处不来。他和萨姆·卡林(Sam Karlin)都是研究概率的,但从来不闻不问。

贝利在研究某个数学问题,想知道写出一篇高质量的论文后,如何在具审稿制度的学报上发表,因此向师兄求教。“做数学就像是和女孩子睡,”老大哥如此说,“第一次或许有点儿麻烦,但下一次就会顺利得多了。”我不会这样说,但师兄的话或许真的见效。

1974年春天,陈先生邀请我到伯克利演讲。出生于俄罗斯的数学家米哈依尔·格罗莫夫(Mikhail Gromov)被视为当世最杰出的年轻几何学者之一,他正初次访问伯克利,伯克利待之为上宾。在六个月前,我曾和格罗莫夫有过一次不甚愉快的经历。那一次我用几何分析的方法证明了某个空间具有无限的体积,格罗莫夫却说我的证明一定不对。我并不能肯定他是否了解我采用的方法,无论如何,这结果经得起考验,绝没有错。这次在伯克利讲的是另一主题,就是在几何空间中的“谱”,即空间变形时产生的共鸣的、振动的频率。原则上,它和敲打鼓面变形时产生的一系列频率相似。格罗莫夫和上次一样中途发难,宣称我采取的研究路线根本不对。这次我的做法,就如上次争辩中的做法一样,非常倚重非线性偏微分方程,而格罗莫夫并非这方面的专家,或者他只不过是弄不清楚那证明。但他并没有要求我解释明白,而是嚷道我的理论有严重错误。他对我说话的态度,好像我是个差劣的学生,没有好好地做作业。在研讨班上,他花了不少时间来表达对内容的不满。说到底,据我揣摩,是他不认为几何分析值得发展。他坚信任何几何上的定理,都必须用直观几何的方法来证明,不能用拓扑或图形解释的方法,而我不这么看。整个几何分析正好建基于这信念:深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外,还需要加上大量分析的方法,尤其是新近发展的非线性分析的工具,并由其成果支撑。我也很希望从现代物理学和工程学上学习到新的工具和理念,四十年来的经验,显示这是正确而且丰富的想法。这次研讨班不算成功,格罗莫夫不断高声质疑,它怎可能会好。不过,其后我把证明详细地再讲给他听,并答复了他一次又一次的问难,终于把分析的方法化作纯粹的几何术语,阐明了上述空间有无限体积。他最后也释然,对结果默默接受了。几年后,他将我的几何解释应用于其他几何问题上,他的追随者甚至将这些结果冠上他的名字。

后来我和比尔·瑟斯顿也有类似而和谐的交流。瑟斯顿和我同时期在伯克利当研究生,他在几何和拓扑上扬名世界。瑟斯顿看待几何学,就有点像用细小的片片,如乐高般嵌成整个几何的空间或流形,从而勾勒其内部的结构。我则采取差不多相反的做法,利用微分方程来开启物体的内在结构和总体的拓扑。两种理念非常不同,却殊途同归。必须重申,瑟斯顿想得透彻而具原创力,他的论证不必时时详尽清晰,其理念却对数学有深刻而长远的影响。

我写了封信给项武忠(他当时刚从耶鲁转到普林斯顿),问他我可否在普林斯顿以斯隆学者的身份至少待上半年。几天后,他告诉我数学系并没有足够的办公室。时隔多年,人也比较世故了,知道项武忠和其他人如果愿意我来,办公室总是可以找到的。我写信给系主任可能有不同的结果,但已经太迟了。依靠相识的人是个错误,因你不知道他是否欢迎你。(不无讽刺地,几年后情况完全改变了。普林斯顿的系主任请项武忠打电话来,说要请我去当教授。我当下推却了。那不是报复,只是当时还不是去的时机。)

但是,好些代数几何学者对两个代数几何上著名的猜想同时被破解并不高兴,因为我并未用到任何这领域中的标准方法。但芒福德和其他人不一样,他思想开放,两年后哈佛要聘请我,部分原因或许在此。

【1978年】我先后三次跟他说要离开伯克利,但他拒绝相信。我不想他不开心,但经过多月的反复考虑,我最终下定决心离开。从这刻开始,陈先生对我有了不同的看法。虽然我感到在此之前,已经有人在挑拨生事,离间我们。记得几个月前一次晚餐,项武义在我和陈先生面前,谈起陈先生最近的一次中国之行。他问陈先生有没有跟别人说,我在解决了卡拉比猜想之后,成就已超过他了呢?陈先生听了之后非常意外,一下子脸都红了。我如坐针毡,浑身不舒服。虽然我极力解释先生的工作对我来说,高山仰止,怎敢比较,但还是怕陈先生怀疑我在他背后有此想法。有些人想尽办法使陈先生反对我,这只是一个在我面前发生的例子而已。

吴文俊在法国留学,以在代数拓扑学中引进“吴类”成名。他曾经受过陈先生的栽培,长期跟华罗庚不和,他们之间的矛盾导致中国科学院数学所的分裂。当时吴正在创立一个新的独立于数学所的数学研究中心,即系统科学研究所。数学所是由华创立的,作为一个纯数学的拓扑学者,对应用数学所知不多,却去建立系统所,确使人大惑不解,由此可见华、吴矛盾之深了。

一天,有个曾师事吴文俊的学者登门求见,并出示他写的一篇论文。我没时间细看文章,只是随口说它不错。但吴即向有关领导报告,说我认为这学者做出了重要的工作,值得拿一个国家级的奖项。华的一些同事,对此感到不快,觉得这人的工作不值得这个奖项。他们找到了萧荫堂。萧坚持要我上书,纠正我客气话导致的错误。我本无意做这种烦恼事,只是经过萧多次游说后,才勉强上书说明,这项工作不值得国家级的奖项。事情在最后关头才起波折,这位学者当然甚为不快,为一年后一次激烈的争辩埋下伏线。

【1980年】吴文俊的门人又登门求见了,他咄咄逼人地要求我推荐他拿一个重要的奖项,我拒绝了,大家便争吵起来,愈来愈激烈,以致我的血压飙升,差不多要昏倒了。经此可怕的一幕,当地负责接待的老一辈数学家小心翼翼,不让我再受到不速之客的骚扰。一天晚上,陈先生在晚饭后,请了十位受邀来华的重要客人参加茶会。他先请各人坐下来,听取大家对中国数学现状的看法。他批评华罗庚领导的数学所,尽管那是中国数学主要活动之处,并敦促把它关掉。他提议在座十人联名上书,吁请中国政府把数学所永远关闭,话毕全场鸦雀无声,于是他又重复说了一遍。最后,我打破缄默,说:我们都是中国请来的客人,我们只是来访问,不宜喧宾夺主,这样做不恰当。博特同意我的看法,其他人也纷纷表态支持,对陈先生的提法都不愿沾手。

博雷尔要求我把专题年的讲话和文章编为两册,一册和微分几何有关,另一册则是极小曲面,由普林斯顿大学出版社出版。我把两册都差不多编完了,可以付印。六十多页有关几何分析的导引,主要是在霍普金斯医院等候时写好的。我主编的有关微分几何的那册于1982年面世,有关极小曲面的那册,我也已经准备好了。但是有一天,邦别里跑到我的办公室来,要求他做主编。我将全部收集来的文章交给他,没有想到他拖了两年,才原封不动地交给出版社。由于长期的推迟,很多作者对我颇有微词。

