Kelly Criterion

典型案例

无论是在数学课上还是日常生活中，相比大家对抛硬币这个游戏并不陌生。通常来说，硬币有正反两面，并且抛一次硬币出现正面和反面的概率是一样的，也就是二分之一。如果用数学符号来表示的话，那就是 $p = q = 1/2,$ 这里的 $p,q$ 分别表示硬币出现正面和反面的概率值。从直觉上说，在这种情况下，如果我们每次投入的资金都是一样的并且资金链条不会断裂，那么随着投币次数的增多，最终我们应该是既不会赢钱也不会输钱，总资产和一开始的时候一样保持不变。

数学描述

用数学语言来描述这个过程的话，假设我们的初始资产是 $X_{0}$ ， $X_{n}$ 表示 $n$ 次下注之后我们当前的资产，每次下注的钱是 $B_{k}$ ，用 $T_{k} =1$ 表示第 $k$ 次下注获胜， $T_{k} = -1$ 表示第 $k$ 次下注失败。那么从数学公式上来说就是：对于所有的 $k\geq 1$ ，都有

$X_{k} = X_{k-1} + T_{k}B_{k},$

进一步可以得到：

$X_{n} = X_{0} + \sum_{k=1}^{n} T_{k}B_{k},$

所以，

$E(X_{n}) = X_{0} + \sum_{k=1}^{n}E(T_{k}B_{k}) = X_{0} + \sum_{k=1}^{n}(p-q)E(B_{k}).$

对于上面特殊的例子，当 $p = q = 1/2$ 时，就可以得到 $E(X_{n}) = X_{0}.$

当 $p>q$ 的时候，表示赌赢的概率大于赌输的概率。这种时候，如果需要让 $E(X_{n})$ 最大，那么就需要最大化每次的 $E(B_{k})$ 。所以，在这种情况下，我们需要在每次下注的时候，把手上所有的资产全部下注，然后总资产随着次数的增加就会出现几何级数的增长。

相反的，如果 $p<q$ ，表示下注获胜的概率小于下注失败的概率。这种时候，如果需要让 $E(X_{n})$ 最大，那么就需要最小化每次的 $E(B_{k})$ ，因为 $p-q<0.$ 所以，在这种情况下，我们在每次下注的时候，其实就不需要投注，每次的 $B_{k}=0$ ，在这种情况下，我们的总资产其实就会保持原样不变。i.e. $E(X_{n}) = X_{0}.$

按比例投注

在每次下注或者投资的时候，我们通常都会想着按照一定的比例来投注自己当前的资产。也就是说，存在一个参数 $0\leq f\leq 1$ ，使得 $B_{i} = f X_{i-1}$ ，也就是说，每次投注的时候，基于上一轮的总资产来投注相应的比例即可。如果当前的资产是 $X$ ，如果下注赢了，那么总资产就变成 $X(1+f)$ ；如果下注输了，那么总资产就变成 $X(1-f)$ 。意思就是说，如果赢了，那就在原来资产的基础上乘以 $(1+f)$ ；如果输了，那就在原来资产的基础上乘以 $(1-f)$ 。在这种情况下，如果我们进行了 $n$ 次下注，那么此刻的资产就变成了

$X_{n} = X_{0} \cdot(1+f)^{S}\cdot(1-f)^{F}$

其中， $S, F$ 分别表示成功和失败的次数，并且 $S+F=n$ 。

当 $f=0$ 时，表示永远不下注，此时对于所有的 $n\geq 0$ ，都有 $X_{n}=X_{0}$ ；当 $f=1$ 时，表示每次下注的时候都是全部下注，那么只要 $F\geq 1$ ，就会出现 $X_{n}=0$ 的情况。意思就是说，如果有一次失败了，那就全盘皆输，没有任何资产可以继续运营。但是如果运气足够好的话，那就是 $S=n, F=0$ ，总资产就是 $X_{n} = X_{0}\cdot 2^{n}.$

当 $0<f<1$ 时，从公式中可以得到：

$\ln X_{n} = \ln X_{0} + S\cdot \ln(1+f) + F\cdot \ln(1-f)$

$\Rightarrow G_{n}(f)=\ln(X_{n}/X_{0})^{1/n}$

$=(\ln X_{n}-\ln X_{0})/n = (S/n) \ln(1+f) + (F/n)\ln(1-f)$

进一步可以得到：

$g(f) = E(\ln(X_{n}/X_{0})^{1/n})$

$= E((S/n) \ln(1+f) + (F/n)\ln(1-f))$

$= p\ln(1+f)+q\ln(1-f).$

因此，可以通过研究 $g(f)$ 来确定 $E(X_{n})$ 的最大值。为了计算 $g(f)$ 的最大值和最小值，则需要通过导数来研究。可以简单的看出来：当 $p,q\in(0,1)$ 时， $g(0) = 0$ ， $\lim_{f\rightarrow 1^{-}} g(f) = -\infty$ 。计算导数可以得到：

$Dg(f) = \frac{p}{1+f} - \frac{q}{1-f} = \frac{p-q-f}{1-f^{2}},$

$D^{2}g(f) = \frac{-(1-f)^{2}-4fq}{(1-f^{2})^{2}}<0.$

所以，导数 $Dg(f)$ 是一个严格递减函数，当 $f<p-q$ 时， $Dg(f)>0$ ；当 $f>p-q$ 时， $Dg(f)<0$ 。因此，函数 $g(f)$ 会在 $f^{*} = p-q$ 的时候达到最大值。所以，每次最佳的投注比例应该是 $f^{*} =p-q$ 。

