奇妙的动力系统和分形几何

动力系统,听起来像工程上面的发动机,但是它却是数学的一个分支,主要研究的就是在一个固定的规则下,一个点在时间的变化下在空间中的位置变化。比方说钟的摆动,动物种族的繁衍,全球的气候变动。这类的模型都属于动力系统。这篇文章要介绍的,是动力系统与分形几何的一些奇妙性质。

失之毫厘,差之千里

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1961年,作为天气预报员的Lorenz在利用计算机来做气象预测时,为了省事,就在第二次计算的时候,直接从第一次程序的中间开始运算。但是两次的预测结果产生了巨大的差异。Lorenz看到这个结果之后大为震惊,然后经过不断地测试,发觉在自己的模型当中,只要初始的数据不一样,就会产生不同的结果,而且结果大相径庭。在1979年的科学会议上,Lorenz简单的描述了“蝴蝶效应”:

一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀,会使更多蝴蝶跟着一起轻拍翅膀。最后将有数千只的蝴蝶都跟着那只蝴蝶一同振翅,其所产生的巨风可以导致一个月后在美国德州发生一场龙卷风。                                                                                        —–Edward Norton Lorenz

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在实际的天期预测中,影响天气变化的因素数不胜数,用成千上万的变量来预测天气都不为过。科学家在研究问题的时候,就需要把一个非常复杂的问题简单化,但是又必须保证不能过于简单化。于是Lorenz在1963年发表的文章“Deterministic Nonperiodic Flow”里面提出了一个只有三个变量x, y, z的模型:

x^{'}(t) =\sigma(y-x)

y^{'}(t)=x(\rho-z)-y

z^{'}(t)=xy-\beta z

这个模型中,x,y,z是系统的状态,t是时间。\rho, \sigma, \beta是这个系统的参数。

A_Trajectory_Through_Phase_Space_in_a_Lorenz_Attractor

这个模型肯定不能够精确地描述天气变化,但是对于Lorenz解释他自己的观点恰到好处。在这个模型中,变量之间有着非线性的关系,虽然只有三个变量,但是随着时间的推移,三个变量就会交织在一起,互相影响。在三维的空间里面作图的时候,随着时间的推移,系统的演变就会趋近于一个混沌的区域,就像几根线缠绕在两个图钉周围,形如一只正在拍打翅膀的蝴蝶。这个或许就是Lorenz把这现象叫做”蝴蝶效应“的原因。在Lorenz原创性的论文里面,他一针见血地指出天气的影响因素是复杂多变的,即使有了精确地模型,也没有办法做长期的预测,只能够在观测中不停地一边预计,一边修正。

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从数学的角度来看蝴蝶效应,就是在一个给定的动力系统下,一个微小的初值变动就能够带动整个系统长期而巨大的连锁反应,是一种混沌的现象。从社会学的方面来说明就是一个坏的机制,如果不加以及时地引导、调节,会给社会带来非常大的危害,戏称为”龙卷风“或“风暴”;一个好的微小的机制,只要正确指引,经过一段时间的努力,将会产生轰动效应,或称为“革命”。从心理学的角度来诠释就是表面上看起来毫无影响,非常微小的一件事情,都会带来巨大的变化。当一个人小时候的心理受到微小的心理刺激,在这个人的成长过程中,这个刺激就会被逐渐的放大并且不停地影响一个人的生活,牵一发而动全身。混沌理论改变了人们对于科学的看法,简单的数学背后隐藏的可能性远远比人们想象的多得多。