在多次访问中,我认识了迈克尔·弗里德曼(Michael Freedman)。那时弗里德曼还是系里的年轻小伙子,正在努力破解四维空间的庞加莱猜想。我们曾经多次讨论这问题,有时就在他家后院的游泳池里面或者旁边。普林斯顿的好些拓扑学者对弗里德曼的方法不以为然。他们倾向于运用米尔诺创立的割补手术技巧,我却对弗里德曼的方案感兴趣。他利用一种叫Bing topology的方法。当工作接近尾声时,我问他结果可否在JDG上发表,他同意了。普林斯顿的人很快便发觉他们要错失成果了。他们断言,文章应该在普林斯顿出版的《数学年刊》上发表,这是天下第一的数学学报。那里的拓扑学家比尔·布劳德(Bill Browder)以及他的同事项武忠都打电话给我,说拓扑学中最好的文章应该在最好的学报,即《数学年刊》上发表,这才是正路。但我不为所动,平静地解释说,已经跟弗里德曼谈过多次了,这是他的决定。如他要撤回文章,我会二话不说立即应允。在最后关头,我跟弗里德曼说,他的文章对JDG十分重要,会大大提升学报的地位,由此也对微分几何这科目有利。这些话最后令弗里德曼没有改变初衷。他的论文《四维流形的拓扑》于1982年发表于JDG,并凭此文获得菲尔兹奖。为了此事,普林斯顿大学《数学年刊》那些人对在下颇有微词,纵使我在高研院上班,离大学只有不到两公里。

我让学生组织了一个研讨班。有些上了年纪的同事却嘀嘀咕咕,他们认为高研院只需要高级研讨班,讨论最新的进展。但我不这样看,培育后进也应该是研讨班的目的。他们又投诉学生讨论所引起的嘈杂声,其实最吵闹之处只在我办公室方圆之地、学生聚集之所。这使我回忆起小时在香港,邻居也曾因父亲教授自己和附近的小孩诗词而抱怨。人常常为这样或那样的事情恼怒,但无论如何,年轻人为学习数学或诗词的热情,都不应当是抱怨的理由。

大概一年后,华罗庚的弟子钟家庆来访问普林斯顿。我提议他跟莫毅明一起,研究某些复几何上的问题。在我的指导下,他们进展良好,并得到一些有趣的结果。可是,正如前面说过,萧喜欢和我竞争较量,当他知道我在指导莫和钟的合作,有时也加入时,就紧张起来了,他建议莫不要和我合作。从那一刻开始直到现在,我再没有和萧或他的弟子合作。这样的结局使我不快。萧荫堂是位卓越的数学家,我们曾一起做了些好的工作,如果能继续下去该多好啊。在这期间,我和萧荫堂又另有瓜葛。彼得·萨那克(PeterSarnark)是菲尔兹奖得主保罗·科恩(Paul Cohen)的学生,毕业之后一直留在斯坦福。科恩希望在短短几年之内将他提升为正教授,这是十分不寻常的,萧托我向普林斯顿的同事朗兰兹寻求专业意见。我不想应允,一方面我不认识“萨那克,另一方面我不熟知萨那克专精的那类数论。可是萧找了我多次,我不得不向朗兰兹求助。萨那克毕业没几年,朗兰兹并没有觉得萨那克的工作有多了不起,这是可以理解的,于是我把这些颇为草率的意见转告了萧。不久之后,就传来在斯坦福的一次系务会议上,有人说我反对萨那克的升职。真相是我什么都没说过,只是在反复的要求下,转达了朗兰兹的某些初步看法而已。这样一来,得罪了一向和我关系不错的科恩,另一方面也搞砸了和萨那克的关系,他们都说升职一事由我一锤定音。虽然其后萨那克和我还是客客气气的,但从这件事中,我上了宝贵的一课。就是在学术上,人际关系十分微妙,有时还会被人在背后捅一刀。此后对不相干的事情,我总是“避之大吉”,但于这方面只算是部分成功而已。

1983年,陈先生在伯克利组织了一个几何分析的计划,4月我到了那里访问三个月。理察和我开了一门几个星期的课,专门讨论有关正纯量曲率流形的一些新定理,以极小曲面作为工具。好几位在石溪的中国研究生告诉我,劳森一位已毕业的学生做了一份详细的笔记,那些笔记可能给格罗莫夫和劳森看了。事关他们不久之后写的一篇论文,理察看了预印本后指出,其中似是袭用了我们的一些想法。理察写了一封申诉信给劳森,他把信寄到伯克利的埃文斯楼的信箱。但信箱封闭了,几个月后信退回给理察,到那时再寄信已来不及了,事情只好不了了之。由此可见,说到底,数学也是讲究竞争的。

萧荫堂、项武忠两人都强烈反对陈先生和格里菲思筹划中的录取中国学生赴美留学的计划。此计划参照“中美联合培养物理类研究生计划”(CUSPEA)这个由诺贝尔物理奖得主李政道几年前创办的著名计划,目的是帮助中国的物理学生考取美国和加拿大的研究院。“文革”后,学校的成绩单、老师的推荐信和类似的文件都难以找到,同时也不见得可信。于是李政道(当时在哥伦比亚大学)就和其他美国物理学者设计了一项考试,每年挑选优秀中国学生赴海外留学。陈先生也想对数学学生按方抓药,由于实验设备价格高昂,不需做实验的数学学生要比物理学生多得多。萧、项和我对派留学生出国没有异议,但是根据陈先生和格里菲思提出的计划,主要的考官由美国数学学会决定。举例来说,1984年的考试,纯粹数学由格里菲思主考(后来为了要我改变想法,他们坚持将我也拉进来参与这个考试),应用数学则由麻省理工的戴维·本尼(David Benny)负责,代表美国数学学会的教授们对哪个学生到哪所学校行使很大的决定权。我们对这个中国学生的计划心中不踏实,因为它的规章使权力落到少数外国学者手上。我们三人都认为参加这个计划的学生,与原计划相比,应对择校有更大的自主权,我们倾向让学生直接申请美国的学校,这样选择会较多,并且比较不受美国数学学会的束缚。我曾前后三次询问陈先生,美国数学学会在计划中的角色是不是他的主意,每次他都否认了,说和此事无关。由此可见,我们对学会原计划的疑问,不应该被视作对陈先生、格里菲思或本尼的攻击,我并没有反对他们。虽然项、萧和我都十分关注此事,他们还提议不如给中国教育部写信,表明对这计划不同的意见,不过他们这封信始终没有写。几个月后,我和郑绍远、学生曹怀东和正在高研院访问的林长寿再次谈起这事,这次我们坐言起行,起草了一封信,内容基本上和上次跟萧、项谈的差不多。这封信本来是由项、萧和我一起署名的,于是我把信(其实是手写的未定稿)寄给萧,看他有何意见。在没有询问我的情形下,萧迅速将它译成英文,送给格里菲思。不久之后,陈先生也看见了。听说陈先生对这个草稿大不高兴,他和我的关系也从此走了下坡路。我一向抱着“自反而缩,虽千万人吾往矣”的原则做人,但情况比事实更糟糕,项、萧两人最初和我一同构思上书,此时却加油添醋,使陈先生更加愤怒,而责任却由我一力承担。此事在中国教育界酿成相当大的风波。国内一众学者为了平息陈先生的愤怒,请求我在第一次口试时,和格里菲思及戴维·本尼一同参加。我也不愿意过分激怒陈先生,同时我参加也表示美国数学学会没有全面控制中国大学生出国。所以我同意参加这一次的口试。回顾一下整个事件,不无讽刺地,这对我造成长久伤害的事件,竟源自我获得数学界至高无上的菲尔兹奖后一次酒后庆祝的交谈。

