# 丘成桐香港中文大学演讲：如何成就科学大师

（丘成桐 1949年出生于广东汕头。1983年获得素有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖，迄今仍是华人数学家中唯一的获奖者。1979年后，丘成桐把主要精力转向振兴祖国数学事业上，先后创建了香港中文大学数学所、中科院晨兴数学中心、浙江大学数学中心和清华大学数学中心，并亲自担任这些研究机构的负责人。现任美国哈佛大学讲座教授、国际顶尖数学杂志《微分几何杂志》主编。）（原标题：数学与生活）

# 13 Math Jokes That Every Math Geek Will Find Hilarious

Back when the internet was young, the primary users were its builders, math and tech-oriented academics spread around the country.

As a result, math jokes have an elemental role in the history of the internet.

From the earliest Usenet threads to the techiest subreddits, geeky math jokes — some implicit swipes at less-pure disciplines, other puns or plays on words of different concepts — have been a major part of the modern history of math.

What’s more, these japes also have the effect of making those who didn’t get the joke to look into what makes it funny, teaching people some of the more obscure concepts.

Here are just a few of the best ones. Where necessary, we’ll do the unthinkable and the tacky and explain the joke.

### JOKE #1

Three statisticians go out hunting together. After a while they spot a solitary rabbit. The first statistician takes aim and overshoots. The second aims and undershoots. The third shouts out “We got him!”

Source: chjilloutdamnit / Reddit

### JOKE #2

Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously.

Source: armchairdetective /  reddit

Explanation: When you roll a die, you either get a 1, 2, 3, 4, 5, or 6. Since there are a finite number of possibilities, the statistic involved is called a discrete random variable. When you select any real number from between 0 and 1, there are an infinite number of possible draws. The statistic involved is called a continuous random variable.

### JOKE #3

There was a statistician that drowned crossing a river… It was 3 feet deep on average.

Source: anatiferous_outlaw / reddit

### JOKE #4

Write the expression for the volume of a thick crust pizza with height “a” and radius “z”.

Source: Reddit

Explanation: The formula for volume is π·(radius)2·(height). In this case, pi·z·z·a.

### JOKE #5

A: “What is the integral of 1/cabin?”

B: “log cabin.”

A: “Nope, houseboat–you forgot the C.”

Source: Reddit

Explanation: We’re treating “cabin” is a variable.

The integral of 1/x is loge(x).

However, since it’s integration, you’ve got to add a constant.

So ∫(1/cabin) = loge(cabin) + c, or “a log cabin plus the sea.”

### JOKE #6

Q: Why did the chicken cross the road?

A: The answer is trivial and is left as an exercise for the reader.

Source: Reddit

Explanation:

This is a common refrain found in mathematics texts.

It is widely considered a cruel professor’s malicious cop-out by particularly lazy students of mathematics.

### JOKE #7

Q: How many mathematicians does it take to change a light bulb?

A: One: she gives it to three physicists, thus reducing it to a problem that has already been solved.

Source: MathOverflow

Explanation: Mathematicians try to reduce an unsolved problem to a form which has already been solved before. Once that’s done it’s considered complete, as the previously derived formula is taken as written.

There are many light bulb jokes about physicists. Finding several are left as an exercises to the reader.

### JOKE #8

A physicist, a biologist, and a mathematician are sitting on a bench across from a house. They watch as two people go into the house, and then a little later, three people walk out.

The physicist says, “The initial measurement was incorrect.”

The biologist says, “They must have reproduced.”

And the mathematician says, “If exactly one person enters that house, it will be empty.”

Source: Reddit

### JOKE #9

The B in Benoît B. Mandelbrot stand for Benoît B. Mandelbrot.

Source: Reddit

Explanation: The Mandelbrot set is a fractal. As you zoom in on portions of the fractal, you ee a self replicating image. So the infinite paradox in the joke is a shoutout to the problem. Here’s an example of what we’re talking about with a gif of zooming in on a point of infinite complexity in the Mandelbrot set:

### JOKE #10

Infinitely many mathematicians walk into a bar. The first says, “I’ll have a beer.” The second says, “I’ll have half a beer.” The third says, “I’ll have a quarter of a beer.” The barman pulls out just two beers. The mathematicians are all like, “That’s all you’re giving us? How drunk do you expect us to get on that?” The bartender says, “Come on guys. Know your limits.”

Source: Reddit

Explanation: This is a reference to a converging infinite series.

The limit of this:

from n=0 to ∞   Σ (1/2n) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …  = 2

### JOKE #11

An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third orders a third of a beer. The bartender bellows, “Get the hell out of here, are you trying to ruin me?”

Source: Reddit

Explanation: This is another hilarious reference to an infinite series — the harmonic series — which is not convergent but instead diverges to infinity.

from n=1 to ∞   Σ (1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …  =

See a full explanation in this slideshow >

### JOKE #12

When a statistician passes the airport security check, they discover a bomb in his bag. He explains. “Statistics shows that the probability of a bomb being on an airplane is 1/1000. However, the chance that there are two bombs at one plane is 1/1000000. So, I am much safer…”

Source: Andrej and Elena Cherkaev

Explanation: While this statistician is correct that the joint probability there are two bombs on a plane is 1/1,000,000, his bringing one on doesn’t change the prior probability that there is still a 1/1,000 chance of his flight being the one with a random bomb.

### JOKE #13

What do you get when you cross a mosquito with a mountain climber?

Nothing. You can’t cross a vector and a scalar.

Source: Reddit

Explanation: A vector is a mathematical entity with both magnitude and direction in any number of dimensions. You can take the cross product of two vectors to form a new vector, similar to multiplication of real numbers.

A scalar is just a real number, a directionless magnitude in vector space. You cannot take a cross product of a scalar and a vector.

Hence, you can’t cross a mosquito (disease vector) and a mountain climber (a scalar).

That is one terrible pun. I’m sorry.

# 数学家和数学笑话【最新汇总】

（0）有两个数学家在争论现在大众对数学了解的程度，一个比较乐观，另一个比较悲观，谁也说服不了谁。争到要吃中饭的时候，大家决定暂停争论，先吃饭。悲观的那个有点事，叫乐观的那个先去饭馆占张桌子，他随后就到。乐观的那个跑到饭馆里坐下，眉头一皱计上心来，把服务员小姐叫过来对她说：“等一会儿我会问你个问题，你不管我问什么，你就说：‘三分之一乘以X的三次方。’”“三分之一乘以……X的……三次方？”“对啦，就是这，别忘了。”然后悲观的那个来了，两人又接着争。乐观的那个就说：“让我们来看看吧。”就问在邻桌服务的服务员小姐：“小姐，X平方的积分是什么？““三分之一乘以X的三次方。”小姐想也没想头也没抬回答得挺快，离开后，她又回来补充了一句：“嗯——还要加上一个常数项。”

（1）一个英国某大学的数学教授发现自己家的下水道堵了，就请来一个水管工来修。30分钟后，水管疏通了。教授相当满意水管工的表现，但当他看到账单后不禁叫：“what！就30分钟你收的钱够我一个月收入的1/3了！我去当水管工好了！”。水管工说，“你可以去啊。我们公司正招人呢，还包培训。不过你得说你只是小学毕业。公司不喜欢学历太高的人”。于是教授就去参加培训，当了水管工。他的收入一下翻了三倍。他比以前高兴多了。几年后，公司突然决定把水管工们的文化水平提高到初中毕业，便要求旗下的工人们都去上夜校。夜校的第一堂课是数学。老师想先看一下这些水管工的基础有多好，于是他随便抽了一个人上来写圆面积的公式。这个教授被抽中了，不过干了这么多年水管工，他已经忘了圆面积的公式是PI * R^2。于是他只好从头推导：把圆无限分割后积分。但他得出的结果是负的PI * R^2。尴尬ing，教授从来又来，结果还是负的。他非常尴尬，于是回过头向教室里坐着的几十个水管工同事求助。只见这些同事正在交头接耳，纷纷给他说：把积分上下限交换一下。

（2）数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里, 看着人们从街对面的一间房子走进走出.他们先看到两个人进去. 时光流逝. 他们又看到三个人出来.

（3）工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里. 当晚先是工程师的咖啡机着了火, 他嗅到烟味醒来, 拔出咖啡机的电插头, 将之扔出窗外,然后接着睡觉.

（4）物理教授走过校园，遇到数学教授。物理教授在进行一项实验，他总结出一个经验方程，似乎与实验数据吻合，他请数学教授看一看这个方程。一周后他们碰头，数学教授说这个方程不成立。可那时物理教授已经用他的方程预言出进一步的实验结果，而且效果颇佳，所以他请数学教授再审查一下这个方程。又是一周过去，他们再次碰头。数学教授告诉物理教授说这个方程的确成立，“但仅仅对于正实数的简单情形成立。”

（5）工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务：将一根钉子钉进一堵墙。工程师造了一件万能打钉器，即能把任何一种可能的钉子打进任何一种可能的墙里的机器。物理学家对于榔头、钉子和墙的强度做了一系列的测试，进而发展出一项革命性的科技——超低温下超音速打钉技术。数学家将问题推广到N维空间，考虑一个1维带扭结的钉子穿透一个N-1维超墙的问题。很多基本定理被证明…当然啦，这个题目之深奥使得一个简单解的存在性都远非显然。

（6）一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设时间允许，他可以把木纤维拉的和赤道一样长，他认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。”

（7）物理学家和工程师乘着热气球，在大峡谷中迷失了方向。他们高声呼救：“喂——！我们在哪儿？”过了大约15分钟，他们听到回应在山谷中回荡：“喂——！你们在热气球里！”物理学家道：“那家伙一定是个数学家。”工程师不解道：“为什么？”物理学家道：“因为他用了很长的时间，给出一个完全正确的答案，但答案一点用也没有。”

（8）常函数和指数函数e的x次方走在街上，远远看到微分算子，常函数吓得慌忙躲藏，说：“被它微分一下，我就什么都没有啦！”指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样，我是e的x次方！”指数函数与微分算子相遇。指数函数自我介绍道：“你好，我是e的x次方。”微分算子道：“你好，我是d/dy！”

（9）物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上,碰巧看到一只黑色的羊.“啊,”天文学家说道,“原来苏格兰的羊是黑色的.”“得了吧,仅凭一次观察你可不能这么说.”物理学家道,“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的.”“也不对,”数学家道,“由这次观察你只能说:在这一时刻,这只羊,从我们观察的角度看过去,有一侧表面上是黑色的.”

（10）一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭。”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着。”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”

（11）一个数学家、物理学家和工程师，来到了一个农场，这个农场养的鸡生病了，农夫试过了各种方法，兽医也没有办法，一个动物学教授在仔细研究之后建议农夫尝试去请教一下别的科学家。数学家仔细观察了那些鸡，并且做了一些测量，然后计算了很多次，并且做了大量的统计分析，但是最后他最后得出结论说他没有办法找出那里出了问题。工程师搬来一大堆各种仪器，让后对鸡进行了了各种测量，包括比较正常的鸡和生病的鸡的重量等等，但是他也没有办法得出任何有用的结论。最后轮到物理学家了，他只是看了一眼那些鸡就开始计算起来，经过大概一个小时的计算，他终于说：“我已经找到挽救你的鸡的方法了，不过这种方法只对在真空中的球形的鸡有效。”

（12）证明所有大于2的奇数都是质数,不同专业的人给出不同的证明:

（13）Pi是什么?

Landau这位俄国最伟大的物理学家惊叹道：“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的。”据说这是Landau看了Goldbach(哥德巴赫)猜想之后的感觉。

Hilbert曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann猜想，尽管其中有个无法挽回的错误，Hilbert还是被深深的吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事死了，Hilbert要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，Hilbert说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明Riemann猜想，再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数…..”众人皆倒。

1976年徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》在全国引起轰动以后， 中科院数学所收到过无穷多关于证明了哥德巴赫猜想的信件，后来实在没有精力处理，就印了一批卡片，样子大概是这个样子的

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A.Coble是上个世纪美国的院士，做代数几何，一度很有影响。据称，他有无穷多个博士论文的题目：当你证明了一个2维的情况的时候，他叫下一个博士生去证明3维的情况，然后叫下下个博士生去做4维的。后来有个叫Gerald Huff的博士，不但做了5维的情况，而且对一般的n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了。Coble很怒。

von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少的这种。应该先求出相遇的时间，再乘狗的速度。如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到有什么困难了。von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望，说你以前一定听说过这个诀窍吧，他指的是上面的这个做法。von Neumann说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次跑得都算出来，然后算出那个无穷的级数。”……

Kolmogorov大概在17岁左右，写了一片关于牛顿力学的论文，就去了Moscow State University，他刚刚开始学的不是数学，他经常会提到他为什么后来去学数学。一开始，Kolmogorov喜欢历史学，并且写了一篇很不错的历史学的论文，他的历史老师告诉他说在历史学中你要证明自己的观点需要几个甚至十几个论据来才足够，Kolmogorov就问说什么学科只需要一个证明就够了，他的老师说是数学，于是他就选择了数学系

Bernoulli 家族

1． John Bernoulli在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出，公开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi.Bernoulli,这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志好像是Leibniz搞得，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，Leibniz的,还有一个L.Hospital侯爵的 （我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的，是个有钱人）然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳的，必然是Newton的，John自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子．”据说当年Newton从造币厂回去，看到了Bernoulli的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌晨4点，就搞定了。这么多解答当中，John的应该是最漂亮的，类比了Fermat原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，Jacobi的做法真正体现了变分思想。

2． Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（他是John Bernoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoullis。”那个人当时就怒了，说：“我是还是Issac Newton 呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。

3． 法国有一个哲学家，叫做Denis Diderot，中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler来教育一下Diderot，其实Euler本来是弄神学的 ，他老爸就是的，后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲，才让Euler做数学了。Euler邀请Diderot来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，然后，在众人面前说：“ 先生，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；请回答!”Diderot自然不懂代数，于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎……

1． Graham说：“我知道一数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错的，2，3，5，7；但是到月终的日子就显得难过了，先是素数变稀，19，23，然后是一个大的间隙，一下子就蹦到了29，……”

2． 由于Fermat大定理的名声，在New York的地铁车站出现了乱涂在墙上的话： x^n + y^n = z^n 没有解对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时间写出来，因为我的火车正在开来。

3． 有一个人叫做Paul Wolfskehl,大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他被无数次被拒绝。感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告别这个世界，再也不理会尘世间的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被Kummer解释Cauchy等前人做Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云……这样他重新立了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，讲给第一个证明Fermat定理的人10万马克… …这就是Wolfskehl奖的来历。

