多项式的根之美

 

 

deg5木遥按:这是美国数学家 John Baez 今年 11 月 14 日在他的网页上贴出来的一篇文章(原文),很快引起了许多人的兴趣。标题中的“根”是指数学中一个多项式的解。如果你还没有忘光你的高中数学课,就应该知道下面这两个事实:任何一个多项式在复数域中必有根,并且每个复数都可以在复平面上对应于一个点。这样,给定一系列多项式,我们就可以把它们的根都画在复平面上,从而形成一些特定的图案。请放心,即使你对多项式毫不了解,也不会妨碍你欣赏这些图案之美的。也许你曾经听说过经典的曼德布洛特集合(Mandelbrot set),那你很容易就能在这里看到某些相似之处。所不同的是,人们对这些新的图案还所知甚少。

下面所有括号中的文字都是我所添加,以帮助不熟悉复平面的朋友了解所说那些的点的位置。每幅图都可以点击放大。


我的朋友 Dan Christensen 发现了一幅令人赞叹的图画(见题图)。它是由所有系数为 -4 到 4 之间的整数的 5 次以下多项式的根在复平面上的对应点构成的。

 

点击图片可以看大图。二次多项式的根是灰色的,三次多项式的根是青蓝色的,四次多项式的根是红色的,五次多项式的根是黑色的。横轴是实轴,纵轴是虚轴,中间的大洞的中心是原点。两侧小一点的洞的中心是 ±1,在 ±i 处和 1 的所有六个虚根出也各有一个小洞(即中间那个大洞上下不远处对称的那些小洞)。

你可以在这里看到许多迷人的图案,给人的感觉是这些整系数多项式的根在竭力避开那些整点和单位根似的,──除非这些整点和单位根本身就是多项式的根。如果你把图案放大,可以看到更多细节:

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在这里你可以看到,在 1 这个点所在的空白区域周围环绕着一些美丽的羽毛,在 exp(iπ/3) 这个点周围有一个六瓣的星形(即左上角那个梅花形状的洞),还有一条奇特的红色连线把这两个点连接起来,还有很多其他的点周围的星形的洞,诸如此类。

人们应该开始研究这些东西才对!让我们把所有系数为 -n 到 n 之间的整数的 d 次以下多项式的全体根构成的集合称为 Christensen 集 Cd,n,很显然当 d 和 n 越大, Cd,n 这个集合就越大,并且当 n 趋于无穷大时这个集合趋于布满全复平面。如果固定 d, 令 n 趋向于无穷大,那么我们就能得到全体有理复数;如果令 d 和 n 同时趋于无穷大,那么我们就能得到全体代数复数。于是一个有趣的问题就是,如果我们固定 n,令 d 趋于无穷大,会得到什么呢?

在上面这些图片的鼓舞下,Sam Derbyshire 决定绘制一些分辨率更高的多项式根的图片。试验了几次之后,他觉得他最喜欢的是系数为 ±1 的多项式。他把所有 24 次以下的这样的的多项式的根绘制成一副高清晰度的图片,这些多项式一共有 224 个,其根大约共有 24 × 224 个,也就是大约四亿个。他用 mathematica (一个数学软件)花了大概四天时间才计算出所有这些根,得到了大约 5G 的数据。然后他用 Java 语言生成了这幅美妙的图案:

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颜色表示根的密度,从黑色到暗红色到黄色再到白色。上图是低分辨率版本,这里有一个 90M 的文件可供下载。我们可以放大一点看到更多细节:

polynomialroots_closeup

请注意单位根周围的那些小洞,还有圆弧内部的那些羽毛。为了更清楚地观察,我们把下面这些标记出来的区域放大:

polynomialrootscrops

这里是 1 这个点处的那个洞。(即上面最右边那个标记出来的区域。)

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中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。

然后这里是 i 这个点处的洞。(即最上面那个标记区域。)

polynomialrootsi

这是 exp(iπ/4) 这个点周围。(差不多位于 1 和 i 正中央。)

