Complex Analysis

实分析与复分析

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先说结论：复分析研究的是性质“最好的”函数，实分析研究的是性质”最差的“函数。

复分析与实分析是数学分析的两个重要分支，它们在研究对象、方法和性质上存在显著差异。

1. 研究对象

复分析：主要研究复变量的函数，即定义在复数域上的函数。复分析的核心对象是解析函数（全纯函数），这类函数在定义域内处处可微，并且满足柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）。

实分析：研究实变量的函数，即定义在实数域上的函数。实分析的对象包括连续函数、可微函数、可积函数等，但更关注的是那些性质较差的函数，如处处连续但处处不可导的函数、狄利克雷函数（Dirichlet function）和康托尔函数（Cantor function）等。

2. 函数的性质

复分析：解析函数具有极强的正则性（regularity），例如： 解析函数在其定义域内无限可微。解析函数的局部性质可以完全决定其全局性质（如解析延拓）。解析函数的积分路径可以自由变形（柯西积分定理）。解析函数的实部和虚部是调和函数（满足拉普拉斯方程）。解析函数的零点孤立（除非函数恒为零）。

实分析： 实函数的性质更加多样化和复杂，例如： 存在处处连续但处处不可导的函数（如魏尔斯特拉斯函数）。存在可积但不可微的函数（如狄利克雷函数）。存在单调连续但导数几乎处处为零的函数（如康托尔函数）。实分析中的函数通常需要更精细的工具（如测度论、勒贝格积分）来研究其性质。可测函数”差不多“是连续函数。

3. 核心定理

复分析：

  • 柯西积分定理（Cauchy’s Integral Theorem）：解析函数在简单闭合路径上的积分为零。
  • 柯西积分公式（Cauchy’s Integral Formula）：解析函数的值可以通过其在边界上的积分表示。
  • 留数定理（Residue Theorem）：计算解析函数在奇点处的积分。
  • 最大模原理（Maximum Modulus Principle）：解析函数的模在边界上取得最大值。

实分析：

  • 勒贝格积分（Lebesgue Integral）：比黎曼积分更一般的积分理论，适用于更广泛的函数类。
  • 单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）：单调递增的非负可测函数序列的积分与极限可交换。
  • 控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）：在控制函数的条件下，极限与积分可交换。
  • 鲁津定理（Luzin’s Theorem）：几乎处处有限的函数在适当条件下可以“几乎连续”。

4. 应用领域

复分析： 在物理学中用于研究流体力学、电磁学和量子力学，在工程学中用于信号处理和控制系统，在数论中用于研究素数分布（如黎曼 zeta 函数），在复动力系统中研究分形结构。个人感觉复分析的发展依赖于解析数论的那些大问题。

实分析： 在概率论中用于研究随机过程和测度论，在动力系统中研究遍历理论，在经济学中用于优化理论和博弈论。

5. 总结

复分析和实分析虽然在形式上都是研究函数的性质，但复分析更关注那些性质极好的函数（解析函数），而实分析则更关注那些性质复杂甚至“病态”的函数。复分析的许多结果依赖于复数的特殊性质，而实分析则需要更一般的工具（如测度论）来处理实函数的多样性。两者在数学和应用科学中都有广泛的应用，并且相互补充，共同构成了现代分析学的基础。

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英国的女数学家玛丽·卡特赖特（Mary Cartwright）

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玛丽·卡特赖特（Mary Cartwright）于1900年12月17日出生于英国北安普敦郡的艾尼霍（Aynho），父亲威廉·迪格比是当地牧师。她的家族背景显赫，祖母简·霍尔贝奇是诗人约翰·多恩和威廉·蒙佩松的后裔。卡特赖特早年就读于利明顿高中（1912–1915）、格雷夫利庄园学校（1915–1916）和戈多尔芬学校（1916–1919）。1923年，她在牛津大学圣休学院获得数学一等学位，成为该校首位获得数学一等学位的女性。

学术生涯与成就

中学时卡特赖特最擅长历史，但因厌倦死记硬背，在毕业那年被数学”无需机械记忆也能成功”的特质吸引。这个选择彻底改变了她的命运——1923年她以一等荣誉学位从牛津毕业，成为当时全校仅有的5名数学系女生之一。一战后的牛津教室挤满退伍军人，她常因无法挤进课堂而不得不抄写同学的笔记。这种困境导致她在中期考试仅获二等成绩，一度考虑转回历史专业，最终因对数学的热爱而坚持。在同学V.C.莫顿建议下，她参加了数学家哈代的周一晚间研讨会。这些持续到深夜的讨论会（被记载为”奠定了她职业生涯的方向”）让她重拾信心，最终以优异成绩毕业。

最后卡特赖特在牛津大学师从著名数学家G.H.哈代（G.H. Hardy），并于1930年获得博士学位，论文题目为《特殊类型整函数的零点》。随后，她前往剑桥大学格顿学院继续研究，并在J.E.李特尔伍德（J.E. Littlewood）的指导下解决了其提出的一个开放性问题，提出了著名的“卡特赖特定理”，该定理为解析函数的最大模提供了估计方法。

1936年，卡特赖特成为格顿学院的数学研究主任。1938年，她与李特尔伍德合作研究无线电和雷达工程中的微分方程，发现了范德波尔振荡器的复杂解结构，这一成果成为后来混沌理论的基础之一。1945年，她简化了埃尔米特关于π的无理性的证明，并将其作为剑桥大学数学荣誉学位考试的题目。

Find a Horseshoe on the Beaches of Rio

pi 是无理数的证明

荣誉与认可

卡特赖特是首位获得多项荣誉的女性数学家：1947年当选为英国皇家学会会士（FRS），是该学会首位女性数学家会员。1949年出任剑桥大学格顿学院院长（该院史上第二位女院长），同时保持活跃研究，1950年代在簇集理论领域取得新突破。1951年担任数学协会（Mathematical Association）主席。 1961–1962年担任伦敦数学学会（London Mathematical Society）主席。1964年获得西尔维斯特奖章（Sylvester Medal）。 1968年成为首位获得德摩根奖章（De Morgan Medal）的女性。 1969年被英国女王授予“大英帝国女爵士”（Dame Commander of the Order of the British Empire）称号。

学生回忆她”总能直击问题核心，在数学和人事上皆如此”；96岁高龄时仍能在纪录片中展现”敏锐的智慧火花”；斯坦利·斯宾塞为她创作的肖像现存于格顿学院；终生保持对绘画、音乐的深厚修养。

From a painting by Stanley Spencer

晚年与遗产

Photograph by Paul Halmos

卡特赖特于1968年从格顿学院退休，后在美国布朗大学和克莱蒙特研究生院担任访问教授。她一生发表了90多篇论文，涉及解析函数、微分方程和混沌理论等领域。1998年4月3日，她在剑桥去世，享年97岁。她的工作为现代动力系统理论和混沌理论奠定了基础，被誉为“混沌理论先驱之一”。

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复分析的数学大师 Lars Valerian Ahlfors

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生平介绍

Lars Valerian Ahlfors（1907年4月18日－1996年10月11日）是芬兰著名数学家，以在黎曼曲面和复分析领域的开创性工作闻名于世。他出生于芬兰赫尔辛基，母亲因难产去世，父亲是赫尔辛基理工大学的工程学教授。作为瑞典语家庭的后代，Ahlfors早年就读于瑞典语私立学校，1924年进入赫尔辛基大学，师从Ernst Lindelöf和Rolf Nevanlinna，1928年毕业。

Ahlfors在1929年协助Nevanlinna完成了关于整函数渐近值数量的Denjoy猜想证明，该成果后被称为Denjoy-Carleman-Ahlfors定理，奠定了他早期学术声誉。1930年获得博士学位后，他于1933-1936年担任赫尔辛基大学副教授。1936年，他与Jesse Douglas共同成为首届菲尔兹奖得主，时年29岁。

二战期间，Ahlfors曾短暂任教于瑞士苏黎世联邦理工学院（1944-1945），后于1946年重返美国哈佛大学任教直至1977年退休，期间担任William Caspar Graustein数学教授。他还在1962年和1966年两度访问普林斯顿高等研究院。除菲尔兹奖外，Ahlfors还获得1981年沃尔夫数学奖、1982年美国数学会Leroy P. Steele奖等重要荣誉，并担任1986年国际数学家大会名誉主席。

其学术贡献涵盖拟共形映射、共形几何、克莱因群有限性定理等多个领域。1953年出版的经典教材《复分析》至今仍是该学科的权威著作，其他代表作包括《黎曼曲面》（1960）和《共形不变量》（1973）。他培养的博士生中包括Paul Garabedian、Robert Osserman等著名学者。

Ahlfors于1933年与奥地利移民Erna Lehnert结婚，育有三个女儿。晚年定居美国马萨诸塞州，1996年因肺炎在匹茨菲尔德逝世，享年89岁。他的学术遗产通过以他命名的Ahlfors函数、Ahlfors测度猜想等理论持续影响着现代数学发展。

拟共形映射

拟共形映射（Quasiconformal Mappings）是复分析和几何函数论中的一个重要概念，它在数学的多个领域（如Teichmüller理论、Kleinian群、复动力系统等）中具有广泛的应用。Lars Valerian Ahlfors（拉尔斯·瓦莱里安·阿尔福斯）在拟共形映射的研究中做出了奠基性的贡献，不仅重新定义了拟共形映射，还推动了其在现代数学中的应用。

1. 拟共形映射的基本概念

拟共形映射是一类介于共形映射（Conformal Mappings）和一般同胚之间的映射，它允许一定程度的“变形”，但保持某种几何控制。具体来说：

经典定义（Grötzsch & Teichmüller）：最初，拟共形映射被定义为几乎处处可微的同胚映射，其复导数（Beltrami系数）满足

|\mu_f| = \left|\frac{f_{\bar{z}}}{f_z}\right| \leq k < 1，其中

K=\frac{1 + k}{1 - k}称为最大伸缩比（Maximal Dilatation）。

Ahlfors的几何定义：Ahlfors抛弃了对光滑性的要求，转而通过 四边形的模（Modulus of Quadrilaterals）来定义拟共形映射。一个同胚 f: D \to D'是 K-拟共形的，如果对任意四边形 Q \subset D，有：

\frac{1}{K} \text{mod}(Q) \leq \text{mod}(f(Q)) \leq K \text{mod}(Q).

这种定义不依赖于微分结构，适用于更广泛的映射类。

2. Ahlfors在拟共形映射中的主要贡献

Ahlfors在拟共形映射领域的贡献主要体现在以下几个方面：

(1) 重新定义拟共形映射（1954）

在论文 On Quasiconformal Mappings（1954）中，Ahlfors提出了拟共形映射的几何定义，去除了传统定义中对光滑性的要求。这一突破使得拟共形映射的理论更加普适，并能够应用于更广泛的数学问题。为Teichmüller空间的理论奠定了坚实的基础，使得拟共形映射成为研究非光滑几何结构（如分形、Kleinian群的极限集）的有力工具。

(2) 可测Riemann映射定理（Measurable Riemann Mapping Theorem, 1960）

Ahlfors与Bers合作，在论文 Riemann’s Mapping Theorem for Variable Metrics（1960）中证明了：

定理：对于任何可测函数 \mu(z) 满足 |\mu(z)| \leq k < 1 ，存在唯一的（在规范化条件下）拟共形映射 f，使得其复导数\mu_f = \mu几乎处处成立。

意义：该定理是Teichmüller理论的核心工具，允许通过Beltrami微分参数化Teichmüller空间，在复动力系统（如Sullivan的“无游荡域定理”）中起到关键作用。

(3) 边界对应理论（Boundary Correspondence, 1956）

在 The Boundary Correspondence under Quasiconformal Mappings（1956，与Beurling合作）中，Ahlfors研究了拟共形映射的边界行为：证明了拟共形映射在Jordan域上的边界对应是拟对称（Quasisymmetric）的。构造了奇异边界对应的例子，即存在拟共形映射，其边界对应完全不绝对连续（与共形映射的F. & M. Riesz定理形成对比）。为后续研究Kleinian群的极限集（如Ahlfors测度零猜想）提供了工具，在双曲几何（如Mostow刚性定理）中有重要应用。

(4) 拟圆周（Quasicircles）的刻画（1963）

在 Quasiconformal Reflections（1963）中，Ahlfors给出了拟圆周的几何刻画：

定理：一条Jordan曲线 C是拟圆周当且仅当存在常数 b，使得对任意三点 z_1, z_2, z_3 \in C ，z_3 在 z_1 和 z_2中间，有：|z_1 - z_3|+|z_{2}-z_{3}| \leq b |z_1 - z_2|.（即“三点不等式”）

意义：拟圆周是复分析中重要的曲线类，出现在Teichmüller空间、共形动力系统等领域。Ahlfors的条件成为研究拟共形映射边界行为的标准工具。

共形几何与Kleinian群

在共形几何领域，Ahlfors的工作主要集中在黎曼曲面的类型问题与共形不变量上。他通过引入“共形度量”的概念，重新定义了判断黎曼曲面属于抛物型（共形等价于复平面）还是双曲型（共形等价于单位圆盘）的几何准则。这一成果将经典的皮卡定理（Picard’s Theorem）和布洛赫定理（Bloch’s Theorem）统一为类型问题的特例。他与阿尔内·贝林（Arne Beurling）合作发展的“极值长度”（Extremal Length）理论，成为共形不变量的核心工具，广泛应用于拟共形映射和曲面分类问题。此外，阿尔福斯将奈望林纳（Nevanlinna）的亚纯函数值分布理论几何化，提出“覆盖曲面理论”，将函数的增长性与曲面的拓扑性质联系起来。他的广义施瓦茨引理（Ahlfors-Schwarz Lemma）通过比较不同共形度量的曲率，为复流形理论（如小林度量、格里菲斯的高维奈望林纳理论）奠定了基础。

在克莱因群的研究中，Ahlfors摒弃了传统的三维拓扑方法，转而采用复解析工具。他于1964年提出的“有限性定理”指出，有限生成的克莱因群在普通集（ordinary set）上的商空间是一个有限型的轨道曲面（orbifold），这一结果揭示了克莱因群作用的几何结构，为后来的瑟斯顿（Thurston）三维流形理论提供了关键启示。他通过推广伯斯（Bers）的艾希勒上同调（Eichler Cohomology）方法，构造了光滑势函数以处理非光滑边界问题，并引入“软化子”（mollifier）技术克服了极限集（limit set）分析的困难。尽管他提出的“极限集测度零猜想”（Ahlfors Measure Zero Conjecture）未被完全证明，但推动了沙利文（Sullivan）等人在遍历理论和双曲动力系统上的突破性工作。阿尔福斯与伯斯的合作还催生了“面积不等式”（Bers-Ahlfors Area Theorems），量化了克莱因群的几何有限性，并启发了后续对拟共形映射边界对应问题的研究。

数学贡献

Ahlfors的贡献不仅在于具体定理的证明，更在于他构建的理论框架深刻连接了复分析、微分几何与拓扑学。他的方法——如将奈望林纳理论重构为覆盖曲面的几何性质，或通过艾希勒上同调描述群作用——展现了将复杂分析问题转化为几何直观的非凡能力。这些工作不仅解决了当时的核心问题，更为泰希米勒空间（Teichmüller Space）、复动力系统（Complex Dynamics）和高维双曲几何等领域提供了持久的研究方法。

Mathematics

数学奇境：数学巨匠与他们的世界

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在极远极远的过去，数学界的世界一片璀璨，几座神奇的城池横亘在这片土地上。首先是“算数丘城”，那里住着微分方王、积分方伯、变换方公和几何王子。他们的城池，虽然有时风景如画，却总是布满了各种极限、收敛与发散的迷雾。然后是“群体之城”，它有一个独特的结构，既有哈密顿广场、概率城、又有李群大道；每一条路都被不等式区隔开来，深藏着许多离散与连续的深奥谜题。

在这些城池间，有一条河流叫做“代数溪”，河水清澈见底，充满了各种群的原型，有时流得急促，有时又变得缓慢。每年都有不计其数的流派聚集在这条河边，讨论群的性质、环的结构、域的扩展与代数方程的解法。这里的村民过着不平凡的生活，他们的名字或许听上去十分熟悉，却隐藏着无穷的数学智慧。村头有一个老教授，名叫“高斯”，他以开拓尺规作图正十七边形、无穷大和无穷小的疆域而闻名。人们常听到他传授在“复数村”创造的奇迹，讲述那些关于欧拉公式和复变函数的故事。他的居所是一座古老的塔楼，塔楼上刻着不朽的名句：“真理总是深藏在解的边缘”。高斯的朋友，黎曼，也常常出现在塔楼里，二人就黎曼猜想、黎曼曲面、以及曲率问题热烈争辩。每当他们辩论激烈，塔楼外的风会变得狂乱，仿佛在回荡着无数未解的数学疑问。

再往北行，便是“概率城”，在这座城市里住着伯努利兄弟、拉普拉斯和伯努利兄弟。这里有一条名为“标准正态分布河”的河流，水流宽广，急速湍流。每天清晨，贝叶斯与费马都会围绕着先验概率与后验概率进行激烈的争辩，哪怕只是为了讨论一小块概率密度的形状。这个城市的特色之一是人们常穿着拉普拉斯设计的“概率服”，那种衣服不仅能让人隐形，还能隐藏所有的不确定性。还有柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）这位数学家，将概率论进行公理化，让大家都围绕着这个体系运作。

在“算数丘城”与“概率城”的交界处，坐落着一座神秘的“映射宫殿”。这座宫殿的结构极为复杂，每一层都通过不同的映射连接。映射宫殿的主人是一个著名的数学家，他的名字叫做“康托尔”（Cantor）。他以研究“集合论”和“无穷”而著名，在他的宫殿中，所有的物体、事件和空间都可以通过不同的映射被彼此联系。每一扇门、每一根柱子、甚至每一根绳索，都与“康托尔集”上的点有着某种微妙的对应关系。宫殿的屋顶是无穷的分形图案，时刻在变化，时而显现出细致的维数，时而展现出无限的自相似。

在康托尔的宫殿深处，有一个大大的“基尔伯特空间”，这是一个神秘的地方，拥有着极高的数学价值。基尔伯特空间里没有传统意义上的点，只有数不清的“向量”和“超函数”。这里的每一件物品都是一个函数，每一条线段都是一个向量，甚至连空气中的气流也是由无穷多个谱系的正交基所组成。在这里，赫尔曼·闵可夫斯基（Minkowski）和特奥多尔·冯·纽曼（Von Neumann）正在密切合作，他们探索着量子力学与数学结构的奥秘，甚至深入到数学与物理的交汇点，讨论着如何通过线性代数与算子理论来描述量子态的变换。

映射宫殿的周围有一片神秘的“拉普拉斯湖”，湖水清澈见底，但却流动着无尽的概率波动。每当月光照耀在湖面上时，波动的几率与函数就会以极其奇异的方式交织成美丽的图案，仿佛是某种奇异的统计分布。湖边常有一位老者坐在岩石上冥思，他就是“马尔科夫”（Markov）。他身着“随机过程长袍”，时而低声自语，时而向前方的极限倾诉。马尔科夫的最大贡献是“马尔科夫链”理论，这也是他在随机过程领域的独到之处。人们经常听到他谈论“平稳过程”、“独立增量”，以及如何运用“马尔科夫不等式”预测未来的随机事件。

在“几何山谷”，几何大师欧几里得、阿基米德、高斯的几何派弟子、黎曼和罗巴切夫斯基的弟子聚集在一起，讨论着平面几何与空间几何的奇妙图形。这个地方藏着一座几何宝塔，塔上有一行古老的铭文：“所有直线都汇聚在无穷远处。”这座塔的周围有一个神秘的区域，叫做“李群园”，园内的树木都是由群论构成，每一棵树都有一个独特的群表示，群木的枝繁叶茂像极了复杂的群结构。

在“微积分之海”，牛顿和莱布尼茨常常一同乘船，遨游在无穷小的浪花之间。他们的讨论内容永远不离求导与积分的美妙，有时他们也会偶尔停下来，向他们的同伴，欧拉、达朗贝尔与拉格朗日展示他们为数不多的数学成果。微积分的每一个波动都充满了创造与启发，仿佛数的精灵在海面上自由舞动。