1982年我们在高研院讲课,现在到了圣迭戈便继续下去。在这课上讲述的是我们原创的工作,其中包含尚未发表的想法。有时我们工作过了午夜,为的就是准备次日的课。我们要找人好好做笔记,把课上的内容保存下来,以便最终整理成两本书:《微分几何讲义》和《调和映射讲义》,打算几年后出版。由于总希望帮助中国的学者来美国访问,让他们既能体验一下研究的气氛,同时又能挣点钱,我便向杨乐打听有无适当的人选。中科院有位姓许的研究人员毛遂自荐。为了这份差事,我付了超过一年的酬劳给他,后来才知犯了大错。许对数学虽然不算外行,却追不上我们的进度,很多时候听不明白,可他又不愿意向理察或我求教。有时,他会私底下问我的学生,但他们对他并不友好,或许觉得他年纪太大,又或许他们不愿花时间。最后,他整理出来的讲义全无价值,这对理察和我是一大打击。我们并没有把所有东西记下来,到了发现许的讲义不能用时,要重新再做一次为时已晚了。到了许要向中科院呈交进展报告时,事情变得更糟了。为了掩饰未能把工作做妥,他把报告变成对我的攻击,说我图谋反对陈先生,又说我想营结他所谓的“丘党”,专门和我的老师作对。其做法是如此拙劣,中科院的人都看出他无中生有。杨乐知道后非常意外,他把许的报告信件给我看了,并且对派遣他来一事道歉,不久许就回去了。

当时已是1985年的下半年,我正在哥伦比亚大学参加会议,和丹尼斯·沙利文在一起,沙利文是纽约城市大学的阿尔伯特·爱因斯坦讲座教授(迄今还是)。弗里德曼想知道自己会不会在明年拿到菲尔兹奖,他以为我们两人会知道,但事实上我们对此一无所知。情急之下,弗里德曼说他比我更值得拿菲尔兹奖,因为在解决庞加莱猜想时,他用了五个原创的想法,而我解卡拉比猜想时只用了一个。差不多一年之后,1986年8月,弗里德曼果真拿了菲尔兹奖,可说是实至名归。

田刚在2012年10月25日在石溪的一次讲话中宣布他可以证明我的猜想,却没有提到证明的内容,但是唐纳森等人也随即宣布了他们的工作,同时在2012年11月19日将他们第一篇文章放在网上。田刚在20日也赶紧将他的文章传上网。(但是在2013年1月28日,他又添加了十五页的修正。)专家一般都认为田刚还是没有完成他的证明,所以陈、唐纳森和孙把不忿公之于世,从“原创性、先后性和数学的正确性”三方面反驳田刚的宣称。田的讲话“欠缺详情”,并且指出,他们看不见“任何证据足以说明,田在石溪那次讲话时就具有完成整个证明的能力”。当时人们能看见在田的工作中,含有“严重的漏洞和错误”,而其后田所做的许多修改和添加,“重现了我们先前引入的想法和技巧,而这些想法和技巧都是早已公开的”。唐纳森才华横溢,声誉极隆,兼且是公认的谦谦君子。我不认为有任何人,包括田本人,能有力地反驳唐纳森等三人对他的指控。

1990年,由于发生车祸,我被卷进刑事案件(之后由法院判决无罪),居留权可能出现大问题。为了保护家人的安全,我决定加入美国籍,开始申请成为美国公民。……我作为无国籍者已过了颇长的时间,成了美国公民之后,国外旅行顿时变得很方便。但这种突然的身份变动,也令我难以释怀。我对出生地中国仍然怀着强烈的感情,身份上却无凭无证。我曾在1980年代考虑成为中国公民,并且向华罗庚的大弟子、当时的中国科学院学部委员陆启铿提到这个想法。他和有关部门讨论以后,托人向我解释,时机还未成熟。后来我在美国遇到一些困难,此事就没有再提起了。

我打电话给中国科学院的杨乐,他当时正在担任中国数学学会的会长,提议中国争取于1998年主办国际数学家大会。杨乐也觉得可取,稍后更跟我说,国内数学界和科学界的领导一致认同这项提议。事情出乎意料地顺利,但我知道必须得到陈先生的首肯。他开始时并不以为然,但郑绍远最后说服了他,他同意了。……过了几天,我和陈先生一起坐车去北京。我不是汲汲求进、努力钻营以求见国家领导的人,然而对这次会面非常期待。在这两小时的车程中,我要好好想想见面时要说什么。陈先生也有点儿紧张,但是当时他只关心南开数学所,对于中国主办国际数学家大会,他则有些事不关己。之所以如此,或因八十二岁高龄的他并不肯定到时是否还健在,但是他希望为南开数学所争取更多的经费。胡国定为他准备了很多资料,尤其是近几个月的领导人讲话。……原先计划北京申办1998年的数学家大会,但国际数学联合会把主办权给了柏林,于是我们便申办2002年的大会。然而情况最后还是变得复杂,以致九年后大会召开时,我竟然完全被排斥在外。……IMU决定由中国数学学会推荐八位中国数学家在大会上做报告。一如既往,我坚持挑选演讲者,必须以其新近工作为原则,但我的对头却要排除我对大会的影响。这时,大家都为成为演讲者而竞争,有的也想进入甄选委员会中。大家因应各种关系而非学术成就而定下人选,我没有被邀请发表任何意见。有些中国学者为了争取成为演讲者,四处拉拢具有影响力的人,投资不少,有如一场彩金很大的赌博。能在ICM讲话意味着实时的认同,还附上金钱和地位。所在单位会把你视为你领域中的主要人物,擢升自然而来,或许还带着某些奖项。一夜之间,你会成为一个杰出的、可以倚重的人物。中国数学学会把这八个名额确定后,才勉强地写信邀请我参加大会,信里还说这是求同存异的精神。他们认为如早些时候找我,我便会在人选上跟他们争吵。到了此刻,我对他们的办事手法已倒尽胃口,已经不想和这大会有任何瓜葛了。

张恭庆,一位来自北京大学深具影响力的数学家,也在仪式上讲了话。他带出来的讯息,就是他要不惜一切代价把【晨兴数学】中心搬到北大去。而从始至终,我们都希望新的中心建于中国科学院,那里才是中国数学的实力所在;而且,至少就我的品位而言,学术气氛也较浓厚。

建造商为了省钱,打算建蹲厕而非坐厕。到了最后,大部分洗手间都用了坐厕,但一楼的洗手间还是用了蹲厕,启宗、乐宗的母亲在大楼开幕典礼时不肯用这洗手间。在号称世界级的研究所,竟还有如此规划疏忽,自己也感到尴尬。