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请注意,根的密度在接近这个点的时候会变大,然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。

但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案!这里是实轴附近的样子,这个图的中心位于 4/5 点处。(右边数第二个标记区域。)

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在 (4/5)i 点处的样子就截然不同了。(从上数第二个标记区域。)

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但是我觉得最漂亮的还要说是 (1/2) exp(i π / 5) 这个点周围的区域。(剩下的那个标记区域。)这幅图生动的展示出,在我们的数学研究中,规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的,就像从薄雾中隐约显现出来一样。

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这里有太多东西需要解释了,每幅图片都至少需要一两个定理来描述。如果想看到更多的这类结果,可以参见:

Loki Jörgenson, 限定系数多项式的根 以及 相关图片
Dan Christensen,整系数多项式的根的图案

http://songshuhui.net/archives/23604

Mandelbrot:美丽的分形

http://songshuhui.net/archives/44651

谨以此文悼念分形之父(Mandelbrot)曼德勃罗先生!

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著名数学家,被誉为分形之父的Mandelbrot先生,美国时间10月15日在马萨诸塞州剑桥辞世,享年85岁。他用“美丽”改变了我们的世界观,他被认为是20世纪后半叶少有的影响深远而且广泛的科学伟人之一,1993年他获得沃尔夫物理学奖,他是美国科学院院士,生前还被选为美国物理学会、美国统计学会、IEEE、计量经济学会、数理统计学会等学会的会士。

大概是拥有犹太人血统,他是一位非常另类的科学家,特立独行,喜欢提出新问题和新猜想,他的论文涉及数学、信息论、经济学、金融学、语言学、生理学等几十个学科。曼德勃罗前半生的学术生涯可以用“坎坷”两字来形容,过着打一枪换一个地方的学术“流浪者”的生活,孤独地一个人行走,没有同道,论文几乎都被主流学术界无情地枪毙,被退回的手稿堆积如山。坚强的他选择了创立新的学科,自己开拓一片天地,奇迹终于出现了,1975年他独自创立了分形(Fractal)学,出版了一系列奠定分形学说的著作,赢得了世界性的声誉和学术地位。

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分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意是不规则、支离破碎的意思,所以分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。按照分形几何学的观点,一切复杂对象虽然看似杂乱无章,但他们具有相似性,简单地说,就是把复杂对象的某个局部进行放大,其形态和复杂程度与整体相似。在分形世界中,每个人都可以在身边熟悉的事物中找到戏剧性的新发现,比如“中国的海岸线有多长”?分形学认为这是一个不确定的答案,海岸线的长度取决于你用什么样刻度的尺子进行测量,刻度越细,所测量的海岸线长度就会更长,乃至无限。如今分形学的研究成果已经广泛地应用于物理、化学、生物、地质、农业、金融、艺术等诸多领域,其不规则图形设计理念甚至影响流行文化。

如果我没有记错的话,最早把分形引进中国的是中科院沈阳金属所的龙期威研究员,他首先把分形理论应用于金属断裂的研究,龙期威先生还为在中国推广分形学的研究做出了贡献,这其中最大的“受益者”当属四川大学校长谢和平院士。我至今仍清楚地记得,1989年在金属所举办的全国分形学研讨会,恰好在金属所学习的我经常去旁听,那次研讨会留给我最深印象的不是那些做报告的专家,而是坐在我身边的一位壮汉,他特喜欢提问题,那浓重的湖南音总能引起全场一片善意的笑声,他就是谢和平先生,谁也没有料到日后他会成为一名院士和著名大学的校长,他学术上最大的贡献就是把分形方法引入到裂隙岩体的研究,形成了裂隙岩体非连续行为分形研究的新方向,不夸张地说是曼德勃罗先生的美丽分形成就了谢和平先生。

有学者这样说过:“为什么世界这么美丽,因为我眼睛看到的都是分形”,大到海岸线、山川形状、天空的云朵,小到一片树叶、一片雪花、皮蛋里的花纹,分形无处不在,无处不有。

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