傅里叶分析与调和分析

傅里叶分析

傅里叶变换(Fourier Transform)其实是数学里面非常重要的一门技术。在数学分析里面,就有傅里叶分析的身影,用于计算正整数的倒数和等于 \pi^{2}/6, 并且还有很多其他有意思的性质。

对于初学这门课程的人而言,建议阅读一代数学大师,沃尔夫奖得主 Elias M.Stein 撰写的《傅里叶分析导论》,英文名是 Fourier Analysis An Introduction。

在这本书里面,作者从波动方程和热方程开始,逐渐引入傅里叶变换的基础知识和概念,也介绍了傅里叶级数的收敛性质。其中包括单位区间上的傅里叶变换和实数轴上的傅里叶变换,最终将其推广到高维实数空间中。除此之外,作者也基于这些基础知识介绍了傅里叶分析在其他领域中的应用,包括等周定理(The Isoperimetric Inequality),同程度分布定理(Weyl’s Equidistribution Theorem),数论中的 Dirichlet 定理等等。让读者在学习傅里叶分析的同时,认识到傅里叶分析是在数学各个领域都有着重要应用场景的一门学科。

傅里叶分析导论
傅里叶分析导论

调和分析

之前在北京大学学了整整一个学期的调和分析,是由 BICMR 的苗老师主讲。在这门课上我受益匪浅,故写一篇文章来感激下这位老师,同时写一下自己学习调和分析的感受。

调和分析起源于 Fourier 这位数学家的研究,故也可以称为 Fourier 分析。其主要内容包括算子插值方法,Hardy-Littlewood 极大算子,Fourier变换,Calderon-Zygmund’s Inequality,函数空间,Ap 权等等。下面一一介绍这些基本内容。

(1) 算子插值方法

里面主要有 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 和 Riesz Thorin Interpolation Theorem两个定理,分别是用实变方法和复变方法证明的。这两个定理则是研究算子的 L^{p} 有界性的关键定理,是整个调和分析的基础。

(2) Hardy—Littlewood Maximal Operator

这个是一个相当重要的拟线性算子,利用 Vitali Covering Theorem 和 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 可以证明该算子是 L^{p} 有界的。证明过程不超过10行,但是证明过程相当的漂亮。

(3) Fourier Transformation

调和分析的主要工具,这个工具不仅仅在调和分析上有用,在 PDE 和随机过程中,这也是一个相当重要的工具。它把一个物理空间上的函数,转换成频率空间上的函数,从而获得了很多很好的性质。

(4) Calderon-Zygmund’s Inequality

这个定理是调和分析的经典定理之一,是处理卷积型的奇异积分的。可以看成是 Minkowskii 不等式的推广。Zygmund 把定理的条件放的很弱,只需要加上 Hormander 条件就可以得到算子的 L^{p} 有界性。然后也可以考虑其条件的充要条件。

(5) 函数空间

调和分析里面提到的函数空间包括 Sobolev space,Lipschitz space,Hardy space,Besov space 等等。 其中 Sobolev space 在 PDE 上面用处广泛,其代表作就是 Adams 的 Sobolev Space。Besov Space 里面有一个插值定理,也相当的重要,差不多 5 页吧,当时苗老师让我们全部背下来,嘿嘿。另外, Hardy Space 里面有一个相当重要的定理,就是所谓的 Duality of BMO and H^1 Space. 其证明过程大概有10页吧,是由 C.Fefferman 和 Elias.M.Stein 在上个世纪70年代给出的,方法太经典了,看完之后甚至会觉得自己没有必要学数学了。

(6) Ap weight

这个也是调和分析的分支之一,其中周民强老先生的书上有详细记载,就不一一阐述了。

以上的这些内容就是之前一个学期在北大学习所学到的东西,学了调和分析之后,基本上就不怕所谓的硬分析了。总之收获还是蛮多的,非常欣赏那位老师,一个学期讲了那么多东西。其实以上我提到的只是他讲的东西的一半内容,他后面还讲了很多 Schrodinger 方程的内容,由于本人实力有限,实在是没有能力再学后面的内容了。

ps:去 BICMR 学习是 2009 年的事了,一晃眼 11 年过去了。

参考文献:

  1.  Loukas Grafakos,GTM249,Classical Fourier Analysis
  2. Loukas Grafakos,GTM250,Modern Fourier Analysis
  3. Elias M.Stein 傅里叶分析导论

备注:

  1. 第 1,2 两本书是调和分析的经典之作,几乎涵盖了实变方法的所有内容。不过有点厚,差不多 1100 页。
  2. 除此之外,也可以阅读 Elias M.Stein 所撰写的《调和分析》,但是这本书不适合做教材,只能够作为翻阅的材料进行阅读。

