哈洛德•贺欧夫各特:彻底证明弱哥德巴赫猜想

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本文修改版已刊作为果壳网系列面向海外科学家的系列采访发表。采访人为远在巴黎高师的数学松鼠方弦,编辑为果壳的吴师傅,现将未删节的完整版本发布在松鼠会。

先来一段背景知识:

“任一大于 2 的整数都可以写成三个质数之和。”271 年前,德国人哥德巴赫告诉欧拉这句话时,可能自己也没想到一下就在解析数论这个领域挖了一个东非大裂谷级别的“坑”。

那时 1 还是素数。如今数学界已不用这个约定,原话用现在的语言来表示是,“任一大于 5 的整数都可写成三个质数之和。”

欧拉后来回信哥德巴赫,说这句话可以更简洁——“任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和”。后人将这句话记为“1 + 1”。这个表述如此简单,以至于很多业余爱好者也想在这个问题上一展身手。但它实际上却是那么难,出现之后的 160 年里,没有任何进展。1900 年希尔伯特在第二届国际数学大会提到它后,又重新燃起数学家们挑战和解决它的热情。

然而,至今也没有人证明哥德巴赫猜想。

不过,数学家们已经从 271 年前的出发点走的很远了。从上面关于偶数的哥德巴赫猜想,又可以推出:

任一大于 5 的奇数都可写成三个素数之和。

这被称为“弱哥德巴赫猜想”。1923 年,英国数学家哈代与李特尔伍德证明,假设广义黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。

1937 年,苏联数学家伊万•维诺格拉多夫更进一步,在无需广义黎曼猜想的情形下,直接证明了充分大的奇数可以表示为三个素数之和,被称为“三素数定理”。不过他无法给出“充分大”的界限。他的学生博罗兹金于 1939 年确定了一个“充分大”的下限:314348907。这个数字有 6846169 位,要验证比该数小的所有数完全不可行。

1995 年,法国数学家奥利维耶•拉马雷证明,不小于 4 的偶数都可以表示为最多六个素数之和。莱塞克•卡涅茨基证明了在黎曼猜想成立的前提下,奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年,陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。

2013年5月13日,法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德•贺欧夫各特,在线发表两篇论文宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特在文章“Minor arcs for Goldbach’s problem”中,给出了指数和形式的一个新界。在文章“Major arcs for Goldbach’s theorem”中,贺欧夫各特综合使用了哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法、筛法和指数和等传统方法,把下界降低到了1030左右,贺欧夫各特的同事 David Platt 用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想,从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

哈洛德•贺欧夫各特(1977年 -),秘鲁数学家。2013年5月13日,贺欧夫各特在网络上发表两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。以下问答便是在哈洛德和小方之间展开的。

证明弱哥德巴赫猜想

问:您能向读者介绍一下您自己吗?包括您的工作和经历。

答:我是个搞数学的,在秘鲁出生,高中毕业之后获得了美国大学的一份奖学金,然后在普林斯顿大学攻读博士,在2003年获得了博士学位。之后我到过几个地方工作,比如说加拿大,现在就在巴黎搞研究。

问:解析数论是你的主要研究领域,是这样吗?

答:对的,不过我也搞一点群论,比如说关于置换群的Cayley图的研究。

问:您最近宣布您证明了弱哥德巴赫猜想,您能简单介绍一下这个猜想以及您的证明吗?

答:对的,希望我的证明没有搞错吧。(笑)

这个弱哥德巴赫猜想,它来源于18世纪初欧拉和哥德巴赫的通讯。我们知道欧拉是历史上最伟大的数学家之一,他当时在俄国搞数学。当时的俄国正处于现代化的进程,科学方面一穷二白,但他们仍然希望发展科学。而哥德巴赫则是一位德国青年,在莫斯科的外交部们工作。他不是专门搞数学的,但是个很不错的数学爱好者,而欧拉也很高兴能有位说德语的笔友可以聊聊数学。他们互相写过不少信,而哥德巴赫猜想就是由哥德巴赫提出,由欧拉阐述的。

有两个哥德巴赫猜想:弱哥德巴赫猜想和强哥德巴赫猜想。弱哥德巴赫猜想说的是,每个大于5的奇数都可以表达为三个素数的和;而强哥德巴赫猜想说的是,每个大于2的偶数都可以表达为两个素数的和。大家都觉得这两个猜想是对的,但是还没人能证明这一点。