佩雷尔曼并没有把这些文章发表于学报。如果他真的这样做,学报的编辑恐怕会要求他在这里或那里写得详细些。我曾几次写信给他,邀请他把工作发表在《微分几何学报》上,这学报从1980年开始就由我主编,但他并没有回复。那就只能靠其他人在佩雷尔曼的论证中,正如《纽约时报》所谓,“把虚点连起来”,然后才能断定它是完整的,还是存在重要的破绽,最后评估它究竟证明了什么。我让理海大学的弟子曹怀东,和曾做我博士后的中山大学的朱熹平,一起仔细地把佩雷尔曼的文章梳理一次,再重新把证明写出来。曹怀东和朱熹平二人堪当此任,他们从1990年代起便研究里奇流,累积了大量的经验,比大部分其他人都适合。克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)是个非营利的基金会,会址与哈佛差不多是一街之隔。他们也出资请了两组数学家去检验佩雷尔曼的证明。他们是布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleiner)和约翰·洛特(John Lott),以及约翰·摩根(John Morgan)和田刚。……由于庞加莱猜想可说是数学的里程碑,我当然希望审视证明的人愈多愈好。但作为一个“传统的人”,我认为作者应负最大的责任,而不是把责任推到别人身上。数学家不只有责任向别人清楚解释自己的工作,同时本人也得弄明白,因为只有把证明通通付诸笔墨,每一步都写出来,才能够肯定其对错。……我邀请了朱熹平于2005—2006学年到哈佛访问。他每周讲几个小时,一连讲了半年,把他和曹怀东的文章从头到尾讲了一次。2005年12月,他们两人把三百多页的论文投到我编辑的《亚洲数学学报》,说明会给出“汉密尔顿和佩雷尔曼有关庞加莱猜想完整证明的详细导引”。这篇论文发表于2006年6月,里面给出了不少佩雷尔曼短文中没有的细节。在此一个月前,克莱纳和洛特发表了《佩雷尔曼文章的注记》,而一个月后,摩根和田刚的文章《里奇流和庞加莱猜想》也上线了。曹、朱的论文发表后,我受到猛烈的抨击。人们说文章投稿后六个月便刊登,时间太短,根本不够时间审稿。事实上,我早已有考虑。首先,出版界会将重要的文章及时发表,这是向来的做法。而且,我也问过几位几何流的专家,包括汉密尔顿和佩雷尔曼,邀请他们审稿,而他们都回绝了,不得已之下我才自己当了审稿人。事实上,除了上述两位外,我在这方面的认识比很多人深刻。而且我在哈佛听了朱熹平的讲课超过60小时,又细心看过文稿,并没有发现任何修补不了的问题,我把推荐发表的意见告知其他编委。我没有发现什么明显的错处,但也不能保证它百分百正确,事实上哪个人能保证?你只能说,经过详尽审视后,就我所知,此文正确。……曹、朱的论文开始后不久,有若干页重复了克莱纳—洛特的论证而没有标注,这是不幸的错误。他们解释说是因为在一整年的工作中,笔记当中有一项具体的证明,即有限的距离意味着有限的曲率,其实来自克莱纳—洛特的文稿。这个疏忽虽不经意,却引发很大的尴尬。作为学报的编辑,这些过失也受到非议。几个月后,学报刊登了曹、朱的道歉,正式鸣谢克莱纳和洛特的工作。……问题是,里奇流的专家并不多,佩雷尔曼的证明结尾处最为晦涩,至今我尚未碰见过一个专家说完全了解。……据我所知,没有人利用佩雷尔曼在文章后半部引入的技巧,成功地解决过其他有意思的题目。这事实意味着其他数学学者并不完全掌握这工作,以及其中的方法。

著名数学家芒福德在1996年到布朗大学去了,原因是他想要多做点应用的东西,但在哈佛得不到支持。

1991年,项武义宣称他证明了具有380年历史,由天文学家约翰尼斯·开普勒提出的开普勒猜想。他又说为了破解它,特意发展了许多球面几何的新工具。他的论文《球堆积问题和开普勒猜想的证明》发表于1993年10月的《国际数学学报》。这本杂志在数学界并不起眼,但是陈先生认为这件工作令项武义当【台湾中研院】院士实至名归,他热情地在院士的聚会中推荐项武义,项武忠也为弟弟的当选造势。三个这方面的权威,普林斯顿的约翰·康威(John Conway),时在密歇根大学的托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)和时在AT&T和山农实验室的尼尔·斯隆(Neil Sloane)都认为项武义的证明无效,根据康威和黑尔斯所言,里面包含“严重的错误”,或如斯隆所言,含有“重要的漏洞”。杨忠道教授指出他本人也研究过这个问题,项的想法并无新意,匈牙利的数学家早就尝试过,而且项的文章错误百出。听了这些专家的意见后,其他的院士都说难以用这件工作来支持他成为院士。投票后,项武义落选了。一个多月后,我在香港中文大学访问。杨振宁先生把我召到他的办公室,他说:“你得罪了你的老师。”我的意见逆了陈先生的意愿。我回答说我一直闭口不言,直至别人问我才开口,而且也是清心直说,并无虚言啊。“你只需要说证明是对的便好了!”听他说完后,我只有无言地离开了他的办公室。

在美国的学术界,绝大部分年纪老迈的学者都不再企图去影响年轻人的学术方向,但在国内,“愈老愈强”似乎是正道。

清朝的时候,大概是从1600—1900年,学者很少研究数学,反而把精力专注于数学史上。研究数学史当然很有价值,你可以知道前人(对我来说,如高斯、黎曼等几何学家)的工作,这是十分有用的。很多美国人不喜欢回头看,有时花了很长时间在某个问题上,当我告诉他们问题是从何处和从何人来的,他们会觉得很惊讶。

百年未解的谜题:庞加莱猜想

《三联生活周刊》2006年8月17日《百年未解的谜题:庞加莱猜想》

十几年来,没有哪一届国际数学家大会,能像8月22日将在西班牙马德里召开的2006年国际数学家大会(ICM2006)这样引人注目。

早在几个月前,ICM2006的网站上,就贴出了这样的消息:“一个有100年历史的数学难题的证明,将在本届大会上宣布。”尽管做出欲说还休的姿态,但看一眼会议的日程表——8月22日17:15至18:15,里查德·汉密尔顿(Richard Hamilton),题目:庞加莱猜想。答案,已经无需再言。

一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想,就是其中的一个。

1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后,庞加莱一度认为,自己已经证明了它。但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来。于是,拓扑学家们开始了证明它的努力。

20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然,英国数学家怀特黑德(Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是,在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特黑德流形。

50年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”(Papa)。在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn’s Lemma)而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言。

这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究,虽然没能产生他们所期待的结果,但是,却因此发展出了低维拓扑学这门学科。

一次又一次尝试的失败,使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而,因为它是几何拓扑研究的基础,数学家们又不能将其撂在一旁。这时,事情出现了转机。

1966年菲尔茨奖得主斯梅尔(Smale),在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决,高维的会不会容易些呢?1960年到1961年,在里约热内卢的海滨,经常可以看到一个人,手持草稿纸和铅笔,对着大海思考。他,就是斯梅尔。1961年的夏天,在基辅的非线性振动会议上,斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明,立时引起轰动。

10多年之后的1983年,美国数学家福里德曼(Freedman)将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上,他证出了四维空间中的庞加莱猜想,并因此获得菲尔茨奖。但是,再向前推进的工作,又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展,有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿(Thruston)就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,并因此获得了1983年的菲尔茨奖。

然而,庞加莱猜想,依然没有得到证明。

人们在期待一个新的工具的出现。

“就像费马大定理,当谷山志村猜想被证明后,尽管人们还看不到具体的前景,但所有的人心中都有数了。因为,一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。

可是,解决庞加莱猜想的工具在哪里?

工具有了

里查德·汉密尔顿,生于1943年,比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候,丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”,但提起他的数学成就,却只有称赞和惺惺相惜。

1972年,丘成桐和李伟光合作,发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想,并因此获得菲尔茨奖。1979年,在康奈尔大学的一个讨论班上,当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候,汉密尔顿刚刚在做Ricci流,别人都不晓得,跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到,1980年,他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说,“于是,我跟他讲,可以用这个结果来证明庞加莱猜想,以及三维空间的大问题。”

Ricci流,以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术,构造几何结构,把不规则的流形变成规则的流形,从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后,丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中,就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。

第一次见到曹怀东,是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间,几乎所有的媒体都在找曹怀东,但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他,在会场里走了好几圈,居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家,依然是远离公众视线的象牙塔中人,即使是名动天下如威滕(Witten),坐在后排,俨然也是大隐隐于市的模样。

1982年,曹怀东考取丘成桐的博士。1984年,当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时,曹怀东也跟了过来。但是,他的绝大多数时间,是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时,丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的,是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为个性和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,今天关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?

