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分形几何：探索大自然的粗糙之美

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我们生活的世界充满了复杂的形状：蜿蜒曲折的海岸线、崎岖不平的山脉、枝繁叶茂的树木、变幻莫测的云朵、人体内错综复杂的血管网络…这些形状无法用传统的欧几里得几何（点、线、圆、球、立方体等）来精确描述。它们往往显得“粗糙”、“破碎”、“不规则”，并且在不同的尺度下观察，似乎总能发现新的、相似的细节结构。为了描述和研究这种无处不在的复杂性，一门新的几何学应运而生——这就是分形几何。

一、 什么是分形？

“分形”（Fractal）一词由数学家本华·曼德布罗特（Benoît B. Mandelbrot）在1975年根据拉丁语“fractus”（意为“破碎的”、“不规则的”）创造。虽然很难给出一个涵盖所有情况的精确定义，但分形通常具有以下核心特征：

1. 精细结构： 无论你将其放大多少倍，分形总是展现出丰富的细节。它没有传统意义上的“光滑”表面或边界。

2. 自相似性： 这是分形最显著的特征之一。它指的是分形的局部（一个小的部分）在形态、结构或统计特性上与整体相似。这种相似性可以是：

  • 精确自相似： 如科赫曲线（Koch curve）、谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）。每个小部分都是整体的精确缩小复制品。
  • 近似自相似： 如海岸线、山脉。整体和局部在统计特性（如粗糙度）上相似，但并非完全相同的几何形状。
  • 统计自相似： 在不同尺度下，分形的某些统计特性（如起伏的方差）保持不变。

3.分数维数： 这是分形区别于经典几何的关键数学特征。经典几何中，点是0维，线是1维，面是2维，体是3维。分形则具有非整数的维数（分数维）。例如：

  • 科赫曲线：其长度在无限放大下趋于无穷，但又不填满一个平面，其豪斯多夫维数约为1.262。
  • 康托尔集：一个在[0,1]区间内挖去中间三分之一，再对剩余部分不断重复此操作得到的点集。它长度为零（1维测度），但点数无限（0维测度不够），其豪斯多夫维数约为0.631。
  • 谢尔宾斯基地毯：其面积为零（2维测度），但结构无限复杂，豪斯多夫维数约为1.893。
  • 分数维数量化了分形填充空间的能力和其不规则性的程度。常见的分数维计算方法包括豪斯多夫维数（Hausdorff dimension）和计盒维数（Box-counting dimension）。

二、 分形的诞生与发展

虽然自然界的分形现象早已存在，但分形几何作为一门系统的数学学科，其奠基主要归功于曼德布罗特。他在20世纪60-70年代的工作，特别是1982年出版的巨著《大自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature），极大地推动和普及了分形几何。

  • 先驱者： 在曼德布罗特之前，一些数学家已经构造出了具有分形特性的“怪物曲线”，如皮亚诺曲线（Peano curve，能填满正方形）、希尔伯特曲线（Hilbert curve）、冯·科赫曲线（von Koch curve）、康托尔集（Cantor set）、魏尔斯特拉斯函数（处处连续但无处可导）等。但这些在当时多被视为数学上的“病态”反例，并未被系统地联系到自然界的形态。
  • 曼德布罗特： 曼德布罗特的关键贡献在于认识到这些“病态”结构恰恰是描述自然界中普遍存在的复杂、不规则形状的理想工具。他研究了棉花价格波动、尼罗河洪水、星系分布、海岸线长度等问题，发现它们都具有尺度不变性和统计自相似性。他提出“英国的海岸线有多长？”这个著名问题，揭示了测量结果依赖于测量尺度的分形本质。
  • 计算机图形学的推动： 计算机技术的发展使得复杂分形结构的可视化和计算成为可能。曼德布罗特集（Mandelbrot set）和朱利亚集（Julia set）等复动力系统产生的精美分形图像，极大地吸引了公众和科学家的兴趣，展示了数学惊人的美学价值。

三、 如何生成分形？

分形可以通过多种数学方法生成：

  1. 迭代函数系统： 这是生成分形（尤其是严格自相似分形）最常用和强大的方法之一。它基于一个几何变换集合（通常是收缩仿射变换，如缩放、旋转、平移），反复应用这些变换到一个初始集合（如一条线段、一个三角形）上。每次迭代都将变换作用到前一步的结果上。在无限次迭代后，结果会收敛到一个唯一的、不依赖于初始集的极限图形——即吸引子（Attractor），这个吸引子通常是一个分形。著名的谢尔宾斯基三角形、科赫曲线、巴恩斯利蕨（Barnsley fern）等都是用IFS生成的。
  2. 复动力系统： 对复平面上的简单函数（如 f(z)=z2+c ，其中 z 和 c 是复数）进行反复迭代。对于不同的初始点 z0 和参数 c ，其轨道行为（趋向无穷或保持有界）会形成极其复杂的边界。朱利亚集（Julia set）是使得迭代行为不稳定的点集边界。曼德布罗特集（Mandelbrot set）则是参数 c 的集合，使得从 z0=0 开始的迭代序列保持有界。这些集合都是具有精细结构和分数维数的著名分形。
  3. L-系统（林德迈耶系统）： 主要用于模拟植物的生长。它基于一组符号（代表植物的组成部分，如茎、叶）和一组重写规则（规定符号如何被替换）。通过迭代应用这些规则，一个简单的初始字符串（“公理”）会演化成复杂的、具有自相似性的字符串，再通过图形解释（如“画线”、“转向”）就能绘制出分形植物。
  4. 随机分形： 在确定性规则（如IFS）中加入随机性（如随机选择变换），可以生成更接近自然界不规则形态的分形，如山脉、云层、景观。布朗运动（Brownian motion）的轨迹本身也是一个分形（维数为2）。

四、 分形几何的应用

分形几何的应用范围极其广泛，几乎渗透到科学和工程的各个领域：

1.自然科学：

  • 地理学/地质学： 模拟海岸线、河流网络、山脉地形、岩石裂缝分布、矿藏分布。
  • 生物学/医学： 描述血管系统、支气管树、神经结构、蛋白质折叠、DNA序列、肿瘤形态、心电图/脑电图分析。
  • 物理学： 研究湍流、材料断裂表面、多孔介质渗透性、电介质击穿、凝聚态物理中的相变和临界现象、等离子体。
  • 化学： 胶体聚合、高分子结构、催化剂表面分析。
  • 气象学： 云层结构、降雨分布模型。

2.工程技术：

  • 计算机图形学： 生成逼真的自然景观（地形、植被、云、火、烟雾）、纹理合成、特殊视觉效果。
  • 图像处理： 图像压缩（分形压缩利用图像的自相似性）、图像分析（纹理识别、边缘检测）。
  • 信号处理： 分析具有长程依赖性或自相似特性的信号（如网络流量、金融时间序列）。
  • 天线设计： 设计小型化、多频段的分形天线。
  • 材料科学： 分析材料表面粗糙度、多孔材料结构、复合材料性能。
  • 电子学： 设计分形电容器、电感器。

3.金融经济学： 分析金融时间序列（如股票价格、汇率）的波动特性（常具有分形特征和长记忆性）、风险管理。

4.艺术与设计： 分形艺术作为一种独特的数字艺术形式，创造出极具美感和复杂性的图像和动画。也应用于建筑设计、装饰图案设计。

五、 意义与未来

分形几何提供了一种全新的视角来观察和理解我们周围复杂、不规则的世界。它揭示了隐藏在混乱表象下的有序结构——尺度不变性和自相似性。分数维数则为我们提供了一种强大的量化工具来描述这些结构的复杂程度。

分形几何不仅是数学上的重大突破，更是连接数学与自然科学、工程技术乃至艺术的重要桥梁。它深刻地改变了我们对“形状”、“维度”和“复杂性”的传统认知。随着计算能力的提升和研究深入，分形几何必将在更多领域展现出其强大的描述、分析和创造能力，帮助我们更好地模拟自然、优化设计、理解复杂系统。这门描述“粗糙之美”的几何学，将继续拓展我们对宇宙和自身认知的边界。

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为什么黎曼猜想如此之难？

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结论先行：

  1. 素数定理比黎曼猜想的难度低得多，都凝聚了很多大数学家的智慧，历经近百年才有结果；
  2. 哪怕有个人能够证明存在常数 c\in(1/2,1) 使得 c<\Re(s)<1 这个区域内没有黎曼函数的零点，都是巨大的突破。

素数定理

先来介绍一下素数定理的发展历史。素数定理（Prime Number Theorem，PNT）是数论的核心成果之一，描述了素数分布的渐近规律。其发展历史跨越两个多世纪，凝聚了众多数学家的智慧。

高斯（Carl Friedrich Gauss，1792）在15岁时通过研究素数表发现：素数密度约为 \frac{1}{\ln x}，于是提出猜想：\pi(x) \sim \int_2^x \frac{dt}{\ln t} = \text{Li}(x)（对数积分）。数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1798）在《数论随笔》中提出经验公式：\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x - 1.08366}，首次尝试用解析方法逼近素数分布。

数学家切比雪夫（1850s）得到上下界证明：证明存在常数 c_1, c_2 > 0 使得： c_1 \frac{x}{\ln x} \leq \pi(x) \leq c_2 \frac{x}{\ln x}.具体值：c_1 = \ln(2^{1/2} \cdot 3^{1/3} \cdot 5^{1/5}/30^{1/30}) \approx 0.92，c_2 \approx 1.11。他使用的关键工具是切比雪夫函数 \psi(x) = \sum_{p^k \leq x} \ln p，并且证明 \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} 当且仅当 \psi(x) \sim x。

黎曼（1859）提出了黎曼 \zeta 函数，并发表论文《论小于给定数值的素数个数》，定义： \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_p \left(1 - p^{-s}\right)^{-1} \quad (\text{Re}(s) > 1)。解析延拓至复平面（除 s=1 外全纯）。显式公式给出 \pi(x) 的精确表达式（含黎曼函数的零点）： \pi(x) = \text{Li}(x) - \sum_\rho \text{Li}(x^\rho) + error。

著名黎曼猜想：若所有非平凡零点满足 \Re(s) = \frac{1}{2}，则素数定理误差最优。

素数定理的最终证明（1896）：阿达玛（Jacques Hadamard） 与 德·拉·瓦莱-普桑（Charles de la Vallée Poussin）独立证明：\zeta(1 + it) \neq 0（对 t \neq 0），并推出： \psi(x) = x + o(x) \implies \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}。具体的方法：

  1. 通过 \zeta(s) 的欧拉乘积和非零性，证明 \ln \zeta(s) 在 \Re(s) \geq 1 解析。
  2. 移动积分路径，控制误差项。

直到20世纪，才有素数定理的初等证明（1949）。塞尔伯格（Atle Selberg） 与 埃尔德什（Paul Erdős）：

  • 塞尔伯格恒等式： \sum_{p \leq x} \ln^2 p + \sum_{pq \leq x} \ln p \ln q = 2x \ln x + O(x).
  • 初等方法：仅用实数分析，避免复变函数。
  • 争议：两人因证明优先权公开争论，但共享1950年菲尔兹奖（塞尔伯格）。

关于素数定理的精细化与推广，误差项优化包括

  • 瓦莱-普桑（1899）：\pi(x) = \text{Li}(x) + O(x e^{-c\sqrt{\ln x}})。
  • 科赫（1901）：若黎曼猜想成立，则 \pi(x) = \text{Li}(x) + O(\sqrt{x} \ln x)。

历史意义

阶段贡献者关键突破
猜想高斯、勒让德发现 \pi(x) \sim x / \ln x 模式。
初等边界切比雪夫给出 \pi(x) 的上下界。
复分析奠基黎曼揭示 \zeta(s) 零点与素数分布的联系。
严格证明阿达玛、瓦莱-普桑证明 \zeta(1+it) \neq 0 推出 PNT。
初等证明塞尔伯格、埃尔德什不依赖复分析。
精细化瓦莱-普桑、科赫、狄利克雷优化误差项及推广到算术级数。

素数定理的重大意义与价值

  1. 解析数论诞生：素数定理证明标志解析数论成为独立分支。
  2. 黎曼猜想的基石：PNT 等价于 \zeta(s) 在 \Re(s)=1 无零点，而黎曼猜想要求 \Re(s)=\frac{1}{2}。
  3. 现代应用：PNT 是密码学（如 RSA 算法）和随机算法（如素性测试）的理论基础。

素数定理的发展史，是数学从实验观察走向严格分析，再回归初等本质的缩影，彰显了人类对素数奥秘的不懈探索。

黎曼猜想

黎曼猜想中关于 \zeta(s) 在直线 \Re(s) = 1 上无零点的结论，直接等价于数论中的核心定理——素数定理（Prime Number Theorem）。根据刚刚的陈述，素数定理描述素数分布渐近行为： \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} 或等价形式\psi(x) \sim x, 其中：\pi(x) 是不超过 x 的素数个数，\psi(x) = \sum_{p^k \leq x} \ln p 是切比雪夫函数（第二形式）。

在1896年，数学家阿达玛（Hadamard）和德·拉·瓦莱-普桑（de la Vallée Poussin）独立证明： \zeta(1 + it) \neq 0 对所有实数 t \neq 0 成立，这一结论直接推出素数定理。素数定理成立 \iff \zeta(s) 在 \Re(s) = 1 上无零点（除 s=1 处的极点）。

证明思路（简要）

  1. 通过 \zeta(s) 控制素数分布：
    利用 \zeta(s) 的欧拉乘积和解析延拓，将 \psi(x) 表示为复积分： \psi(x) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} \left( -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \right) \frac{x^s}{s} ds \quad (\sigma > 1).
  2. 移动积分路径：
    若 \zeta(s) 在 \Re(s) = 1 无零点，可将积分路径移至 \Re(s) = 1 左侧，得到主项 x 和误差项。
  3. 误差控制：
    \Re(s)=1 无零点保证了积分在移动路径时无奇点干扰，最终推出： \psi(x) = x + o(x).

