拉格朗日四平方和定理

拉格朗日四平方和定理

每个正整数均可表示为四个整数的平方和。

Every positive integer is the sum of four squares.

例如:

  • 1=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}
  • 2 = 1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}
  • 7 = 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}

证明:可以直接验证如下恒等式

(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}) = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2},其中

\begin{cases} z_{1}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4} \\ z_{2}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3} \\ z_{3}=x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2} \\ z_{4}=x_{1}y_{4}-x_{4}y_{1}-x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}\end{cases}

由于 1 与 2 都明显满足这个定理,那么只需要考虑大于 2 的正整数。而这些正整数都可以分解成素数的乘积,因此,只需要证明该定理对所有的素数成立,则使用以上恒等式就可以得到最终的结论。假设 p 是一个奇素数。

由于 \{a^{2}:a\in\{0,1,\cdots,(p-1)/2\}\} 里面有 (p+1)/2 个不同的同余类,\{-b^{2}-1: b\in \{0,1,\cdots,(p-1)/2\}\} 里面也有 (p+1)/2 个不同的同余类,但是素数 p 的同余类只有 p 个,因此存在正整数 a,b\in \{0,1,\cdots, (p-1)/2\} 满足 a^{2}\equiv -b^{2}-1 (\mod p)。也就是说 a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}\equiv 0(\mod p)。令 n\in\mathbb{Z} 满足 np=a^{2}+b^{2}+1,则有 p\leq np\leq 2(p-1)^{2}/4+1<p^{2}。于是,1\leq n<p

因此存在一个 1\leq n<p 使得 np = a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2} 是四个整数的平方和。于是必定存在一个最小的正整数 m 使得 1\leq m\leq n<p 使得 mp 为四个整数的平方和,不妨设为 mp=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}

Claim. m=1

proof of the claim. 反证法,假设 1<m\leq n<p 成立。令 y_{i}=x_{i}(\mod m) 对于 i\in\{1,2,3,4\} 成立,并且 -m/2<y_{i}\leq m/2。因此,y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}\equiv(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\equiv mp \equiv 0(\mod m)。令 mr = y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}。因此,mr\leq 4(m/2)^{2}=m^{2}

如果 r =m,通过以上不等式得知 r=m 等价于 y_{i}=m/2 对于 i\in\{1,2,3,4\} 都成立。此时,mp = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\equiv 4(m/2)^{2} \equiv 0 (\mod m^{2})。因此,pm 的倍数,这与 p 是素数,m>1 矛盾。所以,r<m 成立。i.e. 1\leq r<m\leq n<p 成立。

进一步地,(mp)\cdot(mr) = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}) = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2},这里的 z_{i} 正如恒定式里面所定义的。由于 y_{i}\equiv x_{i}(\mod m),并且 \sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}\equiv 0(\mod m)。因此,z_{i}\equiv 0(\mod m) 对于 i\in\{1,2,3,4\} 都成立。所以,z_{i}=w_{i}mw_{i}\in\mathbb{Z} 对于 i\in\{1,2,3,4\} 都成立。通过 (mp)\cdot(mr) = \sum_{i=1}^{4}z_{i}^{2} 可以得到 pr=\sum_{i=1}^{4}w_{i}^{2} 成立。但是,1\leq r<m 这与 m 的最小性假设矛盾了。

因此,m=1,Claim 证明完毕。

于是,对于所有的奇素数,都可以表示为四个整数的平方之和。根据之前的分析,可以得到对于所有的正整数,都可以表示为四个整数的平方之和。Lagrange 定理证明完毕。

参考文献

  1. GTM 164, Additive Number Theory, Melvyn B.Nathanson, 1996.

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