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Controversy over Yau-Tian-Donaldson

http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=6430

Controversy over Yau-Tian-Donaldson

Posted on November 25, 2013 by woit

The last posting here was about an unusually collaborative effort among mathematicians, whereas this one is about the opposite, an unusually contentious situation surrounding important recent mathematical progress.

What’s at issue is the proof of what has become known as the “Yau-Tian-Donaldson” conjecture, which describes when compact Kähler manifolds with positive first Chern class have a Kähler-Einstein metric. This is analogous to the Calabi conjecture, which deals with the case of vanishing first Chern class. Progress by Donaldson on this was first mentioned on this blog here (based on his talk at Atiyah’s 80th birthday conference in 2009). Last fall a proof of the conjecture was announced by Chen-Donaldson-Sun, with an independent claim for a proof by Gang Tian, see here. I wrote a bit about this last winter here, after the details appeared of the Chen-Donaldson-Sun proof, and that posting gives some links to expository articles about the subject.

I had heard that there were complaints about Tian’s behavior in this story, including claims that he did not have a complete proof of the conjecture and was not acknowledging his use of ideas from Chen-Donaldson-Sun. Recently this controversy has become public, with Chen-Donaldson-Sun deciding to put out a document (linked to from Donaldson’s website) that challenges Tian’s claims to have an independent proof. The introduction includes:

Gang Tian has made claims to credit for these results. The purpose of this document is to rebut these claims on the grounds of originality, priority and correctness of the mathematical arguments. We acknowledge Tian’s many contributions to this field in the past and, partly for this reason, we have avoided raising our objections publicly over the last 15 months, but it seems now that this is the course we have to take in order to document the facts. In addition, this seems to us the responsible action to take and one we owe to our colleagues, especially those affected by these developments.

I should make it clear I’m no expert on this mathematics, so ill-equipped to judge many of the technical claims being made. The Chen-Donaldson-Sun document is giving one side of a complicated story, so it would be useful to have Tian’s side for comparison, but I have no idea if he intends to respond.

On a more positive note, perhaps this controversy will not interfere much with future progress in this area, as Donaldson and Tian are jointly organizing a Spring 2016 workshop on this topic at MSRI.


Update
: I hear from Tian that he has recently written a response to the Chen-Donaldson-Sun document, which is available here, and he may at some point write some more about this. Anyone who has read the CDS side of this should also take a look at what Tian has to say in response.

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离散数学第一讲:集合论的创立和第三次数学危机

所谓集合,就是把我们直观或者思维中确定的相互之间有明确区别的那些对象(叫做集合的元素)作为一个整体来考虑。

--Cantor

如果集合X和自然数集合N之间能够建立一一的对应关系,那么称X是可数的(countable)。

X=\{ x_{0}, x_{1},...\} \text{ and } \mathbb{N}=\{0,1,2,...\}.

|X|=|\mathbb{N}|=\aleph_{0}.

2\mathbb{N}=\{ 0,2,4,6,...\}, |2\mathbb{N}|=\aleph_{0}

\mathbb{Z}=\{...,-1,0,1,...\} is countable. The set \mathbb{Q} is countable.

\mathbb{N}\times \mathbb{N} is also countable.

有理系数多项式方程的根叫做代数数(algebraic number)。

有理数是代数数,不是代数数的数叫做超越数,比方说\pi, e 都是超越数。

全体代数数可数。

对于整系数多项式

f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}, (a_{i} \in \mathbb{Z}, a_{n}\neq 0)

定义它的高度h(f(x))= \sum_{i=0}^{n} |a_{i}| +n .

h(f(x)) 小的先数。因此整系数多项式是可数的。

实数集合是不可数的,无理数也是不可数的。实的超越数也是不可数的,但是代数数可数。

超越数远远“多于“代数数。

连续统假设:不存在集合X,使得|\mathbb{R}| =\aleph_{1} > |X|> \aleph_{0}=|\mathbb{N}| .

Russle 悖论(Russel Paradox )

转载:世界十个著名悖论的最终解答

(一)电车难题(The Trolley Problem)

引用:
一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一,其内容大致是:一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来,并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是,你可以拉一个拉杆,让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题,那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况,你应该拉拉杆吗?

解读:

电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的,用来批判伦理哲学中的主要理论,特别是功利主义。功利主义提出的观点是,大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看,明显的选择应该是拉拉杆,拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为,一旦拉了拉杆,你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而,其他人认为,你身处这种状况下就要求你要有所作为,你的不作为将会是同等的不道德。总之,不存在完全的道德行为,这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则,并且还存在着没有完全道德做法的情况。
引用完毕。

Das曰:
人,应当为自己的行为负责,这里的“行为”是什么意思?人为自己的行为负责的理论依据是什么?
承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在,也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因,是他本身不可改变的,惩罚这个人显然是不合理的,惩罚他也于事无补、毫无用处。
人具有自由意识,可以做出自由选择,并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。
那么,我们现在可以解释“行为”是什么意思:行为,是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。
今天早晨你可以选择吃包子,也可以选择吃油条。结果你吃了包子,这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条,这并不是“所有可能性”,你也可以选择什么也不吃,选择饿肚子减肥。作为一个理性人,你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害,你选择了饿肚子减肥这种行为,就应当为这种行为负责。
行为并不是行动,你什么也不干也是一种选择,因而也是一种行为。
我们将这个思想实验稍作修改,就可以看到什么也不干确实是一种实实在在的行为:
加入电车的前方帮着5个人,你拉动一下拉杆就能使将电车驶向岔道——而岔道上什么也没有,不会造成任何危害。这时候你动不动拉杆呢?如果你不拉,你什么也不干,眼睁睁看着五个人被轧死,这显然是不道德行为——你本来有选择的余地,轧死五个人并不是唯一可能的结果,你只要举手之劳就能挽救五个人的生命,但是你选择了什么也不干,你就应当为你的行为负责任,即使法律不去惩罚你,你的行为最起码也是不道德的。

现在我们可以理清这个悖论的条理了:
一、对于这一事件,你只有两种选择的可能性:动拉杆或者不动拉杆。你必须在这两种行为中选择一个,你能够预料到不同的行为会有不同的后果:
二、你选择“不动拉杆”这种行为,会造成五个人死亡;你选择“动拉杆”这种行为,会造成一个人死亡。
这个悖论的关键在于人们普遍认为这是在两种不道德的行为中选择其一,因而是个难题——这是真正的脑袋被驴踢了。Das说那么多年那么多大牌高手脑袋都被驴踢了一遍,你可能有点不大相信,可事实就是这样。事实上当你必须二者之中选择其一的时候,这两种行为绝对不可能都是不道德的。

只有一种选择的时候,就等于没有选择,没有选择就没有行为,没有行为就没有责任——也就无所谓道德不道德。
在这个悖论中如果没有拉杆,你无法改变电车的方向,你对轧死五个人的结果根本就无能为力,无论你干什么事儿对这一结果都没有影响,这时候无论你干什么,都等于什么也不干——你唯一的选择就是什么也不干,你就等于没有选择、没有行为,因而这这一事件中你也谈不上什么道德不道德。
当你只有两种选择(或者100种选择,道理是一样的),你除此之外就没有选择。假如这两种选择都是不道德的,这就等于说无论你怎样选择都是不道德的,就等于说这种不道德竟然不是由于你的自由选择造成的,而是外界强加给你的。这显然是胡说八道。根据我们前面的论证:如果一种行为是不道德的,那必然是由于你自由选择造成的。当你无可选择的时候,那根本就无所谓道德不道德。

这一悖论的答案可以揭晓了:
一、你只有两种选择、两种可能的行为:动拉杆或者不动拉杆,这必然造成两种不同的结果:一个人死亡或者五个人死亡。这两种行为不可能都是不道德的。
二、你拉动拉杆,造成一个人死亡的结果,你不应当为此承担道义上的责任,因为这个人的死亡,不是你的行为造成的。外界条件决定必然会有人死亡,要么一个、要么五个,至少要死一个人——这是必然的结果,这是你无法阻止的结果。
三、你不拉动拉杆,造成五个人死亡,你应当为此承担道德的谴责。死亡五个人,不是必然的结果,而是你的行为造成的。外界条件决定必然会有人死亡,要么一个、要么五个,死一个是必然的,死五个不是必然的,现在真的死了五个,那是你的行为造成的。

在这里,我们把六个人的生命当成同等价值的抽象个体,这样做可能会有人提出反对意见:每一个人的生命都是唯一的、无价的、至高无上的,das没有理由为了挽救那五个人的生命牺牲者一个人——das没有剥夺这个人生命的权利,不管出于什么高尚的理由。

Das这样驳斥这种观点:
你仍然将“不动拉杆”这种行为不当做一种行为看待,这是错误的。在前提条件下,这一个人与另外五个人一样,面临同样的生命威胁。假如das没有权力为了这五个人的生命牺牲这一个人,同样,我也没有权力为了这一个人的生命牺牲那五个人。即使这一个人生命的价值与那五个人是对等的,他们在我选择时考虑的权重也应当相互抵消。既然每个人的生命价值都是至高无上的,那五个人的生命价值即使并不高于这一个人,至少也并不低于这一个人。既然没有办法比较每个人生命价值的大小,那么我就不这样考虑问题。这时候我将每一个单个的生命当做同等价值的抽象个体,并且认为5大于1,这就是唯一合理的选择。

 

 

 

十个著名悖论的最终解答(二)空地上的奶牛(The Cow in the field)

引用:
认知论领域的一个最重要的思想实验就是“空地上的奶牛”。它描述的是,一个农民担心自己的获奖的奶牛走丢了。这时送奶工到了农场,他告诉农民不要担心,因为他看到那头奶牛在附件的一块空地上。虽然农民很相信送奶工,但他还是亲自看了看,他看到了熟悉的黑白相间的形状并感到很满意。过了一会,送奶工到那块空地上再次确认。那头奶牛确实在那,但它躲在树林里,而且空地上还有一大张黑白相间的纸缠在树上,很明显,农民把这张纸错当成自己的奶牛了。问题是出现了,虽然奶牛一直都在空地上,但农民说自己知道奶牛在空地上时是否正确?

解读:

空地上的奶牛最初是被Edmund Gettier用来批判主流上作为知识的定义的JTB(justified true belief)理论,即当人们相信一件事时,它就成为了知识;这件事在事实上是真的,并且人们有可以验证的理由相信它。在这个实验中,农民相信奶牛在空地上,且被送奶工的证词和他自己对于空地上的黑白相间物的观察所证实。而且经过送奶工后来的证实,这件事也是真实的。尽管如此,农民并没有真正的知道奶牛在那儿,因为他认为奶牛在那儿的推导是建立在错误的前提上的。Gettier利用这个实验和其他一些例子,解释了将知识定义为JTB的理论需要修正。

引用完毕。

Das曰:
这其实就是盖梯尔问题。盖梯尔问题引起了长期大范围的争论,产生了无数个变种。盖梯尔刚刚提出他的问题的时候,大家都认为这确实是一个问题,但是很容易解决——只要对JTB理论进行小的补充完善就会万事大吉。但是随着讨论的深入,所有补充完善JTB理论的企图都被进一步变种的盖梯尔问题击溃,以至于有人怀疑真正完善的JTB理论是不是真的存在。
以下das给出自己的答案。这答案足以迎头痛击一切现有的盖梯尔问题的攻击——我希望,不要被进一步变种的盖梯尔问题击垮。如果本论坛能够提出一个击垮das的盖梯尔式的思想实验的反例,das将无比欣慰。

柏拉图认为知识是得到辩护和证明的真信念。这就是原始的JTB。
Das认为:
一、 知识是真的信念。
二、这信念具有充分的理性基础。(S具有充分的理性基础是指:当且仅当P是人类公认的公理,Q是内部一致的有效的逻辑系统,以P为前提,通过Q,可以合理导出S。)
三、 知识的主体对其理性基础有充分的了解。
四、 充分的程度与该知识的重要性相当。

 

 

 

十个著名悖论的最终解答(三)定时炸弹(The Ticking Time Bomb)
引用:
如果你关注近几年的政治时事,或者看过动作电影,那么你对于“定时炸弹”思想实验肯定很熟悉。它要求你想象一个炸弹或其他大规模杀伤性武器藏在你的城市中,并且爆炸的倒计时马上就到零了。在羁押中有一个知情者,他知道炸弹的埋藏点。你是否会使用酷刑来获取情报?

解读:

与电车难题类似,定时炸弹情景也是强迫一个人从两个不道德行径中选择的伦理问题。它一般被用作对那些说在任何情况下都不能使用酷刑的反驳。它也被用作在极端形势下法律——就像美国的严禁虐囚的法律——可以被放在第二位的例子。归功于像《24小时》的电视节目和各种政治辩论,定时炸弹情景已成为最常引用的思想实验之一。今年早些时候,一份英国报纸提出了更为极端的看法。这份报纸提议说,如果那个恐怖分子对酷刑毫无反应,那么当局者是否愿意拷打他的妻子儿女来获取情报。

引用完毕。

Das来讲一个现实生活中的真实的故事:
一个朋友是相当一级的领导,一次他办理一个绑架小女孩的案件,罪犯送来小女孩的手指勒索钱财——影视剧中常见的情节。不过下面的故事却很不常见。罪犯约定了无论钱是不是到手都要撕票,罪犯A去取钱,如果罪犯A在22时不回来集合,其他罪犯就撕票潜逃。
朋友只好把A抓回来——让他拿钱回去就等于害死了小女孩。问题是时间紧迫,A这小子是知道一点法律的,他认定说不说都是死刑,不如不说,说不定找不到证据,还能留条活路。所以审讯室里出现了奇怪的场景:审讯员手脚冰凉、头顶冒汗,罪犯却神态自若,从容以对,时不时地露出狰狞的奸笑。
时间在流逝,每一秒钟都生死攸关。当断不断,必受其乱。朋友打法其他人离开,独自负责审讯,并且声明有其个人对结果负责。
朋友拎出一把菜刀,按住A的一个手指,微笑着说:“我只问你一遍:小女孩关在哪里?”
A显然对这种威胁不屑一顾:“我真的不知道你问什么。”
咔嚓一声,手起刀落,一根手指掉在地上。
在A的鬼嚎声中,朋友按住他的另一根手指,仍然微笑着说:“我只问你一遍:小女孩关在哪里?”
A这一次没有回答。
咔嚓一声,手起刀落,地上现在有了两根手指。
没有等到朋友按住他的第三根手指,A交代了小女孩关押的位置。
小女孩解救出来以后,朋友用一个塑料袋装着菜刀和手指,到检察院投案自首:“我刑讯逼供,我来投案自首。”

事情的发展更加富有戏剧性。朋友的行为显然违法,显然构成犯罪,但是检察院就是不立案,说这行为有紧急避险的性质,最终定性还要研究,就是不给文字结论。公安局也不给他停职,说这是检察院的事儿,检察院没有结论,我们不好说什么。法院不闻不问,检察院没有起诉,我们根本不知道。就连无孔不入的律师也对这事儿只字不提,甚至A自己都认为这是合理的,既然没人提,他干脆就不承认被人剁了手指,法庭上他说他因为干了这事儿后悔,自己剁的。甚至恬不知耻地说是他主动交代小孩的关押地点,主动配合公安解救了小女孩,有重大立功表现,要求给条生路。

生路是没有,A很快就毙了。朋友的行为成了我们酒后谈论的英雄壮举,朋友自己的话,是这个故事最好的注脚:“即使是法律,也不能蒙蔽我的良心。”

 

我们把“定时炸弹问题”做一些变形,让我们的理性来为世界立法:

一、假设罪犯隐藏的不是一颗定时炸弹,而是一千颗原子弹,时间一到地球就玩完,只有剁他的手指头才能阻止这一切,现在决定权交给你,你剁还是不剁?
即使完全从维护这个罪犯权利的角度考虑问题,完全不管全人类的生死,你不剁,他别说手指头,连小命也要呜呼,你剁了,他无非少几个手指头,小命至少保得住,你凭什么不剁?为什么不剁?
二、假设罪犯隐藏的不是一颗定时炸弹,而是一千颗原子弹,时间一到地球就玩完,全人类都玩完,只有这个罪犯有特异功能能够幸免遇难。只有剁他的手指头才能阻止这一切,现在决定权交给你,你剁还是不剁?
你不剁,你就成了他的同谋,das肯定剁了你没商量。

三、假设罪犯隐藏的不是一颗定时炸弹,而是一千颗原子弹,时间一到地球就玩完,全人类都玩完,只有这个罪犯和其他20名地球人有特异功能能够幸免遇难。只有剁他的手指头才能阻止这一切,现在决定权交给你,你剁还是不剁?
这与(二)没有任何本质区别。
四、假设罪犯隐藏的不是一颗定时炸弹,而是一百颗原子弹,时间一到地球就玩完一半,人类玩完一半,这个罪犯能够幸免遇难。只有剁他的手指头才能阻止这一切,现在决定权交给你,你剁还是不剁?
这与(二、三)没有任何本质区别。
五、假设罪犯隐藏的就是一颗定时炸弹,时间一到半个城市的人就玩完,只有剁他的手指头才能阻止这一切,现在决定权交给你,你剁还是不剁?
这与(二、三、四)没有任何本质区别。

最后一个假设,其实就是“定时炸弹问题”。

我们不反对罗尔斯,也很欣赏程序正义。我们自愿遵守法律程序,我们对正当的程序表示真心的尊重,但是,指导我们行动的,永远是心灵深处的道德法则!当程序正义或者其他任何正义与我们心灵深处的道德法则发生冲突时,我们毫不犹豫地捍卫道德的尊严;同时,一个理性的人不应当伤害程序的正义,我的朋友和苏格拉底一起做出了表率:我不逃避、不隐瞒、不后悔、不改变,我自愿接受程序的处罚。我用行动维护道德的尊严,同时甘愿用一个人的苦难维护程序的尊严。

 

 

 

十个著名悖论的最终解答(四)爱因斯坦的光线(Einstein’s Light Beam)

引用:
爱因斯坦著名的狭义相对论是受启于他16岁做的思想实验。在他的自传中,爱因斯坦回忆道他当时幻想在宇宙中追寻一道光线。他推理说,如果他能够以光速在光线旁边运动,那么他应该能够看到光线成为“在空间上不断振荡但停滞不前的电磁场”。对于爱因斯坦,这个思想实验证明了对于这个虚拟的观察者,所有的物理定律应该和一个相对于地球静止的观察者观察到的一样。
解读:

事实上,没人确切知道这意味着什么。科学家一直都在争论一个如此简单的思想实验是如此帮助爱因斯坦完成到狭义相对论这如此巨大的飞跃的。在当时,这个实验中的想法与现在已被抛弃的“以太”理论相违背。但他经过了好多年才证明了自己是正确的。

引用完毕。

Das曰:
爱因斯坦的梦想具有象征性的意义。他不可能以光速去旅行,因为那需要无穷大的能量——宇宙中根本没有这么多的能量。

假如爱因斯坦以光速旅行,他会看到什么呢?
他什么都看不见。因为这时候根本就没有时间——时间不再流动。他的手表、电子钟、机械中一起停止运转,不是因为出了故障,而是时间在这里静止了。爱因斯坦的一根头发变得比泰山重得多,我怀疑他的体力能否承受任何一根头发。不过也不用过于担心,一根头发想压死爱因斯坦也做不到——压死他需要时间,但是这里没有时间。我们站在地球上看着爱因斯坦以光速旅行一年,但是爱因斯坦却没有经历这一年,开始和结束都在同一时刻,这中间时间丝毫没有流动,丝毫没有变化;这中间没有发生任何事,没有任何运动和变化,他当然也不曾在这期间“看见”任何东西。

 

 

 

十个著名悖论的最终解答(五)特修斯之船(The Ship of Theseus)

引用:
最为古老的思想实验之一。最早出自普鲁塔克的记载。它描述的是一艘可以在海上航行几百年的船,归功于不间断的维修和替换部件。只要一块木板腐烂了,它就会被替换掉,以此类推,直到所有的功能部件都不是最开始的那些了。问题是,最终产生的这艘船是否还是原来的那艘特修斯之船,还是一艘完全不同的船?如果不是原来的船,那么在什么时候它不再是原来的船了?哲学家Thomas Hobbes后来对此进来了延伸,如果用特修斯之船上取下来的老部件来重新建造一艘新的船,那么两艘船中哪艘才是真正的特修斯之船?

解读:

对于哲学家,特修斯之船被用来研究身份的本质。特别是讨论一个物体是否仅仅等于其组成部件之和。一个更现代的例子就是一个不断发展的乐队,直到某一阶段乐队成员中没有任何一个原始成员。这个问题可以应用于各个领域。对于企业,在不断并购和更换东家后仍然保持原来的名字。对于人体,人体不间断的进行着新陈代谢和自我修复。这个实验的核心思想在于强迫人们去反思身份仅仅局限在实际物体和现象中这一常识。

引用完毕。

Das曰:
现在要探讨“同一性”问题。
量子力学里头有一个“全同原理”,说的是同类的粒子之间本质上是不可区分的。两个氢原子之间没有性质的区别。你用这个氢原子代替水分子中的那个氢原子,这个水分子的性质没有任何改变。

那么,问题就来了:我们的身体都是由基本粒子构成的,而且从我们诞生那一天起,一刻不停地进行着新陈代谢,新陈代谢的速度远比我们一般人想象的快的多。科学家用‘示踪元素’参与新陈代谢的实验证明,新陈代谢速度比科学家以前想象的速度也要快的多。今天组成你身体的元素,与昨天有很大不同,与几年以前几乎完全不同。但是我们仍然认为你还是你,现在的你和几年前的你是同一个人,这是为什么呢?
因为“全同原理”存在,组成你的身体的元素虽然被替换了一遍,但是同类粒子之间是完全一样的,没有性质的区别。用这个氢原子代替你身体里的那个氢原子,你身体的性质不发生任何改变。
当然,现在你比几年前长大了一些或者变老了一些,这是由于你身体的结构发生了一点细微的变化——组成你身体的元素之间的相互关系发生了一点改变,而不是由于替换了元素的关系。

我们认定同一性——认定一个事物是它本身的依据不是组成这一事物的元素,而是这一事物的内部结构——元素之间的关系,以及这一事物的时空连续性。

仅仅结构相同,并不表明他们就是同一事物,还必须同时具备时空连续性才行。
我们可以按照一张图纸建造两座大楼,我们假设建筑工人都是绝顶高手,两个大楼的任何一个分子、原子都完全一样,这两座大楼具有一模一样的结构,但他们显然是两个事物。两座大楼同时处于空间的不同位置,它们当然不可能是一个东西。我从来没有见过你的身体同时在两个地方,即使几十年来我一刻不停地盯着你看,也是如此。如果我在两个地方见过你——一次在家里、一次在学校,那肯定不是同时,一定是不同的时间。而且我可以肯定:你一定有一个从家里到学校的连续的运动过程,虽然你在不同的时间,可以在不同的地方,但是任何一个特定的时刻,你肯定在一个唯一的地方。
同样道理,仅仅具有时空连续性,结构完全不同也不成:
我们把一辆汽车砸碎了炼成铁块,用这铁块制成一座金属雕像,虽然它具有时空的连续性,但是它的结构彻底改变了,我们不能说雕像就是原来的汽车。它们不具有同一性。

好了,现在我没有足够的知识了,我们再回过头来看看“特修斯之船”
特修斯之船不断更换部件,最后所有的部件都换了一遍。在整个过程中,它显然具有时空连续性,就好像你的身体不断进行新陈代谢,但丝毫不影响其时空连续性;更换的船板和以前的船板有点区别,但差别不大,功能完全一样,和整个船的复杂性比起来,这点差别可以忽略不计,整个船的结构基本没有改变,即使有一些改变,也像你比几年前变老了一点一样,这点差别完全不影响同一性。因此特修斯之船还是特修斯之船,你就是把船板更换一千遍,它还是它自己——这根本不影响同一性。
你用换下来的船板和部件再组装一艘船,结构一样不一样我不管,它和特修斯之船没有时空连续,因而那是另外一艘船。你叫它什么都行,它不是特修斯之船

 

 

 

十个著名悖论的最终解答(六)伽利略的重力实验(Galieo’s Gravity E)

 

引用:
为了反驳亚里士多德的自由落体速度取决于物体的质量的理论,伽利略构造了一个简单的思想实验。根据亚里士多德的说法,如果一个轻的物体和一个重的物体绑在一起然后从塔上丢下来,那么重的物体下落的速度快,两个物体之间的绳子会被拉直。这时轻的物体对重物会产生一个阻力,使得下落速度变慢。但是,从另一方面来看,两个物体绑在一起以后的质量应该比任意一个单独的物体都大,那么整个系统下落的速度应该最快。这个矛盾证明了亚里士多德的理论是错误的。

解读:

这个思想实验帮助证明了一个很重要的理论:无论物体的质量,不考虑阻力的情况下,所有物体自由落体的速率都是一样的。

引用完毕。

das曰:
人类历史上最成功的一个思想实验,一根手指头都不用动一动,就击败了亚里士多德。
亚里士多德错了。

其他无话可说。

 

 

 

十个著名悖论的最终解答(七).猴子和打字机(Monkeys and Typewriters)

引用:
另一个在流行文化中占了很大分量的思想实验是“无限猴子定理”,也叫做“猴子和打字机”实验。定理的内容是,如果无数多的猴子在无数多的打字机上随机的打字,并持续无限久的时间,那么在某个时候,它们必然会打出莎士比亚的全部著作。猴子和打字机的设想在20世纪初被法国数学家Emile Borel推广,但其基本思想——无数多的人员和无数多的时间能产生任何/所有东西——可以追溯至亚里士多德。

解读:

简单来说,“猴子和打字机”定理是用来描述无限的本质的最好方法之一。人的大脑很难想象无限的空间和无限的时间,无限猴子定理可以帮助理解这些概念可以达到的宽度。猴子能碰巧写出《哈姆雷特》这看上去似乎是违反直觉,但实际上在数学上是可以证明的。这个定理本身在现实生活中是不可能重现的,但这并没有阻止某些人的尝试:2003年,一家英国动物园的科学家们“试验”了无限猴子定理,他们把一台电脑和一个键盘放进灵长类园区。可惜的是,猴子们并没有打出什么十四行诗。根据研究者,它们只打出了5页几乎完全是字母“s”的纸。

引用完毕。

Das曰:
二十年前第一次看到这个思想试验,是在一个日本人写的小册子里。名字忘了,是《五角丛书》中的一本。十年前翻箱倒柜找这本小册子,未果。谁如果保存着二十年前那本五角丛书的话,不妨转让给das,你五毛钱买的,我出一枚袁大头,或者一个紫砂壶也行。

不需要无限多个猴子,不需要无限长的时间,房间里放一台打字机,然后关一只猴子进去,猴子碰巧也会跳到打字机上,碰巧也会打出几个字母,有人计算过,假以2000亿年,从概率上讲,猴子会打出一首莎士比亚的十四行诗。
这道理很简单:猴子随意踩踏打字机,总会打出一些字母,这些字母随意组合,只要字母足够多,总会有一些单词,只要单词足够多,总会有一些句子,只要句子足够多,总会有一些有意义的句子,有意义的句子足够多,总会有一首诗,诗足够多,总会有一首十四行诗,十四行诗足够多,总会有一首和莎士比亚的作品一摸一样。

这道理简单明了,就是一些概率和排列组合的简单计算。

但是我有一点想不通,猴子比大自然聪明多了,人体比十四行诗复杂多了,猴子胡蒙瞎碰,打一首十四行诗都要2000亿年,大自然胡蒙瞎碰,打造个人体却只用了50亿年。究竟是我疯了,还是达尔文疯了?

现在还不清楚,反正两个人总有一个疯了。

 

 

 

十个著名悖论的最终解答(八)中文房间(The Chinese Room)

引用:
“中文房间”最早由美国哲学家John Searle于20世纪80年代初提出。这个实验要求你想象一位只说英语的人身处一个房间之中,这间房间除了门上有一个小窗口以外,全部都是封闭的。他随身带着一本写有中文翻译程序的书。房间里还有足够的稿纸、铅笔和橱柜。写着中文的纸片通过小窗口被送入房间中。根据Searle,房间中的人可以使用他的书来翻译这些文字并用中文回复。虽然他完全不会中文,Searle认为通过这个过程,房间里的人可以让任何房间外的人以为他会说流利的中文。
解读:

Searle创造了“中文房间”思想实验来反驳电脑和其他人工智能能够真正思考的观点。房间里的人不会说中文;他不能够用中文思考。但因为他拥有某些特定的工具,他甚至可以让以中文为母语的人以为他能流利的说中文。根据Searle,电脑就是这样工作的。它们无法真正的理解接收到的信息,但它们可以运行一个程序,处理信息,然后给出一个智能的印象。
引用完毕。
“中文房间”问题足够著名,这是塞尔为了反击图灵设计的一个思想实验。
机器可以有思想吗?这是一个老的不能再老的问题。图灵问:“有思想”是什么意思?我说它有思想,你不承认怎么办?我们怎么判断一台机器是不是有思想?
于是图灵设计了一个“图灵测试”,图灵认为这是一个可操作的标准——如果机器通过了这个测试,我们就应当承认它有思想。
图灵测试是这样的:把一个等待测试的计算机和一个思维正常的人分别关在两间屋子里,然后让你提问题,你通过提问,通过分析机器和人对你的问题的回答来想办法区分哪一个是机器,哪一个是人。如果你无法区分,那么,这台机器就通过了测试,就证明这台机器和人一样具有思维,有思想——这是一台会思考的机器。

塞尔用中文房间这个思想试验反击图灵——事实上这确实彻底击溃了图灵。
中文房间应当这样说才是正确的:一个不懂中文的人(西方人认为中文就像天书一样难以理解,如果他认为你的话难以理解,就会说:你说的简直就是中文!)被关在一间封闭的屋子里,屋里有一个完整的中文对照表——任何一个中文句子都对应一个其他的句子,事实上对应的那个句子是前一个句子的答案。你可以用中文向这个人提问,问题写在一张纸条上传给这个人,这个人只要查找对照表,找到对应的中文句子传出来就行了。那么,这个完全不懂中文的人,确实像一个精通中文的一样回答一切中文问题,但是他丝毫不“知道”任何一句话的意思。
在此基础上,有人提出了更强烈的反击:把爱因斯坦对任何一个问题的回答汇编成一本书,那么你拿任何一个问题去问爱因斯坦,与翻着本书会得到同样的答案,现在我们能说这本书像爱因斯坦一样会思考吗?

所以转了一大圈,我们还是要回过头来重新审视前面说过的第二个悖论——空地上的奶牛,要重新审视柏拉图的JTB:什么是“知道”?“知道”是什么意思?

 

就像欧几里得几何学中最基本的公理是不能证明的,最基本的概念也是不能定义的。你定义一个概念必须使用其他概念,如果你的定义是合理的、适当的,而不是胡扯蛋,那就要求你使用的概念比被定义的概念更基本。“知道”这样的概念就像“时间”,你不问我,我仿佛完全明白这是什么意思,你要求给出一个定义,世界上却没有人做得到。
按照郭伦凯郭尔的观点:对于那些最近本的概念,你不能定义,但是你可以举例说明。我们刚刚诞生的时候脑袋里没有任何概念,也就不能定义任何东西,但是我们仍然能够形成概念,靠的就是具体的事例。定义能够很好地形成概念,举例也行——这是没有办法的办法。

有人认为我只要看见一件东西我就会知道,那么你要面临以下的困难:
镜子里反映了一只手机的影像,但是镜子并不知道那里有一只手机。
手机的影像反映到我的眼睛了——这与反映到镜子里没有任何区别——然后变成电信号通过神经传导到大脑里,这时候我就知道了这里有一只手机。
问题是:手机的影像反映到摄像机里,然后变成电信号传导到电视机里,电视机为什么不知道那里有一只手机?

下面的问题更尖锐:
假如我像流行小说中说的一样穿越时空跑到秦朝,我拿着手机给秦始皇看:“大王,你看这是什么?”秦始皇会怎么回答?
“我不知道。”
秦始皇明明亲眼看见了手机,他为什么“不知道”呢?