从名字也可以看出来,如果强哥德巴赫猜想成立,那么弱哥德巴赫猜想也成立。如果每一个大于2的偶数都可以写成两个素数的和,那么对于任意的一个大于5的奇数,减去3之后就是一个偶数,可以写成两个素数的和,而原来的奇数就是这两个素数的和加上3。因为3也是一个素数,所以这个奇数就是三个素数的和。而我做的工作就是证明这个弱哥德巴赫猜想。

在19世纪,人们又开始对这类问题感兴趣。某位不知道哥德巴赫的数学家重新提出了这个猜想。对于这类问题,当时数学家只能做点手工验算。对于强哥德巴赫猜想,他们验算到了大约两百万。用这个结果,他们将弱哥德巴赫猜想验算到了十亿。他们是怎么做的呢?他们写出从3到大概十亿的一串素数,相邻两个素数之间相差不到两百万。用这条”素数天梯”就能验算弱哥德巴赫猜想。对于任意十亿以下的奇数,我们只要找出素数天梯中恰好比它小的那个素数,它们的差一定是个不超过两百万的偶数,所以能写成两个素数的和。也就是说,这个奇数能写成三个素数的和。虽然这个方法不错,但如果只靠手算的话,也推进不了多远。

然后到了20世纪,问题才有了真正的进展。在大约1920年,英国数学家哈代和李特尔伍德证明了,在假定广义黎曼猜想成立的前提下,存在一个常数C,使得所有大于C的奇数都能表达为三个素数的和。他们没有具体给出C的数值。

所谓广义黎曼猜想,它关注的是一类被称为L函数的复变函数。它宣称所有这些L函数的所谓非平凡零点的实部都是1/2。虽然我们有很多很好的理由去相信这个猜想成立,但我们还没办法证明它,所以这类依赖于它的结果都是条件性的。

十几年后,俄国的维诺格拉多夫改进了这个结果。他去掉了之前结果中对广义黎曼猜想的假定,直接证明了存在一个常数C,使得所有大于C的奇数都能表达为三个素数的和。

无论是哈代-李特尔伍德还是维诺格拉多夫,在证明中都没有给出常数C的具体值,不过我们可以从证明中看出来,维诺格拉多夫的常数比哈代他们的要糟糕得多。二十多年之后,维诺格拉多夫的一位学生Borozdin才给出常数C的一个具体值。这并非易事,在数论的某些问题中,你可以证明存在某个常数C,但基本上没有希望确定它到底是多少。我们不太清楚维诺格拉多夫原来的证明有没有提示这个常数的具体值,因为证明很复杂,涉及所谓的”西格尔零点”。但很有可能维诺格拉多夫已经知道他本人的证明在原则上可以给出常数C的具体值。

虽然Borozdin给出了常数C的具体值,但这个值非常大,实际上是3的3的15次方。这个数非常非常大,就连它的位数本身都非常非常大。你可能会说,那就像当年十九世纪那样,验算到这个数,就能完全证明弱哥德巴赫猜想了。问题是,这个任务基本上没可能完成,永远不可能,因为数字太大了。

后来人们就尝试改进这个常数。陈景润和王天泽就将常数改进到了大概10的30000次方,或者是20000,我记不太清了。陈景润就是那位证明了充分大偶数可以表示为一个素数和一个至多只有两个素因子的所谓”殆素数”的和的数学家,我想你们的读者也对他相当熟悉。他们改进的常数比维诺格拉多夫的要好得多,但还是远远不够。后来又有一位中国的数学家,将常数改进到了10的大约1300次方,也就是1跟着一千三百个零那么大的一个数。这挺好的,但也还是远远不够。

其实,即使能将常数减小到10的100次方,也还是不够。为什么?因为这个数比宇宙中所有的粒子数再乘以自大爆炸以来的秒数还要大,所以你即使拥有整个宇宙以及其中的所有原子,用来建造一台大的计算机,也很难在足够短的时间内将猜想验证到10的100次方。所以,我们要做的就是将常数尽量降低,降低到大约10的30次方,到达计算机能处理的范围。其实计算机能处理的要比这个多一点,但是大概不会多太多。