分形几何学:复杂简单化

从欧几里德写几何原本开始,大家就习惯于研究非常规则的形状,比如圆形,方形,正多面体。欧几里德的几何原本就向大家展示了这些规则图形的几何美感。但是在研究了规则的图形之后,对于不规则的图形该怎么去研究就成为了困扰大家的一个问题。譬如河流的支流,树枝的形状,蜿蜒的海岸线,这些都不是规则的图形,甚至都不知道该怎么样去描述这些形状。但是通过观察就会发现它们都具有一个非常有趣的性质,那就是自相似性。比如树枝,从底部看上去,会有分岔,甚至越分越多。如果从某一个枝节往上看,它仍然是一颗树枝,形状跟原来的几乎没有什么分别。就是说在越来越小的尺寸下,不停的复制之前的形状。那么很自然的一个问题就是:怎么样在数学上去构造这些自相似的图形,而不是通过刻意的人工去生成这些图案?通常的思维习惯就是复杂必须来源于复杂,复杂不可能来源于简单,经验告诉我们复杂的东西必须守恒化。

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但是数学工作者Mandelbrot在科研中却发现了一个简单得不能够再简单的规则去生成这种复杂的图形,那就是

z \mapsto z^{2}+c

在这个简单的规则下,z会变成z^{2}+c,然后z^{2}+c作为新的自变量z,再次进行这个运算,长此下去,就将形成著名的Mandelbrot集合。前两张图片就是在上面规则下形成的完整的Mandelbrot集合。那么我们将它放大六倍,放大之后看到的形状跟第一幅图片惊人的相似,继续放大100倍,2000倍,依旧不会改变它的这个性质。

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Mandelbrot-similar-x1 Mandelbrot-similar-x6 Mandelbrot-similar-x100 Mandelbrot-similar-x2000

在Mandelbrot集合里面,无论被放得有多大,都会看到跟原来图形相似的形状。这样的结果就告诉大家复杂不一定来源于复杂,说不定它背后的机制非常的简单,那就是说,同一个事情,可能既是复杂的,又是简单的,这样就要重新去考虑简单和复杂之间的关系。后来有人为了纪念Benoît B. Mandelbrot创立了分形几何中的自相似性,写了一句话:Benoît B. Mandelbrot里面的字母B就代表了Benoît B. Mandelbrot。

除了有z \rightarrow z^{2}+c产生的Mandelbrot集合,还有一些经典的分形结构。比如说Cantor集合。Cantor集合是不断的从一个区间[0,1]取走中间一段获得的集合。首先去掉(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}),剩下[0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1]。然后把剩下两条线段的中间都去掉,剩下[0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1]。不停的重复这个过程,最后剩下的集合就是Cantor集合。在数学中,Cantor集合是无穷无尽的,甚至是不可数的,但是却是不占据任何空间的,因为它的长度是零。下图简单的描述了Cantor集合的形成过程。

729px-Cantor_set_in_seven_iterations.svg

利用类似的想法,就可以构造出Sierpinski三角形和Siepinski地毯。

Animated_construction_of_Sierpinski_TriangleAnimated_Sierpinski_carpet

路漫漫其修远兮

这些也许就是动力系统的本质,在及其简单的规则背后,随着时间的不断推移,就能够创造出令人惊叹不已的复杂系统,就像河流支流的形成和Mandelbrot集合,就像天气以及动物的种族变化。这种规则的制定并不需要一个碍手碍脚的设计师,它就像是宇宙与生俱来的本事。人们对这种复杂的事物感到不自然的原因,可能就是在这种情况下不需要一个创造者。在给定初始条件的情况下,在给定的自然规则下,宇宙就可以自由的发展。而这个发展存在于自然科学和社会科学中,甚至生活中的方方面面。宇宙的复杂性以及美丽,都来源于简单的规则和不断的重复,规则虽然简单,但是过程却十分复杂,并且结果是不可预知的。即使有了科学的确定性,仍然也无法知道未来的样子。

 

 

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Marina Bay Sands, 金沙酒店

2013年11月16日,去传说中的金沙酒店游泳池逛了一圈。为了同时看到白天的景色和晚上的景色,选择了从下午4点到晚上8点。如果入住金沙酒店的话,可以提前45天左右预定,貌似打折不少。只要入住了金沙酒店,就可以去上面的游泳池,并且在游泳的同时观光。游泳池位于55楼层高的塔楼楼顶,长度大概198米。

