Complex Analysis

学习复分析也已经很多年了,七七八八的也读了不少的书籍和论文。略作总结工作,方便后来人学习参考。 复分析是一门历史悠久的学科,主要是研究解析函数,亚纯函数在复球面的性质。下面一一介绍这些基本内容。

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(1)提到复变函数,首先需要了解复数 (Complex Numbers) 的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根,极坐标与xy坐标的转换,复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。

(2)复变函数自然是在复平面上来研究问题,此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到复平面里面,从而引出解析函数 (Holomorphic Functions / Analytic Functions) 的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓的Cauchy—Riemann公式,这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。

(3)明白解析函数的定义以及性质之后,就会把数学分析里面的曲线积分 (Line Integrals) 的概念引入复分析中,定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后,就会有出现复分析中的重要的定理:Cauchy积分公式 (Cauchy’s Integral Formula)。这个是复分析的第一个重要定理。

(4)既然是解析函数,那么函数的定义域 (Domain) 就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数,也可以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点 (Singularity) 就是关键所在,奇点根据性质分成可去奇点 (Removable Singularity),极点 (Pole),本性奇点 (Essential Singularity) 三类,围绕这三类奇点,会有各自奇妙的定理。

(5)复变函数中,留数定理 (Residue Theorem) 是一个重要的定理,反映了曲线积分和零点极点的性质。与之类似的幅角定理也展示了类似的关系。

(6)除了积分,导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛 (Convergence) 的概念就可以引出 Taylor 级数 (Taylor Series) 和 Laurent 级数 (Laurent Series) 的概念。除此之外,正规族 (Normal Families) 里面有一个非常重要的定理,那就是Arzela定理。

(7)以上都是从分析的角度来研究复分析,如果从几何的角度来说,最重要的定理莫过于 Riemann 映照定理 (Riemann Mapping Theorem)。这个时候一般会介绍线性变换,就是 Mobius 变换 (Mobius Transforms),把各种各样的单连通区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。

(8)椭圆函数 (Elliptic Functions),经典的双周期函数 (Double Periodic Functions)。这里有 Weierstrass 理论,是研究 Weierstrass 函数的,有经典的微分方程,以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍,如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

推荐书籍:

(1)Complex Analysis,3rd Edition,Lars V.Ahlfors

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(2)Complex Analysis,Elias M. Stein

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