继续往南，穿越“积分荒原”，你会遇到一座座如同“黎曼几何”的“石塔”，这些石塔中藏着一位又一位著名的数学家。这里有“菲尔兹”塔、还有“赫尔德”塔，它们的顶端都镶嵌着用“拉普拉斯变换”雕刻的精美图案，标志着这些伟大数学家的无穷探索和成就。而塔下，总有学者在进行“拉格朗日乘数法”和“柯西-施瓦茨不等式”的比试，看谁能在复杂的条件下，找到最优的极值。

再往东，远远的“拓扑村”伫立在群山之中。在这里，庞加莱总是与拉克莱布和斯图尔特一同，探讨拓扑空间与同调理论，探讨扭结、缠绕、孔洞与映射之间的千丝万缕的关系。这里的树是由不连续的空间组成，根部在无限小的空间中能看到“李群”的影子。每当这些拓扑学者散步时，脚下的道路会变形、拉伸，仿佛在展现那些神秘的同伦群。在“拓扑村”的深处，有一个叫做“类比道”的地方，专门用来讨论“同伦”和“同调”的问题。这里的居民是一些专门研究“拓扑空间”的学者，他们常常在村庄里讨论“连通性”、“紧性”以及“欧拉示性数”。每年的秋天，这里会举行一场盛大的“同调竞赛”，数学家们需要借助“霍普夫映射”和“阿特伍德定理”将不同的拓扑结构归约到一个标准化的模型。赛场上，选手们展示了他们的“拓扑不变量”，各种“嵌入定理”与“同调群”在空中飞舞，仿佛能触碰到天空的极限。

而在“微分方程之峡谷”中，常常传来阵阵高亢的讨论声。这里的住民是一群钟情于微分方程的学者，最著名的当属“欧拉-拉格朗日”二人组。欧拉总是在研究如何用“常微分方程”来刻画物理现象，而拉格朗日则致力于通过“变分法”来发现最优解。在这片峡谷中，人们有时还会见到一位“卡尔曼”大师，他带着一只神奇的“卡尔曼滤波器”，总能在复杂的动态系统中，提取出最重要的“状态估计”。每当卡尔曼大师走进峡谷，附近的树木、河流、甚至空气中的噪声都会开始静默，仿佛都在等待着他对“最优控制理论”的深刻解答。

在“度量空间山脉”的另一端，有一片“概率森林”。这片森林有着独特的规律，任何一棵树的生长都遵循“泊松过程”，森林的土壤中充满了“不确定性”，每一片叶子都是一个随机变量。森林的深处藏着“贝叶斯-帕松-拉普拉斯”三位贤者，他们经常在这里探讨如何通过“贝叶斯网络”来建构统计模型，或者如何通过“极大似然估计”来预测未来的事件。

在“矢量空间平原”上，众多数学家们像欧几里得、阿基米德、笛卡尔等，都在这片广袤的平原上留下了他们的足迹。在这片广阔的领域内，“线性代数”的大师总是带着他的“矩阵”与“特征值”，在不断地将不同维度的空间互相转换，创造着极限与无限之间的美丽画卷。除此之外，还有一片广袤的“希尔伯特平原”，平原上生长着众多的数学森林和神秘的定理山脉。其中有一条通往“范畴之城”的道路，这条路是由“范畴论”铺设的，它用一条“同构”桥连接着不同的数学领域。这个城市的建设者是“埃尔朗”（Eilenberg）和“马尔基厄尔”（Mac Lane），他们共同创造了“范畴论”的基础，强调了数学结构间的关系与变换。每当人们走进范畴之城，都会看到“函子桥”和“自然变换塔”巍然矗立，仿佛在讲述一个个不同领域之间的“同伦”与“同调”的深刻联系。

在城市的北部，有一片被称为“模糊逻辑草原”的广袤区域。这里住着“扎德”（Zadeh），他是“模糊集合”理论的奠基人。这片草原的特殊之处在于，任何物体的边界都变得模糊不清，定义变得不再是明确的零和一。在这里，“模糊集合”和“隶属度函数”像是草原上飘动的风，能够让不确定性和模糊性在数学中得到应用。

再往东，进入了一个被称为“数值分析岛”的地方，岛上遍布着“高斯-赛德尔迭代法”和“雅可比法”的魔法阵。岛屿的中心有一座神秘的“数值逼近塔”，塔内住着和“库塔”（Martin Kutta），他们经常在塔内探讨“数值解法”和“误差分析”。塔顶悬挂着一块“收敛性”铭文，表明只有那些能在有限步骤内求得近似解的算法，才配得上进入塔顶。

Runge-Kutta法- 維基百科，自由嘅百科全書

岛屿的西面，有一座高耸的“图论山”，山顶处矗立着欧拉（Euller）和其他数学家，他们共同建立了图论的经典理论，推动了“图的着色”和“图的遍历”这两项基础理论的诞生。这里的居民时常以“图的连通性”与“欧拉回路”讨论，时而利用“斯图尔特定理”来指导他们如何在复杂网络中找到最佳路径。在岛屿的南方，是一片充满数理逻辑和不确定性的“哥德尔沼泽”，这个地方的主人是“哥德尔”（Gödel），他以其“不可判定性”定理著称。哥德尔沼泽中的水面时常漂浮着一些“自指”与“递归”的奇怪生物，它们不停地在“数理模型”中穿梭，试图破译“形式系统”的奥秘。这里的空气充满了“逻辑推理”的味道，每当春风吹过时，就会出现一阵“哥德尔不完全性”的阵阵回响。

南方不远，有一座叫做“拓扑荒野”的地方，荒野中住着斯坦因（Steenrod）与塞尔（Serre）。他们探索了拓扑学的边界，在此建立了“同调理论”和“层理论”。拓扑荒野的地形总是令人迷惑，时而平坦如“霍普夫环面”，时而曲折如“克莱因瓶”。这里的每一块岩石、每一棵树、每一滴水都充满了“连续性”和“同胚”的特性，仿佛能在无限的变换中保持不变。

而在“统计王国”的深处，住着“费舍尔”（Fisher）、“诺伊曼”（Neumann）与“皮尔逊”（Pearson）三位巨匠，他们共同开创了“统计推断”的新时代。在这里，密布的“概率密度森林”和“回归分析草原”里，弥漫着“不确定性”的气息。居民们时常在“极大似然估计”与“最小二乘法”的指引下，走向真理的彼岸。每当“费舍尔方差分析”传出声音时，周围的“抽样”与“假设检验”便会随着算法的变化而起伏。

在这片充满智慧和奥秘的“数学大地”上，有一座神秘的“计算机科学宫殿”。这座宫殿的建设者是“图灵”（Turing），他不仅是“图灵机”理论的创始人，还揭示了计算和可计算性的极限。宫殿的中心是一个巨大的“图灵测试”大厅，里面时常有来自各个领域的数学家和工程师在测试人工智能的极限，进行着一场场关于“算法复杂性”和“计算模型”的深刻对话。

计算机科学宫殿的周围有一片“信息论森林”，在这片森林中，“香农”（Shannon）和“哈夫曼”（Huffman）时常聚集在一起，讨论信息的“压缩”与“编码”问题。每当他们挥动手中的“信息熵公式”时，森林中的鸟儿似乎也开始发出更具“信息量”的鸣叫，仿佛在向世界传递着知识的真谛。

在“数学帝国”的东南角，有一片被称为“动力系统之海”的地方，那里充满了涌动的波涛与湍流。这里的领主是“庞加莱”（Poincaré），他是混沌理论的奠基人之一。在这片海洋中，任何一个小小的扰动都会引发系统的剧变，仿佛在传达着“初始条件敏感性”的深刻道理。海面上漂浮着“李雅普诺夫指数”的符号，预示着“稳定性”与“不稳定性”之间的永恒博弈。沙滩上存放着“斯梅尔马蹄”，象征着稳定的系统也会带来混沌。

在复数的世界里中，存在着两位伟大的数学探险家——Fatou与Julia。他们穿越了复数平面的神秘荒原，创造了复动力系统的基石。他们通过不懈的研究，发现了在复平面上，某些函数的迭代过程会演化出令人惊异的图形。Fatou专注于研究这些迭代过程的稳定性，而Julia则深入探索了这些过程的边界行为。他们的工作奠定了复动力学的基础，揭示了复数上“吸引域”和“逃逸域”之间复杂而美丽的关系。尽管他们的发现曾一度被忽视，但他们留下的理论为后来者铺设了通往深奥几何的道路。五十年后，一位名叫Mandelbrot的数学家，他仰望着复数平面的星空，发现了更加神秘的景象。他用无穷迭代的技术，揭示了一个无穷小的区域，这个区域的边界既不规则又精美，像是自相似的图案重复展开。这就是分形的起源，Mandelbrot集——一个既简单又极为复杂的图形，它的边界充满了无穷的细节。每次放大，它都展现出崭新的世界，如同数学世界的无尽宇宙，充满着无尽的可能性与奇迹。与此同时，Dennis Sullivan站在前人发现的基础上，揭开了一个新的谜题。他用极其精细的拓扑手段，证明了一个深刻的命题——有理函数没有游荡区间。他向世人展示了复数上的拓扑结构的力量，证明了无论多么复杂的函数，在适当的条件下都必须遵循某种精确的秩序。Sullivan的工作为动力系统带来了新的光辉，揭示了在混沌的世界中，依然隐藏着无法逃脱的内在秩序。

这些地方和人物共同构成了21世纪前的数学风景画，承载着数不尽的定理、公式与想法，像一条条交织的河流，永远流向未知的远方。此时此刻，四方的数学巨匠与神秘的数学力量共同演绎着世界的奇妙构造，无论是微分方程的华丽舞步，还是拓扑空间的神秘网格，亦或是代数群的无穷回响，都在这片土地上勾画出数学无穷尽的美丽与奥秘。

备注：

  1. 高斯 (Gauss) – 德国数学家，贡献包括数论、概率论、复变函数等。
  1. 黎曼 (Riemann) – 德国数学家，以研究复变函数和几何方面的贡献著称，尤其是黎曼猜想。
  1. 伯努利兄弟 (Bernoulli) – 瑞士数学家家族，主要贡献在概率论和流体力学等领域。
  1. 拉普拉斯 (Laplace) – 法国数学家、天文学家，贡献包括天体力学、概率论。
  1. 欧几里得 (Euclid) – 古希腊数学家，被誉为几何学的奠基人。
  1. 庞加莱 (Poincaré) – 法国数学家、物理学家，拓扑学的奠基人之一。
  1. 牛顿 (Newton) – 英国数学家、物理学家，微积分的创始人之一。
  1. 莱布尼茨 (Leibniz) – 德国哲学家、数学家，微积分的共同发明者之一。
  1. 康托尔 (Cantor) – 德国数学家，集合论的创始人之一，提出了不同大小的无穷集合。
  1. 马尔科夫 (Markov) – 数学家，特别是马尔科夫过程的研究者，马尔科夫链理论的重要人物。
  1. 卡尔曼 (Kalman) – 美国数学家，卡尔曼滤波器的发明者，广泛应用于控制理论与信号处理。
  1. 黎曼几何 (Riemannian Geometry) – 由黎曼创立的一种几何学，研究曲面和流形的性质。
  1. 柯西-施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality) – 数学中著名的不等式，涉及向量的内积空间。
  1. 范畴论 (Category Theory) – 由埃尔朗和马尔基厄尔发展，强调对象和态射之间的关系。
  1. 模糊集合 (Fuzzy Set) – 扎德提出的集合理论，允许元素具有模糊的隶属度。
  1. 高斯-赛德尔迭代法 (Gauss-Seidel Iteration) – 数值分析中的迭代方法。
  1. 图论 (Graph Theory) – 研究图形结构的数学分支。
  1. 哥德尔不完全性 (Gödel Incompleteness) – 哥德尔提出的定理，表明任何足够强大的数学系统都存在不可判定的命题。
  1. 极大似然估计 (Maximum Likelihood Estimation) – 一种估计参数的方法，常用于统计推断。
  1. 图灵机 (Turing Machine) – 图灵提出的计算模型，是理论计算机科学的基础。
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随笔（四十三）— 从范畴论到博士资格考试

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当初在国外读博时，我的代数教授对范畴论（category theory）情有独钟，甚至亲自写了两本书，一本是关于环论的，另一本则深入探讨范畴论。每当代数考试临近时，他总爱出一些涉及群论、环论、模论和范畴论的题目，而域论和伽罗华理论却鲜有涉及。虽然教授的书籍颇具深度，但其中的内容往往艰涩难懂，且并不完全契合我的学习口味。于是，无奈之下，我只好前往图书馆翻阅其他参考书，经过一番查找，我偶然发现了 Serge Lang 的《代数学》。然而，翻阅之后，我意识到这本书虽然丰富，但并不完全符合教授考试的风格，最终它只能作为额外的学习补充材料。

终于，在图书馆翻阅了一番后，我找到了这本书——《Algebra: Chapter 0》。这本书不仅涉及范畴论，但却没有那么晦涩难懂，且充满了丰富的例子，极大地激发了我的兴趣。它由Paolo Aluffi编写，是一本研究生水平的代数教材，属于美国数学学会（AMS）《Graduate Studies in Mathematics》系列的第104卷。全书分为九章，内容从集合论和范畴论的基础知识开始，逐步深入群论、环与模、线性代数、域论以及同调代数等核心领域。

书中的第一章“预备知识”通过朴素的集合论和范畴论介绍基本概念，并强调普遍性质（universal properties）在代数中的重要性，为后续章节的学习奠定了坚实的理论基础。第二至第四章系统地探讨了群的结构，包括群同态、自由群、商群和群作用等内容，同时结合Sylow定理与对称群等经典例子，深化了对群论的理解。第五至第七章则聚焦于环论和模论，内容涵盖了唯一分解整环、多项式环的因式分解以及线性代数中的自由模理论。最后，第八章和第九章转向同调代数，研究张量积、Ext和Tor函子等高级工具，并最终以导出范畴和谱序列作为总结。

这本书，正是应对考试所需的必备教材！

Chapter 0

个人感觉，本书特别适合具备一定数学成熟度的读者，尤其是那些已接触过基础抽象代数但希望以更现代的观点重新审视该领域的学者，也适合研究生。其范畴论框架不仅统一了分散的代数概念，还为后续学习代数几何、表示论等提供了语言准备。此外，书中包含大量非传统例题（如由整除关系定义的范畴），挑战读者对代数结构的常规认知。该书以范畴论的语言为框架，系统介绍了抽象代数的基础概念和高级主题，为读者提供现代数学的统一视角。

  1. 范畴论视角：不同于传统教材，Aluffi从范畴论的角度重构代数概念，如将商集、直积等构造描述为特定范畴中的初始或终对象，凸显数学结构的普适性。例如，集合的并和积分别对应范畴中的余积和积，而群同态的基本定理则通过范畴的泛性质自然呈现。
  2. 强调普遍性质：书中反复出现“universal property”这一主题，将其作为理解代数对象（如自由群、张量积）的核心工具。例如，自由群的构造通过遗忘函子的左伴随定义，而多项式环的泛性质则刻画了其在交换环范畴中的唯一性。
  3. 渐进式难度设计：前四章适合本科学生，涵盖标准群论和环论内容；后五章逐步引入高阶主题，如诺特模、Jordan标准形及Galois理论，适合研究生阶段学习。每章末尾的习题既巩固基础知识，又延伸至模形式、四元数等拓展内容。
  4. 历史与动机结合：在引入新概念时，作者常辅以历史背景或直观动机。例如，同调代数的章节始于拓扑中的链复形类比，帮助读者理解代数与几何的联系。

在国外读博的第一个假期里，我几乎把自己泡在了图书馆，每天背着那本书来回穿梭于图书馆和住处之间。当图书馆还没开门时，我便坐在门口的长桌旁，开始埋头学习。整个假期，我几乎是这样度过的，熬过了无数个日日夜夜。终于，在第二个学期开始时，我顺利地通过了代数的博士资格考试，一次性解锁了这一关。那一刻，我长舒了一口气，心头的重担终于卸下，代数的世界也仿佛远离了我——如同所谓的“forget algebra”。

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复动力系统创始人之一—数学家 Pierre Fatou

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皮埃尔·法图（Pierre Fatou）简介

皮埃尔·约瑟夫·路易·法图（Pierre Joseph Louis Fatou，1878年2月28日－1929年8月9日）是20世纪初法国著名的数学家和天文学家。他在分析数学的多个分支中作出了重要贡献，尤其在复变函数、动力系统和测度论领域影响深远。法图引理（Fatou’s lemma）、法图定理（Fatou’s theorem）、法图集（Fatou set）以及法图-比伯巴赫域（Fatou–Bieberbach domain）均以他的名字命名，彰显了其学术成就的广泛影响。

生平与教育背景

法图出生于法国洛里昂（Lorient），其父母曾希望他投身军旅，但因健康问题未能如愿。1898年，他进入巴黎高等师范学院（École Normale Supérieure）学习数学，并于1901年毕业。此后，他加入巴黎天文台（Paris Observatory），从实习天文学家逐步晋升为正式天文学家（1928年），并在此工作直至去世。法图于1918年获得贝克勒尔奖（Becquerel Prize），1923年被授予法国荣誉军团骑士勋章，1927年担任法国数学学会主席。1929年8月9日，他在法国滨海波尔尼谢（Pornichet）度假时因突发疾病去世，享年51岁。

数学贡献

复分析与调和函数

法图的博士论文《三角级数与泰勒级数》（1906）首次将勒贝格积分应用于解析函数和调和函数的研究，特别是对单位圆上任意测度的泊松积分进行了开创性分析。他提出的法图定理（Fatou’s theorem）证明了单位圆内有界解析函数几乎处处具有径向极限，为20世纪有界解析函数理论奠定了基础。

全纯动力系统

1917–1920年间，法图开创了全纯动力系统（holomorphic dynamics）领域，研究解析函数的迭代行为。他首次定义了如今称为朱利亚集（Julia set）的补集——法图集（Fatou set），并与加斯东·朱利亚（Gaston Julia）等人独立获得了该领域的核心结果。1926年，他进一步研究了超越整函数的动力学，为现代复动力系统的发展铺平了道路。

实分析

在实变函数中，大家都会学习Fatou引理，这是实变函数的重要定理之一。Fatou引理（Fatou’s lemma）提供了非负可测函数列在积分与极限交换时的基本不等式，即对于一列非负可测函数\{f_n\}，其逐点下极限函数的积分不超过积分序列的下极限：

\int \liminf_{n\to\infty} f_n \,d\mu \leq \liminf_{n\to\infty} \int f_n \,d\mu.