Gottingen的传说

Gottingen市政厅底层的墙上 直言不讳的镌刻着： “Gottingen以外没有生活。”

1． 1854年，Riemann为了在Gottingen获得一个讲师的席位，发表了他划时代的关于几何学的演说。由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员，对于数学根本就不懂，Riemann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber的回忆说，当演说结束后，Gauss怀着少见的表情激动的称赞Riemann的想法。如果读读Riemann的讲稿，就会发现那几乎就是哲学，尽管这样子，当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss。而整个数学界,为了完善消化Riemann的这些想法，却话了将近100年的时间。有人说Riemann的著作，更接近于哲学而不是数学，甚至在一开始，欧洲的很多数学家认为Riemann的东西是一种家庭出版物，更接近物理学家的看法，与数学家没有关系。一次 ，Helmholz和Weiestrass一起外出度假，Weiestrass随身带了一篇Riemann的博士论文，以便能在一个山清水秀的环境里静静的研究这篇他认为是复杂又宏伟的工作。但是Helmholz大惑不解，他认为，Riemann的文章再明白不过了，为什么Weiestrass作为数学家要这么化功夫呢？

2． Klein上了年纪之后，在Gottingen的地位几乎就和神一般，大家对之敬畏有加。那里流行一个关于Klein的笑话，说Gottingen有两种数学家，一种数学家做他们自己要做但不是Klein要他们做的事；另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事。这样Klein不属于第一类，也不属于第二类，于是Klein不是数学家。

3． Wiener去Gottingen拜访这位老人家，他在门口见到女管家时，问道教授先生在么？女管家训斥道，枢密官先生在家。一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数学家在英国科学界的地位，譬如说Newton。Wiener见到Klein的时候，感觉就像去拜佛，后者高高在上，Wiener的描述是“对他而言时间已经变得不再有任何意义”。

4． 关于Klein还有一个故事，当初王诗宬老师请了一个法国的拓扑学家来北大做报告，他讲的东西和双曲几何有些关系，半路上，突然讲到了Klein和Poincare的故事，说是Klein和Poincare都在研究自守函数什么的，对于2维的的情况，Poincare把自己的结果用Fuchs的名字来命名，因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大的影响，Klein感到特别的不爽，他也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一无所知，如此冠名，他自然觉的很不妥。后来，他和Poincare分别做3维的情况，无奈自己不是Poincare那样的天才，用功过度，体力不支，身体都垮了，从此结束了自己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么东西，于是把3维自己得到的群命名为Klein群。当时王老师也特别想将这个故事，自己踌躇了半天，后来说这个东西是法国人很有面子的一件事情，还是让这个法国人讲了。

D.Hilbert

5． David Hilbert并不是Gottingen毕业的。19世纪80年代，Berlin大学的博士论文答辩， 需要2名学生作为对手，他们向你不停的发问。Hilbert的一个对手是Emil Wiechert(埃 米尔.魏恰特),后来是最著名的地震学家。那时候，德国（也许叫做普鲁士）的大学教授特别少。Berlin之后3名数学教授，一般的大学至多2个。 Hilbert的博士宣誓仪式，校长主持：“我庄严的要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你讲勇敢的去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩；既不为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。”欧很想知道现在北大的授予博士仪式是不是也有类似的话

6． Hilbert上了年纪的时候，一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道数学家。那时候，Minkowski这些他很熟的人，有很多都已经故去。他特别关心正在被谈论的这个人，当大家说完这个人有几个孩子之类的事情之后，他就问说：“…他还‘存在’么.…….”

7． Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事，说是他在街上散步，发现一个年轻人正在默默想着某个很重要的问题，于是Minkowski轻轻的拍拍他的肩膀，告诉他“收敛是肯定的”，年轻人感激而笑。

8． H.刚去Gottingen的时候,被拒之“圈”外。所谓的圈，是指Toeplitz, Schmidt, Hecke和Haar等一

9． von Karman（冯.卡门）通过Haar的介绍来到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之后，他很快成为“圈”内的领袖。圈外人Weyl再一次证明了他的优秀，他和Karman同时爱上了才貌双全的一个女孩，并且展开了一场竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧，因为那个女孩子选择了Weyl。

L.V.Ahlfors说这些话的时候，正是二战受封锁的时候 “Feilds奖章给了我一个很实在的好处， 当被允许从芬兰去瑞典的时候， 我想搭火车去见一下我的妻子，可是身上只有10元钱。我翻出了Fields奖章，把它拿到当铺当了， 从而有了足够的路费…… 我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章……”

Hilbert写的第一篇关于Dirichlet原理的文章，希望Fredholm能够欣赏，但是Fredhold根本就没看；F.Riesz写了很多文章，希望Hilbert能够欣赏，但是Hilbert根本就没看；M.Riesz写了很多文章，希望F.Riesz能够欣赏，但是F.Riesz根本就没看……

1939年的时候，Kolmogorov决定在冰水中游泳，结果以住院告终，医生一致认为他差点点死掉；但是，70岁的时候，突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水，这一次却没有事情。

10． E.Landau是后来的Gottingen的数学系系主任，此人不仅解析数论超强，而且超级有钱。曾有人问他怎么能在Gottingen找到他，他很轻描淡写的说：“这个没有任何困难，它是城里最好的那座房子。”

11． E.Landau是比较自大的那种人，根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus的博士考试需要一个天文学家的提问。Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关3体问题的微分方程的时候，大声的说：“啊，如此说来，他知道这个.……”

12． A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间。一天，Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的Dedekind和他絮叨了一下午的废话，Dedekind狠狠的抱怨当年Guass对他不公平，在他的博士学位考试时，问了一些特别难的问题。

13． Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候，经过苏联，换火车的时候，在海参崴逗留了一阵，闲来无事去了当地的图书馆，这里的数学书仅仅占一个架子，全部都是Spring er-Verlag的黄皮书。

14． Poincare也曾去Gottingen演讲，顺便攻击了一下Cantor的集合论，Zermelo当时恰好证明的每个集合都可以良序化，Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子上，然而Poincare并不认识Zermelo，他大喊道：“Zermelo那个几乎独创的证明也应该彻底的毁掉，扔到窗外去！”Zermelo本来就性情古怪暴躁，那天更是绝望盛怒。Courant甚至认为Zermelo一定会在那天吃正餐的时候杀死Poincare。

15. Caratheodory是希腊的一个富人子弟，后来在测度等很多方面有着重要的贡献，北大图书馆还有他的一本讲复变函数的书，非常的几何化，特别优美。他当初是一个工程师， 26岁突然放弃了这样一个有前途的职业来学习数学，众人很不理解，他说：“通过不受束缚的专心的数学研究，我的生活会变得更有意义，我无法抗拒这样的诱惑。”他选择的学校是Gottingen.

16. W.F.Osgood是原来Havard的数学教授，来中国讲过课，我这里还有他在中国的讲稿:-)。他也是Gottingen毕业的，娶了一德国姑娘，在美国保持着德国的传统。大概是在Gottingen受的影响太大，Osgood做事都模仿F.Klein。他留着欧洲式的头发，抽烟的时候不停的用小刀戳雪茄，一直抽到发苦的烟蒂头。

17. 由于纳粹对犹太人采取的政策，很多数学家都离开了Gottingen。一次纳粹的教育部长问Hilbert说Gottingen 的数学现在怎么样了，Hilbert说：“Gottingen的数学，确实，这儿什么都没有了。”
Gottingen从那时开始一蹶不振。

18. 这一个几乎和Gottingen没有什么关系，很多数学家都是这个样子，开始的时候自己的工作的不到承认的，譬如说S.Lie当初的李群，Cantor当初的集合论，等等。Grassmann最初是一个预科学校的教员，尽管那个时候，他就做出了反交换代数这一大堆重要的东西，但是那个时代数学家从来不曾重视他的成果。Grassmann自己不的不放弃数学这个没有前途的职业，化了不少功夫在印度的梵文，把一个叫做Rig-Veda的印度古经译成了德文。所以Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重。在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann的写的维数论，标题页上面用铅笔写着Minkowski的名字，序言后的脚注是：“书付印时作者已去世。”Minkowski用几行字，清楚的表达了Grassmann的成就：“新版本将比三十多年前收到更多的尊重。”

Einstein和他的广义相对论

Einstein构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann几何，他的数学还是不尽如人意。后来，他去过一次Gottingen,给Hilbert等很多数学家做过几次报告，他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程，Hilbert的数学当然比Einstein好很多。不久，Einstein也得出来了，有人建议Hilbert考虑这个东西的署名权问题， Hilbert很坦诚的说：“Gottingen马路上的每一个孩子，都比Einstein更懂得四维几何，但是，尽管如此，发明相对论的仍然是Einstein而不是数学家。”

Albert Einstein的广义相对论发表没有多久，有记者去采访Eddington,说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论，不知这三个人都是谁？Eddington低头沉思，很久没有回答。那个记者忍不住又问了一遍，Eddington说：“我正在想谁是第三个人……”

Einstein描述广义相对论，用的数学就是弯曲空间上的几何学，意大利的数学家 Levi-Civita在这种几何学上做出了突出的贡献。所以，有人问Einstein他最喜欢意大利的什么,他回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita。

Einstein是Minkowski的学生，旷了无穷多的课，至于多年以后，Minkowski知道了Einstein的理论的时候，感叹道：“噢，Einstein,总是不来上课——我真的想不到他能有这样的作为。”

von Neumann移居美国的动机，很有特别的地方。他用了一种自己认为合理的方法，发现在德国将来的3年中，教授的职位的期望值是3，而候补的人数期望为40，这是一个不理想的就业前景，所以到美国去势在必行。这就是他的根据，此时并没有涉及到政治的形势。

von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少的这种。应该先求出相遇的时间，再乘狗的速度。如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到有什么困难了。

von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望，说你以前一定听说过这个诀窍吧，他指的是上面的这个做法。von Neumann说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次跑得都算出来，然后算出那个无穷的级数。”……

Banach在1927年参加一个数学的聚会的时候，他伙同众多数学家，一起用伏特加灌Neumann，最终Neumann不胜酒力，去了厕所，估计是呕吐。但是Bananch回忆道，当他回来继续讨论数学的时候，丝毫没有打断他的思路。

von Nuemann的年纪比Ulam要大一些，不过两个人是最好的朋友，经常在一起谈论女人。包括他们坐船旅行，除了数学之外，就是旁边的美女，每次Nuemann就会评论道：“她们并非完美的。”他们一次在一个咖啡馆里吃东西，一个女士优雅的走过，Neumann认出她来，并和她交谈了几句，他告诉Ulam这是他的一位老朋友，刚离婚。Ulam就问：“你干吗不娶她？”后来，他们两个结了婚。

de Moivre 21岁的时候，已经靠教数学为生，并且深信自己完全精通了这门学问。一个偶然的机会，他在一个公爵家里做客，且好Newton送来了自己的《原理》，他信手翻了 一下，惊奇的发现，数学竟然如此精深如此美丽的一门学问。这样，他买下了这本书，尽管为了教学需要四处奔波，他还要撕下书页，以便能够带在口袋里，空闲时进行研究 。

de Moivre（棣.莫佛）有个定理好像我们中学的课本里就有，说的是一个复数n次方的事情。

Pascal据说14岁的时候，就已经出席了法国高级数学家的聚会，18岁发明了一台计算机 ，是现在计算机的始祖。尽管如此，Pascal成年之后最终致力于神学，他认为上帝对他的安排之中不包含数学，所以完全的放弃了数学。35岁的时候，Pascal牙疼，不得不思考一点数学问题来打发时间，不知不觉间，竟然疼痛全无。于是，Pascal认为这是上天的安排，所以继续开始做数学家。Pascal这次复出的时间不到一周，但是已经发现旋轮线的最基本的一些性质。尔后，他继续研究神学。

Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)是苏联最伟大的数学家之一，在很多很多的领域做出了开创性的工作；Cauchy(柯西）就不用介绍了，从中学开始我们就认识这个法国人了。

Kolmogorov关于数学天赋的见解。当然，很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一下。柯牛人认为，一个人作为普通人的发展阶段终止的越早，这个人的数学天赋就越高。“我们最天才的数学家，在四五岁的时候，就终止了一半才能的发展了，那正是人成长中热衷于割断昆虫的腿和翅膀的时期。”Kolmogorov认为自己13岁才终止了普通人的发展，开始成长为数学家；而Aleksandrov是16岁。

Lagrange曾经预见了Cauchy的天才，苦心的告诫Cauchy的父亲，一定不要让Cauchy在十七岁之前接触任何数学书籍。这个巨象当年某些人不让张无忌学武功（好像有点不恰当 ）。:-))

Mondelbrolt是靠着画分形出名的，其实他的叔叔，Mandelbrojt是个更为出色的数学家，曾经是Bourbaki最早的几个成员。他做学生的时候，大老远从波兰到法国读数学，去了之后精神上受到了严重的伤害，因为他选了Goursat的分析课，然而Goursat上课永远用一种语气，讲述二三十年前就有的旧东西，听了三周左右的课，Mandelbrojt感觉和自己梦想当中的课差的太远，竟然哭了出来。不过，几年后，Bernstein来到巴黎，安慰Mandelbrojt说Goursat二十多年前就这么讲课。不过Goursat对人是很热情的。

Lebesgue尽管开始研究的东西很奇怪，不过他的讲课确实出奇的得受欢迎。
Picard则是个古怪高傲的人，他的老丈人是Hermite,两个人都是对分析很感兴趣。

Picard总给人一种高不可攀的感觉，令人不敢接近。每次Picard上课的时候，前面有一个戴有银链子的校役引路，他高傲的踱入教室，在椅子上放有一杯水，Picard先喝一口水，然后开始讲课，大约半个小时，他再喝一口水，一个小时以后，那个银链子校役就会来请他下课。

Lindemann，也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的的几个人之一。此处收集他的故事两则，一个是说他讲课，一个回忆了一下他在巴黎求学的两件小事，还是蛮可爱的。

Lindemann到巴黎学习的时候，听过Bertrand和Jordan的课，当时学数学的人太少，尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家，听他的课的人只有3个，偶尔会达到4个，其中却中一人是因为教室里暖和。

Lindemann还曾拜访过Hermite,让他难忘的一点事，那里有一把椅子，是当年Jacobi 坐过的。：-））

Rota曾讲了一个Lefschetz的故事，关于他的课是如何难懂得，因为他经常语无伦次。这是几何课的开场白：“一个Riemann曲面是一定形式的Hausdroff空间。你们知道Hausdroff空间是什么吧？它也是紧的，好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么。现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理–Riemann-Roch定理。”要知道第一节Riemann曲面的课如果这样进行的话，恐怕Riemann复生也未必可以听懂。：-）

Wiener尽管是个天才，却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的事情，Wiener天真的认为自己懂一种汉语，一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会，但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后，Wiener不得不评论：“他必须离开这里，他不会说北京话。”……

Galois一共参加了2次Polytechnique的考试，第一次，由于口试的时候不愿意做解释，并且显得无理，结果被据了。他当时大概十七八岁，年轻气盛，大部分东西的论证都是马马虎虎，一般懒的写清楚，并拒绝采取考官给的建议。第二次参加Polytechnique的考试，他口试的时候，逻辑上的跳跃使考官Dinet感到困惑，后来Galois感觉很不好，一怒之下，把黑板擦掷向Dinet,并且直接命中。Galios的天才是不可否认的，不过personality是少一点了，后者在Polytechnique考试中很重要。最后和Galois决斗的那个人， 是当时法国最好的枪手，Galois的勇气令人钦佩。两个人决斗的时候，相距25步， Galois被击中了腹部。

1856年的时候，Hermite患了严重的天花，并好之后，经过Cauchy大力怂恿，竟然皈依了罗马的天主教。就在这个期间，他和德国的Fuchs一直通信联系，于是，Klein说 Hermite“在气质上不是一个领袖人物”。当然，Klein如此的评论有些个人恩怨的成分 ，可以参见这个系列文章的(9).