进门的时候,用房卡里面的游泳券就可以入场,工作人员会在你的手上缠着一个防水胶带,表示你今天随时都可以进入游泳池。进场之后,可以向工作人员要一块免费的浴巾,然后就去卫生间里面换衣服。换了衣服之后,就可以出来在外面找一个免费的躺椅,把自己的随身物品放在上面,然后就可以下水游泳。为了保证大家能够观光,游泳池的水深才1.2米,都可以站在池子里面走到游泳池的边缘看外面的景色。下午去的时候人还比较多,椅子几乎都被占满了,好不容易才找到一个位置。Photo 13-11-16 17 30 07 游泳池的边缘看上去是无边的,其实在外侧有栏杆和水槽,用来接游泳池的水。外面一栋栋高楼就是市中心的各种银行,大剧院什么的。新加坡河上面还会有观光的船舶。Photo 13-11-16 18 15 41 Photo 13-11-16 18 15 02 Photo 13-11-16 18 14 58 最右侧是一个足球的看台,那个足球场是修在水面上的,看台没有遮阳的。Photo 13-11-16 18 14 55 Photo 13-11-16 18 14 43 Photo 13-11-16 18 14 38游泳池的风景,大家都会在游泳池里面各种拍照,从这个角度看上去,确实是一个无边的游泳池。Photo 13-11-16 18 14 16 Photo 13-11-16 18 12 31 不管游客会不会游泳,都会离开客房上来坐一会,享受下午空闲的时光。Photo 13-11-16 18 12 28 Photo 13-11-16 18 12 21 Photo 13-11-16 17 58 21 Photo 13-11-16 17 58 10 Photo 13-11-16 17 30 52 Photo 13-11-16 17 30 21 Photo 13-11-16 17 30 16天色逐渐暗下来了,这个时候新加坡的夜景很美。Photo 13-11-16 18 45 08 Photo 13-11-16 18 55 48 Photo 13-11-16 19 12 32 Photo 13-11-16 18 51 52 Photo 13-11-16 18 51 56 Photo 13-11-16 19 12 36 传说中的晚霞吻着夕阳?Photo 13-11-16 18 51 44 Photo 13-11-16 19 14 10夜晚的时候,游泳池上面的灯光就会打开,并且水里面也会有灯光,安装在游泳池的两侧。Photo 13-11-16 19 14 06 Photo 13-11-16 19 14 01 Photo 13-11-16 19 13 56 Photo 13-11-16 19 12 39

Photo 13-11-16 19 14 06 Photo 13-11-16 19 17 14 Photo 13-11-16 19 16 18 Photo 13-11-16 19 16 08 Photo 13-11-16 19 16 08 天色彻底暗了下来,新加坡的夜景真的很美。除了Marina Bay Sands上面,从摩天轮上面往下看也是不错的景色。Photo 13-11-16 19 15 22 Photo 13-11-16 19 15 14 Photo 13-11-16 19 14 41 Photo 13-11-16 19 14 36 Photo 13-11-16 19 14 27 Photo 13-11-16 19 14 21 游泳池旁边就是一些餐厅之类的,饿了可以点一些饮料或者食物。Photo 13-11-16 19 14 16 Photo 13-11-16 19 14 10夜晚躺在这里的躺椅上看夜景很赞。水里面有照明灯。Photo 13-11-16 19 51 27Photo 13-11-16 19 50 41Photo 13-11-16 19 36 22Photo 13-11-16 19 35 44Photo 13-11-16 19 35 37Photo 13-11-16 19 35 05Photo 13-11-16 19 34 23Photo 13-11-16 19 33 03Photo 13-11-16 19 32 59Photo 13-11-16 19 32 51Photo 13-11-16 19 32 47Photo 13-11-16 19 32 42Photo 13-11-16 19 17 21Photo 13-11-16 19 17 14Photo 13-11-16 19 16 18Photo 13-11-16 19 16 08

 