这一结论打破了直觉中“极限与积分可自由交换”的预期，揭示了积分运算的细腻性。Fatou引理与单调收敛定理和勒贝格控制收敛定理共同构成了积分极限理论的三支柱。

法图-比伯巴赫域

在全纯动力系统的研究中，法图发现了一类特殊的复空间子区域（现称法图-比伯巴赫域），这些区域与整个复空间双全纯等价，但仅存在于高维情形（n≥2）。

天体力学与应用数学 法图在天体力学中证明了高斯提出的关于短周期扰动平均化的定理（1928），该成果被莱昂尼德·曼德尔施塔姆（Leonid Mandelstam）和尼古拉·博戈柳博夫（Nikolay Bogolyubov）等人进一步发展，成为现代应用数学的重要工具。

学术遗产

法图的工作深刻影响了20世纪分析数学的发展，尤其是复动力系统在1980年代后因丹尼斯·沙利文（Dennis Sullivan）等人的突破性研究而复兴。他的成果至今仍在数学物理、复分析及动力系统等领域具有广泛的应用价值。

主要著作

《三角级数与泰勒级数》（1906）

《关于函数方程的研究》（1919–1920）

《整超越函数的迭代》（1926）

《短周期力作用下的系统运动》（1928）

法图以严谨的数学思维和跨学科的视野，为数学与天文学留下了不可磨灭的遗产。

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Michael Atiyah：二十世纪的数学

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Michael Atiyah：二十世纪的数学

来源：《数学译林》2002年第2期

迈克尔·阿蒂亚爵士，OM，FRS（Sir Michael Francis Atiyah）1929年4月22日生，英国数学家，被誉为当今最伟大的数学家之一。主要研究领域为几何。1960年代他与伊萨多·辛格合作，证明了阿蒂亚-辛格指标定理。此定理在数学的一些领域均有重要作用。他于1966年荣获菲尔兹奖，与辛格在2004年共同获得阿贝尔奖。

Atiyah

导言

谢谢邀请我来这里参加这个活动。当然，如果有人想谈论一个世纪的终结以及下一个世纪的开始，那么他有两个具有相当难度的选择：一个是回顾过去百年的数学；另一个是对未来百年数学发展的预测，我选择了前面这个比较困难的任务，任何人都可以预测未来而且我们并不能判定是对还是错。然而对过去的任何评述，每个人都可以提出异议。

我在这里所讲的是我个人的观点。这个报告不可能包含所有内容，特别是，有一些重要的内容我不准备涉及，一部分是因为我不是那些方面的专家，一部分也是出于它们已经在其他地方被评述过了。例如，我不会去谈论那些发生在逻辑与计算领域内的著名事件，这些事件往往是与像Hilbert，Godel，Turing这些伟大的名字相关的，除了数学在基础物理中的应用之外，我也不会谈论太多数学的其他应用，这是因为数学的应用太广泛了，而且这需要专门的论述。每一个方面都需要一个专门的报告．也许大家在这次会议的其他报告中会听到很多关于这些内容的演讲。另外，试着罗列一些定理，甚至是列出在过去一百年的著名数学家的名字也是毫无意义的，那简直是在做枯燥的练习。所以，代替它们的是，我试着选择一些我认为在很多方面都是很重要的主题来讨论并且强调围绕这些主题所发生的事情。

Hilbert

首先我有一个一般性的说明。世纪是一个大约的数字概念。我们不会真地认为在过整整一百年的时候，有些事情会突然停下来，再重新开始，所以当我描述二十世纪的数学时，有些内容实际上可能是跨世纪的，如果某件事件发生在十九世纪九十年代，并持续到二十世纪初，我将不去计较这种时间方面的细节。我所做的就象一个天文学家，工作在一个近似的数字环境中。实际上，许多东西始于十九世纪，只不过在二十世纪才硕果累累。

这个报告的难点之一是很难把我们自己放回到1900年时作为一位数学家的位置上，这是因为上个世纪的数学有非常多的内容已经被我们的文化和我们自己吸收掉了。难以想象人们不用我们的术语来思考的那个时代是什么样子的。实际上，如果现在有人在数学上有一个真正重要的发现，其后他也一定会与之一起被忽略掉了！他会完全地被融入到背景之中，于是为了能够回顾过去，我们必须努力去想象在不同时代，人们用不同方式思考问题时的情景。

希尔伯特问题

从局部到整体

作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论。我谈论的第一个主题概括地讲，就是被大家称为从局部到整体的转变。在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内，使用局部坐标等等来研究事物。在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质。由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了。正是Poincare，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题的Hilbert并没有意识到这一点。拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现．但是对Poincare而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容。

Poincare

让我试着列一些领域，然后大家就能知道我在想什么了。例如，考虑一下复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象Weierstrass这样伟大人物工作的中心。对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数；对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数。它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的。然而接下来Abel、Riemann和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围。这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性。局部展开只是看待它们的一种方式。

Weierstrass function

一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们。解的奇异性是真正决定其整体性质的东西。与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了。

微分方程

在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程。只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了。当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质。

数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架。数论学家们是这样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数，一次一个素数，以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时。这种素数和点之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思想深深地影响了数论。

当然这种情况也发生在物理学中，经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质。物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进。

poincare bendixson theorem

维数的增加

我的第二个主题有些不同，我称之为维数的增加。我们再次从经典的复变函数理论开始：经典复变函数论主要是详细讨论一个复变量理论并加以精炼。推广到两个或者更多个变量基本上发生在本世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内。不是所有的现象都与一个变量的情形相同，这里有完全新的特性出现，并且n个变量的理论的研究越来越占有统治地位，这也是本世纪主要成就之一。

另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究n维流形的几何，大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变。在早期，曲线和曲面是那些人们能真正在空间里看到的东西。而高维则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维来想象,但当时人们也许没有认真对待它们。认真对待它们并且用同样重视程度来研究它们的这种思想实际上是二十世纪的产物。同样地，也没有明显的证据表明我们十九世纪的先驱者们思考过函数个数的增加，研究不单单一个而是几个函数，或者是向量值函数(vector-valued function)。所以我们看到这里有一个独立和非独立变量个数增加的问题。

vector-valued function

线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert空间。当然这就涉及到了分析,在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函。它们是函数空间上的函数。它们本质上有无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论。一个类似的事情发生在一般（非线性）函数理论的发展中。这是一个古老的课题，但真正取得卓越的成果是在二十世纪。这就是我谈的第二个主题。

从交换到非交换

第三个主题是从交换到非交换的转变。这可能是二十世纪数学，特别是代数学的最主要的特征之一。代数的非交换方面已经极其重要，当然，它源自于十九世纪。它有几个不同的起源。Hamilton在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际上这是受处理物理问题时所采用的思想所启发。还有Grassmann在外代数方面的工作，这是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中。当然，还有Cayley以线性代数为基础的矩阵方面的工作和Galois在群论方面的工作等。

Group Theory

所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，我形象地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油”。我们现在可以不去思考这些，但在十九世纪，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，当然，这些思想在不同的领域内得到了惊人的发展。矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论。Heisenberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被von Neumann推广到他的算子代数理论中。 群论也是在二十世纪占重要位量的理论，我稍后再回来谈它。

从线性到非线性

我的下一个主题是从线性到非线性的转变。古典数学的大部分或者基本上是线性的，或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性，真正的非线性现象的处理是非常困难的，并且只是在本世纪，才在很大的范围内对其进行了真正的研究。

我们从几何开始谈起：Euclid几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这一切都是线性的。而从非欧几何的各个不同阶段到Riemann的更一般的几何，所讨论的基本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方法所看不到的新现象。在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了。它们代表不同的极端。孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为(disorganized behavior)。这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本土都是非线性现象。我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分。

Geometry

当然，在物理学，Maxwell方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程。与之对应的是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力。这些方程之所以是非线性的，是因为Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项。于是在这里我们看到了一个非线性性与非交换性之间的有趣的联系。非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意思和很重要的。

几何与代数

动图封面

至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明。我指的是几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史。几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人。所以，它们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系。

让我首先由这个问题的历史开始。Euclid几何是数学理论中最早的一个例子，直到Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的。Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试。从代数学家们的角度来讲，这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家而Leibniz基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于Newton而言，几何学，或者是由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试。他关心的是在很广泛意义下的物理，以及几何世界中的物理。在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的观点来思考它，用几何图象的观点来看待它。当他发展微积分的时候，他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证，因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与Newton的途径截然不同，并且二者有很多不同的记号。正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场大争论中，Leibniz的记号最后得胜。我们现在还沿用他的记号来写偏导数。Newton的精神尚在，但被人们埋葬了很长时间。

在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincare和Hilbert是两个主要人物。我在前面已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人。Poincare的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具。Hilbert更多的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述。虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同的传统。

当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代表性的人的名字。谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字Arnold Bourbaki，前者是Poincare-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilbert最著名的接班人。Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是源自于Newton的；以为存在处于二者之间的东西，除了象Riemann（他确实跟两者都有偏离）等少数人之外，都是一种误解。Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的研究，将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功。每一种观点都有它的优点，但是它们之间很难调和。

Vladimir Arnold

让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同。几何学当然讲的是空间，这是毫无疑问的．如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件。我们大脑的构造与视觉有着极其重要的关系。我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之八十或九十。在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说。理解并感知我们所看到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分。因此空间直觉(spatial intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用。我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使用我们的直觉．我们的直觉是我们最有力的武器。特别是在向学生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚。当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了。学生这时会说些什么呢？他会说“我看到了（我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他语言作对比同样有趣。我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善。

在另一方面（也许有些人不这样认为），代数本质上涉及的是时间。无论现在做的是哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思是我们必须有时间的概念。在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静态的：我可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以继续观察。然而,代数与时间有关，这是因为我们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时，我并不单单指现代代数。任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这一切看得很清楚。现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案。

代数涉及的是时间的操作，而几何涉及的是空间。它们是世界互相垂直的两个方面，并且它们代表数学中两种不同的观念。因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情。

当然只是为了论证是哪一边输了，哪一边胜利了，这并不值得。当我考虑这个问题时，有一个形象的类比：“你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家？”这个问题就象问：“你愿意是聋子还是瞎子？”一样．如果人的眼睛盲了，就看不见空间；如果人的耳朵聋了，就无法听见，听觉是发生在时间之中的，总的来说，我们还是宁愿二者都要。

在物理学，也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分。物理学有两个部分：理论——概念，想法，单词，定律——和实验仪器。我认为概念在某种广义的意义下是几何的，这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物。另一方面，实验更象一个代数计算。人们做事情总要花时间，测定一些数，将它们代入到公式中去。但是在实验背后的基本概念却是几何传统的一部分。

将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就是所谓的“浮士德的奉献”。正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼提供给数学家的供品。魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问题。

你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”(现在可以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假装我们出卖灵魂，但不真地给它。不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当我们转入代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思考其含义。

在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东西，把它化成一个公式，然后得到答案．在这样的一个过程中，人们不再需要思考代数的这些不同阶段对应的几何是什么。就这样，洞察力丢掉了，而这在那些不同的阶段都是非常重要的．我们绝不能放弃这些洞察力！最终我们还是要回到这上面来的，这就是我所谈到的浮士德的奉献．我肯定这种讲法尖锐了一点。

几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生，并且代数和几何之间的区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华．例如，代数学家们经常使用图式(diagram)。而除了几何直觉，图式又能是什么呢？

通用的技术

现在我不想再谈论太多就内容来划分的主题，而想谈谈那些依照已经使用的技术和常见方法所确定的主题，也就是我想描述一些已经广泛应用于众多领域的常见方法。第一个就是：同调论。

同调论

历史上同调论是作为拓扑学的一个分支而发展起来的。它涉及到以下情形。现有一个复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数，得到某些与之联系的可加的线性不变量等。这是一种在非线性条件下关干线性不变量的构造。从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群．同调论，作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶发现的。这是一种从几何中获益匪浅的代数。

同调概念也出现在其他一些方面。其另一个源头可以追溯到Hilbert及其关于多项式的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式。正是Hilbert那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”，具有公共零点的多项式的线性组合．他要寻找这些理想的生成元．生成元可能有很多。他审视它们之间的关系以及关系之间的关系．于是他得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”。Hilbert的这个理论是一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形。本质上来讲，Hilbert构造了一个线性关系的复杂体系．能够把象多项式这样的非线性事物的某些信息纳入其中。

这个代数理论实际上是与上述拓扑理论平行的，而且现在它们已融合在一起构成了所谓的“同调代数”．在代数几何学中，本世纪五十年代最伟大的成就之一是层的上同调理论的发展及在解析几何学中的扩展，这是由Leray，Cartan，Serre和Grothendieck等人组成的法国学派取得的。从中我们可以感受到一种既有Riemann-Poincaré的拓扑思想，又有Hilbert的代数思想，再加上某些分析手段的融合。

Alexander Grothendieck

这表明同调论在代数的其它分支也有着广泛的应用。我们可以引入同调群的概念，它通常是与非线性事物相关的线性事物。我们可以将之应用于群论，例如，有限群，以及李代数：它们都有相应的同调群。在数论方面，同调群通过Galois群产生了非常重要的应用。因此在相当广泛的情形下同调论都是强有力的工具之一，它也是二十世纪数学的一个典型的特征。

K-理论

我要谈的另外一个技术就是所谓的“K-理论”。它在很多方面都与同调论相似，它的历史并不很长（直到二十世纪中叶才出现，尽管其起源的某些方面也许可以追溯到更早一些），但它却有着很广泛的应用，已经渗透进了数学的许多部分。K-理论实际上与表示理论紧密相联，有限群的表示理论，可以讲，起源于十九世纪．但是其现代形式——K-理论却只有一个相对较短的历史。K-理论可以用下面的方式来理解：它可以被想成是应用矩阵论的一种尝试。我们知道矩阵的乘法是不可交换的，于是我们想构造矩阵可换的或是线性的不变量。迹，维数和行列式都是矩阵论中可换的不变量，而K-理论即是试图处理它们的一种系统的方法，它有时也被称为“稳定线性代数”。其思想就是，如果我们有很多矩阵，那么把两个不可换的矩阵A和矩阵B放在不同块的正交位置上，它们就可换了，因为在一个大的空间里，我们可以随意移动物体。于是在某些近似情况下，这样做是很有好处的，足以让我们得到一些信息，这就是作为一个技术的K-理论的基石。这完全类似于同调论，二者都是从复杂的非线性情形获取线性的信息。

在代数几何中，K-理论是由Grothendieck首先引入的，并且取得了巨大的成功，这些与我们刚刚谈到的层理论密切相关，而且也和他在Riemann-Roch定理方面的工作有紧密联系。

K Theory

在拓扑学方面，Hirzebruch和我照搬了这些思想并且将它们应用到一个纯粹的拓扑范畴内。从某种意义下来说，如果Grothendieck的工作与Hilbert在合系方面的工作有关，那么我们的工作更接近于Riemann-Poincaré在同调方面的工作，我们用的是连续函数，而他用的是多项式．K-理论也在椭圆算子的指标理论和线性分析的研究中起了重要作用。

从另外一个不同的角度，Milnor，Quillen和其他人发展了K-理论的代数方面，这在数论的研究中有着潜力巨大的应用．沿着这个方向的发展导致了许多有趣问题的产生。

在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换的C*-代数情形。一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数。但是在其他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地成为了这些问题的温床。

C* algebra

因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分的非常困难的，技巧性很强的问题。K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框架，在不同部分之间具有类比和相似。 这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”。

非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒量”提供了一个很自然的“家”。虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是现在看起来K一理论能提供更好的答案。

李群

另一个不单单是一项技术、而且是具有统一性的概念是李群。现在说起李群，我们基本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它们在二十世纪数学历史中起了非常重要的作用。它们同样起源于十九世纪．SophusLie是一位十九世纪的挪威数学家。正如很多人所讲的那样，他和Fleix Klein，还有其他人一起推动了“连续群理论”的发展．对Klein而言，一开始，这是一种试图统一处理Euclid几何和非欧几何这两种不同类型几何的方法。虽然这个课题源于十九世纪，但真正起步却是在二十世纪，作为一种能够将许多不同问题归并于其中来研究的统一性框架，李群理论深深地影响了二十世纪。

Lie Group

我现在来谈谈Klein思想在几何方面的重要性。对于Klein而言，几何就是齐性空间，在那里，物体可以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的。Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群．于是每一个齐性几何对应一个不同的李群。但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且空间不再有整体对称性，然而，李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现在一种无穷小的层面上。于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体。这个理论是被Eile Cartan真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Einstein的相对论也起着基本的作用。当然Einstein的理论极大地推动了微分几何的全面发展。

进入二十世纪，我前面提到的整体性质涉及到了在整体层面上的李群和微分几何。一个主要的发展是给出所谓的“示性类”的信息，这方面标志性的工作是由Borel和Hirzebruch给出的，示性类是拓扑不变量并且融合三个关键部分：李群，微分几何和拓扑，当然也包含与群本身有关的代数。

在更带分析味的方向上，我们得到了现在被称为非交换调和分析的理论。这是Fourier理论的推广，对于后者，Fourier级数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．这本质上是Harish-Chandra一生的工作。

在数论方面，整个“Langlands纲领”,现在许多人都这样称呼它，紧密联系于Harish-Chandra理论，产生于李群理论之中。对于每一个李群，我们都可以给出相应的数论和在某种程度实施Langlands纲领。在本世纪后半叶，代数数论的一大批工作深受其影响．模形式的研究就是其中一个很好的例证，这还包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工作。

Andrew Wiles

也许有人认为李群只不过在几何范畴内特别重要而已，因为这是出于连续变量的需要。然而事实并非如此，有限域上的李群的类似讨论可以给出有限群，并且大多数有限群都是通过这种方式产生的。因此李群理论的一些技巧甚至可以被应用到有限域或者是局部域等一些离散情形中。这方面有许多纯代数的工作，例如与George Lusztig名字联系在一起的工作。在这些工作中，有限群的表示理论被加以讨论，并且我已经提到的许多技术在这里也可以找到它们的用武之地。

有限群

上述讨论已把我们带到有限群的话题，这也提醒了我：有限单群的分类是我必须承认的一项工作。许多年以前，也就是在有限单群分类恰要完成之时，我接受了一次采访，并且我还被问道我对有限单群分类的看法,我当时很轻率地说我并不认为它有那么重要．我的理由是有限单群分类的结果告诉我们，大多数单群都是我们已知的，还有就是一张有关若干例外情形的表．在某种意义下，这只不过是结束了一个领域。而并没有开创什么新东西，当事物用结束代替开始时，我不会感到很兴奋。但是我的许多在这一领域工作的朋友听到我这么讲，理所当然地会感到非常非常不高兴，我从那时起就不得不穿起“防弹衣”了。

在这项研究中，有一个可以弥补缺点的优点。我在这里实际上指的是在所有的所谓“散在群”(sporadic groups)中，最大的被赋予了“魔群”名字的那一个。我认为魔群的发现这件事本身就是有限单群分类中最叫人兴奋的结果了。可以看出魔群是一个极其有意思的动物而且现在还处于被了解之中。它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系。这是分类工作的一个有趣的副产品。正如我所说的，有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇大门。

魔群

物理的影响

现在让我把话题转到一个不同的主题，即谈谈物理的影响。在整个历史中，物理与数学有着非常悠久的联系，并且大部分数学，例如微积分，就是为了解决物理中出现的问题而发展起来的。在二十世纪中叶，随着大多数纯数学在独立于物理学时仍取得了很好的发展，这种影响或联系也许变得不太明显．但是在本世纪最后四分之一的时间里，事情发生了戏剧性的变化，让我试着简单地评述一下物理学和数学，尤其是和几何的相互影响。

经典力学

在十九世纪，Hamilton发展了经典力学，引入了现在称为Hamilton量的形式化。经典力学导出现在所谓的“辛几何”．这是几何的一个分支，虽然很早已经有人研究了，但是实际上直到最近二十年，这个课题才得到真正的研究．这已经是几何学非常丰富的一部分。几何学，我在这里使用这个词的意思是指，它有三个分支：Riemann几何，复几何和辛几何，并且分别对应三个不同类型的李群。辛几何是它们之中最新发展起来的，并且在某种意义下也许是最有趣的，当然也是与物理有极其紧密联系的一个，这主要因为它的历史起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系．现在，我前面提到过的、作为电磁学基本线性方程的Maxwell方程，是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用方面工作的源动力。这是一个非常富有成果的理论，并且自从本世纪三十年代以来已经成为几何学中的许多工作的基础。

我已经提到过广义相对论和Einstein的工作。量子力学当然更是提供了一个重要的实例．这不仅仅体现在对易关系上，而且更显著地体现在对Hilbert空间和谱理论的强调上。

以一种更具体和明显的方式，结晶学的古典形式是与晶体结构的对称性有关的。第一个被研究的实例是发生在点周围的有限对称群，这是鉴于它们在结晶学中的应用。在本世纪中，群论更深刻的应用已经转向与物理的关系，被假设用来构成物质的基本粒子看起来在最小的层面上有隐藏的对称性，在这个层面上，有某些李群在此出没，对此我们看不见，但是当我们研究粒子的实际行为时，它们的对称性就显现无遗了。所以我们假定了一个模型，在这个模型当中，对称性是一个本质性的要素，而且目前那些很普遍的不同理论都有一些象SU(2)和SU(3)那样的基本李群融入其中并构成基础的对称群，因此这些李群看起来象是建设物质大厦的砖石。

Lie Group

并不是只有紧李群才出现在物理中，一些非紧李群也出现在物理中，例如Lorentz群．正是由物理学家第一个开始研究非紧李群的表示理论的。它们是那些能够发生在Hilbert空间的表示，这是因为，对于紧群而言，所有不可约表示都是有限维的，而非紧群需要的是无穷维表示，这也是首先由物理学家意识到的。

在二十世纪的最后25年里，正如我刚刚完成阐述的，有一种巨大的从物理学的新思想到数学的渗透，这也许是整个世纪最引人注目的事件之一，就这个问题本身，也许就需要一个完整的报告，但是，基本上来讲，量子场论和弦理论已经以引人注目的方式影响了数学的许多分支，得到了众多的新结果、新思想和新技术．这里，我的意思是指物理学家通过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了。当然，这不是一个精确的证明，但是确有非常强有力的直觉、一些特例和类比所支持。数学家们经常来检验这些由物理学家预言的结果，并且发现它们基本上是正确的，尽管给出证明是很困难的而且它们中的许多还没有被完全证明。

