傅里叶分析与调和分析

傅里叶分析

傅里叶变换(Fourier Transform)其实是数学里面非常重要的一门技术。在数学分析里面,就有傅里叶分析的身影,用于计算正整数的倒数和等于 \pi^{2}/6, 并且还有很多其他有意思的性质。

对于初学这门课程的人而言,建议阅读一代数学大师,沃尔夫奖得主 Elias M.Stein 撰写的《傅里叶分析导论》,英文名是 Fourier Analysis An Introduction。

在这本书里面,作者从波动方程和热方程开始,逐渐引入傅里叶变换的基础知识和概念,也介绍了傅里叶级数的收敛性质。其中包括单位区间上的傅里叶变换和实数轴上的傅里叶变换,最终将其推广到高维实数空间中。除此之外,作者也基于这些基础知识介绍了傅里叶分析在其他领域中的应用,包括等周定理(The Isoperimetric Inequality),同程度分布定理(Weyl’s Equidistribution Theorem),数论中的 Dirichlet 定理等等。让读者在学习傅里叶分析的同时,认识到傅里叶分析是在数学各个领域都有着重要应用场景的一门学科。

傅里叶分析导论
傅里叶分析导论

调和分析

之前在北京大学学了整整一个学期的调和分析,是由 BICMR 的苗老师主讲。在这门课上我受益匪浅,故写一篇文章来感激下这位老师,同时写一下自己学习调和分析的感受。

调和分析起源于 Fourier 这位数学家的研究,故也可以称为 Fourier 分析。其主要内容包括算子插值方法,Hardy-Littlewood 极大算子,Fourier变换,Calderon-Zygmund’s Inequality,函数空间,Ap 权等等。下面一一介绍这些基本内容。

(1) 算子插值方法

里面主要有 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 和 Riesz Thorin Interpolation Theorem两个定理,分别是用实变方法和复变方法证明的。这两个定理则是研究算子的 L^{p} 有界性的关键定理,是整个调和分析的基础。

(2) Hardy—Littlewood Maximal Operator

这个是一个相当重要的拟线性算子,利用 Vitali Covering Theorem 和 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 可以证明该算子是 L^{p} 有界的。证明过程不超过10行,但是证明过程相当的漂亮。

(3) Fourier Transformation

调和分析的主要工具,这个工具不仅仅在调和分析上有用,在 PDE 和随机过程中,这也是一个相当重要的工具。它把一个物理空间上的函数,转换成频率空间上的函数,从而获得了很多很好的性质。

(4) Calderon-Zygmund’s Inequality

这个定理是调和分析的经典定理之一,是处理卷积型的奇异积分的。可以看成是 Minkowskii 不等式的推广。Zygmund 把定理的条件放的很弱,只需要加上 Hormander 条件就可以得到算子的 L^{p} 有界性。然后也可以考虑其条件的充要条件。

(5) 函数空间

调和分析里面提到的函数空间包括 Sobolev space,Lipschitz space,Hardy space,Besov space 等等。 其中 Sobolev space 在 PDE 上面用处广泛,其代表作就是 Adams 的 Sobolev Space。Besov Space 里面有一个插值定理,也相当的重要,差不多 5 页吧,当时苗老师让我们全部背下来,嘿嘿。另外, Hardy Space 里面有一个相当重要的定理,就是所谓的 Duality of BMO and H^1 Space. 其证明过程大概有10页吧,是由 C.Fefferman 和 Elias.M.Stein 在上个世纪70年代给出的,方法太经典了,看完之后甚至会觉得自己没有必要学数学了。

(6) Ap weight

这个也是调和分析的分支之一,其中周民强老先生的书上有详细记载,就不一一阐述了。

以上的这些内容就是之前一个学期在北大学习所学到的东西,学了调和分析之后,基本上就不怕所谓的硬分析了。总之收获还是蛮多的,非常欣赏那位老师,一个学期讲了那么多东西。其实以上我提到的只是他讲的东西的一半内容,他后面还讲了很多 Schrodinger 方程的内容,由于本人实力有限,实在是没有能力再学后面的内容了。

ps:去 BICMR 学习是 2009 年的事了,一晃眼 11 年过去了。

参考文献:

  1.  Loukas Grafakos,GTM249,Classical Fourier Analysis
  2. Loukas Grafakos,GTM250,Modern Fourier Analysis
  3. Elias M.Stein 傅里叶分析导论

备注:

  1. 第 1,2 两本书是调和分析的经典之作,几乎涵盖了实变方法的所有内容。不过有点厚,差不多 1100 页。
  2. 除此之外,也可以阅读 Elias M.Stein 所撰写的《调和分析》,但是这本书不适合做教材,只能够作为翻阅的材料进行阅读。

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s