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牛熊证基础知识以及案例介绍

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牛熊证基础知识

牛熊证跟期权一样，是带有杠杆的衍生产品，可以做到以小博大的效果。只需要用部分资金，就可以跟踪标的资产的表现。

以小博大

期权与牛熊证的对比

  • 牛证（Bulls）：与看涨期权（Call）类似，在对股票看涨的时候用；
  • 熊证（Bears）：与看跌期权（Put）类似，在对股票看空的时候用；
期权牛熊证标的股票上涨标的股票下跌
看涨期权（Call）牛证权证理论价格上涨权证理论价格下跌
看跌期权（Put）熊证权证理论价格下跌权证理论价格上涨
期权与牛熊证

期权与牛熊证的价值：

  • 期权的价值 = 内在价值 + 时间价值；
  • 牛熊证价格 = 内在价值 + 财务费用；
期权内在价值时间价值
看涨期权max{股价 – 行权价, 0}权利金 – 内在价值
看跌期权max{行权价 – 股价, 0}权利金 – 内在价值
期权的价值

牛熊证与期权的不同：牛熊证有强制收回机制；

  • R 类牛熊证：收回价 != 行使价，被收回后有可能还有价值；收回之后只要没有触碰到行使价，就会有剩余价值结算；收回之后一旦触碰行使价，就没有剩余价值。
  • N 类牛熊证：收回价 = 行使价，被收回后没有价值。
牛熊证每股剩余价值（被收回后）计算公式
牛证每股剩余价值(结算价 – 行使价) / 换股比率
熊证每股剩余价值(行使价 – 结算价) / 换股比率
剩余价值的计算
牛证收回价 > 牛证行使价
熊证收回价 < 熊证行使价

牛熊证可以在观察期（包括开市前时段，持续交易时段，收市竞价交易时段）被收回。即使牛熊证在下午 4 点之后停止买卖，但是如果标的股票在收市竞价交易时段触发收回价，该牛熊证认可被收回。

牛熊证上午被收回
牛熊证下午被收回

到期之后，牛熊证也会被收回并结算，具有内在价值的牛熊证将获得现金价值。牛熊证的最后交易日 = 牛熊证的到期日减去一个交易日；

牛熊证内在值财务费用
牛证(股价 – 行使价) / 换股比率财务费用 =（行使价／换股比率）x 财务利率（一年）x （剩余年期（日数至到期日）／365）
熊证(行使价 – 股价) / 换股比率财务费用 =（行使价／换股比率）x 财务利率（一年）x （剩余年期（日数至到期日）／365）
牛熊证的价值

备注：

  • 距到期日越远的牛熊证，财务费用越大；距到期日越近的牛熊证，财务费用越小；当到期或者被收回时，财务费用会归零；
  • 财务费用占牛熊价值的比率较少，就算是较长期的产品，普遍也在几个百分点内，而牛熊证上市时的年期最少为 3 个月，因此每日的财务费用扣减，实际上相当轻微。
牛熊证即使没有触发收回价，到期了也会被回收

牛熊证的杠杆比率

杠杆比率：当其他因素不变的情况下，每当股票价格变化约为 1% 时，其相应的牛熊证价格的变化幅度。用公式来描述就是：

杠杆比率 = 股价／（牛熊证价格 x 换股比率）

举例说，当 XXXX 股票上升 1%，一只实际杠杆为 20 倍的 XXXX 牛证，权证价理论上升 20%；一只实际杠杆为 15 倍的 XXXX 熊证，权证价理论下跌 15%。

牛熊证牛熊证的杠杆比率股价越接近行使价股价越远离行使价
牛证股价／（牛熊证价格 x 换股比率） = 股价 / [(股价 – 行使价) + 财务费用 x 换股比率]杠杆比率越大杠杆比率越小
熊证股价／（牛熊证价格 x 换股比率） = 股价 / [(行使价 – 股价) + 财务费用 x 换股比率]杠杆比率越大杠杆比率越小
杠杆比率

牛熊证的溢价

溢价是一个证券市场术语，指所支付的实际金额超过证券或股票的名目价值或面值。 而在基金上，则专指封闭型基金市场的买卖价高于基金单位净资产的价值。 我们通常说一支股票有溢价，是指在减掉各种手续费等费用之后还有钱。

