Category Archives: Graduate Summer School 2008

2. 刚性定理

考虑二次多项式 f_{a}(x)=ax(1-x), a\in[0,4], f_{a}:[0,1]\rightarrow [0,1].

问题:

\{ a\in[0,4]: f_{a} \text{ satisfies Axiom A} \} 是否在 [0,4] 中稠密?

引理:f_{a} 满足 Axiom A \Leftrightarrow f_{a} 有双曲吸引周期轨。

定义 Kneading 序列: K(f_{a})=\{ i_{1}, i_{2},... \}, i_{k}=L \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})<\frac{1}{2};  i_{k}=c=\frac{1}{2} \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2};  i_{k}=R \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})>\frac{1}{2}.

例子:

K(f_{4})=(R,L,L,L,...)=RLLL,

K(f_{1})=(L,L,L,L,...)=LLLL,

K(f_{2})=(c,c,c,c,...)=cccc,

K(f_{1.9})=(L,L,L,L,...)=LLLL,

在这里,f_{1}f_{1.9} 不是拓扑共轭的,即使它们的 Kneading 序列是一样的。

定义:f 和 g 称为拓扑共轭,如果存在同胚映射 h 使得 h\circ f= g \circ h.

性质1: 如果 f_{a_{1}} f_{a_{2}} 拓扑同胚,则有 K(f_{a_{1}})= K(f_{a_{2}}).

引理:如果 f_{a_{1}} f_{a_{2}} 没有双曲吸引或者双曲中性周期轨,则 K(f_{a_{1}})= K(f_{a_{2}}) \Rightarrow  f_{a_{1}} f_{a_{2}} 拓扑同胚 \Rightarrow a_{1}=a_{2}.

定义:拟共形映射的分析定义: \varphi: \Omega\rightarrow \tilde{\Omega}, 在这里 \Omega, \tilde{\Omega} 都是复平面上面的连通开集, \varphi 是保持定向的同胚映射,称 \varphi 是 K 拟共形映射 (K\geq 1), 如果

(1) \varphi 是 ACL 的,也就是线段上绝对连续,absolutely continuous on lines.

(2) | \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}} | \leq \frac{K-1}{K+1} |\frac{\partial \varphi}{\partial z}| 几乎处处成立。

拟共形映射的一些性质:假设 \varphi 是 K-拟共形映射,K\geq 1.

(i) \varphi 几乎处处可微。对几乎所有的 z_{0}\in \Omega

\varphi(z) = \varphi(z_{0}) + \frac{\partial \varphi}{\partial z}(z_{0})(z-z_{0}) + \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}}(z_{0})\overline{(z-z_{0})}+ o(|z-z_{0}|).

| \frac{\partial \varphi}{\partial z}|>0 几乎处处成立。

定义 \varphi 的复特征是 \mu_{\varphi}= \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}} / \frac{\partial \varphi}{\partial z},||\mu_{\varphi}||_{\infty} \leq \frac{K-1}{K+1} <1.

(ii) Measurable Riemann Mapping Theorem ( Ahlfors-Bers )

 

Assume f_{a}(x)=ax(1-x), a_{0} \in (0,4]

Comb(a_{0})=\{ a\in(0,4]: K(f_{a})=K(f_{a_{0}}) \},

Top(a_{0})= \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are topological conjugate } \},

\Rightarrow Top(a_{0}) \subseteq Comb(a_{0}).

Qc(a_{0}) = \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are quasi-conformal conjugate} \},

Aff(a_{0}) = \{ a\in (0,4]: f_{a} \text{ and } f_{a_{0}} \text{ are linear conjugate} \},

\Rightarrow Aff(a_{0}) \subseteq Qc(a_{0}).

刚性问题:Comb(a_{0})=Qc(a_{0}) ? Comb(a_{0})=Aff(a_{0})?

 

定理:( Graczyk – Swiatek, Lyubich, 1997) 假设 f_{a_{0}} 没有双曲吸引或者中性周期轨,则 Comb(a_{0})=Qc(a_{0}).