Das曰:除非你脑袋里头首先有必要的相关知识、概念,并且能够使用这些知识、概念对感觉到的事实、现象、真理进行分类整理、分析判断,得出相应的结论,否则你不可能“知道”任何东西。
显然这是康德的观点,但是这不是康德发明的。柏拉图就是这样说的,不可思议的是这观点竟然得到他的徒弟亚里士多德的赞同——这是很不寻常的事。亚里士多德整天扯着喉咙高喊:“我爱我师,但我更爱真理。”只要是柏拉图说的,亚里士多德总要踩上几脚。亚里士多德不可能轻易同意柏拉图的观点,如果他同意了,那肯定是不得不接受。亚里士多德何许人也?当然,我不反对你挑战亚里士多德挑战不了的东西——你虽然没有亚里士多德聪明,毕竟比他有知识的多。

现在我们来看看秦始皇为什么“不知道”:秦始皇脑袋里没有“手机”这个概念,没有关于手机的相关知识,所以他看见一只手机,也不知道这是手机。秦始皇有“物体”、“东西”的概念,他知道这是一个硬的、长方体的东西,但是他不知道把手机这个东西归为“东西”下边的哪一个分类,更不知道它的性质、特点和用途,所以,秦始皇“不知道”手机是什么。

总之,一台计算机无论多么先进,它没有概念、没有知识,它不可能“知道”任何东西,当然永远不可能思考。小孩刚出生的时候脑袋里也没有任何概念和知识,但是他却能够自己形成基本的概念和知识,这一切是怎么可能的?不知道!柏拉图说他生前在绝对的世界中拥有绝对的知识,出生以后他能够隐隐约约地回忆出一些来——这显然是胡扯蛋;康德说这些知识是与生俱来的,不依赖任何经验——这显然是废话,和不说没有什么区别。你非要问这些知识是哪里来的,那么请你参阅das的《童言无忌——我是谁》系列。这篇文章还没有写完,所以没有人完全“知道”。我们知道的是:刚出生的小孩能够在没有任何知识和概念的前提下形成一些基本的知识和概念,人类其他一切知识都建立在这些基本知识的基础之上,这是一个事实。我们虽然知道这个事实、这个真理,但是我们不知道这是通过什么方法和途径怎样完成的,因而我们没有相关的知识。强人工智能的梦想可以到此为止了。你要想让电脑思考,必须给它建立概念和知识;你要想给它建立概念和知识,它必须首先拥有基本的概念和知识,这些基本的知识它只能自己建立起来,你不能给与它——正如你不能给与一个小孩和一只猫。你要想让电脑自己建立基本知识,必须首先明白小孩是怎样完成这一切的,要明白这一切需要什么前提和条件,然后才能考虑把这一切移植到电脑上是可能的还是不可能的。现在我们连小孩怎样建立基本概念都一无所知,谈论强人工智能无异于痴人说梦。

 

 

 

十个著名悖论的最终解答(九)薛定锷的猫(Schrodinger’s Cat)

引用
薛定锷的猫最早由物理学家薛定锷提出,是量子力学领域中的一个悖论。其内容是:一只猫、一些放射性元素和一瓶毒气一起被封闭在一个盒子里一个小时。在一个小时内,放射性元素衰变的几率为50%。如果衰变,那么一个连接在盖革计数器上的锤子就会被触发,并打碎瓶子,释放毒气,杀死猫。因为这件事会否发生的概率相等,薛定锷认为在盒子被打开前,盒子中的猫被认为是既死又活的。

解读:

简而言之,这个实验的核心思想是因为事件发生时不存在观察者,盒子里的猫同时存在在其所有可能的状态中(既死又活)。薛定锷最早提出这个实验是在回复一篇讨论量子态叠加的文章时。薛定锷的猫同时也说明了量子力学的理论是多么令人无法理解。这个思想实验因其复杂性而臭名昭著,同时也启发了各种各样的解释。其中最奇异的就属“多重世界”假说,这个假说表示有一只死猫和一只活猫,两只猫存在在不同的宇宙之中,并且永远不会有交集。
引用完毕

Das在很多帖子里多次谈到薛定谔的猫,这个悖论的重要性不言而喻。薛定谔的猫和麦克斯韦的妖并列为科学史上的两大奇观。不同的是麦克斯韦的妖是一个已经解决的问题,薛定谔的猫至今仍悬而未决。有人说薛定谔猫态在介观尺度早已实现了,有人说哥本哈根解释早已崩溃了,公说公有理,婆说婆有理。很多人不愿意介入这场争论——尽管这是现阶段人类面临的最为重要的问题——不是他们不感兴趣,而是他们根本不愿意花费数年的生命去搞清楚量子力学的基本原理。
Das曾经立志要让毫不懂得量子力学的人在二十分钟之内了解薛定谔的猫,可是我失败了。失败了不要紧,我们从头再来。这一次das不再用现实世界中的例子来比喻,而是用一个如假包换的量子力学的真实事例来说明:
氦原子在元素周期表里排在第二位,它有两个电子。两个电子处于同一个能级,两个电子都在第一层(K层),——按照传统的说法:它们处在同一个轨道上。按照量子力学的说法,这两个电子的“轨道波函数”完全一样——是“对称的”,你别管轨道波函数是什么意思,它就是一个函数,描述电子在轨道上的运动状态。完全描述一个电子的运动状态,光有“轨道波函数”还不行,电子还有一个内在的性质——自旋,用“自旋态”来描述,自旋态不是朝上就是朝下。
量子力学中有一个重要的原理——泡利不相容原理,说的是一个原子中不可能有两个轨道和自旋完全一样的电子(不仅是电子)。如果它们轨道一样——“轨道波函数”一样,“轨道波函数”是对称的,自旋就肯定不一样,自旋肯定“反对称”。
“反对称”是什么意思?
反对称在数学上十分清晰,十分容易理解,但是它的物理意义却没有人说的清楚。氦原子中的这两个电子由一个波函数描述,假如把这两个电子相互替换,替换以后这两个电子组成的系统又有一个波函数描述;如果这两个波函数是一样的,那么这两个电子之间的关系就是“对称”的;如果这两个波函数符号相反——它们的相位因子(你不用管这个概念是什么意思)一个是+1,一个是-1,那么这两个电子之间的关系就是“反对称”。不相容原理要求氦原子中的这两个电子必须是反对称的。
用我们的笨脑子来考虑,这两个电子自旋不是朝上就是朝下,有四种可能性:A上B下;A下B上;A上B上;A下B下。后来两种肯定不行,两个电子自旋状态完全一样;问题是前两种一样不符合要求。如果是A上B下,A、B互换,就成了A下B上。还记得我们在“特修斯之船”中说过的量子力学的全同原理——所有的电子性质都完全一样,A上B下与A下B上没有任何区别,这不符合反对称的要求。
所有四种可能性都不符合要求,现在怎么办?要么说清楚这件事,要么放弃量子力学。量子力学这样解释这件事儿:
这两个电子的自旋肯定一个朝上,一个朝下,但是我们不能明确指出具体哪一个朝上,此时,两个电子不是明确地处于A上B下或者A下B上的状态,而是出于二者的“叠加”状态、“纠缠”状态,用数学表示出来就是:R=1/根号2(A上B下一A下B上)这么一个稀奇古怪的状态。这时候你将A、B互换,就成了:Q=1/根号2(A下B上一A上B下)=-1/根号2(A上B下一A下B上)=-R,这就出现了-1的相位因子,符合了“反对称”的要求。

 

狄拉克说:“量子力学的主要特征是什么?现在我倾向于认为,量子力学的主要特征不是不对易代数,而是波函数(概率幅、几率幅)的存在,波函数的模方是观测到某个量的概率,但此外还有个相位,它是模为1的数,其变化不影响模方,但此相位是极其重要的,它是所有干涉现象的根源,而其物理含义极其隐晦难解。”

“纠缠态”、“叠加态”真的存在吗?或者仅仅是数学对我们不了解的原因给与了近似的描述?
很少有人否认存在一个不依赖我们观察的客观物理世界。我们希望对这个奇怪的世界有一个清晰的解释,并且希望这解释不依赖超自然的前提、本身不包含矛盾。在没有人观察的时候,薛定谔的“魔鬼箱子”里粒子到底衰变了还是没有衰变?按照人类现有的逻辑思维方式:它要么衰变了,要么没有衰变——二者必居其一。但是这不符合量子力学的基本要求,如果真的二者必居其一,量子力学就无法解释双缝干涉实验;按照量子力学的要求,你必须认为这个粒子既没有衰变,也不是“没衰变”,而是处于“衰变”和“没有衰变”这两种状态的“叠加状态”。问题是这种状态不仅我们从来没有见过,要命的是这根本就是不可想象的——无论你想象力多么发达,无论如何也想象不出“既衰变了同时又没有衰变”究竟是一个什么样状态。就算我们从来没见过粒子,我们不能想象粒子奇怪的行为,但是我们见过猫——薛定谔的猫处于“既死又活、既不死又不活”的状态是绝对不可能的。

 

只要你不去追问数学公式的物理意义是什么,量子力学就没有什么问题。其中的数学推导过程简单、优美而又清晰,费曼非常简洁地揭示了量子力学的基本方法:在量子力学中,一个“事件”,就是一套初始条件和终止条件——不多也不少。(就das的阅读范围来看,这句话应当是爱因斯坦原创。)
电子从电子枪出发,经过小孔到达检测器,这就是一个事件A。这个事件A发生的概率由一个数的平方决定——这个数就是薛定谔方程中的波函数Pis,事件A发生的概率就是PisA平方。如果事件发生的方式不止一种(电子枪与检测器之间不止有一个孔——比如两个孔同时打开,事件A的发生就存在两种可能的方式:电子通过这个孔或者通过那个孔到达检测器。)事件A以任一可能的方式发生的概率(通过这个孔或者那个孔到达检测器的概率)为Pis1、Pis2,那么事件A真正发生的概率就是PisA平方=(Pis1+Pis2)平方=Pis1平方+Pis2平方+2Pis1Pis2。你非要问这个电子究竟通过了哪个孔,量子力学只能告诉你:我们不知道——在某种意义上,这一个电子似乎同时经过了了两个孔,而且我们不知道“某种意义”意味着什么。初始条件和终止条件就是一个事件的全部,给定了初始条件:一个电子从电子枪出发,有可能经过了两个孔到达检测器,经过每一个孔到达检测器的概率为Pis1、Pis2,那么量子力学就能够告诉你终止条件:PisA平方=(Pis1+Pis2)平方=Pis1平方+Pis2平方+2Pis1Pis2。2Pis1Pis2是干涉项,它导致了干涉条纹的发生。这就是事件A的全部,你问这个电子究竟通过了哪一个孔,这既不是初始条件,也不是终止条件,所以这根本就不是事件A的一部分。

如果你在小孔中做一次观察——看一看究竟哪一种可能性实际上发生了,而且确实被你看到了电子通过哪一个孔,那么事件A就不再是一个事件,而是两个事件:电子从电子枪出发到达小孔1并且被你观测到,这是一个事件;电子从小孔1被你观测到至电子到达检测器被你观测到,这又是一个事件,如果电子通过小孔1被你观测到,然后到达检测器的概率为Pis1,电子通过小孔2被你观测到,然后到达检测器的概率为Pis2,那么事件A(电子到达检测器)发生的概率就是:PisA平方=Pis1平方+Pis2平方,这里没有干涉项2Pis1Pis2,也就没有干涉条纹。

只要你不问其中的含义,这些数学公式清晰简明,论证有力,量子力学不存在任何问题。你非要问这个奇怪的世界为什么是这个样子,为什么我们不观察或者观察不到——我们不知道电子通过了哪一个孔,PisA平方就等于(Pis1+Pis2)平方=Pis1平方+Pis2平方+2Pis1Pis2。我们只要观测到了或者知道了电子经过了哪一个孔,PisA平方就变成了Pis1平方+Pis2平方,这一切是怎样发生的?为什么会这样?及时聪明绝顶如费曼,也不得不回答:我们不知道。

电子的行为为什么和我们知道不知道有关?我们知道不知道如何改变电子的行为?什么是“知道”?“知道”究竟是什么意思?
我们又要回到那个老问题,我们曾经在“空地上的奶牛”和“中文房间”两个问题的讨论中认真反复地对待这个问题,现在看来什么是“知道”远比我们已经讨论的重要得多、复杂得多。

但是乐观主义者认为没有什么难题能够阻止聪明的脑袋,让我们抖擞精神,从头来过

10.缸中的大脑(Brain in a Vat)
没有比所谓的“缸中的大脑”假说更有影响力的思想实验了。这个思想实验涵盖了从认知学到哲学到流行文化等各个领域。这个实验的内容是:想象有一个疯狂科学家把你的大脑从你的体内取出,放在某种生命维持液体中。大脑上插着电极,电极连到一台能产生图像和感官信号的电脑上。因为你获取的所有关于这个世界的信息都是通过你的大脑来处理的,这台电脑就有能力模拟你的日常体验。如果这确实可能的话,你要如何来证明你周围的世界是真实的,而不是由一台电脑产生的某种模拟环境?

友情提醒: 如果你看到这里 证明你已经看完了    申明  此文是网上一字不差的扒下来的  没有任何修改 不是怕您笑  楼主自己都没看完呢  只是提醒大家  大家可以发表自己的意见 但不要过于激进 不要带有任何感情和攻击色彩 没有这个必要 不说大道理了 任何爆点 源于争论 激烈的争论 鼓励大家提出不同的意见 但不要互相攻击 即使你攻击楼主 楼主绝不会回复 希望大家都能心平气和的 谢谢大家

Five (math) things to do before you die

Five (math) things to do before you die

An interesting question was posed to me recently. If you were told you were going to die tomorrow, which 5 math topics/questions would you be most sad you never got to learn about/have answered? First of all, I must admit I freeze any time people ask me to rank my top five anything. It feels so final, and I really want to think about it carefully before I answer. Also, honestly, if I were told I had 24 hours to live I would be sad and upset but probably not about the math I was going to miss. But that is not the point of the question, I guess. In this post I will attempt to answer this question, with full awareness that I may change my mind in a few days. But I will also pose a few other questions and then leave it to you, my readers, to ponder them.

1. My immediate response to the question was the Riemann hypothesis. Not that given 100 more years to live I would have any hope of solving this problem, but I would like to see it proved in my lifetime. Especially because we are all pretty certain that it’s true.

Of course, then one can go through the list of Millenium Problems and I would add two more things:

2. the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture, and

3. the P vs NP problem.

Again, I am not saying I have any chance of solving them, just that I would like to see the solutions to these problems. But this is where it gets tricky. I basically have a list of three things that probably anyone could have made (these are some of the most famous problems in math!). So how do I add two more things to it? Nothing will seem as important (nothing else I can think of would make you a millionaire!). OK, there are three other millenium problems, but I’m just not as interested in them. So then I started thinking about the math topics I would be sad not to have learned if I were to die tomorrow.

4. I have gotten interested in mirror symmetry and its relation to physics and number theory, so I guess I would be sad if I died tomorrow without learning more about it.

5. Arithmetic dynamics, since I am very interested but kind of new to it.

But doesn’t the list become weak after I add these two things? Anyway, please share your Top 5 in the comments below.

The original question got me thinking about other fun questions on might ask:

– Which 5 math books would you take to a desert island? The funny thing is that I can’t think of a top 5 but I can always think of at least one or two things. For example, I would bring Serre’s A Course in Arithmetic. But of course, if you asked me to bring just one I would be stuck.

– Who are your Top 5 mathematicians of all time? Gauss? Ramanujan?

-Slight variation: which 5 mathematicians would you take to a desert island? See, here I would probably pick some fun/handy mathematicians. I don’t know if Gauss would be very good at building a hut.

– What are the best 5 math formulas? Euler’s formula is widely regarded as one of the most beautiful formulas in mathematics. Do you agree? Can you think of others?

– What are your 5 favorite functions? I know one: hypergeometric functions!

As a final comment, I wanted to say the first question was suggested by my friend Casey Douglas, who is an Assistant Professor at St. Mary’s College of Maryland. He thought of this question as he was preparing a talk for the SMCM math department’s annual “MATH WEEK OF AWESOME”, which sounds, indeed, awesome.

So now I open it to you. Do you have answers to these questions? Do you also find it slightly frustrating when these questions are posed (if so, I apologize)? Can you think of other questions like this?

– See more at: http://blogs.ams.org/phdplus/2012/03/23/five-math-things-to-do-before-you-die/#sthash.y1aLpLP5.dpuf

http://blogs.ams.org/phdplus/2012/03/23/five-math-things-to-do-before-you-die/

红眼睛蓝眼睛逻辑问题

题目设定是这样的,一个岛上有100个人,其中有5个红眼睛,95个蓝眼睛。这个岛有三个奇怪的宗教规则。

1. 他们不能照镜子,不能看自己眼睛的颜色。
2. 他们不能告诉别人对方的眼睛是什么颜色。
3. 一旦有人知道了自己是红眼睛,他就必须在当天夜里自杀。
某天,有个旅行者到了这个岛上。由于不知道这里的规矩,所以他在和全岛人一起狂欢的时候,不留神就说了一句实话:【你们这里有红眼睛的人。】

最后的问题是:假设这个岛上的人足够聪明,每个人都可以做出缜密的逻辑推理。请问这个岛上将会发生什么?

 

 

 

此问题的第一个答案是用数学归纳法得出的:如果这个岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说这句话的第N天,他们全部都会自杀。具体到本题则是,在第5天,这个岛上的5个红眼睛会全部自杀。

证明过程如下:
如果这个岛上只有1个红眼睛,其他人都是蓝眼睛。那么,当旅行者说了这句话之后,此人立刻就会知道自己是红眼睛,他就会在当天自杀。即,当n取第一个值n=1时,命题成立。

假设当这个岛上有N个红眼睛的时候,在旅行者说了这句话之后的第N天,这些红眼睛会全部自杀。

那么,当这个岛上有N+1个红眼睛的时候,在每个红眼睛看来,岛上都确定有N个红眼睛,并等待着他们在第N天自杀。而在第N天,大家都没有自杀。所以一到第N+1天,每个红眼睛都明白了这个岛上还有第N+1个红眼睛——他自己。于是大家都在第N+1天自杀了。

所以命题得证:如果这个岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说这句话的第N天,他们全部都会自杀。

当岛上只有一个红眼睛的时候,在旅行者说完这句话的当天,他就会自杀。这个无疑。

当岛上有两个红眼睛的时候。在旅行者说完这句话的当天,这两个红眼睛都在等着对方自杀,但对方却没有自杀。于是在第二天他们立刻明白了自己也是红眼睛,于是在第二天一起自杀了。

以此往下推理,当岛上有三个红眼睛的时候。旅行者说完这句话,每个红眼睛都在等着第二天另外两个红眼睛集体自杀,但他们没有自杀。所以到了第三天,大家都明白了自己也是红眼睛,就一起自杀了。

如此类推下去。就得出了命题:如果岛上有N个红眼睛,那么在旅行者说完这句话后的第N天,这个N个红眼睛会一起自杀。具体到本题就是,到了第五天,这五个红眼睛一起自杀。

Geek是这样玩飞镖的

http://songshuhui.net/archives/81576

大家可能都玩过飞镖,不过或许只是随便一玩而已,并没有想过飞镖盘上为什么要有如此的数字和图案。正式飞镖比赛的规则是这样的:靶子上的20个扇形区域,飞镖落在某一个的范围内就可以得到相应的分数,最低1分,最高20分。如果能够击中靶子最中心的环形区域,可以得到25分,如果能够击中最中心的小圆形区域,可以得到50分,但这并不是最高的分数。如果能够击中外围的那两圈细环(图中红绿相间),可以得到相应数字的2倍和3倍,也就是说如果飞镖落在了20环扇形区域内的内环红色的一小块,一下子就可以得到60分。

飞镖游戏的一个有趣之处在于,靶子上的数字是按照大小相间排列的,而且越大的数字两边的数字越小,这对于选手的比赛策略和最后成绩有不小的影响。当然,靶子上数字的排布对于两类人是没有意义的,第一类人是百步穿杨的神镖手,想击中20环一定可以击中,完全不必在意20环旁边的数字多少;第二类人相反,飞镖能不能集中靶子都不好说,击中几环完全靠人品,靶子上数字是几也就无所谓了。

对于水平不上不下的人来说,飞镖靶子的数字不按照1、2、3、4……20的顺序排列的原因主要是为了增加游戏的风险,让游戏更加刺激好玩。比如A和B两人在一起比赛,A技艺略高一筹,但是超级骄傲自大,想模仿一回专业选手,每次都尝试朝20环出击,结果很多时候稍稍向右偏出,只能收获1分;B虽然镖法稍差,但是选了左边14、11、8的位置投飞镖,虽然得不到最高分,但也不会太差,最后下来游戏的胜者可能是B,这样把大的分数和小的分数混合在一起的组合方式更容易增加实力弱的选手击败实力强的选手的冷门。

Geek们可以有自己自创的飞镖靶子

据说飞镖的这种数字排列方式最早是在 1896年由一个名叫Brian Gamlin的木匠发明的,一直沿用到今天,不过这个木匠估计只是凭感觉制作出来的。对此,Geek们要从数学上验证一番这种数字排列方式是不是理论上最佳的,并且设计出了在Geek们眼中数学最优化的飞镖靶子。

靶子上的20个数字,如果按照排列组合,一共有多达12亿亿种。什么样的算最好的?仁者见仁,智者见智,不过一个简单的标准是让每个数字与相邻的两个数字都尽量相差的大一些,20个数字和左右邻居相差的绝对值加到一起的和最大,这样的靶子或许就是最科学的。按照计算,相加到一起可能的最大值是200,而我们平时使用的靶子加到一起是198,说明那位木匠的直觉还是不错的。

符合200的最佳组合也不只一种,Geek设计的靶子还可以有多种型号可以选择,你可以设定一个条件,尽管所有相邻数字的差值绝对值之和都是最大的,但是你可以限定任意两个相邻数字之间最小的差值t是多少,Geek都可以给你提供一款。以下是电脑计算的结果:

【最佳的飞镖靶子数字排列】

Geek们可以科学地玩飞镖

Geek们不仅对于靶子有讲究,玩飞镖的时候也有自己的一套策略。斯坦福大学的几位博士学生就发明了一套统计学的方法,只要用智能手机上的一个小程序指点迷津,就可以显著提高玩飞镖的分数。

假设我们还是使用普通的靶子,靶子上的每一个点都对应着一个分数值,如果飞镖落在靶子上每一个位置的机会都均等,获得相应分数的可能性就等于那一块面积占整个圆盘总面积的大小,他们计算发现如果每次飞镖都以均等的概率落在圆盘内的任意一点,平均可以得12.82分。

可现实中,很多人扔出每一个飞镖的平均成绩甚至连12分也不到,等于说这些人还不如一个双眼被蒙住的人随意的往靶子上扔飞镖(只要保证不脱靶就可以)。Geek们经过分析发现,问题主要出现在了玩飞镖的策略不正确上,高手可以每一次都瞄准20环的区域扔,而菜鸟的人物如果每次都这样做,不是5分,就是1分。

扔飞镖可以看成这样一个过程:每次瞄准的位置相当于中心值,然后实际投中的位置与瞄准的位置之间的偏离相当于方差,技术高低就看方差大小了,玩家每扔一支飞镖都相当于这样一个正态分布的随机事件。

这款Geek飞镖程序首先会要求一个参加者每次都瞄准靶子的中心,投50次,然后把成绩记录下来,输入到电脑程序里,程序可以分析出你玩飞镖的水平方向和竖直方向的方差大小是多少,也就是准确度是多少。然后为你建立一个正态分布曲线,利用个性化的概率分布计算一下你瞄准整个靶子哪一个位置的时候,得分的期望值更大。Geek们的程序可以提供给你一张颜色深浅不一位置图,靶子上最亮的部位意味着对你来说,瞄准这些位置,平均得分将是最划算的。

下面这三张图就分别是为方差为5,26.9,64.6准备的”投掷飞镖指导图”,方差为5的选手意味着精确度很高,自然应该瞄准靶子上那些分数最高的小区域;而方差为60多的那位意味着水平很烂,能不能击中靶子都难说,自然应该瞄准靶子中心,平均期望的分数还可以大一些,就不要奢望20分了。对于水平中等的方差为26.9的选手来说,应该搏一下分数高的数字呢,还是瞄准风险较小的区域呢?这张图告诉你应该瞄准靶子上那几块明亮的地方。

如果考虑了不同人的具体特点,比如有的人在竖直方向上准一些,有的人水平方向上准一些,程序也可以给出更加准确的分析图,让你多得上几分,如下图:

Geek们告诉你,玩飞镖比的不仅是眼力,还有智商。

参考资料

1、http://www.jstor.org/stable/2583175?seq=4

2、如何罚点球——隐藏在体育中的数学

3、http://www.wired.com/magazine/2009/11/st_darts/

4、http://www.stat.cmu.edu/~ryantibs/papers/darts.pdf

多项式的根之美

 

 

deg5木遥按:这是美国数学家 John Baez 今年 11 月 14 日在他的网页上贴出来的一篇文章(原文),很快引起了许多人的兴趣。标题中的“根”是指数学中一个多项式的解。如果你还没有忘光你的高中数学课,就应该知道下面这两个事实:任何一个多项式在复数域中必有根,并且每个复数都可以在复平面上对应于一个点。这样,给定一系列多项式,我们就可以把它们的根都画在复平面上,从而形成一些特定的图案。请放心,即使你对多项式毫不了解,也不会妨碍你欣赏这些图案之美的。也许你曾经听说过经典的曼德布洛特集合(Mandelbrot set),那你很容易就能在这里看到某些相似之处。所不同的是,人们对这些新的图案还所知甚少。

下面所有括号中的文字都是我所添加,以帮助不熟悉复平面的朋友了解所说那些的点的位置。每幅图都可以点击放大。


我的朋友 Dan Christensen 发现了一幅令人赞叹的图画(见题图)。它是由所有系数为 -4 到 4 之间的整数的 5 次以下多项式的根在复平面上的对应点构成的。

 

点击图片可以看大图。二次多项式的根是灰色的,三次多项式的根是青蓝色的,四次多项式的根是红色的,五次多项式的根是黑色的。横轴是实轴,纵轴是虚轴,中间的大洞的中心是原点。两侧小一点的洞的中心是 ±1,在 ±i 处和 1 的所有六个虚根出也各有一个小洞(即中间那个大洞上下不远处对称的那些小洞)。

你可以在这里看到许多迷人的图案,给人的感觉是这些整系数多项式的根在竭力避开那些整点和单位根似的,──除非这些整点和单位根本身就是多项式的根。如果你把图案放大,可以看到更多细节:

deg5_closeup

在这里你可以看到,在 1 这个点所在的空白区域周围环绕着一些美丽的羽毛,在 exp(iπ/3) 这个点周围有一个六瓣的星形(即左上角那个梅花形状的洞),还有一条奇特的红色连线把这两个点连接起来,还有很多其他的点周围的星形的洞,诸如此类。

人们应该开始研究这些东西才对!让我们把所有系数为 -n 到 n 之间的整数的 d 次以下多项式的全体根构成的集合称为 Christensen 集 Cd,n,很显然当 d 和 n 越大, Cd,n 这个集合就越大,并且当 n 趋于无穷大时这个集合趋于布满全复平面。如果固定 d, 令 n 趋向于无穷大,那么我们就能得到全体有理复数;如果令 d 和 n 同时趋于无穷大,那么我们就能得到全体代数复数。于是一个有趣的问题就是,如果我们固定 n,令 d 趋于无穷大,会得到什么呢?

在上面这些图片的鼓舞下,Sam Derbyshire 决定绘制一些分辨率更高的多项式根的图片。试验了几次之后,他觉得他最喜欢的是系数为 ±1 的多项式。他把所有 24 次以下的这样的的多项式的根绘制成一副高清晰度的图片,这些多项式一共有 224 个,其根大约共有 24 × 224 个,也就是大约四亿个。他用 mathematica (一个数学软件)花了大概四天时间才计算出所有这些根,得到了大约 5G 的数据。然后他用 Java 语言生成了这幅美妙的图案:

polynomialrootssmall

颜色表示根的密度,从黑色到暗红色到黄色再到白色。上图是低分辨率版本,这里有一个 90M 的文件可供下载。我们可以放大一点看到更多细节:

polynomialroots_closeup

请注意单位根周围的那些小洞,还有圆弧内部的那些羽毛。为了更清楚地观察,我们把下面这些标记出来的区域放大:

polynomialrootscrops

这里是 1 这个点处的那个洞。(即上面最右边那个标记出来的区域。)

polynomialroots1

中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。

然后这里是 i 这个点处的洞。(即最上面那个标记区域。)

polynomialrootsi

这是 exp(iπ/4) 这个点周围。(差不多位于 1 和 i 正中央。)

polynomialrootsexpi025p

请注意,根的密度在接近这个点的时候会变大,然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。

但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案!这里是实轴附近的样子,这个图的中心位于 4/5 点处。(右边数第二个标记区域。)

polynomialroots08

在 (4/5)i 点处的样子就截然不同了。(从上数第二个标记区域。)

polynomialroots08i

但是我觉得最漂亮的还要说是 (1/2) exp(i π / 5) 这个点周围的区域。(剩下的那个标记区域。)这幅图生动的展示出,在我们的数学研究中,规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的,就像从薄雾中隐约显现出来一样。

polynomialroots05expi02

这里有太多东西需要解释了,每幅图片都至少需要一两个定理来描述。如果想看到更多的这类结果,可以参见:

Loki Jörgenson, 限定系数多项式的根 以及 相关图片
Dan Christensen,整系数多项式的根的图案

http://songshuhui.net/archives/23604

Mandelbrot:美丽的分形

http://songshuhui.net/archives/44651

谨以此文悼念分形之父(Mandelbrot)曼德勃罗先生!

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著名数学家,被誉为分形之父的Mandelbrot先生,美国时间10月15日在马萨诸塞州剑桥辞世,享年85岁。他用“美丽”改变了我们的世界观,他被认为是20世纪后半叶少有的影响深远而且广泛的科学伟人之一,1993年他获得沃尔夫物理学奖,他是美国科学院院士,生前还被选为美国物理学会、美国统计学会、IEEE、计量经济学会、数理统计学会等学会的会士。

大概是拥有犹太人血统,他是一位非常另类的科学家,特立独行,喜欢提出新问题和新猜想,他的论文涉及数学、信息论、经济学、金融学、语言学、生理学等几十个学科。曼德勃罗前半生的学术生涯可以用“坎坷”两字来形容,过着打一枪换一个地方的学术“流浪者”的生活,孤独地一个人行走,没有同道,论文几乎都被主流学术界无情地枪毙,被退回的手稿堆积如山。坚强的他选择了创立新的学科,自己开拓一片天地,奇迹终于出现了,1975年他独自创立了分形(Fractal)学,出版了一系列奠定分形学说的著作,赢得了世界性的声誉和学术地位。

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分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意是不规则、支离破碎的意思,所以分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。按照分形几何学的观点,一切复杂对象虽然看似杂乱无章,但他们具有相似性,简单地说,就是把复杂对象的某个局部进行放大,其形态和复杂程度与整体相似。在分形世界中,每个人都可以在身边熟悉的事物中找到戏剧性的新发现,比如“中国的海岸线有多长”?分形学认为这是一个不确定的答案,海岸线的长度取决于你用什么样刻度的尺子进行测量,刻度越细,所测量的海岸线长度就会更长,乃至无限。如今分形学的研究成果已经广泛地应用于物理、化学、生物、地质、农业、金融、艺术等诸多领域,其不规则图形设计理念甚至影响流行文化。

如果我没有记错的话,最早把分形引进中国的是中科院沈阳金属所的龙期威研究员,他首先把分形理论应用于金属断裂的研究,龙期威先生还为在中国推广分形学的研究做出了贡献,这其中最大的“受益者”当属四川大学校长谢和平院士。我至今仍清楚地记得,1989年在金属所举办的全国分形学研讨会,恰好在金属所学习的我经常去旁听,那次研讨会留给我最深印象的不是那些做报告的专家,而是坐在我身边的一位壮汉,他特喜欢提问题,那浓重的湖南音总能引起全场一片善意的笑声,他就是谢和平先生,谁也没有料到日后他会成为一名院士和著名大学的校长,他学术上最大的贡献就是把分形方法引入到裂隙岩体的研究,形成了裂隙岩体非连续行为分形研究的新方向,不夸张地说是曼德勃罗先生的美丽分形成就了谢和平先生。

有学者这样说过:“为什么世界这么美丽,因为我眼睛看到的都是分形”,大到海岸线、山川形状、天空的云朵,小到一片树叶、一片雪花、皮蛋里的花纹,分形无处不在,无处不有。

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6月8日聚会 张益唐问答录

6月8日聚会  张益唐问答录

王军涛:我有一个问题。我是北大毕业的,你觉得北大生活对你有什么影响?

张益唐:从本科来讲,北大养成了我严谨的(作风),给我打下了扎实的基础。但是从现在来看呢,如果还是按照北大原来那种教育方式(这也是很多人关心的就是中国现在的教育方式是好还是坏,杨振宁说好,丘成桐说不好),我认为如果现在还是这个样子的话,那显得有点太陈旧了,可能跟不上新的东西。因为北大是强调那个传统,你要把基本功打得非常非常扎实,这个东西我不否定,这是对的。但是你过于去弄这种,现在数学这几十年发展突飞猛进啊,你可能一辈子都打不完这些基本功。我承认我在做这个的时候,也有一些很新的东西inmypaper在这里头,那是最后两个引理,实际上我是很晚才补上的。在数学研究里,有的时候并不是你要告诉这个结果,一页一页一个字一个字看是怎么证明的,这可能跟技术物理还不太一样啊,有时候你要是对它有一种感觉,这个东西它的意义在哪里,你怎么去用它。我觉得中国至少原来的大学教育(现在的我不敢说)在这方面是比较缺的。

西诺:最近有个评论说,你在证明这个数学难题时用的是经典的证明方法,而并非是最新的数学技术,请问你为什么要采用这种方法呢,在这方面你是不是有自己另外的想法呢?

张益唐:这个取决于问题本身,看它是属于什么范围里的问题。你能够引进新的方法当然也好,但要看解决什么样的问题用什么样的方法最适合,而不是换一个新办法。这种东西用这个办法解决是有效的,但是你换另一种办法可能根本就用不上。另外他说我用的是经典的办法,其实这不对,我刚才提到在我证明最后一部分其实用的是很新的东西,前面大部分都是经典的,但最后一部分用的很新,而且是从完全不同的学科引过去的,那学科叫代数几何Algebraic Geometry,这个问题本身是数论领域的,但我用的别的东西。

HL先生:我在网上看到,你早先的博士论文是做代数几何的(张:对)。你刚才说的经典的那些是指筛法吧,(张:对)我原来记得在陈景润做1+2时,魏伊说这达到了筛法的顶峰。但你的结果说明那还不是顶峰,你能把筛法加上后来的代数几何。

张益唐:这要看是怎么评论了。因为这个问题跟陈景润所做的,尽管很相近,一个孪生素数,一个哥德巴赫猜想,但treatment还是不一样

HL先生:也许你所做的意义更大,难度可能各有千秋。但你等于是证明有这回事,让大家不要做了,以前都没有这个具体的数值,现在有了七千万这个数,至于能不能压到2是另外一回事。

张益唐:是的,有这回事,有个七千万了(指素数对的差距已缩小到此)。但能不能跟他比,我想按中国人说法就是见仁见智吧,我自己不能说做的比他(指陈景润)好。

陈小平:我脱开数学问个问题,看报道说你很长一段时间都消失了。刚才听胡平说,你除了数学以外,还有很多非“书呆子”的爱好,那么在此期间到底发生了什么事呢?为什么消失了呢?