所以说沿着这个方向，在过去的25年里取得了巨大的成果．这些结果是极其细致的．这并不象物理学家所讲的“这是一种应该是对的东西”。他们说：“这里有明确的公式，还有头十个实例（涉及超过12位的数字）”。他们会给出关于复杂问题的准确答案，这些决不是那种靠猜测就能得到的，而是需要用机器计算的东西，量子场论提供了一个重要的工具，虽然从数学上来理解很困难，但是站在应用的角度，它有意想不到的回报。这是最近25年中真正令人兴奋的事件。

在这里我列一些重要的成果：Simon Donaldson在四维流形方面的工作；Vaughan-Jones在扭结不变量方面的工作；镜面对称，量子群；再加上我刚才提到的“魔群”。

Geometry

这个主题到底讲的是什么呢？正如我在前面提到过的一样，二十世纪见证了维数的一种转换并且以转换为无穷维而告终，物理学家超越了这些，在量子场论方面，他们真正试图对广泛的无穷维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间，它们非常复杂，不仅是因为它们是无穷维的，而且它们有复杂的代数、几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群，即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展，这部分物理涉及了在无穷维情形下的类似处理．当然，这是一件非常不同的事情，但确有巨大的成功。

Lie Algebra

让我更详尽地解释一下，量子场论存在于空间和时间中．空间的真正的意义是三维的，但是有简化的模型使我们将空间取成一维．在一维空间和一维时间里，物理学家遇到的典型事物，用数学语言来讲，就是由圆周的微分同胚构成的群或者是由从圆周到一个紧李群的微分映射构成的群。它们是出现在这些维数里的量子场论中的两个非常基本的无穷维李群的例子，它们也是理所当然的数学事物并且已经被数学家们研究了一段时间。

在这样一个1＋1维理论中，我们将时空取成一个Riemann曲面并且由此可以得到很多新的结果。例如，研究一个给定亏格数的Riemann曲面的模空间是个可以追溯到上个世纪的古典课题。而由量子场论已经得到了很多关于这些模空间的上同调的新结果。另一个非常类似的模空间是一个具有亏格数g的Riemann曲面上的平坦G-丛的模空间。这些空间都是非常有趣的并且量子场论给出关于它们的一些精确结果。特别地，可以得到一些关于体积的很漂亮的公式，这其中涉及到Zeta函数的取值。

Riemann Surface

另一个应用与计数曲线(counting curve)有关。如果我们来看给定次数和类型的平面代数曲线，我们想要知道的是，例如，经过那么多点究竟有多少曲线，这样我们就要面临代数几何的计数问题，这些问题在上个世纪一直是很经典的。而且也是非常困难的。现在它们已经通过被称为“量子上同调”的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得到的。或者我们也可以接触那些关于不在平面上而在弯曲族上的曲线的更加困难的问题，这样我们得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，所有这些都产生于1＋1维量子场论。

如果我们升高一个维数，也就是2-维空间和1-维时间，就可以得到Vaughan-Jones的扭结不变量理论．这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析。

量子场论另一个结果是所谓的“量子群”。现在关于量子群的最好的东西是它们的名字．明确地讲它们不是群！如果有人要问我一个量子群的定义，我也许需要用半个小时来解释，它们是复杂的事物，但毫无疑问它们与量子理论有着很深的联系它们源于物理，而且现在的应用者是那些脚踏实地的代数学家们，他们实际上用它们进行确定的计算。

如果我们将维数升得更高一些，到一个全四维理论（三加一维），这就是Donaldson的四维流形理论，在这里量子场论产生了重大影响．特别地，这还导致Seiberg和Witten建立了他们相应的理论，该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果。所有这些都是些突出的例子．其实还有更多的例子。

接下来是弦理论并且这已经是过时的了！我们现在所谈论的是M一理论，这是一个内容丰富的理论，其中同样有大量的数学，从关于它的研究中得到的结果仍有待于进一步消化并且足可以让数学家们忙上相当长的时间。

M Theory

历史的总结

我现在作一个简短的总结。让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是与Euler和Gauss这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发现和发展的。有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常富有成果，这也是我一直在谈论的。

二十世纪大致可以一分为二地分成两部分。我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门化的时代”，这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终。正如我说到过的，Bourbaki的名字是与这种趋势联系在一起的．在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其它系统能获得什么。二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面。

Bourbaki Seminar

二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大家喜欢，可称为是无穷维数学的时代。这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里，“恰当地理解”，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明。

有人要说，如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问题，通常来讲，只能得到错误的答案或者答案是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的答案时作一些非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情。我们必须沿着这条正确的道路走下去。我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有了，只不过还有很长的路要走。

还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下Connes的非交换微分几何．Alain Connes拥有这个相当宏伟的统一理论．同样，它融合了一切．它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分。这是一个框架性理论，它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系。要求这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有（潜力巨大的或者特别的）应用。一个与物理有趣的联系也刚刚被发现。这个理论能够走多远，能够得到什么结果，还有待进一步观察．它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年能够得到显著发展的课题，而且找到它与尚不成熟的（精确）量子场论之间的联系是完全有可能的。

我们转到另一个方面，也就是所谓的“算术几何”或者是Arakelov几何，其试图尽可能多地将代数几何和数论的部分内容统一起来。这是一个非常成功的理论。它已经有了一个美好的开端，但仍有很长的路要走．这又有谁知道呢？

当然，所有这些都有一些共同点。我期待物理学能够将它的影响遍及所有地方，甚至是数论：Andrew Wiles不同意我这样说，只有时间会说明一切。

这些是我所能看到的在下个十年里出现的几个方面，但也有一些难以捉摸的东西：返回至低维几何．与所有无穷维的富有想象的事物在一起，低维几何的处境有些尴尬。从很多方面来看，我们开始时讨论的维数，或我们祖先开始时的维数，仍留下某些未解之谜。维数为2，3和4的对象被我们称为“低”维的．例如Thurston在三维几何的工作，目标就是能够给出一个三维流形上的几何分类，这比二维理论要深刻得多．Thurston纲领还远远没有完成，完成这个纲领当然将是一个重要的挑战。

在三维中另外一个引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本质上来源于物理的工作。这给了我们更多的关于三维的信息，并且它们几乎完全不在Thurston纲领包含的信息之内。如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战，但是最近得到的结果暗示两者之间可能有一座桥，因此，整个低维的领域都与物理有关，但是其中实在有太多让人琢磨不透的东西。

最后，我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”。这些对偶，泛泛地来讲，产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现。一个简单的例子是经典力学中的位置和动量的对偶。这样由对偶空间代替了原空间，并且在线性理论中，对偶就是Fourier变换．但是在非线性理论中，如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一。数学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关．物理学家看起来能够在他们的弦理论和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点。他们构造了一个又一个令人叹为观止的对偶实例，在某种广义的意义下，它们是Fourier变换的无穷维非线性体现，并且看起来它们能解决问题，然而理解这些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一。

我想我就谈到这里。这里还有大量的工作，并且我觉得象我这样的一个老人可以和你们这么多的年轻人谈谈是一件非常好的事情；而且我也可以对你们说：在下个世纪，有大量的工作在等着你们去完成。

来源：《数学译林》2002年第2期

Mathematics

复动力系统创始人之一—数学家 Gaston Julia

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生平简介

Gaston Maurice Julia（1893年2月3日－1978年3月19日）出生于法属阿尔及利亚的Sidi Bel Abbes。他自幼展现出对数学和音乐的浓厚兴趣，后进入巴黎高等师范学院（École Normale Supérieure）和巴黎大学深造。第一次世界大战期间，21岁的Julia应征入伍，并在战斗中遭受重伤，失去了鼻子，此后终生佩戴皮革面罩遮盖伤处。战后他重返学术生涯，成为法国数学界的核心人物，晚年于巴黎逝世。

数学贡献

Julia集与分形理论

Julia最著名的贡献是提出了Julia集的概念。1918年，25岁的 Julia 发表了199页的里程碑论文《有理函数迭代备忘录》（Mémoire sur l’itération des fonctions rationnelles），系统研究了复平面上有理函数的迭代行为，奠定了全纯动力系统理论的基础。这一成果为他赢得了法国科学院大奖（Grand Prix des Sciences Mathématiques）。 尽管他的工作一度被遗忘，直到20世纪70年代，Benoit Mandelbrot在研究分形时重新发掘并推广了Julia的理论，使Julia集与Mandelbrot集成为分形几何的核心内容。

学术影响与遗产

Gaston Julia 与 Pierre Fatou 共同开创了复动力系统的现代理论。他的研究涉及复分析、几何学、量子理论数学基础等领域，出版30部著作，如《Eléments de géométrie infinitésimale》（1927）和《Cours de Cinématique》（1928），他还培养了Claude Chevalley等著名数学家。《Oeuvres》（6卷，1968–1970）收录其全部研究成果，《Traité de Théorie de Fonctions》（1953）是函数论经典教材。

个人生活与家族

Julia的儿子Marc Julia是著名有机化学家，发明了“Julia烯烃化反应”。尽管身体残疾，Julia始终活跃于学术前沿，其坚韧与才华使他成为20世纪数学史上的标志性人物。

荣誉与纪念

二战后他继续任教于巴黎大学和巴黎综合理工学院，1934年当选法国科学院院士，1950年任院长。 1970年代，Mandelbrot 通过计算机可视化复兴了Julia的工作，使其理论在分形几何中重获关注。Julia 的成就通过分形理论的普及被广泛认可，其名字永久关联于数学中美丽的 Julia 集图形。他的多部著作被收录于《数学科学史百科全书》，而 MacTutor 数学史档案等资源持续记录他的学术遗产。

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詹姆斯·梅纳德：解析数论领域的菲尔兹奖得主

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早年教育与学术背景

詹姆斯·亚历山大·梅纳德（James Alexander Maynard）于1987年6月11日出生于英国埃塞克斯郡的切尔姆斯福德。他在剑桥大学皇后学院获得数学学士和硕士学位（2005–2009），随后进入牛津大学贝利奥尔学院攻读博士学位，师从著名数论学家罗杰·希斯-布朗（Roger Heath-Brown），并于2013年完成博士论文《解析数论专题》。

学术成就与突破性贡献

梅纳德的研究聚焦于解析数论，尤其是素数分布、素数间隙和丢番图逼近等领域。他的突破性工作包括：

  1. 素数间隙理论：2013年，他独立改进了张益唐关于有界素数间隙的证明，将间隙上限从7000万大幅降至600，并证明了对任意整数𝑚，存在无限多个长度有限的区间包含至少𝑚个素数。这一成果推动了“Polymath8b”合作项目，最终将间隙缩小到246（假设广义埃利奥特-哈尔伯斯坦猜想下可降至6）。
  1. 埃尔德什猜想：2014年，他解决了保罗·埃尔德什提出的关于素数大间隙的猜想，获得该猜想史上最高奖金1万美元。
  1. 达芬-谢弗猜想：2019年与库库洛普洛斯合作，彻底证明了这一困扰数学家80年的度量数论难题，揭示了无理数逼近的深层规律。

荣誉与奖项

梅纳德的贡献为他赢得了多项国际顶级奖项：菲尔兹奖（2022年）：表彰其在素数结构与丢番图逼近上的革命性工作。 SASTRA拉马努金奖（2014年）：授予在数论领域展现卓越创造力的年轻数学家。 怀特黑德奖（2015年）、EMS奖（2016年）等。2023年，他当选为英国皇家学会院士（FRS），并获“数学新视野奖”。

素数小间距的研究综述

一、背景与历史脉络

素数间距问题长期以来是数论研究的核心课题之一。经典猜想如孪生素数猜想（存在无限对相差2的素数）至今未解。2013年，张益唐里程碑式地证明了存在无限对素数间距小于7000万，首次突破了有限间距的界限。这一成果激发了Polymath项目的后续优化，将界限降至246。而James Maynard在2014年独立提出了一种改进的GPY筛法，将最小间距进一步压缩至600，并在假设Elliott-Halberstam猜想下可达12。这些工作共同构成了现代素数间隙研究的突破性进展。

二、核心问题与工具

关键问题：对于任意整数 m \geq 1，是否存在无限多个素数对(p_n, p_{n+m}) 满足 p_{n+m} - p_n \leq C(m) ，其中C(m) 为仅依赖 m的常数？

方法论基础：

  1. GPY筛法：Goldston-Pintz-Yıldırım (2005) 通过高维Selberg筛法，结合素数在算术级数中的分布（Bombieri-Vinogradov定理），首次证明 \liminf_{n} (p_{n+1} - p_n) / \log p_n = 0。
  1. 可容许集（Admissible Sets）：集合 \mathcal{H} = \{h_1, \ldots, h_k\} 若对所有素数 p，存在同余类避开所有 h_i \mod p，则称为可容许的。素数 k-元组猜想断言此类集合对应无限多 n 使 n + h_i 全为素数。
  1. 水平分布（Level of Distribution）：若对任意 A > 0，素数在模 q \leq N^\theta 算术级数中均匀分布（误差可控），则称素数具有水平 \theta。Bombieri-Vinogradov定理给出 \theta < 1/2，而Elliott-Halberstam猜想断言 \theta < 1。

三、Maynard的突破性改进

Maynard的核心创新在于对GPY权重的重构：

  1. 广义权重设计：传统GPY方法采用形如 \lambda_{d_1,\ldots,d_k} = \prod_{i=1}^k \mu(d_i) (\log R/d_i)^k 的权重，Maynard引入更灵活的多元函数： \lambda_{d_1,\ldots,d_k} = \left( \prod_{i=1}^k \mu(d_i) d_i \right) \sum_{\substack{r_i \\ d_i \mid r_i}} \frac{\mu(\prod r_i)^2}{\prod \varphi(r_i)} F\left( \frac{\log r_1}{\log R}, \ldots, \frac{\log r_k}{\log R} \right)， 其中 F 为光滑函数，支撑在 \sum x_i \leq 1 上。这种形式允许权重对各除数 d_i 独立调控。
  1. 筛法优化：通过选择对称多项式或指数型函数 F，Maynard证明：无条件结果：\liminf (p_{n+1} - p_n) \leq 600。假设Elliott-Halberstam猜想时，间距可降至12。对 m-元组，存在 \ll m^3 e^{4m} 的普适界。
  1. 关键命题：通过计算“主项比” M_k = \sup_F \frac{\sum J_k^{(m)}(F)}{I_k(F)}，其中：I_k(F) 为 F 的L^2-范数，J_k^{(m)}(F) 反映 F 在剔除第 m 维后的投影。当 k = 5 时 M_5 > 2，k=105 时 M_{105} > 4，从而保证多素数对的存在性。

四、技术难点与创新

  1. 高维积分估计：Maynard通过对称多项式展开（如幂和 P_1 = \sum t_i、P_2 = \sum t_i^2）将 I_k(F) 和 J_k^{(m)}(F) 转化为矩阵特征值问题，借助凸优化理论求解极值。
  1. 误差控制：通过限制小素数因子（W = \prod_{p \leq D_0} p）和精细的余项分析，确保主项主导。
  1. 平滑函数选择：对大规模 k，采用 F(t_1, \ldots, t_k) = g(\sum t_i) 形式，利用中心极限现象简化积分估计，证明M_k \sim \log k。

素数大间距的研究综述

素数间距问题一直是数论研究的核心课题之一，特别是关于素数间最大间距的研究吸引了众多数学家的关注。本文整合了Ford、Green、Konyagin、Maynard和Tao等人在”Large Gaps between primes”和”Long gaps between primes”两篇重要论文中的工作，系统介绍素数大间距问题的发展历史和整体研究思路。

一、研究背景与历史发展

素数间距问题源于对素数分布规律的探索。记 p_{n} 为第n个素数，定义G(X)为不超过X的连续素数之间的最大间距：G(X) = \max_{p_{n+1} \leq X} (p_{n+1} - p_n)

根据素数定理，素数平均间距约为log X，因此早期研究关注G(X)与log X的关系。注意，这里的log_{n}X = log\circ log\circ \cdots \circ \log(X)的意思。

重要历史节点：

  1. Westzynthius (1931)：首次证明 G(X)/log X→∞，即存在任意大的相对间距，并给出定量下界： G(X) \gg (log X log_{3}X)/log_{4} X。
  1. Erdős (1935)：改进下界至： G(X) \gg (log X log_{2} X)/(log_{3}X)^{2}。
  1. Rankin (1938)：进一步改进，引入关键常数c： G(X) \geq (c+o(1))(log X log_{2}X log_{4}X)/(log_{3} X)^{2} 初始c=1/3，后续研究主要集中于提高c值。
  1. Ford-Green-Konyagin-Maynard-Tao (2014)：突破性证明c可任意大，解决了Erdős长期悬赏的问题：G(X) \gg (log X log_{2} X log_{4}X)/log_{3}X。

二、研究方法与核心思路

1. Erdős-Rankin构造方法

基本思路是通过选择适当的同余类 a_p(\mod p) 覆盖区间 [1,Y]，使得Y+1,Y+2,...,Y+m 都是合数，从而在 Y附近创造长度为m的素数间距。关键步骤：将素数分为”小素数”和”大素数”分别处理，使用中国剩余定理构造覆盖模式，通过渐进分析优化Y的长度。

2. 超图覆盖定理的推广

论文的核心创新在于推广了Pippenger-Spencer超图覆盖定理，使其适用于边基数可变的情况。这一组合工具允许更灵活地处理素数的分布：

定理：给定超图 (V,E) 和随机边集 {e_i}，若满足：边基数有界：\#e_i\leq r，顶点度条件：\mathcal{P}(v\in e_{i}) \approx d/\#E ，相关性控制：边集间依赖性弱，则可高效覆盖大部分顶点，这一工具为构造大间距提供了关键技术支持。

3. 多维筛法与小间距结果的结合

研究借鉴了Goldston-Pintz-Yıldırım和Maynard关于小间距素数的工作，特别是：使用高维筛法控制素数分布，引入平滑权重函数处理几乎素数，结合Maier矩阵方法处理素数链。

三、主要结果与贡献

大间距下界：证明了对于充分大的X，有：

G(X)\gg \frac{\log X \log_2 X \log_4 X}{\log_3 X}，其中隐含常数是有效且可计算的。这一结果显著改进了Rankin的经典下界。他发展了随机覆盖技术处理可变的同余条件，将素数k元组猜想与间距问题联系起来，建立了筛法理论与组合覆盖之间的新联系。该工作引发了系列后续研究：证明存在包含完美 k 次方的大间距(Maier-Rassias)，研究归一化间距的极限点分布(Baker-Freiberg)，建立大间距链的结果(Ford-Maynard-Tao)。

四、研究意义与展望

这些工作代表了素数分布研究的重大进展，其意义在于：

  1. 理论层面：突破了Erdős-Rankin方法的固有局限，将组合工具与解析数论深度结合。
  1. 技术层面：发展的超图覆盖方法具有独立性趣，可应用于其他组合问题。
  1. 展望：虽然当前结果接近方法的最佳可能，但距离Cramér猜想(G(X)\sim (logX)^2)仍有差距，需要全新的思路。未来可能在以下方向突破：结合更精细的分布模型，发展处理高相关性筛法问题的新工具，探索素数分布与随机矩阵等领域的联系。

总之，素数大间距研究展示了现代数论中不同领域方法的交叉融合，其发展历程也体现了数学问题从特殊到一般、从定性到定量的典型演化路径。

未解决的猜想

在 《Gaps in Prime Numbers》 这篇论文中，James Maynard 详细介绍了以下的 Open Question 和当前进展。

1. 孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）

内容：存在无限多对相差恰好为2的素数（即形如(p, p+2)的素数对）。现状：尽管定理2（Zhang等）证明存在无限多对素数间隔不超过246，但猜想中“严格等于2”的结论仍未解决。该猜想是更广泛的素数k元组猜想的特例。

2. Cramér猜想（弱形式）

内容：对于第 n个素数p_n，最大素数间隔满足：\sup_{p_n \leq X} (p_{n+1} - p_n) = (\log X)^{2+o(1)}。

现状：定理3（Ford-Green-Konyagin-Tao-Maynard）给出了下界，但上界与Cramér猜想的预测仍有显著差距。目前已知的最大间隔下界为：\geq c \frac{\log X \cdot \log\log X \cdot \log\log\log\log X}{\log\log\log X}.