“什么，两次？”
“是呀，礼拜二和礼拜五。”
“怎么可能呢？”
“下午三点半开始，五点之前就结束了。”
“这个绝对不肯能！！！”这个时候Birkhoff已经快疯了。

——S.Cappel

Riemann的父亲是个牧师，家里特别的穷，从小体弱多病，也打算做牧师。有一个人（据说是Rieamnn的中学校长）发现他在数学上比在神学上更有潜力，送给他一部Legendre的数论书。Legendre是一个伟大的法国数学家，他的书十分的晦涩难懂。六天之后，Riemann就找到那个人把这本859页的名著还了，说：“这本书的确十分的精彩，我已经看懂了。”这个时候Riemann只有14岁。

Riemann19岁的时候去Gottingen读神学，平时也会听一些数学的课程。他比较喜欢泡在图书馆里。一次，他在那里找到了Cauchy的分析的著作，如获至宝，读完之后，便坦然的决定放弃神学，从此开始读数学了。

Siegal曾经说过，他可以从早上9点起，研究数学，一直到深夜12点，不吃不喝，最后把一天的食物一并吃掉，弄得胃很不舒服。Siegal被Kodaira称为“非常勤奋”，被Kodaira称为勤奋，可见其勤奋成都是何等的可怕。

Kodaira一天的生活（1949年4月19日）：
8:00起床，剃须，穿西服，外出早餐（玉米片，牛奶，咖啡）；

9:40–10:40 Siegal的关于3体问题的课；
11:15–12:00 Weyl的讨论班； 到食堂吃午饭； 坐车去Priceton，
1:20–2:20在自己的讨论班上讲论文； 回家继续写论文；
5：30到街上的餐馆吃饭； 回家继续工作到深夜。

Banach在数学界的登场是一段美丽的传说// :”-))

1916年的一个夏夜，Steinhaus在一个公园里散步，突然听到了一阵阵的谈话声，更确切的是有几个词让他感到十分的惊讶，当听到“Lebesgue积分”这个词的时候，他就毫不犹豫的走向了谈话者的长椅，原来是Banach和Nikodym在讨论数学。Steinhuas就这样子发现了Banach,并把他带到了学术界。他说：“Banach是我一生最美的发现。”

1. M.Stone写了一本关于Hilbert空间的书，他的父亲谈到自己的儿子时，总是自豪的说：“我困惑又很高兴，我的儿子写了一本我完全不理解的书。”

2. 1932年J.J.Gergen不的不在一门讲授Fourier级数课程时，不使用一直收敛的概念，原因是Havard大学的数学系一致的认为一致收敛这个概念对本科生来说太难了。

Newton的一生落落寡合，没有结婚，也没有知心的朋友，人们结交他都是因为他很高的地位和渊博的学识。一个同事回忆说他只见过Newton笑过一次，当时，有一个人问Newton说Euclid的几何原本如此的老朽，不知道有什么价值。对此，Newton放声大笑。:-))

Hardy每次做船的时候，总是怕沉了。克服这个东西的一个方法是，每次不得不坐船航行的时候，他会给同事发个电报或者明信片什么的，说已经搞定了Riemann猜想回来之后会给出细节的。他的逻辑是，上帝不会允许他被淹死，否则这又将是第二个类似于Fermat大定理的事情。

Mandelbrojt一次在Levi-Civita家里做客，恰好E.Landau去玩。Landau在当时也算是成了名的前辈，于是Levi-Civita举行了一个小小的聚会。其间，一个老先生对Levi-Civita讲，最近有一个荷兰的年轻人Mondebroht做的工作很出色，Landau问到那是谁呀？ Mandelbrojt不得不跳出来解释说，那个人不是荷兰人，是波兰人；那个人也不叫Mondebroht，叫Mandelbrojt；那个人其实就是我……

mm数学家之二

mm数学家之三

Germain不久对数论尤为倾心，可能受Lagrange的影响吧，他年轻的时候靠变分法出名，年长之后在数论方面贡献卓越。Germain选择的题目是Fermat大定理，她把自己的结果寄给Gauss，令Gauss特别的欣赏，她当年才刚刚20岁，而她做出的成果是当时最好的。当然，她还是怕Gauss对女性有偏见，于是仍然选择了Le Blanc这个名字。后来，Napolean的军队攻入德国，Germain怕Gauss重蹈Archimedes之覆辙，于是给自己的朋友，也就是当时通领三军的一位将军写信，这位将军果然对Gauss很为关照。
Germain后来又在物理上面做了很多东西，尤其是在弹性理论上面。由于她在数学物理上的突出贡献，她最终荣获了法国科学院的金质奖章，并成为第一位不是一某位成员的夫人出席科学院讲座的女性。在生命的最后几年，Gauss说服了Gottingen大学，授予Germain名誉博士学位。在那个时代，这是极大的荣誉。可惜在她的有生之年，未能亲自带上那令人骄傲的帽子。

Whitney是很著名的美国数学家，做了很多很重要的工作，譬如说向量丛的Stiefel- Whitney类是用他的名字命名的，还有一个著名的定理，说每一个n维的流形都浸入一个 2n-1维的欧氏空间嵌入一个2n维的欧氏空间，也是他的结果。我们的图书馆里还有他的论文集的。
Whitney的本科时候读的不是数学，话说他学业完成，到欧洲大陆去玩，大概是到了Gottingen还是什么地方了，反正是个很有名的地方，当时有一个很牛的物理学家（不是海森堡就是薛定谔）正在做一个关于量子力学的讲座.

Whitney回美国之后就开始发奋学习数学，据说半年之后就可以参加很高级的讨论班了.

Landau讲过Fourier级数的课，其中会涉及到一个叫做Gibbs现象的东西，当他讲到这里的时候，振振有词的评论道：“这个现象是Jail的英国数学家Jibbs发现的。”
Landau是典型的德国人，从这句话我们可以看到他的英文水平。因为这个时候，不得不有人跳出来指出他的错误：“第一他是个美国数学家；第二他叫Gibbs不是Jibbs；第三 ，也是最为重要的一点时，他更不在Jail（监狱）里面，而在Yale大学。”:-))

Dirichlet是Riemann的老师
Wierestrass是Cantor, Killing 和 Frobenius的老师
Noether 是van de Wearden， Alexandroff的老师。
Hardy是Wiener的高等数学的老师,
Hermite是Dini的老师
Kronecker是Kummer的老师
Sylow是S.Lie的老师
Hodge是Atiyah的老师
Gauss的小学老师是Lobachevsky的大学老师
Hilbert是无穷多个人的老师
Kummer的妻子是Dirichlet的表妹。
Laurent Schwartz是Paul Levy的女婿

Stone 20000 $Albert 16000$
S.S.Chern 16000 $Maclane 16000$
Zygmund 16000 $Kaplansky 13000$
P.R.Halmos 13000 \$

Courant（柯朗）当初就很受他的排挤。一次在Gottingen, Courant要报告一个题目，当 时Koebe恰好也要报告，但是，Courant是年轻人，按照不成文的规矩，他是初学者，而且刚刚完成了博士论文，有特权先报告。当Klein问大家谁先报告的时候，Koebe迫不及待的说：“我先讲。”

Kolmogorov

Kolmogorov一开始并不是数学系的，据说他17岁左右的时候写了一片和牛顿力学有关的文章，于是到了Moscow State University去读书。入学的时候，Kolmogorov对历史颇为倾心，一次，他写了一片很出色的历史学的文章，他的老师看罢，告诉他说在历史学里，要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正确证明才行，Kolmogorov就问什么地方需要一个证明就行了，他的老师说是数学，于是Kolmogorov开始了他数学的一生。

Kolmogorov总是以感激的口气提到斯大林：“首先，他在战争年代为每一位院士提供了一床毛毯；第二，原谅了我在科学院的那次打架。”Kolmogorov一次在选举会上打了Luzin一个耳光，他说：“（打架）那是我们常用的方式。”Luzin在实变函数方面有着很重要的贡献，但是以打架而论，远非Kolmogorov的对手，因为Kolmogorov经常自豪的回忆他在Yaroslovl车站和民兵打架的经历。

# Part One: Seven Ways to Peace and Happiness

1. Find yourself and be yourself: Remember, there is no one else on earth like you.

Let’s not imitate others.

Let’s find ourselves and be ourselves.

2. Four good working habits that will help prevent fatigue and worry.

(i) Clear your desk of all papers except those relating to the immediate problem at hand.

(ii) Do things in the order of their importance.

(iii) When you face a problem, solve it then and there if you have the facts necessary to make a decision. Don’t keep putting off decisions.

(iv) Learn to organize, deputize, and supervise.

3. What makes you tired – and what you can do about it.

4. How to banish the boredom that produce fatigue, worry and resentment

5. Would you take a million dollars for what you have?

I had the blues because I had no shoes, until upon the street, I met a man who had no feet.

6. Remember that no one ever kicks a dead dog

7. Do this – Criticism can’t hurt you.

# ［转载］一个library.nu倒下去,千万个电子书网站立起来

作  者: zr9558

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LZ，国货那一栏肿么可以没有皮皮书屋

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黄崧 2012-03-04 17:18

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# 转郭学军老师的现代诗《衰老的特征》

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1. 去操场总是走门了，几年前还常翻铁丝网进去。

2. 开始喝牛奶，而不是喝可乐了。

3. 不再关心自己有多少白头发了。

4. 穿的衣服越来越贵了。

5. 看自己以前的日记时，不觉得羞愧了。

6. 看到人家插队，也觉得无所谓了。

7. 跟人家聊天，总爱说天气了。

8. 买了新书回来，不再往上面写名字了。

9. 以前一周用两卷卫生纸，现在用的很少了。

# [转载]动力系统讨论班

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【 原文由 gfzhang 所发表 】

# 诸葛亮死前6年与死后46年的世界【转载】 1-12

【第一话 子午谷的一场雨】

……没了。

“我要的，就是这个。”

“会大霖雨三十余日，或栈道断绝，诏真还军。”

《三国演义》里，曹真那个不知兵法，不通军事的草包形象，已经深入人心。

【第二话 诸葛亮和魏延：一对老朋友】

，刘备揉了揉眼睛，终于发现一个令他做梦都不敢相信的场景
“渊将四百兵行鹿角，因使士补之。”

“黄忠推锋必进，劝率士卒，金鼓振天，欢声动谷，一战斩渊，渊军大败。”

13万人口，在当时是一个什么概念？经过几十年的修养，蜀国灭亡时候，只有90万人口，在

“蜀中疲敝”“男子当战，女子当运”

“先主定蜀，署群儒林校尉。先主欲与曹公争汉中，问群，群对曰：“当得其地，不得其民

“老魏啊，这个汉中太守的位置就给你了，你有什么想说的么？”

“若曹操举天下而来，请为大王拒之；偏将十万之众至，请为大王吞之！”

，曹魏再也没有一个人有进攻的心气与勇气。

9年之后，魏延终于交出了汉中太守职务，汉中作为北伐的基地被诸葛亮管理，而诸葛亮对魏延怎么样呢？

“诸葛亮驻汉中，更以延为督前部，领丞相司马、凉州刺史”

“延常谓亮为怯，叹恨己才用之不尽。”

“子午谷奇谋”成功的可能性高不高呢？

“都督啊，不能这么玩，诸葛亮就是来找咱们晦气玩的,你要么就蹲在家里守着别出来，这样观众也不会太怪你，要么你就跟他痛痛快快打一仗，你别这样玩命出去找人家，碰上了又不敢打，太对不起观众了。

“现在全天下都知道你司马懿是个病猫了，把诸葛亮当老虎一样！！！”（公畏蜀如虎，奈天下笑何！）

“骂街的跟我站出来！！！”司马懿怒了

“好了，好了，我知道大家都很想作战，不过现在天气太冷，等天热了再说吧，到时候作战正好多出汗运动身体。”

“上次骂街的给我出来，你们不是想打仗么？行，这次我就给你们这个机会！”

“归军勿追，追军难归！”

“彼远来逆我，请战不得，谓我利不在战，欲以长计制之也。且祁山知大军已在近，人情自固，可止屯于此，分为奇兵，示出其后，不宜进前而不敢逼，坐失民望也。今亮孤军食少，亦行去矣。”
“归军勿追”

“郃识变数，善处营陈，料战势地形，无不如计”

【第三话 绝望之战】

………………
234年 春

“政无巨细，咸决于亮。” “杖二十以后亲决。”

“食少烦多，安能久乎？”

“唯才是举”的梦想未能实现，曹操去了。
“二分天下”的梦想未能实现，周瑜去了。
“复兴汉室”是一句空话，一个政治幌子，但是“一统天下，建立诸葛亮心中理想的世界”却是实实在在的梦想。是诸葛亮一生的梦想，一生的追求。

“大都督，北原必须确保！”

“若亮跨渭登原，连兵北山，隔绝陇道，摇荡民、夷，此非国之利也。”

“伯言多智略，其当有以”

“怎么？被本都督的美丽迷住了么？”

“那怎么行？你回去可得劝孔明哥哥多吃点啊，他累坏了身子怎么办？”

“丞相，可恶啊，都是辛毗这个混蛋坏事，要不咱们就成功了！”

“司马懿根本不想打，说白了就是拿皇帝压着那些武将罢了。将在外君命有所不受，他要是真的想打，早就自己打出来了，还管什么君命。”