牛证溢价（%）= [( 牛证价格 x 换股比率 ) + 行使价 – 相关资产价格]／相关资产价格

熊证溢价（%）= [( 熊证价格 x 换股比率 ) – 行使价 + 相关资产价格]／相关资产价格

牛熊证的影响因素：

  • 相关资产价格；
  • 财务费用；
  • 溢价；
  • 利率；
  • 股息；
  • 市场持仓量和市场供求；

事实上，牛熊证行使价及年期长短，亦会影响到牛熊证价格，但由于这两个条款在产品发行时已经决定，期内不能改变，因此这只会影响产品的定价，属于基本因素而非市场因素。牛熊证价格并无时间值损耗，但财务费用会每日扣减，而且近年利率低企，因此所占牛熊证价格的比例相当低，如非持有长时间，影响极轻微，因此坊间部分有关牛熊证的信息，会指时间对牛熊证价格没有太大影响。

在到期日之前可以影响牛熊证价格的因素：

牛证价格熊证价格
正股价格上升理论上升理论下跌
正股价格下降理论下降理论上升
越接近到期（财务费用会每日扣减）理论下跌理论下跌
财务费用上升理论上升理论上升
利率上升理论上升理论下跌
派息多于预期理论下跌理论上升
影响因素

在到期日之前不能影响牛熊证的因素：

牛证价格熊证价格
与行使价距离越远理论较高理论较高
年期越长理论较高理论较高
隐含波动率几乎不影响几乎不影响
不能影响的因素

牛熊证重仓区

牛熊证重仓区，是根据发行人每日上载至交易所的报告，统计整个市场同一资产牛熊证的所有市场持仓，归纳出最多资金持有的收回价区域。

以恒指牛熊证街货图（又称市场持仓图）为例，不少投资者会视牛证或熊证重仓区，为大市的支持位或阻力位，原因是投资者真金白银买入收回价在若干水平的牛熊证，自然是有信心指数不会升穿或跌穿该水平。但是，支持位和压力位在未来的一段时间内是有可能被打破的。

重仓区相对期指对冲张数的增减，亦反映出投资者加仓或减仓的取向，从中或可推断出资金对后市的看法。

支持位和压力位预估

牛熊证的主要风险

牛熊证的主要风险在于以下几点：

风险解释
强制收回标的股价一旦在观察期触碰收回价，就会被强制收回。
杠杆效果标的股价一旦与投资者的预期相反，则有可能造成比例上的巨大亏损。
到期日一旦牛熊证到期就会被收回，跟股票是不一样的。
流通量注意该牛熊证的流通量，尽量购买交易活跃的牛熊证。
牛熊证的风险控制

牛熊证的买卖差价

牛熊证的买卖差价指的是：发行商最高买入价和最低卖出价之间的差价。这个是投资者的买卖成本。

买入价卖出价
牛证 A0.110 0.112
牛证 B0.1040.108
买卖差价

牛证 A 的交易成本是：0.112 – 0.110 = 0.002，牛证 B 的交易成本是 0.108 – 0.104 = 0.004。说明牛证 A 的交易成本相对牛证 B 的交易成本低。