3. 素数k元组猜想（Prime k-tuple Conjecture）

内容：给定满足特定条件的k个线性函数L_i(n) = a_i n + b_i，存在无限多整数n使得所有L_i(n)同时为素数。现状：定理1（Maynard-Tao）证明了弱形式，即存在无限多n使得至少c \log k个 L_i(n)为素数，但“所有函数同时为素数”的完整猜想仍远未解决。该猜想是许多素数分布问题的核心。

4. 广义Elliott-Halberstam猜想

内容：将素数在算术级数中的分布控制推广到更大模数范围（如模数R^2 < X^{1-\epsilon}）。现状：定理6表明，若该猜想成立，则素数最小间隔可降至6。但猜想本身未被证明，且是突破现有方法（如定理2中246的上界）的关键障碍。

5. 素数间隔的极限与方法的局限性

小间隔问题：基于筛法的“奇偶现象”限制了进一步改进，无法证明超过k/2个线性函数同时为素数。定理6指出，即使假设广义Elliott-Halberstam猜想，最小间隔下界仍无法低于6。大间隔问题：现有方法依赖于构造连续合数序列，其长度受限于最小素因子的分布。Maier-Pomerance猜想认为最大连续合数序列长度应为：\log X \cdot (\log\log X)^{2+o(1)})，但当前结果（定理3）尚未达到这一预测。

学术生涯与影响

梅纳德现任牛津大学数论教授（2018年起），并任圣约翰学院超员研究员。他的研究结合筛法、组合数学与代数工具，持续推动素数理论的边界，例如证明无限多素数缺失某一十进制数字（2016年），以及改进无平方差集的定量估计（2020年）。其论文被引用超988次（截至2025年），h指数15，彰显其学术影响力。 梅纳德与医生伴侣埃莉诺·格兰特（Eleanor Grant）育有一子。他积极参与公众科普，曾接受Numberphile等平台访谈，讲解孪生素数猜想和菲尔兹奖背后的故事。 梅纳德延续了哈代-拉马努金等英国数论学派的传统，同时以创新方法解决经典问题。他近年致力于大模数算术级数中的素数分布（2025年系列论文）及狄利克雷多项式估计，未来或进一步揭示素数与数论函数的深层联系。 梅纳德的职业生涯体现了理论数学的纯粹性与应用潜力，其工作不仅夯实了数论基础，也为年轻学者树立了“用简单工具解决复杂问题”的典范。

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数学家柯尔莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov）

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问题：他到底是一个人，还是一个研究所？

从数学家们的评价来看，柯尔莫哥洛夫的研究广度和深度远超单个学者的极限。他不仅独自建立了概率论、算法复杂性、湍流理论等多个领域的数学基础，还培养了一代顶尖学者。因此，他既是天才的个人，也是一个“行走的数学研究所”——他的影响力至今仍在塑造现代数学和科学。在1963年，美国统计学家沃尔夫·维茨惊叹：“我想知道，柯尔莫戈洛夫到底是一个人呢，还是一个研究机构？”

个人经历

安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫（Andrei Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）是20世纪最伟大的数学家之一，被誉为“数学的巨人”。他出生于俄罗斯坦波夫，母亲在分娩时去世，父亲因参与革命活动被流放并在1919年内战中去世。柯尔莫哥洛夫由母亲的姐姐维拉·雅科夫列夫娜抚养长大，并在雅罗斯拉夫尔附近的家族庄园中度过童年。他自幼展现出非凡的数学天赋，5岁时就独立发现了奇数求和与平方数的关系（1=1²，1+3=2²等），并在家庭自办的杂志《春燕》中发表数学问题。

柯尔莫哥洛夫早年兴趣广泛，涉猎生物学、历史、文学和音乐。1920年进入莫斯科国立大学后，他师从著名数学家尼古拉·卢津（Nikolai Luzin），并在本科期间就发表了关于傅里叶级数发散性的突破性成果（1922年）。1925年毕业后，他与亚历山大·辛钦（Aleksandr Khinchin）合作研究概率论，开启了其辉煌的学术生涯。1931年，他成为莫斯科大学教授，并与好友帕维尔·亚历山德罗夫（Pavel Alexandrov）共同建立了深厚的学术与个人友谊。

柯尔莫哥洛夫最著名的贡献是1933年出版的《概率论基础》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），其中提出了概率论的公理化体系，彻底解决了希尔伯特第六问题中“物理学的公理化”部分。他还创立了KAM理论（与Arnold和Moser合作）、柯尔莫哥洛夫复杂性理论，并在湍流理论、拓扑学、信息论等领域作出开创性工作。尽管在斯大林时期面临政治压力，他仍获得斯大林奖（1941年）和列宁勋章等荣誉。

柯尔莫哥洛夫终身致力于教育，创办了莫斯科物理数学寄宿学校（后以他命名），并亲自编写教材。他晚年研究算法信息论，提出“概率论应基于信息论而非相反”的颠覆性观点。1987年因帕金森病逝世于莫斯科，其思想至今仍深刻影响着数学与科学领域。

数学成就

柯尔莫哥洛夫是20世纪最具影响力的数学家之一，他的研究横跨多个数学领域，包括概率论、拓扑学、信息论、算法复杂性、动力系统、流体力学等。他的工作不仅奠定了现代数学的多个分支，而且对物理学、计算机科学和统计学产生了深远影响。以下是他在不同领域的重大贡献：

1. 概率论的公理化（1933）

柯尔莫哥洛夫最著名的贡献是1933年出版的《概率论基础》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），其中他基于测度论建立了概率论的公理化体系。这一工作解决了希尔伯特第六问题（“物理学的公理化”）的一部分，并彻底改变了概率论的研究方式。 柯尔莫哥洛夫公理：他定义了概率空间(\Omega, \mathcal{F}, P)，其中：\Omega 是样本空间，\mathcal{F} 是事件，\sigma -代数，P 是概率测度这些公理至今仍是概率论的标准框架。条件期望：他严格定义了条件期望，使其成为现代概率论的核心工具。零一律（Kolmogorov’s Zero-One Law）：证明某些极限事件的概率只能是0或1，这对随机过程的研究至关重要。

2. 随机过程与马尔可夫链

柯尔莫哥洛夫在随机过程领域做出了奠基性工作：柯尔莫哥洛夫方程（Chapman-Kolmogorov方程）：描述马尔可夫过程的转移概率演化，是随机过程理论的核心工具。扩散过程：他研究了连续时间随机过程的微分方程，为现代金融数学和物理学中的随机微分方程（SDE）奠定了基础。大数定律的推广：他给出了独立随机变量序列满足强大数定律的充要条件。

3. 算法信息论与柯尔莫哥洛夫复杂性（1960s）

柯尔莫哥洛夫在1960年代提出了算法复杂性的概念，后来被称为柯尔莫哥洛夫复杂性（Kolmogorov Complexity），这是信息论和计算理论的重要突破：定义：一个字符串的柯尔莫哥洛夫复杂性是最短程序（在某种通用计算机上）能生成该字符串的长度。随机性：如果一个字符串的柯尔莫哥洛夫复杂性接近其自身长度，则该字符串是“随机”的。影响：这一理论影响了数据压缩、密码学、机器学习等领域，并与所罗门诺夫（Solomonoff）和柴廷（Chaitin）的工作共同构成了算法信息论的基础。

4. 湍流理论与Kolmogorov-Obukhov定律（1941）

柯尔莫哥洛夫在流体力学中提出了湍流能谱的标度律（Kolmogorov-Obukhov定律）：-5/3定律：在惯性子区，湍流能量谱

E(k) \propto k^{-5/3}，

这一理论至今仍是湍流研究的基础。Kolmogorov尺度：定义了湍流的最小尺度（Kolmogorov微尺度），影响气象学、海洋学和工程学。

5. 拓扑学与同调论（1930s）

柯尔莫哥洛夫在代数拓扑领域也有重要贡献：上同调环（Cohomology Ring）：与亚历山大（J.W. Alexander）独立发现，是现代代数拓扑的核心工具。Kolmogorov空间（T_0空间）：定义了最弱的分离公理，影响了一般拓扑学的发展。维数理论：他研究了拓扑空间的维数，并构造了开映射增加维数的反例，挑战了当时对维数的直观理解。

6. 动力系统与KAM理论（1954）

柯尔莫哥洛夫在哈密顿系统的研究中提出了KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser理论）：稳定性问题证明在微扰下，某些可积系统的不变环面仍然存在，解决了太阳系稳定性等经典力学问题。KAM理论为混沌动力学奠定了基础，影响天体力学和统计物理。

7. 统计学与柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验（1933）

柯尔莫哥洛夫在数理统计中提出了柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验（K-S检验）：非参数检验用于判断样本是否来自某一特定分布，广泛应用于数据分析，他的工作推动了非参数统计的发展。

8. 信息论与熵（1950s）

柯尔莫哥洛夫与辛钦（Khinchin）和香农（Shannon）共同推动了信息论的发展：柯尔莫哥洛夫熵用于度量动力系统的混沌程度，影响遍历理论和复杂性科学。信息几何他的工作为信息几何（Information Geometry）提供了数学基础。

KAM 理论

KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser理论）是动力系统理论中关于哈密顿系统稳定性的重要成果，由三位数学家Kolmogorov（1954）、Arnold（1960年代）和Moser（1960年代）逐步完善。该理论起源于对经典力学中可积系统受扰动后行为的研究，旨在解决“小分母问题”和长期稳定性难题。其核心结论是：在满足非退化性条件（如Hessian矩阵非奇异）和Diophantine频率条件（频率向量满足无理比例且难以被有理数逼近）的前提下，弱扰动下多数不变环面（KAM环面）会以微小形变的形式保留，而非完全破坏。

由来与历史背景

经典问题：Poincaré在研究三体问题时发现，可积系统的扰动可能导致共振和轨道不稳定，但严格证明长期稳定性极为困难。Kolmogorov突破（1954）：提出不变环面在扰动下持续存在的思想，并引入牛顿迭代法解决收敛性问题。Arnold与Moser的推广：Arnold将理论扩展到多自由度哈密顿系统，Moser则放宽了光滑性要求，适用于有限次可微系统（如C^3类）。

核心内容

  1. 非退化条件：要求未扰动系统的频率随作用量变化（如\det(\partial^2 H_0/\partial I_i \partial I_j) \neq 0，确保系统非线性。
  1. 频率条件：频率比需满足|\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\omega}| > \gamma |\mathbf{k}|^{-\tau}（\mathbf{k} \in \mathbb{Z}^n \setminus \{0\}, \tau > n-1），排除共振。
  1. 结论：扰动后，多数环面（测度趋近于全集）保持拟周期运动，其余部分形成“随机层”或混沌带。

应用场景包括但不限于天体力学（解释太阳系长期稳定性（如木星轨道的KAM环面阻止混沌扩散））、等离子体物理（约束磁场中粒子运动的环面结构）、非线性动力学（研究标准映射（Standard Map）中规则岛与混沌区的分界）、统计力学（反驳“遍历性普遍成立”的假设，证明弱耦合多振子系统可能存在能非均分）。

局限性

  1. 小扰动限制：仅适用于\epsilon \ll 1，实际物理系统可能超出此范围。
  1. 高维扩散：在自由度n \geq 3时，Arnold扩散表明非KAM环面区域可能存在缓慢混沌输运。
  1. 非光滑系统：Moser版本虽放宽条件，但仍需一定光滑性，不适用于不连续扰动（如碰撞系统）。

KAM理论揭示了规则运动与混沌的微妙共存，成为连接可积系统与遍历理论的桥梁，其思想也被拓展至非哈密顿系统（如保体积映射）和无限维系统（如某些偏微分方程）。

其他数学家的评价

要想赢得足球名宿的认可，难度堪比在世界杯决赛加时赛中完成一记倒挂金钩破门——这些见多识广的老江湖见识过马拉多纳的连过五人、齐达内的天外飞仙，他们的标准早已被传奇拔高到云层之上。就像贝肯鲍尔不会轻易称赞后卫的铲断，克鲁伊夫很少夸奖前锋的跑位，除非你的表现能让他们想起自己当年的神迹，或是展现出超越时代的灵光。毕竟，这些亲手书写过足球历史的人，眼光里永远带着黄金年代的滤镜。要想赢得菲尔兹奖或沃尔夫奖得主的赞许，难度堪比在数学的宇宙中徒手构造一个非交换的完美晶体——这些思维已触及人类智力巅峰的巨人，见识过格罗滕迪克的概形之海，领略过外尔的对称性之舞，他们的标准早已被黎曼、庞加莱等传奇铸就成了不可撼动的丰碑。就像塞尔不会轻易称赞一个同调论的构造，陶哲轩很少夸奖某个解析数论的技巧，除非你的工作能让他们想起高斯式的思想飞跃。毕竟，这些亲手拓展过数学边界的人，评判时总带着对”数学之美”近乎苛刻的直觉——那是唯有在代数与几何的深渊中潜游过千百回的灵魂才能拥有的嗅觉。下面，我们来看一下其他数学家对柯尔莫哥洛夫的评价。

P. S. Aleksandrov（帕维尔·亚历山德罗夫）亚历山德罗夫称柯尔莫哥洛夫为“数学王子”，强调其思想的广度和深度在同时代数学家中无与伦比。他指出柯尔莫哥洛夫的研究覆盖了从概率论到拓扑学等二十多个数学领域，且在每个领域都带来了根本性的革新（《The Life and Work of Kolmogorov》）。在柯尔莫哥洛夫50岁生日时，亚历山德罗夫还提到：“他的任何一篇论文都能引发对整个领域的重新评估。”

A. Ya. Khinchin（亚历山大·辛钦）辛钦认为柯尔莫哥洛夫具有罕见的才能，能将高度抽象的数学与实际问题结合。他特别指出：“柯尔莫哥洛夫最引人注目的特质是其思想的丰富性——他关于任何工作的每一句话都可能成为一篇博士论文的基础。”（《The Life and Work of Kolmogorov》）。

I. M. Gelfand（伊斯雷尔·盖尔范德）盖尔范德评价道：“数学被视为一门统一学科，很大程度上归功于柯尔莫哥洛夫。”他强调了柯尔莫哥洛夫在整合数学不同分支中的核心作用（《The Life and Work of Kolmogorov》）。

V. I. Arnold（弗拉基米尔·阿诺尔德） 阿诺尔德将柯尔莫哥洛夫与庞加莱、高斯、欧拉和牛顿并列，称“仅需五代人（柯尔莫哥洛夫-庞加莱-高斯-欧拉-牛顿）就能将我们与科学的源头连接起来”。他还提到柯尔莫哥洛夫对莫斯科大学数学系的深远影响，称其与佩特罗夫斯基共同塑造了该系的黄金时代（《A few words on Andrei Nikolaevich Kolmogorov》）。

N. H. Bingham 指出，柯尔莫哥洛夫1933年的《概率论基础》为概率论的公理化奠定了基础，解决了希尔伯特第六问题中关于概率论公理化的部分，甚至影响了保罗·莱维等学者（《Andrey Kolmogorov – MacTutor History of Mathematics》）。

Benoit Mandelbrot 在湍流研究中引用柯尔莫哥洛夫1941年的理论，认为其开创性地解释了能量级联现象，尽管后续发现需通过分形理论修正“间歇性”问题（《Fractals: A Very Short Introduction》）。

柯尔莫哥洛夫被广泛视为20世纪最具原创性和影响力的数学家之一，其工作不仅重塑了多个数学领域，还通过教育和跨学科研究留下了持久遗产。笔者貌似找到一个 Andrei Kolmogorov 不研究的领域，那就是数论（Number Theory）。

总结

柯尔莫哥洛夫的数学贡献几乎覆盖了现代数学的所有核心领域，他的工作不仅推动了理论发展，还在物理学、计算机科学、金融学、气象学等应用学科中产生了深远影响。他的思想至今仍是数学研究的重要源泉，被誉为“20世纪最伟大的数学家之一”。

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SRE 与 AI SRE Agent

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SRE

站点可靠性工程（Site Reliability Engineering，SRE）是由Google提出的一种将软件工程方法应用于运维问题的实践框架，旨在通过自动化、数据驱动和工程化手段提升系统的可靠性与效率。其核心思想是将传统运维任务转化为可编程、可扩展的软件问题，从而实现对大规模分布式系统的高效管理。

以下是SRE的核心概念和岗位职责：

SRE的定义与原则

  1. 工程化运维：SRE强调通过编写代码而非手动操作解决运维问题，例如自动化部署、监控和故障恢复。例如，Google的SRE团队通过自动化工具将重复性任务（如服务扩容）的耗时从小时级降至分钟级。
  1. 服务等级目标（SLO）驱动：SRE通过定义明确的SLO（如99.9%可用性）和错误预算（Error Budget）来平衡新功能开发与系统稳定性。当错误预算耗尽时，团队需优先修复可靠性问题而非发布新功能。
  1. 减少琐碎工作（Toil Elimination）：SRE要求将工程师的重复性操作（如手动扩缩容）控制在50%以下，剩余时间投入长期项目（如架构优化）。例如，Google通过自动化将告警处理时间缩短了90%。
  1. 拥抱风险与快速迭代：SRE鼓励通过小规模、高频次的变更降低故障影响，结合灰度发布（Canary）和自动化回滚机制。

SRE的岗位职责

  1. 系统可靠性保障：设计并维护监控告警系统，确保及时响应故障。 制定灾难恢复计划，定期进行故障演练（如“Wheel of Misfortune”模拟故障场景）。
  1. 自动化与工具开发：开发工具替代人工操作，例如自动化部署流水线或自愈脚本。 案例：Google SRE团队通过自动化将数据库故障恢复时间从数小时缩短至分钟级。
  1. 性能优化与容量规划：分析系统瓶颈，优化资源利用率（如通过负载均衡减少冗余资源）。 预测流量增长并提前扩容，避免服务过载。
  1. 跨团队协作：与开发团队共同设计高可用架构，推动“生产就绪”标准（如混沌工程测试）。 通过标准化工具链（如统一监控平台）降低协作成本。
  1. 文化倡导：推行无责（Blameless）文化，通过事后复盘（Postmortem）系统性改进。 培训开发团队掌握基础运维技能，促进所有权共享（Shared Ownership）。

SRE通过工程化手段将运维转化为可扩展、可持续的实践，同时平衡创新与稳定性，是现代云原生系统可靠运行的关键角色。，它与传统运维的区别包括：

  • 主动性：SRE通过预防性工程（如自动化测试）减少故障，而非被动响应。
  • 技术深度：SRE需具备软件开发能力，例如用Go/Python编写运维工具。
  • 目标对齐：SRE与产品团队共享错误预算，确保业务目标与技术决策一致。

AI SRE Agent

随着数字化转型的加速和云原生技术的普及，现代系统的复杂性和规模呈指数级增长，传统SRE（站点可靠性工程）模式正面临巨大挑战。人工运维团队需要同时处理海量监控数据、多维度故障根因分析以及跨云环境的动态编排，这种高度依赖人工经验的响应方式已难以满足业务对”始终在线”的苛刻要求。在此背景下，AI SRE Agent的引入成为必然——它通过机器学习实时解析TB级日志和指标数据，以概率推理定位潜在故障点；利用强化学习算法自动优化告警阈值和响应策略，将MTTR（平均修复时间）缩短90%以上；更通过数字孪生技术模拟千万级并发场景，提前预测容量瓶颈。这种智能体不仅继承了SRE”工程化运维”的核心思想，更以AI的持续进化能力重构了可靠性管理的范式，使系统具备从”人工治愈”到”自愈”的质变可能。

AI SRE Agent（人工智能站点可靠性工程代理）是一种基于人工智能技术的自动化运维工具，旨在通过AI能力提升云环境或软件基础设施的可靠性、运维效率及事件响应速度，以下是其核心特点与功能：

1. 核心定义与目标

AI SRE Agent结合大型语言模型（LLM）的推理能力和自动化工具，模拟人类站点可靠性工程师（SRE）的工作流程，实现从监控到故障修复的闭环管理。其主要目标包括：

  • 自动化根因分析（RCA）：快速诊断生产环境问题的根本原因，将传统需数小时的RCA缩短至分钟级。
  • 主动运维：通过持续学习资源状态和性能趋势，预测并预防潜在故障，而非被动响应。
  • 减轻工程师负担：减少重复性任务（如日志分析、告警处理），让团队专注于创新性工作。