在使用Ricci流进行空间变换时,到后来,总会出现无法控制走向的点。这些点,叫做奇点。如何掌握它们的动向,是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后,1993年,汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时,丘成桐隐隐感觉到,解决庞加莱猜想的那一刻,就要到来了。

1995年,丘成桐来到北京。这次,跟他一起来的,还有汉密尔顿。做演讲的时候,丘成桐提出了口号,向汉密尔顿学习。随后,又在新建的晨兴数学中心,开设了关于Ricci流的讨论班。当时在中山大学的朱熹平,便在这段时间跟了上来。

朱熹平最早的研究方向,是与Ricci流关系并不大的偏微分方程。但是,遇到丘成桐后,他开始转型。“那段时间很痛苦的,几乎没什么文章出来。”朱熹平说,“幸好中山大学的制度,工资高,收入只有很少一部分与课题基金和论文挂钩,这才坚持下来。”在报章一度的渲染中,专心研究Ricci流和三维庞加莱猜想的朱熹平,被描述为几年没有论文发表。问及此事,朱熹平哈哈一笑:“我有那么差吗?”事实上,在很短的时间内,他就完成了转型,而且在《数学发明》等著名数学专业杂志上,也先后发表过多篇文章。

汉密尔顿提出的Ricci流,实际上可以分为两类。一种是在实流形上作的实Ricci流,它与三维庞加莱猜想的证明密切相关,另一种是在复流形上作的复Ricci流,它有很多重要的应用,但与庞加莱猜想无关。最早跟随汉密尔顿进行Ricci流研究的曹怀东,主要的方向,其实是复Ricci流。丘成桐的其他一些弟子也不例外。直到后期,部分人才开始转到实Ricci流的方向。后转型的朱熹平,因为用功、投入和耐心,没过多久,就成为国内做实Ricci流最出色的数学家,而他的实干与低调,也赢得了丘成桐格外的青睐。

然而,尽管曹怀东、朱熹平以及朱的学生陈兵龙在Ricci流的研究上取得了很多进展,但是,无论是汉密尔顿还是他们,几经周折,都没能找出解决奇点的好办法。随着拓扑手术次数的增加,奇点也会递增,最终失去控制。几年的时间里,在这个最关键的问题上,研究几乎停滞了。

就在关于Ricci流的工作陷入山重水复疑无路的情形持续了几年之后,远在圣彼得堡的一位特立独行的大胡子数学家,却在几乎不为外界所知的半隐居中,找到了解决问题的柳暗花明又一村。

格里沙!

2002年11月12日,当时在麻省理工学院数学系任教授的田刚在信箱中看到一封显示发件人为“格利高里·佩雷尔曼”(Grigori Perelman)的邮件。

标题:新的预印本
亲爱的田,
可否请你关注我发表在arXiv数学网站上的论文,DG 0211159。
摘要:我们提出了一个Ricci流的单调式,在所有的维度中成立且无需曲率假设……我们还验证了与理查德·汉密尔顿关于瑟斯顿封闭三维流形几何化猜想证明的纲领相关的一些假设,使用先前关于局部曲率下界的塌陷结果,给出了对这一猜想的证明概要。
格里沙·佩雷尔曼

三天之后的晚上,田刚写下了这封回信。

标题:回复:新的预印本

亲爱的格里沙,我正在阅读你的论文。很有意思。你是否愿意访问MIT并就这一工作做几个演讲?
田刚

佩雷尔曼的全名,是格利高里·雅科夫列维奇·佩雷尔曼,但熟悉的人,通常都叫他格里沙。生于1966年的佩雷尔曼,中学时就读的是著名的圣彼得堡第239中,这所学校,一向以高等数学和物理教学闻名。1982年,作为一名高中学生,佩雷尔曼参加了国际数学奥林匹克竞赛,并以满分的成绩获得金牌。此后,他在圣彼得堡大学获得了博士学位,接着在斯特科洛夫研究所(Steklov Institute of Mathematics)谋得职位。1992年秋天,佩雷尔曼前往美国纽约大学库朗研究所访问,随后,又于1993年春天,到了纽约州立大学的石溪分校。就是在这期间,当时就职于库朗研究所的田刚认识了佩雷尔曼。

田刚回忆道,那时候,佩雷尔曼的研究方向,并不是几何分析和Ricci流,而是度量几何。“他的思路很敏捷,做东西技术性和技巧性很强,而且很严谨。”1994年,在加州大学伯克利分校任职米勒访问学者(Miller Fellow)时,佩雷尔曼证明了著名的灵魂猜测(Soul Conjecture),为他赢得了国际声誉。此外,他还曾被邀请在国际数学家大会上做报告。大约在1994年左右,汉密尔顿到库朗研究所作了一个关于Ricci流的报告,佩雷尔曼也是听众之一。“让大家都有点惊讶的是,他居然提了一个关于奇点的问题”——如何解决手术过程中产生的奇点,正是证明庞加莱猜想中的关键一步——“现在看来,那个时候,佩雷尔曼就应该已经对解决庞加莱猜想产生了兴趣。”田刚说。

在米勒访问学者期满后,佩雷尔曼回到圣彼得堡,继续“安静地”任职于斯特科洛夫研究所。有一次,田刚遇到一位当时曾与佩雷尔曼共事的数学家,向他打听佩雷尔曼的近况。得到的消息是,佩雷尔曼几乎已经离群索居,没人知道他在做些什么。然后,就到了2002年11月。就像阿拉丁神灯中的神仙一样,佩雷尔曼现身了,而且,带着有可能是正确的庞加莱猜想的证明论文。

佩雷尔曼的第一篇论文,发表在arXiv网站上。这是一个著名的学术论文网站,最开始的用户多为物理学家,随后,数学家们也纷纷在上面发表自己的论文预印本,以供同行参照评议。不过,通常而言,发表在arXiv网站上的文章不被认为是正式发表的学术论文。

建立一个关键的椭圆形估计,应用粗细分解,来给出瑟斯顿几何化猜测的证明,这被认为是佩雷尔曼的“神来之笔”。在随后发表于网上的第二篇论文中,佩雷尔曼给出了更多的证明细节。看过论文的田刚,益发认识到这项工作的重要性。而“几乎是幸运的”,2002年12月3日,佩雷尔曼给田刚回了信,表示愿意到麻省理工学院演讲。

在一般的描述中,佩雷尔曼是一个怪人:胡子头发都很长,不修边幅,衣服经常很久不洗。今年40岁的他,至今单身,与母亲生活在一起。因为父亲去世早,佩雷尔曼事母至孝,又一种说法是,当时他在美国,曾经有很多学校邀请他任教,但佩雷尔曼坚持回国,原因就是牵挂母亲。2003年访问麻省理工学院时,他的条件之一,就是要携母同行。

不过,在田刚的眼中,佩雷尔曼的“怪”,只是远离物质化和名利世界的一种表现。在讨论学术问题时,他和最严谨的数学家一样,愿意就每一个细节认真地回答。2003年的4月7日、9日和11日,佩雷尔曼在麻省理工学院作了3个演讲,除此以外,在两周的访问时间里,他还作了一系列报告,时间超过20个小时,非常仔细地回答每一个问题。这时候,庞加莱猜想被证明的消息,开始流传出去,《纽约时报》和“数学世界”(MathWorld)网站都刊登了相应的消息。

然而,就是在麻省理工学院的讲座后,有数学家表示,佩雷尔曼的文章存在“gaps”(漏洞),无法读通。就在所有人都期待佩雷尔曼就此作出解释,补全文章的细节之时,佩雷尔曼却不置一词,翩如惊龙,自此隐居不出。两篇文章放在网上,3年多来,没有显示任何准备交由学术杂志发表的迹象。这给曾规定,必须在学术刊物上发表论文才有资格被颁给千年数学问题奖金的克雷数学研究所,出了个不大不小的难题。在接受本刊记者采访时,克雷所所长卡尔森表示,不排除为此修改规定的可能。

可是,佩雷尔曼会接受这笔奖金吗?最近的消息,是他因为不愿参与江湖中的名利之争,已经从斯特科洛夫研究所辞职,靠着10年前在美国访问时的积蓄维生,躲起来思考另一个大问题。因为佩雷尔曼曾经拒绝领取欧洲数学会颁发的一个奖项,很多人怀疑,菲尔茨奖和克雷所的百万悬赏,都未必能打动这个世外高人的心。