从这个结果上来看，如果 $p<q$ ，那么意思就是最好不要做投注，因为输的概率比较大。如果 $p>q$ ，那么意思就是投注的比例是 $f^{*}=p-q$ 。在这种情况下，可以得到 $g(f^{*}) = p\ln p + q\ln q + \ln 2.$ 从以上信息分析，也可以得到存在一个点 $f_{c}$ 使得 $g(f_{c}) = 0$ 。

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一般形式（一）

在一般情况下，在现实生活中都会有赔率的概念。也就是说：赢钱的时候需要考虑赔率，押 $1$ 赔 $b$ ，也就是所谓的赢钱率，资产从 $1$ 增加到 $1+b$ 。举个简单的例子来描述那就是：当硬币有偏差，同时有赔率（赢钱率）的时候该怎么办？

在这种情况下，之前的 $g(f)$ 可以写成如下的形式：

$g(f)=p\ln(1+bf)+q\ln(1-f)$ .

这里的 $p, q$ 分别表示赢钱和输钱的概率，并且 $p+q=1$ 。 $f$ 表示每次应该押上的当前总资产的比例，并且 $0\leq f\leq 1$ 。通过计算可以直接得到：

$Dg(f) = \frac{pb-q-bf}{(1+bf)(1-f)}$ .

并且 $g(0) = 0$ ， $\lim_{f\rightarrow 1^{-}}g(f) = -\infty$ 。从导数上可以看出，当 $f>(pb-q)/b$ 时， $g(f)$ 是增函数；当 $f<(pb-q)/b$ 时， $g(f)$ 是递减函数。因此，当 $f = (pb -q)/b$ 时， $g(f)$ 达到最大值，也就是

$g(f) = p\ln p + q\ln q + \ln(1+b) - q\ln b$ .

在这种情况下，直接带入一些简单的数字可以得到：

当 $p = q = 0.5,$ $b = 1$ 时， $f^{*} = (pb-q)/b = 0$ ；
当 $p = 2/3, q= 1/3,$ $b = 1$ 时， $f^{*} = (pb-q)/b = 1/3$ ;
当 $p = q = 0.5,$ $b = 2$ 时， $f^{*} = (pb-q)/b = 1/4$ ;
当 $p = q = 0.5,$ $b = 1/2$ 时， $f^{*} = (pb-q)/b = - 1/2$ ; 此时不该下注。

从公式 $f^{*} = p - \frac{q}{b}$ 可以看出：

当 $p$ 增加的时候， $q$ 会减少， $f^{*}$ 也会增加，意思就是随着赢钱的机会加大，就该增加投注的比例；反之，当 $p$ 减少的时候， $f^{*}$ 也会随之减少，也就是说当赢钱的机会变小的时候，就该减少投注的比例。
当 $b$ 增加的时候， $f^{*}$ 会增加，意思就是说当赢钱率增加的时候，应该加大投注的比例；反之，当赢钱率减少的时候，应该减少投注的比例。
当 $f^{*}\leq 0$ 时，就表示这个游戏不值得投注，因为总资产的期望是负数。

一般形式（二）

除了赢钱率之外，在一般情况下，还有一个损失率的概念。也就是说，当投掷的硬币有偏差，并且同时有赢钱率和损失率的时候该怎么办？

假设

赌赢的概率是 $p$ ；
赌输的概率是 $q$ ；
赢钱率是 $b$ ，下注的资产会按比例增加，从 $1$ 变成 $1+b$ ；
损失率是 $c$ ，下注的资产会按比例减少，从 $1$ 变成 $1-c$ 。

一般情况下， $0\leq c\leq 1$ 。在这种情况下，函数 $g(f)$ 的形式又会发生微小的变化，

$g(f) = p\ln(1+bf) + q\ln(1-cf)$ .

直接计算可以得到： $Dg(f) = \frac{pb-cq-cbf}{(1+bf)(1-cf)}$ 。因此，临界点是 $f^{*} = \frac{p}{c} - \frac{q}{b}$ 。从公式上看，

当 $p$ 增加的时候， $q$ 会减少， $f^{*}$ 也会增加，意思就是随着赢钱的机会加大，就该增加投注的比例；反之，当 $p$ 减少的时候， $f^{*}$ 也会随之减少，也就是说当赢钱的机会变小的时候，就该减少投注的比例。
当 $b$ 增加的时候， $f^{*}$ 会增加，意思就是说当赢钱率增加的时候，应该加大投注的比例；反之，当赢钱率减少的时候，应该减少投注的比例。
当 $c$ 增加时， $f^{*}$ 会减少，意思是说当损失率增加的时候，应该减少投注的比例；反之，当输钱率减少的时候，应该增加投注的比例。
当 $f^{*}\leq 0$ 时，就表示这个游戏不值得投注，因为总资产的期望是负数。

结论

本文从简单的概率论常识出发，介绍了 Kelly 公式的初步概念。对此有兴趣的读者，建议读其它更有深度的文章。

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ZHANG RONG

Kelly Criterion

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