红眼睛蓝眼睛逻辑问题

题目设定是这样的,一个岛上有100个人,其中有5个红眼睛,95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。

1. 他们不能照镜子,不能看自己眼睛的颜色。
2. 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
3. 一旦有人知道了自己是红眼睛,他就必须在当天夜里自杀。
某天,有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩,所以他在和全岛人一起狂欢的时候,不留神就说了一句实话:【你们这里有红眼睛的人。】

最后的问题是:假设这个岛上的人足够聪明,每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么?

 

 

 

此问题的第一个答案是用数学归纳法得出的:如果这个岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说这句话的第N天,他们全部都会自杀。具体到本题则是,在第5天,这个岛上的5个红眼睛会全部自杀。

证明过程如下:
如果这个岛上只有1个红眼睛,其他人都是蓝眼睛。那么,当旅行者说了这句话之后,此人立刻就会知道自己是红眼睛,他就会在当天自杀。即,当n取第一个值n=1时,命题成立。

假设当这个岛上有N个红眼睛的时候,在旅行者说了这句话之后的第N天,这些红眼睛会全部自杀。

那么,当这个岛上有N+1个红眼睛的时候,在每个红眼睛看来,岛上都确定有N个红眼睛,并等待着他们在第N天自杀。而在第N天,大家都没有自杀。所以一到第N+1天,每个红眼睛都明白了这个岛上还有第N+1个红眼睛——他自己。于是大家都在第N+1天自杀了。

所以命题得证:如果这个岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说这句话的第N天,他们全部都会自杀。

当岛上只有一个红眼睛的时候,在旅行者说完这句话的当天,他就会自杀。这个无疑。

当岛上有两个红眼睛的时候。在旅行者说完这句话的当天,这两个红眼睛都在等着对方自杀,但对方却没有自杀。于是在第二天他们立刻明白了自己也是红眼睛,于是在第二天一起自杀了。

以此往下推理,当岛上有三个红眼睛的时候。旅行者说完这句话,每个红眼睛都在等着第二天另外两个红眼睛集体自杀,但他们没有自杀。所以到了第三天,大家都明白了自己也是红眼睛,就一起自杀了。

如此类推下去。就得出了命题:如果岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说完这句话后的第N天,这个N个红眼睛会一起自杀。具体到本题就是,到了第五天,这五个红眼睛一起自杀。

Geek是这样玩飞镖的

http://songshuhui.net/archives/81576

大家可能都玩过飞镖,不过或许只是随便一玩而已,并没有想过飞镖盘上为什么要有如此的数字和图案。正式飞镖比赛的规则是这样的:靶子上的20个扇形区域,飞镖落在某一个的范围内就可以得到相应的分数,最低1分,最高20分。如果能够击中靶子最中心的环形区域,可以得到25分,如果能够击中最中心的小圆形区域,可以得到50分,但这并不是最高的分数。如果能够击中外围的那两圈细环(图中红绿相间),可以得到相应数字的2倍和3倍,也就是说如果飞镖落在了20环扇形区域内的内环红色的一小块,一下子就可以得到60分。

飞镖游戏的一个有趣之处在于,靶子上的数字是按照大小相间排列的,而且越大的数字两边的数字越小,这对于选手的比赛策略和最后成绩有不小的影响。当然,靶子上数字的排布对于两类人是没有意义的,第一类人是百步穿杨的神镖手,想击中20环一定可以击中,完全不必在意20环旁边的数字多少;第二类人相反,飞镖能不能集中靶子都不好说,击中几环完全靠人品,靶子上数字是几也就无所谓了。

对于水平不上不下的人来说,飞镖靶子的数字不按照1、2、3、4……20的顺序排列的原因主要是为了增加游戏的风险,让游戏更加刺激好玩。比如A和B两人在一起比赛,A技艺略高一筹,但是超级骄傲自大,想模仿一回专业选手,每次都尝试朝20环出击,结果很多时候稍稍向右偏出,只能收获1分;B虽然镖法稍差,但是选了左边14、11、8的位置投飞镖,虽然得不到最高分,但也不会太差,最后下来游戏的胜者可能是B,这样把大的分数和小的分数混合在一起的组合方式更容易增加实力弱的选手击败实力强的选手的冷门。

