一个数学家的辩白

《一个数学家的辩白》是数学大师 Godfrey Harold Hardy 在 1940 年左右的作品,可以称之为 Hardy 本人的自传和内心独白。Hardy 通过自己多年从事数学科研的经验,对数学,文学,哲学,美学等诸多学科的理解,将其写成了一本小册子。给其余的数学工作者,数学爱好者,以及不了解数学的人一个了解数学家内心的机会。

Hardy的照片
G.H.Hardy 的照片

G.H.Hardy(1877 年 2 月 7 日 – 1947 年 12 月 1 日)是一代数论大师,英国数学家,先后在牛津大学(Oxford)和剑桥大学(Cambridge)担任数学教授,与另一位英国数学家 Littlewood 共同研究数学,其研究领域包括解析数论,三角级数,不等式等诸多方向。对数论领域和分析学领域的贡献巨大,是二十世纪英国分析学派的代表人物之一。

Hardy的数学家族谱
G.H.Hardy 的数学家族谱

在卢昌海《黎曼猜想漫谈》这本书里面,提到了 G.H.Hardy 的一则小故事。当年,Hardy 在一次从丹麦回英国的途中,碰巧遇到暴风肆虐。他很担心小船会沉没,于是在上船前给朋友寄了一张明信片,上面写道:“我证明了黎曼猜想。” 如果哈代不幸遇难,因死无对证,后世将无法否认(当然也没法确认)他真的证明了黎曼猜想。然而,上帝不想让他有这样大的荣耀,所以没有让这条船沉没。

在《一个数学家的辩白》这本书中,Hardy 基于个人经历,向大家展示了一位数学家对数学这门学科的一些看法和观点。下面将会摘录其中的一些语句。

假如真的能把我的雕像塑在伦敦纪念碑上的话,我是希望这座碑高耸入云,以至人们见不到雕像呢,还是希望纪念碑矮得可以使人们对雕像一目了然呢?我会选择前一种,而斯诺博士可能会选择后一种。

如果一个数学家发现自己在写关于数学的东西,他会感到很忧伤的。因为数学家的工作是做实事,比如证明新定理,使数学有所发展,而不是谈论自己或别的数学家干了些什么。政治家蔑视时事评论家;画家蔑视艺术评论家;生理学家、物理学家或数学家一般都有类似的感觉。做事者对评论者的蔑视是最深刻的,总的来看也是最合理的。解释、评论、鉴赏是次等工作。

认为“谦卑”的人做不出优秀的工作。比方说,在任何一个学科里,教授的首要职责之一就是对自己这一学科的重要性以及自己本人在这一学科的重要性进行一点夸大。假如一个人总在问自己:“我所做的事是值得做的吗?”以及“我做这个合适吗?”这都会使自己永远无能而且也让别人泄气。这种人该把眼睛闭上一会儿,更多地考虑自己的学科和自己本人的情况,而不是更多地考虑学科与自己所应得的报酬。这不太困难,因为更加困难的是依靠紧闭眼睛来使自己的学科与自己本人不受他人所嘲笑。

我之所以做我的事,因为这事是,而且是惟一的一件我完全可以做好的事。我是个律师,或者是一个股票经纪人,或者是一个职业板球手,这都是因为我对这一特别的工作有些真正的才能。我做律师,是因为我伶牙俐齿,而且对法律之微妙感兴趣;我做股票经纪人,是因为我对股市行情的判断迅速而准确;我做职业板球手,是因为我挥拍非同一般地好。有人说,我做个诗人或数学家也许更好,但不幸的是,我并没有才能做这样的工作。

我并不认为大多数人能够做出上述那样的辩解,因为多数人什么工作也做不好。可是只要这种辩解说得振振有词,它就很难反驳,事实上只有少数人能进行这样的辩解:也许只有 5% 或 10% 的人可做得不错。而只有极少数人可做得真正好。而能做好两件事的人只有寥寥无几的了。假如一个人有真正的才能,他就应该乐于牺牲几乎所有的一切,以充分发挥自己的才能。

我会设想我是在为那些现在和过去都满怀雄心壮志的人写这本书的。一个人的首要任务,进一步说,一个年轻人的首要任务是能显示雄心壮志。雄心是一种可以合情合理地以许多形式表现出的一种宏大高尚的志向。阿提拉(Attila)和拿破仑的野心中就有某种高尚的志向,但最高尚的雄心壮志是在自己身后留下某种永存的价值。