4. 重要性

  • 素数分布的基础：素数定理是解析数论的里程碑，解决了高斯和勒让德关于 \pi(x) \sim x / \ln x 的猜想。
  • 黎曼猜想的弱形式：
    \Re(s)=1 无零点比黎曼猜想（所有非平凡零点满足 \Re(s)=1/2）弱得多，但已足以推出素数分布的主项。
  • 误差优化：
    若黎曼猜想成立，素数定理误差可优化为 \pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O(\sqrt{x} \ln x)，但无零点条件仅给出 \pi(x) = \mathrm{Li}(x) + O(x e^{-c\sqrt{\ln x}})。

\zeta(s) 在 \Re(s)=1 无零点这一性质，本质是素数定理的复分析表述。它不仅是黎曼猜想的部分条件，更是解析数论中连接 \zeta 函数零点与素数分布的桥梁。

黎曼猜想的零点与非零点区域

关于黎曼函数在实部小于1的区域（\Re(s) < 1）中零点分布，有以下结论：

1. 平凡零点（Trivial Zeros）

  • 黎曼函数在负偶数点（如 s = -2, -4, -6, \ldots）处有零点，这些零点称为平凡零点。
  • 这些零点位于实轴上（\Re(s) < 0），且是 \Re(s) < 0区域内唯一的零点。

2. 非平凡零点（Non-trivial Zeros）

  • 所有非平凡零点都位于临界带（0 \leq \text{Re}(s) \leq 1）内。
  • 黎曼假设（未证明）声称这些零点全部位于临界线 \Re(s) = 1/2 上。

3. 无零点的区域

以下区域在\Re(s) < 1的范围内没有零点（包括平凡和非平凡零点）：

  • \Re(s) < 0 且 s \neq -2k（k为正整数）：除负偶数（平凡零点）外，\Re(s) < 0 的区域没有其他零点。
  • 函数方程 \zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin(\pi s / 2) \Gamma(1-s) \zeta(1-s) 表明，若 s 是零点，则 1-s 也是零点，但平凡零点仅在负偶数处。
  • \Re(s) = 1：Hadamard和de la Vallée Poussin证明 \zeta(1 + it) \neq 0 对所有实数 t 成立，这是素数定理证明的关键步骤。
  • 临界带内接近 \Re(s) = 1 的区域：存在一个零自由区域：\Re(s) \geq 1 - \frac{c}{\log(|\Im(s)| + 2)}，其中 c > 0 是常数。

4. 关键结论

  • \Re(s) > 1：无零点（欧拉乘积收敛且非零）。
  • \Re(s) < 0 且 s \neq -2k：无零点（仅负偶数有平凡零点）。
  • \Re(s) = 1：无零点（素数定理）。
  • 临界带内但满足 \Re(s) \geq 1 - \frac{c}{\log(|\Im(s)| + 2)} 的区域无零点。尽管\Re(s) < 1，但这条曲线在无穷远处趋近于1。

非平凡零点仅可能存在于临界带内不满足上述零自由条件的区域（即 0 \leq \Re(s) < 1 - \frac{c}{\log(|\Im(s)| + 2)}），但黎曼假设认为它们实际全部位于 \Re(s) = 1/2 上。从上述结果来看，哪怕有人能够证明，存在常数 c \in (1/2,1) 使得 c<\Re(s)<1 上面没有黎曼函数的零点，都是一个重大的突破。而一般来说，一次到位的结果通常来说都是错误的。

总结

黎曼猜想之所以如此难解，根本原因在于它所牵涉的是素数分布的深层结构与复变函数的微妙行为之间的桥梁。这个猜想声称，黎曼函数所有非平凡零点的实部都是 1/2，而这一点虽看似单纯，却隐藏着极其复杂的解析结构。黎曼函数是一个在整个复平面上解析的函数，其行为受到极高阶、非线性、全局变量的共同影响——它不是一个简单的代数对象，而是一种高度刚性的全纯函数。更深层的困难在于，黎曼函数的零点并非孤立的“点”，而是牵动整个数论体系：它们决定着素数的统计规律与误差幅度。任何企图“看清”这些零点位置的工具，都必须同时具备解析、代数、几何乃至随机性理论的深度，而当前数学尚未发展出足以全面穿透这一层层屏障的统一语言。因此，黎曼猜想的难度不仅在于其技术复杂性，更在于它位于数学多个分支交汇的边界地带，是一道真正横跨整个数学版图的深渊。

One Dimensional Dynamical System

斯蒂芬·斯梅尔：在里约海滩上改变数学的人

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斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）是20世纪和21世纪最具影响力的数学家之一。他的学术生涯横跨拓扑学、动力系统、数学经济学以及计算理论等多个领域，留下了一系列深刻而广泛的贡献。1930年7月15日出生于美国密歇根州的弗林特市，前几天便是他的 95 岁大寿。斯梅尔在密歇根大学完成了他的本科与博士教育，他的博士论文题为《黎曼流形上的正则曲线》，导师是著名数学家劳尔·博特（Raoul Bott）。然而，这位年轻数学家的真正声名鹊起，源于他1961年完成的一项震惊世界的突破：高维庞加莱猜想的证明。

庞加莱猜想被认为是20世纪最重要的数学难题之一，其本意是探究在高维空间中，若一个光滑流形与球面具有相同的基本拓扑性质（即同伦等价），它是否必定就是球面本身（在同胚意义下）。斯梅尔巧妙地结合莫尔斯理论和他开创的h-配边定理（h-cobordism theorem），成功证明了当维度大于等于5时，这一猜想成立。这项工作不仅解决了一个长久未解的拓扑难题，更为后来维度较低情况下（尤其是三维庞加莱猜想）的问题奠定了理论框架和方法论基础。凭借这一成果，斯梅尔获得了1966年菲尔兹奖——这是数学界的最高荣誉之一。

然而，斯梅尔的视野远不止于拓扑学。他在动力系统理论中的工作同样具有革命性意义。最为人所津津乐道的是“斯梅尔马蹄映射”的提出。这个模型起源于他在巴西里约热内卢海滩度假时的灵感，被他戏称为“我最好的数学不是在办公室里完成的，而是在海滩上诞生的”。马蹄映射的几何图像非常直观：它将一个正方形区域拉伸、折叠，形成马蹄形状，再将其重新放回原始空间。这个简单的变换却产生了惊人的后果——在迭代中，它展示出对初始条件的极度敏感，导致轨道呈指数级分离，这正是“混沌”现象的核心特征。

通过对马蹄映射的严格数学分析，斯梅尔首次为“混沌”这一广义概念赋予了明晰而严密的定义。他证明该映射在一个康托集（Cantor set）上存在一个双曲不变子集，其动力学行为等价于伯努利移位这类符号动力系统。这意味着，即便一个系统在每一步的演化规则完全确定，其长期行为也可能表现出无法预测的复杂性。斯梅尔由此揭示出一个深刻的真理：在完全确定性的世界中，也潜藏着无限复杂与不确定性。

在进一步研究中，斯梅尔发展出莫尔斯-斯梅尔系统（Morse-Smale systems），这是一类结构稳定的动力系统，具有明确的吸引子与排斥子结构。他将莫尔斯理论与动力系统结合起来，构建了一套分析系统稳定性与拓扑结构之间联系的工具体系。在这些系统中，轨道的行为可以通过有限个稳定和不稳定的周期点来描述，从而使得对其长期演化的分析成为可能。这些理论成果不仅对数学内部产生了巨大影响，也为物理学中的湍流、气象学中的气候模型、工程中的非线性控制系统等提供了核心框架。

斯梅尔的视角一向超越数学的分科壁垒。他认为数学的真正魅力在于其结构性的思维方式可以应用到其他复杂系统中。1990年代以来，他开始关注经济学和计算理论，并与Shub、Blum合作提出了Blum–Shub–Smale模型（BSS模型）。这一模型旨在将传统图灵机的离散计算框架推广到实数域，建立一个能够处理连续变量问题的复杂性理论基础。这个模型尤其在研究数值计算复杂度、优化问题的可解性等方面，提供了重要的理论支持。

他还将拓扑工具引入经济学研究，试图用几何与动力系统的方法理解市场均衡的存在性与稳定性。例如，在研究一般均衡理论时，他探讨了价格调整过程是否能够收敛到均衡点，从而为新古典经济学中的“看不见的手”提供了数学分析的可能性。这种跨学科的工作风格，使斯梅尔在多个学科领域都留下了不可忽视的印记。

在斯梅尔看来，数学的发展不仅依赖于过去问题的解决，也需要对未来的大胆构想。1998年，他仿效大数学家希尔伯特的传统，发布了21世纪数学问题清单，总共列出18个未解的重要问题。这些问题涵盖数论、代数几何、计算理论、偏微分方程与动力系统等多个前沿方向。其中包括著名的黎曼猜想、P vs NP问题、纳维–斯托克斯方程的解的存在性与光滑性等，这些问题后来也被选为千禧年七大数学难题的一部分。斯梅尔的问题清单不仅展示了他对数学整体脉络的深刻理解，也对21世纪的数学研究方向产生了重要影响。

作为一位导师，斯梅尔同样具有极强的影响力。他培养的48位博士生中，有许多成为动力系统和混沌理论的领军人物，其中包括与他合著《微分方程、动力系统与混沌导论》的莫里斯·赫希（Morris Hirsch）和著名的科普作家、混沌研究者罗伯特·德瓦尼（Robert L. Devaney）。他们共同撰写的这本教材，已被引用超过12,000次，成为全球无数数学系与工程系课程的标准读物。

斯梅尔的学术成果受到世界广泛认可，除菲尔兹奖外，他还获得了美国国家科学奖章（1996）、沃尔夫数学奖（2007）、奥斯瓦尔德·维布伦几何奖（1966）和肖维内奖（1988）等诸多荣誉。他的影响甚至延伸至天文学界，一颗小行星被命名为“斯梅尔行星”（Smale Planet），以纪念他对科学的贡献。

斯梅尔一生坚持以非传统的方式思考问题，他喜欢说：“我的最佳数学灵感，往往不是在办公室里获得的。”这一观点在他创造马蹄映射的经历中得到了最好的诠释。他的经历证明了自由的思维环境与非线性的灵感源泉，往往比传统学术模式更能激发创造力。

斯梅尔的动力系统理论阐释了一个核心思想：简单规则可以孕育无限复杂。从高维拓扑到混沌动力系统，从实数计算理论到经济系统的动态建模，他持续推动数学扩展其疆域，直指自然与人类社会中深层的秩序与混乱。他让我们看到，在最基础的规则中，藏着宇宙运行的密码，而数学，正是我们用以破译这密码的语言。

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跨越百年的素数间隙之谜：最小间隔与最大间隔

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素数的呼吸：咫尺天涯与辽阔星河

在数字的汪洋中，素数如同散落的星辰，它们孤独地存在，除了自身和1，不被任何其他整数整除。它们的分布，是数学中最古老也最迷人的谜题之一。欧几里得早已证明，这星辰之河奔流不息，永无止境。然而，星辰之间的距离，却并非均匀。它们时而亲密依偎，时而相隔万里，仿佛宇宙本身在无声地呼吸。

素数表

为了证明素数有无穷多个，这里举两个常见的证明方法。

1. 欧几里得证明（反证法，公元前300年）

  • 思路：假设素数有限，构造一个新数导出矛盾。
  • 步骤：
    1. 假设素数只有有限个，记为 p_1, p_2, \dots, p_n。
    2. 构造新数 N = p_1 p_2 \cdots p_n + 1。
    3. N 不被任何 p_i 整除（因 N \equiv 1 \pmod{p_i})。
    4. 因此 N 是素数或含有新素因子，与假设矛盾。
  • 意义：最古老且简洁的证明，开创了反证法的经典应用。

2. 欧拉证明（分析学方法，18世纪）

  • 思路：利用调和级数发散和算术基本定理。
  • 步骤：
    1. 对调和级数取对数： \ln\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) = \sum_{p} \ln\left(\frac{1}{1 - \frac{1}{p}}\right).
    2. 由调和级数发散 → 右端求和发散 → 素数个数无限。
  • 关键公式： \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-1}.
  • 意义：首次将分析与数论结合，启发了黎曼 \zeta 函数研究。

两个证明不仅确认了素数的无限性，更推动了数论和分析发展，体现了数学的多样性与统一性。

素数定理（Prime Number Theorem, PNT）是数论中描述素数分布渐进行为的核心定理，其揭示了素数在自然数中的密度规律。设 \pi(x) 表示不超过实数 x 的素数个数，则当 x \rightarrow \infty 时，有： \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}，其中符号 \sim 表示渐近等价，即： \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln x} = 1。通过数值的计算，我们可以直接得到下面的计算结果。

几个函数的对比结果

除此之外，素数定理还有以下等价表述，均描述相同的渐近行为：

对数积分形式（更精确）：

\pi(x) \sim Li(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}，其中 Li(x) 是对数积分函数，满足 Li(x) \sim \frac{x}{\ln x}。

切比雪夫函数形式：

定义 \theta(x) = \sum_{p \leq x} \ln p（对所有素数 p \leq x 的 \ln p 求和），则： \theta(x) \sim x。定义 \psi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)（其中 \Lambda(n) 是冯·曼戈尔特函数，当 n = p^k 时 \Lambda(n) = \ln p，否则为 0），则： \psi(x) \sim x.