“亮志大而不见机，多谋而少决，好兵而无权，虽提卒十万，已堕吾画中，破之必矣。”
2000年以后，这句话成了亮黑和别人辩论时候一定要引用的经典语句。

“让诸葛亮快点去死吧。”司马懿对着流星许愿道。

“我知道你想问什么，我死后，让蒋琬替我吧。” 李福默然，想问什么人家都知道了……干脆一口问个痛快吧 “蒋琬死了以后呢？” “费祎。” “费祎以后呢？”

234年农历八月二十八，心血耗尽的诸葛亮走完了他的一生。

“诸葛亮”死了，然而“诸葛亮”却永生了。

【第四话 魏延的疯狂】

“老赵，你帮我看看，我梦见头上长了个犄角，这是咋回事？”

“哦，大概是这样吧，将军你平时打仗是不用角的，而麒麟有角也是不用的，这就说明，将军您这次打仗将化身麒麟，敌人会畏惧您而不战自破呀！”

“角的构成，是刀子头下边一个用字……头上用刀……魏延，这次你怕是回不来了。”

“是杨仪派我来的。”
“杨仪！！！？？？”

“偏执”
“偏执”，咋听起来，怎么都像是形容魏延的，然而，对于魏延和杨仪这对处处做对，处处不合拍的冤家来说，“偏执”就是他们两个人唯一的共同点。

“延既善养士卒，勇猛过人，又性矜高，当时皆避下之。”

“老哥，不能这么说啊，他们俩毕竟就是私怨，也不是英布韩信那样能踹翻天的主，现在是用人之际，他们虽然性格有缺陷，不过能忍就忍了吧。”

“亮深惜二人之才，不忍有所偏废也。”

“费祎，听着，现在，我命令你，立刻去见魏延，告诉他丞相命令他断后的命令”！
………………

“杨仪！！！？？？”

“有话快说，有屁快放，杨仪那个魂淡叫你来干啥？”
“是这样的，那个……丞相死了，现在只能撤退了是吧？丞相留下遗言，说请魏将军您和姜维将军一起断后。”

“丞相死了，但我还在，现在，正应该继续进军！”

“诸葛亮死了，只有撤军一途”

“怎么能因为一个人的死废了天下的事！杨仪算个屁，也配命令我？听着，费祎，现在，找一些人带着丞相的遗体回去安葬，然后你跟我一起带着军队与司马懿决一死战，我一定会杀了他！我要了了丞相的心愿，费祎，你相信我么？”

“现在好了，拿着这张纸，告诉诸将，你我要联手统率大军，克复中原，指日可待！”

“好，文长，听着，我相信你，现在，我立刻回去跟长史大人（杨仪）商量，他不懂军事，肯定不会不听你的话。”
“好好，费祎啊，我太感动了，这个世界上终于有理解我魏延的人了！”

“令延断后，姜维次之；若延或不从，军便自发。”

A 断后 B 不断后

C 带领自己的军队直接回成都去，反正诸葛亮没说魏延不断后便有罪，回去以后顶多处罚一下，没什么大事。
D 率领自己少的可怜的军队去追杀司马懿，除非魏延脑子抽了，不然不会干
E 带领自己的军队投降司马懿，从此吃香喝辣，没准还能带领军队反攻蜀国，做个灭蜀英雄

《给魏文长的最后一封信》

——诸葛亮 绝笔

………………

………………

………………

“禀告长史大人，文长不愿意断后。”
“嗯……知道了……”

“若延或不从，军便自发。”

“好，不管魏延，传令三军，立刻回成都！”

“乃分兵屯田为久驻之基，耕者杂于渭滨居民之间，而百姓安堵，军无私焉”

“停止进军！回头！”

“姜维令仪反旗鸣鼓，若将向懿者”

“死诸葛走生仲达。”

“哈哈，说的也是嘛，吾能料生，不便料死呀。”

“啊，孔明哥哥真的好厉害呢。”
“亮志大而不见机，多谋而少决，好兵而无权，虽提卒十万，已堕吾画中，破之必矣。”

“诸葛亮是死是活还不知道，现在不好继续追击吧。”

“军家所重，军书密计、兵马粮谷，今皆弃之，岂有人捐其五藏而可以生乎？”

1 魏延人缘太差，平时光得罪人了，过去还有诸葛亮保着他，现在诸葛亮死了，想弄死魏延的人多数都数不清，只要这封奏章一送上去，那满朝文武的吐沫星子也能把魏延淹死
2 现在，不要忘了，现在军队的指挥权在杨仪手里，如果朝廷贸然不理杨仪，宣判魏延无罪，那么一定会激怒杨仪，到时候万一杨仪不计后果做出什么事情，该怎么办？

“延、仪各相表叛逆，一日之中，羽檄交至。”

30年后，裹着毯子，冒着粉身碎骨的危险，不顾一切地滚下悬崖的邓艾，心中所想，与魏延一般无二。

“丞相尸骨未寒，你们这帮混淡想干嘛！”

“延士众知曲在延，莫为用命，皆散。”

“马岱，事情交给你了，我要魏延的命！”

“老魏啊，这个汉中太守的位置就给你了，你有什么想说的么？”

“若曹操举天下而来，请为大王拒之；偏将十万之众至，请为大王吞之！”

“把那块儿砖头递给我！”
“对，这地方得这么修！对，对！哈哈哈！”

10年后，在一场大战中，魏延奠定的汉中防御体系，终将展现他骇人的威力，让世人为之震撼。

【第四话 完】

【第五话 远东的主宰】

1 司马懿算准魏明帝不会同意伐蜀，所以故意提出伐蜀以表忠心，让魏明帝信任他
2 司马懿已经56了，魏明帝才32，他知道自己没啥希望篡位了，所以想着立点大功光宗耀祖
3 司马懿想要亲手毁灭诸葛亮一生的心血，以表达自己对诸葛亮的……（停止吧！）

3年后，於夫罗伙同黑山贼又跟着袁术来找曹操晦气，一战下来，袁术兵黑山贼匈奴兵全部玩完，於夫罗绝望了，他终于彻底投降了曹操，南匈奴汗国就这么被曹操调教成了曹操的仆从国。

202年曹操跑去收拾袁绍那几个不成器的笨儿子，呼厨泉一看时机来了，联合袁尚手下的河东太守郭援乘机袭击曹操后方。

“乌丸遂盛，钞击匈奴，匈奴转徙千里，漠南地空。”

“表，坐谈客尔，自知才不足以御备，重任之则恐不能制，轻任之则备不为用，虽虚国远征，公无忧矣。”

“兵贵神速。今千里袭人（郭嘉所创“千里袭人”一词现今被三国杀采用，成了夏侯渊的台词），辎重多，难以趣利，且彼闻之，必为备；不如留辎重，轻兵兼道以出，掩其不意。”

“车重在后，被甲者少，左右皆惧”

“公登高，望虏陈不整，乃纵兵击之”

“其疾如风，其徐如林，侵掠如火，不动如山，难知如阴，动如雷霆！”

，白虹贯日，彗星袭月，气壮山河！虎豹骑竟就这样把乌桓铁骑硬生生地打了一个对穿！

“虏众大崩，斩蹋顿及名王已下，胡、汉降者二十馀万口。辽东单于速仆丸及辽西、北平诸

……

“长驱蹈匈奴，左顾凌鲜卑”

“生于忧患，死于安乐”

【第五话 完】

“既作许昌宫，又治洛阳宫，起昭阳太极殿，筑总章观，高十馀丈”

“力役不已，农桑失业”

“陛下玩的爽么？”

“马博士，你能让这些木偶动起来么？”

48年前，有一个处于汉朝领土边缘的人怀揣着梦想来到了汉帝国的首都洛阳，找到了他最好的朋友。

………………

1 属于偏远地带，历代并不繁荣

2 由于此地官吏横行不法，因为匪徒猖獗，四处作案

3 此地豪门大族超多，罔顾王法，欺压外官

4 高句丽虎视眈眈，经常出兵杀掠，在三国时期，高句丽这个国家的面积比辽东郡大两倍还多，实在是个可怕的对手

“没关系，一时的失败不可怕，只要坚持下去，就一定会找到胜利的时机！”

“小明被大军围困了，不投降不突围，反而筑坝截流，这是为什么？”

“小明被大军围困了，不投降不突围，反而筑坝截流，这是为什么？”

“小明军队没粮了，所以要截流抓捕鱼虾。”

“幽滞之士，多所显拔”
“卓所亲爱，并不处显职，但将校而已”

【第六话 完】

“去吧，升济（公孙度字升济），我相信你，你一定能够拯救我们的故乡，把那里的

“初平元年春正月，后将军袁术、冀州牧韩馥、豫州刺史孔伷、兖州刺史刘岱、河内

10路大军，每路数万，数十万大军！

，大量拔擢有才之士

“这个人是鬼，是恶魔！杀了他！”

“你董卓算什么，你只是一个边缘地区来的渣滓，你有什么资格领导这个天下？”
“居然敢废帝，天大地大皇帝最大，你不忠于皇帝，不配做人啊！”
“董卓你居然大肆任用羌人，你这是要扰乱天下，毁灭华夷之分啊！”
“董卓，你……”

“长沙太守孙坚率豫州诸群兵讨卓。卓先遣将荣、李蒙四出虏掠。荣遇坚于梁”

……………………

“荣遇坚于梁，与战、破坚，生禽颍川太守李旻，烹之”

“这只是奇迹的开始”

“文台，别来无恙？”

“呃……我能问一个问题么？你到底是人还是鬼？”

“呵呵……这个问题的答案很简单，我是徐荣！”

“孙坚移屯梁东，大为卓军所攻，坚与数十骑溃围而出。”

“祖茂，你……”

“主公，别说了，我知道了，为主公而死，祖茂绝无遗憾！”

“来战啊！想尝尝死亡的滋味，就来找我徐荣吧！！！”

（咳咳……本女屌自己写的，大家见笑）

1

2

“现在部队纪律散漫，这次出兵我决定斩杀一个青绶（高级军官）来整肃纪律！”
……………………

“这哪个王八蛋告诉老子说孙坚跑了的？”

“孙坚军夜袭啦，孙坚军夜袭啦！”

“孙坚军来啦，孙坚军来啦！”

……………………

“不夷此贼三族，则吾死不瞑目！！！”

“复进军大谷，距雒九十里。卓自出，与坚战于诸陵间。卓败走，却屯渑池，聚兵于陕。”

“坚进至雒阳，击吕布，复破走。”

1800年后，我们看到这段历史，只能感叹，这就是人类创造的奇迹！

“猪一样的队友啊！”

“日置酒高会，不图进取”

“天下可无洪，不可无公！”

………………

【第七话 完】

“哇啊！！！！！！！！”

“你已经死了，用生命最后几秒最个忏悔吧。”

“郡中名豪大姓田韶等宿遇无恩，皆以法诛，所夷灭百馀家，郡中震栗。”

…………………………

“尊敬的辽东大皇帝，您有什么要求呀？”

“给我出点兵马，帮我一起讨伐辽东郡内山贼！”

“东伐高句骊，西击乌丸，威行海外。”

“征服者公孙度”

“越海收东莱诸县，置营州刺史”

………………

“闻曹公远征，邺无守备，今吾欲以步卒三万，骑万匹，直指邺，谁能御之？”

“凉茂先生，你觉得怎么样？”

“比者海内大乱，社稷将倾，将军拥十万之众，安坐而观成败，夫为人臣者，固若是邪！曹公忧国家之危败，愍百姓之苦毒，率义兵为天下诛残贼，功高而德广，可谓无二矣。以海内初定，民始安集，故未责将军之罪耳！而将军乃欲称兵西向，则存亡之效，不崇朝而决。将军其勉之！”

“现在天下大乱，随时要完蛋，你说你个倒霉孩子坐拥这么多军队，居然就在东北亚这块儿破地跟一帮外国人玩，却不知道给社稷出点力，你配当人臣么？我大曹公天天担忧社稷，抚慰百姓疾苦，率领正义之师讨平天下乱贼，堪称当世活雷锋，人品道德天下无双。现在不就是刚平定中原，还没缓过劲来，才不过来抽你么！你还想跟曹公去玩，活腻味了吧？有本事就真打去，看你小子不立马玩完！”

“你说的是啊。”

“我王辽东，何永宁也！”

【第八话 完】

“汉杨仪既杀魏延，自以为有大功，宜代诸葛亮秉政”

“亮平生密指，以仪狷狭，意在蒋琬。”

“仪至成都，拜中军师，无所统领，从容而已。”

………………………………

“时人畏其言语不节，莫敢从也”

“来，老哥，喝两杯。”

“哎，老费啊，哥哥我真是肠子都悔青啦，早知道现在落到这步田地，老子还不如当初带着军队投降大魏国去呢，哎，我好后悔啊！！”（“往者丞相亡没之际，吾若举军以就魏氏，处世宁当落度如此邪！令人追悔，不可复及！”）

“怎么了，老费？你……喝啊，接着喝啊……”

“哦，我有点事，先走了。”

“祎密表其言”

“仪至徙所，复上书诽谤，辞指激切。”

24年后，公孙恭得了一种怪病，这个病真的很奇特，用现在的一句流行语可以概括——

“恭病阴消为阉人，劣弱不能治国”

“呃……小渊，你这……为什么？”

“叔叔，废人就应该去废人该去的地方，从今天起，你已不再是辽东的主宰了，现在，我的地盘听我的。”

“那么，大家现在该做什么就去做什么吧。”

“江左——辽东” 航路

“乘舶泛海，使驿常通”

7天后，曹操听到刘备在蜀中大肆杀人的消息，急忙来问刘晔

“刘备这小子在蜀中玩命杀人，现在是不是进攻的好机会？”

“刘备这招玩的狠啊，他这么杀人，人已经被他杀怕了，只怕没人再反了。”

“公孙氏汉时所用，遂世官相承，水则由海，陆则阻山，外连胡夷，绝远难制。而世权日久，今若不诛，后必生患。若怀贰阻兵，然后致诛，于事为难。不如因其新立，有党有仇，先其不意，以兵临之，开设赏募，可不劳师而定也。”

“凡非相吞之国，不侵叛之臣，不宜轻伐。伐之而不能制，是驱使为贼也。故曰：‘虎狼当路，不治狐狸。’先除大害，小害自己。今海表之地，累世委质，岁选计、孝，不乏职贡，议者先之。正使一举便克，得其民不足益国，得其财不足为富；倘不如意，是为结怨失信也。”

【第九话 完】

“吴主遣太常张弥、执金吾许晏、将军贺达将兵万人，金宝珍货，九锡备物，乘海授渊，封渊为燕王。”