于是,在2005到2006年,我开始对这个问题感兴趣。在此之前,我看过维诺格拉多夫的证明,那是在我的研究生课程上看到的内容之一。陈景润等人的工作的方向又与此完全不同。那时我就意识到要将常数降得很低,我当时能将它降到10的100次方,但是这还不够,对猜想的完全证明没有决定性的作用。

所以,从2006年左右开始,我就一点点地去做这个问题,发掘不同的小想法。也有别人在干类似的事情。大概十几年前,法国的一位数学家Ramaré就证明了,每个偶数都可以写成最多六个素数的和。然后大概一年半前,陶哲轩证明了每个奇数都可以写成最多五个素数的和。从这个节奏看来,我要赶紧点,当时可能我也有些毛了(笑)。所以从去年开始,我就放下了手头上别的工作,开始加班加点把所有的小想法拼在一起。最后我发现它们能行得通,而这无疑是极好的。

我把常数降低到了10的29次方,你在网上的预印本上看到的就是这个数字。实际上我们可以将它降低到10的27次方,但这个没什么意义,因为我们的程序已经能验证到大概8×10^30,比实际需要的还要高80倍,再搞下去也没有必要。

这篇论文已经投稿到期刊了,现在就是等待审稿的结果,大概要花上一年时间吧。

谈谈张益唐

问:这几个月对于解析数论来说挺忙碌的,我们有您对弱哥德巴赫猜想的证明,还有张益唐对素数间距方面的突破。您对此有何评价?

答:我还没有仔细看张益唐的证明,不过我觉得他的证明令人印象深刻。大家说我和张益唐的证明是同一天发出来的,但实际上我发表我的证明的前一天就听说了张益唐的证明。但这只是个巧合,我并没有刻意去赶上时间,而我和他的工作其实关系也不太大。当时,我写好了论文之后,就跟我父母谈过,看看是明天或者下个星期在arXiv上贴出我的证明。然后我在Facebook上就看到了他在哈佛做讲座的消息,宣布了他证明了对于某个有限间距,存在无穷对小于这个间距的素数对。

一开始大家都不太相信,事实上我的Facebook好友们似乎也持怀疑态度。但很显然他并没有将他的工作发在网上,因为他之前没有发表多少论文,他可能怕大家不相信他的证明,不会去认真对待他的工作。于是他直接将论文投稿到了一个期刊,然后请这个期刊尽快审阅他的稿件,然后过了一个月,审阅就完成了,对于一个数学期刊来说这是相当的高速度,也是相当的罕见。对于一般的论文,比如说我的,就大概要花一年的样子。

反正是过了一个月,张益唐的论文被几位数论方面的专家匿名审阅过,没有挑出很大的问题,于是他才将论文放到网上。大家读了论文之后,都意识到他的确解决了素数有限间距的问题。他的证明是对的。这整个过程很震动人心。

在他的证明以及我的证明中,我觉得很重要的一部分就是对方法的改进。在张益唐的证明中,他改进了邦别里-维诺格拉多夫定理的一种特殊情况。其实之前也有人对这个定理做过各种各样的改进,但这些改进都不太适合素数有限间距的问题。而张益唐做的就是找到了适合的那种推广。我觉得他的推广也许可以用到别的数论问题上。

张益唐的证明里给出了一个常数。对张益唐本人来说,常数本身是多少并不重要,重要的是这是个有限的常数,而现在人们在尝试降低这个常数。我个人希望相关的论证能够弄得简洁一些,因为如果论证太复杂的话,这种努力就不太吸引人了。

问:张益唐没有正式的研究职位却取得了重要的成果,在数学界中这很普遍吗?

答:其实这不太普遍。一般说的”纯粹的研究职位”也不是只搞研究,也有一些行政方面的工作,也带一些学生,不过还是研究居多。而更普遍的是研究和教学兼有的职位,在法国这很普遍,我相信在中国和其它国家这也是主流。

张益唐特别的地方在于,他是大学里的讲师,这不是一个永久职位,而大家也不会期望一位讲师去做研究。所以一位大学讲师证明了这么一个重要的定理,这很不寻常,一般的讲师大概连论文都不太发。讲师的授课压力还是比较大的,所以可以搞研究的时间可能就少一些,当然这跟大学本身的政策也有关系。

当然,即使张益唐没有正式的研究职位,但他是受过专业的数学训练的,所以才能解决素数间距的问题。

问:您知道,张益唐和陈景润在不太好的境遇中做出了非常好的成果。有些人觉得他们也能想这两位数学家那样解决世界难题,即使他们没接受过数学训练。您对这些人是怎么看的?