素数定理的直观解释。素数定理表明，当 x 极大时，x 附近的素数密度约为 \frac{1}{\ln x}。示例：

当 x = 10^6 时，\pi(x) \approx 78,498，而 x / \ln x \approx 72,382，比值约 1.085。

当 x = 10^9 时，\pi(x) \approx 50,847,534，x / \ln x \approx 48,254,942，比值约 1.053，更接近 $ latex 1$。

素数定理的历史意义：高斯（1792年）和勒让德（1798年）通过数值计算猜想 \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}。切比雪夫（1852年）证明 \frac{\pi(x)}{x / \ln x} 的极限若存在必为 1，并给出上下界

0.921 \leq \liminf \frac{\pi(x)}{x / \ln x} \leq \limsup \frac{\pi(x)}{x / \ln x}\leq 1.106。

阿达玛与德·拉·瓦莱·普桑（1896年）独立利用复分析（黎曼ζ函数非零区域）完成证明。塞尔伯格与埃尔德什（1949年）给出仅用实分析的初等证明。

素数定理与黎曼猜想的关系：素数定理等价于黎曼 \zeta 函数在 \Re(s) = 1 上无非平凡零点。黎曼猜想若成立，可将误差项优化为 \pi(x) =Li(x) + O(\sqrt{x} \ln x)。狄利克雷定理（算术级数中的素数分布）是素数定理在模 q 余 a（\gcd(a,q)=1）素数集上的推广。

素数定理以简洁公式 \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x} 揭示了素数的宏观分布规律，成为解析数论的基石，其证明融合了复分析与深刻数论思想，影响深远。

咫尺之间：孪生之梦

最令人心动的亲密，莫过于“孪生素数”——像（3,5）、（11,13）、（17,19）这样，仅相差2的素数对。它们如同双生子，在数轴上紧紧相随。孪生素数猜想断言：这样的“双生子”有无穷多对。它直观得近乎理所当然，却让最聪慧的头脑困扰了数百年。

孪生素数

长久以来，数学家们只能步步逼近。假设 p_{n} 表示第 n 个素数，那么相邻素数的间距就是 p_{n+1}-p_{n}。当 m\geq 1 是正整数的时候，定义 H_{m}=\liminf_{n\rightarrow +\infty}(p_{n+m}-p_{n})，那么 H_{1}=2 就是孪生素数猜想。

从历史发展的历程来看，数学家A. de Polignac提出猜想：对于任意偶数 2k，存在无穷多对相邻素数，其差恰好为 2k。这为后续研究提供了方向，后续称之为1849年 Polignac猜想。

在1919年，挪威数学家V. Brun证明孪生素数倒数和收敛（Brun常数），并开创现代筛法。孪生素数的倒数和是数论中关于素数分布的一个重要结论。该结论揭示了孪生素数（即相差 2 的素数对，如 (3,5)、(11,13)）的分布特征，其核心内容如下：

设 \mathcal{P}_2 为所有孪生素数对 (p, p+2) 的集合，则其倒数和收敛： \sum_{(p,p+2) \in \mathcal{P}_2} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p+2} \right) < +\infty. 该级数的极限值称为 布鲁恩常数（Brun’s constant），记为 B_2： B_2 \approx 1.902160583104 \ldots。

孪生素数的倒数和与素数倒数和对比：所有素数的倒数和发散（即 \sum_{p} \frac{1}{p} \to \infty），而孪生素数的倒数和收敛。这表明孪生素数比全体素数稀疏得多，即使孪生素数有无穷多对（孪生素数猜想尚未证明），其分布密度也足够低以保证倒数和有限。收敛性说明孪生素数的分布满足： \pi_2(x) := \#\{ p \leq x \mid p, p+2 \in \mathbb{P}\} \ll \frac{x}{(\ln x)^2}， 即孪生素数的数量增长慢于 \frac{x}{(\ln x)^2}（对比素数定理 \pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}）。

布鲁恩的证明基于改进的筛法理论，核心步骤如下：

  1. 筛法构造：定义集合 S(x) 为所有不大于 x 的正整数 n 所组成的集合，这些 n 满足的条件是：对于所有小于 \sqrt{x} 的素数 p，p 既不整除 n，也不整除 n+2。则 \pi_2(x) \leq |S(x)| + O(\sqrt{x})。
  2. 上界估计：布鲁恩通过组合计数证明： |S(x)| \leq C \cdot \frac{x}{(\ln x)^2}，其中 C为常数，具体推导利用容斥原理和不等式放缩（如切比雪夫边界）。
  3. 倒数和收敛：由 \pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2} 可得： \sum_{p,p+2 \in \mathbb{P}} \frac{1}{p} \leq \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\pi_2(2^k) - \pi_2(2^{k-1})}{2^{k-1}} \ll \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \infty.

对前 N 个孪生素数对计算部分和： B_2(N) = \sum_{\substack{p \leq N \\ p, p+2 \in \mathbb{P}}} \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{p+2} \right). 例如：当N = 10^6 时，B_2 \approx 1.518；当N = 10^{16} 时，B_2 \approx 1.902。针对收敛速度这个问题，因 \pi_2(x) \sim C_2 \frac{x}{(\ln x)^2}（C_2 \approx 1.32 为孪生素数常数），级数收敛极慢，需极大 N 才能接近 B_2。

布鲁恩定理以简洁而深刻的结论揭示了孪生素数分布的稀疏性，其证明融合了筛法与组合数学的精妙思想，成为解析数论的里程碑之一。该结论不仅推动了素数分布理论的进展，也在计算科学中留下有趣印记。

除此之外，布鲁恩还首次证明存在无穷多对9-殆素数（9-almost primes）的差为2（即“9+9”）。在1947年匈牙利数学家A. Rényi证明：存在常数 k，使得有无穷多对素数 p 和 k-殆素数 m，其差为2（即“k+1”）。在1966年，E. Bombieri与H. Davenport证明孪生素数密度上界：\pi_2(x) \leq 8C_2 (\ln x)^{-2}，表明孪生素数分布稀疏，后人称之为Bombieri-Davenport上界。在1978年，中国数学家陈景润证明：存在无穷多对素数 p 和2-殆素数 m，其差为2（即“1+2”），将筛法推向顶峰。在2005年，D. Goldston、J. Pintz和C. Yildirim证明：两个素数之间的间隙相比平均值可任意小。在强猜想假设（GEH）下，存在无穷多对素数差不超过16。

一个关键的突破来自张益唐教授。2013年，这位沉寂多年的学者带来震撼：存在无穷多对素数，它们的距离小于一个固定的数字——7000万。这个数字看似庞大，在无限的尺度下却微不足道。它如同在黑暗中凿开一道缝隙，证明素数并非总是疏离。在2013年4月，张益唐在《数学年刊》发表《素数间的有界间隔》，英文名是《Bounded Gaps between Primes》。首次严格证明：存在无穷多对素数对 (p, q)，其差不超过7000万（即 p_{n+1} - p_n < 7 \times 10^7）。这一成果解决了弱哥德巴赫猜想的关键部分。

随后，数学界的“接力赛”开启，陶哲轩领导的“博学者计划”和其他数学家（如詹姆斯·梅纳德）不断优化工具，将这个距离极限压缩到了令人惊叹的246。我们离证明孪生素数猜想（距离为2）依然遥远，但曙光已现。这咫尺之遥的探索，揭示了素数分布中深藏的、难以捉摸的规律性。在 2013年5–6月，常数优化热潮开启，张益唐的成果引发全球数学家合作优化常数：

  • 5月28日：降至6000万
  • 5月31日：降至4200万
  • 6月2日：降至1300万
  • 6月5日：降至40万
  • 2013年底：Polymath项目结合James Maynard新方法，将常数降至246。

到了2013年11月，James Maynard 在素数有界间距上取得了独立突破。James Maynard独立提出更简方法，将素数差常数降至600，并证明：对任意 k \geq 1，存在常数 C_k，使得无穷多对素数差不超过 C_k（Polymath项目进一步优化至246）。

2015年至今：后续进展Polymath8b项目给出精细上界公式：\pi_2(x) \leq C \frac{x}{(\ln x)^2}，并探索广义孪生素数分布。

素数小间距的关键结论如下：

  • 核心问题：素数间距能否无限小？孪生素数猜想（差为2）是否成立？
  • 核心工具：筛法（Brun–Selberg）、指数和（Goldston–Pintz–Yildirim）、张益唐的松弛筛法结合Bombieri–Vinogradov定理。
  • 未解难题：孪生素数猜想（\liminf_{n \to \infty} (p_{n+1} - p_n) = 2）仍未完全证明，但246已是迄今最佳上界。

辽阔星河：自由的旷野

然而，素数的呼吸并非只有浅吟低唱。它们也渴望辽阔的空间。你能想象在数轴上找到任意长的、完全没有素数的“荒漠”吗？答案是肯定的。

一个巧妙的构造揭示了这种自由：考虑一串连续的数字：n! + 2, n! + 3, n! + 4, …, n! + n。对于任意大于1的整数k（k ≤ n），n! + k 都能被k整除（因为n!包含k）。因此，这串长达n-1个连续数字中，没有一个是素数！随着n的增大，这片“荒漠”可以任意延长。这意味着，素数之间的间隔，可以像宇宙膨胀一样，变得无比巨大。

数学家们不满足于此，他们想知道这间隔到底能有多大。埃尔德什等数学家用更精密的工具证明：在小于某个巨大数字X的范围内，必然存在相邻素数，其间隔远大于它们的“平均间隔”（约为ln X）。具体来说，这个最大间隔至少可以像 (ln X * ln ln X * ln ln ln ln X) / (ln ln ln X) 那样增长（尽管公式复杂，它描绘了一种远超平均的、爆发式的增长）。这如同在星辰之河中，存在着难以想象的辽阔寂静地带。

素数大间距（Big Gaps）研究素数间隔的渐进增长，其难度不亚于素数的小间距。在1931年，Westzynthius的开创性工作结果证明存在无穷多个素数间隔大于 \log p_n，即：

\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n} = \infty。

首次确立素数间隔可无限超越对数尺度。

在1935年，Erdős将上述结果进行改进。他引入新方法，证明：

\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n \cdot \frac{\log\log p_n}{(\log\log\log p_n)^2}} > 0。

Erdős首次在分母中引入三重对数项，显著提升下界。

在1938年：Rankin的又取得了重大突破。优化常数并引入四重对数项：

\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n \cdot \frac{(\log\log p_n) \cdot (\log\log\log\log p_n)}{(\log\log\log p_n)^2}} > c+o(1)。

证明下界常数可大于 1（后经Pintz等优化至 c = 2e^\gamma）。其结果长期未被超越，成为经典基准。

到了2014年：Ford–Green–Konyagin–Tao–Maynard的革命性进展，彻底改进渐进阶：

\limsup_{n\to\infty} \frac{p_{n+1}-p_n}{\frac{\log p_n \cdot \log\log p_n \cdot \log\log\log\log p_n}{\log\log\log p_n}} \geq c > 0。

首次将分母降为 \log\log\log p_n，突破Rankin框架。

截至2024年，相邻素数的最大间距是：p_{n+1} - p_n = 1552（对应素数 p_n = 18,361,375,334,787）。上述渐进结果保证了间隔的无限增长，但具体数值依赖计算验证。素数大间距的发展历程体现了从初等证明到调和分析、组合数学的深度融合，尤其是2014年工作融合了多重数学工具，重塑了素数间隔的理论框架。

宇宙的韵律

素数的间距，就这样在“亲密无间”与“天各一方”之间摆荡。小间距（如孪生猜想）体现了素数分布潜在的某种“粘性”或聚集倾向；而大间距的存在，则彰显了其固有的、不可预测的随机性和自由。

数学家核心贡献
Green & Tao素数中存在任意长等差数列（Green-Tao 定理）。
张益唐素数间隙有界，开启小间隙研究。
Maynard独立优化间隙至 600；推广至多素数聚类；筛法创新。
Ford–Green–Konyagin–Tao–Maynard证明素数间隙可任意大（解决 Erdős–Rankin 猜想）。
Polymath协作优化间隙至 246，推动开放式数学研究。

这些成果共同推动了解析数论的突破，揭示了素数分布的深层结构，并为后续研究（如孪生素数猜想）奠定了基础。理解这些间距，就是试图破译宇宙在整数序列中留下的密码。张益唐的7000万、梅纳德的筛法革新、构造出的任意长荒漠、以及关于最大间隔的精密估计，都是人类智慧在探索这深邃韵律时留下的足迹。它们告诉我们，即使在最基础的数字序列里，也蕴藏着无限的惊奇——既有令人心安的亲密可能，也有挑战想象的辽阔自由。素数的呼吸，是数学宇宙永恒而迷人的心跳。

职场纵横

高墙内的职场真相：流水线上的人，被制度一步步消耗

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在某些表面风光的制造企业内部，仍存在令人难以想象的管理乱象。一些企业部门在追求产能最大化与成本最小化的过程中，正在一步步透支员工的身心健康与基本尊严。在铺天盖地的宣传语中，我们看到“奋斗”、“狼性”、“效率”成为口号；而在真实的职场一线，员工却在忍受着强制调岗、过度加班、恶劣住宿、管理僵化、环境污染与工资缩水的多重打击。今天，我们将通过真实案例和制度细节，深入剖析这种现代职场的暗面。

一、强制调岗：打着“内部流动”旗号行“变相裁员”之实

职场转岗本应是员工与企业共同成长的机会，理应基于员工意愿、专业能力与岗位需求的匹配。但在某些制造企业内部，所谓“内部调岗”却演变成了员工无法拒绝的“新变相裁员”。

案例显示，一些员工在原本的销售或管理岗位上被裁后，被强行安排进入一线车间，转而从事生产流水线工人工作。这类调岗不考虑员工的职业背景、技能匹配度，甚至不提供任何培训。一个原本从事渠道拓展、客户维护的员工，突然要戴上手套、穿上工作服，参与车间操作流程，面对陌生的机器和体力劳动，无异于把人推入冰窟。

调岗通知来的突然，流程毫无透明度，拒绝就意味着自动放弃劳动关系，离职赔偿也可能因此被规避。这种操作方式，实际上是以“合法合规”的外衣，实现了“成本最小、风险最小”的裁员目的。调岗，变成了企业施压员工自愿辞职的工具，也揭示了职场博弈中资源方与个体之间极其不对等的权力结构。

二、加班文化异化：绩效与“工时崇拜”绑定，人人如履薄冰

加班原是企业应急的一种安排，但如今，在某些企业部门中，加班却已制度化、常态化，甚至被“考核化”。员工的绩效与加班时长直接挂钩，每月加班时间若不足70小时，就可能面临绩效打折、评级降低、奖惩下调等多项负面后果。

更离谱的是，虽然制度表面上规定工作时间为8:30到17:30，但实际上，许多团队普遍在晚上九十点后才下班，而周末则靠“自愿加班”填满。一些管理者明示：“不加班的员工不够上进”；更有员工反映，即便是准时下班，也会在群里被“暗示提醒”。

而这些超时工作，基本不提供加班费，周末加班更不计入工资结算。员工在“拿不到加班费还要拼命加”的悖论中度日如年。这种绩效制度的实质，是用“劳动时间”替代“劳动价值”，将企业效率问题转嫁给员工的身体与生活。表面看是“奋斗文化”，实际是“集体压榨”。

三、宿舍恶劣不堪：远离城市、基础设施简陋

生活配套是职场生态不可或缺的一环，它直接影响员工的休息质量与幸福感。然而，在这个事业部门，不少员工爆料，宿舍条件形同廉租工棚，极度压抑。多位员工反映，曾因业务调整，原本的单人间被突然强制收回，所有人被统一迁至十几公里外的宿舍点，不仅交通不便，还要求每间住进4-6人不等，室友随机分配，生活作息极不协调。