张益唐:那段时间的事其实报道中有提到,谋生的问题暂时在那里。至于消失的话,其实在我这次出来之前,(名字)上网、上自然杂志以前,我和过去很多同学没有联系,没有时间也没心思。但现在一上了网,他们当然就找到了我。所以像这种报道呢,上海文汇报比中国青年报早两天在5月16号抢在前面报道了,讲的基本上还是符合事实,但是很多细节似乎有出入,我也不会去解释,也解释不过来。

李进进:提一个中国文化的问题。我读中文报道对你解答的问题所做的解释,不易看,可是我看胡平转给我的一篇关于你的英文报道,虽然很短但解释的很清楚。我自己也曾反思过中国的文化传统好像和现代的数学不搭架的,没有桥梁。我和儿子讨论,中国语言上也不可能和现代数学有关系,也不可能解决现代数学的问题,但我觉得假如中国的文化、语言都和现代的数学没有关系的情况之下,为什么中国人的头脑可以达到今天数学的顶峰?

张益唐:我只能说前一部分是个事实,中国的传统文化上没有产生(现代数学的因素),中国有古代数学,比如说代数,就是算,很实用。但是中国从传统上,古代数学方面根本没有产生过像古希腊那样辉煌的成果。比方说,历史上第一个研究素数的是欧几里德Euclid,他就是能够证明,用反证法,证明存在无限多个素数。我很怀疑在中国古代数学里有没有素数这个概念。再比如勾股定理,西方叫毕达哥拉斯定理Pythagoras Theorema^2+b^2=c^2\!\,,

毕达哥拉斯是把这个定理证明了,而且据说他证出来之后杀了一百头牛来庆贺。中国有勾三股四弦五这句话,但好像没有人把它作为定理证明出来。中国文化到了后来可能与政治制度有关系,聪明人都去考科举,学而优则仕去了,这可能也是一个原因。中国传统没有产生很辉煌的数学并不等于中国人就不适合搞数学,这是两回事。这里有一个很有意思的,我也没法解释为什么。中国最早搞高等数学、微积分的是比华罗庚还要早一辈的姜立夫、熊庆来,他们只是到美国、欧洲接受了我们现在大学本科一般的数学教育,回国后中国也有自己的数学教育了,很快下一代就有一批中国人,在数论就是华罗庚,在几何学是陈省身,马上就表现出在世界上他们是第一流。日本也是这样的,明治维新19世纪后半期以后也是派出一批最优秀的人学习现代数学,后来就成为世界上著名的数学家。所以一个民族有好的数学传统的话,对数学会是一个推动,而且推动力会很大。但反过来讲,如果一个国家、民族原来缺少数学传统的话,并不能推出以后一定出不了大的数学家。

张菁:你是中国民联最老的成员,我非常荣幸今天看到这么多民联的老成员在这里,前主席徐水良也来了,这很少见。我的问题是,你对中国民主运动还有什么兴趣去关注,你对中国民联有什么寄望吗?

张益唐:第一,我不是民联很早的成员,不算太早,1989年那时加入的;第二,我作为一个独立知识分子,我的政治理念不会改变,也不会因为大陆不管是捧我还是怎么对我,我的基本理念不会改变。至于具体参与,因为现在我也很长时间没参与了,我想将来也没有太多机会去参与。

(众插话:还是好好去做数学。)

金钟:您有没有可能在三分钟之内用中文再给我们说一遍,您这次解决的数学难题究竟是怎么回事?

张益唐:首先,我们知道什么是素数,它是只能被它自身和1整除。我证明存在一共有无限多素数对,他们之间的差呢不会超过7千万。

杨巍问:你以后有没有这样的研究方向,就是把这个数(素数对之差)再缩小,因为它有下限是2嘛?

张益唐:关于我的办法,我在论文里不断用considerably reduce,就是还能再缩小很多很多,这是肯定的。我自己也试过,就是我这个办法到底能减到多少,但最后太复杂了,我太累了就算了。但仅限于我的办法是不可能减少到2的。具体能减到多少呢,我现在也说不出来。

王军涛:你今天能不能也提出一个猜想?

张益唐:没有猜想,但我倒是有个现实面对的问题,怎么样能出名了后还不受干扰?

王军涛:胡平刚才已经讲了,你有这个素质。

李进进问:你解决这个问题的意义到底是什么?

张益唐:我只能说,这是一个纯理论性的问题,没有什么意义。Google请我到纽约大学去讲,我不敢接受,就是怕他们问我这个证明有什么实用价值。这样纯理论性的问题我现在觉得一点实用价值都没有。

张先生:几年前我们在胜平家聚会时,你跟我说你在思考另外一个问题,那你现在对孪生素数猜想的解决是你顺带写出来的吗,还是你当时也在思考这个问题?

张益唐:我其实是一直在做两个问题。孪生素数想了很久没做出名堂,但去年夏天当我觉得能做出来以后,我觉得应该把别的问题先停住,因为这个问题毕竟只差了一点点,如果让别人先做出来就可惜了。我现在希望回到我原来的问题上。

张先生:数学家总是不公开说自己在做什么研究,在写安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的书中我看到说他突然失踪了,不让别人知道他在研究那个问题,我想问数学家这样做是出于什么样的心态?

张益唐:这就是要concentration不受干扰。比如,像我是装模作样已经做出一个结果,就有人会盯我,你要做什么,下一步是什么,我只能说sorry,I don’t like it, I may not mention.我不愿意让人知道,这很正常,除非你想跟别人合作。如果你就决定单独做而不是合作的话,就不要让别人知道,否则的话噪音会太多。我想数学是这样,别的学科我不知道。

王军涛:你在做出这个结果之后,获得这么多赞誉,你自己内心发生什么变化没有?

张益唐:我觉得我的内心没有任何变化。因为有这样一个前提,我刚才说为什么高兴:为我能解决它而高兴,为它能很快得到承认而感到高兴,第三就是正如普林斯顿的教授Peter Sarnak所说以前离这个证明只差头发丝一样短的距离,几年前很多人都想做这个问题,但几年下来别人都giveup了,但我坚持下来了。我为这三点而高兴,而不是为任何其他事情感到高兴,比如名利双收等,别人问我,我就说这本来就不是我要的东西。

西诺:现在有没有大陆的大学和研究机构邀请你回去做研究?

张益唐:有,中国科学院、北京大学、清华大学、浙江大学等等。(追问:那你的打算呢)短期内我不会回去,也不会全职回去,这不是因为政治原因。原来我也知道大陆学术界的一些状况,很多人也在批评那些问题。“人在江湖,身不由已”,我现在出了名,好像也在江湖里了。最近一段时间呢,我才知道,我回去啊,有些事情不是说我不想去卷入,怕引起人事纷争,但我要回去了,不想卷也跑不了纷争。我在国内时的硕士生导师也在为我想,他说的不那么直接,但我已经知道这个意思了。现在有北大、清华、中科院数学所,那我回去就有一个问题,演讲的第一站选在哪里?到北大,清华不高兴;到清华,北大不高兴。但从我原来学校来讲,supposed我应该先回趟北大,是母校嘛。有些派系纷争,我这里也不好说,了解不深。在美国,纽约时报、波士顿环球报、NPR已经报道了我,剩下报道的一般是科普杂志,所以在美国我觉得我还是我。但回了中国大陆,我就不是我了,为什么说这个话呢?顺便说一下,前几天丘成桐教授他要拉我回去,他在中国和清华合办了研究所,所以他是清华的。后来因为签证上一点误会什么的,本来时间也很紧,我就没有回去,但是后来我想幸亏没回去。清华来人说给我回去的接待是以最高科学家规格,要走贵宾通道。我说给我买经济舱的机票就好了,他说这一次要商务舱,然后由副校长到机场迎接,住清华最高档的宾馆。给我看他们排的schedule,今天跟校长晚宴,明天下午在某某大概是最高的演讲所做演讲。我看了就想一个问题,我要演讲,你给不给时间让我准备啊,如果整天就是吃喝的话。我还是我,如果我过去说这些东西不是我要的,那现在还不是我想要的。我不需要高官厚禄之类的东西,那对我不重要。我希望能静下心来,我有我自己的时间。但我回国的话,可能一出机场就会被记者围住,我对此有顾虑。

魏碧洲:一个道歉,然后一个问题。先前《世界日报》的报道把你的名字写错了,英文名字上应该是Y开头,结果写成T开头。按照美国学校现在的研究范例,你有这样大的publication,那你在NewHampshire待一阵子后有没有考虑换学校?或者说别的学校会用更好的条件来请你?当然在做数学,不像跟做化学、生物科技一样需要更多的经费、设备、人才,你是单枪匹马的,那你觉得是不是到任何地方都可以。比如普林斯顿请你的话,你会考虑这样的异动吗?

张益唐:我会考虑的。因为这个成果出来的时候已经是5月份了,从财政年度来讲,各个大学已经把下一年的排定了,很可能明年会来很多offer,我会考虑。但是我做这些其实还是自己一个人做,还没有找到很好的partner跟我合作,也许这是我的个性。看什么地方对我做学术有利,我把这个放在第一位。

于大海:很高兴见到益唐,首先是祝贺你的成就。前几年有一个俄国的数学家佩雷尔曼(Grigori Perelman)解出了庞加莱猜想Poincare Conjecture,然后他也不接受任何奖金、荣誉啊,他说数学界不公平。想问你的感觉是怎么样?

张益唐:我不清楚他说的这个数学界不公平是什么意思。我以前看到他为什么不接受解决庞加莱猜想的奖金、荣誉,是说他认为哥伦比亚大学的数学教授汉密尔顿(Richard Hamilton)在这方面也做过很多贡献。汉密尔顿是研究Ricci flow的,与微分方程、几何有关,他研究了近20年,其中丘成桐也起过作用,他见到汉密尔顿后说Ricci flow可以用来证庞加莱猜想,汉密尔顿去做了但最后的关键地方卡住了,一点都做不动了。佩雷尔曼就是一个人在圣彼得堡而不是莫斯科做了好几年,我和他有点像,他一个人最后做出来了,就把结果放在网上提醒他的朋友去注意这个,于是轰动的不得了,他被请到美国来,在波士顿的MIT、纽约大学、Princeton都做了演讲。可是他个性也许是孤僻,有记者对他拍照时用闪光灯,他就说别照别照,有人问他庞加莱猜想有没有实用价值,他听了勃然大怒,怎么会有人问这种愚蠢的问题。后来他受不了了,就回到俄国,拒绝国际数学家大会和克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)给他的奖,他和谁都不联系,也许现在做黎曼假设呢。

王军涛:你觉得数学研究跟年龄有关系吗?

张益唐:Depends.传统说法是,数学研究是年轻人做的,过了一定年龄就不能做了。但是现在的趋势有点不一样了,十几年来最好的几项数学成果,比如费马大定理、庞加莱猜想的解决者都不是很年轻。现在的数学越来越难,如果不是全神贯注投入很多年,很难的。传统的话,你看20世纪最大的数学家,希尔伯特(David Hilbert)、庞加莱(Poincare)他们从未停止过,五六十岁时照样做(数学研究)。这可能也是看人。

陈小平问:看一些资料,你在关注三个问题。你的博士论文是做雅可比猜想,现在孪生素数猜想你取得突破,还剩下黎曼猜想。那你在雅可比猜想以后会取得进展吗?

张益唐:我只能说我做的同黎曼假设有关,我有可能会转到别的问题上去。

******

胡平介绍德比夏尔(John Derbyshire):著名的作家,其著述题材广泛,涉及政治、历史、科学、还有中国,体裁多样,小说、传记,政论都有。关于素数领域,他写过《素数之恋》(Prime Obsession),赢得美国数学学会首届欧拉图书奖,2008年翻成中文,也广受好评。他对中国、对民运也很关心,2001年12月19日王若望先生病逝,2002年1月3日他就在美国著名政论杂志《国家评论》(National Review)上发表文章,向英文读者介绍王若望先生并给予高度评价。现在请他讲话。

德比夏尔:谢谢.对不起,我说中国话说的不太好,都忘了,所以我说英语。

谢谢为我的数学书做广告,我希望能尽快再写一本。不过我有一本小说《来自太阳的火》马上就能在Kindle上面世,这是关于以前的民主运动和活动家们的。但我要提醒你们,这部小说很长很长,因为我把我所有的兴趣都融入其中,包括数学、华尔街、意大利歌剧及中国戏剧,还有西藏等其他我感兴趣的话题,所以这部小说很长但会很好看。小说名来自一个古老的希腊传说,普罗米修斯因为盗火而受到惩罚。

好了,我不能再为自己做广告了。作为一名数学专业的老毕业生,我非常荣幸今天能同张教授坐在一起。虽然在数学领域很难取得重大进展,但张教授取得了卓越的优美的成果。如果你们看他的论文,就知道他向我们表明存在一个小于七千万的数(来解决孪生素数猜想),我们实际认为这个数应该是2,所以如何从七千万压缩到2还有很长的路要走,但比起另外一个类似的难题来说,这段路不算最坏的。在数学的另外一个领域也有一个很难的问题,现在我们已经知道存在一个数字,葛立恒数(Graham’s Number),这个数字如此巨大以至于难以用语言形容,但我们相信实际答案应该是6,所以与之相比在数学界张教授的工作不算最坏。再次恭喜张教授取得非凡成就。我很高兴来到这里,也很高兴同一些老朋友再见面,我们20多年前就相识可后来失去联系。

德比夏尔:Thank you very much.对不起,我说中国话说的不太好,都忘了,所以我说英语。Thank you for advertising my mathematics book. I hope to have another one coming out soon. And I also have a novel which will appeal to the old democracy movement and activists called “Fire from Sun” which you can get on KINDLE. But I warn you it is a very long novel, because I put my all obsessions into it, including mathematics, Wall Street, Opera (both Italian and Chinese), and Tibet, several other of my obsessions all in the novel which makes it very long , but it’s very good. The name is “Fire from Sun”,从太阳来的火。It is from an old Greek story about God, about Prometheus who stole some fire from sun and was punished for it. I don’t want advertise myself.

is an honor for me, an old math major to be sitting here with Professor Zhang .He just does a remarkable thing, wonderful thing, in the field of mathematical where it is difficult to make much progress.

If you understand his paper, you will understand that he has shown that there is a number, which solved this problem, and the number is less than seventy million, actually we all believe that number is 2. So we have some distance to go, from seventy million down to 2. But that is not the worst situation in mathematics. There is another difficult problem in a different area of math, and we know there is a number that solves that problem. But the number is so big you can’t even express it, beyond millions, beyond trillions. It has a special name, Graham’s Number , a very very big number. But we actually believe that the true solution to this problem is 6. So this is not the worst case in mathematics. But it is marvelous achievement. I congratulate Professor Zhang, it is an honor to be here with him and it is very happy to make some old friends who I have known for twenty years or more, although we lost in touch.

It’s pleasure to be here. Thank you.

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作 者 :张益唐 等
出 处 :北京之春
整 理 :2013年7月8日20:26

混沌,又一次数学之旅

http://songshuhui.net/archives/78893

大家还记得几年前的数学电影《维度》(Dimension)吗?前不久,《维度》的原班人马推出了新作:《混沌》(Chaos)。里昂高师的 Jos Leys, Étienne Ghys和Aurélien Alvarez,又一次为我们带来了一场精彩的数学之旅。

上下求索

洪水、地震、旱灾、疫病,远古先民遇到这些灾难时,只有束手无策,而这些灾难来得又是如此突然。于是,预测未来的冲动就深深地植根于人类内在的渴望。卜筮、占星、巫祝,这都是先民掌握自己命运的天真尝试。

但天真的尝试有时是理性分析的开始。从占星脱胎而来的天文学,在17世纪初,第谷和开普勒的努力,向人们揭示了天体运动的某些规律。原来一度象征着天意那些不可捉摸的星辰,在天文学家的努力下,渐渐褪下神秘的面纱。

牛顿则将对自然的探索推上了新的台阶。原本人们以为,处于众神居所的天体,必定不受凡尘俗世规则的束缚。但牛顿力学与万有引力理论却说明,天体和苹果都遵守着同一套物理规则,万物平等。有了牛顿力学,再加上他和莱布尼兹发明的微积分,人类似乎拥有了梦寐以求的预言未来的能力。自此,人们对科学愈加重视,冀望有朝一日摸清自然的规律,从而预知甚至改变未来。

为了达到这个目的,数学家发展了一整套数学工具。他们将微积分拓展到多维空间,甚至一般的流形,用以描述更加多变的模型。计算工具也从原来的常微分方程拓展到偏微分方程,而计算的不仅是数字,还有向量。时至今天,在这些模型的基础上,人们对自然规律的数学探索已经演化为数学的重要分支之一:动力系统。

无处可寻

但知道规律并不代表能预见将来。

举个例子,桌球的物理规律并不复杂,牛顿力学足以解释。但要从桌球开局的一击推断球的最后分布,却是难上加难。

这其中有两重原因。

第一,虽然理论上,如果知道击球的准确力度,就能精确计算出之后每个时刻每个球的位置和速度,但桌上的球数目众多,之间所有可能的碰撞实在难以预计。所以,虽然理论上的计算是可行的,但实际操作中却是困难的。这就是多个客体相互影响所带来的复杂性。

第二,从日常经验中,我们知道即使击球的力度稍有改变,或者球的摆放稍有差异,甚至是桌布上的一点点灰尘导致的偏离,也会给击球的结果造成非常大的影响。换句话说,桌球这个动力系统对于微小的扰动是敏感的。

微小的扰动可能给系统带来巨大的影响,这种敏感性的学名,就叫混沌。用“差以毫厘,谬以千里”来描述这种现象,恐怕是再合适不过了。

最简单而引人注目的混沌,莫过于三体运动。仅仅三颗星体的运动,就能变得复杂而眩目。这种复杂曾令数学家们在百年间困惑不已。如果只有两个天体,那么一切是多么简单,18世纪的伯努利就已解出了运动的所有可能轨迹,用合适的坐标,就能用简单的曲线描述。但仅仅是多了一个天体,就要等到19世纪的庞加莱,才给出了差强人意的答案:没有漂亮的解(正式术语是三体系统是不可积的)。这并非因为人类的智慧所限,而是从本质上来说,三个天体之间的运动轨迹不可能用简单的式子表达。自然并不像原来期盼的那么简单,它的复杂性令人绝望。大刘《三体》中的三体人,大概最明白这一点。

但正是这种复杂性孕育了无数可能。并非所有三体系统都不可理解,通过合适的构造,我们可以得到一些会沿着既定曲线运转的系统。通过合适地安排速度和位置,我们也可以使其中一颗星体按照任意给定的顺序探访其余两颗星体。但这些系统是如此脆弱,一点点扰动就会打破微妙的平衡,后果可能是其中一颗星体被抛射出去,从此分道扬镳。实际上,我们连我们所在的太阳系的稳定性都不清楚,不知道数百万年后,木星和土星的巨大质量会不会将其它行星,包括地球,抛射到广袤的恒星间空间中。这种事情曾经发生过,而由于混沌,我们不可能完全确定这不会再度发生。混沌,似乎代表了无尽的不确定性,以及所带来的恐惧,就像我们的先祖曾感受过的那样。

失而复得

但也许并非一切都不可掌握。

三体系统只是一种特殊的动力系统。除此之外,在生活中能遇见的动力系统还有很多,比如说天气。天有不测之风云,天气系统涉及整个地球上所有洋流和大气、速度和温度,比起天体的运转更要复杂得多。时至今天,天气预报仍然是个大难题。

对于这种复杂的难题,科学家的第一个想法总是先将它简化。由易到难,由浅入深,这是科学家的一贯作风。“一切应该尽量简单,但不能过分简单”,这是爱因斯坦的话。

如此看来,气候学家洛伦茨在1963年论文中提出的天气模型,恐怕属于“过分简单”的范畴。天气系统如此复杂,用数百万个变量来描述都不为过,但洛仑兹将其压缩到了三个变量:x,y和z。这只是一个玩具模型。

但实际上,这个玩具模型对于他的论点来说,也许恰到好处。以前的天气模型大多是线性的,没有过多考虑各种因素之间的复杂关系,洛伦茨早已对此有所不满,认为这样简单的模型无法描述多变的天气。而他的玩具模型,尽管只有三个随着时间变化的变量,但变量之间却有着非线性的联系,很好地诠释了因素之间的相互影响。

就在这样简单的玩具模型之下,竟然也出现了混沌现象。而且这种现象似乎是普遍的,因为在三个变量取值的大部分可能性下,系统演变的轨迹都会渐渐趋近于同一个产生混沌的区域,就像磁铁吸引着图钉,混沌的行为成为了必然。这就是人们发现的第一个混沌吸引子:洛伦茨吸引子。它的形状,就像一只蝴蝶。这大概也是洛伦茨将这种混沌的现象称为“蝴蝶效应”的原因。一只南美洲蝴蝶的扑翼,在蝴蝶效应的放大下,也许可以引起得克萨斯州的一场飓风。天气不可能准确预测,因为天气是混沌的,微小的扰动在长远看来是不可忽略的,而我们又无力去追踪无数的扰动,只能一边预计,一边修正。

但也许并非一切都不可掌握。除了蝴蝶效应以外,洛伦茨吸引子还有另一种特性。对于几乎任意一种初始状态,也许我们不能描述系统的具体运行轨迹,但当时间趋向于无穷时,我们可以知道系统每个变量处在不同区间的可能性。我们不知道变量具体的值,但是知道变量的值处于某个范围的概率,而这个概率不依赖于初始状态。用行话来说,洛伦茨吸引子具有某种测度。即使我们不能精确预言系统的未来,但我们仍有希望知道某种未来发生的概率。

遗憾的是,并非所有动力系统都有这个特性,尽管这种特性可能相当普遍,可能对于绝大部分的动力系统,包括天气、星系甚至社会,都有着不依赖初始状态的概率测度。但我们的认识仍然太浅薄,难以给出哪怕是模糊的答案。探索,才刚刚开始。

最后,我们以影片中引用法国博物学家布丰的话作结。对于混沌,也许这是再适合不过的描写。

“一切相互影响,因为时间,一切将会相遇。而在自由延伸的空间,以及无限延续的运动中,所有物质缠绕着,幻作所有形状,映出所有轮廓。一切且近且远,且聚且散,且合且离,且生且死。而这全因那些或吸引或排斥的力,只有它们是永恒的。它们不知疲倦地摇摆着,使宇宙焕出活力,成为一座舞台,用不断重生的实物演着常新的戏码。”


影片在线观看地址

Youtube(英语,有中文字幕): http://www.chaos-math.org/en/film

Youku(中文字幕):

http://v.youku.com/v_show/id_XNTAwNzg1MzI4.html

http://v.youku.com/v_show/id_XNTAwNzg3NDIw.html

http://v.youku.com/v_show/id_XNTAwNzk0NjQ0.html

http://v.youku.com/v_show/id_XNTAwOTMyMjUy.html

http://v.youku.com/v_show/id_XNTAwOTQ5MTIw.html

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http://v.youku.com/v_show/id_XNTAxMDQ5Nzg0.html

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素数并不孤独

http://songshuhui.net/archives/82114

数学是科学的女王,数论是数学的女王。

——高斯

 

 

数论,是研究数字的一门数学分支。如同大海,它清澈透明而又深不见底。它的基础概念,自然数、加法、乘法,每个小学生都清楚;但关于自然数的定理,却可以让人穷尽一生而不得其解。而这篇文章要介绍的,只是这个广阔海洋中一个小小的海域。即便如此,我们仍未知道此处海深几何,尽管最近张益唐的突破性工作,使我们比以往更接近真理,但这远远不够。

尽管笔者才疏学浅,有恐贻笑方家。但如能为读者勾勒出一点点数学之美,也不枉费一番心思。

素数何时成双对

可以说,素数是数论中最基础而最重要的概念。如果一个大于二的正整数,除了1和它本身之外,不是任何数的倍数,那么它就是一个素数。比如说,6不是一个素数,除了1和它本身以外,它还是2和3的倍数;而5则是一个素数。

在古希腊,人们已经有了素数的概念,对素数的研究也略有所得。在欧几里德的《原本》中,第七、八、九篇讲述的是“关于整数及其比值的性质”,实际上也就是数论。在这几卷中,欧几里德指出了今天所说的“算术基本定理”:将自然数分解成素数乘积的方法是唯一的。也就是说,如果用乘法的眼光来看自然数,那么素数就是自然数的最小组成单元。它们不能被分解成更小的数的乘积,而所有自然数都可以分解成它们的乘积。

那么,我们自然要问:素数作为自然数的组成单元,它们有多少个?

有无限个,欧几里德不仅回答了这个问题,还给出了一个经典的证明。

不妨反设只有有限个素数,考虑它们的积N,它是一个有限的自然数。所以,N+1也是一个自然数,它也应该是一些素数的积。但根据假设,每一个素数都不整除N+1,这不可能!所以,素数必定有无限个。

这个精巧的证明,是人类探寻素数奥秘的第一步。

2、3、5、7、11、13……最初的几个素数,要找出来并不困难,但随着数字增大,如果一个一个数字按照定义去筛选是否素数,工作量会很快变得十分庞大。同为古希腊数学家的埃拉托色尼,给出了一个比较省力的算法,后人称之为埃拉托色尼筛法。

首先,列出从2开始的数。然后,将2记在素数列表上,再划去所有2的倍数。根据定义,剩下的最小的数——在这里是3——必定是素数。将这个数记在素数列表上,再划去所有它的倍数,这样又会剩下一些数,取其中最小的,如此反复操作。最后剩下的都是素数。

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【埃拉托色尼筛法,图片出处:维基百科】

当古希腊人用这种方法计算出长长的素数列表时,他们也许也曾惊异于素数分布的秩序缺失。这些自然数的组成单元,在自然数中的排列却毫无规律,时而靠近,时而疏远。用类似欧几里德证明中的构造,我们知道,两个相邻素数之间的距离可以要多大有多大。而随着数目越来越大,相邻素数之间的距离似乎也越拉越长。

在无限延伸的自然数集中,向无穷的地平线望去,虽然仍有无穷的素数,但它们似乎也愈变孤独。

这种孤独甚至是可以度量的。在十八世纪的尾巴,年仅15岁的高斯独立提出了一个猜想:在n附近素数的密度大约是n的对数。也就是说,相邻素数之间的平均距离大概与它们的对数成正比,虽然增长很慢,但却义无反顾奔向无穷。但即使是高斯,也无法严格地证明他的猜想,要等两个世纪后的阿达玛(J. Hadamard)和德拉瓦莱普森(C. J. de la Vallée-Poussin),才能将这个猜想变成现在的“素数定理”。

虽然如此,偶尔也会有成对出现的素数,它们之间只相差2。像这样成对出现的素数,在那些孤独的同伴看来,无疑是异类。

它们被称为孪生素数。

漫天星河难理清

一个自然的问题是,孪生素数有多少?

孪生素数猜想断言,有无限对这样的孪生素数。但还没有人能严格地证明这一点。在1849年,数学家A. de Polignac甚至猜想,对于任意的偶数2k,都有无数对相邻的素数,它们的差恰好是2k。

这不是一个容易的问题。素数是乘法的产物,而孪生素数的定义则涉及到加法。即使只是加上2,也需要同时用到自然数的加法和乘法的性质。而在数论中的很多看似简单但无比困难的问题,比如哥德巴赫猜想和华林问题,核心也在于加法和乘法的交织。这种相互作用给数论学者们带来了无穷的头痛,以及对咖啡的无尽渴求。

与此同时,行外人的评价却似乎异常中肯:“为什么素数要相加呢?素数是用来相乘而不是相加的”。

当然,如果只将素数用在只与乘法有关的问题上,事情当然简单得多。但如果我们想要更多地了解自然数的玄机,那必然涉及到加法和乘法的相互作用。缩在“容易”的圈子里从来无补于事。如同探险家一般,数学家也有着征服难题的渴望,因为在那困难的山巅上,有着无尽的风光。为了难题产生的新方法、新思想,可能会开辟出意想不到的新天地。

Ulam's Spiral

【画在平面上的素数分布,图片出处:维基百科】

孪生素数的难点在于,它是一个关于素数的具体分布的问题,而我们对素数的具体分布知之甚少。素数定理只告诉我们素数的大体分布,而对于具体一个个素数的位置却无能为力。如同繁星,素数点缀着自然数的夜空,放眼望去,它们朝向无限的地平线愈见稀薄。但要想分清这无限繁星中的每一颗,即使用上最好的望远镜,也无可奈何。

所以,在很长一段时间里,对于孪生素数猜想,人们仍然停留在揣测和估计的层面。

首先尝试直接猜测的,是英国数学家哈代(G. H. Hardy)和李特尔伍德(J. E. Littlewood),他们在1923年开始了一系列的猜测。

G. H. Hardy

【霸气的哈代,图片出处:维基百科】

素数定理告诉我们,对于足够大的自然数N,在N附近随机抽取一个自然数n,它是素数的概率大概就是(ln N)^{-1}。那么,在同样的区间,随机独立选取的两个数都是素数的概率就是之前概率的平方,也就是(ln N)^{-2}

那么,在N附近随机抽取一个自然数n,n和n+2是一对孪生素数的概率是否就是大概(ln N)^{-2}呢?很遗憾,并非如此,因为n和n+2并非完全独立的,所以不能直接应用之前的结果。不过这个估计虽不中亦不远,只要乘上一个修正系数,借此表达两个数相差2的性质,就能得到对孪生素数密度的估计:2C_{2}(ln N)^{-2}。在这里,修正系数C_{2}是一个关于所有质数的无穷乘积。如果密度确实如此,那么显然有无限对孪生素数,孪生素数猜想应该是正确的。

实际上,这是所谓“第一哈代-李特尔伍德猜想”的一个特殊情况,难度甚至远高于孪生素数猜想:它不仅隐含了孪生素数猜想,而且对具体的分布作出了精细的估计。虽然上面的论证看上去很诱人,但它并不是一个严谨的证明,因为它的大前提——素数是随机分布的——本来就不成立。素数的分布有着深刻的规律,远远不是一句“随机分布”所能概括的。

但哈代和李特尔伍德并非等闲之辈,作为当时英国的学科带头人,既然提出这个猜想,当然经过了深思熟虑。现在看来,依据之一是,望向无限,素数的分布的确看似随机:对于那些“简单”的操作(比如说加上2)来说,数值越大,越靠近无限的地平线,看上去也越“随机”。所以,在考虑各种素数形式的分布时,假定素数按照素数定理的密度随机分布,不失为一个估计的好办法。更为重要的是,数值计算的结果也与哈代和李特尔伍德的猜测所差无几。这更增添了我们对这个估计的信心。

然而,猜测只是猜测,不是严谨的证明。无论用数值计算验证到什么高度,有多符合,对于无限而言,都是沧海一粟。李特尔伍德本人就曾证明过一个类似的结论。

人们此前猜测,小于某一个数N的素数个数π(N)必定小于所谓的“对数积分”函数li(N),而根据素数表,这个规律直到10的14次方都成立。但李特尔伍德在1914年证明了一个惊人的结论:对于足够大的N,不仅π(N)可以大于li(N),而且它们的大小关系会无穷次地逆转!但直到今天,对于第一次打破这个规律的N,我们仍然不知道它的具体数值,只知道它大概是个有三百多位的数。

这个例子足以说明素数可以多么深不可测而又出人意料,同时提醒我们,面对无限,不能掉以轻心。无论有多少计算的证据,都不能轻易下定论。征服无限的工具,只有严谨的数学证明。

狂沙淘尽始得金

既然难以知道孪生素数具体有多少,那么不妨换个思路:孪生素数最多能有多少呢?