三驾马车

如果把庞加莱猜想比作一局棋,在汉密尔顿和佩雷尔曼下完最关键的几步后,余下的,已经是收官的工作。

不能说这个工作不重要。“高手或许一步可以看到7步后的变化,棋艺稍逊的人或许只能看到2步,剩下的5步,就是gaps。”普林斯顿大学数学系的一位教授说,“只有完完整整把每一步的走法写下来,才能算是一个完整的证明。”

而在丘成桐看来,需要做的工作,可能比补上缺失的几步还要多。“一篇论文,从2002年放到现在,3年半的时间,为什么一直没有人站出来说看得懂?关键是其中还有很多问题没有解决。”他认为的关键问题,是几何化猜想,而天降大任于斯人的对象,就是朱熹平和曹怀东。

2005年5月中旬,为了纪念一年前刚刚去世的陈省身先生,丘成桐在哈佛大学组织了一个微分几何的研讨会。朱熹平也被邀请参加这个会议。会议间隙,丘成桐问朱熹平:“做得怎么样了?”

“基本上完成了,可是要到暑假的时候才能全部写出来。”

丘成桐当即决定:“你来哈佛,专门讲这个问题。”经哈佛数学系教授表决同意,这一年9月,朱熹平来到了哈佛,向这一领域的专家讲解他和曹怀东的证明论文。每周讲3个小时,一共讲了70多个小时,这些内容与曹怀东的研究结果汇集整理之后,就是后来发表在《亚洲数学杂志》上的328页的《庞加莱猜想和几何化猜想的完全证明——汉密尔顿-佩雷尔曼Ricci流理论的应用》(A Complete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow)。

《亚洲数学杂志》是丘成桐主编的一本相对比较年轻的杂志。与公认排名前四的《美国数学年刊》、德国的《数学发明》、《美国数学会杂志》和瑞典的《数学学报》相比,分量上的确稍显不足。而且,《亚洲数学杂志》的两名编委,斯瑞尼瓦斯(Srinivas)和普拉萨德(Prasad)在论文发表后写给编委会的邮件中也指出过一些问题:比如,最终发表论文的题目与最初征询编委同意时的题目不一致;直到杂志出版后近半个月的6月13日,杂志全文仍无法下载,与以往惯例不符;论文的审稿没有遵循复杂的程序,留给编委评论的时间也只有3天。之所以会存在这些问题,丘成桐的解释是——“竞争”。虽然在程序上或有可商榷之处,但丘成桐敢于用自己的学术声誉为朱熹平和曹怀东的工作担保:“完完整整,每一步写得清清楚楚,第一次给出了全部的证明,可以用来做教科书。”在接受《科学时报》记者采访时,丘成桐说。而汉密尔顿,则给出了如下的评价:“曹怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上,给出了关于庞加莱猜想证明的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章。他们引入了自己的新思想,使得证明变得更容易理解。”

的确,竞争是激烈的。就在《亚洲数学杂志》6月号出版前的5月25日,密歇根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott),把名为“佩雷尔曼论文注记”(Notes on Perelman’s Papers)的192页文章放到了arXiv网站上。这是对他们2004年关于佩雷尔曼部分工作的注记的修改和补充。

比这再早一些时间,2004年9月,田刚和哥伦比亚大学的拓扑学家约翰·摩根(John Morgan)决定合作,在田刚之前给学生开讨论班研读佩雷尔曼论文时留下的笔记的基础上,撰写一部关于庞加莱猜想的书。这部书稿,得到了克雷数学研究所的著述专项资助(Book Fellow)。2006年5月,摩根和田刚合作完成的书稿提交给了克雷数学研究所,并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上。而此时,国际数学家大会已确定,将由摩根在8月24日作一个关于庞加莱猜想的公众报告。

3个小组,3驾马车,彼此的差异在哪里?在接受本刊记者采访时,摩根说:“2004年8、9月间,我和克莱纳、洛特以及田刚和其他一些人共同参加了一次学术会议。我们研读了佩雷尔曼的第二篇文章。这之后,我认为,我们彼此都觉得佩雷尔曼了解问题所在。我和田刚对庞加莱猜想感兴趣,并且给出了我们认为的完整的证明,而克莱纳和洛特、曹怀东和朱熹平的文章,关心的是整个几何化猜想的问题,并把问题的范围缩小到Shioya-Yamaguchi的工作的范围内。而这项工作,反过来要借助佩雷尔曼自1990年以来未发表的文章。我的感觉是,在最后几步中所引用的数据,可能需要进行更彻底细致的检查。”不过,在克雷研究所所长卡尔森的眼中,事情,也许并没有那么复杂。“克莱纳和洛特,曹怀东和朱熹平,摩根和田刚,3个小组中的每一个都对检验佩雷尔曼的工作做出了重要的贡献。能够有3个独立的数学家小组来做这件事,当然比只有一个小组要好得多了。”

而且,所有的竞争,仿佛只是让佩雷尔曼最终获得菲尔茨奖的成算,变得更大。

如果一切如普遍的预料,那么,在数学论文日益冗长繁复的今日,佩雷尔曼将创下一个新的纪录:可能为他赢来数学家最高荣誉的两篇网上论文,分别只有22页和39页。

“大张旗鼓地面对一个众人皆知的难题,将会冒很大的风险。”1982年的菲尔茨奖得主阿兰·孔曾经在一篇论文的序言中如此写道,“以后人们记住他的将是他的失败,而不是别的。随着年龄的增大,我认识到‘安全地’到达生命的终点是一种很好的自我保护的选择。”对于在过去20年的时间里一直致力于攀登数学世界里的珠穆朗玛峰——黎曼猜想——的阿兰·孔来说,这段话,更像是一段幽默的自嘲。庞加莱猜想的故事,也许会在几个星期、几个月或者几年内迎来一个圆满的——或许也是出人意料的——结局,但它所开拓的疆域,和数学世界广袤无垠充满挑战与乐趣的地平线,还将无穷无尽的向远方延伸。

故事,永远在继续……-

忆皖雄同学

作者:郑方阳,重庆师范大学数学科学学院教授。

第一次见到皖雄是 1982 年的秋天,在北京的中国科学院研究生院。这一年数学所招了 18 名硕士生,其中 5 人来自于科大 78 级,包括皖雄和江明昌,王建荣,苏宇,耿晓。当时科大的同学普遍有“年龄小、基础好”的特点,皖雄入学时还不满 19 岁。第一年住在玉泉,除英语按程度分班之外,基本上修同样的课,第二年开始搬回中关村数学所背后的小楼,大家按各自选择的方向分到不同的教研室。数学所因为华老的缘故,当时数论和函数论是最热门的选择。成绩突出的皖雄和管鹏飞去了函数论组,跟陆啓铿,钟家庆等老师学习多复变。我和吴宏友去了几何组,和上一届的游志平,李明一起在王启明、虞言林老师的指导下学习微分几何。

在中科院两年的同学生涯里,皖雄留给我的印象,一是成绩好,我们当时的学号是按招生考试的成绩来排序的,皖雄的学号我记得不是第一就是第二。科大同学基础很扎实,像代数拓扑、多复变之类的高年级课程,除科大北大等少数院校之外,我们其它学校来的同学大都没有接触过。当时大家的学习积极性都很高,同学们互相切磋互相帮助,印象里每次有同学向皖雄请教问题时他都十分乐于助人,分享他的知识和经验。对皖雄的印象之二是他的性格很温和,很安静,从没见到过他与人争辩或红脸。之三是他对象棋的着迷,当时班上同学中好像没有对手,因此他经常一个人自己研究棋谱,自己跟自己下。皖雄的另一个爱好是古典文学,记得他当时跟我们讲起《水浒》里的情节,连半文半白的台词都一字不差,给我留下很深的印象。