“晚上一个人打呼噜，另一个打游戏，还有人通宵玩抖音，完全无法睡觉。”一位员工如此形容自己的日常。更严重的是，宿舍设施陈旧不堪，墙皮脱落、厕所堵塞、洗浴水压不稳，有的房间甚至连最基本的空调设备都没有。高温天如火炉，湿热天如蒸笼，许多员工只能自掏腰包购买电风扇和防虫网。宿舍不仅失去了“家”的功能，还有可能成为压垮员工精神状态的最后一根稻草。

四、管理僵化与形式主义泛滥：流程不为效率，只为“表演”

如果说生活上已被压榨，工作中更是重重桎梏。该部门内部存在严重的管理僵化与流程形式主义问题，员工每天需完成大量无意义的打卡、记录、截图、报表工作，这些数据并不服务于业务优化，而仅仅是“应付上级检查”。打卡时间稍晚、缺少截图上传、表格遗漏一栏，都可能成为扣罚理由。一些细节如“工位物品不规范”“笔筒未归位”等，也被纳入违纪范围，随时可能影响绩效。

“写了十几个版本的日报，就是为了展示我‘有在工作’。”一位员工吐槽。这种管理模式，本质上是对工作的不信任，也是对人才的极度不尊重。真正高效的组织，应当用结果衡量价值、用目标驱动过程，而不是用“姿态管理”和“监控表演”将每一位员工变成“流水线上的打卡机器”。

五、工作环境粗放：酷暑无空调

一位员工曾形容：“办公室三十多度，空调被要求关闭；厂区气味刺鼻，口罩也不给一只。”

这并非夸张，而是现实。在部分厂区和办公楼，出于节能和降本管理需要，中央空调被人为关闭，即便在高温天也不得使用。一些员工只能带着风扇上班，汗水不断流，注意力也无法集中。

与此同时，厂区的环境安全问题同样突出。一些新扩建车间装修材料劣质、通风系统不健全，异味刺鼻、粉尘弥漫，但公司却未配备专业防护设备。一线员工长时间暴露在潜在有害气体中，甚至不知道自己吸入的是什么。对企业而言，这是成本；对员工而言，是健康甚至生命的隐患。在“可持续发展”口号挂满会议室的同时，一线员工仍在靠身体为企业运转买单，实在令人痛心。

六、薪资与福利缩水：绩效成算术游戏

“承诺的绩效40%，实际每月只能拿到20%-28%。”“年终奖要看关系，不是人人都有。”“节日福利就是发个柚子，连盒子都懒得设计。”这些来自员工的反馈，暴露出该事业部门在薪酬激励体系上的巨大落差。

绩效浮动极大，一些主管借口“业绩压力”“预算下调”，年中频繁调整绩效结构，导致员工收入严重不稳定。即使员工完成了所有工作指标，也可能因为“上层评分”被扣分，难以拿到满额绩效。年终奖则常常被用于“管理权力”的延伸工具——谁更听话，谁“表现得更积极”，谁才有机会拿到激励。奖罚并非基于能力，而是基于关系。节日福利形同摆设，没有人文温度，也没有组织尊重。员工在节假日前后收到的，不是感谢与犒劳，而是形式感十足、诚意不足的廉价物品。

员工不是工具，不是螺丝钉，而是有尊严、有价值的“人”

种种问题的背后，暴露的是一种陈旧、压榨型的企业管理观念——将员工视为成本单位，而非价值创造者；将服从作为评价标准，而非能力与贡献。在这样的环境中，员工沦为被随时调动、随时淘汰的“人力资源”；他们的生活、健康、家庭、情绪，甚至基本的尊严，往往被排除在企业考量之外。而在外部宣传中，这些企业却时常以“先进制造”“高效管理”“组织变革”自居，令人讽刺。

写在最后：制度失衡，比剥削更可怕

今天的职场并不缺少奋斗者，但他们缺少的是一个讲规则、有温度的组织环境。任何企业若一味以压榨劳动换增长，终将饮鸩止渴；用形式主义粉饰绩效，更是搬起石头砸自己的脚。毕竟，人的心不是零件，情绪不是数据，制造业的职场不该成为“消耗人的工厂”。若不变革，终有一天，员工会用脚投票，而企业也将在人才流失中失去未来。

故事纯属虚构，如有雷同纯属巧合。

Mathematics

AI与数学教育的融合：开启个性化学习新时代

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在现代数学的研究中，数学教育（Math Education）作为一个重要的研究领域，虽然看似不如一些前沿方向那么引人注目，但它仍然在 ICM 的标准中占有一席之地，数学教育也算是数学的研究方向之一。随着人工智能（AI）技术的飞速发展，数学教育与 AI 的结合呈现出巨大的潜力。从小学到大学的整个教育体系，AI 技术可以提供个性化的教学体验，助力每一个学生提升其数学能力。

ICM 2026 Speakers

如果是 AI 与数学教育相结合，那么可以做的东西就太多了。从小学开始，到中学，一直到后面的大学教育，都有数学的身影。从小学到大学阶段，AI 都能够提供个性化的教学体验。例如，在基础教育阶段，AI 可以通过智能算法分析学生的学习行为和学习进度，提供定制化的学习内容，帮助学生发现自己的薄弱环节，进而进行针对性训练。这种方式相比传统的一刀切式教学，可以更有效地提升学生的数学素养和解决问题的能力。

对于中学和大学阶段，AI 能够借助个性化推荐，挖掘学生在学习数学过程中可能遇到的概念理解偏差，帮助老师实时调整教学方法。同时，通过智能评测，AI 可以实时监控学生的学习进度，及时进行干预或提供更多的学习资源，甚至帮助学生进行模拟题训练和成绩预测。AI 还可以在数学教育的教学内容开发和教育评估中扮演重要角色。它不仅能协助教师设计更加丰富和互动性的课程内容，还能提供精准的学习成果评估，帮助教育者不断调整教学策略，实现精准化教育。

在中学阶段，借助学生每个人自己的错题，每个学生都可以实现基于错题的一个AI习题知识库，无论是放在“知乎直答”还是 ima.copilot 这个工具中，都可以实现这样的效果。学生只需要把自己的错题记录下来，然后上传系统，每隔一段时间就进行错题回顾，于是就可以实现错题的重复练习，达到进一步地提升效果。

在大学阶段，数学学习不仅限于基础知识的掌握，还涉及大量的专业文献和研究论文的阅读与分析。面对复杂的数学论文，传统的阅读方式往往需要耗费大量的时间与精力，尤其是在理解深奥的理论、推导过程或未解决的问题时，学生和研究者往往感到力不从心。然而，借助 AI 工具，读者可以更高效地进行论文的“粗读”和初步分析。

论文总结

通过 AI 工具的支持，学生可以先对整篇论文进行快速扫描和概括，AI 可以提取出文章的核心内容，包括主要结论、方法论以及重要的数学定理和公式。这种自动化的初步整理，帮助学生更快速地把握论文的大致框架，从而为更深入的研究提供指引。此外，AI 工具还能够根据学生的需求，进行论文内容的梳理和重构，帮助他们在特定的学术背景或研究领域中找到所需的信息。这对于那些内容繁杂、篇幅冗长的论文尤其重要，能有效节省时间，减少信息过载的困扰。

更重要的是，AI 工具能够自动识别论文中的未解决问题和猜想，帮助学生发现当前研究领域的空白和潜在的研究方向。例如，AI 可以通过分析现有文献的结论和讨论，识别出研究中的不足和未解之谜，甚至根据现有的数学理论预测一些尚未得到验证的猜想。这种功能不仅对学生的学习有益，也为研究者提供了创新的灵感和研究的潜在方向。

未解决的猜想

整体来看，AI 与数学教育的结合是一个巨大的潜力领域，不仅可以提升学生的数学能力，也能推动教育行业的全面升级。从这种角度来看，数学教育作为一个研究方向，不仅符合 ICM 的标准，也是推动数学和教育现代化的重要领域。

职场纵横

在欢乐与惊喜中前行：一小时的活动，一生的回忆

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今天，真的是一个充满惊喜和欢乐的日子！一大早，公司组织了一个有趣的团队活动，大家都非常积极参与，而我也有幸加入了这个活动，成为了那个可爱、公仔装扮的成员之一。虽然一开始穿上那套公仔服，戴上大头套，天气略显炎热，但随着活动的推进，所有的不适感几乎在笑声中烟消云散。大家一起互动、一起玩耍，气氛变得轻松而愉快。就算是短短的一小时，却能让人感受到团队的凝聚力与默契，也让我从繁忙的工作中暂时脱离出来，重新找回了童真与乐趣。

而今天的另一个好消息，就是之前在六月份参加的比赛终于有了结果。结果不仅令人惊喜，自己也因为幸运地获得了特等奖而感到无比的开心！这个奖项无疑是对过去努力的一种肯定。其实，最初并没有抱太大希望，只是想着参与其中，体验其中的乐趣，没想到最终竟能脱颖而出，真的是意外之喜！而与此同时，参与奖也收获了一份，让整个过程更加圆满。每一次的参与，哪怕只是为了体验，也会成为自己成长的一部分，今天的奖项无论大小，都代表了一个不一样的意义。

不仅如此，公司的团队还特别为大家准备了文化衫，这些衫不仅是今天活动的纪念，也是团队成员间互相支持、共同成长的象征。大家穿上文化衫，仿佛穿上了团队的力量，感受到集体的温暖与力量。想到下周还有更多团队活动等着大家，不禁让人更加期待。活动和奖项固然重要，但在这个过程中，团队的凝聚力、伙伴之间的互动和鼓励，是最值得珍惜和留存的部分。

今天的经历让我意识到，工作不只是在办公室内忙碌的日子，也可以是充满快乐与惊喜的时光。无论是身着公仔服的欢乐，还是获得奖项的惊喜，都在提醒着每个人，生活不应只是忙碌的脚步，也应有些轻松的时光、一些不期而至的成就。而这些成就，不仅仅来自个人的努力，还来源于团队的共同支持与合作。在今天的此时此刻，心里满是感谢和喜悦。每一天的辛勤付出和每一个团队活动的参与，都是我对生活的一份小小回报。与其说今天的幸运和喜悦属于我，不如说它属于我们这个团队。没有大家的支持与陪伴，这份喜悦不会如此完整。期待更多像今天这样的时刻，带着无尽的欢乐和希望，继续迈向未来！

2025年7月17日

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数学系学生必备工具：如何通过知乎直答高效学习数学

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作为一名数学系的本科生，如何高效地整理和吸收数学知识、深化理论理解，是每个学生都会面临的挑战。知乎直答，这一结合了知乎平台丰富内容和强大AI大模型的工具，提供了一个可以极大助力学习的数字化助手。通过智能搜索、结构化答案生成、实时信息更新和个性化创作等功能，知乎直答能够帮助你在数学学习中快速建立知识体系，提升理解深度，并且通过互动式的学习模式帮助你掌握复杂概念。

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知乎直答的个性化创作助手也是你数学学习中的得力助手。它可以帮助你撰写数学报告、生成数学问题的推导过程，甚至设计学习计划和复习提纲。例如，在准备期末考试时，你可以让知乎直答根据各门课程的知识点生成思维导图，帮助你梳理考试复习的重点。对于数学公式的排版，知乎直答还可以利用LaTeX进行高质量的公式排版，使得整个学习过程更加专业和清晰。

一个很重要的优势是，知乎直答支持多轮对话，这使得你可以深入挖掘数学问题的各个方面。比如，你可以先提问“什么是微分方程”，得到基础解答后，再继续追问“常微分方程的稳定性分析方法”。知乎直答会根据上下文继续跟进，为你提供层层深入的解答，帮助你逐步掌握复杂的数学概念和方法。这种多轮对话的形式非常适合数学学习，因为数学的理解往往需要层层递进，而知乎直答正好能为你提供这样的学习模式。

在实际应用中，知乎直答还能帮助你高效整理和提炼学术资源。如果你有大量的数学文献需要阅读，知乎直答的文档解析功能可以快速从论文、书籍、讲义中提炼出最关键的信息。例如，你可以上传一篇关于“数学分析”或“复分析”的学术论文，知乎直答会帮助你提取出核心定理和方法，并根据你的需要整理成简洁的要点或思维导图。

学习方法与知乎直答的结合不仅仅限于对个别知识点的理解。你可以将知乎直答作为一种长期的学习工具，构建自己的个人数学知识库。在日常学习中，每当遇到不懂的概念或定理时，直接通过知乎直答进行提问，及时获取权威且详细的解答。同时，通过多轮对话深入探讨该概念的不同角度，进行全面的理解。你还可以通过知乎直答记录自己的学习笔记，并将其转化为结构化的内容，方便日后的复习和查阅。

知乎直答为数学系学生提供了一个高效、精准且个性化的学习平台，通过智能搜索、结构化呈现、实时更新以及创作助手等多种功能，帮助你在数学学习的道路上事半功倍。通过知乎直答，你不仅能够更好地理解课程中的理论，还能及时掌握数学领域的前沿动态，真正实现学习过程中的自我提升和知识积累。

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如何利用IMA系统提升工作效率，解决流程痛点

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在如今的信息化时代，团队的竞争力往往与其工作效率密切相关。无论是跨部门协作、知识管理，还是技术问题的快速解决，都离不开高效的信息流转和沟通。而在某些团队中，重复性工作、低效的沟通流程和技术支持问题，常常成为员工在日常工作中遇到的痛点。随着智能化工具的崛起，IMA（智能管理助手）作为一款强大的知识管理和智能协作工具，正在逐渐成为小规模团队提升工作效率、优化流程的必备利器。今天，我们将通过几个典型的应用场景，详细阐述IMA如何帮助小规模团队解决工作中的种种痛点，进而提高整体的运营效率。

建立专项知识库，解决流程中的痛点

在某些团队中，员工在完成日常工作时，经常需要反复提交相同的材料，或是在跨部门的审批过程中因流程不清晰、信息沟通不畅而浪费大量时间。尤其是在大型项目中，Aspice文档的撰写、标书的撰写、与供应商的沟通、审批流程的走查和反馈常常需要大量人工干预，这不仅效率低下，而且容易出错。

为了帮助大家在工作中解决这一问题，IMA系统提供了一个非常有效的解决方案。通过建立「标书模板库」和「跨部门协作流程库」，团队可以将常见的报告模板、审批流程标准化文档以及操作指南存入IMA的知识库。这些文件一旦存储后，员工可以通过IMA的智能检索功能，轻松找到所需资料。例如，当员工需要准备某类报告或是跟进专利审批时，只需要在IMA中输入关键词（如“专利审批流程”），系统便会自动为其展示最新的操作指南和文档。这样，员工不仅避免了重复的沟通，还能够在最短的时间内找到最准确的资料，大大提高了工作效率。