这就是数学家的思路,如果正面久攻不下,那么就从侧面包围。当难以直接得到某个量时,数学家的“本能”会指引他们,尝试从上方和下方去逼近,证明这个量不可能小于某个下界,或者不可能大于某个上界。如此慢慢缩小包围圈,就有希望到达最终的目标。

而在1919年,挪威数学家布伦(V. Brun)走的就是这么一条路:他证明了,孪生素数的个数不可能超过O(\frac{N(lnlnN)^{2}}{(lnN)^{2}})。籍此,他证明了所有孪生素数倒数的和是有限的。要知道,所有素数倒数的和是无穷大,可见孪生素数在素数中有多么稀少。人们将所有孪生素数的倒数和称为布伦常数,它的具体数值大约是1.90216…。

关于布伦常数,还有个有趣的小插曲。1994年,美国一位教授在计算布伦常数时,无意中发现当时英特尔公司的奔腾处理器在计算浮点除法时,在极稀有的情况下,会产生错误的结果。虽然英特尔声明这种错误对于日常使用来说不足为患,但对于消费者来说,这种托辞实在难以接受。最后,英特尔不得不承诺免费更换有问题的处理器。帮助发现硬件问题,这可算是数论在现实中的一个小小应用。

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【出问题的那款芯片,图片出处:维基百科】

但布伦的证明意义远不止于此。他的这个证明,正是现代筛法的开端。

布伦所用的筛法,根源可以追溯到古希腊的埃拉托色尼筛法。还记得我们怎么用埃拉托色尼筛法列出素数表吗?每次获得一个新的素数,我们都要划去所有新素数的倍数,然后剩下最小的数又是一个新的素数。用类似的方法,我们可以估计在某个区间中,比如说在N和2N之间,大约有多少素数。

首先,我们假设手头上已有足够大的素数表(大概到\sqrt{2N}的所有素数)。用这个素数表,我们打算把从N到2N的所有合数都划去一遍,剩下的就是素数。对于每个素数p,我们将所有p的倍数划去一遍。在N和2N之间,对于每个素数p,大约有N/p个这样的倍数。当然,如果N不是p的倍数,这样的估计会有误差,但在数学家看来,只要能把握误差的大小,最终仍然可以得到正确的结论。

这样,剩下的数的个数就是N减去所有N/p的和,是这样吗?并不尽然,因为有些数可能被划去了几次。比如说1000,它能被2整除,也能被5整除,于是在处理2和5的倍数时,它分别被划去了两遍。对于每一对素数p1,p2,每个p1p2的倍数在之前都被划去了两遍,而我们只希望将它们划去一遍。为了得到正确结果,我们需要对这些数作出补偿:将这些数加回去,一共是N/p1p2个,加上一点点误差。

但这就是尽头吗?如果考虑三个素数的倍数,我们发现补偿得又太多了,需要重新划去;继续考虑四个素数的倍数,划去得又太多了,需要重新补偿……如此一正一反,损有余,补不足,一项一项估计下去,才能从自然数的海洋中,精确筛选出所有我们想要计算的那些素数。

但我们是否需要做到如此精细呢?在整个计算中,虽然每一项看似简单,但简单的代价是误差。虽然每一项的误差很小,但因为数目巨大,累土而成九层之台,累计误差可以比需要估计的量还要多。所以,在现代的筛法中,过于精细反而是一种累赘。况且,我们的目的是获得上界或者下界,所以结果无需完美,只需误差可控。一般而言,由于越到后面的项贡献越小,往往忽略它们的计算,直接将其计入误差。这样可以有效减少需要计算的项的数目,同时也能间接减少误差。当然,如果忽略的项太多,它们引起的误差又会太大,也会导致不够精确的结果。

布伦相对于前人的改进,正在于此。如果盲目计算所有的项,必然深陷误差的泥沼。而布伦则大胆截去那些贡献很小却占绝大多数的项,而对于剩下的项也果断采用更粗放的近似来简化计算。虽然看似不依章法,但通过仔细调校,布伦得以有效控制总误差,从而获得他想要的结果。

布伦的这个思路,开启了解析数论之中一大类方法的大门。我们不知道怎么数素数,是因为它们的分布实在难以捉摸。而现在,布伦的筛法指出了一条用简单的集合来逼近素数集合的道路,这自然令数学家如获至宝。

在更精细的筛选与更微小的误差之中寻找那一线的平衡,这大概是筛法的醍醐。但这样的平衡,显然依赖于我们如何估计每一项的具体数值。可以每项分开估计,但合起来也无伤大雅。无论做法如何,估计的误差越小,筛选可以越深入,结果也越逼近真实。即使估计方法不变,如果有更好的方法决定每一项的取舍,取贡献大而误差小之项,而舍贡献小而误差大之项,当然也能得到更好的结果。

但为何拘泥于每一项?对于每一项,为什么要么取要么不取,不能站在中间立场吗?只要能控制误差,将每一项拆解开来,根据贡献和误差来赋予不同的权值,再求和,这样的结果岂不是更精细?再者,有时不拘泥于素数,放松限制去筛选那些“殆素数”,也就是那些只有少数几个素因子的数,在某些情况下也能得到更好的结果。在严谨的前提下,只要能做出更好的结果,数学家对于突破原有思路毫不犹豫。

这就像一场对素数的围捕战。数学家们拿着筛法这个工具,不断打磨它、改装它,不断练习,正着用,反着用,与别的领域的工具配合着用,绞尽脑汁发明新的用法,殚精竭力用它来围捕那些调皮的素数。欲擒故纵,反客为主,无中生有,李代桃僵,数学家们在对各种各样素数的围捕中,借着筛法,将一套兵法使得淋漓尽致,精彩之处,三国亦为之失色。

在筛法的力量下,孪生素数终于露出了一鳞半爪:

在1920年,同样是布伦,证明了有无穷对9-殆素数,它们之间只相差2。所谓9-殆素数,或者更一般的k-殆素数,就是那些至多有k个素数因子的自然数(包括重数)。而1-殆素数就是素数。模仿哥德巴赫猜想的记号,布伦证明的就是(9 – 9)。

在1947年,匈牙利数学家雷尼(A. Rényi)证明了,存在一个常数k,使得有无穷对自然数m,p,其中p是素数,m是一个k-殆素数,而两者之间只相差2。也就是说,他证明了(k – 1)。

在1950年,挪威数学家塞尔伯格(A. Selberg)证明了,有无穷对整数n和n+2,它们的素因子一共至多有5个。而孪生素数定理相当于素因子至多有2个的情况。

在1966年,意大利数学家E. Bombieri与英国数学家H. Davenport证明了,孪生素数的密度至多是8C2(lnN)−2。也就是说,孪生素数的数量至多是哈代与李特尔伍德所估计的4倍。

陈景润的雕像

【陈景润的雕像,图片出处:维基百科】

在1978年,在证明了哥德巴赫猜想的(1 + 2)后,陈景润用相同的筛法改进了雷尼的结果:他证明了,有无穷对自然数m,p,其中p是素数,m是一个2-殆素数,而两者之间只相差2。也就是说,他证明了(2 – 1)。

而最新的结果则是D. Goldston、J. Pintz和C. Yildirim在2009年发表的。他们证明了,两个素数之间的差距,相比起平均值而言可以非常小。在假定某个强有力的猜想后,他们还证明了,存在无限对素数,它们之间相差不过16,与目标的2只有八倍的差距。但问题在于,即便16这个数目相当诱人,但他们的假定过于强大,强大得不像是对的,也使人们对他们结果的信心打了个折扣。

在整个过程中,数学家们动用了解析数论中的大量工具:L函数、西格尔零点的估计、多种版本的筛法、克鲁斯特曼和的估计、自守形式,如此等等,不一而足。每样工具,都是心血的结晶。但即便如此,我们离孪生素数猜想还很遥远。尽管Goldston、Pintz和Yildirim的结果非常强大,但也不能在无假定的情况下,推出有无穷对素数,它们相差恰好是一个有限的确定值。

虽然只差那么一点点。只要关于所谓“素数分布水平”的引理稍微强一点点,就能得到有无穷对相差不远的素数的结论。但就在这个关口,人们却处处碰壁。希望就在伸手可及之处,却似乎总是差那么一点点。“此路不通”的想法开始弥漫开来。

在众人束手无策之际,当时默默无闻的张益唐向《数学年刊》提交了一份论文。

梅花香自苦寒来

张益唐

【张益唐,图片出处:新罕布什尔大学】

一份三十公分的意大利面包,纵向剖开,抹上金枪鱼泥,放上四片奶酪,放到烤炉烤一分钟,撒上生菜,铺上酸黄瓜和番茄,包起来,切成两半,就是又一个三明治。

这也是张益唐曾经蹉跎的岁月。

在博士毕业后,因为种种原因,虽有真才实学,但张益唐未能在学术界找到一份工作。为了生活,他不得不打工维持生计。即使在他的同学帮助他,找到新罕布什尔大学的一份代课讲师工作后,即使在转正成为一名大受学生好评的讲师后,正式而言他仍不是一名研究人员。

时运不齐,命途多舛;冯唐易老,李广难封。

但数学无需官方认可,研究也不需要正式的职位。张益唐受过正式的数学研究训练,有扎实的功底,有充分的能力,知道怎么去做研究,心里也时刻揣着数学。即使没有正式的职位,他骨子里仍然是一位研究数学的学者。

而他心里装着的,正是素数的分布问题,特别是孪生素数。即使没有正式的研究职位,他仍然做着一名研究者会做的事。他紧跟当前解析数论学界的发展,阅读了J. Friedlander和H. Iwaniec在筛法上的突破性工作,阅读了Goldston,Pintz和Yildirim关于素数间隔的工作,还有很多不同的新工作。他思考着新的方法,尝试沿着前人的路径走下去,相信能用新的技巧,把道路走通,证明有无穷对相差不远的素数。

但这谈何容易!即使从Goldston等人强有力的方法出发,要得到想要的结果,也难倒了众多学者。张益唐花了三年时间,不断尝试新的方法,屡战屡败,屡败屡战。数学研究,莫不如是。

终于,在2012年6月,他到朋友家作客时,灵光一闪,找到了开启关键的钥匙。

要说起来,张益唐的方法并非那种横空出世的新构想,而是利用现有的工具,用新的策略将它们组合起来,再加上一点点新的思想。Goldston等人所用的筛法相对精细,但却稍欠回旋余地,而张益唐稍稍放松了这个筛法,虽然能作出的估计稍欠精细,却换来了更大的游刃之余,得以对筛法中误差与精细的天平作出更精巧的调整,结合一些新的结果,特别是Iwaniec等人的工作,反而能获得更好的估计。箇中精彩之处,恕笔者学识浅薄,难以一一尽述。

用他的新筛法,张益唐证明了,有无穷对素数,它们相差不过七千万。他将他的新方法与新结论,用简洁明了的语言,写成了一篇论文,投稿到数学界的顶级期刊《数学年刊》。

这篇论文名为Bounded gaps between primes(《素数间的有界间隔》)。

收到这篇论文的编辑想必十分意外。在一所不起眼的大学做着讲师的工作,在数学的研究共同体中也不活跃,之前一篇论文还是十多年前发表的,这样的一位默默无闻的数学家,突然声称自己解决了一个困扰众多学者几十年的问题,引起的第一反应自然是怀疑。但毕竟,数学证明就是他学识的证明,他的论文写得如此清楚明白,而所用的方法又是如此合情合理,这冲破了原有的一点点怀疑。编辑认为,张益唐的结论很可能是对的,而他的方法对于解析数论而言,也可能是个重要的进步。

因为很多数学证明都相当艰深晦涩,即使是同一个领域的专家,有时也要花上一大段时间来咀嚼揣摩,才能断定证明是否无误。所以,数学论文的审稿时间通常不短,少则数月,多则数年,期间匿名审稿人通常需要通过编辑与作者多次通信,才能决定一篇论文的命运。而张益唐的论文是如此激动人心,编辑认为他们等不起如此漫长的时间,于是对他的论文进行了“特殊对待”。他们请了筛法方面的大家Iwaniec教授与另一位匿名审稿人(可能是Goldston)来审核这篇论文,很快就有了回音。

两位审稿人都认为这篇文章没有明显的错误。实际上,评审报告中写着这样的评价:“论文的主要结果是第一流的”,“在素数分布领域的一个标志性的定理”。从论文寄出到审稿结束,仅仅花了三个星期的时间。

自此,消息不胫而走。在哈佛大学的丘成桐教授,知悉这个消息之后,很快邀请了张益唐来哈佛做关于他的工作的学术报告。消息很快在数学界与新闻界传开,张益唐几乎是一夜之间,从默默无闻变成举世知名。据说,他的妻子听说有记者要采访时,跟张益唐讲的第一件事,就是把发型整理一下。

作为励志故事,这个结尾再好不过了。

路漫漫其修远兮

当然,故事仍未结束。

在数学界中,对于久攻不下的问题,一旦有人打破一个缺口,其他人很快就会跟进,把缺口弄得更大。张益唐的结果也不例外。

在张益唐的论文中,他给出的结果是,存在无数对相邻素数,它们的差相差不过7000万。但这只是一个估计,并非张益唐的方法能得到的最好结果。在论文出炉后,一些数学家吃透了新方法,开始试着改进这个常数。

张益唐的论文在5月14号面世,两个星期后的5月28号,这个常数下降到了6000万。

仅仅过了两天的5月31号,下降到了4200万。

又过了三天的6月2号,则是1300万。

次日,500万。

6月5号,40万,连原来的百分之一都不到。

在笔者写下这行的今天,剩下的只有区区的25万。

这些结果,可以说是互联网的结晶。这样快的改进速度,对于仅仅依靠一年发行数次的期刊做研究的时代,完全是不可想象的。而在今天,数学家们在网上,你一言我一语,不停发布最新的思考和计算,以最高的速度,汇聚所有人的智慧,才能创造出如此奇观。

张益唐带来的影响不止于此。利用他的新方法,可以解决更多的问题。Pintz指出,从张益唐的工具出发,可以得知存在一个常数C,使得对于每C个连续偶数,都存在无穷对相邻的素数,它们的差是这些偶数之一。也就是说,Polignac的猜想,起码对于1/C的偶数来说是正确的。所以,不仅素数本身难以捉摸,它们之间的差更是剧烈起伏不定。

实际上,大数学家Erdős在1955年就猜测,相邻两对素数差的比值,可以要多大有多大,要多小有多小。而同样借助张益唐的工具,Pintz不仅证明了这个猜想,而且证明了比值之差以不低的速度趋向于两极分化。用他本人的话来说:在刚刚过去的几个月里,一系列十年前会被认为是科幻小说的定理都被证明了。

但孪生素数猜想本身又如何呢?我们知道,如果将张益唐论文中的常数从7000万改进到2,就相当于证明孪生素数猜想。既然现在数学家们将常数改进得如此的快,那么我们是否已经很接近最终的目标呢?

很遗憾,实际上还差很远。

张益唐的方法,本质上还是筛法,而筛法的一大问题,是所谓的“奇偶性问题”。简单来说,如果一个集合中所有数都只有奇数个素因子,那么用传统的筛法无法有效估计这个集合至少有多少元素。而素数组成的集合,恰好属于这种类型。

正因如此,当陈景润做出哥德巴赫猜想的突破性结果(1 + 2)时,他得到的评价是“榨干了筛法的最后一滴油”。因为如果只靠筛法,是无法证明哥德巴赫猜想的。(1 + 2)是筛法所能做到的最好结果。

但数学家们从不固步自封。要想打破“奇偶性问题”的诅咒,可以将合适的新手段引入传统筛法,籍此补上筛法的缺陷。张益唐的出发点——之前提到Goldston,Pintz和Yildirim的结果——正是这种新思路的成果。但对于孪生素数猜想而言,这些进展仍然远远不够。学界认为,虽然不能断定张益唐的方法,即使经过改进,是否仍然不能解决孪生素数猜想,但可能性似乎微乎其微。

但不能低估人类的才智。发明割圆术的刘徽,他对于无知的态度更适合我们:

敢不阙疑,以俟能言者!

参考资料:

Bounded gaps between primes, Yitang Zhang, Annals of Mathematics

Open question: The parity problem in sieve theory, Terence Tao,http://terrytao.wordpress.com/2007/06/05/open-question-the-parity-problem-in-sieve-theory/

Are there infinitely many twin primes?, D. A. Goldston,http://www.math.sjsu.edu/~goldston/twinprimes.pdf

关于相邻素数之差的笔记(张益唐及其他), 木遥,http://imaginary.farmostwood.net/592.html

Polymath上常数改进的页面:http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes

张益唐和北大数学78级, 汤涛, 数学文化, http://www.global-sci.org/mc/readabs.php?vol=4&no=2&page=3

哈洛德•贺欧夫各特:彻底证明弱哥德巴赫猜想

http://songshuhui.net/archives/85342

本文修改版已刊作为果壳网系列面向海外科学家的系列采访发表。采访人为远在巴黎高师的数学松鼠方弦,编辑为果壳的吴师傅,现将未删节的完整版本发布在松鼠会。

先来一段背景知识:

“任一大于 2 的整数都可以写成三个质数之和。”271 年前,德国人哥德巴赫告诉欧拉这句话时,可能自己也没想到一下就在解析数论这个领域挖了一个东非大裂谷级别的“坑”。

那时 1 还是素数。如今数学界已不用这个约定,原话用现在的语言来表示是,“任一大于 5 的整数都可写成三个质数之和。”

欧拉后来回信哥德巴赫,说这句话可以更简洁——“任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和”。后人将这句话记为“1 + 1”。这个表述如此简单,以至于很多业余爱好者也想在这个问题上一展身手。但它实际上却是那么难,出现之后的 160 年里,没有任何进展。1900 年希尔伯特在第二届国际数学大会提到它后,又重新燃起数学家们挑战和解决它的热情。

然而,至今也没有人证明哥德巴赫猜想。

不过,数学家们已经从 271 年前的出发点走的很远了。从上面关于偶数的哥德巴赫猜想,又可以推出:

任一大于 5 的奇数都可写成三个素数之和。

这被称为“弱哥德巴赫猜想”。1923 年,英国数学家哈代与李特尔伍德证明,假设广义黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。

1937 年,苏联数学家伊万•维诺格拉多夫更进一步,在无需广义黎曼猜想的情形下,直接证明了充分大的奇数可以表示为三个素数之和,被称为“三素数定理”。不过他无法给出“充分大”的界限。他的学生博罗兹金于 1939 年确定了一个“充分大”的下限:314348907。这个数字有 6846169 位,要验证比该数小的所有数完全不可行。

1995 年,法国数学家奥利维耶•拉马雷证明,不小于 4 的偶数都可以表示为最多六个素数之和。莱塞克•卡涅茨基证明了在黎曼猜想成立的前提下,奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年,陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。

2013年5月13日,法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德•贺欧夫各特,在线发表两篇论文宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特在文章“Minor arcs for Goldbach’s problem”中,给出了指数和形式的一个新界。在文章“Major arcs for Goldbach’s theorem”中,贺欧夫各特综合使用了哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法、筛法和指数和等传统方法,把下界降低到了1030左右,贺欧夫各特的同事 David Platt 用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想,从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

哈洛德•贺欧夫各特(1977年 -),秘鲁数学家。2013年5月13日,贺欧夫各特在网络上发表两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。以下问答便是在哈洛德和小方之间展开的。

证明弱哥德巴赫猜想

问:您能向读者介绍一下您自己吗?包括您的工作和经历。

答:我是个搞数学的,在秘鲁出生,高中毕业之后获得了美国大学的一份奖学金,然后在普林斯顿大学攻读博士,在2003年获得了博士学位。之后我到过几个地方工作,比如说加拿大,现在就在巴黎搞研究。

问:解析数论是你的主要研究领域,是这样吗?

答:对的,不过我也搞一点群论,比如说关于置换群的Cayley图的研究。

问:您最近宣布您证明了弱哥德巴赫猜想,您能简单介绍一下这个猜想以及您的证明吗?

答:对的,希望我的证明没有搞错吧。(笑)

这个弱哥德巴赫猜想,它来源于18世纪初欧拉和哥德巴赫的通讯。我们知道欧拉是历史上最伟大的数学家之一,他当时在俄国搞数学。当时的俄国正处于现代化的进程,科学方面一穷二白,但他们仍然希望发展科学。而哥德巴赫则是一位德国青年,在莫斯科的外交部们工作。他不是专门搞数学的,但是个很不错的数学爱好者,而欧拉也很高兴能有位说德语的笔友可以聊聊数学。他们互相写过不少信,而哥德巴赫猜想就是由哥德巴赫提出,由欧拉阐述的。

有两个哥德巴赫猜想:弱哥德巴赫猜想和强哥德巴赫猜想。弱哥德巴赫猜想说的是,每个大于5的奇数都可以表达为三个素数的和;而强哥德巴赫猜想说的是,每个大于2的偶数都可以表达为两个素数的和。大家都觉得这两个猜想是对的,但是还没人能证明这一点。

从名字也可以看出来,如果强哥德巴赫猜想成立,那么弱哥德巴赫猜想也成立。如果每一个大于2的偶数都可以写成两个素数的和,那么对于任意的一个大于5的奇数,减去3之后就是一个偶数,可以写成两个素数的和,而原来的奇数就是这两个素数的和加上3。因为3也是一个素数,所以这个奇数就是三个素数的和。而我做的工作就是证明这个弱哥德巴赫猜想。

在19世纪,人们又开始对这类问题感兴趣。某位不知道哥德巴赫的数学家重新提出了这个猜想。对于这类问题,当时数学家只能做点手工验算。对于强哥德巴赫猜想,他们验算到了大约两百万。用这个结果,他们将弱哥德巴赫猜想验算到了十亿。他们是怎么做的呢?他们写出从3到大概十亿的一串素数,相邻两个素数之间相差不到两百万。用这条”素数天梯”就能验算弱哥德巴赫猜想。对于任意十亿以下的奇数,我们只要找出素数天梯中恰好比它小的那个素数,它们的差一定是个不超过两百万的偶数,所以能写成两个素数的和。也就是说,这个奇数能写成三个素数的和。虽然这个方法不错,但如果只靠手算的话,也推进不了多远。

然后到了20世纪,问题才有了真正的进展。在大约1920年,英国数学家哈代和李特尔伍德证明了,在假定广义黎曼猜想成立的前提下,存在一个常数C,使得所有大于C的奇数都能表达为三个素数的和。他们没有具体给出C的数值。

所谓广义黎曼猜想,它关注的是一类被称为L函数的复变函数。它宣称所有这些L函数的所谓非平凡零点的实部都是1/2。虽然我们有很多很好的理由去相信这个猜想成立,但我们还没办法证明它,所以这类依赖于它的结果都是条件性的。

十几年后,俄国的维诺格拉多夫改进了这个结果。他去掉了之前结果中对广义黎曼猜想的假定,直接证明了存在一个常数C,使得所有大于C的奇数都能表达为三个素数的和。

无论是哈代-李特尔伍德还是维诺格拉多夫,在证明中都没有给出常数C的具体值,不过我们可以从证明中看出来,维诺格拉多夫的常数比哈代他们的要糟糕得多。二十多年之后,维诺格拉多夫的一位学生Borozdin才给出常数C的一个具体值。这并非易事,在数论的某些问题中,你可以证明存在某个常数C,但基本上没有希望确定它到底是多少。我们不太清楚维诺格拉多夫原来的证明有没有提示这个常数的具体值,因为证明很复杂,涉及所谓的”西格尔零点”。但很有可能维诺格拉多夫已经知道他本人的证明在原则上可以给出常数C的具体值。

虽然Borozdin给出了常数C的具体值,但这个值非常大,实际上是3的3的15次方。这个数非常非常大,就连它的位数本身都非常非常大。你可能会说,那就像当年十九世纪那样,验算到这个数,就能完全证明弱哥德巴赫猜想了。问题是,这个任务基本上没可能完成,永远不可能,因为数字太大了。

后来人们就尝试改进这个常数。陈景润和王天泽就将常数改进到了大概10的30000次方,或者是20000,我记不太清了。陈景润就是那位证明了充分大偶数可以表示为一个素数和一个至多只有两个素因子的所谓”殆素数”的和的数学家,我想你们的读者也对他相当熟悉。他们改进的常数比维诺格拉多夫的要好得多,但还是远远不够。后来又有一位中国的数学家,将常数改进到了10的大约1300次方,也就是1跟着一千三百个零那么大的一个数。这挺好的,但也还是远远不够。

其实,即使能将常数减小到10的100次方,也还是不够。为什么?因为这个数比宇宙中所有的粒子数再乘以自大爆炸以来的秒数还要大,所以你即使拥有整个宇宙以及其中的所有原子,用来建造一台大的计算机,也很难在足够短的时间内将猜想验证到10的100次方。所以,我们要做的就是将常数尽量降低,降低到大约10的30次方,到达计算机能处理的范围。其实计算机能处理的要比这个多一点,但是大概不会多太多。

于是,在2005到2006年,我开始对这个问题感兴趣。在此之前,我看过维诺格拉多夫的证明,那是在我的研究生课程上看到的内容之一。陈景润等人的工作的方向又与此完全不同。那时我就意识到要将常数降得很低,我当时能将它降到10的100次方,但是这还不够,对猜想的完全证明没有决定性的作用。

所以,从2006年左右开始,我就一点点地去做这个问题,发掘不同的小想法。也有别人在干类似的事情。大概十几年前,法国的一位数学家Ramaré就证明了,每个偶数都可以写成最多六个素数的和。然后大概一年半前,陶哲轩证明了每个奇数都可以写成最多五个素数的和。从这个节奏看来,我要赶紧点,当时可能我也有些毛了(笑)。所以从去年开始,我就放下了手头上别的工作,开始加班加点把所有的小想法拼在一起。最后我发现它们能行得通,而这无疑是极好的。

我把常数降低到了10的29次方,你在网上的预印本上看到的就是这个数字。实际上我们可以将它降低到10的27次方,但这个没什么意义,因为我们的程序已经能验证到大概8×10^30,比实际需要的还要高80倍,再搞下去也没有必要。

这篇论文已经投稿到期刊了,现在就是等待审稿的结果,大概要花上一年时间吧。

谈谈张益唐

问:这几个月对于解析数论来说挺忙碌的,我们有您对弱哥德巴赫猜想的证明,还有张益唐对素数间距方面的突破。您对此有何评价?

答:我还没有仔细看张益唐的证明,不过我觉得他的证明令人印象深刻。大家说我和张益唐的证明是同一天发出来的,但实际上我发表我的证明的前一天就听说了张益唐的证明。但这只是个巧合,我并没有刻意去赶上时间,而我和他的工作其实关系也不太大。当时,我写好了论文之后,就跟我父母谈过,看看是明天或者下个星期在arXiv上贴出我的证明。然后我在Facebook上就看到了他在哈佛做讲座的消息,宣布了他证明了对于某个有限间距,存在无穷对小于这个间距的素数对。

一开始大家都不太相信,事实上我的Facebook好友们似乎也持怀疑态度。但很显然他并没有将他的工作发在网上,因为他之前没有发表多少论文,他可能怕大家不相信他的证明,不会去认真对待他的工作。于是他直接将论文投稿到了一个期刊,然后请这个期刊尽快审阅他的稿件,然后过了一个月,审阅就完成了,对于一个数学期刊来说这是相当的高速度,也是相当的罕见。对于一般的论文,比如说我的,就大概要花一年的样子。

反正是过了一个月,张益唐的论文被几位数论方面的专家匿名审阅过,没有挑出很大的问题,于是他才将论文放到网上。大家读了论文之后,都意识到他的确解决了素数有限间距的问题。他的证明是对的。这整个过程很震动人心。

在他的证明以及我的证明中,我觉得很重要的一部分就是对方法的改进。在张益唐的证明中,他改进了邦别里-维诺格拉多夫定理的一种特殊情况。其实之前也有人对这个定理做过各种各样的改进,但这些改进都不太适合素数有限间距的问题。而张益唐做的就是找到了适合的那种推广。我觉得他的推广也许可以用到别的数论问题上。

张益唐的证明里给出了一个常数。对张益唐本人来说,常数本身是多少并不重要,重要的是这是个有限的常数,而现在人们在尝试降低这个常数。我个人希望相关的论证能够弄得简洁一些,因为如果论证太复杂的话,这种努力就不太吸引人了。

问:张益唐没有正式的研究职位却取得了重要的成果,在数学界中这很普遍吗?

答:其实这不太普遍。一般说的”纯粹的研究职位”也不是只搞研究,也有一些行政方面的工作,也带一些学生,不过还是研究居多。而更普遍的是研究和教学兼有的职位,在法国这很普遍,我相信在中国和其它国家这也是主流。

张益唐特别的地方在于,他是大学里的讲师,这不是一个永久职位,而大家也不会期望一位讲师去做研究。所以一位大学讲师证明了这么一个重要的定理,这很不寻常,一般的讲师大概连论文都不太发。讲师的授课压力还是比较大的,所以可以搞研究的时间可能就少一些,当然这跟大学本身的政策也有关系。

当然,即使张益唐没有正式的研究职位,但他是受过专业的数学训练的,所以才能解决素数间距的问题。

问:您知道,张益唐和陈景润在不太好的境遇中做出了非常好的成果。有些人觉得他们也能想这两位数学家那样解决世界难题,即使他们没接受过数学训练。您对这些人是怎么看的?

答:我知道,总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。我偶尔也会收到这些人给我发的邮件。我真的觉得这是件很悲哀的事,他们应该找点别的事情去做。

要想做数学,需要多年的训练,还要与别的数学家交流。当然,对于做数学的人来说,总会碰到艰难的时期。这时,陈景润和张益唐的遭遇就会提示我们,只要有坚实的数学训练,再加上坚强的意志和艰苦的工作,常常可以度过困境。但正式的数学训练是必须的。

举个例子,印度的天才,拉马努金,他没有接受完整的大学教育,因为他在大学里只想上数学课所以被开除。但他的确接受了坚实的数学训练,虽然质量可能没那么好。他也去图书馆看书,做了很多数学工作,也跟同学讨论,也有老师支持他去学数学。所以,数学训练是必须的,任何想做数学的人都不能绕过这一步。

问:您平时是怎么工作的呢?

答:你看,我会看书(指着桌面上的一大堆书)。在法国这里,我将绝大部分工作时间花在了搞数学研究上,不过我也会跟数学家朋友们聊聊天,也会去带博士,也会去教课。我觉得对于数学家来说教课是很重要的。我挺喜欢教课,偶尔去一下那种,有很多人教课比我好得多。我喜欢去讲一些大家都比较熟悉的东西,但是用一些新的理解和思路去讲。我不太喜欢那种每个学年的例行讲课。

我在法国的这个职位有一点好处,就是比较自由。除了研究以外,我可以去教课,可以到全球各地与别人合作。我觉得这是一件好事,我相信数学的未来在于全球合作。在欧美的数学家也应该多去欧美以外的地方,像是南美和亚洲,去传播数学。

问:您曾经到印度和秘鲁授课,这就是您的动机吗?

答:正是如此。我觉得这是个很好的经验,那里有不少有才能的学生。我很快就要在秘鲁主持一期暑期学校了。对我来说,这是个很重要的事业。我在秘鲁授课的一个原因当然是我出生在秘鲁,但我觉得每个人都应该走出去传播数学,在世界的每个角落。每个人都可以由此得益,不失为很好的体验。

问:既然您在法国、美国工作过,又曾经到印度、秘鲁授课,能给我们讲讲这些国家之中数学研究与教学的差异?

答:比如说秘鲁,如同其它南美国家,数学研究在大概二十世纪起步,但由于国家本身经历的种种磨难,现在在秘鲁做数学并非易事。图书馆不够好,在城市生活也不轻松,薪水也不够高,能做研究的大学也很少。对于秘鲁的学生,他们通常会互帮互助,也有些机构会帮助这些学生,但能让他们接受到足够训练,成为研究人员的体制却仍不完全。秘鲁的学生可以到别的国家求学,比如说美国或者法国,然后成为研究人员。但秘鲁本身的体制也正在不断完善之中。

再看美国,对于研究人员来说最大的不同就是有了更多的自由,可以与更多的人合作。在法国有更多与拉丁美洲的合作项目,可能是因为语言更为相近的缘故。

问:对于希望学数学的中国学生,您有什么建议?

答:啊,这是个好问题。我就从数论方面讲。如果希望学数论的话,需要掌握很多领域的知识,而不仅仅是数论。全面的数学教育是很重要的。另外,数学不仅仅是理论的构建,还包括对实际数学问题的解决,应该注意到这一点。

我最喜欢的一本数学书是维诺格拉多夫的一本小书,书名是《数论基础》(Elements of number theory)。我是在13岁生日时收到这份礼物的。这本书不难,而且有很多很好的习题。当然,我现在的证明改进了维诺格拉多夫的结果,这纯属巧合。我小时候,秘鲁的书不便宜,但有个出版社专门出版一些不太贵的西班牙语数学书,这些数学书都不错,至少我买得起,从中也获益良多。

我认为兴趣对于做数学是很重要的。数学研究不仅仅是一种职业(job),更是一种使命(vocation)。当然会有困难的时候,但最重要的,还是将它视为自己的使命。毕竟人生苦短,虽然在工作外还有生活,但工作还是占据了很大一部分的时间,这些时间还是花在自己感兴趣的事情上为好。我们应该做有用的事,但同时最好也做最适合自己的东西。

问:有很多不做数学的人,觉得数学很困难而且很无聊,您怎么看?

答:我觉得这是因为他们没有接受到好的数学教育。

现在有一种很不好的现象。一个人可以堂而皇之说自己不懂数学,没人会指责他;但对文学的态度却截然不同,自称没读过莎士比亚或者论语的人往往会遭人白眼。

不过也有例外。有一次我和一位朋友在法国南部开会,因为错过了公交车,于是在路边干等着。有位好心的司机看见我们,载了我们一程。在车上闲聊时,他告诉我们他很喜欢数学,认为数学和戏剧同等有趣。当然这种人很少,不过还是有的。

当然,数学、戏剧,还有别的很多东西都很有趣,但会将它们相提并论的人并不多,而这些人之前大多从事过技术性工作。在一般的群体中,更常见的态度是自称会读小说而完全不懂数学,而且不以为耻反以为荣。我觉得这大错特错,人们不应该将自己的无知作为骄傲的资本。

问:对于数学科普,您怎么看?

答:我认为数学普及很好,数学研究可以由此传达大众,但我们也应该指导对数学感兴趣的年轻人去接受更严肃的数学教育,以成为数学家或者科学家。数学研究者一般在很年轻的时候就开始做数学,比如说高中毕业之后或者在大学里。我认为面向大众的数学普及是很好的,但面向这些年轻人的,比较高层次的数学普及也是很重要的。

当然,这两个层次之间还有一层,就是面对科学家和工程师的。数学是他们重要的工具,但不是他们研究的领域。他们明白更多的概念,所以说明可以更深入。

问:您认为职业数学家在数学科普中可以起到什么样的作用?