  在这平坦的沙滩上,
  海洋与大地间,
  我该建起或写些什么,
  来阻止夜幕的降临?
  告诉我神秘的字符,
  去喝退那汹涌的波涛,
  告诉我时间的城堡,
  去规划那更久的白昼。

有很多高尚的动机驱使人们进行某项研究。在这些动机中,最为重要的有三种。 首先(舍此必一事无成)是理智的好奇心,也就是对了解真理的渴望。其次是对自己专业工作的自豪感,只有工作才能使自己得以满足的那种渴望。任何自尊的数学家,当他的工作与其才能不相称时,耻辱感会压倒一切。最后一个就是雄心壮志,期望得到名声、地位甚至随之而来的权力和金钱。

假如理智的好奇心、对专业工作的自豪感和雄心壮志是在研究工作中占支配地位的动机的话,那么,毫无疑问,没有哪个人比一个数学家有更好的机会来满足这些条件了。数学家的研究学科是所有学科中最令人好奇的。没有哪门学科中的真理会像数学那样奇异。数学是最精细与最富有魅力的技艺,而且数学研究提供了展示真正的专业技能的机会。最后我还要说的是,正如历史所充分证明的那样,不论数学内在的本质价值何在,其成就是一切成就中最持久的。

数学家,就像画家、诗人一样,都是模式的创制者。要说数学家的模式比画家、诗人的模式更长久,那是因为数学家的模式由思想组成,而画家以形状和色彩创制模式,诗人则以言语和文字造型。一幅画或许蕴含着某种”意境”,但通常是平凡而无关紧要的;比较之下,诗意要重要得多,不过,像豪斯曼坚持认为的那样,人们习以为常地夸大了诗意的重要性。他说:“我难以确信存在诗意之类的东西⋯⋯诗歌并不在于表述了什么,而在于怎样表述。”

 倾江海之水,洗不净帝王身上的膏香御气。

一个有意义的数学概念,一条严肃的数学定理从下述意义上被认为是“普遍的”。数学概念应该是许多数学构造的要素,应能应用于许多不同种定理的证明。

一个有意义的定理必须具备的第二个特性就是“深刻性”。其概念也不易定义,它与“难度”有关,深刻的思想往往难以掌握,但二者也并不完全一样。毕氏定理及推广所蕴含的概念有一定的深度,但现代数学家绝不会认为它难懂。相反,一个定理可能极为肤浅,但却难以证明–如丢番图(Diophantus)的有关求方程整数解的定理。

纯数学和应用数学的这些差异对它们本身很重要,但与我们关于数学“实用性”的讨论毫无关系。我曾谈到过费马和其他一些伟大的数学家的“真正的”数学,具有永恒美学价值的数学,如最好的希腊数学。它们之所以永恒,是因为其中的精华就像文学中的精英部分,在几千年后还能引起千万人强烈的满足感。

对于我的一生,或者说任何一个与我类似的数学家的情况是:我所做的工作扩充了知识,并且帮助他人在这座知识的大厦上添砖加瓦;而这些添加部分与伟大的数学家们的创新,或任何其他大大小小艺术家们的作品的价值的不同仅仅在于程度而不在于种类。这些数学家和艺术家都在死后留下了某种纪念物。

伽罗瓦 21 岁去世,阿贝尔 27 岁去世,拉曼纽扬 33 岁去世,黎曼 40 岁去世。也有些人确实是在较晚时取得伟大成就的,高斯就是在 55 岁时才发表了他的微分几何学的重要论文(但在此十年前他就已经形成了他的基本思想)。我还不知道有哪一个重要的数学进展是由一个年过半百的人创始的。假如一个年长的人对数学不感兴趣而放弃了它,这种损失不论对数学本身还是他本人来说,都不十分严重。

阅读《一个数学家的辩白》这本书,可以通过字里行间看到作为一个数学家的 Hardy 对数学的热爱,对自己正值花甲之年而无法做出更好的科研而流露出一种淡淡的忧伤。

其实,二十世纪三十年代末以后,Hardy 的学术活动就开始逐渐减少。1939 年第二次世界大战爆发,让 Hardy 感到更加苦闷。四十年代以后,Hardy 很少参与学术活动。1947 年 12 月 1 日,Hardy 在剑桥去世,享年 70 岁。留给大家的除了数学上的各种定理,书籍之外,还留下了这一本小册子,《一个数学家的自白》。

参考书籍:

  1. 《一个数学家的辩白》;
  2. 《黎曼猜想漫谈》。

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