通过这种方式，团队能够实现流程的标准化管理，减少了低效的材料提交和流程咨询。据实际案例显示，使用IMA后，标书撰写的时间可大量缩短，审批流程的沟通效率也得到了显著提升。

自动化信息整合，打破信息孤岛

在某些团队中，由于外部信息获取渠道不畅通，常常面临“信息孤岛”的困境。尤其是在一些条件较为限制的工作环境中，员工在面临技术问题时，无法及时获取行业最新动态或技术信息，这不仅影响工作进度，还容易错过行业发展的重要趋势。

IMA系统通过其强大的网页抓取功能和浏览器插件，能够采集并存储外部行业的最新技术动态。无论是汽车技术、电池技术、AI算法，还是其他领域的前沿研究，IMA都能通过联网功能和插件抓取并存储更新到「外部技术监测」知识库中。这种自动化的信息整合方式，不仅解决了信息孤岛的问题，还使得员工始终保持对行业最新发展的敏感度，有效避免了技术滞后。

通过IMA的这一功能，技术团队能够更快地了解行业的最新发展，帮助团队成员时刻保持竞争优势。而员工不再因为信息滞后而焦虑，也能够专注于更具创造性和价值的工作。

智能协作，减少无效会议

某些企业和团队中的会议往往是时间浪费的重灾区，许多会议缺乏明确的议题和目标，参与者未能事先了解讨论的核心问题，会议内容往往散漫无序，结果无论是会议结束后的落实，还是与会者的反馈，都难以达到预期效果。而由于大量无效会议占用了员工宝贵的工作时间，整体的工作效率显著下降。

在这个问题上，IMA通过智能化的协作功能，帮助团队大幅减少了低效会议的数量。在会议前，员工可以基于PDF、PPTX、Word、Excel等文档资料，通过IMA知识库快速生成会议提纲，系统会根据输入的议题自动输出讨论框架，确保会议内容紧密围绕核心目标展开，并且使用笔记进行共享记录。在会议进行过程中，IMA还能够通过笔记这个功能实时记录讨论内容，并且整理成会议纪要，并在会议结束后，人工导入知识库并确保每个任务都有落实和跟进，以便下次开会进行沟通和跟进。

这种智能化的会议管理方式有效避免了无主题、无效沟通的情况发生。通过IMA的协作功能，团队能够实现高效的会议管理，避免员工在低效会议中浪费时间，从而提升工作整体效率。

技术问题即时响应，替代加班

开发人员常常面临各种技术问题，尤其是在工具链出现问题或系统出现报错时，开发人员往往需要加班处理，这不仅影响工作进度，也损害了员工的工作与生活平衡。传统的技术支持模式往往需要较长时间的等待和反复沟通，而加班成为解决问题的常态。

团队的员工可以基于IMA系统建立「内部技术问答库」，收录常见的技术问题和解决方案，如各种软件工具的故障排除、报错日志的分析等。通过IMA的代码解析功能，员工只需将报错日志输入系统，IMA就会迅速给出可能的修复方案，帮助员工第一时间解决技术问题。通过这种即时响应机制，技术人员不仅能够迅速解决问题，还能避免不必要的加班。

通过IMA，团队的员工能够有效提高技术支持的效率，减少因技术问题造成的加班，提升员工的工作体验，同时也确保了开发进度不受阻碍。

结束语

总的来说，IMA系统为大家提供了一整套高效的知识管理与智能协作解决方案，通过智能化的流程优化、自动化的信息整合、精细化的绩效管理以及技术问题的即时响应，帮助团队里面的减少重复性工作，提高工作效率，并为员工提供了更舒适、高效的工作环境。在信息化和智能化的浪潮下，IMA作为一款高效的管理工具，无疑为团队的未来发展提供了强大的动力。

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从错题到满分：如何用IMA构建你的专属数学知识库

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在这个信息爆炸的时代，越来越多的高中生开始尝试用AI工具辅助学习，而IMA 平台正在悄悄改变传统的数学学习方式。从教材管理到难题求解，从错题整理到脑图笔记，IMA 不仅是一款问答机器人，更是一个贴身的数学学习助手。

学生可以把自己的教材、笔记、练习册扫描或者拍照后上传到 IMA 的知识库中。系统会自动解析文档内容，提取关键词并生成标签，比如“三角函数”“极限思想”等。这种结构化的知识整理方式，让学生不再受限于纸质资料的查找困难，一键就能定位所需内容。

有了自己的知识库之后，遇到不会做的题目就可以直接在 IMA 中提问。比如输入“如何证明勾股定理？”或者上传一张数学题目的截图，IMA 就会结合你上传的资料和知识库内容，自动生成解题思路和步骤，甚至会标注答案的出处，方便回溯学习。这种基于个人资料的 AI 问答，比传统搜索更精准、更贴合学生自己的学习节奏。

在整理知识方面，IMA 也表现出色。学生可以用它来记录推导过程、重点公式，输入“生成三角函数公式脑图”，系统就会自动绘制出清晰的知识结构图，帮助学生快速掌握公式间的内在逻辑。对错题也能进行管理，只要把错题截图上传，IMA 会根据错题类型生成类似题目的练习建议，持续强化薄弱点。

IMA 的「知识库广场」中还有大量公开的数学资源，如“高中数学大全”“竞赛题型解析”等。学生可以加入这些共享知识库，直接提问获取优质解答，甚至还能将自己整理的公式表、真题解析上传创建共享库，与同学互助协作。更贴心的是，IMA 还能识别手写公式并转化为可编辑文本，对于板书、笔记内容的整理极为方便。同时，通过输入“制定7天微积分复习计划”，学生还能生成个性化的学习方案，配合手机和电脑端的同步功能，随时随地保持学习节奏不掉队。

在使用过程中，记得保持网络连接，才能体验如截图问答、AI脑图等功能的完整效果。文件格式上，目前支持 PDF、Word 及图片文件，如果有视频讲解资料，还需要额外整理为文字或图片上传。建议高中生在设置中将模型切换为 DeepSeek-R1，以获得更强的数学推理能力；如偏好中文解析，则可使用混元模型。

IMA 让数学学习从“死记硬背”转向“结构化掌握”，从“题海战术”转向“精准攻克”。AI 不只是工具，更是一位贴身的数学教练，帮助高中生把碎片化的知识拼成完整的体系，真正实现高效、自主的数学学习。

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数学系研究生如何通过 ima 跨足 AI 领域

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假设我当初转行的时候有ima工具，我究竟怎么做才能够快速转行AI呢？

作为一名数学系研究生，我们的学术道路上往往充满了理论与实践的挑战。从深奥的数学证明到应用实践的编程，我们不仅要精通数学知识，还要能将这些理论转化为实际应用。尤其是当前，AI技术正在成为数学与计算机科学交叉的前沿，跨足 AI 领域，提升编程能力与实践能力已经成为许多数学系学生的必修课。最近，我使用了一款由腾讯推出的 AI 智能工作台 —— ima，它帮助我在寻找实习、学习计算机基础知识、整理资料、参加建模竞赛等多个方面大大提升了工作和学习效率。今天就和大家分享一下，数学系研究生如何通过 ima 跨足 AI 领域。

寻找实习与职业规划，ima 帮你整理资料与提升能力

在研究生阶段，我们不仅要专注于学术研究，还需要关注未来的职业发展。尤其是进入 AI 方向，我们往往面临如何高效找到实习机会的问题。通过 ima，我可以在“知识库”中专门创建一个【实习机会】文件夹，收藏一些求职网站的页面、HR推荐的公司信息、以及相关领域的招聘职位。通过一键保存网页内容，我把所有相关资源集中到一个知识库中，随时可以查看和更新。

不仅如此，ima 还支持全网搜索功能。当我输入“数学研究生 AI 实习”时，ima 会从各大招聘网站、公众号等地方搜寻到相关的职位信息，生成图文并茂的答案，帮助我迅速掌握市场动态。同时，它还能结合我的个人兴趣和目标提供一些定制化的建议。

学习计算机基础知识，快速补充 Linux、网络等技能

作为数学系的学生，我们的编程背景可能相对薄弱。特别是在 AI 和大数据分析中，掌握计算机基础知识，如 Linux 操作系统、网络编程、数据结构和大模型的应用，变得尤为重要。在这一方面，ima 的智能搜索和知识库管理功能非常有用。

我利用 ima 上传了大量计算机基础知识的书籍和学习资料，创建了【计算机基础】知识库，包含了 Linux 命令行操作、Python 编程、机器学习基础等内容。当我遇到不懂的概念时，只需在 ima 搜索框输入问题，比如“如何搭建深度学习环境”或者“网络编程中的 TCP/IP 协议”，ima 会帮助我从全网内容中提取精华，快速生成详尽的图文答案，帮助我理解并记忆复杂的计算机知识。

通过系统整理学习资料并建立自己的知识库，我不仅节省了大量的查找时间，也能够在实际学习过程中快速回顾和应用这些基础知识。

参与数学建模与 Kaggle 竞赛，利用 ima 提高编程能力与解决问题的效率

数学建模竞赛和 Kaggle 竞赛是提升数学应用能力和编程能力的绝佳途径，而在这些比赛中，时间压力和知识广度往往是最大的挑战。通过 ima，我能高效整理比赛相关的资料，并利用 AI 来提升我的解题效率。

在每个数学建模或数据分析的竞赛中，我都会创建一个专门的【竞赛资料】文件夹，把历届竞赛题目、参考文献、竞赛经验等都保存进去。比如，在准备“数学建模”时，我会将常用的数学建模方法、模型代码、数据分析技巧等保存到知识库，随时查看和更新。

在实际竞赛过程中，我还会通过 ima 的智能问答功能，基于自己的知识库提问，AI 会帮助我从已有资料中找出相关的解题方法和思路。尤其是在 Kaggle 比赛中，常常需要解决一些特定的编程问题，ima 的 AI 写作和代码生成功能也可以帮助我快速完成一些常见的编程任务，提升了我的编程效率。

团队协作与项目管理，提升组织能力

作为数学系研究生，很多时候我们都需要和其他同学进行协作，尤其是在大数据分析、机器学习或者数学建模的项目中。ima 的共享知识库功能特别适合团队协作，我可以把项目资料、研究成果、编程代码等内容上传至知识库，分享给团队成员，大家可以在同一个平台上协同工作，进行交流与反馈。

通过创建一个团队共享的知识库，我可以在其中安排各自的任务、记录讨论结果、总结工作进展，并利用 ima 的分类与标签功能，方便地对每个项目文件进行组织管理，确保团队成员能快速获取最新的资料与思路。

用 AI 辅助提升编程能力，事半功倍

在数学系的学习中，编程能力是不可或缺的。ima 不仅能帮助我整理编程资料，还能在编写代码时提供实时帮助。我常常通过 ima 的 Markdown 编辑器记录编程笔记，输入 “/” 唤起 AI 来扩写代码或修正错误。例如，在学习机器学习时，我遇到过一个调参的难题，直接输入问题，AI 会根据已有的资料和我上传的代码给出优化建议，帮助我解决问题。

工欲善其事必先利其器

ima 是一款非常适合数学系研究生的工具，它不仅可以帮助我们高效管理学习资料、提高编程能力，还能够在职业发展中为我们提供有价值的建议与资源。通过智能搜索、知识库管理、团队协作等功能，ima 让我们在学习、竞赛、实习、职业规划等方面都能事半功倍。如果你也想像我一样，通过 AI 工具提升自己的学习效率和实践能力，赶紧去体验 ima 吧！你可以从官网下载客户端，或者在微信小程序中搜索“ima 知识库”，开启你的 AI 学习之旅。

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当AI碰上数学专业，数学本科生的ima使用指南

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假设在我读大学的时候，ima这样的工具已经出来了，我该怎么样来攻读本科学位呢？

大学生活节奏紧凑，尤其是对于数学系的学生来说，每学期要面对多个高强度的专业课程，如高等代数、实变函数、数理统计，以及不断出现的编程课、选修课、通识课，资料来源五花八门，整理难度也越来越大。如何把零散的知识系统地管理起来？我最近尝试了一款由腾讯推出的 AI 工具 —— ima 知识库，发现它非常适合我们这种需要“多线程”处理信息的大学生，尤其是理工科学生。今天就来和大家分享一下我的使用经验。

把所有学习资料放进个人知识库，从此告别混乱

以前我笔记一部分文件堆在电脑桌面，公众号收藏夹也是“看过就忘”，几周下来就乱作一团。有了 ima 后，我直接在 PC 端新建了几个知识库：比如【数学分析】、【高等数学】、【C++编程基础】、【军事理论】等。讲义 PDF、老师分享的 PPT、参考资料、刷题记录都能上传，还能一键收藏网页和公众号文章。

比如，在准备《泛函分析》考试时，我可以把教材扫描件和习题讲解的PDF一起保存进去，系统会自动生成摘要，方便回顾；还可以用标签标记“期中考重点”、“例题合集”，分类非常清晰，复习起来效率高了很多。也不用一直用纸质笔记本来记录试题，迅速提升复习效率。

用 AI 回答你的问题，不怕知识断层

数学学习中我们经常会“卡壳”，比如在理解某个公式推导时找不到合适的讲解，有时候提问群里又没有回应。这时候我就会打开 ima，在搜索框输入问题，比如“拉格朗日中值定理的直观理解”，选择“基于全网”搜索，ima 会从公众号、知乎、网页等地方整合答案，用图文并茂的方式解释，还附带参考来源链接，节省我大量搜索时间。

更厉害的是，如果我在自己的知识库中提问，ima 会只根据我自己的笔记资料回答问题，比如输入“#概率论 期末重点”，它会生成我之前所有笔记、重点总结的融合回答，避免了 AI 胡编乱造的“幻觉”，特别适合期末复习或准备报告时查缺补漏。

不只是做笔记，更是内容创作的帮手

数学系同学日常还要写作业、小论文、通识课项目总结之类的内容。我一般用 ima 的 Markdown 编辑器来写笔记和文档，随时可以输入 / 唤起 AI 帮我扩写、生成段落，甚至可以生成配图和思维导图。我还尝试用它写过一个“素数间距”的初稿，只输入了一点点提纲，AI 帮我扩展了思路，还能帮忙翻译查找外文资料，省心又省力。