答:我知道,总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。我偶尔也会收到这些人给我发的邮件。我真的觉得这是件很悲哀的事,他们应该找点别的事情去做。

要想做数学,需要多年的训练,还要与别的数学家交流。当然,对于做数学的人来说,总会碰到艰难的时期。这时,陈景润和张益唐的遭遇就会提示我们,只要有坚实的数学训练,再加上坚强的意志和艰苦的工作,常常可以度过困境。但正式的数学训练是必须的。

举个例子,印度的天才,拉马努金,他没有接受完整的大学教育,因为他在大学里只想上数学课所以被开除。但他的确接受了坚实的数学训练,虽然质量可能没那么好。他也去图书馆看书,做了很多数学工作,也跟同学讨论,也有老师支持他去学数学。所以,数学训练是必须的,任何想做数学的人都不能绕过这一步。

问:您平时是怎么工作的呢?

答:你看,我会看书(指着桌面上的一大堆书)。在法国这里,我将绝大部分工作时间花在了搞数学研究上,不过我也会跟数学家朋友们聊聊天,也会去带博士,也会去教课。我觉得对于数学家来说教课是很重要的。我挺喜欢教课,偶尔去一下那种,有很多人教课比我好得多。我喜欢去讲一些大家都比较熟悉的东西,但是用一些新的理解和思路去讲。我不太喜欢那种每个学年的例行讲课。

我在法国的这个职位有一点好处,就是比较自由。除了研究以外,我可以去教课,可以到全球各地与别人合作。我觉得这是一件好事,我相信数学的未来在于全球合作。在欧美的数学家也应该多去欧美以外的地方,像是南美和亚洲,去传播数学。

问:您曾经到印度和秘鲁授课,这就是您的动机吗?

答:正是如此。我觉得这是个很好的经验,那里有不少有才能的学生。我很快就要在秘鲁主持一期暑期学校了。对我来说,这是个很重要的事业。我在秘鲁授课的一个原因当然是我出生在秘鲁,但我觉得每个人都应该走出去传播数学,在世界的每个角落。每个人都可以由此得益,不失为很好的体验。

问:既然您在法国、美国工作过,又曾经到印度、秘鲁授课,能给我们讲讲这些国家之中数学研究与教学的差异?

答:比如说秘鲁,如同其它南美国家,数学研究在大概二十世纪起步,但由于国家本身经历的种种磨难,现在在秘鲁做数学并非易事。图书馆不够好,在城市生活也不轻松,薪水也不够高,能做研究的大学也很少。对于秘鲁的学生,他们通常会互帮互助,也有些机构会帮助这些学生,但能让他们接受到足够训练,成为研究人员的体制却仍不完全。秘鲁的学生可以到别的国家求学,比如说美国或者法国,然后成为研究人员。但秘鲁本身的体制也正在不断完善之中。

再看美国,对于研究人员来说最大的不同就是有了更多的自由,可以与更多的人合作。在法国有更多与拉丁美洲的合作项目,可能是因为语言更为相近的缘故。

问:对于希望学数学的中国学生,您有什么建议?

答:啊,这是个好问题。我就从数论方面讲。如果希望学数论的话,需要掌握很多领域的知识,而不仅仅是数论。全面的数学教育是很重要的。另外,数学不仅仅是理论的构建,还包括对实际数学问题的解决,应该注意到这一点。

我最喜欢的一本数学书是维诺格拉多夫的一本小书,书名是《数论基础》(Elements of number theory)。我是在13岁生日时收到这份礼物的。这本书不难,而且有很多很好的习题。当然,我现在的证明改进了维诺格拉多夫的结果,这纯属巧合。我小时候,秘鲁的书不便宜,但有个出版社专门出版一些不太贵的西班牙语数学书,这些数学书都不错,至少我买得起,从中也获益良多。

我认为兴趣对于做数学是很重要的。数学研究不仅仅是一种职业(job),更是一种使命(vocation)。当然会有困难的时候,但最重要的,还是将它视为自己的使命。毕竟人生苦短,虽然在工作外还有生活,但工作还是占据了很大一部分的时间,这些时间还是花在自己感兴趣的事情上为好。我们应该做有用的事,但同时最好也做最适合自己的东西。

问:有很多不做数学的人,觉得数学很困难而且很无聊,您怎么看?

