交叉验证(Cross Validation)

交叉验证的定义

交叉验证(Cross Validation),有的时候也称作循环估计(Rotation Estimation),是一种统计学上将数据样本切割成较小子集的实用方法,该理论是由Seymour Geisser提出的。

在模式识别(Pattern Recognition)和机器学习(Machine Learning)的相关研究中,经常会将整个数据集合分成两个部分,分别是训练集合和测试集合。假设X是集合全体,A\subseteq X是全集X的非空真子集,那么非空集合X\setminus A\neq \emptyset则是集合A在全集X中的补集。于是可以先在A上面做训练和分析,而集合X\setminus A则用来做测试和验证。一开始的集合A被称作训练集,而它的补集X\setminus A被称作验证集或者测试集。这里有一个重要的观点就是:只有训练集才可以使用在模型的训练之中,而测试集必须在模型训练完成之后才被用来评估模型的误差。

HoldOut检验(Hold-Out Method)

这个方法是将原始的数据集合X随机分成两个集合AX\setminus A,其中A作为训练集,X\setminus A作为测试集。先使用训练集训练模型,然后利用测试集验证模型的效果,记录最后的分类准确率作为Hold-Out下该模型的性能指标。比方说,处理时间序列模型是否准确的时候,把整个数据集合分成前后两部分,前部分占比70%,后部分占比30%。前部分来进行时间序列模型的训练,后部分用来测试改时间序列的准确性。其准确性可以用MAE,MAPE之类的统计指标来衡量。综上所述,该方法的好处就是处理起来简单,只需要把原始数据分成两个部分即可。但是从严格意义上来说,Hold-Out检验并不算是交叉检验(Cross Validation),因为该方法没有达到交叉检验的思想,而且最后验证准确性的高低和原始数组的分类有很大的关系,所以该方法得到的结果在某些场景中并不具备特别大的说服力。 在Hold-Out检验不够有说服力的情形下,有人提出了交叉验证这一个重要思想。

交叉检验的常见形式

假设有一个未知模型有一个或者多个未知的参数,并且有一个训练集。操作的过程就是对该模型的参数进行调整,使得该模型能够最大的反映训练集的特征。如果模型因为训练集过小或者参数不合适而产生过度拟合的情况,测试集的测试效果就可以得到验证。交叉验证是一种能够预测模型拟合性能的有效方法。

彻底的交叉验证(Exhaustive Cross Validation)

彻底的交叉验证方法指的是遍历全集X的所有非空真子集A。换句话说也就是把A当作训练集,X\setminus A是测试集。如果X中有n个元素,那么非空真子集A的选择方法则是2^{n}-2,这个方法的时间复杂度是指数级别的。

留P验证(Leave-p-out Cross Validation)

p验证(LpO CV)指的是使用全集X中的p个元素作为测试集,然后剩下的n-p个元素作为训练集。根据数学上的定理可以得到,p个元素的选择方法有C_{n}^{p}=n!/(p!\cdot(n-p)!)个,其中n!表示n的阶乘。在这个意义下,留p验证的时间复杂度也是非常高的。当p=1的时候,留1验证(Leave-one-out Cross Validation)的复杂度恰好是C_{n}^{1}=n

不彻底的交叉验证(Non-exhaustive Cross Validation)

不彻底的交叉验证不需要考虑全集X的所有划分情况,这种方法是留p验证的一个近似验证算法。

k-fold交叉验证(K-fold Cross Validation)

在k-fold交叉验证中,全集X被随机的划分成k个同等大小的集合A_{1},\cdot\cdot\cdot,A_{k},换句话说也就是X=A_{1}\cup\cdot\cdot\cdot\cup A_{k},并且|A_{1}|=\cdot\cdot\cdot=|A_{k}|。这里的|A_{i}|指的是集合A_{i}的元素个数,也就是集合的势。这个时候需要遍历i1k,把X\setminus A当作训练集合,A_{i}当作测试集合。根据模型的测试统计,可以得到A_{i}集合中测试错误的结果数量n_{i}。如果全集X的势是n的话,可以得到该模型的错误率是E=\sum_{i=1}^{k}n_{i}/n 为了提高模型的精确度,可以将k-fold交叉验证的上述步骤重复t次,每一次都是随机划分全集X。在t次测试中,会得到t个模型的错误率E_{1},\cdot\cdot\cdot, E_{t}。定义e=\sum_{j=1}^{t}E_{j}/t, V=\sum_{j=1}^{t}(E_{j}-e)^{2}/(t-1)\sigma=\sqrt{V}。这样该模型的错误率就是e,其方差是\sigma

注释:

1. 一般来说,10-fold交叉验证的情况使用得最多。

2. k=2的时候,也就是最简单的k-fold交叉验证,2-fold交叉验证。这个时候X=A_{1}\cup A_{2},首先A_{1}当训练集并且A_{2}当测试集,然后A_{2}当训练集并且A_{1}当测试集。2-fold交叉验证的好处就是训练集和测试集的势都非常大,每个数据要么在训练集中,要么在测试集中。

3. k=n的时候,也就是n-fold交叉验证。这个时候就是上面所说的留一验证(Leave-one-out Cross Validation)。 综上所述,交叉验证(Cross Validation)的好处是可以从有限的数据中获得尽可能多的有效信息,从而可以从多个角度去学习样本,避免陷入局部的极值。在这个过程中,无论是训练样本还是测试样本都得到了尽可能多的学习。

一般模型的选择过程

在了解了交叉验证的方法之后,可以来介绍一般模型的选择过程。通过采用不同的输入训练样本,来决定机器学习算法中包含的各个参数值,称作模型选择。下面伪代码表示了模型选择的一般流程。在这个算法中,最重要的就是第三个步骤中的误差评价。

(1)准备候选的\ell个模型:M_{1},\cdot\cdot\cdot,M_{\ell}

(2)对每个模型M_{1},\cdot\cdot\cdot, M_{\ell}求解它的学习结果。

(3)对每个学习结果的误差e_{1},\cdot\cdot\cdot,e_{\ell}进行计算。这里可以使用上面所说的k-fold交叉验证方法。

(4)选择误差e_{1},\cdot\cdot\cdot,e_{\ell}最小的模型作为最终的模型。

 

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