2. 关键技术能力

  • 智能监控与告警处理：集成Azure Monitor、PagerDuty等工具，实时响应告警并自动触发调查流程，访问指标、日志和依赖关系以形成假设。
  • 自动化修复操作：在用户授权下执行修复动作，如扩展资源、重启应用、回滚部署等。例如，Azure SRE Agent支持对Azure Kubernetes服务（AKS）的Pod重启和版本回滚。
  • 安全与合规管理：持续审核资源是否符合安全实践（如TLS版本、托管身份启用），并自动修复漏洞。
  • 开发者协作闭环：生成包含详细诊断信息的GitHub Issue，帮助开发者修复代码并防止问题复发。

3. 与传统SRE的差异

  • 自主性与学习能力：AI代理通过知识图谱和多层级记忆管理积累系统上下文，逐步优化决策。例如，Cleric能通过历史事件推断Redis内存压力可能导致级联故障。
  • 多工具协同：支持与Kubernetes、Datadog、Slack等平台集成，调用API执行跨系统操作。
  • 实时性与规模：并行处理数千个信号，同时分析日志、指标和追踪数据，远超人工处理速度。

4. 典型应用场景

  • 云服务管理：如微软Azure SRE Agent专为Azure资源设计，提供每日健康报告和自动化缓解措施。
  • 混合环境优化：AgentSRE等方案支持跨多云和本地基础设施的统一监控与修复。
  • 金融与高可用系统：在银行等高风险场景中，AI代理通过预测性维护减少宕机损失。

5. 挑战与限制

  • 实时数据依赖：代理需持续获取最新系统状态，数据延迟可能导致误判。
  • 信任建立：初期需人类审核关键操作（如资金交易），逐步扩大自治范围。
  • 成本控制：大规模部署可能带来算力与存储开销，需平衡效率与资源消耗。

6. 未来方向

行业正从“辅助诊断”迈向“自主修复”，如Traversal等公司通过多代理协作将平均修复时间（MTTR）降低90%。同时，AI SRE框架逐渐扩展至安全、网络等领域，形成跨职能的智能运维生态。

SRE通过工程化重构了运维的底层逻辑，而AI SRE Agent进一步将其推向智能化与自动化。两者的结合不仅解决了规模与复杂度的瓶颈，更重新定义了可靠性管理的边界——从“稳定优先”到“预测自愈”，最终实现系统韧性的质变。AI SRE Agent代表了运维自动化向智能化演进的关键技术，通过AI驱动的决策与行动，显著提升系统可靠性并释放工程师生产力。

Mathematics

斯蒂芬·斯梅尔：从里约海滩到菲尔兹奖的数学传奇

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20 世纪最具影响力的数学家之一

斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale，1930年7月15日－）是20世纪最具影响力的数学家之一，以其在拓扑学、动力系统、经济学和计算理论等领域的开创性工作而闻名。他出生于美国密歇根州弗林特市的一个工程师家庭，从小展现出对数学的兴趣，但高中时期的学业表现并不突出。1948年，他进入密歇根大学学习物理，随后转向数学，并于1957年在拉乌尔·博特（Raoul Bott）的指导下获得博士学位，研究方向为微分拓扑。

Stephen Smale 的亲笔签名

斯梅尔的数学生涯充满了突破性贡献。1961年，他证明了五维及更高维度的庞加莱猜想（Poincaré Conjecture），这一成果震惊了数学界，并为他赢得了1966年的菲尔兹奖。他的证明方法引入了一系列拓扑方法和“h-配边定理”（h-cobordism theorem），这些工具成为微分拓扑领域的核心。他在动力系统领域的研究也极具影响力，特别是他构造的“马蹄映射”（Smale horseshoe），为混沌理论奠定了基础，并广泛应用于非线性动力学、气象学和生物数学等领域。

Smale 的学术成就

但是斯梅尔的学术生涯并非一帆风顺，他于1948年进入密歇根大学学习之后，他是一名不错的学生，被选入由鲍勃·索尔（Bob Thrall）教授的荣誉微积分课程，并取得了优异的A成绩。然而，在大学二年级和三年级期间，他的成绩平平，大多是B和C，甚至在核物理这门课上得了F。斯梅尔于1952年获得了理学学士学位。尽管成绩不佳，但凭借一些运气，他仍被密歇根大学数学系录取为研究生。然而，在研究生阶段的前几年，他的表现依然不佳，平均成绩仅为C。当系主任希尔德布兰特（Hildebrandt）威胁要将他开除时，他才开始更加认真地对待学业。最终，斯梅尔于1957年在拉乌尔·博特（Raoul Bott）的指导下获得博士学位，并开始在芝加哥大学担任讲师，由此开启了他的学术生涯。

Smale 的维基百科

在里约的沙滩上寻找马蹄映射

斯蒂芬·斯梅尔在1960年春天前往巴西里约热内卢的访问，成为他数学生涯中一段极具传奇色彩的经历。当时他获得了美国国家科学基金会（NSF）的资助，选择前往里约热内卢的纯粹与应用数学研究所（IMPA）进行学术交流。这段时期不仅孕育了他最重要的数学突破，也留下了”在里约海滩上完成伟大证明”的佳话。在里约工作期间，斯梅尔保持着独特的研究习惯，他常常带着笔记本来到著名的科帕卡巴纳海滩，在沙滩上思考数学问题。这种非传统的工作方式后来引发了一些争议，但也成为他创造性思维的象征。正是在这样的环境中，他同时完成了两项里程碑式的成果：动力系统中马蹄映射的发现和高维庞加莱猜想的证明。

Smale的文章

马蹄映射（Smale horseshoe）的发现是斯梅尔在里约期间最重要的贡献之一，这一发现彻底改变了人们对动力系统的理解。当时斯梅尔正在研究结构稳定性问题，受到同事Mauricio Peixoto的启发，他开始深入思考动力系统的长期行为。在里约海滩上的思考中，他构造出一个简单而深刻的几何模型——马蹄映射，这个模型展示了一个确定性系统如何产生看似随机的行为。马蹄映射的核心思想是通过拉伸、折叠的几何变换，展现出动力系统中对初始条件的敏感依赖性，这后来成为混沌理论的基石之一。这一发现不仅为混沌现象提供了严格的数学描述，也为后来的动力系统研究开辟了全新方向。

里约的海滩

在拓扑学领域，斯梅尔在里约期间完成了对高维庞加莱猜想的突破性证明。庞加莱猜想是拓扑学中最著名的未解决问题之一，其核心是探讨如何通过局部性质判断一个空间是否等同于球面。斯梅尔采用创新的微分拓扑方法，成功证明了该猜想在五维及更高维度上的正确性。他的证明引入了革命性的”斯梅尔手术”技术，通过系统地处理流形上的奇异点，最终建立了h-配边定理。这个定理不仅解决了庞加莱猜想的高维情形，还为流形的分类提供了强有力的工具。值得一提的是，斯梅尔在里约的证明过程极具个人特色，他常常在研究所和海滩之间往返，将深奥的拓扑思考与里约的自然环境奇妙地融合在一起。

而斯梅尔的数学觉醒始于他对庞加莱（Henri Poincaré）”同宿点”（homoclinic point）理论的重新发现。在里约热内卢数学研究所（IMPA）的图书馆里，斯梅尔偶然翻阅了美国数学家伯克霍夫（George Birkhoff）的著作集，其中详细记录了庞加莱在研究三体问题时提出的同宿点概念。庞加莱曾发现，在保守系统中，稳定流形和不稳定流形的横截相交会产生极其复杂的动力学行为，他将这种现象称为”同宿纠缠”。这一发现曾让庞加莱本人都感到震惊，以至于他在《天体力学新方法》中写道：”这一现象的复杂性令我震撼，我甚至不愿尝试描绘它的图景。”然而，这一深刻见解在随后的几十年里几乎被数学界遗忘，直到斯梅尔通过伯克霍夫的著作重新发现了它。

与此同时，斯梅尔正与动力系统领域的另一位关键人物——麻省理工学院的诺曼·莱文森（Norman Levinson）保持着密切的学术交流。莱文森在1949年对英国数学家卡特赖特（Cartwright）和利特尔伍德（Littlewood）关于非线性振动的研究进行了严格化，他们的工作揭示了某些微分方程中存在的复杂解行为。莱文森在给斯梅尔的信中指出了他早期猜想中的一个错误，这个批评成为斯梅尔思想转变的催化剂。斯梅尔后来回忆道：”莱文森的信像一道闪电，击碎了我原有的认知框架，迫使我重新思考动力系统的本质。”在里约海滩的反复推演中，斯梅尔将莱文森描述的复杂行为与庞加莱的同宿点理论联系起来，逐渐形成了”马蹄映射”的雏形。

前苏联数学家庞特里亚金（Lev Pontryagin）和安德罗诺夫（Alexander Andronov）的结构稳定性理论构成了影响斯梅尔的第三个重要思想来源。通过他在普林斯顿高等研究院的同事所罗门·莱夫谢茨（Solomon Lefschetz），斯梅尔接触到了苏联学派关于”粗糙系统”（即结构稳定系统）的研究。庞特里亚金和安德罗诺夫在1937年提出，许多物理系统可以用在微小扰动下保持定性性质的动力系统来描述。斯梅尔的巴西同事莫里斯·佩肖托（Mauricio Peixoto）曾跟随莱夫谢茨学习，他将这一理论传统带到了巴西。斯梅尔敏锐地意识到，庞特里亚金的结构稳定性理论与他自己正在思考的问题存在深刻联系，但苏联学派的研究因排除了同宿现象而显得过于局限。

在这三重理论背景的交织下，斯梅尔于1960年初在里约的海滩上完成了他的两大突破。在科帕卡巴纳海滩的某个下午，他忽然领悟到庞加莱的同宿点必然导致马蹄结构的出现。他后来描述这一顿悟时刻：”当我将同宿点的概念与莱文森描述的复杂行为联系起来时，整个图景突然变得清晰起来。”马蹄映射的精妙之处在于，它通过简单的几何操作（拉伸、折叠）展现了确定性系统中的内在随机性：一个二维映射将正方形区域拉伸变窄后折叠成马蹄形，通过迭代这个过程，系统会表现出对初始条件的极端敏感性——这正是混沌的核心特征。斯梅尔证明，这种马蹄结构在出现同宿点的系统中是普遍存在的，从而为混沌现象提供了第一个严格的数学框架。

马蹄映射

几乎在同一时期，斯梅尔在拓扑学领域也取得了惊人突破。多年来，他一直被庞加莱猜想所困扰，这个猜想探讨如何通过代数不变量来识别球面。在里约期间，斯梅尔发展出了一套全新的微分拓扑方法。他创造性地将动力系统中的思想引入拓扑学，提出了”斯梅尔手术”技术，通过系统地处理高维流形上的奇异点，最终证明了五维及更高维度的庞加莱猜想。这一证明的关键在于h-配边定理的建立，该定理表明在某些条件下，两个流形之间的配边实际上是一个平凡配边。斯梅尔后来回忆，这一突破同样发生在里约的海滩上：”有一天，当我看着海浪周而复始地拍打沙滩时，突然想到了如何通过逐层消解流形上的奇点来构造同胚。”

斯梅尔在里约的这段科研经历展现了跨学科思想交融的强大创造力。他将庞加莱的天体力学直觉、莱文森的严格分析技巧和庞特里亚金的结构稳定性观点融为一体，最终在动力系统和拓扑学两个领域同时取得重大突破。这种独特的学术轨迹也反映了20世纪中叶数学发展的一个显著特征：不同学派、不同传统的数学思想在全球范围内的流动与碰撞。斯梅尔的工作不仅解决了具体难题，更重要的是建立了连接不同数学分支的新范式，为后续的混沌理论、微分拓扑和动力系统研究开辟了广阔的道路。正如他后来所说：”数学中最美妙的事情往往发生在你让不同领域的想法自由对话的时候。“斯梅尔后来回忆说，里约的海滩为他提供了理想的思考环境，阳光、海浪和轻松的氛围帮助他突破了传统思维的束缚。这种非传统的工作方式虽然一度引起NSF对其研究经费使用的质疑，但最终产出的卓越成果证明了其有效性。斯梅尔的这段经历也成为数学史上的一个传奇，展示了伟大数学发现可能诞生在最意想不到的环境之中。从马蹄映射的发现到庞加莱猜想的证明，斯梅尔在里约的短暂停留永久地改变了多个数学领域的发展轨迹。

斯梅尔马蹄映射

斯梅尔马蹄映射（Smale’s Horseshoe Map）是动力系统理论中的一个经典模型，由数学家Stephen Smale在1960年代提出。它通过简单的几何变换，揭示了混沌动力系统中的复杂行为，如无限周期轨道、非周期轨道以及拓扑熵的存在。马蹄映射的核心在于拉伸、折叠和压缩的操作，使得系统在迭代过程中产生高度复杂的动力学行为。

1. 马蹄映射的几何构造

初始设定

考虑一个矩形区域 D （例如单位正方形 [0,1] \times [0,1]）。马蹄映射 f的作用是将这个矩形进行非线性拉伸和折叠，使其在水平方向上拉长，在垂直方向上压缩，并弯曲成“马蹄”形状。

拉伸与折叠

  1. 水平拉伸：首先，矩形 DDD 在水平方向上被拉伸（例如，长度变为原来的 \lambda 倍，\lambda > 2）。
  1. 垂直压缩：同时，在垂直方向上，矩形被压缩（高度变为原来的 \mu倍，\mu < 1/2）。
  1. 弯曲折叠：拉伸后的长条被弯曲成“U”形或“马蹄”形，并重新放置在原矩形区域上方，使得它横跨原矩形的两个垂直条带（例如，左右各占一部分）。

迭代过程

每次应用映射 f，矩形都会被拉伸、压缩并折叠一次。逆映射f^{-1} 则相当于反向操作，即垂直拉伸、水平压缩，并反向折叠。

马蹄映射

2. 马蹄映射的动力学行为

不变集与混沌

在无限次迭代后，某些点永远不会离开矩形 D，这些点的集合称为不变集 \Lambda。\Lambda 是一个Cantor集（分形结构），由无限多个离散点组成，具有自相似性。这个不变集上的动力学行为是混沌的，即：存在无限多个周期轨道（任意长度的周期），存在非周期轨道（永不重复的轨道），系统对初始条件敏感依赖（微小变化导致长期行为完全不同）。

符号动力学与混沌

马蹄映射的不变集 \Lambda 可以与符号动力学（Symbolic Dynamics）对应：每个轨道可以用一个二进制序列（如 \dots 0 1 0 1 \dots）表示，其中“0”和“1”分别代表点在每次迭代中落在左侧或右侧条带。这种对应关系表明，马蹄映射的动力学行为等价于伯努利移位（Bernoulli Shift），即一个无限符号序列的混沌系统。

Smale 马蹄映射的变形

3. 马蹄映射的意义

Smale 马蹄映射是第一个严格证明的混沌系统之一，它展示了如何从简单的几何变换中产生极其复杂的动力学行为。它解释了横截同宿点（Transverse Homoclinic Points）的存在如何导致混沌（Poincaré曾发现同宿点，但Smale用马蹄映射严格证明了混沌的存在）。它广泛应用于非线性动力系统领域、天体力学、工程与物理中。

马蹄映射的迭代

4. 直观理解

想象一个橡皮筋被拉伸、压缩并折叠成一个马蹄形，然后再次拉伸、压缩并折叠。每次操作都会使橡皮筋的结构更加复杂，最终形成一个无限精细的网状结构（Cantor集）。在这个结构中，任何微小的扰动都会导致完全不同的未来轨迹，这正是混沌的本质。Smale马蹄映射的美妙之处在于，它用如此简单的几何操作，揭示了自然界中广泛存在的混沌现象。它不仅是一个数学构造，更是理解复杂动力系统的一把钥匙。

多次迭代

斯梅尔的学术生涯

在学术职位上，斯梅尔曾先后任教于哥伦比亚大学（1960–1964）、加州大学伯克利分校（1964–1995）和香港城市大学（1995–2002），并在伯克利分校退休后成为荣誉教授。在2003至2012年期间，斯梅尔担任丰田工业大学芝加哥分校的教授；此外自2009年8月1日起，他开始担任香港城市大学的特聘教授。斯梅尔的研究兴趣广泛，晚年还涉足计算理论和数理经济学。他研究了“牛顿法”在数值计算中的收敛性问题，并提出了“斯梅尔问题”（Smale’s problems），即“P vs. NP”问题的数值版本。在经济学领域，他与经济学家合作，探讨了一般均衡理论和市场动态的数学结构。他的多学科研究展现了他对数学及其应用的深刻理解。

教职经历

斯梅尔的卓越贡献为他赢得了多项顶级荣誉，包括菲尔兹奖（1966）、美国国家科学奖章（1996）和沃尔夫数学奖（2007）。他的工作不仅解决了高维庞加莱猜想这样的重大难题，还推动了动力系统、计算理论和经济学的发展。许多数学概念以他的名字命名，如斯梅尔马蹄、斯梅尔手术和斯梅尔问题，这些成果至今仍在数学和科学领域产生深远影响。

所获部分奖项

2002年退休后，斯梅尔仍保持对数学研究的热情。他的职业生涯体现了数学家对社会责任的关注，以及跨学科研究的价值。正如数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）所说：“斯梅尔是那种罕见的数学家，他不仅能解决难题，还能改变整个数学的走向。”斯蒂芬·斯梅尔的生平和成就，无疑为现代数学留下了不可磨灭的印记。

Mathematics

沃尔夫奖得主Sullivan：菲尔茨奖得主Thurston的十个故事

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William Thurston（昵称 Bill）是 1982 年数学界最高奖菲尔兹奖得主，2012 年去世。他的数学研究就像进行魔术表演，总是突然就从帽子里抽出绝妙的创意，无数次让世界范围内的数学家们惊叹不已。1970-1980年间，Thurston 的研究工作在拓扑学领域引起了一场翻天覆地的革命，对数学界的影响一直持续到现在。

Dennis Sullivan 是 2010 年数学界另一个大奖沃尔夫奖得主，在代数拓扑和复动力系统两个领域为数学界作出深刻的贡献。Thurston 和 Sullivan 的研究有着很大的交集。当 Sullivan 得知 Thurston 去世的消息后，他迅速写下了这十个记录他们之间来往的故事。

撰文｜Dennis Sullivan

翻译｜杜晓明

故事一

1971 年 12 月，在伯克利召开的一个动力系统研讨班结束的时候，貌似解决了一个能很好地应用于动力系统的平面上的棘手问题。解决方案宣称：能把 N 个两两位置不同的点逐步移动到另外的 N 个点，使得在移动过程中不发生自交，并且每一步都整体只移动非常小的距离。坐在前排的资深动力系统专家们都乐观地相信这个结果，因为根据之前的经验，在三维以及更高维数的动力系统的应用中，由于这些点能摆成一般位置，这个结论显然是对的，如今该定理在二维的情形也应该成立。

一个坐在教室最后排的长头发、大胡子的研究生站了起来，说证明中的算法是不成立的。他就是 Bill Thurston。他怯怯地走到黑板前面，画了两幅图，每幅图都有 7 个点。然后开始按照刚才的算法来操作。一开始出现的连线尽管很短很少，但毕竟挡住了另外一部分线的延伸方向。想把另外一部分线继续延长又同时避免出现交叉的话，必须从别的地方绕回来，于是各条线开始变得越来越长。在这个复杂的图示例子里，刚才的算法无效！我从未见过其他人有如此强的理解力，也从来没见过有人能如此之快就创造性地构造出反例。这让我从此对几何上可能出现的复杂性产生敬畏。

各个时期（上世纪70 年代、80 年代、90 年代）的 Thurston。

故事二

几天之后，伯克利的研究生们邀请我（那时我也同样是大胡子、长头发）在分隔办公区与电梯区的走廊墙壁上画一些与数学有关的壁画。就在准备画的时候，故事一里面提到的那位研究生跑来问我：“你觉得画这个东西有意思吗？”他给我看的是平面上围着三个点绕来绕去的一些复杂的一维对象。我问：“这是什么？”他的答案让我很惊讶：“它是一条简单闭曲线。”我说：“这一定很有趣！”

于是我们就开始花几个小时一起在墙上画这条曲线。这真是一次非常棒的学习如何粘贴的体验。为了让这条曲线看起来较美观，首先得画一些较短的、彼此平行的、有些弯曲的短线（正如叶状结构局部方形邻域内的图案一样），然后再把它们光滑地接起来。我问他是如何想到这样的曲线的，他说：“从一条给定的简单闭曲线出发，不停地沿着中间的相交曲线作成对的 Dehn twist。”