微信小程序+多端同步，哪里都能用

最让我满意的是它的多端同步。我在教室或者食堂突然想到一个公式推导的思路，打开手机上的 ima 小程序随时记录；课后在寝室用MacBook端继续补充；周末去图书馆打开 Windows又能无缝衔接，所有内容都在云端同步，还有 30G 免费空间，非常实用。对于我们这种经常用到不同设备的学生来说，统一平台+实时同步太友好了。

分享与协作，项目学习也能用上

在日常的学习中，我们数学系也会做小组项目，比如数学建模竞赛或者数值分析实验课，我会拉一个共享知识库，把参考资料、代码文件、数据分析结果都放进去，同组的同学都能添加/评论，还可以直接在里面提问，AI 会结合大家上传的内容生成答案，相当于我们组的“专属 DeepSeek”。

ima 提升个人能力

ima 更像是我的学习助理，帮助我在信息爆炸的时代，把碎片知识收集起来、整理清晰，并且在需要时快速调用出来。不管你是刷题、写论文、找资料、记录灵感，甚至和同学协作，ima 都能提供非常实用的功能。推荐大家都去体验一下，特别是数学、计算机、物理等理工科专业的同学，可能你会像我一样，一用上就“停不下来”。

One Dimensional Dynamical System, PHD的生涯

在新加坡的这五年—学术篇（七）

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之前，我写过不少关于自己学术经历的文章，但今天我想换个角度，重新审视自己的博士历程。如果让我重新再来一次攻读博士学位，我会在哪些方面做出改进和优化？这正是这十年职场生涯中，我逐渐学到的一个重要技能——复盘。正如常言所说，赢了要清楚为什么赢，输了也要弄明白为什么输了。

在攻读博士期间，心态的转变至关重要。为什么这么说呢？因为读博士和本科、硕士有着明显的区别，博士生必须要产出论文。没有产出，就等于没有成绩。无论你在考试中排第几，最终能否在学术界占有一席之地，还是要看你做出了什么样的数学成果。在数学界，没人太在乎你学过多少数学知识，更关心的是你取得了哪些数学成就。因此，博士期间的心态转变显得尤为重要。你需要尽可能多地将时间投入到科研中，而不是陷入书本知识的海洋，反复阅读数学书籍，或者忙于参加各种各样的考试。

对于博士生而言，导师是获取资源的重要渠道之一。就像工作中，领导往往拥有各种资源，若不主动寻求，开展工作总是困难重重。博士生亦是如此，优秀的导师、教授、杰青、长江学者，甚至院士，背后都有丰富的资源。如果不主动争取，显然是在浪费这些宝贵资源。因此，在读博期间，千万不要忽视导师的作用。只要导师是相对靠谱的，即使面临严厉的批评，也要积极向导师寻求资源。这里的资源不仅仅包括经费支持、学术合作机会，还有可能是学术联系、合作项目、甚至就业推荐。想当初在2014年8月份在韩国首尔举办国际数学家大会的时候，如果我主动争取的话，说不定能够去现场参加的机会，也能够拿到院系的补助。所以说能向导师争取的资源就一定要去主动争取，否则资源就消失不见了。

然而，对于很多博士生来说，尤其是那些在本科和硕士阶段表现突出的学生，他们通常习惯了成为被表扬的对象。但在博士阶段，这种状态可能会发生反转。无论你做得多好，总有人比你做得更好，而表扬和正反馈也不像之前那么频繁。因此，接受这一点，对博士生来说是一个重要的心态调整。

决定攻读博士的学生很多，但能够在博士阶段取得重大突破的却寥寥无几。每个决定投身科研的人，心中都怀揣着一个梦想，那就是解决一些科研上的难题。然而，科研中的难题往往并非轻易可解，它们需要天时、地利、人和的完美结合，缺一不可。这也导致科研过程中充满了大量的负反馈。在这样的环境下，如何保持前行，如何有效消除负反馈的影响，成为了一个关键问题。负反馈过多，容易让博士生陷入拖延、焦虑、抑郁等负面情绪中。当我阅读《战胜拖拉》这本书时，我意识到有一种方法可以帮助自己克服这些困境。具体做法是，每天开始科研工作前，先规划好当天的任务，并从一个简单的开局开始，哪怕只是创建一个文件夹、打开一个latex文档，或者整理一个论文标题。接下来，我使用番茄工作法，通过30分钟的集中高效工作逐步展开，逐渐增加工作时间，力求每天在科研上投入3-4小时。这样，虽然时间看似匆匆过去，但每天都有一定的科研产出，长时间坚持下来，成果也会逐步显现。如果我能够在博士生的第二年就使用这个方法，恐怕早就解决科研上的不少问题了。

除了番茄工作法，合理的任务分解也是提高工作效率的关键。科研任务往往复杂且庞大，难以在短时间内完成，容易让人感到焦虑和沮丧。此时将任务分解成若干小块，逐一攻破，不仅能够减轻心理负担，还能提高工作积极性。在我的科研过程中，我发现将一个大问题拆分成若干个小问题，并给自己设定明确的阶段性目标，往往能带来意想不到的效果。

除此之外，在科研的道路上，最大的挑战之一就是如何面对持续的困难和不确定性。尤其是当研究没有显著进展时，负反馈的声音往往会变得愈发响亮。科研本身就充满了不确定性，很多时候博士生所做的工作可能并不会立即见到成果，这也是科研与其他领域不同之处。每一个新的发现背后，往往是无数次的失败和挫折积累而成的。面对这种反复的挑战，博士生必须学会接受失败，并在失败中寻找前进的动力。毕竟，失败本身并不意味着能力的不足，而是科学探索的一部分。在这种情况下，心态的调整显得尤为重要。正如《战胜拖拉》这本书所强调的，面对拖延和自我怀疑时，最关键的是保持一种积极的心态，学会为自己的每一个小进展庆祝，而不是一味地关注自己还未解决的问题。

在博士第四年科研的时候，当我渐渐适应了这种节奏，科研的压力也变得更加可控。虽然困难依旧存在，但每一次在论文上的小突破都让我感受到成长的力量。而这种成就感，正是驱动我继续前行的动力，也促使我最终完成了课题。

One Dimensional Dynamical System, PHD的生涯

在新加坡的这五年—学术篇（六）

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刚入学新加坡国立大学（NUS）时，作为一名数学博士，我为自己设定了一个明确的目标：在四大数学期刊上发表论文，即《Annals of Mathematics》、《Inventiones Mathematicae》、《Journal of the American Mathematical Society》和《Acta Mathematica》。这个目标是我科研生涯早期最重要的方向，也是我不断努力的动力源泉。

然而，博士第二年下学期，我的科研进入了困境。思路受阻，进展缓慢，那段时间我常常感到迷茫和焦虑，陷入了低效的恶性循环。进入博士第三年上学期，我重新振作，奋发图强，努力推进研究工作，取得了一些进展。但到了下学期，我再次陷入了科研瓶颈。那段时间，我深刻感受到拖延和自我怀疑所带来的负面影响。

幸运的是，在博士第三年下学期临近结束时，我读到了《战胜拖拉》这本书。这本书对我的影响深远，它帮助我认识到自己在时间管理和心理抗阻上的问题，也让我明白了持续努力的重要性。在调整了心态与习惯后，我的研究终于取得独立突破，完成了Real Bound Theorem的结果。这一阶段的成功，我由衷地感谢《战胜拖拉》。博士第四年，我保持了相对稳定且高效的节奏。几乎每周七天都在工作，平均每天有三小时左右的高质量研究时间。虽然听起来不多，但这三小时的专注深度和效率，为我带来了持续的产出与成长。

大约是在2014年的时候，也就是我博士第四年的时候，可能记忆有偏差。有一次师门几人在Dover聚餐，其中包括导师、大师兄、三师兄还有我。导师问我们几人：“你们几个最近每天花在科研上的时间有多少，是一个小时还是两个小时？”大家顿时沉默不言。当时我阅读了《战胜拖拉》且颇有心得，我确实也按照书中所说治疗本人的拖延症，每天至少也有三个小时投入写论文中。我就如实告知导师。导师立刻说：“三个小时是肯定不够的，你最后的结果不会太差”。回头看上去，最后的结果也不算太差，能够正常搞完论文，当然出路也不算太好，要凭借自己的实力留在学术圈要也比较困难。

我毕业之后，师门几个人也逐渐从国外回国了。后来到了2021~2022年的时候，看到另外一位师弟在四大（Inventiones Mathematicae）上发表了一篇文章，所在学校专门报道了这件事情，我认真阅读了一下里面的内容，其中有几句话印象颇深。

导师一般会布置三个层次的课题，分别是：第一个课题锻炼学生独立思考的能力，第二个课题培养学生独立解决问题的能力，第三个课题让学生独立找到一个有意思的问题并独立解决。

看到这里，回想起来自己大概只完成了第一个课题，也就是Wild Cantor Attractors在Fibonacci-like区间映射上的存在性。要是严格说起来，也没有锻炼出太多独立思考的能力，但是绝对培养了我坚韧不拔的能力和抗压能力，让我以后面对工作难题的时候总能够迎难而上。

为什么我只能完成第一个课题？这可能与博士前三年投入的时间和精力有关。博士第一年大部分时间都花在了应对各种研究生考试和博士生资格考试上。在这一年内，我完成了七门数学课程的学习，并一次性通过了两门博士资格考试。第二年第一学期，我顺利通过了博士资格考试的口试部分和开题报告。问题出现在第二年第二学期，科研进展和状态陷入了恶性循环。论文进展缓慢，思路难以展开，每当看到论文就头大，整个人也不知道自己在做什么，反正浑浑噩噩地度过了这一年。直到第三年第一学期，我才努力奋起直追，开始有了些论文阅读的进展，但很快在第三年第二学期又陷入了恶性循环。直到第三年第二学期接近结束时，我才成功完成了Real Bound Theorem的研究成果。第四年的两个学期，我都在努力追赶进度，终于在第四年结束时，完成了论文的框架和细节整理。博士第五年第一学期，我将论文整理完毕并提交，第二学期顺利完成答辩。

问题的根源在于，博士第二年和第三年我陷入了迷茫，浪费了许多时间，导致我没有足够的时间投入到第二个课题和第三个课题上。然而，尽管如此，我还是从导师那里得到了第二个课题。在博士第四年，当我基本搞定第一个课题，并有把握将其写成毕业论文时，导师立刻给了我第二个课题。这个课题的描述是这样的：

Conjecture. 是否可以找到一个光滑的区间映射，使得通过迭代构造的类Cantor集合具有正的勒贝格测度？

大家都知道，假设我们选择一个合适的函数 f，其形式类似于构造Cantor三分集合的过程。也就是说，Cantor三分集合可以表示为：\cap_{n=1}^{\infty}f^{-n}([0,1]) ，通过直接计算可以得出，Cantor三分集合的勒贝格测度为零。然而，问题在于是否能够找到一个新的区间映射f，通过迭代的方式构造出一个类Cantor集合，且该集合具有正的勒贝格测度？

当然，这个问题的难度非常大。当初我拿到这个问题时，导师对我说：“这个问题我不做了，你自己去做吧。”于是，我努力了一个多月，尽管没有找到明显的进展，但我发现这个区间映射的Real Bound Theorem与我之前做的有很大差异。毕业后，我没有继续研究这个问题。十年后，我再次搜索相关文献，依然没有找到明确的结论。与此同时，第二个课题也让我陷入了困境，以至于当时我已没有精力去独立寻找第三个课题了。

认真对比我与师弟的科研状态，其实有一些相似之处，也有明显的差异。相似的是，在前期我们都花了大量时间阅读难度极高的论文。师弟花了一年时间“啃”完一篇50页的四大顶刊论文，我当年也差不多，前期几乎花了半年到一年的时间才能真正读懂核心文献。但在工作状态和心态上，我们的差异就比较明显了。师弟在报告中提到，他坚持每天晚上11点睡觉、早上7点起床，中午午休半小时，保持全天的高效工作。而我当年明显做不到这一点，我平均每天在论文上的高质量工作时间大约只有3小时，其余时间基本没有投入到科研中。在心态方面，师弟似乎很早就认识到，做基础研究必须接受失败是常态，要学会保持积极的心态。而我直到博士第三年结束时，才真正意识到这一点的重要性。师弟还会每天自问：“今天有没有什么想学的知识、想看的文章？”他相信长期积累终会带来突破。而我当时基本上不会主动提出问题或设定目标，通常是导师给我什么论文，我就读什么论文，同时在毕业之前导师给的任务我一定都会完成。

应该是在2024年初，我和大师兄、二师兄一起吃饭时，大师兄突然提到一句话：“你只是在一个不太合适的时候，‘不想搞数学’的心态战胜了自己‘搞数学’的心态，导致你离开了数学。而这个时期，恰好是毕业的时刻，是你人生的一个拐点。”

那一刻，我不禁陷入了沉思。确实，那个时刻我并没有完全做好准备去继续面对数学研究的挑战，也许是因为心态的不稳定，才让自己在毕业的时候做出了放弃的决定。这句话让我意识到，心态在决定人生轨迹中的重要性，有时候一个小小的心态转变，就可能改变未来的方向。就像动力系统一样，初始值的一个微小变化都有可能导致未来轨迹的巨大变化。或许，这也是一个反思的契机，提醒我无论面对怎样的挑战，都不应该轻易被自己的情绪和心态所左右，而是要保持坚定和清晰的目标。人生的每一个转折点，都是自我成长的一部分，重要的是从中吸取教训，继续前行。

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罚款治企，就是放弃管理

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在某家公司，管理制度几乎完全建立在“罚”之上。从员工的衣着、在工位使用手机的频率，到工位绿植是否黄叶、走在路上是否玩手机、办公室的整洁程度，甚至连PPT是否字多都成为了处罚对象。表面上看，这似乎是为了“提高标准、规范行为”，实则是管理失能的体现——用“罚”代替了真正的管理。

本质上，这种“以罚代管”并不是管理，而是企业的一种偷懒。管理者不去分析行为背后的原因，不建立明确的标准和持续优化的流程，而是通过简单粗暴的经济惩罚转嫁责任。当绿萝发黄不是提醒后更换，而是直接对员工进行罚款；当PPT内容太多不是优化表达方式，而是计罚金处理，最终形成的是一个“员工时刻提心吊胆、效率却不升反降”的畸形组织氛围。