答:我觉得这是因为他们没有接受到好的数学教育。

现在有一种很不好的现象。一个人可以堂而皇之说自己不懂数学,没人会指责他;但对文学的态度却截然不同,自称没读过莎士比亚或者论语的人往往会遭人白眼。

不过也有例外。有一次我和一位朋友在法国南部开会,因为错过了公交车,于是在路边干等着。有位好心的司机看见我们,载了我们一程。在车上闲聊时,他告诉我们他很喜欢数学,认为数学和戏剧同等有趣。当然这种人很少,不过还是有的。

当然,数学、戏剧,还有别的很多东西都很有趣,但会将它们相提并论的人并不多,而这些人之前大多从事过技术性工作。在一般的群体中,更常见的态度是自称会读小说而完全不懂数学,而且不以为耻反以为荣。我觉得这大错特错,人们不应该将自己的无知作为骄傲的资本。

问:对于数学科普,您怎么看?

答:我认为数学普及很好,数学研究可以由此传达大众,但我们也应该指导对数学感兴趣的年轻人去接受更严肃的数学教育,以成为数学家或者科学家。数学研究者一般在很年轻的时候就开始做数学,比如说高中毕业之后或者在大学里。我认为面向大众的数学普及是很好的,但面向这些年轻人的,比较高层次的数学普及也是很重要的。

当然,这两个层次之间还有一层,就是面对科学家和工程师的。数学是他们重要的工具,但不是他们研究的领域。他们明白更多的概念,所以说明可以更深入。

问:您认为职业数学家在数学科普中可以起到什么样的作用?

答:在我刚才说到的三种数学普及中,职业数学家更适合做中高层次的数学普及。已经有不少人在做面向大众的普及,而且都做得不错。但中高层次做的人很少。我自己也在做一些这方面的东西,比如之前说的去世界各地讲课。我还有个数学博客,但几乎没什么内容,因为我最近忙着做论文。不过,过些时间我会写一篇有关弱哥德巴赫猜想的博文,大概工程师的水平就能看懂,敬请期待。

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【摄影:方弦】

以下进入专业一些的内容,不过,也推荐大家一读。用哈洛德的话说是“虽然有点难,但是我觉得还是挺有趣的。”

问:您的证明是基于圆法的改进,您的方法能用到别的解析数论问题上吗?

答:为了降低常数,我对现有的技巧进行了很多改良。虽然很多改良都是针对弱哥德巴赫猜想这个特殊问题的,但也有一些可以应用到更广泛的解析数论的问题上。其实我认为有几个技巧甚至可以在解析数论以外的纯数学领域,甚至应用数学中找到应用。

在证明当中,我需要找到某种“平滑化”的手段,这涉及到某些积分。你要算一个无限求和的上下界,你不想搞突然截断,舍弃某一项之后的所有东西,你更希望这些项会慢慢变小,“软着陆”,这种技巧叫平滑化。

关于这一点,有个很有趣的故事。在哈代他们的证明里用到了无限求和的平滑化,但维诺格拉多夫的证明就搞的突然截断,而自此之后的大部分相关工作都没有用过平滑化,不过Ramaré和陶哲轩的工作就重新用了平滑化。

在解析数论中这种技术上的“倒退”,就好像当年罗马帝国崩溃之后,人们就忘记怎么造水泥了。就像这样,上一代的数学家好像忘却了平滑化,五十年代人们还在用,六十年代就没人用了。当然,这也要看情况。不过一般来说,还是平滑化的好。

但问题是,用哪种平滑化呢?Ramaré和陶哲轩用到了指数衰减的平滑化。虽然指数衰减用起来很便利,但是还不够平滑和缓。他们的平滑化其实还不错,但我觉得还不够好,所以我就开始自己开发新的技术。我用高斯函数代替了指数衰减,因为高斯函数更加光滑,下降得也更加快。