新加坡国立大学UTown大学城

North Tower, Level 22 (Non-Air Condition) : From 15 July, 2014 to

Utown的房子和PGPR的不一样,一个屋子里面有四个房间,每个房间住一个人,大家共用卫生间和客厅,所以遇到好的室友就比较重要了。客厅里面理论上不让别人入住,如果有人入住并且被发现的话,那么宿舍里面的四个人都要被宿舍管理员赶走,而且在校期间恐怕都不能够继续入住学校宿舍了。

Bedroom: 高层的卧室不错,视野也比较开阔,单人床一张,桌子一个,床边的那两扇活叶窗可以转开。

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Bookshelf:书架和衣柜各一个,可以放不少的东西。并且有一个可以活动的小型床头柜。

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Living Room:客厅沙发两张,鞋柜一个,冰箱一个,微波炉一个,虽然不能够烧饭,但是用微波炉加热东西还是可以的。

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Wash Room:卫生间和淋浴室各一个,洗手池两个。

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the view out of the window:窗户外面的风景不错,直接可以看到CREATE的建筑,看到操场和游泳池,远一点都可以看到理学院。

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Laundry Room in Level 2, North Tower:南楼和北楼各一个洗衣房,都在二楼。洗衣房里面有洗衣机和烘干机,每用一次洗衣机和烘干机都是一块钱。不过只能够用第三代的一块钱硬币,如果没有硬币的话,可以用里面的换硬币机器,使用纸币换硬币。里面还有一些衣架,可以用来晾衣服。饮水机也有一个,挺方便的。

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the small garden in utown residence:南楼和北楼里面都有一个很小的花园,风景不错,也有一些座位给大家坐。有一些楼层,比方说8楼,22楼,都有一些小的平台,8楼的平台直接就是空中的一个小花园。有的时候晚上和朋友们在平台上面聊天啥的,风景不错。

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Education Resource Centre (ERC):一楼外面有一些白色的座位,附近也有无线的Wifi,可以坐在这里自习或者小组讨论。一楼有一个星巴克,开学的时候都是24小时开的,随时都可以去买咖啡和蛋糕。

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Meeting Room in ERC:在ERC的二楼,有一些给学生答疑的小教室。MA1505和MA1506的答疑地点已经从工程学院的小屋子移到了ERC里面的小教室,小教室里面还有一个电视机。有这个电视机就可以链接自己的个人电脑,可以放自己的幻灯片,做一个小型的报告。不过如果要使用这些教室的时候,是需要在网上面提前预定的。

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MacRoom in ERC:进门的时候需要刷学生卡。里面全部是iMac,用NUS的ID和密码就可以登录,随便使用。可惜鼠标并不是mac的,可能是考虑到有的人不适应那个鼠标,所以还是使用一般的鼠标。

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Stephen Riady Centre:屋顶上有一个小的游泳池,感觉不错。是一个不规则的形状,上面还有一些躺椅之类的,游完泳之后可以躺在上面休息。不过这个游泳池感觉不是用来锻炼的,是用来享受生活的,要锻炼的话还是要去UHC附近那个标准的swimming pool才行。

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夜晚的时候Utown的屋顶游泳池景色不错,唯一的不足就是只有三层楼那么高。游泳池的对面就可以看到Utown的住宿区。

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Prince George’s Park Residence – National University of Singapore

Block 12, Level 1, Number H (Type B): From 5 Jan 2013 to 17 May 2014.

在这个屋子住了一年半,就是感觉热了一点,比较潮湿,可能是在一楼的缘故。所以经常都在屋子里面摆放一些干燥剂,这样感觉会好一点。Type B的话比Type C多一个洗手用的小水池,价格稍微贵一点,仅此而已。两个屋子实际上没有什么太大的区别。

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Block 26, Level 7, Number J (Type C): From 17 May 2014 to 15 July 2014.

这个屋子也就住了两个月,是假期调整屋子的时候搬到这里的,在7楼,视野比原来的好不少,但是依旧很热,楼层太低了。在这里看完了2014年的世界杯比赛。

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2. 刚性定理

考虑二次多项式 f_{a}(x)=ax(1-x), a\in[0,4], f_{a}:[0,1]\rightarrow [0,1].