牛证的锁定收益

如果购买了标的股票大涨，投资者想提前锁定收益，但是又害怕股票大跌造成损失，又害怕股票大涨错过机会。则可以考虑购买牛证：

牛证份数 = 正股股数 x 牛证兑换比率

的牛证数量。如果股票后续大跌，则牛证有收回机制，可以有效控制损失。

熊证的对冲风险

买卖股票的理想与现实

如果购买了标的股票，如果想要减少看错市场的风险，则需要购买

熊证份数 = 正股股数 x 熊证兑换比率

的熊证数量，就能够有效地做对冲。

牛熊证案例分析

以瑞银集团的牛熊证网站为例：可以作为标的股票的包含以下几十种。

可以选择标的股票

香港交易所的股票：

香港交易所股价

标的香港交易所的瑞银 55481 牛证：

瑞银 55481 牛证

标的香港交易所的瑞银 65406 牛证：

瑞银 65406 牛证

香港交易所的瑞银 66253 熊证：

瑞银 66253 熊证

以香港交易所的牛熊证街货图为例：

香港交易所(2021-11-19)的牛熊证街货图

除了瑞银的牛熊证之外，在市面上还有其他发行商的牛熊证可以选择，例如：

  • 港交瑞信二二牛 K.C
  • 港交汇丰一乙牛 M.C
  • 港交瑞银二六熊 B.P

这些文字的含义分别是：

  • 港交：表示标的股票；如果是标的腾讯控股（00700），则会写腾讯；
  • 瑞信，汇丰，瑞银表示牛熊证的发行商；
  • 二二表示 2022 年 2 月到期，一乙表示 2021 年 12 月到期，二六表示 2022 年 6 月到期；
  • 牛表示牛证，熊表示熊证；
  • C 表示 Call，P 表示 Put，分别对应看涨期权和看跌期权。

备注：以上所有内容不包含任何投资建议，仅供参考。

参考资料

  1. 瑞信资料：https://warrants-hk.credit-suisse.com/sc/tutorial/cbbc
  2. 瑞银资料：https://warrants.ubs.com/gb/education/cbbc_education
  3. 老虎证券资料：https://www.tigersecurities.com/help/detail/79776806

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期权入门知识整理（一）

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期权的基础知识

期权被定义为“在约定日期之前以固定价格购买（或者出售）资产的权利，而不是义务”。

期权的定义主要包含以下四个方面：

  • 约定日期：每个期权都有一个到期日，通常为具体的某个月份或者某一天；
  • 固定价格；
  • 购买或者出售；
  • 权利，非义务。

期权类型：

  • 看涨期权（call)：具有买入权利的期权，是指在约定日期之前以固定价格购买资产的权利；
  • 看跌期权（put）：具有卖出权利的期权，是指在约定日期之前以固定价格出售资产的权利。

期权的分类：

  • 美式期权（American-Style Options）：允许期权购买者在到期日之前的任何时间行使期权；
  • 欧式期权（European-Style Options）：不允许期权购买者在到期日之前行使期权；

在这里，通常使用的都是美式期权；

最简单地，有四种基本的期权策略：

  • 买入看涨期权（Long Call）：认为股票行情会上涨；
  • 卖出看涨期权（Short Call）：认为股票行情会下跌；
  • 买入看跌期权（Long Put）：认为股票行情会下跌；
  • 卖出看跌期权（Short Put）：认为股票行情会上涨；
策略收益风险盈亏平衡点
买入看涨期权策略无限支付的权利金行权价加上权利金
卖出看涨期权策略收到的权利金无限行权价加上权利金
买入看跌期权策略行权价减去支付的权利金支付的权利金行权价减去权利金
卖出看跌期权策略所收到的权利金行权价减去权利金行权价减去权利金
四种基本的期权策略

备注：

  • 买入看涨/看跌期权的风险有限：指的是最大损失就是支付的权利金；
  • 卖出看涨/看跌期权的风险无限：指的是无穷大；

用图像来描述四种基本的期权策略。黑点表示行权价，横线纵轴 = 0 表示盈亏平衡，纵轴 > 0 表示利润，纵轴 < 0 表示损失。横轴表示标的资产价格。

分别是：Long Call，Long Put，Short Call，Short Put
预计股票方向期权策略
认为股票未来会涨买入看涨期权 + 卖出看跌期权
认为股票未来会跌买入看跌期权 + 卖出看涨期权
简单策略组合

期权的希腊字母（Greeks）：

希腊字母定义性质
Delta衡量期权价格相对标的资产价格变动的敏感度，数学公式：Delta = 期权价格的变化 / 标的资产的变化。看涨期权的 Delta>0，看跌期权的 Delta<0；
看跌期权的 Delta = 看涨期权的 Delta – 1。
Gamma衡量期权价格相对于标的资产价格变化速度（即加速度）的敏感性。Delta 的变化率。
Theta衡量期权价格相对于到期时间变化的敏感性，通常都是负数。当期权是平值和距离到期日不足30天时，时间衰减最快。
Vega衡量期权价格相对于资产波动率变化的敏感性。历史波动率
Rho衡量期权价格相对于无风险利率变化的敏感性。利率
Zeta衡量期权价格每变动 1% 时，隐含波动率的变化百分比。
Greeks