下面我讲一下技术细节,虽然有点难,但是我觉得还是挺有趣的。

指数衰减其实真的很好搞,因为实际上它与各种变换有很大的关系,比如说傅立叶变换和梅林变换,而我们对这些变换研究得很深入。但对于高斯函数,人们知道其中一些结论,也知道它跟三角函数有些联系。你可能觉得大家已经对这个高斯函数比较熟悉,但事实不是这样,在解析数论里,很少有人用到高斯函数的平滑化,所以有关的常数之类的东西还没人算出来过。反而在应用数学里,因为经常用到高斯函数,反而搞应用数学的人知道得更多。

在解析数论中,我们常常用到所谓的梅林变换,我觉得用到梅林变换的人之中有一半都是搞解析数论的。但梅林变换其实就是拉普拉斯变换的另一种写法。如果我们考虑高斯函数与三角函数乘积的梅林变换,我们会得到所谓的“抛物圆柱函数”。其实一年前我还不知道这个函数叫啥,但貌似物理学家和工程师是这么叫的。他们用这个函数用得不少,但对它的了解却不太透彻。我们知道一些渐近估计,但没有明确的常数,也没有明确的误差项。

所以我必须自己来搞清楚这些东西,我花了一个半月的时间。因为我平时不搞这个领域,当然比专精的人要慢些。我把这方面的结果都写进论文里了,我觉得这些结果对于工程师和物理学家来说可能会有用,他们可能还会推进这些结果。结果还得走着瞧,不过我觉得这是个很好的例子,说明数论工作也可能有实际应用,因为在数论研究中,我们需要改进各种工具,而这些工具不一定是数论专用的,可能在别的数学领域中也会用到。

问:您与合作者在证明中用到了计算机,具体是怎么用的呢?

答:我和我的合作者David Platt写了篇小文章,讲的就是用“素数天梯”的方法来验证弱哥德巴赫猜想到大概10的30次方。这个计算并不是很难,我们在地下室机房利用空闲时间算了几个星期。其实随便哪位爱好者有心的话,自己在家算几个月也能大概验证到10的29次方。这段计算其实小菜一碟。因为我希望留点余地,以免论文中有什么计算出错,所以验证到了比较高的10的30次方。

真正复杂的计算在另一篇Platt自己写的论文里,我对此的贡献就是说服他去做这个计算。其实在法国有很多公共资源,只要你能找到合适的人,跟他吃个午饭,这个计算就是这样子来的。在这个论文里,Platt延续了他博士论文中的工作。

还记得广义黎曼猜想吗?广义黎曼猜想涉及一类叫L函数的复变函数,它们在复平面上有无穷个非平凡零点。要对这些无穷的东西搞验证似乎是不可能的。但你可以考虑一个有限的问题,比如说先取十亿个L函数,然后对于每个函数,验证虚部绝对值小于十万的所有非平凡零点的实部都是1/2。这是一个可以完成的验证。类似的计算在十九世纪就有人做过,实际上黎曼在提出他的猜想时,就对黎曼ζ函数这个特殊的L函数验证过小于100左右的所有非平凡零点。所以,从原则上,我们考虑的有限的验证可以用手算解决,不过一般还是靠计算机。

Platt做的就是用计算机完成这样的计算,而且是以严格的方式。对于数学验证而言,严谨性很重要。我们知道,计算机只能表达有理数,它不能直接处理像圆周率这样的无理数。所以,实际上计算机不能处理实数,它只能处理一个区间[a,b],其中a和b都是有理数。而你只能问你的计算机,能不能给出一个尽量短的区间[c,d],使得区间[a,b]中的实数的正弦值(或者别的什么函数值)都落在区间[c,d]中。这就是所谓的区间算术。

有很多库可以处理区间算术,Platt他自己写了一个特别快的,不过网上也有不少类似的库。我们需要用这些库,即使这意味着计算速度比直接用浮点数要慢上几倍,但计算的过程和结果是完全严谨的。

问:您在证明中用到了计算机,那您对计算机在未来的数学证明中发挥的作用有什么看法呢?