问题:

\{ a\in[0,4]: f_{a} \text{ satisfies Axiom A} \} 是否在 [0,4] 中稠密?

引理:f_{a} 满足 Axiom A \Leftrightarrow f_{a} 有双曲吸引周期轨。

定义 Kneading 序列: K(f_{a})=\{ i_{1}, i_{2},... \}, i_{k}=L \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})<\frac{1}{2};  i_{k}=c=\frac{1}{2} \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2};  i_{k}=R \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})>\frac{1}{2}.

例子:

K(f_{4})=(R,L,L,L,...)=RLLL,

K(f_{1})=(L,L,L,L,...)=LLLL,

K(f_{2})=(c,c,c,c,...)=cccc,

K(f_{1.9})=(L,L,L,L,...)=LLLL,

在这里,f_{1}f_{1.9} 不是拓扑共轭的,即使它们的 Kneading 序列是一样的。

定义:f 和 g 称为拓扑共轭,如果存在同胚映射 h 使得 h\circ f= g \circ h.

性质1: 如果 f_{a_{1}} f_{a_{2}} 拓扑同胚,则有 K(f_{a_{1}})= K(f_{a_{2}}).

引理:如果 f_{a_{1}} f_{a_{2}} 没有双曲吸引或者双曲中性周期轨,则 K(f_{a_{1}})= K(f_{a_{2}}) \Rightarrow  f_{a_{1}} f_{a_{2}} 拓扑同胚 \Rightarrow a_{1}=a_{2}.

定义:拟共形映射的分析定义: \varphi: \Omega\rightarrow \tilde{\Omega}, 在这里 \Omega, \tilde{\Omega} 都是复平面上面的连通开集, \varphi 是保持定向的同胚映射,称 \varphi 是 K 拟共形映射 (K\geq 1), 如果

(1) \varphi 是 ACL 的,也就是线段上绝对连续,absolutely continuous on lines.

(2) | \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}} | \leq \frac{K-1}{K+1} |\frac{\partial \varphi}{\partial z}| 几乎处处成立。

拟共形映射的一些性质:假设 \varphi 是 K-拟共形映射,K\geq 1.

(i) \varphi 几乎处处可微。对几乎所有的 z_{0}\in \Omega

\varphi(z) = \varphi(z_{0}) + \frac{\partial \varphi}{\partial z}(z_{0})(z-z_{0}) + \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}}(z_{0})\overline{(z-z_{0})}+ o(|z-z_{0}|).

| \frac{\partial \varphi}{\partial z}|>0 几乎处处成立。

定义 \varphi 的复特征是 \mu_{\varphi}= \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}} / \frac{\partial \varphi}{\partial z},||\mu_{\varphi}||_{\infty} \leq \frac{K-1}{K+1} <1.

(ii) Measurable Riemann Mapping Theorem ( Ahlfors-Bers )

 

Assume f_{a}(x)=ax(1-x), a_{0} \in (0,4]

Comb(a_{0})=\{ a\in(0,4]: K(f_{a})=K(f_{a_{0}}) \},

Top(a_{0})= \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are topological conjugate } \},

\Rightarrow Top(a_{0}) \subseteq Comb(a_{0}).

Qc(a_{0}) = \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are quasi-conformal conjugate} \},

Aff(a_{0}) = \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are linear conjugate} \},

\Rightarrow Aff(a_{0}) \subseteq Qc(a_{0}).

刚性问题:Comb(a_{0})=Qc(a_{0}) ? Comb(a_{0})=Aff(a_{0})?

 

定理:( Graczyk – Swiatek, Lyubich, 1997) 假设 f_{a_{0}} 没有双曲吸引或者中性周期轨,则 Comb(a_{0})=Qc(a_{0}).

