拉格朗日四平方和定理

每个正整数均可表示为四个整数的平方和。

Every positive integer is the sum of four squares.

例如：

$1=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}$ ，
$2 = 1^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}$ ，
$7 = 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}$ 。

证明：可以直接验证如下恒等式

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}) = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}$ ，其中

$\begin{cases} z_{1}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+x_{4}y_{4} \\ z_{2}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3} \\ z_{3}=x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}+x_{2}y_{4}-x_{4}y_{2} \\ z_{4}=x_{1}y_{4}-x_{4}y_{1}-x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}\end{cases}$

由于 1 与 2 都明显满足这个定理，那么只需要考虑大于 2 的正整数。而这些正整数都可以分解成素数的乘积，因此，只需要证明该定理对所有的素数成立，则使用以上恒等式就可以得到最终的结论。假设 $p$ 是一个奇素数。

由于 $\{a^{2}:a\in\{0,1,\cdots,(p-1)/2\}\}$ 里面有 $(p+1)/2$ 个不同的同余类， $\{-b^{2}-1: b\in \{0,1,\cdots,(p-1)/2\}\}$ 里面也有 $(p+1)/2$ 个不同的同余类，但是素数 $p$ 的同余类只有 $p$ 个，因此存在正整数 $a,b\in \{0,1,\cdots, (p-1)/2\}$ 满足 $a^{2}\equiv -b^{2}-1 (\mod p)$ 。也就是说 $a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}\equiv 0(\mod p)$ 。令 $n\in\mathbb{Z}$ 满足 $np=a^{2}+b^{2}+1$ ，则有 $p\leq np\leq 2(p-1)^{2}/4+1<p^{2}$ 。于是， $1\leq n<p$ 。

因此存在一个 $1\leq n<p$ 使得 $np = a^{2}+b^{2}+1^{2}+0^{2}$ 是四个整数的平方和。于是必定存在一个最小的正整数 $m$ 使得 $1\leq m\leq n<p$ 使得 $mp$ 为四个整数的平方和，不妨设为 $mp=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}$ 。

Claim. $m=1$ 。

proof of the claim. 反证法，假设 $1<m\leq n<p$ 成立。令 $y_{i}=x_{i}(\mod m)$ 对于 $i\in\{1,2,3,4\}$ 成立，并且 $-m/2<y_{i}\leq m/2$ 。因此， $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}\equiv(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\equiv mp \equiv 0(\mod m)$ 。令 $mr = y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}$ 。因此， $mr\leq 4(m/2)^{2}=m^{2}$ 。

如果 $r =m$ ，通过以上不等式得知 $r=m$ 等价于 $y_{i}=m/2$ 对于 $i\in\{1,2,3,4\}$ 都成立。此时， $mp = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\equiv 4(m/2)^{2} \equiv 0 (\mod m^{2})$ 。因此， $p$ 是 $m$ 的倍数，这与 $p$ 是素数， $m>1$ 矛盾。所以， $r<m$ 成立。i.e. $1\leq r<m\leq n<p$ 成立。

进一步地， $(mp)\cdot(mr) = (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})\cdot(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}) = z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}$ ，这里的 $z_{i}$ 正如恒定式里面所定义的。由于 $y_{i}\equiv x_{i}(\mod m)$ ，并且 $\sum_{i=1}^{4}x_{i}^{2}\equiv 0(\mod m)$ 。因此， $z_{i}\equiv 0(\mod m)$ 对于 $i\in\{1,2,3,4\}$ 都成立。所以， $z_{i}=w_{i}m$ ， $w_{i}\in\mathbb{Z}$ 对于 $i\in\{1,2,3,4\}$ 都成立。通过 $(mp)\cdot(mr) = \sum_{i=1}^{4}z_{i}^{2}$ 可以得到 $pr=\sum_{i=1}^{4}w_{i}^{2}$ 成立。但是， $1\leq r<m$ 这与 $m$ 的最小性假设矛盾了。