更严重的是，这种制度传递的信号是：“公司不相信员工，只相信罚款。”本应建立在信任与激励之上的团队文化，变成了“管你不是为了成长，是为了你别犯错”的低信任环境。员工每天关注的不是如何提升工作质量，而是“今天有没有被抓到哪里没达标”，长此以往，创新会被遏制，热情会被磨平，企业发展也会停滞。“罚款式管理”往往激励错位。某些主管可能为了完成所谓的“执行力指标”或“管理考核”，对下属进行密集式处罚，使得原本用于指导和辅导的角色变成了“罚款机器”。在日常的工作安排和沟通中，某些主管也会说“做不完就处罚你”之类的话语，员工就出现了“多做多错、少做少错、不做不错”的怪圈。在这样的文化中，谁还敢表达真实想法？谁还愿意主动承担责任？公司变得越来越安静，但不是因为稳定，而是因为压抑。

最令人担忧的是，这种管理方式极易引发员工反感甚至流失。管理制度本该是团队共同达成目标的管理工具，却演变成了对员工的“狩猎工具”。当员工把企业看作“监工型压榨者”而非“发展平台”，员工的离职只会越来越频繁，留存的也只是麻木不仁或毫无选择的人。

“以罚代管”不是企业管理的现代化，而是管理者懒政的代名词。真正有责任、有远见的管理，是通过激励机制、制度完善和人性化引导，构建有温度、有秩序的职场生态。任何脱离理解和沟通、只靠罚款驱动的管理，终将失去人心，败于文化。

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重返贵州：二十年后的一场故地新游

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《回乡偶书》
贺知章
少小离家老大回，乡音无改鬓毛衰。
儿童相见不相识，笑问客从何处来。

2005年，我从贵州考上大学，离开了那片山水。从此，人生的脚步逐渐向外延伸，求学、工作、成家……生活的重心慢慢远离故乡，纵使节假日偶有归途，也只是匆匆一瞥，再难真正走入家乡的深处。

二十年后，我因公司的团建活动，再一次踏上贵州的土地。这一次，却不是归家探亲，而是以一名“旅人”的身份，回望那个曾经熟悉得闭着眼都能画出轮廓的地方。那一刻，我忽然想起杜甫的那句诗：“少小离家老大回，乡音无改鬓毛衰。儿童相见不相识，笑问客从何处来。”

是的，故乡还在，但我仿佛已成了它的客人。

这次旅行，我们从深圳出发，坐高铁抵达贵阳。六天的行程，走过了贵州博物馆、西江千户苗寨、黄果树瀑布、天星桥、陡坡塘瀑布、万峰林……这些景点，过去对我来说既近又远。除了黄果树瀑布，那还是我少年时随家人游览的地方，其余皆为初见。印象中，那时的黄果树还没有如今的扶梯直上直下，游人要亲自沿石阶上下，脚步虽累，却也踏实。那时候，也没有智能手机，照片只能在景区设立的拍照点匆匆留影，如今随手举起手机就能定格风景，但那时的留念似乎更具仪式感。

西江的苗寨在晨雾中沉静古老，万峰林的轮廓如刀刻般耸立，我在这些景色里游走，既像游客，又像回忆的行者。童年的贵州并不富庶，生活也简单朴素，而今所见所闻却早已焕然一新。我一边感叹它的变化，一边也默默感受着一种难以言说的疏离感——我似乎不再属于它，但它却始终是我心中难以抹去的一部分。

故乡，从未真正离开，但在时间的风中，我们都悄悄改变了模样。这次旅程，不只是一次旅行，更像是一次温柔而略带惆怅的自我追问——我从哪里来，我又将归于何处。

记忆里的贵州，总是潮湿的。正所谓“天无三日晴，地无三尺平”。小时候只要离开城市，就能看到高速公路的两边是稻田，远处是雾气缭绕的山岭。那时候的日子慢，读书、写作业、打篮球——那是我记忆中最真实的童年。

而如今再回到这里，一切熟悉又陌生。那些低矮的瓦房多半已不见，替代的是一幢幢新修的旅店和游客接待点；曾经的小道被铺上了水泥砖。我努力地在这些变化中寻找一点旧日的回声，却发现，那些属于童年的细节，或许早已无处可寻。很多画面浮现在脑海，又慢慢散去——曾经熟悉的人，有的还在，有的已离去；曾经熟悉的景，有的更新，有的消失。人终究无法两次踏进同一条河流，更无法回到那个无忧的年代。

这次团建之行看似是一次简单的旅行，实则像是一场跨越二十年的回声对话。在繁华与喧嚣的景区里，我仿佛听见自己小时候的笑声，渐渐远去，最后只剩风声轻响。

贵州，二十年后再见。山川依旧，云烟仍浓，而我，早已不是那个离开的孩子了。

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科学家有了钱以后真是挺吓人的！看看DE.Shaw的牛逼人生

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来源：Zheng Sullivan 知乎

黑科技，还是要提 D.E.Shaw Research 这个奇异的存在。

要讲这个黑科技，我们可能要扯远一点，先讲讲 D.E. Shaw 这个人是怎么学术赚钱通吃，成为彻底的人生大赢家的。

D.E.Shaw 是个学霸，是 PhD 们的偶像：斯坦福大学计算机专业的博士, 30 岁不到就进入哥伦比亚大学做教授，专门研究超大规模并行计算。这已经是优秀的学术人生了。

但是 Shaw 觉得无聊。哥伦比亚大学地处纽约，遍地暴发的对冲基金男各种花天酒地，游嬉于各种 model 之间，作为一个同样聪明的教授，却只能坐在冷板凳上写计算机 model。虽然在科学家眼里，后者甚至还要更性感一些，但是时间长了也……扯远了，总之，Shaw 不干了。

于是他 1986 年放弃了钻牛角尖的教授生涯，进入华尔街著名投行摩根士丹利做 quant trading（可以通俗地理解为用计算机自动炒股、债和外汇）。果然， 呆博士不是搞政治斗争的料子，在摩根斯坦利这种钱多是非多、政治斗争和技术斗争同样激烈的地方，仅仅 2 年之后他就在政治斗争中失败，被迫离开摩根斯坦利（欢迎 quant trading 方面的达人来八卦补全这一段故事）。但是这厮本来就不是池中物，同年，他就开办了自己的对冲基金 D.E. Shaw & Co. LP.，专注 quant trading，利用高速计算机网络和市场瞬间的有效性缺陷来进行高频统计套利。

和今天高频交易人满为患的情况不同：当时计算机很破，内存上兆的就是中型服务器了，计算机语言和组件也比较晦涩，不像今天这么普及和丰富，不会冒出来个 12 岁少年就能写一个网站编一个游戏，然后对着 80 后的老头子们说你们不行之类的。因此，能掌握高速网络编程和大型并行计算的人，除了能算弹道和模拟核爆之外，还能成为第一批做高频交易的人，干的事情基本就是无风险套利——利用市场无效性，剪市场的羊毛，赚钱的速度仅仅取决于你能剪多快。

作为专门研究超大规模并行计算的顶级专家的 Shaw，率先杀入高频交易，完全是流氓会武术，谁也挡不住，剪羊毛速度世界一流，很快人生进入了新的高峰。到 2015 年，他的个人净值已经 41 亿美元（David Shaw – Forbes），杀入全球财富榜前 500.

说了这么多，怎么还没有谈到计算化学？你别走，我现在就要说这事了。

David Shaw 大叔 40 出头财务自由，依照常人的想法，自然可以不再写 model，而一头扎进纽约的花天酒地，去约会真的 model 了。但是，正如网络上著名的牛顿生平文章《牛逼顿》所说：

出乎世俗想象的是，科学其实远比任何娘们儿都风骚，玩科学比玩女人爽得多，得到一个成果所获得的高潮强烈而持久，不仅有快感，更有巨大的自我认同感，远胜于那几秒寒颤之后无边的空虚与落寞。所以陈景润其实是沉溺于美色不能自拔，身体弱架不住高潮过度被爽死了。

Geek 的基因在身体深处摇撼 Shaw 大爷功成名就之后的空虚神经。他一个回马枪杀回了科学世界，脱下西装，露出了 Geek 的本色：

和屌丝 geek Sheldon 不一样，这是一个破坏力惊人的土豪 geek。Shaw 现在再也不用跪舔 NIH，NSF 的官员，去讨一点可怜的科研经费了。他想干什么就干什么；他觉得什么是前沿什么就是前沿。他拿出大规模并行计算的大砍刀，想找一个最需要计算但现今最不给力的领域一刀砍下去。

这里有个背景：计算化学发展了很多年，都处在有点尴尬的位置，说得直白点——计算机还太弱，计算化学用于实际问题中算不准，精度还不如做实验。因此，无论在化学还是生物领域，做计算化学的不管是教授还是 PhD，要么选择和实验的组合作，活在鄙视链的下游，要么躲到角落里小富即安地画圈圈。

因此，Shaw 的大砍刀就落到了萎靡的计算化学上：他想制造一台专门用于做计算化学的超级计算机，比现有的超级计算机强大几千倍几万倍。

很多人可能要问，现在超级计算机动辄就是几十万个 cpu 核心什么的，运算能力很强大啊，为什么还要造计算化学的超级计算机呢？

答案是，一般的计算机是很聪明，但是不适合干计算化学这行。学术一点说，是 general purpose computing 不能高效地来做分子动力学模拟。

打个比方，现在的电脑就仿佛是个全能的机器人，你可以让他去割麦子，做饭，踢球等等。让他去干很多事情，他什么都能干，干得也比人快，确实也很聪明。这就是所谓的通用计算机（general purpose computing）：一个机器，写不同的软件，实现各种功能。

但是在割麦子这件事情上，这个全能机器人的速度很难超越专业的大型联合收割机。因为大型联合收割机虽然笨，但是完全为割麦子而生，因此硬件上量身定制，极度优化。这就是所谓的特种计算机（special purpose computing）：专业定制机器，软件也是专门定制的，只实现一个功能，但是凶残而高效。

Shaw 就是要造一台计算化学中的“大型联合收割机”。这台收割机，叫做 Anton。

它很贵很贵，但这正是 Shaw 的优势，反正他不泡妞不包二奶，钱花不完。况且，科研人员其实很便宜。

这里有一个好笑又辛酸的事情：和大众的认识恰好相反，在美国，纯理科博士毕业之后大多数都找不到工作，虽然智商大都不低，但是如果想坚持科研，做博士后的薪水只能勉强维持生活。

而 David Shaw 横空出世，成为了纽约的孟尝君。他招了一群找不到工作的博士——这些人在经济上可以说是纯粹的屌丝——开出了 10 万美元一年的工资。

10 万美元一年是什么概念呢？这就是投资银行 21、2 岁小分析员的入门工资 + 奖金，在华尔街上就是底层，外面穿着西装，里面穿的可是开裆裤。但是对于这帮年届三十的科学屌丝来说，这是他们能找到研究岗位工资的 2-3 倍，是个做梦都想不到的包养价。

于是一时间最顶尖的计算化学、生物物理、电子工程博士趋之若鹜，求 David Shaw 包养。

从 2004 年前后开始（请知情人指正），Shaw 成立的 DE Shaw Research（DESRES）开始正式运营。在 David Shaw 的精心包养下，30 多个失业的博士屌丝们什么也没干，在优雅的环境里，足足读了一年半的论文，搞出了 Anton 的草图。之后，更多的屌丝加入，全身心专注于 Anton 的研发。

2007 年，比预期还早了快一年，来自五湖四海的屌丝和 geek 们发布了 Anton 的第一代。计算化学的最大黑科技诞生了：它比一般的超级计算机快约 10,000 倍。比最好的超算也快 1,000 倍。

对的。变态的 10,000 倍，四个零，四个数量级。

10000 倍是什么意思呢？计算化学里面，模拟分子运动轨迹的持续时间的长短是非常重要的。用模拟网球比赛来做类比：以前“超级计算机”算了一个月，我们只能模拟出击球的 1 秒钟的瞬间，而现在 Anton 出世，我们同样花一个月，就可以模拟整场球赛中网球的轨迹了。

这是前所未有的超算能力，变态的“大型联合收割机”，等于开了上帝视角啊亲。

从 2007 年起，D.E. Shaw 的团队声名鹊起，用这个收割机每年在国际顶尖的学术杂志《自然》和《科学》上灌水，学术声誉不可阻挡。Anton 在手，高枕无忧，仿佛别人在地面用卷尺画地图，他们在天上航拍做地图。现在他们又出了 Anton2，继续吊打“过去 8 年中取得了长足发展的”超级计算机。

也许纯学术派对这种硬拼计算能力的方法表示不屑，但 D.E. Shaw 和他包养的 geek 们正用变态的 Anton 计算机把分子动力学模拟大跨步地推向实用。

有钱就是任性。

希望有更多的科学家出现，也希望有更多类似D.E.Shaw这样的土豪科学家用黑科技摧枯拉朽地带动科学前进。

PHD的生涯

学术航海图：在不确定中稳舵前行

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攻读博士学位是一段充满挑战与机遇的旅程，其成功与否往往取决于一系列关键选择与持续的自我管理。首要且至关重要的忠告是谨慎选择导师。一位优秀的导师不仅能提供学术指导，更能将你引入学术圈层，为你的职业发展铺路；反之，不称职的导师可能拖延你的进度、忽视你的需求，甚至侵占你的学术成果。在选择导师前，务必深入了解其过往学生的出路和评价，若其学生毕业后在学术界“销声匿迹”，则需高度警惕。导师的学术活跃度、指导风格以及对学生的支持程度，将直接影响你未来数年的研究体验和职业起点。

在确定研究方向时，平衡兴趣与领域前景至关重要。投身一个处于上升期或有持续生命力的领域（如2010年前选择人工智能），往往能事半功倍；而进入一个过于冷门或趋于停滞的方向，则可能事倍功半。不要将全部希望孤注一掷地押在单一课题上。博士研究充满不确定性，强制学生只做一个高难度课题而不允许准备备选方案（如并行开展其他小课题、学习跨界技能如编程或金融知识），是一种高风险策略。明智的做法是主动探索多个相关方向，并保持开放心态，为可能的转向（学术界或工业界）积累能力。数学系开设C++课程等做法，正是为学生预留“退路”的体现。