推论:( Sullivan, 1988) Axiom A 系统在实系数二次多项式中稠密。

1.一维动力系统中的双曲性

定理: 假设f:[0,1]\rightarrow [0,1] C^{k}, k是正整数,则存在C^{k} 函数 f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1] 使得 || f_{n}- f ||_{C^{k}}=\max_{x\in[0,1]} \max_{0\leq m\leq k} |D^{m}f_{n}(x)-D^{m}f(x)| \rightarrow 0 as k\rightarrow \infty, 这里的每个f_{n}都满足Axiom A。

 

假设X是紧致度量空间,f:X\rightarrow X是连续函数。如果n是使得f^{n}(x)=x的最小正整数,则称x是以n为周期的周期点。

定义:

\omega(x)=\{ y\in X: \exists n_{k} \rightarrow \infty, f^{n_{k}}(x)\rightarrow y\}.

正向不变集:f(A)\subseteq A,

反向不变集:f^{-1}(A)\subseteq A,

完全不变集:f^{-1}(A)=A i.e. f(A)\subseteq A and f^{-1}(A)\subseteq A.

假设X=[0,1], f(x)\in C^{1}[0,1], \{ x, f(x), ... , f^{n-1}(x)\} 是以n为周期的周期轨道, 定义乘子(multiplier) \lambda=Df^{n}(x)=Df(x)\cdot Df(f(x)) ... Df(f^{n-1}(x))

|\lambda| \neq 1称为orb(x)=\{ f^{k}(x): k=0,1,2... \}是双曲周期轨。

|\lambda|=1称为中性周期轨。

|\lambda|<1称为双曲吸引轨。

|\lambda|>1称为双曲斥性轨。

双曲集合(hyperbolic set):假设f:[0,1]\rightarrow [0,1]C^{1}映射,A是紧集并且f(A)\subseteq A。如果存在C>0, \lambda>1使得对任意的x\in A, n\geq 1, 有|Df^{n}(x)| \geq C\lambda^{n},则称A是双曲集。

Axiom A: 假设 f:[0,1]\rightarrow [0,1]C^{1} 映射,称 f 满足 Axiom A是指:

(1)f 有有限多个双曲吸引轨 \theta_{1},...,\theta_{m},

(2)B(\theta_{i}) 是双曲吸引轨 \theta_{i} 的吸引区域, \Omega=[0,1]\setminus \cup_{i=1}^{m}B(\theta_{i}) 是双曲集。

例子1:f(x)=-x^{2},1是双曲斥性不动点,0是双曲吸引不动点。B(\{0\})=(-1,1), \Omega=[-1,1]\setminus B(\{0\})=\{-1,1\}. f^{n}(x)=x^{2^{n}} , Df^{n}(x)=2^{n}x^{2^{n}-1}. 取C=1, \lambda=2.

例子2:f(x)=2x(1-x), f(x)=ax(1-x).

 

性质1: 双曲斥性周期轨一定是双曲集。

性质2: 双曲集中没有临界点。

性质3: 双曲集合中任何一个周期轨都是双曲斥性的。

 

命题:假设f:[0,1]\rightarrow [0,1]属于C^{1+\alpha}并且\alpha \in(0,1). i.e. Df(x)\alpha-Holder连续的,|Df(x)-Df(y)|\leq C|x-y|^{\alpha}.如果A是双曲集,则A的Lebesgue测度是零。

证明:

 

 

定理(Mane,1985)(CMP)
假设 f:[0,1]\rightarrow [0,1] 是一个 C^{2} 的映射,

(1) f 的所有周期轨都是双曲的。

(2) Crit(f) 指的是 f 的临界点。\forall c\in Crit(f), 则存在双曲吸引周期轨 \theta_{c} 使得 d(f^{n}(c),\theta_{c})\rightarrow 0, n\rightarrow \infty.

\Longleftrightarrow f 满足 Axiom A。

另外一种形式:

假设f:[0,1]\rightarrow [0,1]是一个C^{2}的映射,

U\subseteq Crit(f)\cup \text{ hyperbolic attracting orbits }\cup \text{ and neutral orbits } ,

\Lambda_{U} = \{ x\in[0,1]: f^{n}(x)\notin U, \forall n\geq 0 \},

\Rightarrow \Lambda_{U} 是双曲集。