影响期权变化的部分因素：

如果看涨期权价值将看跌期权价值将
股票上涨上升下降
股票下降下降上升
股票波动率上升上升上升
股票波动率下降下降下降
随时间推移下降下降
影响期权价值的部分因素

短期期权和长期期权（Long-term Equity Anticipation Securities，简称 Leaps）：两者从定义上来看没有本质区别，但是其 Greeks 有着明显的差异性。

长期看涨期权定价曲线（行权价 80）
期权时间衰减的百分比

相对短期期权而言，

  • 长期期权因时衰减是不快的；
  • 买入长期期权的时机把握并不需要像买入短期期权那么精确；
  • 长期看跌期权对股票运动的反应远没有短期看跌期权那么敏感；

长期期权策略：代替买卖股票。

  • 买卖长期期权而不是买卖普通股股票；
  • 使用长期看跌期权来保护已经持有的股票；
  • 使用长期期权而不是卖空股票；

价差策略

价差类别定义
垂直价差（vertical spread）到期日相同但是行权价不同的期权组合。
水平价差（horizontal spread）到期日不同但是行权价相同的期权组合。
对角价差（diagonal spread）垂直价差和水平价差的结合，到期日和行权价都不同的期权组合。
价差的种类

垂直价差策略（vertical spread）

垂直价差策略股票预期具体操作风险与收益
牛市看涨期权垂直价差策略牛市在到期日相同的前提下，买入一份行权价较低的看涨期权，同时卖出一份行权价较高的看涨期权。都有上限
牛市看跌期权垂直价差策略牛市在到期日相同的前提下，买入一份行权价较低的看跌期权，卖出一份行权价较高的看跌期权。都有上限
熊市看涨期权垂直价差策略熊市在到期日相同的前提下，买入一份行权价较高的看涨期权，同时卖出一份行权价较低的看涨期权。都有上限
熊市看跌期权垂直价差策略熊市在到期日相同的前提下，买入一份行权价较高的看跌期权，同时卖出一份行权价较低的看跌期权。都有上限
垂直价差策略

水平价差策略（horizontal spread），也称为时间价差或者跨期价差。

水平价差策略股票预期具体操作风险与收益
牛市看涨期权跨期价差策略牛市在行权价相同的前提下，卖出一份近期的看涨期权，同时买入一份远期的看涨期权。在近期到期日时，都有上限。
熊市看跌期权跨期价差策略熊市在行权价相同的前提下，卖出一份近期的看跌期权，同时买入一份远期的看跌期权。在近期到期日时，都有上限。
水平价差策略

反向跨期价差策略：跟跨期价差的买卖方向相反，但是不常用。

  • 在行权价相同的前提下，买入一份近期的看涨期权，同时卖出一份远期的看涨期权；
  • 在行权价相同的前提下，买入一份近期的看跌期权，同时卖出一份远期的看跌期权。

对角价差（diagonal spread）

对角价差策略股票预期具体操作风险和收益
牛市看涨对角价差策略牛市卖出一份近期的行权价较高的看涨期权，买入一份远期的行权价较低的看涨期权。在近期到期日时，都有上限。
熊市看跌对角价差策略熊市卖出一份近期的行权价较低的看跌期权，买入一份远期的行权价较高的看跌期权。在近期到期日时，都有上限。
对角价差

比率价差策略

可以通过看涨期权或者看跌期权来合成比率价差策略。

比率价差策略股票预期具体操作风险和收益
看涨期权比率价差（ratio call spread）牛市（中性）在到期日相同的前提下，买入 一份行权价较低的看涨期权，卖出 k 份行权价较高的看涨期权（k>1）。收益有限，风险无限。
看跌期权比率价差（ratio put spread）熊市（中性）在到期日相同的前提下，买入 一份行权价较高的看跌期权，卖出 k 份行权价较低的看跌期权。收益有限，风险无限。
比率价差策略