推论:( Sullivan, 1988) Axiom A 系统在实系数二次多项式中稠密。

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1.一维动力系统中的双曲性

定理: 假设f:[0,1]\rightarrow [0,1] C^{k}, k是正整数,则存在C^{k} 函数 f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1] 使得 || f_{n}- f ||_{C^{k}}=\max_{x\in[0,1]} \max_{0\leq m\leq k} |D^{m}f_{n}(x)-D^{m}f(x)| \rightarrow 0 as k\rightarrow \infty, 这里的每个f_{n}都满足Axiom A。

 

假设X是紧致度量空间,f:X\rightarrow X是连续函数。如果n是使得f^{n}(x)=x的最小正整数,则称x是以n为周期的周期点。

定义:

\omega(x)=\{ y\in X: \exists n_{k} \rightarrow \infty, f^{n_{k}}(x)\rightarrow y\}.

正向不变集:f(A)\subseteq A,

反向不变集:f^{-1}(A)\subseteq A,

完全不变集:f^{-1}(A)=A i.e. f(A)\subseteq A and f^{-1}(A)\subseteq A.

假设X=[0,1], f(x)\in C^{1}[0,1], \{ x, f(x), ... , f^{n-1}(x)\} 是以n为周期的周期轨道, 定义乘子(multiplier) \lambda=Df^{n}(x)=Df(x)\cdot Df(f(x)) ... Df(f^{n-1}(x))

|\lambda| \neq 1称为orb(x)=\{ f^{k}(x): k=0,1,2... \}是双曲周期轨。

|\lambda|=1称为中性周期轨。

|\lambda|<1称为双曲吸引轨。

|\lambda|>1称为双曲斥性轨。

双曲集合(hyperbolic set):假设f:[0,1]\rightarrow [0,1]C^{1}映射,A是紧集并且f(A)\subseteq A。如果存在C>0, \lambda>1使得对任意的x\in A, n\geq 1, 有|Df^{n}(x)| \geq C\lambda^{n},则称A是双曲集。

Axiom A: 假设 f:[0,1]\rightarrow [0,1]C^{1} 映射,称 f 满足 Axiom A是指:

(1)f 有有限多个双曲吸引轨 \theta_{1},...,\theta_{m},

(2)B(\theta_{i}) 是双曲吸引轨 \theta_{i} 的吸引区域, \Omega=[0,1]\setminus \cup_{i=1}^{m}B(\theta_{i}) 是双曲集。

例子1:f(x)=-x^{2},1是双曲斥性不动点,0是双曲吸引不动点。B(\{0\})=(-1,1), \Omega=[-1,1]\setminus B(\{0\})=\{-1,1\}. f^{n}(x)=x^{2^{n}} , Df^{n}(x)=2^{n}x^{2^{n}-1}. 取C=1, \lambda=2.

例子2:f(x)=2x(1-x), f(x)=ax(1-x).

 

性质1: 双曲斥性周期轨一定是双曲集。

性质2: 双曲集中没有临界点。

性质3: 双曲集合中任何一个周期轨都是双曲斥性的。

 

命题:假设f:[0,1]\rightarrow [0,1]属于C^{1+\alpha}并且\alpha \in(0,1). i.e. Df(x)\alpha-Holder连续的,|Df(x)-Df(y)|\leq C|x-y|^{\alpha}.如果A是双曲集,则A的Lebesgue测度是零。

证明:

 

 

定理(Mane,1985)(CMP)
假设 f:[0,1]\rightarrow [0,1] 是一个 C^{2} 的映射,

(1) f 的所有周期轨都是双曲的。

(2) Crit(f) 指的是 f 的临界点。\forall c\in Crit(f), 则存在双曲吸引周期轨 \theta_{c} 使得 d(f^{n}(c),\theta_{c})\rightarrow 0, n\rightarrow \infty.

\Longleftrightarrow f 满足 Axiom A。

另外一种形式:

假设f:[0,1]\rightarrow [0,1]是一个C^{2}的映射,

U\subseteq Crit(f)\cup \text{ hyperbolic attracting orbits }\cup \text{ and neutral orbits } ,

\Lambda_{U} = \{ x\in[0,1]: f^{n}(x)\notin U, \forall n\geq 0 \},

\Rightarrow \Lambda_{U} 是双曲集。