在新加坡的这五年—学术篇(三)

上一篇文章写了博士生毕业答辩的一些事情,这篇文章来写一写其他的内容。

无论在哪个高校,不少的博士生在准备博士答辩之前,就已经在导师的安排下早早找好了下家。有的同学是去美国,有的同学是去日本,有的同学是去欧洲。如果实在暂时没有外出的计划和打算,同学们也就留在新加坡继续从事科研工作,例如可以留在本校做研究员(Research Fellow)继续从事之前尚未完成的工作,也可以选择去 A*Star 等科研机构跟随其他教授。对于部分能力较强的博士,则可以直接找到国内外的教职,正式拿到学术圈的入场券。

刚进师门的时候,师兄们尚未毕业,等到师兄们毕业的时候,其实也有不少的选择。有的师兄去英国做了短期博士后,有的师兄则是去了智利等南美国家从事了好几年的博士后工作。虽然相对新加坡而言,智利确实也算不上特别好的出路,但是为了科研和论文,其实去智利从事几年科研工作也是非常不错的选择。翻阅了一下 Google,看了各个国家的人均 GDP,新加坡还是属于名列前茅的,智利算是南美洲还不错的国家之一。

新加坡人均GDP
新加坡人均 GDP
智利人均GDP
智利人均 GDP
中国人均GDP
中国人均 GDP

相比智利而言,巴西实在是一个不那么靠谱的国家。虽然巴西这个国家不那么靠谱,但是他们的数学好像还是可以的,尤其是动力系统方向。在 IMPA 数学研究所和圣保罗大学(University of Sao Paulo)大学都有不少杰出的数学家,不仅有菲尔兹奖得主,还有各种各样的科研工作者。对于在新加坡生活过的学生而言,虽然去巴西能够认识一些优秀的数学家,但是这对自身的科研发展而言并不是最优的选择。毕竟未来找教职的时候,学校除了看候选人的论文之外,也会看候选人的出身。而博士出身就包括导师的人脉,学校的排名等诸多因素。

IMPA
IMPA

在 Google 上搜索了一下新加坡的博士后工资和巴西的博士后工资。根据汇率兑换工具可知:5854 巴西雷亚尔 = 7534 人民币,不如 2019 年深圳的平均工资。5000 新加坡币 = 25000 人民币,这说明新加坡的博士后收入其实是远高于巴西的博士后水平的。而且在新加坡工作的博士生,通常待遇都还不错,一般情况下也能够找到 4000 – 5000 新币甚至更高收入的工作。不到万不得已,其实没有必要去做一份 7000 人民币的工作。

巴西博士后工资
巴西博士后的工资
新加坡博士后工资
新加坡博士后的工资

巴西作为距离中国最远的国家之一,从中国香港飞到圣保罗大约需要 26 个小时的时间,至少需要在欧洲转机一次才能够继续前往巴西,而且有不少航班都是转机两次。如果在南美洲从事科学研究的话,估计回家也是一件困难的事情,一年最多只有一次机会,极有可能三年的青春都在巴西度过了。

世界地图
世界地图

在豆瓣上,有一部可以排进 Top250 的电影,叫做《上帝之城》。讲述的是巴西黑帮在里约热内卢的故事,“上帝之城”是巴西的里约热内卢这座城市西南部的一片贫民窟。这部影片所聚焦的,正是这片贫民窟 60,70,80 三个年代中发生的一件件黑帮兴衰史。

上帝之城
上帝之城

2016 年的里约奥运会,有些运动员经历了抢劫,不仅财物被抢,还有各种证件和工作物品。可见巴西在里约奥运会期间也没有把治安问题解决好,让游客和运动员都蒙受了一定的损失。

里约奥运会_1
奥运代表团

在 2018 年 9 月 2 日,巴西国家博物馆发生火灾,近九成物品被烧毁。自 2013 年以来,巴西政府一直减少博物馆的预算。国家博物馆每年维护成本需要的 50 万巴西雷亚尔,但是获得的经费只有 5.4 万雷亚尔,博物馆出现了明显的欠缺维护迹象,如剥落的墙壁和裸露的电线。2018 年 6 月,巴西国家博物馆庆祝成立 200 周年,结果却在 2018 年 9 月份被烧毁。

巴西国家博物馆
巴西博物馆

在 2020 年的疫情面前,不少国家也有很多神操作,巴西自然也不例外,其感染人数也一直在持续增加,估计短期内并不能够解决这个问题。

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新型冠状病毒20200503_巴西3
巴西的疫情

在毕业答辩的当天,曾经有一个巴西博士后的岗位放在我的面前,我没有珍惜,等我失去的时候我并没有后悔,人生最开心的事情莫过于此。因为有无数的经验告诉我,选择比努力更重要。(未完待续)