比率选择的方法：

  • 比率价差同卖出比率基本相似：买入实值的看涨期权；
  • 比率价差应该用收入来建立，保证下行方向没有风险；
  • 比率价差应该用 delta 值来建立，也称为 delta 价差；

波动率策略

预期股价有大幅波动，但是不确定上涨还是下跌。

波动率策略股票预期具体操作风险和收益
跨式价差大幅波动在到期日相同的前提下，同时买入行权价相同，一份看涨期权和一份看跌期权。风险有限，收益无限。
宽跨式价差大幅波动在到期日相同的前提下，同时买入行权价不同，一份看涨期权和一份看跌期权。要保证看涨期权的行权价高于看跌期权的行权价。风险有限，收益无限。
条式策略中性到熊市看跌在到期日相同的前提下，买入两份平值看跌期权，一份平值看涨期权，比例为 2:1 的关系。风险有限，收益无限。
带式策略中性到牛市看涨在到期日相同的前提下，买入两份平值的看涨期权，一份平值的看跌期权，比例为 2:1 的关系。风险有限，收益无限。
波动率策略

区间震荡策略

预期股票会在一个区间范围内波动，有明显的支撑位和压力位。

区间震荡策略股票预期具体操作风险和收益
看涨期权蝶式策略中性在到期日相同的前提下，买入一份行权价较低的（实值）看涨期权，卖出两份行权价居中（平值）看涨期权，买入一份行权价较高（虚值）看涨期权。行权价之间应该保持相同差额。收益有限，风险有限。
看跌期权蝶式策略中性在到期日相同的前提下，买入一份行权价较低的（虚值）看跌期权，卖出两份行权价居中的（平值）看跌期权，买入一份行权价较高的（实值）看跌期权。行权价之间应该保持相同差额。收益有限，风险有限。
看涨期权鹰式策略中性在到期日相同的前提下，买入一份行权价较低的（实值）看涨期权，卖出一份行权价次低的（实值）看涨期权，卖出一份行权价次高的（虚值）看涨期权，买入一份行权价较高的（虚值）看涨期权。行权价之间应该保持相同差额。收益有限，风险有限。
看跌期权鹰式策略中性在到期日相同的前提下，买入一份行权价较低的（虚值）看跌期权，卖出一份行权价次低的（虚值）看跌期权，卖出一份行权价次高的（实值）看跌期权，买入一份行权价较高的（实值）看跌期权。行权价之间应该保持相同差额。收益有限，风险有限。
蝶式和鹰式策略

参考资料

  1. Cohen, Guy. The bible of options strategies: the definitive guide for practical trading strategies. Pearson Education, 2005.
  2. McMillan, Lawrence G. Options as a strategic investment. Penguin, 2002.
  3. Natenberg, Sheldon, and Jeffrey M. Cohen. “Option volatility & pricing: advanced trading strategies and techniques.” (1994): 51.

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Kelly Criterion

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典型案例

无论是在数学课上还是日常生活中，相比大家对抛硬币这个游戏并不陌生。通常来说，硬币有正反两面，并且抛一次硬币出现正面和反面的概率是一样的，也就是二分之一。如果用数学符号来表示的话，那就是 p = q = 1/2, 这里的 p,q 分别表示硬币出现正面和反面的概率值。 从直觉上说，在这种情况下，如果我们每次投入的资金都是一样的并且资金链条不会断裂，那么随着投币次数的增多，最终我们应该是既不会赢钱也不会输钱，总资产和一开始的时候一样保持不变。

数学描述

用数学语言来描述这个过程的话，假设我们的初始资产是 X_{0}，X_{n} 表示 n 次下注之后我们当前的资产，每次下注的钱是 B_{k}，用 T_{k} =1 表示第 k 次下注获胜，T_{k} = -1 表示第 k 次下注失败。那么从数学公式上来说就是：对于所有的 k\geq 1，都有

X_{k} = X_{k-1} + T_{k}B_{k},

进一步可以得到：

X_{n} = X_{0} + \sum_{k=1}^{n} T_{k}B_{k},

所以，

E(X_{n}) = X_{0} + \sum_{k=1}^{n}E(T_{k}B_{k}) = X_{0} + \sum_{k=1}^{n}(p-q)E(B_{k}).