我于 1984 年秋来到加州大学圣迭戈分校,跟随丘先生学习,第二年春皖雄也来了,我们成了同门师兄弟。丘先生在圣迭戈带了一大批中国学生,开启了大规模为祖国培养人才的模式。当时我们同门同学中有清华的曹怀东,王文祥,北大的田刚,复旦的李骏,董瑞涛,杭大的季理真,科学院的皖雄,肖兵等十余个学生,搞得系里有美国研究生酸味十足地问:你们讨论班是用普通话还是广东话?当时的圣迭戈,教授中有丘先生,Rick Schoen, Richard Hamilton, Mike Freedman 等大师,更有一大批前来短期访问的几何和拓扑学家,可以说是世界几何学界的热点和中心之一。中国同学中除了丘先生的学生,还有跟其他老师的林晓松,罗锋,贺正需,张东,白重恩等等,非常热闹。1987 年,丘先生调工作,我们又跟随他转学去了哈佛。记得田刚是 88 年毕业,李骏和我是 89 年,皖雄是 90 年。因此在波士顿我们又同学了两年。现在回想起来,在人生最美好的年龄段,我和皖雄同学了 6 年,的确是缘分使然。

1982 年,Hamilton 运用热方程的思想,开创了黎曼流形上 Ricci 流的研究,证明了紧流形上短时间解的存在性,并以此为工具,证明了任何具正 Ricci 曲率的三维单连通紧黎曼流形必微分同胚于三维球面。丘先生以其天才般的几何直观,一直向我们强调 Ricci 流的重要潜力,并建议他的学生曹怀东,周培能,施皖雄等人专攻 Ricci 流,他们成为了继 Hamilton 之后研究 Ricci 流的主力军。

皖雄的一项重要贡献是将 Ricci 流的研究发展到了非紧完备流形上,他在曲率有界的条件下,证明了短时间解的存在性。从紧到非紧,技术上的难度是巨大的,需要高超的技巧以及非凡的定力。皖雄的超级淡定的性格和一丝不苟的作风使得他特别适合这项挑战。同学们大家都知道,皖雄平时的草稿纸都打得比我们多数人的笔记还要工整。他的办公桌上,看过的报纸都整整齐齐地码放好。记得有一次,当皖雄得到了主要的估计式后在讨论班上报告时,他在黑板上写下了长长的公式,足足有二十多项,然后在大家的惊异中说道,这些都是“好项”,另外还有十余个“坏项”需要一一处理。这次讨论班给我留下了极深的印象。据皖雄自己说,当年 Huisken 来访问丘先生并报告他关于平均曲率流的著名结果时,其完全不怕麻烦的精益求精的作风使皖雄很受震撼。丘先生对自己的学生向来期望值较高,不轻易表扬,但对皖雄的工作给予了很高的评价。2003 年,俄国数学家 Perelman 运用 Ricci 流的方法解决了著名的 Poincaré 猜想,其中皖雄的工作也起到了奠基性的作用。

皖雄是纯粹的数学家,对数学研究充满挚爱,教学等工作也十分认真敬业,除此之外,淡泊名利,无欲无求。记得在圣迭戈时,我们都对开车很有兴趣,圣迭戈公共交通的缺乏也使得开车成为出行的必须。但皖雄为了省时间,拒绝学车。平时去中国店买菜,也只是请同学们带面条,酱油等少数必需品,生活上做到了极简。不过同学们互相之间都很关心,田刚和曹怀东年长我们几岁,怕皖雄的饮食过于单调缺乏营养,常常给他带些蔬菜。我印象最深的是,在圣迭戈和波士顿,每次同学们组织派对,都要邀请皖雄,经常是由董瑞涛或我出面,因为我和皖雄是数学所的同学,而董瑞涛本科是科大,与皖雄同学。派对上因为皖雄好静的性格,大家怕他落单,通常都是由李骏和他下象棋,因为其他人的棋艺完全跟不上。李骏是急性子,遇上了长考派的皖雄,只能站起来走来走去,像极了一只来回踱步的老虎。

皖雄毕业后去了普渡,那里地处美国中西部,人烟稀少,中国人尤其少。我后来想,骤然离开了热闹的师门,多半让皖雄在心理上感觉到了孤独,不过我们当时都没有意识到这一点。皖雄从 97 年前后开始了隐居,失联了好一段时间。后来他科大的同学在华盛顿特区找到了他,大家才又重新得知了他的下落。今年国庆节,骤闻皖雄过世的噩耗,十分意外,因为他还这么年轻而且身体向来健康。历史上数学家们大多长寿,但也不乏英年早逝者,可能是要看上天安排他们来的事情做完了没有。皖雄的研究成果,因其在庞加莱/几何化猜想和丘成桐单值化猜想中所起到的重要作用,在数学史上留下了痕迹,这是他最在意的事,也是他毕生的追求。


同学:郑方阳
二零二一年十月二日于重庆

悼念我的学生施皖雄 — 丘成桐

十月一日那天,胡森打电话给我,说施皖雄早上八时去世了。听到这个消息,心中感到莫名的悲恸。

我自七十年代出道,以几何分析为世所知。我和学生 Richard Schoen 以及众多朋友花了十年工夫,完成了现代几何分析的奠基工作。可惜我的中国学生在分析方面的成就,比不上我早期的美国和澳大利亚的学生,只有施皖雄和王慕道是例外。但他们都受到同门的排挤,尤其以施皖雄为最,半生潦倒,才不得展,郁郁而终。

记得友人 Richard Hamilton 1978 秋天在康乃尔大学和我讨论,学习调和映射理论中 J. Eells 和 J.H. Sampson 的工作,并在度量空间寻找类似的几何流。不久,里奇流的概念就诞生了。由于当时没有适当的估值方法,没有办法再进一步。

1982 年,Hamilton 打电话到普林斯敦研究所,告诉我他的最新结果。对于里奇曲率为正的情况,他找到了完美的估值。我大吃一惊,立刻邀请他来普林斯敦,详细解释他漂亮的工作。我当时有六个硏究生,我即时让其中三人做有关里奇流的工作。他们分别是曹怀东、板东重稔(日本人)和 Bennett Chow。前两位的论文是 Kähler 流形里的里奇流。板东做的刚性定理,以后被莫毅明推广。曹怀东做的 Kähler 里奇流,原意是给出我和萧荫堂证明的 Frankel 猜想的另一证明。曹怀东没有完成这个使命,但却证明了 Kähler 里奇流的整体存在性,后人都需要用到这个理论。至于重证 Frankel 猜想,直到如今,里奇流还没有给出完美的成果,尽管田刚多次在一些假设上来完成这个工作(假如我们同意 Frankel 猜想成立的话,这些假设是成立的。)

1984 年,我离开普林斯敦,到加州大学圣地牙哥分校任教。次年即有十五名中国学生来当我的博士生,施皖雄是其中一位。他本来是中国科学院钟家庆的硕士生。他的分析能力比较其他中国学生强,所以我给他博士论文的题目是硏究非紧空间上的里奇流。我还记得,1986 年秋天我带着大伙去访问 Texas Austin。我让田刚学习在物理系的友人 Philip Candelas 的工作。他倒是勤奋去读了 Candelas 还没有发表的文章,得到不少好处。至于施皖雄,我们开了很多讨论班,连星期六和星期日都在硏究估值问题。他虽然是刚开始学习,但是学问突飞猛进。不久,我的朋友都留意到我这个学生了。

施皖雄(前排右)与导师钟家庆(前排中)