“诸位，这里风光很好哪，大家就分批来游览一下吧，我付钱哦。”

“来吧，跟着我一起做吧，我会让你们见证一个新的世界，而我将是这个新世界的神！”

“朕年六十，世事难易，靡所不尝。近为鼠子所前却，令人气踊如山。不自截鼠子头以掷于海，无颜复临万国。就令颠沛，不以为恨！”

“老子活了60岁了（其实他今年才50，您瞧瞧，这气的都不识数了），经历的大风大浪也够多了，然而没想到这次居然被这个公孙渊这个鼠辈骗的这么惨啊！！！我的心碎了，我TMD真是压力山大啊！不亲自砍死他，把他脑袋扔海里，我TMD再也没脸混了！”

……………………

“臣愚以为天下所急除者二贼，所急务者衣食。诚使二贼不灭，士民饥冻，虽崇美公室，犹无益也。”

“陛下即位已来，未有可书。吴、蜀恃险，未可卒平，聊可以此方无用之士克定辽东。”

“使俭率诸军及鲜卑、乌桓屯辽东南界，玺书征渊。”

“我想要公孙渊的命，四万兵够么？”

“当然没问题。”

“征伐四千里，不但要靠脑子，同时更要靠更多普通人的力量，所以不要给我计较什么费用问题了，打仗怕花钱，难道等死么？”

“仲达，你说公孙渊会怎么对付你？”

“这个嘛……我觉得他最好的出路就是立刻弃城而逃，去国外躲着去。在辽东布置营垒阻挡我，是中计。困守辽东嘛，那就是下计啦。”

“哦？那么你觉得公孙渊会怎么做呢？”

“公孙渊这个人最大的弱点就是看不清楚自己到底几斤几两，他以为我远道而来，支持不了多久，所以一定会先据守辽东，然而困守孤城吧。”

“嗯，那么你这一次灭掉公孙渊需要多久？”

“到那100天，灭他100天，回来100天，休息60天，一年够了。”

【第十话 完】

“复遣使称臣，求救于吴。”

……………………

“我X你妹啊！！！！”

“不可，是肆匹夫之怒而捐霸王之计也，不如因而厚之，遣奇兵潜往以要其成。若魏伐不克，而我军远赴，是恩结遐夷，义形万里；若兵连不解，首尾离隔，则我虏其傍郡，驱略而归，亦足以致天之罚，报雪曩事矣。”

“不能耍小脾气就坏了大事呀，不如好好对待他们，派遣一支奇兵跟着去看看热闹嘛，如果魏军没有打败公孙渊，那咱们去了必能叫公孙渊感恩戴德，而且咱还威名远扬，如果打的难解难分，那咱们就乘机攻打公孙渊的后方，抢个痛快，也算报了上次的仇啦！”

“请稍等一下，我马上就派出大军，和我亲爱的公孙渊弟弟共存亡！（必与弟同休戚）。哎，这司马懿太会打仗了，我真为小渊弟弟担心呀！”

“奇”代表奇谋作战，而“正”则代表正兵作战。

“公孙渊使大将军卑衍、杨祚将步骑数万屯辽隧，围堑二十馀里。”

“呵呵，公孙渊之所以这么做，不过就是想让我军变得疲惫嘛，现在攻打他，你们就中计啦。”

“将士们，看看魏军，虽然他们的人数远比我们……呃……那个……虽然他们的装备比我们好！然而燕赵自古多慷慨悲歌之士，风萧萧兮易水寒，壮士一去兮不复还！让我们用我们的鲜血捍卫国家的尊严，守护我们燕人的尊严吧！”

“为什么我的双眼饱含泪水，因为我爱这片土地爱的深沉。”

“妈的！你倒是过来打我啊！！！（受虐症）”

“大将军，不好了，魏……魏军马上就要逼近襄平城去了！！！”

“啊！！！！！”

“可恶，陛下危险了！！！”

“对了，对了！！！哈哈哈，司马懿，你还是失策了！”

………………

“大将军，我等你好久了。”

“敌虽高垒，不得不与我战者，攻其所必救也”

“从现在开始，襄平城内，一只蚂蚁也不许放出来！有出城者全部杀无赦。”

“秋，七月，大霖雨，辽水暴涨，运船自辽口径至城下。雨月馀不止，平地水数尺。”

“都督啊，我们好苦呀，呜呜呜呜！腿都肿的受不了了，咱们移营好不好，公孙渊的精锐都完蛋了，他搞不出什么动静了，咱们移营吧，不然士兵们都已经撑不住了啊！前几天小明的双腿都烂掉了！”

“敢有言徙者斩”

“都督，我实在受不了了，移营吧！求您了！”

“想不再受罪还不容易么，死了就不会难受了。”

“不，随他们的便。”

“啊？”

“我可真是不懂了，咱们过去打上庸，花了16天就干掉了孟达，为啥这次就要这么耗着不肯进攻？不进攻就算了，还让他们安然打柴收粮？我真是不懂呀。”

“行啊，我跟你们说说，两次情况不一样，所以我采取的手段自然也不一样。孟达人少而粮食够吃一年，我们的军队比孟达多4倍粮食却不够1个月，自然要速战速决。而现在呢？咱们粮食多不着急，公孙渊守城人数依然不少，可是粮食却根本不够吃了，所以我要围城，让他妈不战自败呀。”

“那么都督为什么要让他们出去打柴收粮而不阻止呢？”

“哦，这个嘛，生于忧患死于安乐嘛，我让他们出去打柴收粮，就是让他们放松警惕，如果我对出去打柴收粮的人赶尽杀绝，就会坚定公孙渊突围的决心，这个大雨天他要突围，咱们想阻拦还真有点困难。可是我不阻止呢？以为我们不过如此，这样他们就能安心在城内呆着了，等雨停了，他们想突围也没突围不了了。”

“好啊，都督说的太好了！！！”

“陛下啊，雨下的这么大，估计司马都督也取胜不了了，不然召他回来吧？”

“司马懿临机应变，公孙渊很快就玩完了。（司马懿临危制变，擒渊可计日待也）”

“好了，送公孙渊上路吧。”

“作土山地道，楯橹钩冲，昼夜攻之，矢石如雨。”

“人肉不错，鸡肉味，嘎嘣脆”

“粮尽，人相食”

“我要征服世界的！！！”

“请都督现在立刻解围退兵，我们君臣就会把自己绑起来来投降。”

“楚、郑列国，而郑伯犹肉袒牵羊迎之。孤天子上公，而建等欲孤解围退舍，岂得礼邪！二人老耄，传言失指，已相为斩之。若意有未已，可更遣年少有明决者来！”

“过去楚国和郑国都是诸侯国，郑伯都知道裸奔牵着养来投降，你公孙渊什么东西，也想跟我们平起平坐？你派来的那俩老不死的已经被我砍了，派点年轻的来找我谈吧。”

“孩子，爷爷告诉你，军事家应该明白五点，听好了：

“不能降则死！！！”

“告诉公孙渊，立刻把自己绑起来跪着求我饶了他，没准还有活命的机会，否则……呵呵。”

10年啊，自己即位到现在，不过10年

“平平淡淡才是真”

8月初，曾经有一道流星自城西南向东北划过，坠落在梁水附近

“诸位，感谢你们陪伴公孙家走到最后一刻，是我害了你们，如今已经没有什么可说的了，到了地下，我再给诸位和父亲爷爷赔罪吧！”

“我们不是懦夫！辽东人不是懦夫！”

“大人啊，我爷爷，老爹好几天没吃饭，就快饿死了，求求你行行好吧，我弟弟才16岁，这就快饿死了，求求你了，你给他一口吃的吧！”

“战败者的命运就是死亡，想要活下去？那为什么还要反叛？”

“城内15岁以上者全部屠杀”

“京观”是古代胜利者杀戮战败者以显示自己的武功的手段，彻底的惨无人道

“人间五十年，与天地相比，不过渺小一物。 看世事，梦幻似水。 任人生一度，入灭随即当前。 放眼天下，海天之内，岂有长生不灭者。”

【第十一话 完】

“你们离我们这么远，还派人来朝贡，比公孙渊那个家伙不知道好了多少，你们的孝心我太感动了，放心吧，我不会亏待你们的。”

“受署四日，宇深固让”

“妈的，你不干，有的是人想干！！！”

…………………………

“恒父事之，不敢专行。”

“初，并州刺史东平毕轨及邓飏、李胜、何晏、丁谧皆有才名而急于富贵，趋时附势，明帝恶其浮华，皆抑而不用。”

《易中天品三国》播出以后，丁斐也开始被大家所知道了，丁斐这人挺有才，但是也挺贪财，不过那种小错也没啥大不了的，曹操多次原谅了他。

“晏等咸共推戴爽，以为重权不可委于人。”

“啥？不答应？你们想推翻内阁啊？”

“不不……我们的意思是说，我们查了，大司马这个职位有点不吉利，之前好几个大司马都干着半截就挂了，您不想司马懿老先生也干着半截就挂了吧？所以咱能不能改任太傅？”

“入殿不趋，赞拜不名，剑履上殿，如汉萧何故事。嫁娶丧葬取给于官，以世子师为散骑常侍，子弟三人为列侯，四人为骑都尉。”

“算了吧，我子弟没必要当官。”

“我靠，曹爽，你这家伙到底是什么人？怎么这么会玩政治阴谋！”

………………

“哎！！！我真想念公瑾啊，当年击退曹操，拓地荆州，全是公瑾的功劳，呜呜……我没有一天能忘了公瑾的好啊。”

“听说周峻死了，我确实很想叫他儿子继续领兵……可是他儿子实在太调皮捣蛋（性行危险）了，用了他我怕惹祸啊……所以……还是不用了！”

“今天弃曹氏，丧诛累见，虎争之际而幼童涖事。陛下身自御戎，取乱侮亡，宜涤荆、扬之地，举强羸之数，使强者执戟，羸者转运。西命益州，军于陇右，授诸葛瑾、朱然大众，直指襄阳，陆逊、朱桓别征寿春，大驾入淮阳，历青、徐。襄阳、寿春，困于受敌，长安以西，务御蜀军，许、洛之众，势必分离，掎角并进，民必内应。将帅对向，或失便宜，一军败绩，则三军离心。便当秣马脂车，陵蹈城邑，乘胜逐北，以定华夏。若不悉军动众，循前轻举，则不足大用，易于屡退，民疲威消，时往力竭，非上策也。”

“孙权啊，你要真想有点作为就玩命吧，我劝你这次率领倾国之兵伐魏，要不肯定又是竹篮打水一场空！我建议派诸葛瑾朱然率领大军进攻襄阳，陆逊，朱然进攻寿春，陛下您亲自进攻淮阳……”

“全琮略淮南，决芍陂，诸葛恪攻六安，朱然围樊，诸葛瑾攻柤中”

“全琮略淮南，决芍陂，诸葛恪攻六安，朱然围樊，诸葛瑾攻柤中”

# MA 1505 Tutorial 8: Surface Area and Volume

Assume $z=z(x,y)$ is a surface on $\mathbb{R}^{3}$, the domain $R$ is the projection of the surface $z=z(x,y)$  on $xy-$plane. Then the area of the surface is

$\iint_{R} \sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} dxdy,$

where $z_{x}$ and $z_{y}$ are partial derivatives of $z=z(x,y)$ with respect to the variable $x$ and $y$ respectively.

If a surface is $z=z(x,y)\geq 0$ and the projection of it on $xy-$plane is $R$, then the volume bounded by $xy-$plane and the surface $z=z(x,y)$ is

$\iint_{R} z(x,y) dxdy.$

Theorem 1.

The surface area of the sphere with radius $R$ is $4\pi R^{2}.$

The volume of the sphere with radius $R$ is $\frac{4}{3} \pi R^{3}.$

Proof.  The equation of the sphere with radius $R$ is $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.$

First we calculate the surface area of sphere.

Assume $R=\{ (x,y): x^{2}+y^{2} \leq R^{2} \},$ the function $z=z(x,y)=\sqrt{ R^{2}-x^{2}-y^{2}}.$

Then

$z_{x}=(-x)/ \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}},$

$z_{y}=(-y)/ \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}.$

Therefore

$\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}} =R/ \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}.$

The surface area of half-sphere is

$\iint_{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}} \frac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}} dxdy$

$= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \frac{Rr}{\sqrt{ R^{2}-r^{2}}} dr d\theta$

$= 2 \pi R \int_{0}^{R} \frac{r}{\sqrt{R^{2}-r^{2}}} dr$

$= 2 \pi R^{2}$

Hence, the total surface area of the sphere with radius $R$ is $4\pi R^{2}.$

Second, we calculate the volume of the sphere with radius $R.$

$V= 2\iint_{x^{2}+y^{2} \leq R^{2}} \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} dx dy$

$= 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-r^{2}}\cdot r dr d\theta$

$= 2 \cdot 2\pi \cdot \int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-r^{2}}\cdot r dr$

$= \frac{4}{3} \pi R^{3}.$

Theorem 2. The volume of the ellipsoid $\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ is $\frac{4}{3}\pi abc.$

Proof.

The upper bound of the volume is

$z= c\cdot \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}}}.$

The lower bound of the volume is

$z=- c\cdot \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}}}.$

Assume $R=\{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \},$ the volume of the ellipsoid is

$V= 2 \iint_{R} c \cdot \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}- \frac{y^{2}}{b^{2}}} dxdy$

$= 2 c \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}} \cdot (r \cdot a \cdot b) dr d\theta$

where we use the substitution $x=a \cdot r \cos \theta$ and $y=b\cdot r \sin \theta,$ the determinant of Jacobian matrix is $a\cdot b\cdot r.$

Therefore, the value equals to

$2abc \cdot (2\pi) \int_{0}^{1} \sqrt{1-r^{2}} r dr = \frac{4}{3} \pi abc.$

# Plane Hyperbolic Geometry

Assume

$\mathbb{D}=\{ z: |z|<1\}$ is the unit disc on the complex plane $\mathbb{C},$

$\mathbb{H}=\{z: \Im{z}>0\}$ is the upper half plane on the complex plane,

$\mathbb{B}=\{ z: |\Im{z}|<\pi/2\}$ is the band between $y=-\pi/2$ and $y=\pi/2$.

Definition 1. Hyperbolic metric on the unit disc.