守护心理健康是贯穿整个博士生涯的持久战。长期面对科研挫折、同辈压力（如同学已成家立业）以及未来的不确定性，极易诱发焦虑甚至抑郁。建立稳固的支持系统至关重要——主动结交学术圈外的朋友，参与健身、社团或其他能让你暂时抽离科研的活动。认识到学术挫折不等同于人生失败，学会将研究融入生活（如在咖啡馆思考问题），而非让研究完全吞噬生活。若出现持续的情绪低落、失眠或躯体症状，务必及时寻求专业心理咨询或精神科医生的帮助，切勿讳疾忌医。

建立并坚守自己的节奏，是抵御外界干扰和内心焦虑的法宝。博士生常因与同龄人比较（如他人买房结婚）而产生强烈的时间焦虑感。请记住，每个人的学术旅程和人生轨迹都是独特的，“早几年”或“晚几年”取得成就并无本质差别。重要的是享受探索知识的过程，找到适合自己的工作与休息模式（如采用“30分钟工作法”对抗拖延，或借鉴陶哲轩的灵活时间管理策略），避免被外界标准或他人进度所裹挟。博士是一场马拉松，合理分配精力、保证基本休息和娱乐，才能行稳致远。

掌握高效的学习与研究方法是学术生产力的基础。这包括培养批判性阅读能力（避免陷入逐字逐句通读文献的低效陷阱，学会精读综述、速读论文）、提升写作表达水平（如学习Rota教授强调的“写好摘要”和“不吝啬赞美”的学术写作原则），以及有效管理时间和项目（运用逆向日程表等工具对抗拖延，将大目标分解为可执行的小任务）。博士阶段不仅是知识的深化，更是独立研究能力和学术品格的塑造期。

读博是一场对智力、毅力、情商和战略眼光的综合考验。 选择良师如同选择领航员，瞄准有潜力的方向如同绘制航线，守护心理健康如同保养船体，保持个人节奏如同稳定航速，而预留退路和掌握方法则是应对风浪的预案与技能。唯有综合考量，周密准备，方能在学术的海洋中穿越风浪，抵达自我实现与贡献知识的彼岸。

参考资料：

一代数学大师 ROTA 的经验与忠告

随笔（五）— 有哪些东西是读博了之后才懂的

https://zr9558.com/category/phd%e7%9a%84%e7%94%9f%e6%b6%af/page/3/

职场纵横

多个即时通讯聊天工具：是数字化还是数字难民？

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在某些大型企业的数字化转型过程中，一个越来越普遍却令人无奈的现象是“某家公司多个即时通信聊天工具并存”。表面上看，这是为了整合管理与协作、打通流程与数据，但现实中，却往往沦为工具堆叠、流程割裂的“缝合怪”场景。这种“双轨制”甚至去“多轨制”的即时通讯软件组合系列，不仅没有带来预期中的效率提升，反而暴露出深层的组织矛盾与文化撕裂。

最直接的感受来自一线员工。他们每天在两个平台间来回切换，前者强调聊天沟通、考勤打卡、工时填报、已读监控，后者侧重任务协作、文档编辑与项目进度。然而真正的问题是：这两套系统并未有效整合，反而造成了“交叉使用、互不兼容”的奇怪现象。比如工时系统强制绑定任务交付物，却要求在另一个系统中完成项目汇报，形成了“用平台A打卡、用平台B交付、再用平台C上报”的循环套娃式流程。受害最深的无疑是一线员工。他们在不同系统中切换身份、扮演不同角色，晨会用视频平台A，午休却要用平台B打卡签到；文档明明在系统B更新，却还得截图转发到系统A进行审批。这种“数字漂流”式的办公体验不仅没有提升效率，反而成了企业内耗的温床。

然后是数据流通的“断链效应”，信息安全策略的矛盾导致某些部门禁止桌面端和电脑端使用一个平台，却又要求全天候响应移动端消息；而文档不能跨系统传输，员工需要先下载，再手动上传至另一个中转平台共享。这类操作被内部戏称为“人肉中间件”，不仅耗时耗力，还极易出错。这背后反映的是一种结构性的管理矛盾：一方面，高层希望通过系统A实现对人员行为的强管控，甚至精确到聊天内容、操作轨迹的全面监控；另一方面，中层则试图通过系统B提升跨部门协作效率，导入OKR、项目看板、自动化汇报工具等新机制。但现实是，两种管理逻辑互不兼容，造成了流程冗长、审批低效、会议堆叠的问题。一位员工无奈地表示：“开会两个小时，用系统填报任务卡得花一天。”

更复杂的是组织内的“本地王国”现象。不同业务单元拥有各自偏好的协作工具，有的自研，有的使用第三方，导致整个组织犹如“技术巴别塔”：一个团队内部竟有三四套平行系统同时运行，连开个跨部门会议都得准备多台设备。高层想统一，基层却苦于操作门槛和切换成本，最终只能靠excel和ppt来维持真实沟通。数据显示，在某些企业中，由于系统之间的冲突和切换问题，跨部门协作响应时间从原本的2小时延长至1天；更有统计称，某季度中因工具切换错误造成的项目延误占比高升。这样的技术性低效，不仅影响项目进度，更消磨组织信任。而对于未来，某些公司仍抱有幻想——希望通过自研整合平台来解决混乱。但从实际推进情况看，这种整合往往面临技术不成熟、上线即崩的尴尬。员工更倾向于调侃自研的新系统是“上线即宕机”的祭品，而非真正的解决方案。

归根结底，这种工具重叠、系统错配的问题，并非简单的技术选型失误，而是企业管理文化的镜像反射。一套系统代表着严控与监督，另一套则承载着效率与协作的愿景。当组织还未理清管理哲学、文化基调与实际需求之间的关系时，任何技术平台的叠加都只是形式主义的外壳。如果一个企业的数字化，只是用科技手段包装旧有内耗，那所谓的转型，或许只是在原地转圈。

故事内容纯属虚构，如有雷同纯属巧合！

PHD的生涯

在新加坡的这五年—生活篇（九）

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最近回想起自己读博士期间的生活，不禁想到那些“混日子”的日子。说是混日子，其实是科研之外的一些生活细节和琐事——它们虽不关论文、不涉及动力系统，但却在我心中留下了深刻的印记。

其中最让我念念不忘的，就是吃。在新加坡的那几年里，除了写论文、开组会、改论文，我花了不少时间在寻找美食上。其实早在2013年12月5日那天，我就曾写过一篇文章，系统地回顾了从2010年7月抵达新加坡，到2013年12月这三年多时间里，所吃过的那些美食。在新加坡国立大学（NUS）读博的那些年，除了在NUS Block S17 五楼办公室的清晨与黄昏，图书馆的冷气与长夜，还有一样无法忽视的记忆——味道。新加坡的餐饮像它的文化一样多元，无论是小贩中心里的鸡饭，还是海鲜餐厅里的黑胡椒螃蟹，每一口都饱含着异乡生活的真实感。

还记得 Clementi MRT 附近的 Block 328 食阁里，有一家叫“黄土地”的西安小吃摊。最爱点一份羊肉泡馍、或者肉夹馍加一碗凉皮。那种在异国城市中突然被熟悉气息包围的感觉，温暖又踏实。说起自助餐，不得不提的是Novena地铁站附近的维也纳海鲜。那是我在新加坡最常去的海鲜自助餐厅。螃蟹、麦片虾、三文鱼、牛排……每一样都让我念念不忘。某次离新加坡不久前，我和胡大师、曾同学、卫教授在串烧工坊烧烤聚餐，几个人一边大快朵颐一边感叹时光飞逝。同样记忆深刻的还有螃蟹米粉——宏茂桥那一锅令人上瘾的美味。那晚是我即将启程回国前几天的夜晚，我特意独自赶到 Ang Mo Kio，只为再尝一次那浓郁的蟹汤和弹牙的米粉。汤汁乳白色浓稠，喝下一口，多年来所有科研的疲惫和未来的不确定似乎都被安抚。

除了热闹的聚餐，也有安静的食光。我常常和卫教授去 Vivo City 的武藏拉面店或者 Holland Village 的拉面店，点一碗拉面，一口汤一口面，仿佛回到学生时代的晚餐店。那里也是我思考论文方向的地方，有时是对抗困意的作战基地，有时是独处时最好的慰藉。讲到早期的用餐记忆，还记得 West Coast Plaza 内曾有一家叫“川江号子”的火锅店，是我们刚来新加坡那会的“根据地”。当年预算紧张，川江号子实惠管饱，三两朋友围坐一锅，从中午涮到下午，牛百叶、午餐肉、宽粉、海带……热腾腾的烟雾像是青春的蒸汽。虽然后来它关门了，但在我的记忆里，那锅火锅一直在咕嘟咕嘟地冒着泡。

福苑家传菜，则是另一种风格。清淡的江浙菜，精致而不张扬。我和富贵常在周末去那里点几道菜：东坡肉、清炒苋菜、葱油拌面。一次次的聚餐中，我们谈未来，也聊现实。后来我和司北一起去珍宝海鲜楼吃饭，那顿饭是对友情的致敬——在克拉码头边吃着辣椒螃蟹，看着对岸灯火。新加坡有太多让人难忘的味道，鸡饭是最简单却最百吃不腻的快餐选择，印尼烧烤的香料气息浓烈而持久，肉骨茶那种略带中药味的滋补感曾让我在感冒时一碗见底。在Science Canteen、Buona Vista、在 Holland Village、在 Clementi，每一顿饭都是我博士旅程中的一页页篇章，记录着论文的进展、友谊的温度和生活的温柔。

有些饭，是为了果腹；有些饭，是为了回忆。新加坡的味道，已然融进我生命的一部分，留在了心的角落，和那些并肩走过的朋友们一起，静静存在。下面是我整理过的当年在新加坡吃过的美食。

自助餐

餐厅名称地址或附近地标备注
添一点火锅West Coast 的生松附近总是感觉不是很卫生
川江号子West Coast Plaza 内部已关闭
汤王火锅West Coast 的生松附近味道一般
川丰乐清油火锅Outram Park 地铁站附近味道不错
国府珍锅China Square Center，Downtown MRT2014年夜饭吃的，一人一小锅的火锅
SakuraClementi Woods日本自助，性价比不高
维也纳海鲜Novena 地铁站，United Square黑胡椒螃蟹和麦片虾很好吃
川苑酒家（自助）—点菜自助，需三人起
翡翠拉面小笼包Holland Village MRT 附近小笼包不错，但自助容易腻
首尔花园Clementi Mall韩国烧烤，学生中午优惠，约18新币
Buffet TownCity Hall MRT 附近有海鲜、寿司、披萨，类似维也纳海鲜

点菜餐厅

餐厅名称地址或备注
川苑酒家（点菜）起初人均30+新币，现在50+
老成都川菜馆人均约50+
密斯湘菜馆—
羊贵妃西安美食—
同福聚-重庆千品烤鱼—
重庆烤鱼—
风波庄吃了一些小吃
蟹老宋螃蟹还不错
东北人烤肉坊—
刘大妈烧烤吃牛羊肉烧烤
串烧工坊Bugis 地铁站 D 出口
思味冒菜馆—
福苑家传菜—
食尚小厨6 Clementi Rd #01-06, Singapore 129741

海鲜餐厅

餐厅名称地址或备注
珍宝海鲜楼（Jumbo）东海岸店、克拉码头店
维也纳海鲜已在自助餐中列出，去过无数次
无招牌海鲜VivoCity 店
龙海鲜螃蟹王（Mellben）232 Ang Mo Kio Ave 3, SG 560233

日本拉面

餐厅名称地址或备注
武藏拉面VivoCity
RamenPlay253 Holland Ave #01-01，Holland Village MRT Station Exit A

食阁美食

餐厅名称地址或备注
西安小吃黄土地Clementi MRT，Block 328 一楼
Chinatown 麻辣香锅珍珠坊附近
Holland Village 鱼头米粉XO鱼头米粉，味道一般

汉堡快餐

品牌分店位置或备注
麦当劳NUS Engineering、Clementi FairPrice 附近、机场 T2 航站楼
KFC—
Burger King机场 T2 航站楼

外卖熟食

来源备注
West Coast Plaza Cold Storage卖烧鸡、烧肉、排骨等，还有寿司外卖

读博士的时候，科研实在太难了，一天天的几乎什么也做不出来。那时候每天对着数学论文发呆，内心充满了挫败感，每一天起床都要面对一天的失败。可是真要完全躺平、天天玩也不现实。于是我换了个思路：既然纯数学搞不定，不如去学点计算机的东西。那几年我认真看了好几遍《C++ Primer》、《数据结构与算法导论》、《算法导论》，然后跑到 UVA Online Judge 上刷题，回头一看居然刷了 700 多道。毕竟能做出题目还是很有成就感的，远比在抽象的数学世界里摸索强得多。

除此之外，我还经常跑到 NUS 的游泳池里面去游泳。有可能是工作日的早上去，也有可能是周末的早上跟卫教授从PGPR的宿舍区坐A2过去。每次游至少一公里，在水中放空自己，有时候也试图思考些问题。虽然说实话，在泳池里也没得出什么有价值的数学结论，但却是真的能放松下来，身体和脑子都得到了舒缓。

2015年3月以后，原来的游泳池关闭了，只剩下 UTown 屋顶的泳池。那里水不深，但环境非常好，站在泳池边可以俯瞰整个 UTown，一边游泳一边吹风。那个时候我的论文已经有了着落，同时偶尔觉得自己也没那么失败。

除此之外，我在各种社交网站上也有活跃，例如Wordpress、知乎、还有其他的社交平台（如当年的人人网）上，经常发帖和看帖子。另外就是在玩暗黑3、骑马与砍杀、极品飞车9、Dota等电脑游戏。新加坡的饮食多元化，我还经常在食阁（Food Court）和 West Coast Plaza用餐，无需自己做饭，享受各种美食如火锅、海鲜自助餐等。我闲暇时还喜欢看电视剧。什么《神探狄仁杰》系列、燕双鹰系列，看个遍。有时一集接一集地刷，看着剧情跌宕起伏，觉得现实生活也许不需要那么多答案，只要能有点节奏、有点情节，也不错。

这些，就是我博士那几年科研之外的日常生活。日常的工作和生活说不上充实，但至少有血有肉、有喜有忧。在那个总感觉自己走不出学术迷雾的阶段里，这些平凡又真实的片段，构成了我坚持读博的理由。博士读不读得出来是一个问题，但人的精气神不能丢，生活也不能垮。有时候，活着本身就是最有意义的研究课题。

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