身体到极限的6个标志:午睡也做梦 记性变得差

身体负荷过大时,即使没有出现明显的体力不支和心理崩溃等现象,我们的身体和大脑也会发出多种信号,暗示“真的受够了!”。近日,美国“奥普拉生活网”载文,为你总结了“身体超越极限的6个暗号”。

1.午睡一会儿也做梦。午睡可以给身体“充电”。然而,美国弗吉尼亚州马萨杰弗逊医院睡眠医学研究中心主任克里斯托弗·温特博士表示,午睡最长时间为30分钟左右,通常只处于浅睡眠状态。但是,如果你午睡时一闭眼,就开始做各种奇怪的梦,说明大脑严重缺少睡眠,迫不及待地想要进入深度睡眠阶段。

2.记性变差。美国哥伦比亚大学焦虑与相关疾病诊所主任安妮·玛丽·阿尔巴诺博士表示,有些身体健康的人记性不好。其实,这些人是“大脑超载”,激素变化扰乱了记忆功能,使人无法记住更多的内容,容易忘记近期的事情。

3.运动后更加难受。美国维克森林大学医学院妇产科教授萨拉·伯加博士表示,一般情况下,慢跑45分钟会让人感觉很轻松,但是如果你刚开始运动就感觉疲惫,就说明身体已经超负荷了。伯加博士研究发现,压力大的女性进行中等强度的运动,身体能量会供应不足,感觉疲惫乏力。

4.喝咖啡也会困。美国临床心理学家迈克尔·布里斯博士表示,喝咖啡后人的大脑活动会发生改变。如果咖啡因没起作用,就意味着身心已经极度疲劳,抵消了咖啡因的兴奋作用。

5.吃温和的食物也会加重泛酸。美国《身心医学研究杂志》刊登的一项研究证实,压力不会导致泛酸,但会加重泛酸病情。即使没有吃辛辣刺激的食物,泛酸症状仍然存在或更加严重,就说明压力过大。

6.头皮变敏感。美国宾夕法尼亚临床心理学专家理查德·弗雷德博士表示,压力通常会导致皮肤中神经肽和其他自然化学物质增加,引起炎症。这种炎症会以痤疮或酒糟鼻等形式爆发,有的还会导致血管收缩,使面部和头部的皮肤过紧、刺痛或敏感。

MA 1505 Tutorial 2: Integration

L.Hospital Rule: if the ratio is \infty/\infty or 0/0, then we can use the L.Hospital Rule to calculate the limit. Precisely, the L.Hospital Rule is 

\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)},

where a is a finite real number or infinity.

If f(x) is a continuous function, then F(x)= \int_{a}^{x} f(t) dt is a differentiable function and its derivative F^{'}(x)=f(x).

General Leibniz Integration Rule.

\frac{d}{d\theta} ( \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f(x,\theta)dx)

= \int_{a(\theta)}^{b(\theta)} f_{\theta}(x,\theta) dx + f(b(\theta), \theta)\cdot b^{'}(\theta) - f(a(\theta),\theta) \cdot a^{'}(\theta)

Question 1. Calculate the value S=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx .

Solution. 

S=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x +\cos x }dx

= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(\frac{\pi}{2}-t)}{\sin(\frac{\pi}{2}-t) + \cos( \frac{\pi}{2}-t)} dt

= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin t}{\cos t+\sin t}dt

Therefore

2S=S+S

= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x+\sin x} dx

= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx= \frac{\pi}{2}

Hence, S=\frac{\pi}{4} .

Question 2. Calculate the value S=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan{x}) dx .

Solution. 

S=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) dx

= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan(\frac{\pi}{4}-x)) dx

= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\frac{2}{1+\tan x})dx

= \frac{\pi \ln2}{4} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan x) dx

= \frac{\pi \ln2}{4} - S

Therefore, S=\frac{\pi \ln2}{8} .

Question 3. 

S=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}dx

Solution.

S=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}dx

= \int_{0}^{1} \frac{(1-x)^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}dx

= 1- \int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4}+(1-x)^{4}}dx

Therefore, S=0.5.

Question 4. 

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1.

\lim_{x\rightarrow \infty} x\tan\frac{1}{x} = \lim_{y\rightarrow 0}\frac{\tan y}{y}=1, where y=1/x.

\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x^{a}}=0, where a>0.