The hyperbolic metric on the unit disc $\mathbb{D}$ is defined as

$\rho_{\mathbb{D}}(z)=\frac{2}{1-|z|^{2}} |dz|$ for all $z \in \mathbb{D} .$

If $\phi : U \rightarrow \mathbb{D}$ is a conformal mapping, where $U \subseteq \mathbb{C}$, then we can also define the hyperbolic metric on the domain U,

$\rho_{U}(z)=\frac{2 |\phi^{'}(z)|}{1-|\phi(z)|^{2}} |dz|$ for all $z\in U.$

From above and $\phi(z)=(z-i)/(z+i)$ is a conformal mapping which maps the upper half plane $\mathbb{H}$ onto the unit disc $\mathbb{D}.$ From above formula, we can calculate the hyperbolic metric on $\mathbb{H}$ is

$\rho_{\mathbb{H}}(z)=\frac{1}{\Im{z}} |dz|$ for all $z\in \mathbb{H}.$

The hyperbolic metric on the band $\mathbb{B}$ is

$\rho_{\mathbb{B}}(z)=\frac{1}{\cos \Im{z} } |dz|$ for all $z\in \mathbb{B}.$

Similarly, we can define the one dimensional hyperbolic metric. On the real line $\mathbb{R}$, if the interval $I=(-1,1)$, then the restriction of the hyperbolic metric on the unit disc $\mathbb{D}$ is

$\rho_{I}(x)= \frac{2}{1-x^{2}} dx$ for all $x \in (-1,1).$

This is called the hyperbolic metric of the interval I.

Using the same idea, we can extend the definition of hyperbolic metric on any real interval $I=(a,b)$. Since there exists a linear map $\phi$ which maps a to -1 and b to 1, i.e. $\phi(x)=(2x-b-a)/(b-a)$. Its derivative is $\phi^{'}(x)= 2/(b-a)$. Therefore, the hyperbolic metric on the interval I is

$\rho_{(a,b)}(x)=\frac{2|\phi^{'}(x)|}{1-|\phi(x)|^{2}} dx= \frac{b-a}{(x-a)(b-x)} dx= (\frac{1}{x-a}+ \frac{1}{b-x}) dx$ for all $x\in (a,b).$

Moreover, assume $(c,d) \subseteq (a,b)$, then the hyperbolic distance between c and d is

$\int_{c}^{d} \rho_{(a,b)}(x) dx = \int_{c}^{d} (\frac{1}{x-a} + \frac{1}{b-x}) dx = (\ln\frac{x-a}{b-x}) |_{x=c}^{x=d} = \ln \frac{(d-a)(b-c)}{(b-d)(c-a)}.$

If we use the notation of cross ratio, then assume $l=(a,c), j=(c,d), r=(d,b),$ $t=(a,b)$. Therefore, the hyperbolic distance between c and d in the interval (a,b) equals to

$\ln \frac{(|l|+|j|)\cdot (|j|+|r|)}{|l| \cdot |r|} = \ln (1+ \frac{|t|\cdot |j|}{|l| \cdot |r|}) = \ln (1+ Cr(t,j)),$

where $Cr(t,j)= (|t|\cdot |j|) / (|l| \cdot |r|).$

Definition 2. (Curvature of conformal metric)

Let $\rho$ be a $C^{2}$ positive function on an open subset $U \subseteq \mathbb{C}$. Then the curvature of the metric $\rho(z)|dz|$ is given by

$K(z)=-\frac{(\Delta \ln \rho)(z)}{\rho^{2}(z)},$

where $\Delta$ is the Laplacian operator $\Delta= \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}.$

Remark. Use the identities

$\frac{\partial}{\partial \overline{z}} =\frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}),$

$\frac{\partial}{\partial z} =\frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}),$

we get

$\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} = 4 \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial \overline{z}}.$

Theorem 1.

The curvature of hyperbolic metric of the unit disc $\mathbb{D}$, the upper half plane $\mathbb{H}$ and the band $\mathbb{B}$ is -1.

Theorem 2.

If $\phi: U\rightarrow \mathbb{D}$ is a conformal mapping, where $U \subseteq \mathbb{C}$ is an open subset of the complex plane $\mathbb{C}$. From above, the hyperbolic metric on U is

$\rho_{U}(z)=\frac{2 |\phi^{'}(z)|}{1-|\phi(z)|^{2}} |dz|$ for all $z \in U\subseteq \mathbb{C}.$

Then the curvature of the metric $\rho_{U}(z)$ is $-1$.

Theorem 3.

On the complex sphere $\hat{\mathbb{C}}$, the sphere metric on $\hat{\mathbb{C}}$ is defined as

$\rho(z)=\frac{1}{1+|z|^{2}} |dz|$ for all $z\in \hat{\mathbb{C}}.$

Then the curvature of the sphere metric is 1.

# The Cross Ratio Tool and the Koebe Principle

Let $j \subseteq t$ be intervals and let l, r be the components of $t \setminus j$. Then the Cross Ratio is defined as

$C(t,j) = (|t| \cdot |j|) / ( |l| \cdot |r|).$

Assume g is a $C^{3}$ monotone function on the interval t, and g(t)=T, g(j)=J, g(l)=L, g(r)=R. Then define

$B(g,t,j)=\frac{C(T,J)}{C(t,j)} = \frac{|T|\cdot |J|}{|L| \cdot |R|} \cdot \frac{|l|\cdot |r|}{|t|\cdot |j|}.$

Define the Schwarzian Derivative for $C^{3}$ function g,

$Sg(x)=\frac{D^{3}g(x)}{Dg(x)} -\frac{3}{2}(\frac{D^{2}g(x)}{Dg(x)})^{2}.$

Proposition 1. Assume f and g are $C^{3}$ functions, then

$S(f\circ g)(x)= Sf(g(x)) \cdot |Dg(x)|^{2}+ Sg(x).$

$S(f^{n})(x)= \sum_{i=0}^{n-1}(Sf(f^{i}(x)) \cdot |D(f^{i})(x)|^{2}.$

Proposition 2. If $f(x)=x^{\ell}+c$ for some $c\in \mathbb{R}$ and $\ell \geq 2$, then $Sf(x)<0$ for all $x \neq 0$.

Proposition 3. Minimum Principle.

Assume $I=[a,b]$, $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is a $C^{3}$ diffeomorphism with negative schwarzian derivative, then

$|Df(x)| > \min \{|Df(a), |Df(b)|\} \text{ for all } x \in (a,b).$

Theorem 1. Real Koebe Principle.

Let Sf<0. Then for any intervals $j \subseteq t$ and any n for which $f^{n}|t$ is a diffeomorphism one has the following. If $f^{n}(t)$ contains a $\tau-$scaled neighbourhood of $f^{n}(j)$, then

$(\frac{\tau}{1+\tau})^{2} \leq \frac{|Df^{n}(x)|}{|Df^{n}(y)|} \leq (\frac{1+\tau}{\tau})^{2} \text{ for all } x, y \in j.$

Moreover, there exists a universal function $K(\tau)>0$ which does not depend on f, n,  and t such that

$|l| / |j| \geq K(\tau),$

$|r| /|j| \geq K(\tau).$

Theorem 2. Complex Koebe Principle

Suppose that $D \subseteq \mathbb{C}$ contains a $\tau-$scaled neighbourhood of the disc $D_{1} \subseteq \mathbb{C}$. Then for any univalent function $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ one has a universal function $K(\tau)>0$ which only depends on $\tau>0$ such that

$1/K(\tau) \leq \frac{|Df(x)|}{|Df(y)|} \leq K(\tau) \text{ for all } x, y \in D_{1}.$

Theorem 3. Schwarz Lemma (Original Form)

Assume $\mathbb{D}=\{ z: |z|<1\}$ is the unit disc on the complex plane $\mathbb{C}$, $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ is a holomorphic function with $f(0)=0$. Then $|f(z)|\leq |z|$ for all $z \in \mathbb{D}$ and $|f^{'}(0)| \leq 1.$ Moreover, if $|f(z_{0})|=|z_{0}|$ for some $z_{0}\neq 0$ or $|f^{'}(0)|=1,$ then $f(z)= e^{i\theta} z$ for some $\theta \in \mathbb{R}.$

Corollary 1.

Assume $\mathbb{D}$ is the unit disc on the complex plane $\mathbb{C}$, and $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ is a holomorphic function, then

$|\frac{f(z)-f(z_{0})}{1-\overline{f(z_{0})}f(z)}| \leq |\frac{z-z_{0}}{1-\overline{z}_{0}z}| \text{ for all } z, z_{0} \in \mathbb{D}.$

$\frac{|f^{'}(z)|}{1-|z|^{2}} \leq \frac{1}{1-|z|^{2}} \text{ for all } z \in \mathbb{D}.$

Corollary 2.

Assume $\mathbb{H}$ is the upper half plane of the complex plane $\mathbb{C}$, $f: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$ is a holomorphic map. Then

$\frac{|f(z_{1})-f(z_{2})|}{|f(z_{1})-\overline{f(z_{2})}|} \leq \frac{|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-\overline{z_{2}}|} \text{ for all } z_{1}, z_{2} \in \mathbb{H} .$

$\frac{|f^{'}(z)|}{\Im{f(z)}} \leq \frac{1}{\Im{z}} \text{ for all } z\in \mathbb{H} .$

Corollary 3. Pick Theorem

The hyperbolic metric on $\mathbb{D}$ is $\rho(z)= \frac{2}{1-|z|^{2}}dz$, assume $d(z_{1}, z_{2})$ denotes the hyperbolic distance between $z_{1}$ and $z_{2}$ on $\mathbb{D}$. Assume $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ is a holomorphic function, then

$d(f(z_{1}), f(z_{2}))\leq d(z_{1}, z_{2}) \text{ for all } z_{1}, z_{2} \in \mathbb{D}.$

Moreover, if $d(f(z_{1}), f(z_{2}))= d(z_{1}, z_{2})$ for some points $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{D}$, then $f \in Aut(\mathbb{D})$, where

$Aut(\mathbb{D})=\{e^{i\theta}\frac{z-z_{0}}{1-\overline{z_{0}}z}: \theta \in \mathbb{R}, z_{0} \in \mathbb{D}\}.$

Background in hyperbolic geometry

Define

$\mathbb{C}_{J}=(\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}) \cup J$

where $J \subseteq \mathbb{R}$ is an interval. It is easy to show that $\mathbb{C}_{J}$ is conformally equivalent to the upper half plane and define $D_{k}(J)$ as

$D_{k}(J)= \{ z: \text{the hyperbolic distance to J is at most k} \}.$

k is determined by the external angle $\alpha$ at which the discs intersect the real line. Moreover, $k=\ln \tan( \frac{\pi}{2}- \frac{\alpha}{4}) .$ Define

$D_{*}(J)=D(J,\frac{\pi}{2}) .$

Corollary 4. (NS) Schwarz Lemma

(1) Assume $G: \mathbb{C}_{I} \rightarrow \mathbb{C}_{J}$ is a holomorphic map, then $G((D_{*}{I})) \subseteq D_{*}(J).$

(2) Assume $F: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ is a real polynomial map, its critical points are on the real line. Assume $F: I \rightarrow J$ is a diffeomorphism, then there exists a set $D \subseteq D_{*}(I)$ such that $D\cap \mathbb{R} =I$ and

$F: D \rightarrow D_{*}(J)$ is a conformal map.

Corollary 5.

Assume $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ is a univalent map and D contains $\tau-$scaled neighbourhood of $D_{1},$ and assume f maps the real line to the real line. For each $\alpha \in (\pi/2, \pi)$ there exists $\alpha^{'} \in (\alpha, \pi)$ such that if J is a real interval in $D_{1}$, then

$f(D(J,\alpha)) \supseteq D(f(J), \alpha^{'}).$

The Hyperbolic Metric On the Real Interval and Cross Ratio

As far as we know, the hyperbolic metric on the unit disc $\mathbb{D}=\{|z|<1\}$ is

$\rho_{D}(z)= \frac{2}{1-|z|^{2}}|dz| \text{ for all } z\in \mathbb{D}.$

Then the restriction to the real line is

$\rho_{I}(x)=\frac{2}{1-x^{2}} dx \text{ for all } x \in I=(-1,1).$

Moreover, from it, we can deduce the hyperbolic metric on the real interval $I=(a,b)$ is

$\rho_{I}(x)=\frac{b-a}{(x-a)(b-x)} dx \text{ for all } x \in I=(a,b).$

If $(c,d) \subseteq (a,b)$, then the hyperbolic length of the interval $(c,d)$ on the total interval $(a,b)$ is

$\ell_{(a,b)}((c,d))=\ell_{t}(j)=\ln(1+Cr(t,j)),$

where $l=(a,c), j=(c,d), r=(d,b), t=(a,b).$

Theorem 4. Assume $f: T \rightarrow f(T) \subseteq \mathbb{R}$ is a $C^{3}$ diffeomorphism with negative schwarzian derivative. Assume $J \subseteq T$, then

$\ell_{f(T)}(f(J)) \geq \ell_{T}(J).$

That means f expands the hyperbolic metric on the real interval.

Proof.  Since the schwarzian derivative of f is negative, $C(f(T),f(J)) \geq C(T,J).$

Therefore, $\ell_{f(T)}(f(J)) \geq \ell_{T}(J).$ That means f expands the hyperbolic metric on the real interval.

Remark. From Schwarz-Pick Theorem, for a holomorphic map $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$, $f$ contracts the hyperbolic distance in the unit disc $\mathbb{D}$. Conversely, from above, for a $C^{3}$ diffeomorphism $f$ with negative schwarzian derivative, $f$ expands the hyperbolic distance in the real interval.

Exercise 1.  “Mathematical Tools for One Dimensional Dynamics” Exercise 6.5, Chapter 6

Let $f: I \rightarrow f(I) \subseteq \mathbb{R}$ be a $C^{3}$ diffeomorphism without fixed points ( $I$ being a closed interval on the real line). If $Sf(x)<0$ for all $x \in I$, then there exists a unique $x_{0} \in I$ such that $|f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x|$ for all $x \in I$.

Proof.  If $f$ is a decreasing map, then the right boundary of the real interval I is the $x_{0}$. Therefore, assume that $f$ is an increasing map on the real interval I.

Since $f(x)$ has no fixed points on the real interval I, then $f(x)>x$ or $f(x) for all $x \in I$. Without lost of generality, assume $f(x)>x$ for all $x\in I$. Since $f(x)-x$ is a continuous function on the closed interval I, there exists $x_{0} \in I$ such that $|f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x|$ for all $x\in I$.

By contradiction, there exist two distinct points $x_{0}, x_{1}$ $(x_{0} such that $|f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x|$ and $|f(x_{1})-x_{1}| \leq |f(x)-x|$ for all $x\in I$. From here, we know that $|f(x_{0})-x_{0}|= |f(x_{1})-x_{1}|$.