对于上面特殊的例子，当 p = q = 1/2 时，就可以得到 E(X_{n}) = X_{0}.

当 p>q 的时候，表示赌赢的概率大于赌输的概率。这种时候，如果需要让 E(X_{n}) 最大，那么就需要最大化每次的 E(B_{k})。所以，在这种情况下，我们需要在每次下注的时候，把手上所有的资产全部下注，然后总资产随着次数的增加就会出现几何级数的增长。

相反的，如果 p<q，表示下注获胜的概率小于下注失败的概率。这种时候，如果需要让 E(X_{n}) 最大，那么就需要最小化每次的 E(B_{k})，因为 p-q<0. 所以，在这种情况下，我们在每次下注的时候，其实就不需要投注，每次的 B_{k}=0，在这种情况下，我们的总资产其实就会保持原样不变。i.e. E(X_{n}) = X_{0}.

按比例投注

在每次下注或者投资的时候，我们通常都会想着按照一定的比例来投注自己当前的资产。也就是说，存在一个参数 0\leq f\leq 1，使得 B_{i} = f X_{i-1}，也就是说，每次投注的时候，基于上一轮的总资产来投注相应的比例即可。如果当前的资产是 X，如果下注赢了，那么总资产就变成 X(1+f)；如果下注输了，那么总资产就变成 X(1-f)。意思就是说，如果赢了，那就在原来资产的基础上乘以 (1+f)；如果输了，那就在原来资产的基础上乘以 (1-f)。在这种情况下，如果我们进行了 n 次下注，那么此刻的资产就变成了

X_{n} = X_{0} \cdot(1+f)^{S}\cdot(1-f)^{F}

其中，S, F 分别表示成功和失败的次数，并且 S+F=n。

当 f=0 时，表示永远不下注，此时对于所有的 n\geq 0，都有 X_{n}=X_{0}；当 f=1 时，表示每次下注的时候都是全部下注，那么只要 F\geq 1，就会出现 X_{n}=0 的情况。意思就是说，如果有一次失败了，那就全盘皆输，没有任何资产可以继续运营。但是如果运气足够好的话，那就是 S=n, F=0，总资产就是 X_{n} = X_{0}\cdot 2^{n}.

当 0<f<1 时，从公式中可以得到：

\ln X_{n} = \ln X_{0} + S\cdot \ln(1+f) + F\cdot \ln(1-f)

\Rightarrow G_{n}(f)=\ln(X_{n}/X_{0})^{1/n}

=(\ln X_{n}-\ln X_{0})/n = (S/n) \ln(1+f) + (F/n)\ln(1-f)

进一步可以得到：

g(f) = E(\ln(X_{n}/X_{0})^{1/n})

= E((S/n) \ln(1+f) + (F/n)\ln(1-f))

= p\ln(1+f)+q\ln(1-f).

因此，可以通过研究 g(f) 来确定 E(X_{n}) 的最大值。为了计算 g(f) 的最大值和最小值，则需要通过导数来研究。可以简单的看出来：当 p,q\in(0,1) 时，g(0) = 0，\lim_{f\rightarrow 1^{-}} g(f) = -\infty。计算导数可以得到：

Dg(f) = \frac{p}{1+f} - \frac{q}{1-f} = \frac{p-q-f}{1-f^{2}},

D^{2}g(f) = \frac{-(1-f)^{2}-4fq}{(1-f^{2})^{2}}<0.

所以，导数 Dg(f) 是一个严格递减函数，当 f<p-q 时，Dg(f)>0；当 f>p-q 时，Dg(f)<0。因此，函数 g(f) 会在 f^{*} = p-q 的时候达到最大值。所以，每次最佳的投注比例应该是 f^{*} =p-q。

从这个结果上来看，如果 p<q，那么意思就是最好不要做投注，因为输的概率比较大。如果 p>q，那么意思就是投注的比例是 f^{*}=p-q。在这种情况下，可以得到 g(f^{*}) = p\ln p + q\ln q + \ln 2. 从以上信息分析，也可以得到存在一个点 f_{c} 使得 g(f_{c}) = 0。

kellycriterion1

一般形式（一）

在一般情况下，在现实生活中都会有赔率的概念。也就是说：赢钱的时候需要考虑赔率，押 1 赔 b，也就是所谓的赢钱率，资产从 1 增加到 1+b。举个简单的例子来描述那就是：当硬币有偏差，同时有赔率（赢钱率）的时候该怎么办？

在这种情况下，之前的 g(f) 可以写成如下的形式：

g(f)=p\ln(1+bf)+q\ln(1-f).

