Graduate Summer School 2008

考虑二次多项式 $f_{a}(x)=ax(1-x), a\in[0,4]$ , $f_{a}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ .

问题：

$\{ a\in[0,4]: f_{a} \text{ satisfies Axiom A} \}$ 是否在 [0,4] 中稠密？

引理： $f_{a}$ 满足 Axiom A $\Leftrightarrow$ $f_{a}$ 有双曲吸引周期轨。

定义 Kneading 序列： $K(f_{a})=\{ i_{1}, i_{2},... \},$ $i_{k}=L \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})<\frac{1}{2};$ $i_{k}=c=\frac{1}{2} \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2};$ $i_{k}=R \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})>\frac{1}{2}.$

例子：

$K(f_{4})=(R,L,L,L,...)=RLLL,$

$K(f_{1})=(L,L,L,L,...)=LLLL,$

$K(f_{2})=(c,c,c,c,...)=cccc,$

$K(f_{1.9})=(L,L,L,L,...)=LLLL,$

在这里， $f_{1}$ 和 $f_{1.9}$ 不是拓扑共轭的，即使它们的 Kneading 序列是一样的。

定义：f 和 g 称为拓扑共轭，如果存在同胚映射 h 使得 $h\circ f= g \circ h$ .

性质1: 如果 $f_{a_{1}}$ 和 $f_{a_{2}}$ 拓扑同胚，则有 $K(f_{a_{1}})= K(f_{a_{2}}).$

引理：如果 $f_{a_{1}}$ 和 $f_{a_{2}}$ 没有双曲吸引或者双曲中性周期轨，则 $K(f_{a_{1}})= K(f_{a_{2}}) \Rightarrow$ $f_{a_{1}}$ 和 $f_{a_{2}}$ 拓扑同胚 $\Rightarrow a_{1}=a_{2}.$

定义：拟共形映射的分析定义： $\varphi: \Omega\rightarrow \tilde{\Omega},$ 在这里 $\Omega, \tilde{\Omega}$ 都是复平面上面的连通开集, $\varphi$ 是保持定向的同胚映射，称 $\varphi$ 是 K 拟共形映射 ( $K\geq 1$ ), 如果

(1) $\varphi$ 是 ACL 的，也就是线段上绝对连续，absolutely continuous on lines.

(2) $| \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}} | \leq \frac{K-1}{K+1} |\frac{\partial \varphi}{\partial z}|$ 几乎处处成立。

拟共形映射的一些性质：假设 $\varphi$ 是 K－拟共形映射， $K\geq 1$ .

(i) $\varphi$ 几乎处处可微。对几乎所有的 $z_{0}\in \Omega$ 有

$\varphi(z) = \varphi(z_{0}) + \frac{\partial \varphi}{\partial z}(z_{0})(z-z_{0}) + \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}}(z_{0})\overline{(z-z_{0})}+ o(|z-z_{0}|).$

$| \frac{\partial \varphi}{\partial z}|>0$ 几乎处处成立。

定义 $\varphi$ 的复特征是 $\mu_{\varphi}= \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}} / \frac{\partial \varphi}{\partial z},$ 则 $||\mu_{\varphi}||_{\infty} \leq \frac{K-1}{K+1} <1.$

(ii) Measurable Riemann Mapping Theorem ( Ahlfors-Bers )

Assume $f_{a}(x)=ax(1-x),$ $a_{0} \in (0,4]$

$Comb(a_{0})=\{ a\in(0,4]: K(f_{a})=K(f_{a_{0}}) \},$

$Top(a_{0})= \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are topological conjugate } \},$

$\Rightarrow Top(a_{0}) \subseteq Comb(a_{0}).$

$Qc(a_{0}) = \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are quasi-conformal conjugate} \},$

$Aff(a_{0}) = \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are linear conjugate} \},$