答:在我刚才说到的三种数学普及中,职业数学家更适合做中高层次的数学普及。已经有不少人在做面向大众的普及,而且都做得不错。但中高层次做的人很少。我自己也在做一些这方面的东西,比如之前说的去世界各地讲课。我还有个数学博客,但几乎没什么内容,因为我最近忙着做论文。不过,过些时间我会写一篇有关弱哥德巴赫猜想的博文,大概工程师的水平就能看懂,敬请期待。

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【摄影:方弦】

以下进入专业一些的内容,不过,也推荐大家一读。用哈洛德的话说是“虽然有点难,但是我觉得还是挺有趣的。”

问:您的证明是基于圆法的改进,您的方法能用到别的解析数论问题上吗?

答:为了降低常数,我对现有的技巧进行了很多改良。虽然很多改良都是针对弱哥德巴赫猜想这个特殊问题的,但也有一些可以应用到更广泛的解析数论的问题上。其实我认为有几个技巧甚至可以在解析数论以外的纯数学领域,甚至应用数学中找到应用。

在证明当中,我需要找到某种“平滑化”的手段,这涉及到某些积分。你要算一个无限求和的上下界,你不想搞突然截断,舍弃某一项之后的所有东西,你更希望这些项会慢慢变小,“软着陆”,这种技巧叫平滑化。

关于这一点,有个很有趣的故事。在哈代他们的证明里用到了无限求和的平滑化,但维诺格拉多夫的证明就搞的突然截断,而自此之后的大部分相关工作都没有用过平滑化,不过Ramaré和陶哲轩的工作就重新用了平滑化。

在解析数论中这种技术上的“倒退”,就好像当年罗马帝国崩溃之后,人们就忘记怎么造水泥了。就像这样,上一代的数学家好像忘却了平滑化,五十年代人们还在用,六十年代就没人用了。当然,这也要看情况。不过一般来说,还是平滑化的好。

但问题是,用哪种平滑化呢?Ramaré和陶哲轩用到了指数衰减的平滑化。虽然指数衰减用起来很便利,但是还不够平滑和缓。他们的平滑化其实还不错,但我觉得还不够好,所以我就开始自己开发新的技术。我用高斯函数代替了指数衰减,因为高斯函数更加光滑,下降得也更加快。

下面我讲一下技术细节,虽然有点难,但是我觉得还是挺有趣的。

指数衰减其实真的很好搞,因为实际上它与各种变换有很大的关系,比如说傅立叶变换和梅林变换,而我们对这些变换研究得很深入。但对于高斯函数,人们知道其中一些结论,也知道它跟三角函数有些联系。你可能觉得大家已经对这个高斯函数比较熟悉,但事实不是这样,在解析数论里,很少有人用到高斯函数的平滑化,所以有关的常数之类的东西还没人算出来过。反而在应用数学里,因为经常用到高斯函数,反而搞应用数学的人知道得更多。

在解析数论中,我们常常用到所谓的梅林变换,我觉得用到梅林变换的人之中有一半都是搞解析数论的。但梅林变换其实就是拉普拉斯变换的另一种写法。如果我们考虑高斯函数与三角函数乘积的梅林变换,我们会得到所谓的“抛物圆柱函数”。其实一年前我还不知道这个函数叫啥,但貌似物理学家和工程师是这么叫的。他们用这个函数用得不少,但对它的了解却不太透彻。我们知道一些渐近估计,但没有明确的常数,也没有明确的误差项。

所以我必须自己来搞清楚这些东西,我花了一个半月的时间。因为我平时不搞这个领域,当然比专精的人要慢些。我把这方面的结果都写进论文里了,我觉得这些结果对于工程师和物理学家来说可能会有用,他们可能还会推进这些结果。结果还得走着瞧,不过我觉得这是个很好的例子,说明数论工作也可能有实际应用,因为在数论研究中,我们需要改进各种工具,而这些工具不一定是数论专用的,可能在别的数学领域中也会用到。

问:您与合作者在证明中用到了计算机,具体是怎么用的呢?

答:我和我的合作者David Platt写了篇小文章,讲的就是用“素数天梯”的方法来验证弱哥德巴赫猜想到大概10的30次方。这个计算并不是很难,我们在地下室机房利用空闲时间算了几个星期。其实随便哪位爱好者有心的话,自己在家算几个月也能大概验证到10的29次方。这段计算其实小菜一碟。因为我希望留点余地,以免论文中有什么计算出错,所以验证到了比较高的10的30次方。

真正复杂的计算在另一篇Platt自己写的论文里,我对此的贡献就是说服他去做这个计算。其实在法国有很多公共资源,只要你能找到合适的人,跟他吃个午饭,这个计算就是这样子来的。在这个论文里,Platt延续了他博士论文中的工作。

还记得广义黎曼猜想吗?广义黎曼猜想涉及一类叫L函数的复变函数,它们在复平面上有无穷个非平凡零点。要对这些无穷的东西搞验证似乎是不可能的。但你可以考虑一个有限的问题,比如说先取十亿个L函数,然后对于每个函数,验证虚部绝对值小于十万的所有非平凡零点的实部都是1/2。这是一个可以完成的验证。类似的计算在十九世纪就有人做过,实际上黎曼在提出他的猜想时,就对黎曼ζ函数这个特殊的L函数验证过小于100左右的所有非平凡零点。所以,从原则上,我们考虑的有限的验证可以用手算解决,不过一般还是靠计算机。

Platt做的就是用计算机完成这样的计算,而且是以严格的方式。对于数学验证而言,严谨性很重要。我们知道,计算机只能表达有理数,它不能直接处理像圆周率这样的无理数。所以,实际上计算机不能处理实数,它只能处理一个区间[a,b],其中a和b都是有理数。而你只能问你的计算机,能不能给出一个尽量短的区间[c,d],使得区间[a,b]中的实数的正弦值(或者别的什么函数值)都落在区间[c,d]中。这就是所谓的区间算术。

有很多库可以处理区间算术,Platt他自己写了一个特别快的,不过网上也有不少类似的库。我们需要用这些库,即使这意味着计算速度比直接用浮点数要慢上几倍,但计算的过程和结果是完全严谨的。

问:您在证明中用到了计算机,那您对计算机在未来的数学证明中发挥的作用有什么看法呢?

答:这个问题挺有争议性的。在我们的证明里,计算机做的就是验证一些有限的陈述,其实跟十九世纪那种手工验证也没什么区别,而且计算机出错的可能性比人要小多了。你知道,把一串数字加起来可是计算机的强项。基本上在计算机验证里发现的错误,罪魁祸首都是敲键盘的那个人。

但计算机还能做别的东西。现在,计算机能够独自证明一些简单的小引理。最近有一篇论文,其中一个引理的证明就是计算机给出的。那是一个很小的不等式,就像那些在高中数学竞赛中出现的不等式。但这类不等式并不容易证明,所以它们才能出现在高中数学竞赛中。但现在,有时候你可以将这种不等式直接输入计算机,然后计算机有可能直接给你一个证明,或者告诉你这个是对的。这种计算机证明被接受了。

这是一种新事物,因为计算机能处理这种问题也就是最近的事。对付这种东西的算法还很原始,在实际操作过程中,为了能算出结果而又不死机,需要微调一大堆变量,在写代码时也要多花心思。这类小引理的证明算是种偶尔会出现的新奇事物。这也是个很有希望的方向,需要发展一下这方面的算法。

不过要分清计算机证明与数值实验。数值实验就是比如说我把某个东西验证到了一百万,然后我说它大概是对的,但这不是一个证明,而只是一种经验式的证据,告诉我们大概什么方向是对的。而计算机证明,我们用到的就是对有限陈述的验证,原则上用笔和纸也能完成的那种。这种有限的验证是不可避免的,因为在数学分析中,如果变量小于某个数值,主项和误差项相差不够远,这种情况就要一一验证。要分清证明和证据,证据只能指引方向,而证明就真的是无误的逻辑证明。

问:您的证明里用到了圆法,而张益唐的证明用到了筛法。您能介绍一下这两种方法的异同吗?

答:筛法和圆法其实是很不同的,不过也有相似的地方。有一种叫“大筛法”的,就跟圆法有关。但这与张益唐主要用的“小筛法”很不同,当然他也稍微用到了一些大筛法。圆法的本质就是应用在数论中的傅立叶分析,简单来说就是对圆周上的函数进行分析。而筛法的目的则是给出素数分布的一种近似估计。

在我的论文中就用到了大筛法和圆法的关系。在大筛法中的一些技巧可以直接用到圆法中,反之亦然。两者其实是同一枚硬币的正反两面。张益唐的证明也用到了大筛法,因为他需要类似邦别里-维诺格拉多夫定理的结果,而那个定理是用大筛法的。其实大约在八年前,大家就知道只要把邦别里-维诺格拉多夫定理的某个特殊情况推广一下,就可以得到张益唐的结论,而张益唐做的就是这一点。八年来很多聪明人都铩羽而归,大家都觉得这是个很难的问题,但张益唐成功了。我还没细读他的论文,但我感觉他虽然在这个意义上用到了大筛法,但他的改进并不在大筛法上,而是有关其它技巧的改进。

但他和我的证明也有相似之处。我们的论证都是基于维诺格拉多夫建立的所谓I类和II类和。在我的和他的论文里都用到了这些概念。

问:在解析数论中,除了筛法和圆法,还有别的主流方法吗?

答:比如说广义黎曼猜想,我们可以证明一些有限的特殊情况,然后利用这些特殊情况去证明别的东西。这大概有两种做法。

一是直接去证明一些更弱的结论,其中一个例子就是所谓的“无零点区域”。我们还不知道怎么证明所有非平凡零点的实部都是1/2,但我们可以证明零点必定在某个包含所谓“临界线”(实际上就是实部为1/2的复数组成的直线)的区域内,而这个区域在实轴附近很小。这种限制能告诉我们一些重要的信息,而人们一直在使用类似的结论来证明别的问题。

二是直接去验证零点。我们可以说,对于虚部大于一定数值的零点,我们一无所知;但对于虚部不太大的零点,我们可以直接用计算机去验证。这样的好处是,对于这些虚部不太大的零点,我们能完全确定它们的位置,而并非只知道它们在某个区域内。但我们只能对有限个L函数验证这些结论,而“无零点区域”类的结论可以应用到所有L函数上。不过,这种有限的验证也更容易做到。

其实还有很多很多的小技巧,不过它们还没有到达“方法”这一层面。

丘成桐香港中文大学演讲:如何成就科学大师

演讲人:丘成桐

时间:2013年6月10日

地点:香港中文大学

今日很高兴和诸位谈谈我个人成长、处世和决策的经验。这些经验不一定局限在数学的研究,我希望它对年轻的学生会有帮助。

介 绍

我首先描述一下我的家庭背景,这对于我的成长影响很大。我出生在一个受过良好教育但贫寒的家庭。我的父亲曾担任几所大学的教授,包括香港中文大学崇基学院。我的父亲做了很多哲学和中国历史的研究。不过,他大学时的专业是经济学,并在崇基学院讲授经济学课程。他也曾经在朋友的赞助下尝试创办银行,但以失败告终。在我14岁时父亲英年早逝。我们全家顿时陷入极大的困境。这段经历使我认识到资源对于家庭、社会乃至国家的重要性。

我们家一共有8个兄弟姊妹。父亲去世后,照顾家庭的重担落在我的母亲和姊姊身上。父亲的去世和家庭遇到的困难对年幼的我是很大的震撼。这时候,母亲和姊姊作出了对我一生至关重要的决定——让家中年幼的孩子在学校继续读书和完成学业。

但是,这也意味着母亲和姊姊要付出巨大的代价。我的舅舅曾受过我的父母的抚养和帮助,他的家境还算小康。他提出要帮助我们家从事养鸭子谋生。但他的条件是:所有的孩子必须放弃学业。母亲对我们的未来有更高的要求,拒绝了她弟弟的建议。在这非常困难的环境下,她的信念和忍耐起了决定性的作用。虽然我得到政府奖学金的资助,我在闲暇时还须靠辅导学童挣钱。生活虽然很艰难,但我却学会如何去应付这些困境,并从中取乐。我知道我必须在学业上出人头地,但对我来说这是一条不归路。我必须有所作为:为我自己和我的家人走出一条康庄大路。不成功的话,就没有前途了。

严峻的现实促使我成熟和坚强。我认识到我需要依靠自己的力量。在父亲去世前,我从未有过这种经验。父亲是家庭的领导者,他健在时我们丝毫不担心自己的未来。但现实毕竟是残酷的,再不靠自己就没有希望了。

苦难与成熟

我之所以提到这些经验,是为了说明经历过不幸之后,人们往往会变得更加成熟。在人类历史上,有许多本该拥有辉煌前程的人却最终被困苦的生活压垮,但是也有很多著名的伟人在克服困难之后取得成功的故事。

让我举一个我熟悉的例子。就是伟大的中国数学名家周炜良(1911年—1995年)。周炜良20世纪30年代在德国学习。学成归来后,开始是在中央大学任教,继而管理他的家族企业。第二次世界大战摧毁了他的财富,他决定重新回来做数学研究。他搬到普林斯顿居住,并向一位著名数学家所罗门·莱夫谢茨学习。在这段时间里,他做出了开创性的工作,代数几何学中有许多成果以他的名字命名,他大部分著作将会永载史册。

历经苦难最终导致伟大发现的过程,非常类似于打磨钻石。苦难让人成熟和进步。它教会人们如何快速作出正确的决定。在很多情况下,人们没有时间改变自己的决定,甚至没有时间犹豫或者后悔,所以做决定时往往得依靠我们的经验。翻开史册,我们发现企业或者国家的领导人如果有过艰辛的磨砺,往往能够比一般在优厚环境中长大的领导者更胜一筹。

在教育方面,我觉得让学生学会独立思考以及应对艰难情况的能力是极为重要的事情。学生应该主动学习丰富的知识,而教师应该尽量为他们创造良好的学习和咨询的环境。因此我组织每周约9小时的学生讨论班。我要求我的学生阅读一些可能与他们的论文课题并不直接相关的文章,包括一些超过他们当前学识的高深课题。

报告各自领域之外的困难文章让学生们备受挑战。但读懂了这些文章之后,他们会有质的飞跃。对某些课题甚至会比我有更好的理解。有些学生则试图欺骗和隐藏他们的无知,这些学生通常无法真正掌握推动学科进步思想的精髓。我相信我们如果不理解前人如何开创学问的蓝图,我们将会难以提出自己的创见。我相信这种经验并不局限于做学问:在社会上做事或者经营企业,假如没有亲身经历过挑战,就会缺乏经验,而难以施展才华。

困难的环境可以令人变得更加成熟。但是反过来说,长久的为生计奔波,对学者的成功却可能是有害的。毕竟,学者需要在一个稳定的环境下成长和发展,才能完成有深度的成果。我观察到历史上的伟大数学家之中,顶多百分之五的人在其整个职业生涯中都身处穷困。在历史上,我们看到一个社会,一个国家,在百战之余,都需要休养生息,才能成长。

建立目标

要成为一个大学者,我们必须建立一个宏大而有意义的长远目标。这个目标的一个非常重要的特征是要确保在我们追求它的道路上,即使遇到挑战,我们也还会感到愉悦。我本人的目标就是在数学研究上有深入的贡献。我并不是一个天生的数学家,但是父亲的教导让我很敬佩那些对人类作出永恒贡献的学者。我一生都为对数学有贡献而有着无比的欢愉。

因为我来自一个贫困的家庭,我没有太多的出路。但是数学并不需要太多金钱的投入,所以是一个比较容易的选择。但更重要的是,我着迷于数学的优雅和魅力。况且伟大的数学理论可以持续数千年,至少它可以影响好几代人。

我也知道数学可以极为实用,可以解决人类社会中任何需要推理的问题,甚至华尔街的金融投资都可以利用数学的工具。我的许多朋友在各行各业都取得了巨大的成功,其中包括大名鼎鼎的吉姆·西蒙斯。

我第一次遇到吉姆·西蒙斯是在42年前纽约州立大学的石溪分校。我当时惊讶于他对数学研究的痴迷。他已经在几何学中做出了很重要的工作,但是对新的数学发展还是兴奋不已。不过他也说,他非常喜欢金钱。最后他辞去数学教授,到纽约华尔街去创建投资公司。他极为成功,现在已经从他的公司退休,并决定重新再从事数学研究。显然,他现在做研究并不是因为金钱。他的生活是由兴趣所主宰,他的研究依然充满力量。

在我读高中的时候,我也有过从事研究中国历史的想法,部分是由于父亲的教导,另外一方面也是因为历史是我钟爱的科目。直到现在它依然是我的一大爱好。不过,我决定研究数学,不仅是因为我对它感到兴趣,我的志向是在数学上创造历史,而不仅仅是记录或解释历史。况且由于教学的需要,以及工商业极为需要有分析思维能力的职员,数学家比历史学家更易谋生。另一方面,我毕生从未想过赚取很多金钱,但在从事数学研究时,却自得其乐。我读伟大数学家高斯或黎曼的文章时,往往兴奋莫名,而自道:大丈夫,当如是!在数学上,我能与古人神交。这应当是我选择数学为我一生专业的理由罢。

数学带给我的兴趣已经远远超出我的想象。历史和数学都教会我作理性的思考。我记得第一次感受到数学的美是在初中二年级学习平面几何的时候。从简单的公理出发,可以推导出复杂有趣的定理,着实令我着迷。我听说,在古希腊时期,市民喜欢在大街上辩论。严谨的逻辑推理思维得到了发展,并被有效地应用到辩论之中。

在推理的学问里,我们需要建立一个假设,它必须来自于我们对周围环境的观察和体验。从我们所作的假设,我们可以基于逻辑推导出许多结果。我们需要的逻辑推理其实很简单。如果A蕴含B并且B蕴含C,那么A蕴含C。虽然这看似简单,但是建立一个良好的假设是创建任何坚实理论的重要根基。如何寻找命题B和C更是对一个良好数学家的考验。

也许你听说过约翰·纳什关于经济学的均衡理论的著名工作。他建立了一些简单的假设并由此推导出重要的结论。由于这项工作,他获得1994年诺贝尔经济学奖。

约翰·纳什将博弈论应用于经济学,并引入新的均衡概念,他改革了亚当·史密斯(1723年—1790年)的经典理论。他和其它经济学家将这些新兴的数学理论应用于经济学的研究,影响至今。

建立品味与文化

无论是从事科学研究或者经商,成功的研究所或企业应当体现出研究员或公司创始人的品味与个性。建立其内在的优雅文化是必要的。因为数学的工作都是基于严谨的逻辑推理,一台计算机就可以承担大部分推理的工作得到一些结果。然而,好的数学结果与不好的数学结果之间有着关键的区别。一台计算机可以生产出大量正确的命题,但如果没有人类思维的指引,绝大多数命题并无价值。在一般的情形下,它们无法构造可以加深我们对自然界了解的漂亮或有用的命题。计算机无法判断什么是重要或者是有趣的命题。

这带来了一个重要的问题:数学家如何发现重要而有深度的定理?

一个重要定理的证明通常由一系列复杂的推理所组成。如果我们看不清前进的方向,那么几乎不可能创造出这样的推理。

当数学家开始着手研究一个问题时,首先需要有一个好的规划。正如画家需要从画的类型来决定所采用的技术和媒介。另一方面,研究数学是一个动态的过程。很多时候,当新数据或新见解出现时,我们可能需要改变研究的规划。

众所周知,科学由许多科目组成。在探索自然的过程中,会诞生许多新的课题。有趣的是,许多新的研究课题往往来自于两个或多个古老科目的融合。非常类似于两家大公司的合并。如果我们了解这两家公司的文化,那么这很可能会是一个巨大的成功。反之,如果对两方的了解都不透彻,合并的结果,也可能是一个灾难。

爱因斯坦(1879年—1955年)曾经成功地将狭义相对论与牛顿引力理论相结合建立了广义相对论。这是物理学的巨大飞跃。爱因斯坦能够这样成功是因为他对这两个领域的精通超过任何同时代的物理学家。因此,我总是建议我的学生至少同时掌握两门不同领域的知识,并努力将不同的科目结合起来。这个建议可能对其他学科也适用。

无论是在科学,文学或社会学,我们都需要有广博的知识,这样才能开拓新的课题。在大学里,我们学习的知识可能取决于每所大学的要求。好的学校,比如哈佛,会要求学生学习许多不同领域的知识,打下良好的核心基础。哈佛大学的大部分学生不但学习刻苦,也经常互相交流,选修不同学科的课程。我有一位朋友的儿子,在哈佛大学读本科时主修埃及文学。我以为他会是一个学究。但他毕业一年后,开创了一间相当成功的高科技公司,由此可见通才教育成功的地方。

但是,当涉及到更具体的事情,大学教育还是不够的。我们需要进入研究生院深造,到公司实践学习,参加技能培训。无论身在何处,都有学习的机会。就我个人而言,我一生都在研究数学。但我也同时研究物理学,从我的博士后那里了解物理学前沿,并与他们一起工作。我的许多博士后拿的是物理学而非数学的博士学位。我选择物理学博士,是因为我需要向接受过物理学专业训练的年轻人学习。我觉得这一点很重要,我们不能仅仅学习了一门学科表面的东西,就以为自己掌握了这门学科。

如果没有足够的知识积累,很难找到合适的研究方向。

决 策

我们都知道,在我们的职业生涯中决策能力的重要性。这通常取决于许多因素,如个性、能力和外界的约束。为了选择我们的研究方向,我们需要权衡众多可能的影响因素:例如我们要考虑所需要的资源、可能产生的后果和团队的个性情感等等问题。

我们在做研究或创业的时候,往往需要当机立断,这需要一种直觉。这种直觉需要建立在知识的基础之上,与朋友讨论有助于拓宽这些知识和澄清疑点。经过足够的磋商,饱读相关的材料,权衡不同的利弊,都能帮助我们作出最终的决定。但是最重要的因子来自以下的直觉:如何更好地实现在研究或生活中早已设立的长远目标。

屈原说:“亦余心之所善兮,虽九死其犹未悔。”有时候人们会为了短期的目标,而迷失了人生的终极目标。在这方面,道德教育发挥了极为重要的作用。我非常感谢我的太太,她总是提醒我要坚持自己的理想。我们不能放任自己,为了短期的收益而忘记了初始的目标。即使我们生活的目标是为了赚钱,也需要考虑到社会结构已经发展到了一个非常复杂的状态,没有人可以不依赖别人的帮助或者不去帮助别人而获得成功。就如高科技的专利权——政府的法律保护和企业的互相尊重同等重要。

美国人擅于开发新技术的原因有很多,但保护知识产权也许是最重要的一条。知识产权不受到保护,就意味着工程师的成果很容易被人窃取。没有奖励,科学家和工程师很少愿意花费多年的努力去开拓新的研究!一般来说,中国企业家不太信任家庭成员以外的人,大多数私人公司由家人接班。遗憾的是,许多企业经过两三代的传接后就失败了。原因当然有很多,其中一个是因为他们的后人有着巨大的财富,流于安逸而丧失了动力或者对经商的兴趣。但是更重要的是对家族以外的人不信任,家族企业找不到最有能力的人来管理,这点也与法律不健全有关。在硏究的领域里,也会出现类似的问题。一般中国学者只相信自己的学生或系里的老朋友。造成这个现象的原因除了中国人的传统学派观念外,主要还是由于中国学术界存在剽窃的风气。在我接触到的学者和编辑的杂志中,我发觉中国数学界剽窃的问题比国外严重。至于其它学科也常听闻同样的问题。有些学者,甚至有的院士,他们在修饰文字后,将别人的想法放进自己的文章里头,由于不是搬字过纸,一般学者并不认为这是抄袭。一些机构却往往重用这些学者,这些山寨学者己经严重地影响到千人计划、重大项目的评选和院士选举等等,甚至起了控制作用。有人缺乏认识,有人不敢抗拒他们的欺诈,被迫跟他们合作,这是很不幸的事情。机构领导对此尚无认知,常年用少数的这种学者管事,确是中国数学未达世界一流的原因之一!

一般来说,美国高校和研究所富有浓郁深厚的学术气氛。但学者最终能否取得成功,仍然取决于研究人员是否能作出正确的选择和决定。

让我举一些亲自经历的例子。我在加州大学圣地亚哥分校工作了三年。从1980年开始,我带了不少研究生。1985年那一年,有15名研究生在我指导下学习。他们中有些成为了非常出色的数学家。许多中国大学的学生想到加州大学圣地亚哥分校来学习,我都尽力帮助他们,无论他们最后是否成为我的学生。

其中有一位来自北京大学的申请的学生希望学习数论。我安排他师从一位杰出的数论学家哈罗德·斯塔克,他是加州大学圣地亚哥分校和麻省理工学院的双聘教授。但当时的北京大学校长也许出于个人原因,没有同意他来加州大学。那个学生被派往普渡大学,学习并非他最感兴趣的代数几何。尽管他在博士论文中取得了进展,他仍然无法在毕业时找到合适的工作。

经过很多年艰苦的生活,他在一个朋友的帮助下,成为新罕布什尔大学的一个暂聘讲师。虽然环境并不尽如人意,他还是坚持做他心爱的数论研究。大约在两个月前,他解决了数论中最困难的问题之一。20多年的努力终于有了回报。虽然他的薪水不高,他却很享受研究的乐趣和所取得的成果。这位学生就是现在极负盛名的张益唐教授。

另一方面,我有一位在圣地亚哥任教时带的学生,他跟随我来到哈佛大学继续做研究。在我的指导下,他完成了几何学中几项重要的工作,但是他对事物有自己的看法,他在选择工作方面不接受我的建议。他毕业时,很多名校邀请他为助理教授。我的朋友汉米尔顿是大名鼎鼎的几何学家,也可以说是这个学生的偶像,他在圣地亚哥分校为这个学生安排了一个预备终身制助理教授的职位。这是一个极好的职位,因为这个位置很快就可以变成终身职,但这位学生拒绝了。他选择了普渡大学,因为他觉得普渡可以为他解决签证问题。他没有和我商量他的决定,事实证明这是一个严重的错误。三年后他被迫离开普渡大学,其实那些年中,他的工作还是做得很出色,但他不懂得系里的人事关系,被系中的教授排挤而离去。他因此觉得累了,不想再继续从事科研。他虽然曾经做出杰出的工作,但因为疲惫和失望,他选择放弃数学,为此我深感遗憾。

这两个例子表明,每个人在生活中都会遇到困难。但个人的能力和性格会造成截然不同的结果。我们如何克服困难是一个很重要的挑战。坚持不懈对于研究来说是非常重要的,但最重要的还是能从所做的事情中获得欢愉和成就感。我在上面提到的那个学生在他研究生涯的最后阶段时告诉我:他对研究已经逐渐失去了兴趣。我想这就是这两位数学家之间最主要的区别,遗憾的是,他们的人生也是截然不同的。不过,我还是希望我那位学生振作起来,前途还是光明的。

另一方面,我也见到很多早熟的年轻人,一早成名,却往往一念之差而开始沉沦。

在我的指导下,有另外一位学生在毕业时,读书读得不错,解决了我提出的一个有名问题的第一步。由于我的提拔,他受到数学界同仁的重视。但是几年后,他开始发表充满漏洞的数学文章,又依靠剽窃来获取本不属于他的荣誉,很快他就沉溺在虚伪的生活中,兴趣也从学术研究转到追逐名利,甚至联群结党,不择手段地去欺负年轻学者。这种现象已经严重地影响到中国数学的前途。看了他和政府官员的谈话和向媒体的宣传,我才对孔子说的“巧言令色,鲜矣仁”有比较深入的了解。屈原说:“何昔日之芳草兮,今直为此萧艾也。”至于何时他才能迷途知返,从既得权利的巅峰返回,做一些踏实的学术硏究,是一个有趣而又可悲的问题。在这个浮华和追逐名利的社会,这需要无比的勇气,我希望我的学生都能向张益唐学习。所以我们必须牢记正途并坚定不移地去追寻真理。

从这个故事来看,过早成名往往需要更严格的自律。来自同行的竞争压力,无知家长和有野心学长的期望,可以毁掉一个年轻人的光明前途。

中国家长都望子成龙,却常常没有顾及孩子成长时,除了学业和道德的教诲外,还需要有良好的伴侣,并得到年轻人应有的乐趣。

从前有一个才20岁的年轻人跟我做博士后。刚开始时,我没有注意到他的年龄,他的工作也算出色,和我及其他博士后一同发表了一篇还算不错的文章。但是有一天,我在中国访问时,突然接到一个电话,说他在家里不停地尖叫,被警察捉到精神病院去了。我才了解到他的情形:他在马来西亚长大时,极负盛名。他12岁中学毕业,就到加州理工大学读书,三年后完成学业,到康奈尔大学完成博士学位。这是中国家长都羡慕的年轻人。但是他进医院后,只有他的妹妹来看望他。据他妹妹说,他学业进步太快,没有任何朋友,连父母都没有办法跟他交流。过了大半年,我第一次见到他的父亲,我感到失望,他的父亲还继续对他施加学业上的压力。他回到新加坡后,过了两年,竟然自杀了。我为这件事感到惋惜。

所以我总想奉劝家长们,在教导小孩时,不宜操之过急。让孩子们多交一些益友,让他们知道生命的乐趣。

我的学生中,有成为一代大师的,例如在斯坦福任教的理察·孙就是,我和他一同成长,互相勉励,因此他在学问深受我在影响,但我也从他那里学习了使我一生受用不尽的学识。华裔学生还没有他这个水平。但是,李骏和刘克峰都在数学上有极重要的贡献,比我上述的在玩政治时呼风唤雨的学生贡献大得多。

当时李骏在上海参加改革开放后第一次数学比赛,得到第一。我孤陋寡闻,当李骏来美国做我的研究生时,我没有特别注意到他的辉煌历史。直到一个我从上海来的外甥指出有这么一号的天才时,我才知道这个事情。我想这是一件好事。他循规蹈矩、严谨治学,我送他到加州大学洛杉矶分校跟我一个老朋友学习代数几何,脚踏实地地学习两年后,他现在己经是这个学科的带领人,比我那位出名的学生做的工作重要得多。刘克峰也是在哈佛大学读书时博览群书,不单在几何上取得杰出的成就,对弦理论上也有深入的贡献。

除了我自己的学生外,我也看着一些用功的年轻人成长。其中有复旦大学的傅吉祥,在晨兴数学所的几个年轻数论学者和最近在清华大学的李海中,他们虽然受到某些有权势的院士排挤,仍然做出国际一流的工作,使我觉得兴奋。尤其是田野在数论上的工作,在国际上得到认同,得到三年一次的晨兴数学金奖,在众多高手竞争中,脱颖而出,成为中国大陆第一次得到金奖的得主。数论在他从前读书的大学已渐衰微,但出于兴趣,他坚持了下来,完成了大陆学者这三十年来最重要的工作,真是值得庆贺的事情。比田野年轻的有徐浩,他刚毕业时,我担任哈佛大学数学系的系主任,哈佛大学数学系以等同助理教授的职位聘请他四年,中国某些对他的工作亳无认识的院士却欺负他,连最基本的奖励都不愿意给他。由于哈佛数学系多年来不设助理教授这个职位,网上竟然有人质疑他在哈佛的职位。他还是很努力,解决了弦论数学上的重要问题,今年得到晨兴数学银奖。晨兴奖由十个国际知名的数学大师评审,其中三个大师是菲尔兹奖的得主,其他都是美国、德国、俄罗斯或英国的院士。这两位得奖的年轻人的成绩都值得我们庆贺。

所以急于求成,往往失败。而坚定不移的学习始终是做研究的不二法门!

结 论

艾萨克·牛顿(1642年—1727年)曾说过一句名言:如果我比别人看得更远,那是因为我站在巨人的肩上。或许我们还应该注意到这些巨人们是站在他们之前的那些巨人的肩上!任何想要获得成功的人,都必须学会向前辈伟人学习。很难相信如果不是站在这些巨人的肩上,我们能够取得超越他们的成就。要知道,在他们的年代,这些巨人也曾经被认为是天才,摆在我们面前的是,几代天才刻苦钻研所积累起来的成果。

我相信这个道理同样适用于商人,他们应该在建立企业之前学习了解他们所经营行业的基本概况。决策的制定要快而果断,当然前提是事先做过充分彻底的调研并集思广益。所以美国人说:世上没有免费的午餐!每个人都应该不断探索新的思路和新的方向,只有如此才能胜人一筹。我们应该知道,创新基于广泛的知识,开阔的思维和辛勤的工作。我们应该学会从不同的来源汲取知识,包括那些我们一直没有涉猎的科目,并且以无比的毅力和耐心向伟大的目标进发。

(丘成桐 1949年出生于广东汕头。1983年获得素有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖,迄今仍是华人数学家中唯一的获奖者。1979年后,丘成桐把主要精力转向振兴祖国数学事业上,先后创建了香港中文大学数学所、中科院晨兴数学中心、浙江大学数学中心和清华大学数学中心,并亲自担任这些研究机构的负责人。现任美国哈佛大学讲座教授、国际顶尖数学杂志《微分几何杂志》主编。)(原标题:数学与生活)

13 Math Jokes That Every Math Geek Will Find Hilarious

Back when the internet was young, the primary users were its builders, math and tech-oriented academics spread around the country.

 

As a result, math jokes have an elemental role in the history of the internet.

From the earliest Usenet threads to the techiest subreddits, geeky math jokes — some implicit swipes at less-pure disciplines, other puns or plays on words of different concepts — have been a major part of the modern history of math.

What’s more, these japes also have the effect of making those who didn’t get the joke to look into what makes it funny, teaching people some of the more obscure concepts.

Here are just a few of the best ones. Where necessary, we’ll do the unthinkable and the tacky and explain the joke.

JOKE #1

Three statisticians go out hunting together. After a while they spot a solitary rabbit. The first statistician takes aim and overshoots. The second aims and undershoots. The third shouts out “We got him!”