1987 年,我决定接受哈佛大学的聘书,由加州迁到波士顿。根据和哈佛大学的合约,我可以带领四名圣地牙哥的学生到哈佛去。我挑选了李骏、施皖雄、田刚和郑方阳。施皖雄 1990 年得到博士学位,论文极为出色,行内众口争传,深得 Hamilton 的喜爱。很多名校都争取他去,Berkeley 的伍鸿熙教授曾多次打电话来,问施皖雄可否去 Berkeley。结果发现施皖雄在没有征询我的意见前,自己决定不去名校。但他申请了加州大学圣地牙哥分校,Hamilton 在那里当教授,又特别了解他的工作,圣地牙哥破例聘请一个刚毕业的学生做 tenure track 的助理教授。直到今天,该校数学系的助理教授都能升等为长聘教授。施皖雄也申请了普渡大学,那里的莫宗坚是研究代数的,我也认识,不知道他用什么甜言蜜语,说服了施放弃了圣地牙哥而选择普渡。

Hamilton 完成正里奇曲率的里奇流后,我建议他用里奇流来破解庞卡莱猜想,其中关键在于控制里奇流中可能出现的奇点。我建议他把我和 Peter Li 的有关工作推广到里奇流上去。这项工作极为复杂,没有想到他居然完成了。

Hamilton 的工作在迈进。1995 年,我在哈佛数学系作报告,指出里奇流将要在不久的将来,解决由 Thurston 提出的有关三维空间几何分类的猜想,同时也解决庞卡莱猜想。我提议邀请 Hamilton 来哈佛访问一年,解释里奇流的重大进展,大学同意了。翌年,Hamilton 来了。在他访问期间,给了很多精采的讲演。由于哈佛大学一般不聘请年纪超过五十岁的教授,我企图说服 MIT 数学系去聘请 Hamilton,可惜还是不行。Daniel Stroock 告诉我的内幕消息是,田刚虽然到 MIT 不久,但要表示他的权威性,他做了一个介绍,说 Hamilton 只懂得一个方程,前途不大,不值得聘请云云。
 
偏偏这时,普渡大学正在考虑施皖雄的终身教职, 而普渡大学不容许自己的导师写介绍信,当时全球做 Kähler 流形的几何分析的学者不会超过五个人,田刚是其中一个。田刚这样的看法,做成了普渡大学不可逆转的裁决。Hamilton 的介绍信一般很晚才寄出,据他说他将普渡大学臭骂了一顿,但是无济于事。当年游说施皖雄应聘的莫宗坚也没有说出一句挽救的话。其实当时施皖雄已完成了几篇极有分量的论文,比同系研究几何的同事的工作来得重要。无论如何,普渡大学没有充分的理由不给予施皖雄终身职位。
 
华人学者在美国的互动,由此可见一斑。此后施皖雄拒绝了其他地方的聘书。而讽刺的是,当年瞧不起里奇流的人,在 Perelman 的工作出来以后,却摇身一变,成为里奇流的专家了。
 
今天,天妒英才,皖雄不幸去世了。我记下这段历史,好让大家知道皖雄的学问是一流的。他在里奇流的工作,比这几年来个别哗众取宠的做里奇流的中国学者来得重要。

现在挑选施皖雄几篇论文如后,可以注意的是:微分几何杂志(Journal of Differential Geometry,JDG)是几何文章最重要的杂志,发表过名家如 Freedman,Donaldson,Witten 等人的成名作。在 1997 年,就是施皖雄离开普渡大学那一年,微分几何杂志发表了施皖雄一篇长达一百多页的长文 [8],假如这篇文章不是特别重要,微分几何杂志是不会发表这样长的文章的。这件事可以作为一个客观的判断:施皖雄是一个杰出的几何学家,在几何流这门学问上会受到数学历史的尊重,排挤他的同行们的工作远逊于他,他受到不公平的待遇,但是几何分析的历史会记得他的工作。


—— 丘成桐

2021.10.03

施皖雄发表的论文

[1] Wan-Xiong Shi, Complete noncompact three-manifolds with nonnegative Ricci curvature, Journal of Differential Geometry 29 (1989), no.2, 353–360.

[2] Wan-Xiong Shi, Deforming the metric on complete Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 30 (1989), no.1, 223–301.

[3] Wan-Xiong Shi, Ricci deformation of the metric on complete noncompact Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 30 (1989), no.2, 303–394.

[4] Wan-Xiong Shi, Ricci deformation of the metric on complete noncompact Kähler manifolds, Ph.D. Thesis, Harvard University (1990).

[5] Wan-Xiong Shi, Complete noncompact Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, Bulletin of the American Mathematical Society 23 (1990), 437-440.

[6] Wan-Xiong Shi and S.-T. Yau, Harmonic maps on complete noncompact Riemannian manifolds, in: A Tribute to Ilya Bakelman (College Station, TX, 1993), pp.79–120, Discourses Math. Appl., No.3, Texas A & M Univ., College Station, TX, (1994).

[7] Wan-Xiong Shi and S.-T. Yau, A note on the total curvature of a Kähler manifold, Mathematical Research Letters 3 (1996), 123–132.

[8] Wan-Xiong Shi, Ricci flow and the uniformization on complete noncompact Kähler manifolds, Journal of Differential Geometry 45 (1997), no.1, 94–220.

[9] Wan-Xiong Shi, A uniformization theorem for complete Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, The Journal of Geometric Analysis 8 (1998), 117–142.


相关背景:

施皖雄博士2021年9月30日逝于美国华盛顿特区去世,享年58岁。施皖雄是中国科学技术大学数学系781校友、哈佛大学博士。这位英年早逝的数学英才为Ricci流解决庞加莱猜测和几何化猜测做出了基础性贡献。

《三联生活周刊》2006年8月17日《百年未解的谜题:庞加莱猜想》

丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的,是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为…和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,今天关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?

汉密尔顿信件对施皖雄评价

丘还有一些跟随他从普林斯顿到圣地亚哥分校的非常杰出的学生,特别是曹怀东,周培能和施皖雄三人。丘成桐鼓励他们研究瑞奇流,他们对这个领域也作出了非常重要的贡献。…施皖雄开创了完整非紧流形上瑞奇流的研究,在许多漂亮的论证基础上他证明了瑞奇流的局部微商估计。奇异点的放大通常会产生非紧致解,证明放大极限的收敛性总是要依赖于施皖雄的微商估计,所以施皖雄的工作是佩雷尔曼和我使用的所有极限论证方法的关键。

汉密尔顿致丘成桐代理律师的信(转载于中国科学院官网,2006.9.30)

光明日报(2006.6.21)《所有中国人都应为他们感到骄傲》

汉密尔顿高度评价了陈省身、丘成桐、施皖雄等中国数学家的贡献,他说:“所有中国人都应该为中国数学家在微分几何领域所取得的成就,和对庞加莱猜想的贡献感到骄傲。”

施皖雄,福建泉州人,1963年10月6日生,2021年9月30日下午8时零7分(当地时间)在美国华盛顿特区去世,享年58岁。 施皖雄1978年10月从福建泉州五中考入中国科学技术大学数学系,1982年7月获得学士学位。同年考入中国科学院数学研究所,师从陆启铿院士和钟家庆教授,1985年获得硕士学位。1985年赴美留学,始在加州大学圣地亚哥分校,1987年起在哈佛大学,师从数学大师丘成桐院士,1989年获得哈佛大学博士学位。1989年起在普渡大学数学系任教,1997年离职,后移居华盛顿特区。施皖雄在微分几何的几何流研究中做出了突破性的工作,建立了非紧空间上里奇(Ricci)流的基本理论,为里奇流解决庞加莱猜测和几何化猜测做出了基础性贡献。 施皖雄为人友善,生活淡泊,与世无争。他酷爱数学,在数学领域做出了突出贡献,是后辈学习的楷模。

施皖雄部分亲友

2021.10.1.