这里的 p, q 分别表示赢钱和输钱的概率，并且 p+q=1。f 表示每次应该押上的当前总资产的比例，并且 0\leq f\leq 1。通过计算可以直接得到：

Dg(f) = \frac{pb-q-bf}{(1+bf)(1-f)}.

并且 g(0) = 0，\lim_{f\rightarrow 1^{-}}g(f) = -\infty。从导数上可以看出，当 f>(pb-q)/b 时，g(f) 是增函数；当 f<(pb-q)/b 时，g(f) 是递减函数。因此，当 f = (pb -q)/b 时，g(f) 达到最大值，也就是

g(f) = p\ln p + q\ln q + \ln(1+b) - q\ln b.

在这种情况下，直接带入一些简单的数字可以得到：

  1. 当 p = q = 0.5, b = 1 时，f^{*} = (pb-q)/b = 0；
  2. 当 p = 2/3, q= 1/3, b = 1 时，f^{*} = (pb-q)/b = 1/3;
  3. 当 p = q = 0.5, b = 2 时，f^{*} = (pb-q)/b = 1/4;
  4. 当 p = q = 0.5, b = 1/2 时，f^{*} = (pb-q)/b = - 1/2; 此时不该下注。

从公式 f^{*} = p - \frac{q}{b} 可以看出：

  1. 当 p 增加的时候，q 会减少，f^{*} 也会增加，意思就是随着赢钱的机会加大，就该增加投注的比例；反之，当 p 减少的时候，f^{*} 也会随之减少，也就是说当赢钱的机会变小的时候，就该减少投注的比例。
  2. 当 b 增加的时候，f^{*} 会增加，意思就是说当赢钱率增加的时候，应该加大投注的比例；反之，当赢钱率减少的时候，应该减少投注的比例。
  3. 当 f^{*}\leq 0 时，就表示这个游戏不值得投注，因为总资产的期望是负数。

一般形式（二）

除了赢钱率之外，在一般情况下，还有一个损失率的概念。也就是说，当投掷的硬币有偏差，并且同时有赢钱率和损失率的时候该怎么办？

假设

  1. 赌赢的概率是 p；
  2. 赌输的概率是 q；
  3. 赢钱率是 b，下注的资产会按比例增加，从 1 变成 1+b；
  4. 损失率是 c，下注的资产会按比例减少，从 1 变成 1-c。

一般情况下，0\leq c\leq 1。在这种情况下，函数 g(f) 的形式又会发生微小的变化，

g(f) = p\ln(1+bf) + q\ln(1-cf).

直接计算可以得到：Dg(f) = \frac{pb-cq-cbf}{(1+bf)(1-cf)}。因此，临界点是 f^{*} = \frac{p}{c} - \frac{q}{b}。从公式上看，

  1. 当 p 增加的时候，q 会减少，f^{*} 也会增加，意思就是随着赢钱的机会加大，就该增加投注的比例；反之，当 p 减少的时候，f^{*} 也会随之减少，也就是说当赢钱的机会变小的时候，就该减少投注的比例。
  2. 当 b 增加的时候，f^{*} 会增加，意思就是说当赢钱率增加的时候，应该加大投注的比例；反之，当赢钱率减少的时候，应该减少投注的比例。
  3. 当 c 增加时，f^{*} 会减少，意思是说当损失率增加的时候，应该减少投注的比例；反之，当输钱率减少的时候，应该增加投注的比例。
  4. 当 f^{*}\leq 0 时，就表示这个游戏不值得投注，因为总资产的期望是负数。

结论

本文从简单的概率论常识出发，介绍了 Kelly 公式的初步概念。对此有兴趣的读者，建议读其它更有深度的文章。