From Langrange’s mean value theorem, there exists $\xi \in (x_{0}, x_{1})$ such that $(Df)(\xi)=1$. Since the schwarzian derivative of $f$ is negative, from the minimal principle, we get

$(Df)(\xi) > \min(Df(x_{0}), Df(x_{1})).$

i.e. $Df(x_{0})<1, Df(x_{1})<1$. However, from the definition of $x_{0}$ and $x_{1}$, we get

$Df(x_{0}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 1$

$Df(x_{1}) = \lim_{x\rightarrow x_{1}^{-}} \frac{f(x_{1})-f(x)}{x_{1}-x} \leq 1$

This is a contradiction. Therefore, the existence of $x_{0}$ is unique.

Assume $f: I \rightarrow f(I) \subseteq \mathbb{R}$ is a $C^{3}$ diffeomorphism, define the non-linearity of $f$ as

$f \mapsto Nf=\frac{D^{2}f}{Df} = D \ln Df \text{ whenever } Df \neq 0.$

Proposition 4.  $N(f \circ g)= (Nf \circ g) \cdot Dg+ Ng.$

Proposition 5. $Sf=\frac{D^{3}f}{Df} -\frac{3}{2}(\frac{D^{2}f}{Df})^{2}=D(Nf)-\frac{1}{2}(Nf)^{2}.$

Theorem 5. Koebe Non-linearity Principle.

Given $B, \tau>0$, there exists $K_{\tau,B}>0$ such that, if $f: [-\tau, 1+\tau] \rightarrow \mathbb{R}$ is a $C^{3}$ diffeomorphism into the reals and $Sf(t)\geq -B$ for all $t\in [-\tau,1+\tau],$ then we have

$|\frac{f^{''}(x)}{f^{'}(x)} | \leq K_{\tau,B}$

for all $0\leq x \leq 1.$ Show that $K_{\tau,B} \rightarrow 2/\tau$ as $B\rightarrow 0.$ (This recovers the classical Koebe non-linearity principle).

# 身体到极限的6个标志：午睡也做梦 记性变得差

1.午睡一会儿也做梦。午睡可以给身体“充电”。然而，美国弗吉尼亚州马萨杰弗逊医院睡眠医学研究中心主任克里斯托弗·温特博士表示，午睡最长时间为30分钟左右，通常只处于浅睡眠状态。但是，如果你午睡时一闭眼，就开始做各种奇怪的梦，说明大脑严重缺少睡眠，迫不及待地想要进入深度睡眠阶段。

2.记性变差。美国哥伦比亚大学焦虑与相关疾病诊所主任安妮·玛丽·阿尔巴诺博士表示，有些身体健康的人记性不好。其实，这些人是“大脑超载”，激素变化扰乱了记忆功能，使人无法记住更多的内容，容易忘记近期的事情。

3.运动后更加难受。美国维克森林大学医学院妇产科教授萨拉·伯加博士表示，一般情况下，慢跑45分钟会让人感觉很轻松，但是如果你刚开始运动就感觉疲惫，就说明身体已经超负荷了。伯加博士研究发现，压力大的女性进行中等强度的运动，身体能量会供应不足，感觉疲惫乏力。

4.喝咖啡也会困。美国临床心理学家迈克尔·布里斯博士表示，喝咖啡后人的大脑活动会发生改变。如果咖啡因没起作用，就意味着身心已经极度疲劳，抵消了咖啡因的兴奋作用。

5.吃温和的食物也会加重泛酸。美国《身心医学研究杂志》刊登的一项研究证实，压力不会导致泛酸，但会加重泛酸病情。即使没有吃辛辣刺激的食物，泛酸症状仍然存在或更加严重，就说明压力过大。

6.头皮变敏感。美国宾夕法尼亚临床心理学专家理查德·弗雷德博士表示，压力通常会导致皮肤中神经肽和其他自然化学物质增加，引起炎症。这种炎症会以痤疮或酒糟鼻等形式爆发，有的还会导致血管收缩，使面部和头部的皮肤过紧、刺痛或敏感。

# [转载]The PHD GRIND – A PHD Student Memoir

http://www.pgbovine.net/PhD-memoir/pguo-PhD-grind.pdf

pguo-PhD-grind

http://pgbovine.net/PhD-memoir.htm

http://blog.sciencenet.cn/blog-379672-599410.html

Philip J. Guo

philip@pgbovine.net

http://www.pgbovine.net/PhD-memoir.htm

1 对追求博士学位可能感兴趣的本科生

2 当前正在寻求指导或鼓舞的博士生

3 想更好地理解博士生们的教授

4 聘用和管理有博士学位的人的雇佣者

5 工作在任何强烈需要自我驱动的创造性、竞争性领域的专家

6 对学术研究的过程好奇的受过教育的成年人（或早熟的孩子）

Philip Guo，2012年6月

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Dawson明确表示希望赶在2007年3月截止日期前提交那个顶层会议论文。他告诉我其他五位学生正在做什么，并且给了我一些任务选项让我从中选一个。我选择用Klee查找Linux设备驱动的新漏洞。设备驱动是使得操作系统可以与周边硬件设备如鼠标、键盘等进行通信的一个软件组。Linux操作系统包含成千上万的设备驱动用以和各种不同的周边硬件通信。设备驱动程序里的漏洞很难用传统方法找出来，并且有着潜在的危险性，因为它们能引起操作系统冻结或者崩掉。

Dawson相信Klee能够找出以往从未被发现的数千种Linux设备驱动程序里的漏洞。我记得考虑过尽管在论文中展示找到的Linux设备驱动程序里的漏洞会很酷，但我仍然不清楚这些结果怎么会对整个研究有实际的贡献。从我自己的理解来看，我将用Klee去查找新漏洞——已经存在的研究成果的应用——而不是想着怎样创新性地改善Klee。而且，我不知道我的工作会如何与其他五位的工作集到一起以能在3月交掉论文。然和，我相信Dawson应该胸有成竹并且有高超的论文写作策略。我只是参加了这个项目，我不想马上去问导师的想法。既然我被分配了一个具体的任务，那我只想一心一意完成属于自己的分工。

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Dawson和其他学生几周时间都在用Klee-UC工作。同时，他们让我继续用老方法查漏洞。他们计划用Klee-UC重查我用Klee手工查的漏洞以展示Klee-UC的有效性。在提交论文上，他们主要说的是Klee-UC能够几分钟内就完成自动查错而不需要任何调试工作，而不是曾经有一个苦逼的博士生（我！）日日单调乏味地调整Klee手动查错。

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ps：博士第一年的部分翻译完了，后面还有不少内容，我以后有时间再翻译。。

# MA 1505 Tutorial 2: Integration

L.Hospital Rule: if the ratio is $\infty/\infty$ or 0/0, then we can use the L.Hospital Rule to calculate the limit. Precisely, the L.Hospital Rule is

$\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)},$

where a is a finite real number or infinity.

If f(x) is a continuous function, then $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) dt$ is a differentiable function and its derivative $F^{'}(x)=f(x)$.

General Leibniz Integration Rule.

$\frac{d}{d\theta} ( \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x,\theta)dx)$

$= \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f_{\theta}(x,\theta) dx + f(b(\theta), \theta)\cdot b^{'}(\theta) - f(a(\theta),\theta) \cdot a^{'}(\theta)$

Question 1. Calculate the value $S=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$.

Solution.

$S=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x +\cos x }dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-t)}{\sin(\frac{\pi}{2}-t) + \cos( \frac{\pi}{2}-t)} dt$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\cos t+\sin t}dt$

Therefore

$2S=S+S$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x+\sin x} dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx= \frac{\pi}{2}$

Hence, $S=\frac{\pi}{4}$.

Question 2. Calculate the value $S=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan{x}) dx$.

Solution.

$S=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan(\frac{\pi}{4}-x)) dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\frac{2}{1+\tan x})dx$

$= \frac{\pi \ln2}{4} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) dx$

$= \frac{\pi \ln2}{4} - S$

Therefore, $S=\frac{\pi \ln2}{8}$.

Question 3.

$S=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}dx$

Solution.

$S=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}dx$

$= \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}dx$

$= 1- \int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}dx$

Therefore, $S=0.5.$

Question 4.

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1.$

$\lim_{x\rightarrow \infty} x\tan\frac{1}{x} = \lim_{y\rightarrow 0}\frac{\tan y}{y}=1,$ where y=1/x.

$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x^{a}}=0,$ where a>0.

# MA 1505 Tutorial 3: Taylor Series

The Taylor Series of f(x) at the point $x_{0}$ is

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!} (x-x_{0})^{n}.$

$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}$

$\sin x= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{(2n-1)!}$

$\cos x =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{(2n)!}$

$\frac{1}{1-x} =\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}$

Question 1. Let $S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!(n+2)}$. Calculate the value of S.

Solution.

Method (i).

$S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!(n+2)}$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!}$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2)-1}{(n+2)!}$

$= \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!})$

$= 1$

Method (ii). Integrate the Taylor series of $xe^{x}$ to show that S=1.

The Taylor series of $x e^{x}$ is $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!}$. Take the integration of the function on the interval [0,1], we get

$\int_{0}^{1} xe^{x} dx$

$=\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} dx$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n!} dx$

$= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!(n+2)}=S$.

The left hand side equals to 1 from integration by parts.

Method (iii). Differentiate the Taylor series of $(e^{x}-1)/x$.

The Taylor series of $f(x)= (e^{x}-1)/x$ is $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n!}$. Differentiate f(x) and get $f^{'}(x)= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-2}}{(n-2)!n}$. Moreover, $f^{'}(x)= \frac{e^{x}x-(e^{x}-1)}{x^{2}}$ and $f^{'}(1)=1=S$.

Method (iv). Assume the function $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/(n!(n+2)).$ This implies f(0)=0. Assume

$g(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{n!(n+2)}dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+2)!} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+2)!} = \frac{1}{x}(e^{x}-1-x).$

Since $f(x)=g^{'}(x),$ we get $f(x) = x^{-1}(e^{x}-1)-x^{-2}(e^{x}-1-x).$ That means f(1)=1.

Method (v). Assume the function $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}/(n!(n+2)).$

$f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(n+1)!} - \frac{x^{n}}{(n+2)!} = x^{-1}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} - x^{-2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+2)!} = x^{-1} (e^{x}-1) - x^{-2}(e^{x}-1-x).$ Therefore, f(1)=1.

Remark. There is a similar problem: calculate $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!(n+2)}.$ Answer is $1-2e^{-1}.$

Question 2. Let n be a positive integer. Prove that

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{n-1}(1-t)^{2} dt= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

and calculate the value of the summation

$S=\frac{1}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4 \cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 6\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 8 \cdot 9}+....$.

Solution.

$\frac{1}{2}\int_{0}^{1} t^{n-1}(1-t)^{2}dt$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (t^{n+1}-2t^{n}+t^{n-1}) dt$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{n+2}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n})$

$= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$.

To calculate the value of S, there are two methods.

Method (i). The summation of S, n is only taken odd numbers. From the first step, we know the summation

$S=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1+t^{2}+t^{4}+t^{6}+...)(1-t)^{2}dt$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-t^{2}} (1-t)^{2} dt$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1-t}{1+t} dt$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (\frac{2}{1+t}-1)dt$

$= \frac{1}{2}( 2\ln(1+t)-t)_{t=0}^{t=1}$

$= \ln 2 -\frac{1}{2}$.

Method (ii).

Since $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}= \frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2})$,

$S=\sum_{ odd} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

$= \frac{1}{2} \sum_{odd} ( \frac{1}{n}- \frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2})$

$= \frac{1}{2} ( \frac{1}{1}-\frac{2}{2}+\frac{1}{3}+ \frac{1}{3}-\frac{2}{4}+\frac{1}{5}+ \frac{1}{5}-\frac{2}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{2}{8}+\frac{1}{9}+...)$

$= \frac{1}{2} ( \frac{1}{1} + 2( -\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-...))$

$= \frac{1}{2} ( 1 + 2 (\ln 2-1))$

$= \ln 2 -\frac{1}{2}$.

Here we use the Taylor series of $\ln(1+x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}$ and $\ln 2= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...$.

Question 3. Assume $\zeta(k)=1+\frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{3^{k}} + ... = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{k}}.$

Prove

$\sum_{k=2}^{\infty} (\zeta(k)-1)=1.$

$\sum_{k=1}^{\infty} (\zeta(2k)-1)=3/4.$

Proof.

$\sum_{k=2}^{\infty} (\zeta(k)-1)$

$= \sum_{k=2}^{\infty} \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^{k}}$

$= \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{m^{k}}$

$= \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{(m-1)m}$

$= \sum_{m=2}^{\infty} ( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m})$

$= 1.$

$\sum_{k=1}^{\infty} ( \zeta(2k)-1)$

$= \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^{2k}}$

$= \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{m^{2k}}$

$= \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^{2}-1}$

$= \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{2} ( \frac{1}{m-1}-\frac{1}{m+1})$

$= \frac{1}{2}(1+\frac{1}{2})$

$= \frac{3}{4}.$

Question 4. Calculate the summation $S= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k}{4k^{2}-1}.$

Solution.

$S=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} k}{4k^{2}-1}$

$=\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} ( \frac{1}{2k-1} +\frac{1}{2k+1})$

$= \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\infty} ( \frac{(-1)^{k}}{2k-1} - \frac{(-1)^{k+1}}{2k+1})$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{-1}{2-1} = - \frac{1}{4}.$

# MA 1505 Tutorial 7: Integration of Two Variables Functions

In the tutorial 7, we will learn to calculate the integration of two variables, reverse the order of integration and polar coordinate.

The formulas of polar coordinate are $x=r \cos(\theta)$, $y=r \sin(\theta)$, where $r\in (0,\infty)$ and $\theta \in [0, 2\pi)$.

$\iint_{D} f(x,y) dxdy= \iint_{D^{'}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr d\theta$

Question 1. The application of polar coordinate. Calculate the value of

$I= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}dx.$

Solution.

Method (i).

$I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} dx= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}dy$.

Therefore

$I^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}-y^{2}} dxdy$

$= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}} r dr d\theta$

$= 2\pi \int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}}r dr$

$= 2\pi \frac{1}{2} e^{-r^{2}}|_{r=0}^{r=\infty}$

$= \pi$.

Hence $I=\sqrt{\pi}$.

Method (ii).

Since $I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-y^{2}}dy$, we get

$I^{2}=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}-y^{2}} dy dx$

Assume y=sx, we get

$I^{2}=4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}(1+s^{2})} x ds dx$

$=4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(1+s^{2})x^{2}} x dx ds$

$=4 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2(1+s^{2})} ds$

$=4 \cdot \frac{1}{2} \arctan s|_{s=0}^{s= \infty}$

$= \pi$

Therefore, $I=\sqrt{\pi}$

Question 2. Calculate the value of

$\lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t} \int_{x}^{t} \sin{y^{2}} dy dx}{t^{4}}.$

Solution.