这幅 2 米高、4 米宽、画着曲线的壁画（见2003年《美国数学会通讯》第50卷第3期的封面）署有作者和日期：“DPS and BT, December, 1971”，它在伯克利的墙上保留了40多年，直到几年前才被擦去。

过去在伯克利 Evans Hall 里由 Thurston 和 Sullivan 一起画的壁画。这个围着三个点绕来绕去的复杂图像实际上是一条简单闭曲线。| 摄影：Ken Ribet

故事三

上面两个故事在伯克利发生的那个星期，其实我只是从麻省理工学院访问伯克利，讲一系列关于微分形式和流形同伦论的课。那时候叶状结构与微分形式到处出现，并且成为研究的热潮，我想利用在我的研究中出现的1-形式来描述基本群的中心下降序列，进而构造叶状结构。这些叶状结构的叶子覆盖了从流形到它的幂零流形的映射图像。幂零流形就是从基本群的高阶幂零子群出发构造的流形。这其实是把利用同调来构造的到高维环面的 Abel 映射推广成幂零的情形。由于缺少 Lie 群的知识，我曾向麻省理工学院和哈佛大学的微分几何学家们请教这个推广的可能性，但我自己还是没弄明白。这些都太模糊、太代数化了。

来到伯克利之后，我在第一次课上就提出这方面的问题，并私下里与 Bill 进行讨论。开始我并没有抱什么希望，因为这是奇怪的代数与几何的混合体。然而第二天，Bill 就想到了彻底的解决方法，并且给出了完整的解释。对于他来说，这些只是很初等的东西，涉及的几何知识也不多，仅仅是 Elie Cartan 的 dd=0 的对偶形式中的 Jacobi 关系。

就在以上两个故事发生期间，我向我的老朋友 Moe Hirsch 提起了 Bill Thurston。Thurston 是 Moe 的博士生，那时候正处于博士阶段的第五年。我记得是 Moe 还是谁说过，Bill 开始念博士时进展很缓慢，甚至在口试时出了点小问题。当时 Bill 被要求举一个万有覆盖的例子，他选择了画亏格为2 的曲面的万有覆盖，在黑板上画出一些笨拙的八边形，八个八边形共用一个顶点。

亏格 2 曲面的万有覆盖。

这种论证很快就在黑板上越来越呈现为没有说服力的混乱。我想 Bill 是第一个在考场上想出如此非平凡的万有覆盖的人。Moe 说，不久之后，Bill 便开始以每个月一个的速度解决博士论文级别的大问题。许多年之后，我听说就在那段时间里， Bill 刚好有了他的第一个孩子 Nathaniel。孩子在晚上不睡觉，所以 Bill 也没法睡觉。在念研究生的时候，有一整年的时间，他晚上都只能与 Nathaniel 在地板上来回地走。

在伯克利度过的那一周改变了我的人生。我很感激命运让我有幸欣赏到所谓的“莫扎特现象”，并且认识了一位新的朋友。我刚从伯克利回到麻省理工学院，就马上把这一切告诉我在麻省的同事们。但我想我的热情过于强烈了，以致没法让别人全部理解：“我遇到了自己所见过的、甚至从没期望会遇到的最好的一位研究生。”

我安排 Bill 先去普林斯顿高等研究院（IAS），然后来麻省理工学院做一场报告，并计划把他招到麻省理工学院。但最后的结果是，Bill 在 1973-1974 年来麻省理工学院访问了一年，但那一年我正好去访问法国高等科学研究院（IHES），并且在法国一待就是 20 年。而 Bill 则被邀请回到普林斯顿大学任职。

故事四

普林斯顿高等研究院，1972-1973

在 1972-1973 这段时间，我从麻省理工学院访问普林斯顿，于是与 Bill 接触的机会更多了。一天，我们从普林斯顿高等研究院出来准备去吃午饭。我问 Bill，什么是极限圆（horocycle）。他说：“你们待在这儿别动。”然后他开始向学院的草地走去。走了一段距离，他停住并转过身来，说：“你们在以我为圆心的圆周上。”然后他转身走得更远，再次转过身来说了一些东西。由于距离远，他说什么我已经听不清楚了。他每走到一个新的地方就再喊一次，我们终于知道他说的是同样的意思：“你们在以我为圆心的圆周上。”接下来他走得更远了。由于距离太远，他喊什么我都听不见了。等他转过身来使劲喊大概同样意思的时候，我忽然知道了什么是极限圆。

极限圆

Atiyah 问我们其中某些拓扑学家：平坦向量丛是否存在分类空间？他曾对这样的丛构造出一些新的示性类。由 Brown 定理，我们知道这东西存在，但是还不知道如何具体地构造出来。第二天，Atiyah 说，当他问 Thurston 这个问题的时候，Thurston 给出了一个神奇的构造：把作为向量丛结构群的李群看成一个抽象群，赋予离散拓扑，然后就给出分类空间。

后来，我听说 Thurston 通过画图证明给 Jack Milnor 看：任意单峰映射的动力系统模式都会出现在取适当值c时对应的二次函数 x → x2+c 的迭代中。我因为正在学习动力系统，所以就计划花一个学期的时间在普林斯顿，向 Bill 学习这篇从刚才提到的画图而发展出来的关于 Milnor-Thurston 万有性的著名论文。

故事五

普林斯顿大学，1976 年秋

1976 年 9 月，我准备去普林斯顿大学学习一维动力系统，而 Thurston 则已经发展出曲面映射的新理论。我刚到的时候，他在高等研究院做了三个小时精彩的即兴演讲来解释这个理论。我非常幸运：因为有之前在伯克利的墙上画那条曲线的艰苦劳动，由此启发，Thurston 关于叶状结构的极限的主要定理直观上对我来说非常清晰。在我待的那个学期即将结束的时候，Thurston 告诉我，他相信这些东西对应的映射环面具有双曲度量。我问他为什么，他说不知道如何向我解释，因为我没有充分理解微分几何。

在我离开普林斯顿之后的几个星期里，Bill 没有我的干扰，有更多时间从事研究。对于特定的 Haken 流形，他完成了双曲度量存在性的证明。而对于映射环面的情形，他后来又花了两年多的时间。其中的细节本文后面会说。

在 Bill 讲授的一门一学期课程里，研究生和我都学到了很多关键的思想：

  • “双曲几何在无穷远处变成共形几何”的类比。让人印象深刻的是，Bill 处理的方式是在双曲空间内部而不是在无穷远边界处，他关注的是一个特殊的模型。这给我带来完全不同的心理体验。
  • 我们学会极限点凸包的边界曲面的内蕴几何。一天，Bill 来上课，他在讲台上转动一个他自己做的精巧的纸制装置，不停地旋转，而他却不说任何话，直到我们领悟出平坦性为止。
  • 我们还学到了双曲曲面的厚薄分解。我记得 Bill 在普通房间的黑板上画出有 50 米长不停环绕的曲面薄块。忽然一切明朗起来，包括如何解释在几何上收敛到 Riemann 曲面组成的模空间上著名的 Deligne-Mumford 紧化上的点。

后来 Sullivan 在课上讲解带很“薄”的部分的双曲曲面。

1976 秋，我在普林斯顿整整待了一个学期。Bill 和我讨论如何理解 Poincare 猜想，希望证明一个对所有三维闭流形都成立的更一般性的猜想。我们的想法是建立在三维是相对较低的维数这个基础之上。我们在一篇小文中论述，只要能证明三维闭流形都有共形平坦坐标，就可以证明整个 Poincare 猜想。我们决定在这个问题上共同花上一年。然而，当时在那儿学习的一位名叫 Bill Goldman 的本科生在几年之后证明了这个前提是不正确的。（如果上数学家家谱网站查师承关系，可以查到 Thurston 与 Goldman 都是Hirsch 直接指导的博士。Thurston 为 Hirsch 带来的学术后裔有 200 多个，而 Goldman 则带来 30 多个。除了他们俩之外，Hirsch 的其他博士带来的学术后裔加起来没几个。）

接下来，Bill 在普林斯顿发展了 quasi-Fuchsian 型 Klein 群的极限的理论，来寻找映射环面上的双曲结构。与此同时，我在巴黎努力想解决 Ahlfors 的极限集零测度猜想。一年之后，他的研究取得了关键进展（把尖点封闭上了），而我的研究则在否定的方向上取得了极大进展（证明所有与已知 Klein 群信息有关的遍历论方法都是不够的，有太多深层次的非线性障碍）。在一次瑞士阿尔卑斯山上召开的会议上，我们对比了各自的笔记。他的整个映射环面证明计划虽然完成了，但是证明过程非常复杂。而我否定方向的信息则能把 Mostow 刚性定理推广成一般性的结论，这能在相当大的程度上简化 Bill 在纤维化情形下的证明（参见次年Bourbaki讨论班关于 Thurston 工作的报告）。

Thurston 证明映射环面上存在双曲结构的论文首页。该项工作把三维流形的双曲结构、Riemann 曲面、分形、填充二维区域的连续曲线等众多领域联系了起来。

故事六

石溪会议，1978 年夏

在石溪举行了一次关于Klein 群的盛大会议。Bill 出席了会议，但没有发言。Gromov 和我邀请他即兴做一个计划之外的长时间的报告。这是一场通向双曲三维流形无穷远端、凸包、皱褶曲面、ending lamination 等等的美妙旅程。在报告的过程中，Gromov 凑过来跟我说，Bill 这次报告使他感觉这个方面的研究还没真正开始。

凸包与皱褶曲面。双曲球体表面有一条分形曲线，粉红色与浅绿色的两个皱褶曲面围住的部分是该分形曲线在双曲球体内部的凸包，作为凸包边界的皱褶曲面在除了一个零测集之外都是测地曲面。| 图片来源：http://vivaldi.ics.nara-wu.ac.jp/~yamasita/

故事七

科罗拉多，1980 年 6 月至 1981 年 8 月

Bill 和我一起在 Boulder 大学做 Ulam 访问教授，在那里举办两个讨论班：一个较大的讨论班是把整个双曲性定理的全部证明细节过一遍，另一个较小的讨论班是关于Klein 群的动力系统以及一般性的动力系统。参加第一个讨论班的许多研究生们共同检查了双曲性定理的全部证明细节。

有一天，在动力系统的讨论班上，Thurston 迟到了。Dan Rudolph 正在精力充沛地对一个以往证明过程极度复杂的定理作简化证明。这个简化的证明在一小时之内就能讲完。在两个遍历的保测度变换的轨道相差不太远的前提下，该定理能把轨道等价类加强成共轭类。旧的证明 Katznelson、Ornstein 和 Weiss 用了一门短课才能解释清楚，而新证明的引人注目之处在于仅仅用一小时就能完成。Thurston 终于来了，问我前面讲了什么，让我帮他跟上进度。我都照办了。

在讲座即将结束的时候，Thurston 大声向我耳语：证明的难点究竟在哪里？我向他发出“嘘”声让他安静，提醒他应该尊重课堂环境。最后，Bill 说，只要想象一下：在一根线上布满了珠子；珠子往线的两端无穷地延伸，中间只有有限的间隙；然后让它们都滑向左边（同时他张开出双臂给我作形象的说明）。只要把这个想法翻译成标准的文字，就马上能给出一个新的证明。那天晚些时候，Dan Rudolph 充满敬畏地跟我说，他之前没有想象到 Bill Thurston 会聪明到这个程度。

故事八

美国加州 La Jolla 与巴黎，1981 年夏末

在科罗拉多的经历很愉快。Thurston 的几何讨论班在完全放松的氛围中度过。某一天我们构想出了 8 种几何模型，另一天我们为某个对象究竟应该命名为“manifold”还是“orbifold”而投票。我也正在写几篇我自己的关于 Hausdorff 维数、动力系统、极限集的测度的论文。接下来的夏天末尾，Thurston 回到普林斯顿。我则从巴黎飞到 La Jolla，给美国数学学会做一系列关于动力系统最新进展的特邀报告。为了达到更好的演讲效果，我决定改变报告的主题，换成首次向数学界公开展示整个双曲性定理！并且我也希望以此作为 Boulder 讨论班结束后我给自己安排的一次期末考试。

在去往美国的飞机上，我只准备了一页纸的概括性讲稿。但将要讲的报告却一共安排了四到五天，每天两场！第一天估计能勉强应付过去。我想：先讲点综述，剩下的再即兴发挥一下吧。但是想把这么重要的一系列报告做好，我需要极好的运气。历史性的时刻到了！

从巴黎到加州有 9 个小时的时差。刚到达的那天深夜我睡不着，到安排给我的办公室里准备报告的内容。很快我却发现，关于双曲性的论证过程，我碰到很多问题都没法自行解答。这时我发现办公室桌上的电话居然还可以打长途。此刻加州的时间是凌晨 4 点，普林斯顿的时间是早上 7 点。我打电话到 Thurston 的家，他接了。我向他陈述了我的问题，他先给出部分简短的回答。我赶快用笔记下来。他说等送完小孩到学校再赶回办公室之后给我回电话。当他在两个半小时之后打电话给我时，我对他刚才的答案提出更多否定意见，而他又作出更加细致的答复。我们终于把所有可能产生问题的地方都处理完毕。

加州时间 8 点整，我准备好了两场演讲的材料。第一天顺利度过：第一场报告，午餐，去沙滩，游泳，第二场报告，晚餐，告别同事，回住处睡觉。重新看报告的录像时我才发现，听众的阵容强大得可怕：Ahlfors，Bott，陈省身，Kirby，Siebenmann，Edwards，Rosenberg，Freedman，丘成桐，Maskit，Kra，Keen，Dodziuk……

来听这次报告的人。作开场介绍的是德高望重的 Ahlfors。听众里包含了当时几何与拓扑领域几乎所有的顶尖数学家。

Bill 和我每天重复这样的事情，配合得很完美。每天加州时间早上 8 点的时候，我准备好我的两场报告内容，做好一切提问的应对。当陈述 Bill 那些绝妙地控制住测地线长度的技术时，演讲推向高潮！这些测地线是分支皱褶曲面在分支处的曲线。要估计它们的长度，利用的却是内蕴曲面上测地流产生的动力系统的熵。这个熵又与分支曲面万有覆盖的面积增长率有关。但在负曲率的空间中，这个面积的增长速度却又被双曲球体的体积增长率所控制。证毕！不但如此，Thurston 还构造出一个漂亮的例子，表明估计的界是精确的。对于听众之一的 Harold Rosenberg（他是来自巴黎的精明的朋友）来说，这次报告的水平是超乎想象的。报告结束之后，他沮丧地问我：“Dennis，你是不是一直把 Thurston 锁在你办公室的楼上呀？”

Sullivan 阐述控制测地线长度绝妙证明的时刻。

我之前一直对这些报告背后的故事三缄吾口，直到现在才说出来。这一系列报告都被 Micheal Freedman 用录像机记录了。如今这些 Thurston-Sullivan 讲座的视频都能在互联网上找到。

故事九

巴黎，1981 年秋

我在美国数学学会的演讲大获成功之后，Bill 来巴黎访问我。我在私人办公室买了个舒适的沙发床，以便于他休息。他很有礼貌地问了我以下两个问题：一、如果之前在美国数学学会的演讲上没有把报告的主题换成他的双曲性定理的话，我原定计划讲的是什么内容；二、在科罗拉多，除了双曲性定理的讨论班之外，我似乎还在一直忙着别的东西，具体是在研究什么。

关于这些，我总共有 6 篇计划中论文的内容要告诉他。其中包括一个我从他那里学到的最吸引人的想法：对于无穷远球面上一个适当的集合来说，从双曲球体内部一点看过去时，在视觉上的 Hausdorff 测度，能定义出一个双曲三维空间中 Laplace 算子对应于本征值 f(2-f) 的大于零的本征函数。我向他陈述并解释这些想法。每当我陈述完一个想法，他就马上给出一个证明，或者我给出我证明的主要思路。这六篇论文里的定理都被我们一一证明，有的是他证，有的是我证。我们差点漏掉一种情形：如果最后一个本征函数 f>1 的话，规范化之后新的本征函数的平方积分范数将可以通过凸核的体积来估计。Bill 躺回沙发床中，闭上双眼想了没多久，就很快把差点漏掉的这种情形证明了出来。他估计的方法是让测地线无限延长，然后在横截的方向求平均值。

随后我们外出散步，从 Orleans 港穿过巴黎市区走到 Clignancourt 港。我们边走边沉浸在数学讨论之中，以致于忘了自己身处何地。一直等到我们经过塞纳河，圣母院和古监狱同时映入眼帘时，才想起来自己置身于美丽的巴黎。

故事十

从普林斯顿到曼哈顿，1982-1983

由于开始了长达 13 年的纽约市立大学 Einstein 研讨班的主持职务，我不得不把时间分配开，一直在法国高等科学研究院和纽约市立大学研究生中心之间来回奔波。Einstein 研讨班的主题一开始是动力系统与拟共形同胚，后来慢慢转变成拓扑中的量子对象。Bill 则继续发掘和训练有天赋的学生，传播双曲空间那些漂亮的理论，培养出大批新一代年轻的几何学家。Bill 推迟写他那关于双曲性定理论文的终稿。取而代之的，是让他不断培养起来的越来越多的新一代几何学家们把整套理论发展到更加广阔的天地中去。他在 20 世纪 70 年代初关于叶状结构的论文震撼了该领域，但同时也终结了该领域的研究。他不想看到在双曲几何领域发生同样的事情。

有一次，我们准备在曼哈顿聚一下，讨论在单变量复动力系统、双曲几何，以及我之前研究的 Klein 群的各种类比。在公寓里我们很随意地讨论，讨论话题也开始拓展延伸。最后我们在 Bill 乘火车回普林斯顿之前 30 分钟制定好了研究计划。我概括了一般性的类比：庞加莱极限集、不连续域、复结构的形变、刚性定理、分类空间、Ahlfors 有限性定理、Ahlfors 与 Bers 的工作……与以下概念相比较：Julia 集、Fatou 集、非游荡域定理、Hubbard 与 Douady 的工作……他快速完整地吸收了这些想法，然后离开去坐火车。

两周之后，我们听说他用 Teichmüller 空间上不动点的观点改写了整个复动力系统的理论，其中的部分手法与他的双曲性定理异曲同工。若干年后许多新的结果相继涌现，比如 McMullen 的工作。自此，复动力系统的研究提升到了一个更高的水平。

后 记

在 2011 年 Banff 举行的 Jack Milnor 的 80 岁寿宴上，我和 Bill 再次相遇。在 30 年之后，我们从之前研究中断的地方重新开始。（当我第二次见到他的绿色格子衬衫时，我称赞这件衣服，第二天他就把衣服送给了我。）我们还约定一起去攻克 Klein 群和复动力系统框架里遗留下来的一个大问题：不变线场猜想。这是一个好主意，不幸的是，它永远都不可能实现了。

Thurston 在 Banff 的会议上讲解多项式迭代与熵之间的联系。

在那次会议上，当 Jeremy Kahn 报告他和 Markovic 合作的对长达数十年之久的子曲面猜想作出的证明的时候，Bill 小声对我说：“我忘了取偏移这一步了。”在 Kahn-Markovic 的证明中，需要把所有可能的理想三角形粘起来，构造出浸入的曲面，然后把遍历理论应用到在这个空间的作用上。当两个理想三角形沿着一条边粘合时，各自的中心在粘合的边上的垂足也许并不吻合，而是可以差了一个偏移量。这一步偏移保证了取极限时不遗漏任何东西，这也正是 Bill 之前的证明里漏掉的。我带着极为愉快的心情看到 Kahn 和 Markovic 完成了证明。证明的每一步都让我回忆起 30 多年前 Bill 发明的类似关键思想与技术。这些思想与技术都传递到他在普林斯顿的门徒们那儿了。

同一次会议上 Kahn 讲解他与合作者的技术。

本文英文原文出自Notices of the A.M.S.，2015 年 11 期。中文翻译曾发表于杜晓明科学网博客，此文为最新修订版，原文题目为“沃尔夫奖得主Sullivan：菲尔茨奖得主Thurston的十个故事”，现标题为编者所加。原文链接：https://www.ams.org/journals/notice

Mathematics

从动力系统到微分几何：谈一下三位巴西的数学大师

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维灵顿·德梅洛：巴西动力系统理论的先驱

维灵顿·塞尔索·德梅洛（Welington Celso de Melo，1946-2016）是20世纪后半叶巴西数学界的杰出代表，以其在动力系统理论，特别是实一维动力系统和单峰映射重整化研究方面的开创性工作而闻名于世。这位严谨而富有洞察力的数学家不仅推动了数学理论的发展，还培养了一批优秀的学生，其中包括菲尔兹奖得主阿图尔·阿维拉。