Source: chjilloutdamnit / Reddit

 

JOKE #2

Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously.

Source: armchairdetective /  reddit 

Explanation: When you roll a die, you either get a 1, 2, 3, 4, 5, or 6. Since there are a finite number of possibilities, the statistic involved is called a discrete random variable. When you select any real number from between 0 and 1, there are an infinite number of possible draws. The statistic involved is called a continuous random variable. 

 

JOKE #3

There was a statistician that drowned crossing a river… It was 3 feet deep on average.

Source: anatiferous_outlaw / reddit

 

JOKE #4

Write the expression for the volume of a thick crust pizza with height “a” and radius “z”.

Source: Reddit

Explanation: The formula for volume is π·(radius)2·(height). In this case, pi·z·z·a.

 

 

JOKE #5

A: “What is the integral of 1/cabin?”

B: “log cabin.”

A: “Nope, houseboat–you forgot the C.”

Source: Reddit

Explanation: We’re treating “cabin” is a variable.

The integral of 1/x is loge(x).

However, since it’s integration, you’ve got to add a constant.

So ∫(1/cabin) = loge(cabin) + c, or “a log cabin plus the sea.”

JOKE #6

Q: Why did the chicken cross the road?

 

A: The answer is trivial and is left as an exercise for the reader.

Source: Reddit

Explanation: 

This is a common refrain found in mathematics texts.

It is widely considered a cruel professor’s malicious cop-out by particularly lazy students of mathematics.

 

JOKE #7

Q: How many mathematicians does it take to change a light bulb?

A: One: she gives it to three physicists, thus reducing it to a problem that has already been solved.

Source: MathOverflow

Explanation: Mathematicians try to reduce an unsolved problem to a form which has already been solved before. Once that’s done it’s considered complete, as the previously derived formula is taken as written.

There are many light bulb jokes about physicists. Finding several are left as an exercises to the reader.

JOKE #8

A physicist, a biologist, and a mathematician are sitting on a bench across from a house. They watch as two people go into the house, and then a little later, three people walk out.

The physicist says, “The initial measurement was incorrect.”

The biologist says, “They must have reproduced.”

And the mathematician says, “If exactly one person enters that house, it will be empty.”

Source: Reddit

 

JOKE #9

The B in Benoît B. Mandelbrot stand for Benoît B. Mandelbrot.

Source: Reddit

Explanation: The Mandelbrot set is a fractal. As you zoom in on portions of the fractal, you ee a self replicating image. So the infinite paradox in the joke is a shoutout to the problem. Here’s an example of what we’re talking about with a gif of zooming in on a point of infinite complexity in the Mandelbrot set:

Mandelbrot set

 

JOKE #10

 

Infinitely many mathematicians walk into a bar. The first says, “I’ll have a beer.” The second says, “I’ll have half a beer.” The third says, “I’ll have a quarter of a beer.” The barman pulls out just two beers. The mathematicians are all like, “That’s all you’re giving us? How drunk do you expect us to get on that?” The bartender says, “Come on guys. Know your limits.”

 

Source: Reddit

 

Explanation: This is a reference to a converging infinite series. 

The limit of this:

from n=0 to ∞   Σ (1/2n) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …  = 2 

 

JOKE #11

An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third orders a third of a beer. The bartender bellows, “Get the hell out of here, are you trying to ruin me?”

Source: Reddit

Explanation: This is another hilarious reference to an infinite series — the harmonic series — which is not convergent but instead diverges to infinity. 

from n=1 to ∞   Σ (1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …  =  

See a full explanation in this slideshow >

 

JOKE #12

When a statistician passes the airport security check, they discover a bomb in his bag. He explains. “Statistics shows that the probability of a bomb being on an airplane is 1/1000. However, the chance that there are two bombs at one plane is 1/1000000. So, I am much safer…”

Source: Andrej and Elena Cherkaev

Explanation: While this statistician is correct that the joint probability there are two bombs on a plane is 1/1,000,000, his bringing one on doesn’t change the prior probability that there is still a 1/1,000 chance of his flight being the one with a random bomb.

Also, the TSA is not known for its logical prowess.

 

JOKE #13

What do you get when you cross a mosquito with a mountain climber?

Nothing. You can’t cross a vector and a scalar.

Source: Reddit

Explanation: A vector is a mathematical entity with both magnitude and direction in any number of dimensions. You can take the cross product of two vectors to form a new vector, similar to multiplication of real numbers.

A scalar is just a real number, a directionless magnitude in vector space. You cannot take a cross product of a scalar and a vector.

Hence, you can’t cross a mosquito (disease vector) and a mountain climber (a scalar).

That is one terrible pun. I’m sorry.

Read more: http://www.businessinsider.com/13-math-jokes-that-every-mathematician-finds-absolutely-hilarious-2013-5#ixzz2i5m8Kd00

数学界的奇妙八卦

前两天跟一个老同学聊近年来数学上的重大发现,结果作为科普人的我说着说着就发现,数学史原来就是一部八卦史。这个圈子奇葩辈出,怪事叠显。恩,这也正是我们本行从业人员不能自拔的一大乐趣。特此重新整理如下,绝对不保证事实正确性,与现实如有雷同纯是巧合。

故事首先从85年的 Andrew Wiles 说起。此人生在剑桥,但是考大学的时候2B了,没考上剑桥,去了离家不远的国王学院,毕业后好歹也去了牛津大学读了数学博士,但是毕业已经27岁了。作为数学从业人员,大家都知道,27岁才博士毕业,基本就是 “此人智商也就稀松平常” 的同义语。数学界的最高奖菲尔兹奖只发给40岁以下的人,你丫27岁才毕业,在这个行当里还有几年好混啊,对吧。正如妈妈总会拿邻居家的小孩来对比一样,看看人家特仑苏陶大神,20岁就博士毕业了,24岁都终身教授了,这才有大师范儿。

回头说这个 Wiles ,毕业后颠簸了几年总算去 Princeton 找了份教职,正式迈入伪大佬行列。人们都知道在美国混教职,前七年最难熬,因为每年都有发文章的硬性要求,发不出来就下岗。熬过七年就是终身教授了。这个 Wiles 一去也是玩了命儿地憋文章啊,没日没夜地写。但是他干了件惊天地的NB事儿,每年都扣下几篇写好的文章不发。这是在干啥,等被别人抢发了么?NO,作为一个吊丝大叔,他在盘算一个宏伟的逆袭计划。

大概 85 年左右,数学界发现只要证明 Taniyama 猜想就证明了费马大定理。这个费马大定理可是几百年未决的世纪大难题。Wiles 当时就决定搞这个。这个很有不成功则成仁的勇气,因为几百年来无数英雄天才都在这上面折了腰。搞出来就是一代伟人,搞不出来就是将生命燃烧成一缕烟化作一堆灰埋在春泥里。从85年起,Wiles 就开始闭关修炼费马大定理,谁也没告诉,一个人宅小黑屋里偷偷地搞。恩,搞数学其实就是这样的。生物化学物理都要合作,唯有数学,没有合作这一说,所有大成就都是一个吊人宅小黑屋里偷偷地搞,然后搞出来让大家膜拜他的智商的。这一宅就是好多好多年,但是要晋升终身教授每年都要有文章啊,这时候,前几年攒下的文章就派上用场了,每年都拿出来发一点,最后也有惊无险地成为了终身教授。

宅了整整七年后,竟然终于搞出来了。七年啊,练龙象般诺功也该练到第八九层了都。逆袭了,就这三个字。但是好景不长,还未满一年,就被发现这个证明有错。数学上被发现论文有错可是大事。生物化学还可以是解释试验方法不对,仪器有问题,小白鼠长得丑,之类乱七八糟的原因,但是数学论文有错,只有一个原因,就是你智商有问题。数学史上就有个数学家,挺有名的但是忘了叫啥了,论文发表错了三次,直接身败名裂。投文章的没杂志收了,灰溜溜地退出数学界了。主要是数学论文不好懂,别人看你证明怎么着也得看半个月半年的,看了这么久原来发现有错,这不是耍人谋杀生命么。为了避免身败名裂的厄运, Wiles 没办法又开始宅了。好在这下是终身教授了,宅着也没人开除他。这一宅又是三四年,终于把这个 bug 给修复了。然后,这个故事就结束了,Happy ending, 这位 Wiles 从老吊丝摇身一变成为了武林泰山北斗。

时间转到了2003年。俄罗斯,也就是毛子国,Perelman 说他证明了也是一个一百多年的世纪大问题庞加莱猜想。大家都惊了,此人是谁?问问此行专家,专家都说此人貌似很NB。但是NB在什么地方?不知道,也没见他发过啥文章啥的。而且也不在美国,是在毛子国的一个大学做研究员。这个问题实在是太重要了,于是美国各个大学都开始读他的证明。数学家读同行的文章是怎么读呢?恩,当时是这样的。一个教授,带几个博士后,加几个博士,组成一个小组。每周开会一次,大家看个一两页,一起讨论把搞懂。恩对,每周只能看一两页。然后一堆天才像参详武功秘笈一样,每周争吵讨论才能看懂。就这么几百页的文章看了一年多,大家觉得没啥问题,貌似都看懂了。然后世界才发现,啊,写这个武功秘籍的人原来是大师。看着都这么费劲,写出来的人岂不是智商超越宇宙边际了。

这时候,突然有一个小组,宣布他们发现了 Perelman 的文章有错。正如当年 Wiles 也被发现有错一样。不过这次是另外一种结局,Perelman 给世界的回复只有一句话 “我的文章没错,是丫的没看懂”。然后,最后事实证明,挑错的那个小组的教授们身败名裂了。数学界真的是风险行业,动不动就身败名裂的,入行的骚年们请三思啊。

然后就照例是 Happy ending 时间了,全世界的大学,教授,记者都飞去了莫斯科去找这位扫地神僧。结果人家一概不见。不搞讲座,不领奖,不接受采访。几百万美元的奖励不要,还是宅在老房子里啃黑面包。是真的啃黑面包,因为记者采访到他常去的那个超市的售货员,说 Perelman 总是胡子拉碴衣衫不整地过来买菜,高档的东西统统买不起,每天都买黑面包和通心粉。恩,这就是事实,这就是大师范儿。Perelman 现在在哪里在干什么没人知道,估计还是在宅着研究下一个大问题吧。

再往后,时间到了2013年,这次轮到中国人了。依然是一个老吊丝。此人叫张益唐,年轻的时候在野鸡大学 Purdue University 拿了博士学位,结果博士论文被发现有错,直接身败名裂没找到工作。此后流浪于美国各地,中餐馆小旅社之类的都打过工,还在 Subway 打过工。美国东北部的另一个野鸡大学 University of New Hamshire 当数学系院长的是张益唐的学长,看他可怜给了他一个没有编制没有身份的讲师席位。这一干就是二十多年。光阴荏苒,张益唐已经五十多了,还是个乡下野鸡大学的没编制的讲师。但是突然在2013年,又一个吊丝逆袭了。老张证明了一个几千年的大问题。也就是素数的间隔是有限的。顿时武林又沸腾了,附近的哈佛麻省都邀请老张去开讲座讲讲他的证明,老张很愉快地答应了,但是又补了一句,我还要改期末考试卷,我改完了再去啊。

此后的事儿就是人人上流传甚广的数学家刷下限的事儿了。老张证明了素数的间隔是有限的,但是这个间隔到底最大是多少呢,各路围观群众都一窝蜂地进来,改进方法,发现新的下限值。老张一开始发现的是七千万,很快一个多月后这个值就被无数围观群众刷到了七万。数学家真是可怕的动物不是么。然后人们突然发现,刷下限的人当中竟然有特仑苏陶的身影。回忆一下本文开始提到的,特仑苏陶就是那个20岁博士毕业,24岁终身教授,文章发了几百篇的超级大神一派掌门。此人也过来刷下限了?干这种低档子事?恩,其实特仑苏陶研究这个素数问题也有好些年了,不过一直没有大进展。这次竟然被一个老吊丝抢了风头,估计心里甚为不是滋味吧。不过他依然能放下身段,凭借自己的不灭智商,在围观人群中刷新了好几次下限,也真是难得的谦虚和勤奋了。

上面这些人都很神奇。最后结尾再来一个最神奇的。此人叫望月新一。个人主页的首页上就是一个大大的 “宇宙际级几何学者”。 看上去很山寨吧?但是其实人家是大神。生于日本,六岁去美国,23岁博士毕业于 Princeton,文章发了无数,一看就是武林新秀青年才俊。但是他毕业后不声不响地回了日本,宅在京都大学后就再也杳无音信。终于,很多很多年后,2012年,他都四十多了,青年才俊变中年大叔了,他宣布他证明了ABC猜想。这个又是一个几百年的大问题。这次世界又沸腾了,因为他年轻的时候就很NB啊,写出来的东西有可信度,身败名裂的可能性不大。但是大家一读了就懵了,这玩意谁也读不懂。望月新一基本重新建立的整个数学的体系,要读懂起码得把他以前写的几千页的东西全读懂。几千页听起来不多,但是想想,数学可是一周只能读一两页的东西。还真的有个教授,给系里请了一年年假,决心宅一年把读懂,结果读了一个月就逃回来上班了。据他说,他估计没有十年读不懂。然后大家就崩溃了。我们不懂,那把望月新一请来美国给我们讲讲啊,哈佛啥的都发了邀请,望月只回了一句话 “我的东西没办法给你们讲懂” ,然后就又没消息了。现在怎么样了呢?这个世界正在等待一个愿意花十年把望月的东西读懂的人。谁愿意读谁去读去吧,他读懂了我们就听他讲解个大意就好了。总会有人愿意抱着 “朝闻道,夕死可矣” 的决心去读望月新一的文章的吧。

数学家和数学笑话【最新汇总】

(0)有两个数学家在争论现在大众对数学了解的程度,一个比较乐观,另一个比较悲观,谁也说服不了谁。争到要吃中饭的时候,大家决定暂停争论,先吃饭。悲观的那个有点事,叫乐观的那个先去饭馆占张桌子,他随后就到。乐观的那个跑到饭馆里坐下,眉头一皱计上心来,把服务员小姐叫过来对她说:“等一会儿我会问你个问题,你不管我问什么,你就说:‘三分之一乘以X的三次方。’”“三分之一乘以……X的……三次方?”“对啦,就是这,别忘了。”然后悲观的那个来了,两人又接着争。乐观的那个就说:“让我们来看看吧。”就问在邻桌服务的服务员小姐:“小姐,X平方的积分是什么?““三分之一乘以X的三次方。”小姐想也没想头也没抬回答得挺快,离开后,她又回来补充了一句:“嗯——还要加上一个常数项。”

(1)一个英国某大学的数学教授发现自己家的下水道堵了,就请来一个水管工来修。30分钟后,水管疏通了。教授相当满意水管工的表现,但当他看到账单后不禁叫:“what!就30分钟你收的钱够我一个月收入的1/3了!我去当水管工好了!”。水管工说,“你可以去啊。我们公司正招人呢,还包培训。不过你得说你只是小学毕业。公司不喜欢学历太高的人”。于是教授就去参加培训,当了水管工。他的收入一下翻了三倍。他比以前高兴多了。几年后,公司突然决定把水管工们的文化水平提高到初中毕业,便要求旗下的工人们都去上夜校。夜校的第一堂课是数学。老师想先看一下这些水管工的基础有多好,于是他随便抽了一个人上来写圆面积的公式。这个教授被抽中了,不过干了这么多年水管工,他已经忘了圆面积的公式是PI * R^2。于是他只好从头推导:把圆无限分割后积分。但他得出的结果是负的PI * R^2。尴尬ing,教授从来又来,结果还是负的。他非常尴尬,于是回过头向教室里坐着的几十个水管工同事求助。只见这些同事正在交头接耳,纷纷给他说:把积分上下限交换一下。

(2)数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里, 看着人们从街对面的一间房子走进走出.他们先看到两个人进去. 时光流逝. 他们又看到三个人出来.

物理学家:“测量不够准确。”

生物学家:“他们进行了繁殖。”

数学家:“如果再进去一个人,那所房子就空了。”

(3)工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里. 当晚先是工程师的咖啡机着了火, 他嗅到烟味醒来, 拔出咖啡机的电插头, 将之扔出窗外,然后接着睡觉.

过一会儿化学家也嗅到烟味醒来, 他发现原来是烟头燃着了垃圾桶. 他自言自语道:“怎样灭火呢? 应该把燃料温度降低到燃点以下, 把燃烧物与氧气隔离. 浇水可以同时做到这两点.” 于是他把垃圾桶拖进浴室, 打开水龙头浇灭了火, 就回去接着睡觉.

数学家在窗外看到了这一切, 所以, 当过了一会儿他发现他的烟灰燃着了床单时, 他可一点儿也不担心. 说:“嗨, 解是存在的!”就接着睡觉了.

(4)物理教授走过校园,遇到数学教授。物理教授在进行一项实验,他总结出一个经验方程,似乎与实验数据吻合,他请数学教授看一看这个方程。一周后他们碰头,数学教授说这个方程不成立。可那时物理教授已经用他的方程预言出进一步的实验结果,而且效果颇佳,所以他请数学教授再审查一下这个方程。又是一周过去,他们再次碰头。数学教授告诉物理教授说这个方程的确成立,“但仅仅对于正实数的简单情形成立。”

(5)工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务:将一根钉子钉进一堵墙。工程师造了一件万能打钉器,即能把任何一种可能的钉子打进任何一种可能的墙里的机器。物理学家对于榔头、钉子和墙的强度做了一系列的测试,进而发展出一项革命性的科技——超低温下超音速打钉技术。数学家将问题推广到N维空间,考虑一个1维带扭结的钉子穿透一个N-1维超墙的问题。很多基本定理被证明…当然啦,这个题目之深奥使得一个简单解的存在性都远非显然。

(6)一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来,想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆,宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线,假设时间允许,他可以把木纤维拉的和赤道一样长,他认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来,然后说:“我现在是在外面。”

(7)物理学家和工程师乘着热气球,在大峡谷中迷失了方向。他们高声呼救:“喂——!我们在哪儿?”过了大约15分钟,他们听到回应在山谷中回荡:“喂——!你们在热气球里!”物理学家道:“那家伙一定是个数学家。”工程师不解道:“为什么?”物理学家道:“因为他用了很长的时间,给出一个完全正确的答案,但答案一点用也没有。”

(8)常函数和指数函数e的x次方走在街上,远远看到微分算子,常函数吓得慌忙躲藏,说:“被它微分一下,我就什么都没有啦!”指数函数不慌不忙道:“它可不能把我怎么样,我是e的x次方!”指数函数与微分算子相遇。指数函数自我介绍道:“你好,我是e的x次方。”微分算子道:“你好,我是d/dy!”

(9)物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上,碰巧看到一只黑色的羊.“啊,”天文学家说道,“原来苏格兰的羊是黑色的.”“得了吧,仅凭一次观察你可不能这么说.”物理学家道,“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的.”“也不对,”数学家道,“由这次观察你只能说:在这一时刻,这只羊,从我们观察的角度看过去,有一侧表面上是黑色的.”

(10)一天,数学家觉得自己已受够了数学,于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说:“您看上去不错,可是我得先给您一个测试。”消防队长带数学家到消防队后院小巷,巷子里有一个货栈,一只消防栓和一卷软管。消防队长问:“假设货栈起火,您怎么办?”数学家回答:“我把消防栓接到软管上,打开水龙,把火浇灭。”消防队长说:“完全正确!最后一个问题:假设您走进小巷,而货栈没有起火,您怎么办?”数学家疑惑地思索了半天,终于答道:“我就把货栈点着。”消防队长大叫起来:“什么?太可怕了!您为什么要把货栈点着?”数学家回答:“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”

(11)一个数学家、物理学家和工程师,来到了一个农场,这个农场养的鸡生病了,农夫试过了各种方法,兽医也没有办法,一个动物学教授在仔细研究之后建议农夫尝试去请教一下别的科学家。数学家仔细观察了那些鸡,并且做了一些测量,然后计算了很多次,并且做了大量的统计分析,但是最后他最后得出结论说他没有办法找出那里出了问题。工程师搬来一大堆各种仪器,让后对鸡进行了了各种测量,包括比较正常的鸡和生病的鸡的重量等等,但是他也没有办法得出任何有用的结论。最后轮到物理学家了,他只是看了一眼那些鸡就开始计算起来,经过大概一个小时的计算,他终于说:“我已经找到挽救你的鸡的方法了,不过这种方法只对在真空中的球形的鸡有效。”

(12)证明所有大于2的奇数都是质数,不同专业的人给出不同的证明:

数学家:显然这是错误的命题,举一个反例9即可。

物理学家:3是质数,5是质数,7是质数,9是实验误差,11是质数,……

工程师:3是质数,5是质数,7是质数,9是质数,11是质数,……

计算机程序员:3是质数,5是质数,7是质数,7是质数,7是质数,……

统计学家:让我们来试几个随机抽取的数:17是质数,23是质数,11是质数,……

(13)Pi是什么?

数学家:Pi是圆周长与直径的比.

工程师:Pi大约是22/7.

计算机程序员:双精度下Pi是3.141592653589.

营养学家:你们这些死心眼的数学脑瓜,”派”是一种既好吃又健康的甜点!

下面是一些数学家身上发生的传闻轶事,未必都是真实的。

一次拓扑课,Minkowski向学生们自负的宣称:“这个定理没有证明的最要的原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。”…….这节课结束的时候,没有证完,到下一次课的时候,Minkowski继续证明,一直几个星期过去了……一个阴霾的早上,Minkowski跨入教室,那时候,恰好一道闪电划过长空,雷声震耳,Minkowski很严肃的说:“上天被我的骄傲激怒了,我的证明是不完全的……”

Landau这位俄国最伟大的物理学家惊叹道:“为什么素数要相加呢?素数是用来相乘而不是相加的。”据说这是Landau看了Goldbach(哥德巴赫)猜想之后的感觉。

Hilbert曾有一个学生,给了他一篇论文来证明Riemann猜想,尽管其中有个无法挽回的错误,Hilbert还是被深深的吸引了。第二年,这个学生不知道怎么回事死了,Hilbert要求在葬礼上做一个演说。那天,风雨瑟瑟,这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致词,首先指出,这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀,众人同感,哭得越来越凶。接下来,Hilbert说,尽管这个人的证明有错,但是如果按照这条路走,应该有可能证明Riemann猜想,再接下来,Hilbert继续热烈的冒雨讲道:“事实上,让我们考虑一个单变量的复函数…..”众人皆倒。

一次在Hilbert的讨论班上,一个年轻人报告,其中用了一个很漂亮的定理,Hilbert说“这真是一个妙不可言(wunderbaschon)的定理呀,是谁发现的?”那个年轻人茫然的站了很久,对Hilbert说:“是你.……”。

1976年徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》在全国引起轰动以后, 中科院数学所收到过无穷多关于证明了哥德巴赫猜想的信件,后来实在没有精力处理,就印了一批卡片,样子大概是这个样子的

亲爱的_____
谢谢您寄来的关于哥德巴赫猜想的证明。
第一个错误在
______页 ______行
这使得证明无效。

A.Coble是上个世纪美国的院士,做代数几何,一度很有影响。据称,他有无穷多个博士论文的题目:当你证明了一个2维的情况的时候,他叫下一个博士生去证明3维的情况,然后叫下下个博士生去做4维的。后来有个叫Gerald Huff的博士,不但做了5维的情况,而且对一般的n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了。Coble很怒。

von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题,就是两个人相向而行,中间有一只狗跑来跑去,问两个人相遇之后,狗走了多少的这种。应该先求出相遇的时间,再乘狗的速度。如果没有什么记错的话,小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上,就有人问他这个问题,他老人家当然不会感到有什么困难了。von Neumann也是瞬间给出了答案,提问的人很失望,说你以前一定听说过这个诀窍吧,他指的是上面的这个做法。von Neumann说:“什么诀窍?我所做的就是把狗每次跑得都算出来,然后算出那个无穷的级数。”……

Kolmogorov大概在17岁左右,写了一片关于牛顿力学的论文,就去了Moscow State University,他刚刚开始学的不是数学,他经常会提到他为什么后来去学数学。一开始,Kolmogorov喜欢历史学,并且写了一篇很不错的历史学的论文,他的历史老师告诉他说在历史学中你要证明自己的观点需要几个甚至十几个论据来才足够,Kolmogorov就问说什么学科只需要一个证明就够了,他的老师说是数学,于是他就选择了数学系

被大家称为线性规划之父的Dantzig (丹齐克),据说,一次上课,Dantzig迟到了,仰头看去,黑板上留了几个题目,他就抄了一下,回家后埋头苦做。几个星期之后,疲惫的去找老师说,这件事情真的对不起,作业好像太难了,我所以现在才交,言下很是惭愧。几天之后,他的老师就把他召了过去,兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很ft, 后来才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业,而是老师说的本领域的未解决的问题,他给出的那个解法也就是单纯形法。据说,这个方法是上个世纪前十位的算法。
在一次国王接见Cauchy的时候,他有五次回答国王的问题是都这样说:“我预料陛下将问我这个问题,所以我准备好了答案。”然后,他从口袋里拿出笔记本,昭本宣读。

据说当年陈景润搭乘火车旅行,列车长前来查票时,他竟找不到票,陈急得满头大汗,列车长说:找不到就算了,再补张票好了。 陈:这怎么可以,找不到那张票,我就不知道我要去哪里啊!

德国女数学家Noether,虽已获得博士学位,但无开课“资格”,因为她需要写完论文后,教授才会讨论是否授予她讲师资格。当时,著名数学家Hilbert十分欣赏爱米的才能,他到处奔走,要求批准她为哥廷根大学的第一名女讲师,但在教授会上还是出现了争论。一位教授激动地说:“怎么能让女人当讲师呢?如果让她当讲师,以后她就要成为教授,甚至进大学评议会。难道能允许一个女人进入大学最高学术机构吗?”另一位教授说:“当我们的战士从战场回到课堂,发现自己拜倒在女人脚下读书,会作何感呢?”希尔伯特站起来,坚定地批驳道:“先生们,候选人的性别绝不应成为反对她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是洗澡堂!”

有一位国外的学者(搞数学研究的)到我们学校访问,住在学校外宾招待所,他要走的时候,我问他对我们学校的印象如何,他说:“你们学校的招待所太差了,以后再也不   敢住了!”我急忙问其原因。教授说道:“那吃饭的碗,碗口处处不可导,这哪是给人用的!”

Bernoulli 家族

这是一个生产数学家和物理学家的部落,有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲的姓氏。

1. John Bernoulli在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出,公开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi.Bernoulli,这两个人在学术让一直相互不忿,据说当年John求悬链线的方程,熬了一夜就搞定了,Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物线,实在是很没面子。那个杂志好像是Leibniz搞得,很牛,欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后,Jhon收的了5份答案,有他自己的,Leibniz的,还有一个L.Hospital侯爵的 (我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的,是个有钱人)然后是他哥哥Jacobi的,最后一份是盖着英国邮戳的,必然是Newton的,John自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子.”据说当年Newton从造币厂回去,看到了Bernoulli的题,感觉浑身不爽,熬夜到凌晨4点,就搞定了。这么多解答当中,John的应该是最漂亮的,类比了Fermat原理,用光学一下做了出来。但是从影响来说,Jacobi的做法真正体现了变分思想。

2. Bernoulli一家在欧洲享有盛誉,有一个传说,讲的是Daniel Bernoulli(他是John Bernoulli的儿子)有一次正在做穿过欧洲的旅行,他与一个陌生人聊天,他很谦虚的自我介绍:“我是Daniel Bernoullis。”那个人当时就怒了,说:“我是还是Issac Newton 呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。

3. 法国有一个哲学家,叫做Denis Diderot,中文的名字叫做狄德罗,是个无神论者,这个让叶卡捷琳娜女皇不爽,于是他请Euler来教育一下Diderot,其实Euler本来是弄神学的 ,他老爸就是的,后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲,才让Euler做数学了。Euler邀请Diderot来了皇宫,他这次的工作是证明上帝的存在性,然后,在众人面前说:“ 先生,( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在;请回答!”Diderot自然不懂代数,于是被羞辱,显然他面对的是欧洲最伟大的数学家,他不得不离开圣彼得堡,回到了巴黎……

做数论的人

1. Graham说:“我知道一数论学家,他仅在素数的日子和妻子同房:在月初,这是挺不错的,2,3,5,7;但是到月终的日子就显得难过了,先是素数变稀,19,23,然后是一个大的间隙,一下子就蹦到了29,……”

2. 由于Fermat大定理的名声,在New York的地铁车站出现了乱涂在墙上的话: x^n + y^n = z^n 没有解对此我已经发现了一种真正美妙的证明,可惜我现在没时间写出来,因为我的火车正在开来。

3. 有一个人叫做Paul Wolfskehl,大学读过数学,痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子,令他沮丧的是他被无数次被拒绝。感到无所依靠,于是定下了自杀的日子,决定在午夜钟声响起的时候,告别这个世界,再也不理会尘世间的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工作,当然不是数学,而是一些商业的东西,最后一天,他写了遗嘱,并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故,在午夜之前,他就搞定了所有的事情,剩下的几个小时,他就跑到了图书馆,随便翻起了数学书。很快,被Kummer解释Cauchy等前人做Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文,适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug,一直到黎明的时候,他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止,于是一切皆成烟云……这样他重新立了遗嘱,把他财产的一大部分设为一个奖,讲给第一个证明Fermat定理的人10万马克… …这就是Wolfskehl奖的来历。

Gottingen的传说

Gottingen市政厅底层的墙上 直言不讳的镌刻着: “Gottingen以外没有生活。”

1. 1854年,Riemann为了在Gottingen获得一个讲师的席位,发表了他划时代的关于几何学的演说。由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员,对于数学根本就不懂,Riemann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber的回忆说,当演说结束后,Gauss怀着少见的表情激动的称赞Riemann的想法。如果读读Riemann的讲稿,就会发现那几乎就是哲学,尽管这样子,当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss。而整个数学界,为了完善消化Riemann的这些想法,却话了将近100年的时间。有人说Riemann的著作,更接近于哲学而不是数学,甚至在一开始,欧洲的很多数学家认为Riemann的东西是一种家庭出版物,更接近物理学家的看法,与数学家没有关系。一次 ,Helmholz和Weiestrass一起外出度假,Weiestrass随身带了一篇Riemann的博士论文,以便能在一个山清水秀的环境里静静的研究这篇他认为是复杂又宏伟的工作。但是Helmholz大惑不解,他认为,Riemann的文章再明白不过了,为什么Weiestrass作为数学家要这么化功夫呢?

2. Klein上了年纪之后,在Gottingen的地位几乎就和神一般,大家对之敬畏有加。那里流行一个关于Klein的笑话,说Gottingen有两种数学家,一种数学家做他们自己要做但不是Klein要他们做的事;另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事。这样Klein不属于第一类,也不属于第二类,于是Klein不是数学家。

3. Wiener去Gottingen拜访这位老人家,他在门口见到女管家时,问道教授先生在么?女管家训斥道,枢密官先生在家。一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数学家在英国科学界的地位,譬如说Newton。Wiener见到Klein的时候,感觉就像去拜佛,后者高高在上,Wiener的描述是“对他而言时间已经变得不再有任何意义”。

4. 关于Klein还有一个故事,当初王诗宬老师请了一个法国的拓扑学家来北大做报告,他讲的东西和双曲几何有些关系,半路上,突然讲到了Klein和Poincare的故事,说是Klein和Poincare都在研究自守函数什么的,对于2维的的情况,Poincare把自己的结果用Fuchs的名字来命名,因为这个人的东西他曾经看过,并且有很大的影响,Klein感到特别的不爽,他也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一无所知,如此冠名,他自然觉的很不妥。后来,他和Poincare分别做3维的情况,无奈自己不是Poincare那样的天才,用功过度,体力不支,身体都垮了,从此结束了自己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么东西,于是把3维自己得到的群命名为Klein群。当时王老师也特别想将这个故事,自己踌躇了半天,后来说这个东西是法国人很有面子的一件事情,还是让这个法国人讲了。

D.Hilbert

5. David Hilbert并不是Gottingen毕业的。19世纪80年代,Berlin大学的博士论文答辩, 需要2名学生作为对手,他们向你不停的发问。Hilbert的一个对手是Emil Wiechert(埃 米尔.魏恰特),后来是最著名的地震学家。那时候,德国(也许叫做普鲁士)的大学教授特别少。Berlin之后3名数学教授,一般的大学至多2个。 Hilbert的博士宣誓仪式,校长主持:“我庄严的要你回答,宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证:你讲勇敢的去捍卫真正的科学,将其开拓,为之添彩;既不为厚禄所驱,也不为虚名所赶,只求上帝真理的神辉普照大地,发扬光大。”欧很想知道现在北大的授予博士仪式是不是也有类似的话

6. Hilbert上了年纪的时候,一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道数学家。那时候,Minkowski这些他很熟的人,有很多都已经故去。他特别关心正在被谈论的这个人,当大家说完这个人有几个孩子之类的事情之后,他就问说:“…他还‘存在’么.…….”

7. Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事,说是他在街上散步,发现一个年轻人正在默默想着某个很重要的问题,于是Minkowski轻轻的拍拍他的肩膀,告诉他“收敛是肯定的”,年轻人感激而笑。

8. H.刚去Gottingen的时候,被拒之“圈”外。所谓的圈,是指Toeplitz, Schmidt, Hecke和Haar等一
群年轻人,大家一起谈论数学物理,很有贵族的感觉。一次,大家在等待Hilbert来上课,Toeplitz指着远处的Weyl说:“看那边的那个家伙,他就是Weyl先生 。他也是那种考虑数学的人。”就这样子,Weyl就不属于“圈”这个集合了。这个故事是Courant讲的,Haar当时是Hilbert的助手,Gottingen当时的人们无一不认为他将是那种不朽的数学家。但是事实证明,Weyl的伟大无人能比,尽管Haar在测度论上贡献突出 ,但是Courant还是说他和Weyl“根本没法相比”。

9. von Karman(冯.卡门)通过Haar的介绍来到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之后,他很快成为“圈”内的领袖。圈外人Weyl再一次证明了他的优秀,他和Karman同时爱上了才貌双全的一个女孩,并且展开了一场竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧,因为那个女孩子选择了Weyl。

先介绍一个人,L.V.Ahlfors, 和另一个美国的数学家共同分享了第一届的Feilds奖。大家知道他的一部分工作,就是展示给大家复分析和双曲几何之间的深刻联系,把曲率之类的几何概念引入了复分析,给出了Schwarz引理的几何上的漂亮解释。他还在共形映射,Riemann曲面领域都是贡献非凡。下面是一个很传奇的事情,我希望那些认为数学没有“用”的看看数学家是如何认为数学有用的。hehe

L.V.Ahlfors说这些话的时候,正是二战受封锁的时候 “Feilds奖章给了我一个很实在的好处, 当被允许从芬兰去瑞典的时候, 我想搭火车去见一下我的妻子,可是身上只有10元钱。我翻出了Fields奖章,把它拿到当铺当了, 从而有了足够的路费…… 我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章……”

Hilbert写的第一篇关于Dirichlet原理的文章,希望Fredholm能够欣赏,但是Fredhold根本就没看;F.Riesz写了很多文章,希望Hilbert能够欣赏,但是Hilbert根本就没看;M.Riesz写了很多文章,希望F.Riesz能够欣赏,但是F.Riesz根本就没看……

1939年的时候,Kolmogorov决定在冰水中游泳,结果以住院告终,医生一致认为他差点点死掉;但是,70岁的时候,突然决定到莫斯科河里游泳,仍然是冰水,这一次却没有事情。

10. E.Landau是后来的Gottingen的数学系系主任,此人不仅解析数论超强,而且超级有钱。曾有人问他怎么能在Gottingen找到他,他很轻描淡写的说:“这个没有任何困难,它是城里最好的那座房子。”

11. E.Landau是比较自大的那种人,根本看不起物理化学,包括应用数学,他把任何和数学的应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus的博士考试需要一个天文学家的提问。Landau似乎很关心,就问Steinhaus都被问了什么问题,当他知道是有关3体问题的微分方程的时候,大声的说:“啊,如此说来,他知道这个.……”

12. A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间。一天,Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的Dedekind和他絮叨了一下午的废话,Dedekind狠狠的抱怨当年Guass对他不公平,在他的博士学位考试时,问了一些特别难的问题。

13. Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候,经过苏联,换火车的时候,在海参崴逗留了一阵,闲来无事去了当地的图书馆,这里的数学书仅仅占一个架子,全部都是Spring er-Verlag的黄皮书。

14. Poincare也曾去Gottingen演讲,顺便攻击了一下Cantor的集合论,Zermelo当时恰好证明的每个集合都可以良序化,Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子上,然而Poincare并不认识Zermelo,他大喊道:“Zermelo那个几乎独创的证明也应该彻底的毁掉,扔到窗外去!”Zermelo本来就性情古怪暴躁,那天更是绝望盛怒。Courant甚至认为Zermelo一定会在那天吃正餐的时候杀死Poincare。

15. Caratheodory是希腊的一个富人子弟,后来在测度等很多方面有着重要的贡献,北大图书馆还有他的一本讲复变函数的书,非常的几何化,特别优美。他当初是一个工程师, 26岁突然放弃了这样一个有前途的职业来学习数学,众人很不理解,他说:“通过不受束缚的专心的数学研究,我的生活会变得更有意义,我无法抗拒这样的诱惑。”他选择的学校是Gottingen.

16. W.F.Osgood是原来Havard的数学教授,来中国讲过课,我这里还有他在中国的讲稿:-)。他也是Gottingen毕业的,娶了一德国姑娘,在美国保持着德国的传统。大概是在Gottingen受的影响太大,Osgood做事都模仿F.Klein。他留着欧洲式的头发,抽烟的时候不停的用小刀戳雪茄,一直抽到发苦的烟蒂头。

17. 由于纳粹对犹太人采取的政策,很多数学家都离开了Gottingen。一次纳粹的教育部长问Hilbert说Gottingen 的数学现在怎么样了,Hilbert说:“Gottingen的数学,确实,这儿什么都没有了。”
Gottingen从那时开始一蹶不振。

18. 这一个几乎和Gottingen没有什么关系,很多数学家都是这个样子,开始的时候自己的工作的不到承认的,譬如说S.Lie当初的李群,Cantor当初的集合论,等等。Grassmann最初是一个预科学校的教员,尽管那个时候,他就做出了反交换代数这一大堆重要的东西,但是那个时代数学家从来不曾重视他的成果。Grassmann自己不的不放弃数学这个没有前途的职业,化了不少功夫在印度的梵文,把一个叫做Rig-Veda的印度古经译成了德文。所以Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重。在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann的写的维数论,标题页上面用铅笔写着Minkowski的名字,序言后的脚注是:“书付印时作者已去世。”Minkowski用几行字,清楚的表达了Grassmann的成就:“新版本将比三十多年前收到更多的尊重。”

Einstein和他的广义相对论

Einstein构思广义相对论的时候,尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann几何,他的数学还是不尽如人意。后来,他去过一次Gottingen,给Hilbert等很多数学家做过几次报告,他走不久,Hilbert就算出来了那个著名的场方程,Hilbert的数学当然比Einstein好很多。不久,Einstein也得出来了,有人建议Hilbert考虑这个东西的署名权问题, Hilbert很坦诚的说:“Gottingen马路上的每一个孩子,都比Einstein更懂得四维几何,但是,尽管如此,发明相对论的仍然是Einstein而不是数学家。”

Albert Einstein的广义相对论发表没有多久,有记者去采访Eddington,说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论,不知这三个人都是谁?Eddington低头沉思,很久没有回答。那个记者忍不住又问了一遍,Eddington说:“我正在想谁是第三个人……”

似乎每一个伟大的人物都以和Einstein交谈过感到无比的光荣。杨振宁提到他当初见Einstein的时候,过于激动,以至于事后根本不知道自己说过什么Einstein又说过什么。Lev Landau,苏联最伟大的那个物理学家,就说自己当年参加某会议的时候,有幸和Einstein说过几句话,而有某个认识Landau的人说Landau纯属幻想,当时此人和Landau一起,坐在那次开会的大厅的最后几排,连听都听不清,根本不可能谈话。可见Landau对Einstein的景仰程度。

Einstein描述广义相对论,用的数学就是弯曲空间上的几何学,意大利的数学家 Levi-Civita在这种几何学上做出了突出的贡献。所以,有人问Einstein他最喜欢意大利的什么,他回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita。

Einstein是Minkowski的学生,旷了无穷多的课,至于多年以后,Minkowski知道了Einstein的理论的时候,感叹道:“噢,Einstein,总是不来上课——我真的想不到他能有这样的作为。”

一次,P.Halmos和妻子遇到了Einstein和他的助手,Einstein很想知道“她”是谁,助手就说是Halmos的妻子,然后Einstein又问Halmos是谁……Halmos最没有面子的一次。

冯.诺伊曼

von Neumann移居美国的动机,很有特别的地方。他用了一种自己认为合理的方法,发现在德国将来的3年中,教授的职位的期望值是3,而候补的人数期望为40,这是一个不理想的就业前景,所以到美国去势在必行。这就是他的根据,此时并没有涉及到政治的形势。

von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题,就是两个人相向而行,中间有一只狗跑来跑去,问两个人相遇之后,狗走了多少的这种。应该先求出相遇的时间,再乘狗的速度。如果没有什么记错的话,小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上,就有人问他这个问题,他老人家当然不会感到有什么困难了。

von Neumann也是瞬间给出了答案,提问的人很失望,说你以前一定听说过这个诀窍吧,他指的是上面的这个做法。von Neumann说:“什么诀窍?我所做的就是把狗每次跑得都算出来,然后算出那个无穷的级数。”……

Banach在1927年参加一个数学的聚会的时候,他伙同众多数学家,一起用伏特加灌Neumann,最终Neumann不胜酒力,去了厕所,估计是呕吐。但是Bananch回忆道,当他回来继续讨论数学的时候,丝毫没有打断他的思路。

von Nuemann的年纪比Ulam要大一些,不过两个人是最好的朋友,经常在一起谈论女人。包括他们坐船旅行,除了数学之外,就是旁边的美女,每次Nuemann就会评论道:“她们并非完美的。”他们一次在一个咖啡馆里吃东西,一个女士优雅的走过,Neumann认出她来,并和她交谈了几句,他告诉Ulam这是他的一位老朋友,刚离婚。Ulam就问:“你干吗不娶她?”后来,他们两个结了婚。

一次Princeton举行的物理演讲,演讲者拿出一个幻灯片,上面极为分散的排列着一些实验数据,并且他试图这些数据在一条曲线上。von Neumann大概很不感兴趣,低声抱怨道:“至少它们是在同一个平面上。”
数学有害健康,大家过节了还是不要看书的好。下面是历史上最天才的几个数学家在这个时间轴上存在的长度: Pascal 39岁;Ramanujan 31岁;Abel 27岁;Galois 21岁;Riemann 39岁。身体重要的说。

de Moivre 21岁的时候,已经靠教数学为生,并且深信自己完全精通了这门学问。一个偶然的机会,他在一个公爵家里做客,且好Newton送来了自己的《原理》,他信手翻了 一下,惊奇的发现,数学竟然如此精深如此美丽的一门学问。这样,他买下了这本书,尽管为了教学需要四处奔波,他还要撕下书页,以便能够带在口袋里,空闲时进行研究 。

de Moivre(棣.莫佛)有个定理好像我们中学的课本里就有,说的是一个复数n次方的事情。

Pascal据说14岁的时候,就已经出席了法国高级数学家的聚会,18岁发明了一台计算机 ,是现在计算机的始祖。尽管如此,Pascal成年之后最终致力于神学,他认为上帝对他的安排之中不包含数学,所以完全的放弃了数学。35岁的时候,Pascal牙疼,不得不思考一点数学问题来打发时间,不知不觉间,竟然疼痛全无。于是,Pascal认为这是上天的安排,所以继续开始做数学家。Pascal这次复出的时间不到一周,但是已经发现旋轮线的最基本的一些性质。尔后,他继续研究神学。

Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)是苏联最伟大的数学家之一,在很多很多的领域做出了开创性的工作;Cauchy(柯西)就不用介绍了,从中学开始我们就认识这个法国人了。

Kolmogorov关于数学天赋的见解。当然,很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一下。柯牛人认为,一个人作为普通人的发展阶段终止的越早,这个人的数学天赋就越高。“我们最天才的数学家,在四五岁的时候,就终止了一半才能的发展了,那正是人成长中热衷于割断昆虫的腿和翅膀的时期。”Kolmogorov认为自己13岁才终止了普通人的发展,开始成长为数学家;而Aleksandrov是16岁。

Lagrange曾经预见了Cauchy的天才,苦心的告诫Cauchy的父亲,一定不要让Cauchy在十七岁之前接触任何数学书籍。这个巨象当年某些人不让张无忌学武功(好像有点不恰当 )。:-))

说几个数学家作为教师的生涯吧,大部分出名的人物讲课都不是太出色,或者说偶尔会很失败。譬如说 Newton 当初就经常对着空空的讲堂,他讲东西第一不是太清楚,第二太难,所以Cambridge的学生没有人喜欢他的课。

一些大家不是太熟悉的人
Mondelbrolt是靠着画分形出名的,其实他的叔叔,Mandelbrojt是个更为出色的数学家,曾经是Bourbaki最早的几个成员。他做学生的时候,大老远从波兰到法国读数学,去了之后精神上受到了严重的伤害,因为他选了Goursat的分析课,然而Goursat上课永远用一种语气,讲述二三十年前就有的旧东西,听了三周左右的课,Mandelbrojt感觉和自己梦想当中的课差的太远,竟然哭了出来。不过,几年后,Bernstein来到巴黎,安慰Mandelbrojt说Goursat二十多年前就这么讲课。不过Goursat对人是很热情的。

遥想当年Mandelbrojt那求知的感情,是多么的纯真。那种东西,似乎已经在也不属于我们这个时代。

还是有的数学家讲课不错的。
Lebesgue尽管开始研究的东西很奇怪,不过他的讲课确实出奇的得受欢迎。
Picard则是个古怪高傲的人,他的老丈人是Hermite,两个人都是对分析很感兴趣。

和Lebesgue一起,是一件很开心的事。据说,Lebesgue的课,总是有无穷的人去听课的,大部分人因为Lebesgue讲课不但深刻,而且很有意思。一次,一个国外的学者来法国报告自己的工作,Lebesgue说你不用报告了,我替你报告吧。:-)

Picard总给人一种高不可攀的感觉,令人不敢接近。每次Picard上课的时候,前面有一个戴有银链子的校役引路,他高傲的踱入教室,在椅子上放有一杯水,Picard先喝一口水,然后开始讲课,大约半个小时,他再喝一口水,一个小时以后,那个银链子校役就会来请他下课。

Lindemann,也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的的几个人之一。此处收集他的故事两则,一个是说他讲课,一个回忆了一下他在巴黎求学的两件小事,还是蛮可爱的。

传说中Lindemann讲课课大部分时间根本就听不清,听清的话都是不可理解的听不懂的话,而少数情况下,他讲的话又清楚又听的懂,那就是错话。

Lindemann到巴黎学习的时候,听过Bertrand和Jordan的课,当时学数学的人太少,尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家,听他的课的人只有3个,偶尔会达到4个,其中却中一人是因为教室里暖和。

Lindemann还曾拜访过Hermite,让他难忘的一点事,那里有一把椅子,是当年Jacobi 坐过的。:-))

毋庸置疑,Lefschetz和Wiener都是这种可以从相似之间看到相似的数学家不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。

Rota曾讲了一个Lefschetz的故事,关于他的课是如何难懂得,因为他经常语无伦次。这是几何课的开场白:“一个Riemann曲面是一定形式的Hausdroff空间。你们知道Hausdroff空间是什么吧?它也是紧的,好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么。现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理–Riemann-Roch定理。”要知道第一节Riemann曲面的课如果这样进行的话,恐怕Riemann复生也未必可以听懂。:-)

Wiener尽管是个天才,却是那种不善于讲课的那种,总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的事情,Wiener天真的认为自己懂一种汉语,一次在中国餐馆,他终于有了施展的机会,但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后,Wiener不得不评论:“他必须离开这里,他不会说北京话。”……

说一些法国数学家的事情。

Galois一共参加了2次Polytechnique的考试,第一次,由于口试的时候不愿意做解释,并且显得无理,结果被据了。他当时大概十七八岁,年轻气盛,大部分东西的论证都是马马虎虎,一般懒的写清楚,并拒绝采取考官给的建议。第二次参加Polytechnique的考试,他口试的时候,逻辑上的跳跃使考官Dinet感到困惑,后来Galois感觉很不好,一怒之下,把黑板擦掷向Dinet,并且直接命中。Galios的天才是不可否认的,不过personality是少一点了,后者在Polytechnique考试中很重要。最后和Galois决斗的那个人, 是当时法国最好的枪手,Galois的勇气令人钦佩。两个人决斗的时候,相距25步, Galois被击中了腹部。

1856年的时候,Hermite患了严重的天花,并好之后,经过Cauchy大力怂恿,竟然皈依了罗马的天主教。就在这个期间,他和德国的Fuchs一直通信联系,于是,Klein说 Hermite“在气质上不是一个领袖人物”。当然,Klein如此的评论有些个人恩怨的成分 ,可以参见这个系列文章的(9).

在一次国王接见Cauchy的时候,他有五次回答国王的问题是都这样说:“我预料陛下将问我这个问题,所以我准备好了答案。”然后,他从口袋里拿出笔记本,昭本宣读。

法语是一种恐怖的语言,Birkhoff是上个世界初美国最著名的数学家之一,一个西方人学习法语,按照常理说应当有一定的优势,不过当他老人家去了法国的时候,还是遇到了麻烦。

Hadamard曾在法国主持讨论班,有很多人慕名而来,Birkhoff就这样子来到了法国,不过他的法语实在太差。那几天,巴黎一直下雨,一天Birkhoff见到了Mandelbrojt问:“一周……几次?”
大概中间的词他不会发音。Mandelbrojt说:“两次。”
“什么,两次?”
“是呀,礼拜二和礼拜五。”
“怎么可能呢?”
“下午三点半开始,五点之前就结束了。”
“这个绝对不肯能!!!”这个时候Birkhoff已经快疯了。
后来Mandelbrojt才知道原来Birkhoff问的不是讨论班的时间,而是什么时候下雨。

所有的数学家生活在两个不同的世界里。一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世界,一座冰宫。但他们还生活在普通世界里,事物因其发展或转瞬即逝,或模糊不清。 数学家们穿梭于这两个世界,在透明的世界里,他们是成人,在现实的世界里,他们则成了婴儿。
——S.Cappel

说3个可爱的法国学家爷爷当年的事情,一个是Hadamard,最出色的法国数学家之一,无论在几何,分析那个方面,都是经常那种用名字来修饰“定理”这个词的人;一个是Lebesgue,实变函数论的创始之人,其对数学的贡献不言而明;还有一个叫做Montel,相对于前两个人不是那么出名,不过在复分析当中有一个极其重要的概念,叫做Montel正规族,就是用他的名字命名的。

这三个人都是巴黎高等师范学校毕业的(不好意思,要么Hadamard就是从Ecloe Poly- technique毕业的),Hadamard是他们那一届的第二名,一生都对那个第一名不忿,尽管那个人作为数学家来说和他严格不是一个档次;Lebesgue和Montel是同一级的学生,分别是当年的第三和第二名,两个人一生都是很好的朋友,据说那个他们同一届的第一名仍然在数学方面和他们不能相提并论。

Hadamard的诡异嗜好。

他老人家是一个狂热的蕨类植物收集者,一次他带领自己的小妹妹到阿尔卑斯山去采集这些东西,把妹妹放在一个冰河旁边,采玩了之后就自己兴冲冲的回家了;他这种马虎一直改不掉,到了40年的时候,他成功的在忘了带护照的情况下,从法国动身去了美国 ;当然,蕨类植物也是他一生的最爱,老年的时候,他去莫斯科访问,Kolmogorov和Aleksandrov陪同他坐船,Hadamard忽然很兴奋得让他们靠岸,自己激动得站在船头,最后终于掉到了水里,原来他发现岸上有一种罕见的蕨类植物。

再说Lebegue和Montel,他们后来工作也是在一起厮混,所以下面的事情经常发生。

一次,Lebesgue打电话(那个时候有电话,大概很富有了)给Montel讨论一个事情,两个人各持己见,吵了一个小时(那个时候的电话怎么收费?)也没有结果;第二天早上,Lebesgue有给Montel打了一个电话,说我开始同意你的说法了,然而Montel说我也同意你的了,于是又开始争吵。

昨天Science版聚,讲到了一个和倍立方有关的小故事,也就是如何用直尺圆规做一个正方体它的体积是给定的正方体的2倍。当然这个问题用一点域扩张的知识,就可以证明是做不到的,和三等份已知角一样的。最初,在雅典流行瘟疫,人们很恐慌,就去求助于神,神谕说要使得瘟疫消失的充要条件是把一个立方形神坛重新建为一个体积是原来2倍的。按照古希腊的规矩,就是要用尺轨作图。于是大家去问Plato,Plato说这是神的旨意,用来警告大家要对几何学有着足够的敬意。

法国的数学家大都对抽象的东西情有独钟。Lagrange写出了他著名的分析力学的书的时候,就骄傲的宣称书中“没有一个图”;A.Weil在教师资格考试时,理论力学交了白卷 ,他认为那根本不算数学。A.Weil就这样子,曾经Pierre Carier问他Gottingen的事情,提到量子力学的时候,Weil根本不知所云,尽管当时Hilbert,Bohn,Heisenberg都在做量子论。后来,Chevally和Weil在悼念Weyl的时候,根本不提Weyl的物理学的成就,然而大家公认Weyl最有名的两本书一本关于相对论,一本关于量子力学。

Riemann的父亲是个牧师,家里特别的穷,从小体弱多病,也打算做牧师。有一个人(据说是Rieamnn的中学校长)发现他在数学上比在神学上更有潜力,送给他一部Legendre的数论书。Legendre是一个伟大的法国数学家,他的书十分的晦涩难懂。六天之后,Riemann就找到那个人把这本859页的名著还了,说:“这本书的确十分的精彩,我已经看懂了。”这个时候Riemann只有14岁。

Riemann19岁的时候去Gottingen读神学,平时也会听一些数学的课程。他比较喜欢泡在图书馆里。一次,他在那里找到了Cauchy的分析的著作,如获至宝,读完之后,便坦然的决定放弃神学,从此开始读数学了。

今天举两个牛人,Siegal(西格尔)是那种很聪明又很努力的,而Kodaira(小平邦彦)自己经常说自己天资不好,但是他从中学开始就是那种做事情一丝不苟全身心投入的人,他回忆自己第一次学习van de Wearden的《代数学》,几乎学不懂,然后就开始抄书,一直到抄懂为止,可见的Feilds奖的人的学习方法也不见的先进,唯手熟尔。

Siegal曾经说过,他可以从早上9点起,研究数学,一直到深夜12点,不吃不喝,最后把一天的食物一并吃掉,弄得胃很不舒服。Siegal被Kodaira称为“非常勤奋”,被Kodaira称为勤奋,可见其勤奋成都是何等的可怕。

Kodaira一天的生活(1949年4月19日):
8:00起床,剃须,穿西服,外出早餐(玉米片,牛奶,咖啡);
散步到研究所,大约9:30;
9:40–10:40 Siegal的关于3体问题的课;
11:15–12:00 Weyl的讨论班; 到食堂吃午饭; 坐车去Priceton,
1:20–2:20在自己的讨论班上讲论文; 回家继续写论文;
5:30到街上的餐馆吃饭; 回家继续工作到深夜。

开始说说波兰的数学家,从Banach开始, 最最伟大的波兰数学家。
Banach在数学界的登场是一段美丽的传说// :”-))

1916年的一个夏夜,Steinhaus在一个公园里散步,突然听到了一阵阵的谈话声,更确切的是有几个词让他感到十分的惊讶,当听到“Lebesgue积分”这个词的时候,他就毫不犹豫的走向了谈话者的长椅,原来是Banach和Nikodym在讨论数学。Steinhuas就这样子发现了Banach,并把他带到了学术界。他说:“Banach是我一生最美的发现。”

波兰学派的人似乎喜欢在咖啡馆里讨论数学,Kuratowski和Steinhaus是有钱人,他们一般在高档的罗马咖啡馆里谈论数学;Banach,Ulam和Mazur穷一些,整天呆在一个苏格兰咖啡馆里,那里的老板挺不错,即使过了营业时间,也不会赶他们。这样子很多年轻的数学家都来到这里,每次有什么重大的发现,就纪录在一个大的笔记本来,并保存在店里,这就是著名的苏格兰手册。当然,老板对他们好的一个原因就是他们每次都可以消耗大量的啤酒,据说有一次聚会长达17小时,其间,Banach不停的饮酒,Ulam说Banach是难以超越的,英文的原文是difficult to overlast and to overdrink Banach。德国人在二战的时候,需要大量的寄生虫繁殖疫苗,于是就雇佣了很多波兰人,把装有寄生虫的盒子戴在他们的手腕上,一人体作为寄主。Banach曾经就拥有这么一个盒子, 其报酬是不会像Saks一样被杀死。一半以上的波兰数学家死于战争。

一个故事说M.Stone的父亲可爱的语言;另外讲了一个Harvard的数学教授,这个人到底做过什么出色的工作,我也不知道,只是其中提到了30年代的教学情况,特别好玩。

1. M.Stone写了一本关于Hilbert空间的书,他的父亲谈到自己的儿子时,总是自豪的说:“我困惑又很高兴,我的儿子写了一本我完全不理解的书。”

2. 1932年J.J.Gergen不的不在一门讲授Fourier级数课程时,不使用一直收敛的概念,原因是Havard大学的数学系一致的认为一致收敛这个概念对本科生来说太难了。

Newton的一生落落寡合,没有结婚,也没有知心的朋友,人们结交他都是因为他很高的地位和渊博的学识。一个同事回忆说他只见过Newton笑过一次,当时,有一个人问Newton说Euclid的几何原本如此的老朽,不知道有什么价值。对此,Newton放声大笑。:-))

对很多人来说,牛顿的贝壳尽管光滑尽管美丽,确实不如一块肥皂有用。数学家做的事情的确是这个样子,一种孩子般的游戏,纯粹的追求快感。Newton之后的几百年,Cambribge另一个大名鼎鼎的数学家Hardy也说过这种话: “从实用的观点来判断,我的数学生涯的价值等于零。”

既然扯到的Hardy就说说他的轶事吧。他这个人有着各种怪癖,譬如永远不会希望见到镜子之类的,每次到一个旅馆,总是用毛巾把各个地方的镜子都遮将起来。不说这些乱七八糟的,说一下子他用“数学”解决的恐船症。

Hardy每次做船的时候,总是怕沉了。克服这个东西的一个方法是,每次不得不坐船航行的时候,他会给同事发个电报或者明信片什么的,说已经搞定了Riemann猜想回来之后会给出细节的。他的逻辑是,上帝不会允许他被淹死,否则这又将是第二个类似于Fermat大定理的事情。

前天闲极无聊,去下载一个叫做百年大讲堂(凤凰中文台的节目)的东东看,其中是王诗宬老师的讲座,讲的是纽结。 这个以前看过若干遍了,但是看完之后依然就有一种冲动。 本来再已经写好Hero系列中有王老师的,不过不打算来post,现在还是忍不住。这两次就说两三个很小很小的事情,有历史上的人物,有王老师。 平行的叙述。 :-))

比做学问更重要的是做人。Erdos的Wolf奖金由5万美元之多,他却只留下了720美元,其余的都捐给了以色列作为奖学金。他说:“我记得有人告诉我说720美元在我已经很多了。”Baire是个公认的大好人,由于数学上的贡献,得到了瑞士颁发的一份奖金,有1000法郎之多,结果最后拿到了1500法郎。Baire就问他的朋友Montel说:“竟然多了500法郎呀 。我该怎么办,是应该给一位学生发奖学金,还是自己买一件外套?”Montel建议买外套。

王老师90年代初,得到了一份3万元的奖金,他全部捐给了希望工程,90年代初3万块钱的概念大家是清楚的。

再说一段王老师的评论,记得看过Atiyah的一个小册子,他评论道Thurston能够自如的看到高维的复杂图形,Thompson可以“看”到一个群。Thurston和Thompson都是得过Feilds奖的人。王老师给我们上课的时候,也做过这样的评论,说只要听懂了Thurston的一句话就可以写一篇论文,E.Witten就是一个神。呵呵..不过他说得更有意义的是紧接着的评论,说数学家有很多种,一种是像Thurston这个样子的,很聪明,所以做的工作很出色;另外一种是尽管天资不是很出众,但是自己能够耐得住寂寞,非常的刻苦, 所以后来也是很出色的。

今天再讲一个王老师的故事,也是他上课时候随口说的。他说的主持讨论班这个人就是那种工作特别刻苦,又有不错的机遇,最后做出了很大的成就。好像是Freedman吧,记不得了。

Mandelbrojt一次在Levi-Civita家里做客,恰好E.Landau去玩。Landau在当时也算是成了名的前辈,于是Levi-Civita举行了一个小小的聚会。其间,一个老先生对Levi-Civita讲,最近有一个荷兰的年轻人Mondebroht做的工作很出色,Landau问到那是谁呀? Mandelbrojt不得不跳出来解释说,那个人不是荷兰人,是波兰人;那个人也不叫Mondebroht,叫Mandelbrojt;那个人其实就是我……

王老师也有类似的经历。当年在Berkeley的一个讨论班上,一个牛人主持,讲解一篇论文,王老师在期间提了一些很不错的想法。 课下,那个牛人问阁下贵姓? “姓王。” 牛人说,太巧了,我们今天讲的论文也是一个姓王的中国人写的。“那就是我……”

开始说一下mm数学家 …… :-))

她们做出的成就的的确确比不上男数学家的成就,但是我们依然能够发现她们的事迹中有很多的伟大,很多的美丽。

从古希腊说起吧。那个时候,的确是一个很民主的时代,对于女性的歧视要远好于后来,譬如说很多伟大的数学家哲学家对女性参与数学的态度还是很好的,譬如说Pythagrass(毕达哥拉斯)学派当中就有女的信徒。Pythagoras本人就很鼓励女性学者,当年有个兄弟会之类的东西,里面就有28个女孩,其中有一个叫做西诺的,后来就被Pythagrass骗去做老婆了。这个女孩在当时是个比较有影响的数学家。Socrates(苏格拉底)和 Plato(柏拉图)也曾经邀请过女性去他们的学院讲学。

从他们往后,女性在很多的行业中受到了歧视,在哲学数学自然科学这些领域更是如此了。

有一个令人心痛的故事,讲的是Hypatia (西帕蒂娅) ,她处的时代就是Plato他们往后那么一点的时候。Hypatia本身是个很优秀的数学家了(在那个时代),她的演讲很出名,而且解题也是高手,其父亲是亚历山大的一位数学教授。经常有一些数学家找他询问一些题目的做法,她也很少让大家失望。一个小故事说有人问她为什么不结婚,她回答说她已经和真理定了婚。不过Hypatia后来极为悲惨,有个叫做Cyril的什么教长之类的人,声称数学家哲学家这帮人为异端,对他们大加残害,手段令人发指。 在一个封斋的日子里,Hypatia被从马车上拖到教堂,剥光衣服,身上的肉被一群狂暴的人用牡蛎的壳刮了下来。

mm数学家之二

话说时光飞逝,转眼间从古希腊来到了18世纪的意大利。尽管从物质生活到文化的各个方面,比起希腊,已经大大的发展了,但是女性的地位相对来说还是一如既往的得不到重视。

有一位被认为是当时欧洲最出色的数学家的女数学家,叫做Maria Agnesi(玛丽亚.阿涅 西) 像她这样出色数学家,在欧洲还是没有研究机构愿意提供给她职位,尤其是法国这样的国家,更是对她不屑一顾。

她有一篇关于曲线的切线的文章尤为出名。但是意大利语中曲线一词叫做versiera, 好像在拉丁文还是什么文字当中是avversiera的缩写,后面这个词意思是魔王的妻 子。于是Agnesi研究过的一段曲线(versiera Agnesi)翻译成英文的时候,就被叫做Agnesi的女巫,后来,有一段时间,大家都这么称呼女数学家。

在关于女数学家的记载当中,很少有关于她们容貌的描述的,不过要说的是还是有ppmm做了数学家,上个世纪在偏微分方程方面,Sonja Kowalewski(柯瓦列夫斯卡娅.索菲娅)无疑是最优秀的数学家之一。她本人绝对是个一流的美女,据说当初Weiestrass也被她的美貌深深的吸引。

mm数学家之三

每每读到她为什么选择了数学,总让我心驰荡漾……..

