典型案例
无论是在数学课上还是日常生活中,相比大家对抛硬币这个游戏并不陌生。通常来说,硬币有正反两面,并且抛一次硬币出现正面和反面的概率是一样的,也就是二分之一。如果用数学符号来表示的话,那就是 这里的
分别表示硬币出现正面和反面的概率值。 从直觉上说,在这种情况下,如果我们每次投入的资金都是一样的并且资金链条不会断裂,那么随着投币次数的增多,最终我们应该是既不会赢钱也不会输钱,总资产和一开始的时候一样保持不变。
数学描述
用数学语言来描述这个过程的话,假设我们的初始资产是 ,
表示
次下注之后我们当前的资产,每次下注的钱是
,用
表示第
次下注获胜,
表示第
次下注失败。那么从数学公式上来说就是:对于所有的
,都有
进一步可以得到:
所以,
对于上面特殊的例子,当 时,就可以得到
当 的时候,表示赌赢的概率大于赌输的概率。这种时候,如果需要让
最大,那么就需要最大化每次的
。所以,在这种情况下,我们需要在每次下注的时候,把手上所有的资产全部下注,然后总资产随着次数的增加就会出现几何级数的增长。
相反的,如果 ,表示下注获胜的概率小于下注失败的概率。这种时候,如果需要让
最大,那么就需要最小化每次的
,因为
所以,在这种情况下,我们在每次下注的时候,其实就不需要投注,每次的
,在这种情况下,我们的总资产其实就会保持原样不变。i.e.
按比例投注
在每次下注或者投资的时候,我们通常都会想着按照一定的比例来投注自己当前的资产。也就是说,存在一个参数 ,使得
,也就是说,每次投注的时候,基于上一轮的总资产来投注相应的比例即可。如果当前的资产是
,如果下注赢了,那么总资产就变成
;如果下注输了,那么总资产就变成
。意思就是说,如果赢了,那就在原来资产的基础上乘以
;如果输了,那就在原来资产的基础上乘以
。在这种情况下,如果我们进行了
次下注,那么此刻的资产就变成了
其中, 分别表示成功和失败的次数,并且
。
当 时,表示永远不下注,此时对于所有的
,都有
;当
时,表示每次下注的时候都是全部下注,那么只要
,就会出现
的情况。意思就是说,如果有一次失败了,那就全盘皆输,没有任何资产可以继续运营。但是如果运气足够好的话,那就是
,总资产就是
当 时,从公式中可以得到:
进一步可以得到:
因此,可以通过研究 来确定
的最大值。为了计算
的最大值和最小值,则需要通过导数来研究。可以简单的看出来:当
时,
,
。计算导数可以得到:
所以,导数 是一个严格递减函数,当
时,
;当
时,
。因此,函数
会在
的时候达到最大值。所以,每次最佳的投注比例应该是
。
从这个结果上来看,如果 ,那么意思就是最好不要做投注,因为输的概率比较大。如果
,那么意思就是投注的比例是
。在这种情况下,可以得到
从以上信息分析,也可以得到存在一个点
使得
。
一般形式(一)
在一般情况下,在现实生活中都会有赔率的概念。也就是说:赢钱的时候需要考虑赔率,押 赔
,也就是所谓的赢钱率,资产从
增加到
。举个简单的例子来描述那就是:当硬币有偏差,同时有赔率(赢钱率)的时候该怎么办?
在这种情况下,之前的 可以写成如下的形式:
.
这里的 分别表示赢钱和输钱的概率,并且
。
表示每次应该押上的当前总资产的比例,并且
。通过计算可以直接得到:
.
并且 ,
。从导数上可以看出,当
时,
是增函数;当
时,
是递减函数。因此,当
时,
达到最大值,也就是
.
在这种情况下,直接带入一些简单的数字可以得到:
- 当
时,
;
- 当
时,
;
- 当
时,
;
- 当
时,
; 此时不该下注。
从公式 可以看出:
- 当
增加的时候,
会减少,
也会增加,意思就是随着赢钱的机会加大,就该增加投注的比例;反之,当
减少的时候,
也会随之减少,也就是说当赢钱的机会变小的时候,就该减少投注的比例。
- 当
增加的时候,
会增加,意思就是说当赢钱率增加的时候,应该加大投注的比例;反之,当赢钱率减少的时候,应该减少投注的比例。
- 当
时,就表示这个游戏不值得投注,因为总资产的期望是负数。
一般形式(二)
除了赢钱率之外,在一般情况下,还有一个损失率的概念。也就是说,当投掷的硬币有偏差,并且同时有赢钱率和损失率的时候该怎么办?
假设
- 赌赢的概率是
;
- 赌输的概率是
;
- 赢钱率是
,下注的资产会按比例增加,从
变成
;
- 损失率是
,下注的资产会按比例减少,从
变成
。
一般情况下,。在这种情况下,函数
的形式又会发生微小的变化,
.
直接计算可以得到:。因此,临界点是
。从公式上看,
- 当
增加的时候,
会减少,
也会增加,意思就是随着赢钱的机会加大,就该增加投注的比例;反之,当
减少的时候,
也会随之减少,也就是说当赢钱的机会变小的时候,就该减少投注的比例。
- 当
增加的时候,
会增加,意思就是说当赢钱率增加的时候,应该加大投注的比例;反之,当赢钱率减少的时候,应该减少投注的比例。
- 当
增加时,
会减少,意思是说当损失率增加的时候,应该减少投注的比例;反之,当输钱率减少的时候,应该增加投注的比例。
- 当
时,就表示这个游戏不值得投注,因为总资产的期望是负数。
结论
本文从简单的概率论常识出发,介绍了 Kelly 公式的初步概念。对此有兴趣的读者,建议读其它更有深度的文章。