答:这个问题挺有争议性的。在我们的证明里,计算机做的就是验证一些有限的陈述,其实跟十九世纪那种手工验证也没什么区别,而且计算机出错的可能性比人要小多了。你知道,把一串数字加起来可是计算机的强项。基本上在计算机验证里发现的错误,罪魁祸首都是敲键盘的那个人。

但计算机还能做别的东西。现在,计算机能够独自证明一些简单的小引理。最近有一篇论文,其中一个引理的证明就是计算机给出的。那是一个很小的不等式,就像那些在高中数学竞赛中出现的不等式。但这类不等式并不容易证明,所以它们才能出现在高中数学竞赛中。但现在,有时候你可以将这种不等式直接输入计算机,然后计算机有可能直接给你一个证明,或者告诉你这个是对的。这种计算机证明被接受了。

这是一种新事物,因为计算机能处理这种问题也就是最近的事。对付这种东西的算法还很原始,在实际操作过程中,为了能算出结果而又不死机,需要微调一大堆变量,在写代码时也要多花心思。这类小引理的证明算是种偶尔会出现的新奇事物。这也是个很有希望的方向,需要发展一下这方面的算法。

不过要分清计算机证明与数值实验。数值实验就是比如说我把某个东西验证到了一百万,然后我说它大概是对的,但这不是一个证明,而只是一种经验式的证据,告诉我们大概什么方向是对的。而计算机证明,我们用到的就是对有限陈述的验证,原则上用笔和纸也能完成的那种。这种有限的验证是不可避免的,因为在数学分析中,如果变量小于某个数值,主项和误差项相差不够远,这种情况就要一一验证。要分清证明和证据,证据只能指引方向,而证明就真的是无误的逻辑证明。

问:您的证明里用到了圆法,而张益唐的证明用到了筛法。您能介绍一下这两种方法的异同吗?

答:筛法和圆法其实是很不同的,不过也有相似的地方。有一种叫“大筛法”的,就跟圆法有关。但这与张益唐主要用的“小筛法”很不同,当然他也稍微用到了一些大筛法。圆法的本质就是应用在数论中的傅立叶分析,简单来说就是对圆周上的函数进行分析。而筛法的目的则是给出素数分布的一种近似估计。

在我的论文中就用到了大筛法和圆法的关系。在大筛法中的一些技巧可以直接用到圆法中,反之亦然。两者其实是同一枚硬币的正反两面。张益唐的证明也用到了大筛法,因为他需要类似邦别里-维诺格拉多夫定理的结果,而那个定理是用大筛法的。其实大约在八年前,大家就知道只要把邦别里-维诺格拉多夫定理的某个特殊情况推广一下,就可以得到张益唐的结论,而张益唐做的就是这一点。八年来很多聪明人都铩羽而归,大家都觉得这是个很难的问题,但张益唐成功了。我还没细读他的论文,但我感觉他虽然在这个意义上用到了大筛法,但他的改进并不在大筛法上,而是有关其它技巧的改进。

但他和我的证明也有相似之处。我们的论证都是基于维诺格拉多夫建立的所谓I类和II类和。在我的和他的论文里都用到了这些概念。

问:在解析数论中,除了筛法和圆法,还有别的主流方法吗?

答:比如说广义黎曼猜想,我们可以证明一些有限的特殊情况,然后利用这些特殊情况去证明别的东西。这大概有两种做法。

一是直接去证明一些更弱的结论,其中一个例子就是所谓的“无零点区域”。我们还不知道怎么证明所有非平凡零点的实部都是1/2,但我们可以证明零点必定在某个包含所谓“临界线”(实际上就是实部为1/2的复数组成的直线)的区域内,而这个区域在实轴附近很小。这种限制能告诉我们一些重要的信息,而人们一直在使用类似的结论来证明别的问题。

二是直接去验证零点。我们可以说,对于虚部大于一定数值的零点,我们一无所知;但对于虚部不太大的零点,我们可以直接用计算机去验证。这样的好处是,对于这些虚部不太大的零点,我们能完全确定它们的位置,而并非只知道它们在某个区域内。但我们只能对有限个L函数验证这些结论,而“无零点区域”类的结论可以应用到所有L函数上。不过,这种有限的验证也更容易做到。

其实还有很多很多的小技巧,不过它们还没有到达“方法”这一层面。

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