奇妙的动力系统和分形几何

动力系统,听起来像工程上面的发动机,但是它却是数学的一个分支,主要研究的就是在一个固定的规则下,一个点在时间的变化下在空间中的位置变化。比方说钟的摆动,动物种族的繁衍,全球的气候变动。这类的模型都属于动力系统。这篇文章要介绍的,是动力系统与分形几何的一些奇妙性质。

失之毫厘,差之千里

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1961年,作为天气预报员的Lorenz在利用计算机来做气象预测时,为了省事,就在第二次计算的时候,直接从第一次程序的中间开始运算。但是两次的预测结果产生了巨大的差异。Lorenz看到这个结果之后大为震惊,然后经过不断地测试,发觉在自己的模型当中,只要初始的数据不一样,就会产生不同的结果,而且结果大相径庭。在1979年的科学会议上,Lorenz简单的描述了“蝴蝶效应”:

一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀,会使更多蝴蝶跟着一起轻拍翅膀。最后将有数千只的蝴蝶都跟着那只蝴蝶一同振翅,其所产生的巨风可以导致一个月后在美国德州发生一场龙卷风。                                                                                        —–Edward Norton Lorenz

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在实际的天期预测中,影响天气变化的因素数不胜数,用成千上万的变量来预测天气都不为过。科学家在研究问题的时候,就需要把一个非常复杂的问题简单化,但是又必须保证不能过于简单化。于是Lorenz在1963年发表的文章“Deterministic Nonperiodic Flow”里面提出了一个只有三个变量x, y, z的模型:

x^{'}(t) =\sigma(y-x)

y^{'}(t)=x(\rho-z)-y

z^{'}(t)=xy-\beta z

这个模型中,x,y,z是系统的状态,t是时间。\rho, \sigma, \beta是这个系统的参数。

A_Trajectory_Through_Phase_Space_in_a_Lorenz_Attractor

这个模型肯定不能够精确地描述天气变化,但是对于Lorenz解释他自己的观点恰到好处。在这个模型中,变量之间有着非线性的关系,虽然只有三个变量,但是随着时间的推移,三个变量就会交织在一起,互相影响。在三维的空间里面作图的时候,随着时间的推移,系统的演变就会趋近于一个混沌的区域,就像几根线缠绕在两个图钉周围,形如一只正在拍打翅膀的蝴蝶。这个或许就是Lorenz把这现象叫做”蝴蝶效应“的原因。在Lorenz原创性的论文里面,他一针见血地指出天气的影响因素是复杂多变的,即使有了精确地模型,也没有办法做长期的预测,只能够在观测中不停地一边预计,一边修正。

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从数学的角度来看蝴蝶效应,就是在一个给定的动力系统下,一个微小的初值变动就能够带动整个系统长期而巨大的连锁反应,是一种混沌的现象。从社会学的方面来说明就是一个坏的机制,如果不加以及时地引导、调节,会给社会带来非常大的危害,戏称为”龙卷风“或“风暴”;一个好的微小的机制,只要正确指引,经过一段时间的努力,将会产生轰动效应,或称为“革命”。从心理学的角度来诠释就是表面上看起来毫无影响,非常微小的一件事情,都会带来巨大的变化。当一个人小时候的心理受到微小的心理刺激,在这个人的成长过程中,这个刺激就会被逐渐的放大并且不停地影响一个人的生活,牵一发而动全身。混沌理论改变了人们对于科学的看法,简单的数学背后隐藏的可能性远远比人们想象的多得多。

分形几何学:复杂简单化

从欧几里德写几何原本开始,大家就习惯于研究非常规则的形状,比如圆形,方形,正多面体。欧几里德的几何原本就向大家展示了这些规则图形的几何美感。但是在研究了规则的图形之后,对于不规则的图形该怎么去研究就成为了困扰大家的一个问题。譬如河流的支流,树枝的形状,蜿蜒的海岸线,这些都不是规则的图形,甚至都不知道该怎么样去描述这些形状。但是通过观察就会发现它们都具有一个非常有趣的性质,那就是自相似性。比如树枝,从底部看上去,会有分岔,甚至越分越多。如果从某一个枝节往上看,它仍然是一颗树枝,形状跟原来的几乎没有什么分别。就是说在越来越小的尺寸下,不停的复制之前的形状。那么很自然的一个问题就是:怎么样在数学上去构造这些自相似的图形,而不是通过刻意的人工去生成这些图案?通常的思维习惯就是复杂必须来源于复杂,复杂不可能来源于简单,经验告诉我们复杂的东西必须守恒化。

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但是数学工作者Mandelbrot在科研中却发现了一个简单得不能够再简单的规则去生成这种复杂的图形,那就是

z \mapsto z^{2}+c

在这个简单的规则下,z会变成z^{2}+c,然后z^{2}+c作为新的自变量z,再次进行这个运算,长此下去,就将形成著名的Mandelbrot集合。前两张图片就是在上面规则下形成的完整的Mandelbrot集合。那么我们将它放大六倍,放大之后看到的形状跟第一幅图片惊人的相似,继续放大100倍,2000倍,依旧不会改变它的这个性质。

Animation_of_the_growth_of_the_Mandelbrot_set_as_you_iterate_towards_infinity1024px-Mandel_zoom_00_mandelbrot_set

Mandelbrot-similar-x1 Mandelbrot-similar-x6 Mandelbrot-similar-x100 Mandelbrot-similar-x2000

在Mandelbrot集合里面,无论被放得有多大,都会看到跟原来图形相似的形状。这样的结果就告诉大家复杂不一定来源于复杂,说不定它背后的机制非常的简单,那就是说,同一个事情,可能既是复杂的,又是简单的,这样就要重新去考虑简单和复杂之间的关系。后来有人为了纪念Benoît B. Mandelbrot创立了分形几何中的自相似性,写了一句话:Benoît B. Mandelbrot里面的字母B就代表了Benoît B. Mandelbrot。

除了有z \rightarrow z^{2}+c产生的Mandelbrot集合,还有一些经典的分形结构。比如说Cantor集合。Cantor集合是不断的从一个区间[0,1]取走中间一段获得的集合。首先去掉(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}),剩下[0,\frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1]。然后把剩下两条线段的中间都去掉,剩下[0,\frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1]。不停的重复这个过程,最后剩下的集合就是Cantor集合。在数学中,Cantor集合是无穷无尽的,甚至是不可数的,但是却是不占据任何空间的,因为它的长度是零。下图简单的描述了Cantor集合的形成过程。

729px-Cantor_set_in_seven_iterations.svg

利用类似的想法,就可以构造出Sierpinski三角形和Siepinski地毯。

Animated_construction_of_Sierpinski_TriangleAnimated_Sierpinski_carpet

路漫漫其修远兮

这些也许就是动力系统的本质,在及其简单的规则背后,随着时间的不断推移,就能够创造出令人惊叹不已的复杂系统,就像河流支流的形成和Mandelbrot集合,就像天气以及动物的种族变化。这种规则的制定并不需要一个碍手碍脚的设计师,它就像是宇宙与生俱来的本事。人们对这种复杂的事物感到不自然的原因,可能就是在这种情况下不需要一个创造者。在给定初始条件的情况下,在给定的自然规则下,宇宙就可以自由的发展。而这个发展存在于自然科学和社会科学中,甚至生活中的方方面面。宇宙的复杂性以及美丽,都来源于简单的规则和不断的重复,规则虽然简单,但是过程却十分复杂,并且结果是不可预知的。即使有了科学的确定性,仍然也无法知道未来的样子。

 

 

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