Method (i). Leibniz Integration Rule.

$\frac{d}{d\theta} ( \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x,\theta)dx)$

$= \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f_{\theta}(x,\theta) dx + f(b(\theta), \theta)\cdot b^{'}(\theta) - f(a(\theta),\theta) \cdot a^{'}(\theta)$

Here $f_{\theta}(x,\theta)$ denotes the partial derivative of $f(x, \theta)$ with respect to the variable $\theta$.

In the question, assume $G(x,t)=\int_{x}^{t} \sin{y^{2}} dy$.

Making use of L’Hospital Rule, we have

$\lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t} \int_{x}^{t} \sin{y^{2}} dy dx}{t^{4}}$

$= \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t} G(x,t)dx}{t^{4}}$

$= \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t} G_{t}(x,t)dx+ G(t,t)\cdot 1 - G(0,t)\cdot 0}{ 4 t^{3}}$

$= \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t} \sin{t^{2}}dx}{4t^{3}}$

$= \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{ t \sin{t^{2}}}{4t^{3}}= \frac{1}{4}$

Method (ii). Reverse the order of integration.

The integration domain is $0\leq x \leq t$ and $x \leq y \leq t$. It is same as $0\leq y \leq t$ and $0\leq x\leq y$.

$Answer= \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t} \int_{0}^{y} \sin{y^{2}} dxdy}{t^{4}}$

$= \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{t} y \sin{y^{2}}dy}{t^{4}}$

$= \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \frac{ t \sin{t^{2}}}{4t^{3}}$

$=\frac{1}{4}$.

Question 3. MA1505 2010-2011 Semester 2, Question 6(b).

Let R be a region of xy-plane, find the largest possible value of the integration

$\iint_{R} (4-x^{2}-y^{2})dxdy.$

Solution.

Since we want to find the largest possible value, then we must guarantee that on the region R, the function $f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}$ is non-negative. That means the region R is $4-x^{2}-y^{2}\geq 0$. i.e. $x^{2}+y^{2}\leq 4$. Therefore, we should calculate the integration

$\iint_{x^{2}+y^{2}\leq 4} (4-x^{2}-y^{2}) dxdy$

$= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (4-r^{2})r dr d\theta$

$= 2\pi \int_{0}^{2} (4r-r^{3})dr$

$= 8\pi$

Question 4. $I \subseteq \mathbb{R}$ is a real interval, calculate the maximum value of

$\int_{I} (1-x^{2}) dx.$

Solution.

To calculate the maximum value of the integration, the maximal interval $I=[-1,1].$ Therefore, the maximum value of the integration is

$\int_{-1}^{1} (1-x^{2}) dx = \frac{4}{3}.$

Qustion 5. Calculate the multiple integration

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} e^{x^{2}+y^{2}} dy dx.$

Solution.

Method (i).  Use the polar coordinate.

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} e^{x^{2}+y^{2}} dydx$

$= \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{1} e^{r^{2}} r dr d\theta$

$= \frac{\pi}{2} \int_{0}^{1} e^{r^{2}} r dr$

$= \frac{\pi}{2} (\frac{e^{r^{2}}}{2}) |_{r=0}^{r=1}$

$= \frac{\pi}{4}(e-1).$

Method (ii). Make the substitution $y=sx$, then $dy=x ds.$

The region is $0\leq x \leq 1$ and $0\leq s \leq \sqrt{1-x^{2}}/x.$

That is equivalent to $0 \leq s \leq \infty$ and $0 \leq x \leq 1/\sqrt{1+s^{2}}.$

The integration is

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}/x} e^{x^{2}+s^{2}x^{2}} xds dx$

$= \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{1/\sqrt{1+s^{2}}} e^{(1+s^{2})x^{2}} x dx ds$

$= \int_{0}^{\infty} (\frac{1}{2(1+s^{2})} e^{(1+s^{2})x^{2}} |_{x=0}^{x=1/\sqrt{1+s^{2}}}) ds$

$= \int_{0}^{\infty} \frac{e-1}{2(1+s^{2})}ds$

$= \frac{e-1}{2} \arctan s|_{s=0}^{s=\infty}$

$= \frac{\pi}{4} (e-1).$

# MA 1505 Tutorial 6: Partial Derivatives and Directional Derivative

In the tutorial, we will learn the partial derivatives for multiple variable functions.

Assume $z=f(x,y)$ is a two variable function, then we use the notations to describe the partial derivatives of $f(x,y).$

$f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}$ denotes the partial derivative of f under the variable x.

$f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}$ denotes the partial derivative of f under the variable y.

Similarly, we can also define the second derivative of $f(x,y).$

$f_{xx}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}$,

$f_{xy}=f_{yx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}$  $\text{ if } f(x,y) \text{ is a } C^{2} \text{ function.}$

$f_{yy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$.

Assume $u=(a,b)$ is a unit vector, i.e. its length is 1. If $f(x,y)$ is $C^{1}$ at the point p, then we can define the directional derivative of $f(x,y)$ at point p as

$f_{x}(p) a + f_{y}(p) b$

Theorem 1. Geometric mean is not larger than Arithmetic mean.

For n positive real numbers $a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$,

$(a_{1}...a_{n})^{\frac{1}{n}} \leq \frac{a_{1}+...+a_{n}}{n}$

“=” if and only if $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}.$

Theorem 2. Cauchy’s Inequality.

For 2n real numbers $a_{1},..., a_{n}, b_{1},...,b_{n}$,

$(a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2})$

“=” if and only if $\frac{a_{1}}{b_{1}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}}.$

Proof.

Method (i). Construct a non-negative function f(x) with respect to variable x

$f(x)= \sum_{i=1}^{n}(a_{i}x-b_{i})^{2}= (\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}) x^{2} - 2(\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}) x + (\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}).$

Consider the equation f(x)=0, there are only two possibilities: one is the equation f(x)=0 has only one root, the other one is the function has no real roots. Therefore,

$\Delta=4(\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i})^{2} - 4 ( \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}) \cdot ( \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}) \leq 0.$

Hence, $(a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2}).$

Moreover, if “=”, then f(x)=0 has only one root $x_{0}$, i.e. for all $1\leq i \leq n$, $a_{i}x_{0}-b_{i}=0$. That means

$\frac{a_{1}}{b_{1}} =...=\frac{a_{n}}{b_{n}}.$

By the way, the solution of $ax^{2}+bx+c=0$ is $\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ and $\Delta=b^{2}-4ac.$

Method (ii). Since $a^{2}+b^{2}\geq 2 ab$, we know

$ab\leq \frac{1}{2}(\lambda^{2} a^{2}+ b^{2}/\lambda^{2})$ for all $\lambda \neq 0.$

Assume $\lambda^{2}=\sqrt{(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2})/(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2})}$, for all $1\leq i \leq n$,

$a_{i}b_{i}\leq \frac{1}{2} (\lambda^{2}a_{i}^{2}+b_{i}^{2}/\lambda^{2})$

Take the summation at the both sides,

$\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} \leq \frac{1}{2}( \lambda^{2}\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2} + (\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2})/ \lambda^{2})= \sqrt{(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}) \cdot (\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2})}.$

Question 1. Assume $u(x,y)$ is a $C^{2}$ function and $u>0$. $u(x,y)$ satisfies the partial differential equation $u u_{xy}= u_{x}u_{y}.$

Prove

(1) $\frac{\partial \ln u}{\partial y}$ is a function of y.

(2) $\frac{\partial \ln u}{\partial x}$ is a function of x.

(3) The solution of $u(x,y)$ has the form $u(x,y)=f(x) g(y)$ for some function $f(x)$ and $g(y)$.

Proof.

(1) Method (i) Make use of derivative.

First, we know $\frac{\partial \ln u}{\partial y}=\frac{u_{y}}{u}$. Second, take the partial derivative of the function with respect to the variable x. That means,

$\frac{\partial }{\partial x} (\frac{u_{y}}{u})= \frac{u_{xy}u- u_{x}u_{y}}{u^{2}}=0$ from the partial differential equation. Therefore, the function $\frac{u_{y}}{u}$ is independent of the variable x. i.e. the function is a function of variable y.

Method (ii) Make use of integration.

Since $u u_{xy}=u_{x}u_{y}$, $\frac{u_{x}}{u}=\frac{u_{xy}}{u_{y}}$, then we take the integration of x at the both sides,

$\int \frac{u_{x}}{u} dx =\int \frac{u_{xy}}{u_{y}} dx$, the left hand side is $\ln u$, the right hand side is $\ln |u_{y}| + h_{1}(y)$ for some function $h(y).$ That means, $\frac{|u_{y}|}{u}=e^{-h_{1}(y)}$. and $\frac{u_{y}}{u}$ is a function of $y$.

(2) is similar to (1).

(3) From part (1), we know $\frac{\partial \ln u }{\partial y}$ is a function of y. Assume $\frac{\partial \ln u }{\partial y} = h_{2}(y)$. Take the integration of y at the both sides, we have

$\ln u= \int h_{2}(y) dy + h_{3}(x)$ for some function $h_{3}(x) .$ $u = e^{\int h_{2}(y) dy} \cdot e^{h_{3}(x)} = g(y) \cdot f(x)$ for some functions $f(x)$ and $g(y).$

Question 2. Assume $L+K=150,$  $L$ and $K$ are non-negative. Find the maximum value of $f(L,K)=50 L^{0.4} K^{0.6}$.

Solution.

Method (i). Langrange’s Method.

$g(L,K,\lambda)=f(L,K)-\lambda(L+K-150)=50L^{\frac{2}{5}}K^{\frac{3}{5}}-\lambda(L+K-150).$

Take three partial derivatives of g,

$\frac{\partial g}{\partial \lambda} = -(L+K-150)=0$

$\frac{\partial g}{\partial L} = 50 \cdot \frac{2}{5} L^{-\frac{3}{5}}K^{\frac{3}{5}} - \lambda$

$\frac{\partial g}{\partial K}= 50 \cdot \frac{3}{5} L^{\frac{2}{5}} K^{-\frac{2}{5}} - \lambda=0$

Solve these three equations, we get $2K=3L$ and $L+K=150$, therefore the maximum value is taken at $L=60$ and $K=90.$

Method (ii). Change to one variable function.

Since L+K=150, we can define the one variable function

$g(L)=f(L,150-L)=50 L^{\frac{2}{5}}(150-L)^{\frac{3}{5}}.$

The derivative of $g^{'}(L)=50 \cdot (\frac{2}{5} L^{-\frac{3}{5}}(150-L)^{\frac{3}{5}} - L^{\frac{2}{5}}\frac{3}{5}(150-L)^{-\frac{2}{5}}).$

The critical point is $L=60.$ The maximal value of g(L) is taken at $L=60, K=90.$

Method (iii). Mathematical Olympic Method.

Use the fact that the geometric mean is not larger than the arithmetic mean.

$f(L,K)=50 L^{\frac{1}{5}}L^{\frac{1}{5}} K^{\frac{1}{5}} K^{\frac{1}{5}} K^{\frac{1}{5}}$

$= \frac{50}{3^{\frac{2}{5}} 2^{\frac{3}{5}}} (3L)^{\frac{1}{5}} (3L)^{\frac{1}{5}} (2K)^{\frac{1}{5}} (2K)^{\frac{1}{5}} (2K)^{\frac{1}{5}}$

$\leq \frac{50}{3^{\frac{3}{5}} 2^{\frac{2}{5}}} \frac{3L+3L+2K+2K+2K}{5}$

$= \frac{50}{3^{\frac{2}{5}} 2^{\frac{3}{5}}} \frac{6(L+K)}{5}$

$= \frac{50}{3^{\frac{2}{5}} 2^{\frac{3}{5}}} \frac{6\cdot 150}{5}$.

The maximum value is taken at $3L=2K.$ i.e. $L=60, K=90.$

Question 3. Assume $24x+18y+12z=144$ and $x, y, z$ are non-negative variables. $f(x,y,z)=18 x^{2} y z$. Find the maximum value of $f(x,y,z).$

Solution.

Method (i). Langrange’s Method

$g(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda(24x+18y+12z-144) = 18 x^{2} y z-\lambda(24x+18y+12z-144)$

Take four partial derivatives of $g,$ the critical point is taken at $x=z=1.5y.$ i.e. the maximum value of f(x,y,z) is taken at $x=z=3, y=2.$

Method (ii) Math Olympic Method

$f(x,y,z)=18 x \cdot x \cdot y \cdot z$

$= \frac{18}{12*12*18*12} (12x) \cdot (12x) \cdot (18y) \cdot (12z)$

$\leq \frac{18}{12*12*18*12} (\frac{12x+12x+18y+12z}{4})^{4}$

$= \frac{18}{12*12*18*12} (\frac{144}{4})^{4}$

The maximum value is taken at $12x=12x=18y=12z$, i.e. $x=z=3, y=2.$

Question 4.  2012 Exam MA1505 Semester 1, Question 3(a)

Assume $f(x,y)$ has continuous partial derivatives of all orders, if

$\nabla f = (xy^{2}+kx^{2}y+x^{3}) \textbf{i} + (x^{3}+x^{2}y+y^{2}) \textbf{j},$

Find the value of the constant $k.$

Solution.

Method (i) Use derivatives.

Since $f$ has continuous partial derivative of all orders, $f_{xy}= f_{yx}.$

Since $f_{x}= xy^{2}+kx^{2}y+x^{3}$ and $f_{y}=x^{3}+x^{2}y+y^{2},$

we have

$\frac{\partial}{\partial y} (xy^{2}+kx^{2}y+x^{3})= \frac{\partial}{\partial x} (x^{3}+x^{2}y+y^{2})$

This implies $2xy+kx^{2}=3x^{2}+2xy.$ i.e. $k=3.$

Method (ii). Use integration.

$f_{x}=xy^{2}+kx^{2}y+x^{3} \Rightarrow f(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}y^{2} + \frac{k}{3}x^{3}y + \frac{1}{4}x^{4} + h_{1}(y),$

$f_{y}=x^{3}+x^{2}y+y^{2} \Rightarrow f(x,y)=x^{3}y+\frac{1}{2}x^{2}y^{2}+\frac{1}{3}y^{3}+h_{2}(x).$

Comparing them, we know $k=3,$ $h_{1}(y)=\frac{1}{3}y^{3}+C_{1}$ and $h_{2}(x)=\frac{1}{4}x^{4}+C_{2},$ where $C_{1}$ and $C_{2}$ are constants.

Therefore $k=3.$