$\Rightarrow Aff(a_{0}) \subseteq Qc(a_{0}).$

刚性问题： $Comb(a_{0})=Qc(a_{0}) ?$ $Comb(a_{0})=Aff(a_{0})?$

定理：( Graczyk – Swiatek, Lyubich, 1997) 假设 $f_{a_{0}}$ 没有双曲吸引或者中性周期轨，则 $Comb(a_{0})=Qc(a_{0}).$

推论：( Sullivan, 1988) Axiom A 系统在实系数二次多项式中稠密。

定理： 假设 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 是 $C^{k}$ , $k$ 是正整数，则存在 $C^{k}$ 函数 $f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 使得 $|| f_{n}- f ||_{C^{k}}=\max_{x\in[0,1]} \max_{0\leq m\leq k} |D^{m}f_{n}(x)-D^{m}f(x)| \rightarrow 0$ as $k\rightarrow \infty$ , 这里的每个 $f_{n}$ 都满足Axiom A。

假设 $X$ 是紧致度量空间， $f:X\rightarrow X$ 是连续函数。如果 $n$ 是使得 $f^{n}(x)=x$ 的最小正整数，则称x是以n为周期的周期点。

定义：

$\omega(x)=\{ y\in X: \exists n_{k} \rightarrow \infty, f^{n_{k}}(x)\rightarrow y\}$ .

正向不变集： $f(A)\subseteq A$ ,

反向不变集： $f^{-1}(A)\subseteq A$ ,

完全不变集： $f^{-1}(A)=A$ i.e. $f(A)\subseteq A$ and $f^{-1}(A)\subseteq A$ .

假设 $X=[0,1]$ , $f(x)\in C^{1}[0,1]$ , $\{ x, f(x), ... , f^{n-1}(x)\}$ 是以n为周期的周期轨道，定义乘子(multiplier) $\lambda=Df^{n}(x)=Df(x)\cdot Df(f(x)) ... Df(f^{n-1}(x))$ 。

$|\lambda| \neq 1$ 称为 $orb(x)=\{ f^{k}(x): k=0,1,2... \}$ 是双曲周期轨。

$|\lambda|=1$ 称为中性周期轨。

$|\lambda|<1$ 称为双曲吸引轨。

$|\lambda|>1$ 称为双曲斥性轨。

双曲集合（hyperbolic set）:假设 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 是 $C^{1}$ 映射，A是紧集并且 $f(A)\subseteq A$ 。如果存在 $C>0, \lambda>1$ 使得对任意的 $x\in A, n\geq 1$ , 有 $|Df^{n}(x)| \geq C\lambda^{n}$ ，则称A是双曲集。

Axiom A：假设 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 是 $C^{1}$ 映射，称 f 满足 Axiom A是指：

（1）f 有有限多个双曲吸引轨 $\theta_{1},...,\theta_{m}$ ,

（2） $B(\theta_{i})$ 是双曲吸引轨 $\theta_{i}$ 的吸引区域, $\Omega=[0,1]\setminus \cup_{i=1}^{m}B(\theta_{i})$ 是双曲集。

例子1： $f(x)=-x^{2}$ ，1是双曲斥性不动点，0是双曲吸引不动点。 $B(\{0\})=(-1,1)$ , $\Omega=[-1,1]\setminus B(\{0\})=\{-1,1\}$ . $f^{n}(x)=x^{2^{n}}$ , $Df^{n}(x)=2^{n}x^{2^{n}-1}$ . 取 $C=1, \lambda=2$ .

例子2： $f(x)=2x(1-x), f(x)=ax(1-x)$ .

性质1: 双曲斥性周期轨一定是双曲集。

性质2: 双曲集中没有临界点。

性质3: 双曲集合中任何一个周期轨都是双曲斥性的。

命题：假设 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 属于 $C^{1+\alpha}$ 并且 $\alpha \in(0,1)$ . i.e. $Df(x)$ 是 $\alpha-Holder$ 连续的， $|Df(x)-Df(y)|\leq C|x-y|^{\alpha}.$ 如果A是双曲集，则A的Lebesgue测度是零。