Geek们可以有自己自创的飞镖靶子

据说飞镖的这种数字排列方式最早是在 1896年由一个名叫Brian Gamlin的木匠发明的,一直沿用到今天,不过这个木匠估计只是凭感觉制作出来的。对此,Geek们要从数学上验证一番这种数字排列方式是不是理论上最佳的,并且设计出了在Geek们眼中数学最优化的飞镖靶子。

靶子上的20个数字,如果按照排列组合,一共有多达12亿亿种。什么样的算最好的?仁者见仁,智者见智,不过一个简单的标准是让每个数字与相邻的两个数字都尽量相差的大一些,20个数字和左右邻居相差的绝对值加到一起的和最大,这样的靶子或许就是最科学的。按照计算,相加到一起可能的最大值是200,而我们平时使用的靶子加到一起是198,说明那位木匠的直觉还是不错的。

符合200的最佳组合也不只一种,Geek设计的靶子还可以有多种型号可以选择,你可以设定一个条件,尽管所有相邻数字的差值绝对值之和都是最大的,但是你可以限定任意两个相邻数字之间最小的差值t是多少,Geek都可以给你提供一款。以下是电脑计算的结果:

【最佳的飞镖靶子数字排列】

Geek们可以科学地玩飞镖

Geek们不仅对于靶子有讲究,玩飞镖的时候也有自己的一套策略。斯坦福大学的几位博士学生就发明了一套统计学的方法,只要用智能手机上的一个小程序指点迷津,就可以显著提高玩飞镖的分数。

假设我们还是使用普通的靶子,靶子上的每一个点都对应着一个分数值,如果飞镖落在靶子上每一个位置的机会都均等,获得相应分数的可能性就等于那一块面积占整个圆盘总面积的大小,他们计算发现如果每次飞镖都以均等的概率落在圆盘内的任意一点,平均可以得12.82分。

可现实中,很多人扔出每一个飞镖的平均成绩甚至连12分也不到,等于说这些人还不如一个双眼被蒙住的人随意的往靶子上扔飞镖(只要保证不脱靶就可以)。Geek们经过分析发现,问题主要出现在了玩飞镖的策略不正确上,高手可以每一次都瞄准20环的区域扔,而菜鸟的人物如果每次都这样做,不是5分,就是1分。

扔飞镖可以看成这样一个过程:每次瞄准的位置相当于中心值,然后实际投中的位置与瞄准的位置之间的偏离相当于方差,技术高低就看方差大小了,玩家每扔一支飞镖都相当于这样一个正态分布的随机事件。

这款Geek飞镖程序首先会要求一个参加者每次都瞄准靶子的中心,投50次,然后把成绩记录下来,输入到电脑程序里,程序可以分析出你玩飞镖的水平方向和竖直方向的方差大小是多少,也就是准确度是多少。然后为你建立一个正态分布曲线,利用个性化的概率分布计算一下你瞄准整个靶子哪一个位置的时候,得分的期望值更大。Geek们的程序可以提供给你一张颜色深浅不一位置图,靶子上最亮的部位意味着对你来说,瞄准这些位置,平均得分将是最划算的。

下面这三张图就分别是为方差为5,26.9,64.6准备的”投掷飞镖指导图”,方差为5的选手意味着精确度很高,自然应该瞄准靶子上那些分数最高的小区域;而方差为60多的那位意味着水平很烂,能不能击中靶子都难说,自然应该瞄准靶子中心,平均期望的分数还可以大一些,就不要奢望20分了。对于水平中等的方差为26.9的选手来说,应该搏一下分数高的数字呢,还是瞄准风险较小的区域呢?这张图告诉你应该瞄准靶子上那几块明亮的地方。

如果考虑了不同人的具体特点,比如有的人在竖直方向上准一些,有的人水平方向上准一些,程序也可以给出更加准确的分析图,让你多得上几分,如下图:

Geek们告诉你,玩飞镖比的不仅是眼力,还有智商。

参考资料

1、http://www.jstor.org/stable/2583175?seq=4

2、如何罚点球——隐藏在体育中的数学

3、http://www.wired.com/magazine/2009/11/st_darts/

4、http://www.stat.cmu.edu/~ryantibs/papers/darts.pdf