在所有的欧洲国家中,法国对女性的歧视(学术上的)尤为严重。Sophie Germain(索菲 .热尔曼)就出生在这个国家。Germain当初读过一本讲Archimedes的书,说当初他老人家专心的研究一堆沙子组成的几何图形,以至于一个罗马士兵问他话他充耳不闻。那个士兵一怒之下把Archimedes杀死了。Germain认为,一个人可以如此的痴迷于一个东西以至于置生死于不顾,那么这个东西一定时是世界上最美的最迷人的。于是她选择了数学。开始Germain的父母强烈反对,没收了她的墨水蜡烛之类的东西,然而,Germain痴心不改,终于感动了父母,一生父亲都支持她的数学工作。1794年,Polytechnique在巴黎建校,尽管这里盛产数学家,但是却只接受男性,于是Germain化名为Le Blanc偷偷的混进去旁听,当然,当时确实有一个人叫做Le Blanc,估计这个人比较喜欢旷课,反正他一直不到,Germain得以在那里好好的读书,几个月之后,她的任课老师Lagrange发现了一个很牛的学生,Germain不得不说她其实是女儿身。Lagrange毕竟不同于一般的人,他很高兴有这样的一位朋友,并乐于做Germain的导师。
Germain不久对数论尤为倾心,可能受Lagrange的影响吧,他年轻的时候靠变分法出名,年长之后在数论方面贡献卓越。Germain选择的题目是Fermat大定理,她把自己的结果寄给Gauss,令Gauss特别的欣赏,她当年才刚刚20岁,而她做出的成果是当时最好的。当然,她还是怕Gauss对女性有偏见,于是仍然选择了Le Blanc这个名字。后来,Napolean的军队攻入德国,Germain怕Gauss重蹈Archimedes之覆辙,于是给自己的朋友,也就是当时通领三军的一位将军写信,这位将军果然对Gauss很为关照。
Germain后来又在物理上面做了很多东西,尤其是在弹性理论上面。由于她在数学物理上的突出贡献,她最终荣获了法国科学院的金质奖章,并成为第一位不是一某位成员的夫人出席科学院讲座的女性。在生命的最后几年,Gauss说服了Gottingen大学,授予Germain名誉博士学位。在那个时代,这是极大的荣誉。可惜在她的有生之年,未能亲自带上那令人骄傲的帽子。

从Hadamard说起,原来讲过他是个和蔼的老头,数学好的不得了,人也是这个样子,上个世纪初还来过清华讲过课。 每每谈及往事,Hadamard总是很惋惜的说道一辈子有两件事情特别的后悔。

第一个在数学方面,他很早就找到了Jensen公式,由于没有发现很精辟的应用,一直就没有发表,结果Jensen抢先了一步。 第二个是物理方面,关于狭义相对论,他也是很早就有了这样的想法,只不过没有时间深入下去,后来Einstein就发表了。
其实Hadamard最不能忘怀的事情,决不是上面两件,而是关于自己当初考试的。以至于年纪大的时候,仍然耿耿于怀,甚至到俄国和Kolmogorov都提这件事。就是Hadamard做学生的时候,参加数学的会考(相当于数学竞赛吧),得了第二名,第一名后来也是一个数学家,Hadamard对Kolmogorov说:“事实证明后来他做得没有我好,其实他一直没有我好。”

当初Fermat证明不了东西时候,就写下了这句话 Cuius rei demonstrationem mirabilem sabe detex marginis exiguitas non caparet. 翻译成中文就是 我有一个对这个命题的十分美妙的证明,这里的空白太小,写不下。
后来,Hilbert也会了类似的技巧,有人问Hilbert为什么不去证明Fermat大定理,他说为什么要杀死一只下金蛋的母鹅,因为这样的一个对整个数学发展有着如此深远推动的问题太少了。不过个人认为他没有能力杀死这只鹅。
还有另外一个和金蛋有关的事情,不过和数学家没有关系。当初欧洲的反法联军快攻到巴黎的时候,Ecole Polytechnique的学生要求上战场,保卫国家,拿破仑说:“这怎么可能呢,我不能为了打赢一场战争,杀死一只会下金蛋的母鸡吧。”

Whitney是很著名的美国数学家,做了很多很重要的工作,譬如说向量丛的Stiefel- Whitney类是用他的名字命名的,还有一个著名的定理,说每一个n维的流形都浸入一个 2n-1维的欧氏空间嵌入一个2n维的欧氏空间,也是他的结果。我们的图书馆里还有他的论文集的。
Whitney的本科时候读的不是数学,话说他学业完成,到欧洲大陆去玩,大概是到了Gottingen还是什么地方了,反正是个很有名的地方,当时有一个很牛的物理学家(不是海森堡就是薛定谔)正在做一个关于量子力学的讲座.
等得讲座结束之后,Whitney什么也没听懂,感觉及其不爽,于是找到了那个主讲的人, 说,先生,我觉得你做的讲座很不成功. 主讲的教授很纳闷,就问他说为什么. Whitney回答说,我可是Yale大学的优等的毕业生,你讲的东西我竟然听不懂,这难道不是你讲的有问题么。
那个教授继续问,你是读什么专业的。 Whitney回答说,我是读小提琴的…..
教授大大的分特了,说这个我也没有办法,你要想懂的这些东西的话你应该学一点基础的课,于是告诉他这个世界上还有数学分析和线性代数等等…
Whitney回美国之后就开始发奋学习数学,据说半年之后就可以参加很高级的讨论班了.

当然他是非常刻苦的, 数学的历史上还是有很多这种大器晚成的例子的.

一个很有意思的事情,很多很多的数学家和物理学家都特别的喜欢音乐,一个很出名的例子就是爱因斯坦。数学家当中也是这个样子,大家在做完了数学之后,也会醉心于此。譬如说E.Artin,一个上个世纪影响最大的代数学家之一,据说钢琴的弹奏水平极高,尤其是特别的严格,好像他做的代数一样;譬如Courant,和Artin比起来路子要野蛮一 些,水平也要低些,不过热情毫不逊色,还经常邀请Artin到家里演奏一番;再譬如说J.Nash,这个人大家比较熟悉,刚刚演的A Beautiful Mind说得就是他,他原来就喜欢绕着Princeton的Fine Hall游荡,并且嘴里吹着口哨,后来一个得了Feilds奖也得了Wolf讲的人数学家J.Milnor还说,他第一次听巴赫的音乐就是通过当时Nash的口哨声。

更有甚者,譬如Dieudonne,这个法国Bourbaki的人,不但喜欢弹琴,更是能记住很多很多的乐谱,据说上千页的乐谱他也能背诵。曾经一次,Dieudonne和P.Cartier去音乐会,他指着手里的节目单说:“乐队的演奏漏了一个字符.……”

再譬如说,Fox,一个美国的拓扑学家,在60年代的时候,提到这个名字,就相当于提到了低维拓扑这个方向,他本人的小提琴的演奏水平也相当专业。这个人比较喜欢故弄玄虚,据说,在一次音乐会上,Kodaira和他一起,不料这次的演奏时不时的停顿,而且有声音的时间要少于没有声音的。Kodaira感到特别不好听,Fox叹息道:“这是受了禅影响之后的音乐,我正在试图从无声之中听出有声。”

上一次说到了很多数学家都喜欢音乐。不过我的看法是似乎比较“古老”一点数学家的业余爱好要少一些,当然有可能是关于他们的记载要少一些,不过我觉得他们更能够集中精力,全身心的投入。从阿基米德,牛顿到高斯,黎曼,似乎出了研究之外。很少关心别的事情。

譬如说Gauss(高斯)。听说过一件极其变态的事情,但是从另一个侧面我们也可以知道他不仅仅是天分出众,更重要的是努力。Gauss中年的时候妻子就死去了,那个时候,Gauss就很有名望,家里有保姆。妻子病的一塌糊涂,不过他还是专心自己的研究。这个当然不是一个值得称道的品质。就是妻子的弥留之际,他还是没有去她的身旁,保姆实在看不下去,就去Gauss做研究的地方去找他说让他赶快过去,Gauss随口答应了,但是依然做自己的东西。保姆又来了一次,痛斥了他一番,岂知Gauss告诉她说:“我马上就过去,你让她再等一会……”

在譬如说J.Nash, 大家只是知道他的天才,却很少提到他的努力。钟开莱(Kai Lai Chung)在Princeton的时候,遇到了这么一件事情。说一下,这个姓钟的人是一个很重要的华人数学家,在概率方面很有作为。他去一个很有名的休息厅,适时恰是秋季的清晨,休息厅里空空荡荡,寂静异常,就像教堂的感觉一样。大厅中间的巨大的桌子上面, 乱七八糟,全都是草稿纸,一个人躺在上面,正愣愣的思考。这正是Nash,很显然这又是一个不眠之夜,他一直在考虑数学.

说几个和监狱有关系的事情,做数学这个东西的确不同于很多学科,只要有一个场所可以供以静坐,有纸笔可以演算,这个世界的一切都无所谓。

最最著名的故事就是关于Leray的事情,他是法国Bourbaki学派的创始人之一。最初的时候,他做的是分析,在流体力学和力学方面卓有贡献。后来二战爆发,Leray作为法国的军官参战,40年的时候,被德国人抓到了集中营里。德国人在战争方面对于科技的重视使得他们对每一个数学家和物理学家都是很关注的,而Leray做的是分析,很有可能被德国人关起来去做各种各样的用来杀人的弹。为了避免这件事情的发生,他就以代数学家自居,在狱中的时候依然努力的做研究,出狱的时候,发表他的那套对后世影响至深的层论(Sheaf Theory)。

还有一个关于S.Lie的传说,这个人就是李群的那个Lie.S.Lie当年普法战争的时候呆在法国,由于普鲁士口音太重,被法国当局投入监狱,后来法国战败,大概恼羞成怒,准备杀掉这帮人,幸亏Darboux想方设法把Lie从那里救了出来。一个传说时,Darboux到达牢房的时候,发现他这位朋友竟然静静的坐着研究数学,而他在研究的东西正是著名Lie群。

还有一个和监狱有关的趣事,这个发生在Gottingen,主角是E.Landau,这个人在前面提到了多次,解析数论大家,巨富无比,人高傲自大,也蛮可爱的,除了当初对我们尊敬的Noether姐姐不恭之外。
Landau讲过Fourier级数的课,其中会涉及到一个叫做Gibbs现象的东西,当他讲到这里的时候,振振有词的评论道:“这个现象是Jail的英国数学家Jibbs发现的。”
Landau是典型的德国人,从这句话我们可以看到他的英文水平。因为这个时候,不得不有人跳出来指出他的错误:“第一他是个美国数学家;第二他叫Gibbs不是Jibbs;第三 ,也是最为重要的一点时,他更不在Jail(监狱)里面,而在Yale大学。”:-))
顺便说说这个”Jibbs”碰到的事情,Yale曾经连续7次拒绝向著名的物理学家Gibbs发薪水,理由是认为他的研究没有意义。

有一个故事说有一个人试图画出Lefschetz的数学后代家族树,几个月后,他就不得不放弃,因为根本找不到一张足够大的纸,这是一个指数增长的典型例子。越是这种大数学家,他的学生一般来说越多,受到他影响的人也就越多。
再譬如说在Berkeley的一次逻辑学的会议上,Tarski请Sierpinski的学生举一下手,大部分人都举了手,然后Tarski请Sierpinski的学生和学生的学生举手,所有人都举了手 。这两个人都是波兰的最最著名的数学家。

最后我列举一下一些数学家的师承,这个不完全,其实是很不完全,希望大家补充 :

Dirichlet是Riemann的老师
Wierestrass是Cantor, Killing 和 Frobenius的老师
Noether 是van de Wearden, Alexandroff的老师。
Hardy是Wiener的高等数学的老师,
Hermite是Dini的老师
Hadamard是Frechet的老师
Kronecker是Kummer的老师
Sylow是S.Lie的老师
Hodge是Atiyah的老师
Gauss的小学老师是Lobachevsky的大学老师
Hilbert是无穷多个人的老师
Kummer的妻子是Dirichlet的表妹。
Laurent Schwartz是Paul Levy的女婿

这里给一个1959–1960年度 Chicago大学 数学系教授的工资情况,这里的每一个数学家 都是大名鼎鼎的:

Stone 20000 $
Albert 16000 $
S.S.Chern 16000 $
Maclane 16000 $
Zygmund 16000 $
Kaplansky 13000 $
P.R.Halmos 13000 $

其实好像也不少了,那个时候是50年代末,有这么多钱肯定衣食无忧了,这也是为什么美国的数学家能够专心研究吧。
从现在来看,好像学数学收入更少了,很多人出国读数学没几年就转行了,毕竟计算机 经济之类的专业转化为生产力的速度更快。
说到了转行的事情,想到了一个“内部周转”的事情,Spencer在离开英国去Princeton 的时候,Littlewood去火车站送他,叮嘱:“不要改行。”于是,Spencer研究了10年的Bieberbach的系数问题,后来终于受不了了,改做复流形,没有多少功夫就和Kodaira 一起发表了他们著名的工作。

说一说数学家之间的恩怨,由于门派喜好乃至政治上的分别,他们之间也往往有些小小的过节。

法国曾经有一个很著名的Dreyfus事件,这是对法国的政局甚至日常生活影响很深的一个政治的风波(至于具体是什么,我也不知道,不过上面的信息对理解后面数学家们的行为已经足够了)。
Hadamard个人算是一个Dreyfus派的人,不过他个人当然是对政治事件很淡的那种人了。适值那年的元旦,按照巴黎高等师范学校的传统,年轻的老师要给年长的老师拜年。Hadamard于是跑到Hermite那里去拜谒一下子,Hermite本身是个反Dreyfus的人,看到 Hadamard来拜年,第一句话就说:“你是个叛徒!”Hadamard很难理解这句话:“为什么?”Hermite本身做分析,而且个人固执的看不起几何等分支,那时候Hadamard有一项关于负曲率曲面的文章很是著名,Hermite就对Hadamard说:“你为几何而背叛了分析 。”
Picard也曾为了这个政治的原因对Hadamard说:“由于你是数学家,我很尊重你。”言下之意,已经很明显了。不过Picard这个人一向目中无人,无论对谁都是贬多褒少,一个有意思的事情说,Picard在法国科学院收到了一份Bourbaki的报告,看到了Nicolas Bourbaki的名字,说:“呃,这些外国人。”

继续说数学家们之间的过节。整体而言,做学问的人总是让人尊敬,很少有令人讨厌的。要说几个人,他们的学问的确是一流的,但是在同行里的口碑却不是很好。

第一个要说的人是Koebe,此人作为数学家还是很出色的但是从做人的方面来说,极为自负(其实对于数学家而言,这一点很可爱)而令人讨厌,偶尔还剽窃年轻人的想法。

Courant(柯朗)当初就很受他的排挤。一次在Gottingen, Courant要报告一个题目,当 时Koebe恰好也要报告,但是,Courant是年轻人,按照不成文的规矩,他是初学者,而且刚刚完成了博士论文,有特权先报告。当Klein问大家谁先报告的时候,Koebe迫不及待的说:“我先讲。”

后来Courant的朋友很愤怒,在Koebe的课上,把一个藏有警报器的便壶藏在讲台下面, Koebe最终找出了这个发声的东西,引起哄堂大笑。不久,他的朋友在当地的报纸上公开了这个恶作剧。

数学史上还有两个大师级的人物,同样的是学术很好,但是名声不济,和很多人有这样那样的误会和矛盾。

第一个是Kronceker,大家用的很多的Kronecker符号就是用的他的名字。此人身体瘦小无比只有5尺高,当初经商和务农很牛,赚了一大笔钱,30岁之后致力于数学。他在德国算是很权威的人,但是特别烦的是,很专断,根本不相信无理数的存在。当初Linderman和他讨论π的问题的时候,他竟然说这个东西根本不存在; Cantor后来疯了,很大程度上是因为Kronecker的废话太多;据说Weiestrass都差点被他弄哭了,就是因为他对无理数抱有一种病态的看法。

第二个人就是Brouwer,直觉学派的领头人,感觉上特别想当年的Kronecker,对于和自己不用的意见不能容忍。他称Hilbert等人为敌人,认为无穷这个东西是不存在的,不仅如此,凡是有人不同意的话,他总是想方设法刁难。他原来是某一著名杂志的主编,别人寄来的文章通常都是高置于案头,没有一年半年他决不会给人家发表。一次,他和van de Wearden的一起在朋友家里做客,后者讲到了Hilbert和Courant,并且以朋友相称。这时候,Brouwer竟然一怒之下,拂袖而去。

提一个波兰的数学家,学过Fourier分析人应该对他很熟悉,他就是Fejer。关于他的数学水平可以用Poincare的评论来证实,Fejer关于Fourier级数的Cesaro和的工作是大四做的,1905年的时候,H.Poincare到匈牙利去领取Bolyai奖,很多政界的人都去接见,Poincare见面就问:“Fejer在哪里?”众人面面相觑:“Fejer是谁?”Poincare说:“Fejer是匈牙利最伟大的数学家,也是世界上最伟大的数学家之一。”
其实政界的人去接见Poincare并不是因为他是那种最最伟大的数学家,而是因为Poincare的的哥哥原来是法国的总理什么的,一般来说,政界的人对于谁是数学家并不关心,要不不也就不至于不知道Fejer了。
据说,Fejer比较喜欢到处乱说话,有两件事情来证明。Fejer和Riesz的关系很好,但是他比Riesz晚生了两个星期,于是,就到处声称他其实比Riesz要大,因为Riesz早产了;Fejer和Kerekjarto不和,后者是一个拓扑学家,Fejer说Kerekjarto说的话和真理只不过是拓扑等价。

Kolmogorov

这是苏联最伟大的数学家之一,也是20世纪最伟大的数学家之一,在实分析,泛函分析,概率论,动力系统等很多领域都有着开创性的贡献,而且培养出了一大批优秀的数学家。特别的用两次的时间来介绍他,因为Kolmogorov不仅作为数学家很传奇,更是有着丰富多彩经历。
Kolmogorov一开始并不是数学系的,据说他17岁左右的时候写了一片和牛顿力学有关的文章,于是到了Moscow State University去读书。入学的时候,Kolmogorov对历史颇为倾心,一次,他写了一片很出色的历史学的文章,他的老师看罢,告诉他说在历史学里,要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正确证明才行,Kolmogorov就问什么地方需要一个证明就行了,他的老师说是数学,于是Kolmogorov开始了他数学的一生。
二十年代的莫斯科大学,一个学生被要求在十四个不同的数学分支参加十四门考试;但是考试可以用相应领域的一项独立研究代替。所以,Kolmogorov从来没有参加一门考试,他写了十四个不同方向的有新意的文章。Kolmogorov后来说,竟然有一篇文章是错的,不过那时考试已经通过了。
Kolmogorov总是以感激的口气提到斯大林:“首先,他在战争年代为每一位院士提供了一床毛毯;第二,原谅了我在科学院的那次打架。”Kolmogorov一次在选举会上打了Luzin一个耳光,他说:“(打架)那是我们常用的方式。”Luzin在实变函数方面有着很重要的贡献,但是以打架而论,远非Kolmogorov的对手,因为Kolmogorov经常自豪的回忆他在Yaroslovl车站和民兵打架的经历。
一个人如果打架很牛的话,经验告诉我们他必然身体强壮,而Kolmogorov的确很擅长运动,并经常以此自诩。譬如说,他经常提到一件事情,并且深以为撼,三十年代的一个冬天,Kolmogorov身穿游泳裤雪橇,在得意的飞速下滑,碰到两个戴相机的年轻人请他停下来,他原以为他们仰慕他的滑雪技术会为他拍照,结果他们请他为他们拍照。再譬如说,39年的时候,他突然决定在冰水中游泳以表达对自己健康体魄的高度信任,结果以住院告终,医生一致认为他差点死掉;但是,70岁的时候,突然决定到莫斯科河里游泳,仍然是冰水,这一次却没有事情。

最后一个笑话,问:为什么数学家应该有一个情人和一个妻子呢?答案是,当妻子以为你和情人在一起,情人以为你和妻子在一起的时候,你就有时间研究数学了~~

Plane Hyperbolic Geometry

Assume

\mathbb{D}=\{ z: |z|<1\} is the unit disc on the complex plane \mathbb{C},

\mathbb{H}=\{z: \Im{z}>0\} is the upper half plane on the complex plane,

\mathbb{B}=\{ z: |\Im{z}|<\pi/2\} is the band between y=-\pi/2 and y=\pi/2.

Definition 1. Hyperbolic metric on the unit disc.

The hyperbolic metric on the unit disc \mathbb{D} is defined as

\rho_{\mathbb{D}}(z)=\frac{2}{1-|z|^{2}} |dz| for all z \in \mathbb{D} .

If \phi : U \rightarrow \mathbb{D} is a conformal mapping, where U \subseteq \mathbb{C}, then we can also define the hyperbolic metric on the domain U,

\rho_{U}(z)=\frac{2 |\phi^{'}(z)|}{1-|\phi(z)|^{2}} |dz| for all z\in U.

From above and \phi(z)=(z-i)/(z+i) is a conformal mapping which maps the upper half plane \mathbb{H} onto the unit disc \mathbb{D}. From above formula, we can calculate the hyperbolic metric on \mathbb{H} is

\rho_{\mathbb{H}}(z)=\frac{1}{\Im{z}} |dz| for all z\in \mathbb{H}.

The hyperbolic metric on the band \mathbb{B} is

\rho_{\mathbb{B}}(z)=\frac{1}{\cos \Im{z} } |dz| for all z\in \mathbb{B}.

Similarly, we can define the one dimensional hyperbolic metric. On the real line \mathbb{R}, if the interval I=(-1,1), then the restriction of the hyperbolic metric on the unit disc \mathbb{D} is

\rho_{I}(x)= \frac{2}{1-x^{2}} dx for all x \in (-1,1).

This is called the hyperbolic metric of the interval I.

Using the same idea, we can extend the definition of hyperbolic metric on any real interval I=(a,b). Since there exists a linear map \phi which maps a to -1 and b to 1, i.e. \phi(x)=(2x-b-a)/(b-a). Its derivative is \phi^{'}(x)= 2/(b-a). Therefore, the hyperbolic metric on the interval I is

\rho_{(a,b)}(x)=\frac{2|\phi^{'}(x)|}{1-|\phi(x)|^{2}} dx= \frac{b-a}{(x-a)(b-x)} dx= (\frac{1}{x-a}+ \frac{1}{b-x}) dx for all x\in (a,b).

Moreover, assume (c,d) \subseteq (a,b), then the hyperbolic distance between c and d is

\int_{c}^{d} \rho_{(a,b)}(x) dx = \int_{c}^{d} (\frac{1}{x-a} + \frac{1}{b-x}) dx = (\ln\frac{x-a}{b-x}) |_{x=c}^{x=d} = \ln \frac{(d-a)(b-c)}{(b-d)(c-a)}.

If we use the notation of cross ratio, then assume l=(a,c), j=(c,d), r=(d,b), t=(a,b). Therefore, the hyperbolic distance between c and d in the interval (a,b) equals to

\ln \frac{(|l|+|j|)\cdot (|j|+|r|)}{|l| \cdot |r|} = \ln (1+ \frac{|t|\cdot |j|}{|l| \cdot |r|}) = \ln (1+ Cr(t,j)),

where Cr(t,j)= (|t|\cdot |j|) / (|l| \cdot |r|).

Definition 2. (Curvature of conformal metric)

Let \rho be a C^{2} positive function on an open subset U \subseteq \mathbb{C}. Then the curvature of the metric \rho(z)|dz| is given by

K(z)=-\frac{(\Delta \ln \rho)(z)}{\rho^{2}(z)},

where \Delta is the Laplacian operator \Delta= \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}.

Remark. Use the identities

\frac{\partial}{\partial \overline{z}} =\frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}),

\frac{\partial}{\partial z} =\frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}),

we get

\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} = 4 \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial \overline{z}}.

Theorem 1. 

The curvature of hyperbolic metric of the unit disc \mathbb{D}, the upper half plane \mathbb{H} and the band \mathbb{B} is -1.

Theorem 2.

If \phi: U\rightarrow \mathbb{D} is a conformal mapping, where U \subseteq \mathbb{C} is an open subset of the complex plane \mathbb{C}. From above, the hyperbolic metric on U is

\rho_{U}(z)=\frac{2 |\phi^{'}(z)|}{1-|\phi(z)|^{2}} |dz| for all z \in U\subseteq \mathbb{C}.

Then the curvature of the metric \rho_{U}(z) is -1.

Theorem 3.

On the complex sphere \hat{\mathbb{C}}, the sphere metric on \hat{\mathbb{C}} is defined as

\rho(z)=\frac{1}{1+|z|^{2}} |dz| for all z\in \hat{\mathbb{C}}.

Then the curvature of the sphere metric is 1.

The Cross Ratio Tool and the Koebe Principle

Let j \subseteq t be intervals and let l, r be the components of t \setminus j . Then the Cross Ratio is defined as

C(t,j) = (|t| \cdot |j|) / ( |l| \cdot |r|).

Assume g is a C^{3} monotone function on the interval t, and g(t)=T, g(j)=J, g(l)=L, g(r)=R. Then define

B(g,t,j)=\frac{C(T,J)}{C(t,j)} = \frac{|T|\cdot |J|}{|L| \cdot |R|} \cdot \frac{|l|\cdot |r|}{|t|\cdot |j|}.

Define the Schwarzian Derivative for C^{3} function g,

Sg(x)=\frac{D^{3}g(x)}{Dg(x)} -\frac{3}{2}(\frac{D^{2}g(x)}{Dg(x)})^{2}.

Proposition 1. Assume f and g are C^{3} functions, then

S(f\circ g)(x)= Sf(g(x)) \cdot |Dg(x)|^{2}+ Sg(x).

S(f^{n})(x)= \sum_{i=0}^{n-1}(Sf(f^{i}(x)) \cdot |D(f^{i})(x)|^{2}.

Proposition 2. If f(x)=x^{\ell}+c for some c\in \mathbb{R} and \ell \geq 2, then Sf(x)<0 for all x \neq 0.

Proposition 3. Minimum Principle.

Assume I=[a,b], f: I \rightarrow \mathbb{R} is a C^{3} diffeomorphism with negative schwarzian derivative, then

|Df(x)| > \min \{|Df(a), |Df(b)|\} \text{ for all } x \in (a,b).

Theorem 1. Real Koebe Principle.

Let Sf<0. Then for any intervals j \subseteq t and any n for which f^{n}|t is a diffeomorphism one has the following. If f^{n}(t) contains a \tau-scaled neighbourhood of f^{n}(j), then

(\frac{\tau}{1+\tau})^{2} \leq \frac{|Df^{n}(x)|}{|Df^{n}(y)|} \leq (\frac{1+\tau}{\tau})^{2} \text{ for all } x, y \in j.

Moreover, there exists a universal function K(\tau)>0 which does not depend on f, n,  and t such that

|l| / |j| \geq K(\tau),

|r| /|j| \geq K(\tau).

Theorem 2. Complex Koebe Principle

Suppose that D \subseteq \mathbb{C} contains a \tau-scaled neighbourhood of the disc D_{1} \subseteq \mathbb{C}. Then for any univalent function f: D \rightarrow \mathbb{C} one has a universal function K(\tau)>0 which only depends on \tau>0 such that

1/K(\tau) \leq \frac{|Df(x)|}{|Df(y)|} \leq K(\tau) \text{ for all } x, y \in D_{1}.

Theorem 3. Schwarz Lemma (Original Form)

Assume \mathbb{D}=\{ z: |z|<1\} is the unit disc on the complex plane \mathbb{C}, f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D} is a holomorphic function with f(0)=0. Then |f(z)|\leq |z| for all z \in \mathbb{D} and |f^{'}(0)| \leq 1. Moreover, if |f(z_{0})|=|z_{0}| for some z_{0}\neq 0 or |f^{'}(0)|=1, then f(z)= e^{i\theta} z for some \theta \in \mathbb{R}.

Corollary 1.

Assume \mathbb{D} is the unit disc on the complex plane \mathbb{C}, and f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D} is a holomorphic function, then

|\frac{f(z)-f(z_{0})}{1-\overline{f(z_{0})}f(z)}| \leq |\frac{z-z_{0}}{1-\overline{z}_{0}z}| \text{ for all } z, z_{0} \in \mathbb{D}.

\frac{|f^{'}(z)|}{1-|z|^{2}} \leq \frac{1}{1-|z|^{2}} \text{ for all } z \in \mathbb{D}.

Corollary 2.

Assume \mathbb{H} is the upper half plane of the complex plane \mathbb{C}, f: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H} is a holomorphic map. Then

\frac{|f(z_{1})-f(z_{2})|}{|f(z_{1})-\overline{f(z_{2})}|} \leq \frac{|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-\overline{z_{2}}|} \text{ for all } z_{1}, z_{2} \in \mathbb{H} .

\frac{|f^{'}(z)|}{\Im{f(z)}} \leq \frac{1}{\Im{z}} \text{ for all } z\in \mathbb{H} .

Corollary 3. Pick Theorem

The hyperbolic metric on \mathbb{D} is \rho(z)= \frac{2}{1-|z|^{2}}dz , assume d(z_{1}, z_{2}) denotes the hyperbolic distance between z_{1} and z_{2} on \mathbb{D}. Assume f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D} is a holomorphic function, then

d(f(z_{1}), f(z_{2}))\leq d(z_{1}, z_{2}) \text{ for all } z_{1}, z_{2} \in \mathbb{D}.

Moreover, if d(f(z_{1}), f(z_{2}))= d(z_{1}, z_{2}) for some points z_{1}, z_{2} \in \mathbb{D}, then f \in Aut(\mathbb{D}), where

Aut(\mathbb{D})=\{e^{i\theta}\frac{z-z_{0}}{1-\overline{z_{0}}z}: \theta \in \mathbb{R}, z_{0} \in \mathbb{D}\}.

Background in hyperbolic geometry

Define

\mathbb{C}_{J}=(\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}) \cup J

where J \subseteq \mathbb{R} is an interval. It is easy to show that \mathbb{C}_{J} is conformally equivalent to the upper half plane and define D_{k}(J) as

D_{k}(J)= \{ z: \text{the hyperbolic distance to J is at most k} \}.

k is determined by the external angle \alpha at which the discs intersect the real line. Moreover, k=\ln \tan( \frac{\pi}{2}- \frac{\alpha}{4}) . Define

D_{*}(J)=D(J,\frac{\pi}{2}) .

Corollary 4. (NS) Schwarz Lemma 

(1) Assume G: \mathbb{C}_{I} \rightarrow \mathbb{C}_{J} is a holomorphic map, then G((D_{*}{I})) \subseteq D_{*}(J).

(2) Assume F: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} is a real polynomial map, its critical points are on the real line. Assume F: I \rightarrow J is a diffeomorphism, then there exists a set D \subseteq D_{*}(I) such that D\cap \mathbb{R} =I and

F: D \rightarrow D_{*}(J) is a conformal map.

Corollary 5. 

Assume f: D \rightarrow \mathbb{C} is a univalent map and D contains \tau-scaled neighbourhood of D_{1}, and assume f maps the real line to the real line. For each \alpha \in (\pi/2, \pi) there exists \alpha^{'} \in (\alpha, \pi) such that if J is a real interval in D_{1}, then

f(D(J,\alpha)) \supseteq D(f(J), \alpha^{'}).

The Hyperbolic Metric On the Real Interval and Cross Ratio

As far as we know, the hyperbolic metric on the unit disc \mathbb{D}=\{|z|<1\} is

\rho_{D}(z)= \frac{2}{1-|z|^{2}}|dz| \text{ for all } z\in \mathbb{D}.

Then the restriction to the real line is

\rho_{I}(x)=\frac{2}{1-x^{2}} dx \text{ for all } x \in I=(-1,1).

Moreover, from it, we can deduce the hyperbolic metric on the real interval I=(a,b) is

\rho_{I}(x)=\frac{b-a}{(x-a)(b-x)} dx \text{ for all } x \in I=(a,b).

If (c,d) \subseteq (a,b), then the hyperbolic length of the interval (c,d) on the total interval (a,b) is

\ell_{(a,b)}((c,d))=\ell_{t}(j)=\ln(1+Cr(t,j)),

where l=(a,c), j=(c,d), r=(d,b), t=(a,b).

Theorem 4. Assume f: T \rightarrow f(T) \subseteq \mathbb{R} is a C^{3} diffeomorphism with negative schwarzian derivative. Assume J \subseteq T, then

\ell_{f(T)}(f(J)) \geq \ell_{T}(J).

That means f expands the hyperbolic metric on the real interval.

Proof.  Since the schwarzian derivative of f is negative, C(f(T),f(J)) \geq C(T,J).

Therefore, \ell_{f(T)}(f(J)) \geq \ell_{T}(J). That means f expands the hyperbolic metric on the real interval.

Remark. From Schwarz-Pick Theorem, for a holomorphic map f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}, f contracts the hyperbolic distance in the unit disc \mathbb{D}. Conversely, from above, for a C^{3} diffeomorphism f with negative schwarzian derivative, f expands the hyperbolic distance in the real interval.

Exercise 1.  “Mathematical Tools for One Dimensional Dynamics” Exercise 6.5, Chapter 6

Let f: I \rightarrow f(I) \subseteq \mathbb{R} be a C^{3} diffeomorphism without fixed points ( I being a closed interval on the real line). If Sf(x)<0 for all x \in I, then there exists a unique x_{0} \in I such that |f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x| for all x \in I.

Proof.  If f is a decreasing map, then the right boundary of the real interval I is the x_{0}. Therefore, assume that f is an increasing map on the real interval I.

Since f(x) has no fixed points on the real interval I, then f(x)>x or f(x)<x for all x \in I. Without lost of generality, assume f(x)>x for all x\in I. Since f(x)-x is a continuous function on the closed interval I, there exists x_{0} \in I such that |f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x| for all x\in I.

By contradiction, there exist two distinct points x_{0}, x_{1} (x_{0}<x_{1}) such that |f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x| and |f(x_{1})-x_{1}| \leq |f(x)-x| for all x\in I. From here, we know that |f(x_{0})-x_{0}|= |f(x_{1})-x_{1}|.

From Langrange’s mean value theorem, there exists \xi \in (x_{0}, x_{1}) such that (Df)(\xi)=1. Since the schwarzian derivative of f is negative, from the minimal principle, we get

(Df)(\xi) > \min(Df(x_{0}), Df(x_{1})).

i.e. Df(x_{0})<1, Df(x_{1})<1. However, from the definition of x_{0} and x_{1}, we get

Df(x_{0}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 1

Df(x_{1}) = \lim_{x\rightarrow x_{1}^{-}} \frac{f(x_{1})-f(x)}{x_{1}-x} \leq 1

This is a contradiction. Therefore, the existence of x_{0} is unique.

Assume f: I \rightarrow f(I) \subseteq \mathbb{R} is a C^{3} diffeomorphism, define the non-linearity of f as

f \mapsto Nf=\frac{D^{2}f}{Df} = D \ln Df \text{ whenever } Df \neq 0.

Proposition 4.  N(f \circ g)= (Nf \circ g) \cdot Dg+ Ng.

Proposition 5. Sf=\frac{D^{3}f}{Df} -\frac{3}{2}(\frac{D^{2}f}{Df})^{2}=D(Nf)-\frac{1}{2}(Nf)^{2}.

Theorem 5. Koebe Non-linearity Principle.

Given B, \tau>0, there exists K_{\tau,B}>0 such that, if f: [-\tau, 1+\tau] \rightarrow \mathbb{R} is a C^{3} diffeomorphism into the reals and Sf(t)\geq -B for all t\in [-\tau,1+\tau], then we have

|\frac{f^{''}(x)}{f^{'}(x)} | \leq K_{\tau,B}

for all 0\leq x \leq 1. Show that K_{\tau,B} \rightarrow 2/\tau as B\rightarrow 0. (This recovers the classical Koebe non-linearity principle).