早年生活与教育

维灵顿·德梅洛于1946年11月17日出生在巴西米纳斯吉拉斯州的小镇瓜佩。他在巴西接受了早期教育，后来进入里约热内卢的巴西纯数学与应用数学研究所（IMPA）深造。在IMPA，他有幸师从动力系统领域的另一位巴西数学巨匠雅各布·帕利斯（Jacob Palis），并于1970年代初期获得博士学位。

学术生涯与主要贡献

德梅洛的整个职业生涯几乎都与IMPA紧密相连。1980年，他成为该研究所的正式教授，并一直在此工作直至2016年去世。他的研究主要集中在动力系统理论，这是研究随时间演化的系统的数学分支。

实一维动力系统的拓扑行为：德梅洛与马可·马滕斯（Marco Martens）和塞巴斯蒂安·范斯特里恩（Sebastian van Strien）合作，对一维实动力系统的拓扑行为进行了全面描述。这项工作为理解简单系统中复杂动力学行为奠定了基础。

单峰映射的重整化理论：他与阿尔贝托·平托（Alberto Pinto）和埃德森·德法利亚（Edson de Faria）合作，证明了Cr单峰映射重整化的全局双曲性。这一重要结果为重整化理论提供了严格的数学基础，该理论在统计物理和量子场论中也有广泛应用。

数学严谨性：德梅洛以极端严谨的数学风格著称。他坚持最高标准的数学证明，这种严谨态度使他的工作具有极高的可信度和持久价值。1998年，他在柏林国际数学家大会上发表了题为”一维动力系统中的刚性与重整化”的演讲，总结了他在这方面的研究成果。

教学与学术影响

尽管德梅洛以严格著称，甚至”吓到”了一些学生，但他实际上是一位非常支持和鼓励年轻数学家的导师。最著名的例子是他与菲尔兹奖得主阿图尔·阿维拉的关系。阿维拉最初因为德梅洛的严格名声而不敢正式选修他的课程，只是旁听。然而，德梅洛很快发现了这位年轻学生的才华，并给予了他极大的鼓励和支持。这种师生关系最终促成了巴西数学的又一次辉煌。

德梅洛还指导了许多其他学生，并在IMPA建立了一个活跃的研究小组，使巴西在动力系统领域保持了国际领先地位。

荣誉与奖项

德梅洛的贡献获得了多项国际认可：

  • 2003年第三世界科学院奖（TWAS Prize）
  • 巴西科学院院士
  • 多个国际学术机构的特邀演讲者和访问教授

个人生活与遗产

德梅洛于2016年12月21日逝世，享年70岁。即使在休闲时间，如帆船运动时，他也在思考数学问题。他留下的不仅是重要的数学成果，还有培养新一代数学家的传统。正如阿图尔·阿维拉所回忆的，德梅洛虽然以严格著称，但实际上对学生非常友善和支持。

维灵顿·德梅洛的工作将巴西数学推向了国际舞台，他的遗产继续影响着全球的动力系统研究。他对数学严谨性的坚持和对年轻数学家的培养，为巴西数学界树立了高标准，确保了该国在这一领域的持续繁荣。

阿图尔·阿维拉：开创拉丁美洲动力系统的菲尔兹奖得主

阿图尔·阿维拉·科尔德罗·德梅洛（Artur Avila Cordeiro de Melo）是当代数学界最杰出的学者之一，以其在动力系统和谱理论领域的开创性工作闻名于世。这位巴西数学家于2014年获得菲尔兹奖，成为首位获此殊荣的拉丁美洲和葡语国家数学家，标志着全球数学研究版图的重要扩展。

早年经历与教育背景

阿维拉于1979年6月29日出生在巴西里约热内卢，自幼展现出非凡的数学天赋。他的父亲是一位自学成才的会计师，在阿维拉三岁时就教会了他读写和基础数学。五岁时，阿维拉已经开始自学阅读数学书籍，展现出超前的学习能力。

1995年，年仅16岁的阿维拉在国际数学奥林匹克竞赛中获得金牌，这一成就为他赢得了巴西纯数学与应用数学研究所（IMPA）的奖学金。值得注意的是，他在攻读硕士学位期间仍在里约热内卢的圣本笃学院和圣阿戈斯蒂尼奥学院完成高中学业。

学术生涯与主要成就

阿维拉的学术道路堪称传奇。19岁时，他开始撰写关于动力系统理论的博士论文，并于2001年在IMPA获得博士学位，导师是著名数学家维灵顿·德梅洛（Welington de Melo）。同年，他前往法国进行博士后研究，师从1994年菲尔兹奖得主让-克里斯托夫·约科兹（Jean-Christophe Yoccoz）。

“十马丁尼问题”的解决：2005年，26岁的阿维拉与斯维特拉娜·吉托米尔斯基（Svetlana Jitomirskaya）合作，解决了由美国数学物理学家巴里·西蒙（Barry Simon）提出的”十马丁尼问题”。这个困扰学界25年的难题探讨了特定类型算子在给定参数条件下的谱是否为康托集。马克·卡克（Mark Kac）曾承诺为解决问题者提供十杯马丁尼作为奖励，阿维拉和吉托米尔斯基最终给出了肯定的答案。

Zorich-Kontsevich猜想的证明：同年，阿维拉与马塞洛·维亚纳（Marcelo Viana）合作证明了Zorich-Kontsevich猜想，该猜想涉及紧致黎曼曲面上阿贝尔微分模空间上Teichmüller流的非平凡Lyapunov指数的性质。

动力系统理论的革新：阿维拉的工作彻底改变了动力系统领域的研究面貌。他利用重整化这一强大思想作为统一原则，在一维和复动力系统、薛定谔算子的谱理论、平坦台球和部分双曲动力学等方面做出了基础性贡献。

学术职位与国际影响

阿维拉在学术机构间保持着独特的合作模式：

  • 2003年起担任法国国家科学研究中心（CNRS）研究员，2008年成为该中心最年轻的研究主任
  • 2018年9月起任苏黎世大学教授
  • 同时保持与IMPA的紧密联系，每年在巴西和法国各工作半年

这种跨国工作模式使他成为连接欧洲和拉丁美洲数学研究的重要桥梁。

荣誉与奖项

阿维拉的卓越贡献获得了国际数学界的广泛认可：

  • 2014年菲尔兹奖：数学界最高荣誉，表彰他在动力系统领域的革命性贡献
  • 2011年迈克尔·布林动力系统奖：表彰他在动力系统理论方面的杰出工作
  • 2008年欧洲数学学会奖：肯定他在数学研究上的卓越成就
  • 2006年塞勒姆奖：表彰他在调和分析及相关领域的贡献
  • 2015年法国荣誉军团骑士勋章：法国最高荣誉之一
  • 2019年当选美国国家科学院外籍院士：国际科学界的崇高荣誉

学术风格与个人特质

阿维拉以其深刻的洞察力和独特的解决问题方式著称。他曾在采访中提到：”很多时候，我寻找已知的难题并努力解决它们。但我也致力于构建和发展理论，这有时不仅涉及解决问题，还包括问题的表述。”这种理论构建与问题解决相结合的方法，使他的工作既有广度又有深度。

尽管成就卓著，阿维拉保持着谦逊的态度。他回忆自己最初因德梅洛教授的严格名声而不敢正式选修其课程，只是旁听，这一经历展现了他作为学习者的一面。如今，他自己也成为新一代数学家的榜样和导师。

对巴西及拉丁美洲数学的影响

阿维拉的成功对巴西和整个拉丁美洲的数学发展产生了深远影响：

  1. 激励作用：作为首位获得菲尔兹奖的拉丁美洲数学家，他证明了该地区的学者也能达到数学研究的最高水平
  2. 国际合作：他的跨国工作模式促进了巴西与欧洲顶尖数学机构的交流
  3. 教育推动：他的成功故事激励了无数拉丁美洲年轻人投身数学研究

阿维拉曾表示：”我来自一个数学传统并不强大的国家，这让我更加意识到在全球范围内推广数学的重要性。”这种使命感使他不仅是一位杰出的研究者，也成为数学教育和发展的重要倡导者。

当前研究与未来方向

近年来，阿维拉继续在动力系统理论的前沿开展工作。2017年，他在雅盖隆大学发表了题为”单频薛定谔算子与几乎可约性猜想”的Łojasiewicz讲座。2019年，多伦多菲尔兹研究所举办了以他命名的研讨会，探讨他工作的当前和潜在影响。

阿维拉的研究继续关注动力系统中的基本问题，如混沌行为的数学描述和长期预测的可能性。他在2019年菲尔兹研讨会上的公开演讲”应对混沌”中，反思了这一领域的历史演变和未来挑战。

阿图尔·阿维拉的故事不仅是个人天才的胜利，也是全球数学共同体多样性和包容性的证明。他的成就打破了地域限制，证明数学卓越可以来自世界任何角落。作为研究者、导师和榜样，阿维拉继续影响着数学的未来发展，他的遗产将激励几代数学家追求科学真理的最高境界。

曼弗雷多·多·卡莫：巴西微分几何学派的奠基者

曼弗雷多·佩尔迪冈·多·卡莫（Manfredo Perdigão do Carmo，1928-2018）是20世纪巴西最具影响力的数学家之一，被誉为”巴西微分几何的元老”。他通过开创性的研究、经典教材的撰写和杰出学生的培养，将巴西推上了国际微分几何研究的版图。多·卡莫的学术生涯跨越半个多世纪，其贡献不仅体现在理论研究中，更在于他建立了一个繁荣的数学学派。

早年生活与教育背景

多·卡莫于1928年8月15日出生在巴西东北部阿拉戈斯州的马塞约。1947年至1951年间，他在累西腓大学（现伯南布哥联邦大学）攻读土木工程，这一选择反映了当时巴西对应用学科的重视。毕业后，他短暂从事工程师工作，但很快转向数学教育。

1959年，在数学家埃隆·利马（Elon Lages Lima）的建议下，多·卡莫前往里约热内卢的巴西纯数学与应用数学研究所（IMPA）深造。这一决定改变了他的人生轨迹，也深刻影响了巴西数学的发展方向。1960年，他赴美国加州大学伯克利分校攻读博士学位，师从微分几何大师陈省身（Shiing-Shen Chern），并于1963年完成题为《某些凯勒流形的上同调环》的博士论文。

学术生涯与机构贡献

多·卡莫的职业生涯与IMPA紧密相连。1966年，他成为该研究所的教授，2003年起担任荣誉教授，直至2018年4月30日以89岁高龄在里约热内卢去世。IMPA作为拉丁美洲顶尖的数学研究机构，为多·卡莫提供了理想的研究环境，而他也为提升该机构的国际声誉做出了重要贡献。

在IMPA期间，多·卡莫不仅专注于个人研究，还积极参与学术管理。1971-1973年间，他担任巴西数学学会主席，推动国内数学教育的发展和国际交流的扩大。他的领导帮助巴西数学界建立了与全球顶尖学者的联系网络。

研究贡献与学术影响

多·卡莫的研究主要集中在黎曼几何和曲面微分几何两大领域，他在以下几个方面做出了开创性贡献：

等距浸入的刚性与凸性

多·卡莫与F.华纳（F. Warner）合作研究了球面中超曲面的刚性与凸性问题。他们1969年发表在《微分几何杂志》上的论文《球面中超曲面的刚性与凸性》成为该领域的经典文献，为理解高维空间中曲面嵌入的性质奠定了基础。

极小曲面的稳定性

多·卡莫对极小曲面的稳定性研究尤为深入。他与J.L.巴博萨（J.L. Barbosa）合作的一系列工作建立了关于稳定极小曲面尺寸限制的重要结果。1978年，他在赫尔辛基国际数学家大会上作特邀报告，题为”极小曲面：稳定性与有限性”，总结了这一领域的研究进展。

常平均曲率流形

多·卡莫对常平均曲率流形的研究开辟了新的方向。他与M.达伊泽尔（M. Dajczer）合作研究了旋转超曲面在常曲率空间中的性质，这些成果发表在《美国数学会会报》等重要期刊上，为理解特殊曲面的几何性质提供了新工具。

流形拓扑与等周问题

多·卡莫对开放流形的里奇曲率与拓扑关系的研究，以及他与J.L.巴博萨合作的关于一般等周不等式的工作，都体现了他在几何分析领域的广泛兴趣和深刻洞察。

多·卡莫一生发表了100多篇经过同行评审的论文，2012年，施普林格出版社精选了他的部分重要论文结集出版，彰显了其工作的持久影响力。

经典教材与数学教育

多·卡莫对数学的贡献不仅体现在研究上，更在于他撰写的几部影响深远的教材：

  1. 《曲线与曲面的微分几何》（1976）：这部经典教材已被翻译成多种语言，被哈佛大学、哥伦比亚大学等世界顶尖学府采用为课程教材。该书以清晰的叙述和精心设计的习题著称，培养了几代微分几何学者。
  2. 《黎曼几何》（1992）：系统介绍了黎曼几何的基本概念和定理，成为研究生阶段的标准参考书。
  3. 《微分形式及其应用》（1994）：为高年级本科生和研究生提供了微分形式的现代处理方法。

这些教材的共同特点是概念清晰、证明严谨、循序渐进，反映了多·卡莫对数学教育的深刻理解。他曾在采访中提到：”写教材时，我总是试图站在学生的角度思考，想象他们会遇到什么困难。”

学术传承与学生培养

多·卡莫指导了27名博士生，其中包括塞索·科斯塔（Celso Costa，发现科斯塔极小曲面）、马科斯·达伊泽尔（Marcos Dajczer）和凯蒂·特南布拉特（Keti Tenenblat）等著名几何学家。这些学生延续了他的学术风格，形成了巴西微分几何学派的中坚力量。

多·卡莫的指导风格以严谨著称。他的学生回忆道：”他从不轻易放过任何不严谨的论证，这种严格标准使我们终身受益。”同时，他也给予学生充分的自由探索空间，鼓励他们发展自己的研究兴趣。

荣誉与奖项

多·卡莫的学术成就获得了广泛认可：

  • 古根海姆奖学金（1965, 1968）：两次获得这一著名研究资助
  • 阿尔瓦罗·阿尔贝托上将奖（1984）：巴西科学技术领域的最高荣誉之一
  • TWAS数学奖（1992）：第三世界科学院颁发的国际奖项
  • 巴西国家科学功绩勋章（1995）：表彰他对巴西科学发展的杰出贡献
  • 美国数学会会士（2012）：国际数学界的崇高荣誉

此外，他还获得了阿拉戈斯联邦大学（1991）和穆尔西亚大学（2012）的荣誉博士学位，并被选为巴西科学院院士（1970）和第三世界科学院院士（1997）。

学术遗产与影响

多·卡莫去世后，巴西数学界失去了一个标志性人物，但他留下的遗产仍在持续发挥作用：

  1. 巴西微分几何学派：他培养的学生和学生的学生形成了一个强大的研究群体，使巴西在微分几何领域保持国际领先地位。
  2. 教材的持久影响：他的著作继续被全球各地的大学采用，每年都有新的数学学子通过这些教材进入几何学的殿堂。
  3. IMPA的国际声誉：多·卡莫的工作帮助IMPA成为世界级的数学研究中心，吸引了来自全球的优秀学者。

2021年，《圣保罗数学科学杂志》出版了纪念多·卡莫的特刊，编者在前言中写道：”多·卡莫不仅是一位杰出的数学家，更是巴西科学界的灯塔，他的严谨、正直和对数学的热爱激励了我们所有人。”

曼弗雷多·多·卡莫的一生展现了纯粹数学研究的持久价值。从巴西东北部的土木工程学生到国际知名的几何学家，他的故事证明了数学无国界，天才可以在任何环境中绽放。通过研究、教学和学术领导，多·卡莫为巴西和世界的数学发展做出了不可磨灭的贡献，他的精神继续激励着追求数学真理的新一代学者。

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《A Course of Pure Mathematics》

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我自己读的第一本数学分析教材是这本《A Course of Pure Mathematics》，由数学家 G.H.Hardy 在一百多年前所写的教材。

A Course of Pure Mathematics

当年我阅读这本书的时候，还是2005年的时候，对数学家的了解也不够，对 G.H.Hardy 本人也没有足够的了解，后来随着学习的深入，我才发现 G.H.Hardy（1877–1947）是20世纪最具影响力的数学家之一，以其在数论和分析学领域的贡献而闻名。他长期任教于剑桥大学，培养了许多杰出的数学家。哈代的著作以清晰和严谨著称，除了《纯数学教程》外，他还与李特尔伍德（J.E. Littlewood）合作发表了大量重要论文，并与印度数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan）建立了深厚的学术友谊。哈代的数学哲学强调纯粹数学的美学价值，他认为数学的真正意义在于其内在的优雅和逻辑的完美。《纯数学教程》不仅是一本教科书，更是一部数学思想的经典表达。它适合那些希望深入理解分析学基础的读者，无论是初学者还是有一定数学背景的学生，都能从中受益匪浅。

《纯数学教程》这本书以其严谨的逻辑结构、清晰的表述和对数学基础的深刻洞察而闻名，长期以来被视为分析学领域的标准教材之一。数学家哈代在书中系统地介绍了实数、函数、极限、连续性、微分和积分等核心概念，为读者奠定了坚实的数学基础。

主要章节与内容概述

  1. 实数变量（Real Variables）
    第一章深入探讨了实数的性质，包括有理数与无理数的定义、实数连续性的概念以及戴德金分割（Dedekind’s Theorem）。哈代通过几何直观和严格的数学论证，展示了实数系统的完备性，并引入了极限和收敛的基本思想。
  2. 函数（Functions of Real Variables）
    第二章讨论了函数的定义及其图形表示，包括多项式函数和有理函数。哈代详细解释了函数的连续性、单调性以及极值问题，并通过大量例子帮助读者理解函数的多样性和复杂性。
  3. 复数（Complex Numbers）
    第三章介绍了复数的基本理论，包括复数的代数运算、几何表示（阿冈图）和德摩弗定理（De Moivre’s Theorem）。这一章为后续分析复数函数提供了必要的工具。
  4. 极限（Limits of Functions of a Positive Integral Variable）
    第四章专注于数列极限的理论，包括收敛的定义、极限的性质以及无穷级数的求和。哈代通过严格的证明和丰富的例子，帮助读者掌握极限的核心思想。
  5. 连续函数的极限（Limits of Functions of a Continuous Variable）
    第五章将极限的概念推广到连续函数，讨论了函数的连续性、间断点以及一致连续性的重要性。这一章还包含了海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）的证明。
  6. 导数与微分（Derivatives and Integrals）
    第六章和第七章分别介绍了微分和积分的基本理论。哈代详细阐述了导数的定义、求导法则以及微分的应用，随后转向积分的概念，包括黎曼积分的定义和基本性质。
  7. 对数与指数函数（The Logarithmic and Exponential Functions）
    第八章专门讨论了对数函数和指数函数的性质，包括它们的级数展开和函数方程。哈代还涉及了三角函数和双曲函数，展示了这些函数在分析中的重要性。
  8. 附录（Appendices）
    书的最后部分包含四个附录，分别讨论了方程的根的存在性、双重极限问题、圆函数的定义以及分析和几何中的无穷概念。这些附录为读者提供了更深入的数学背景和补充材料。
目录

以第125小节的“中值定理”（The Mean Value Theorem）的内容，总结本书的特色：

  • 以核心定理为纲：贯穿几何直观、严格证明与应用延伸；
  • 注重逻辑严谨性：同时通过例题和注释培养读者的数学思维；
  • 平衡经典与现代：既传承传统内容，又融入当时的最新观点，即使在一百年之后，这些观点依然有其深刻的意义。

1. 严谨的逻辑推导

  • 定理陈述清晰：哈代明确提出了中值定理的核心内容：若函数  在区间  内可导，则存在  使得 
  • 几何直观与严格证明结合：他先用几何意义（曲线弦与切线的平行性）直观解释定理，随后通过构造辅助函数并应用罗尔定理（Theorem B of §121）给出严格的解析证明，体现了从直观到形式化的过渡。参考 Fig.43。

2. 强调数学思想而非技巧

  • 核心地位：哈代称中值定理为“微分学中最重要的定理”，凸显其核心地位，而非仅将其视为工具。
  • 推广形式：定理被进一步表述为  便于后续应用（如泰勒展开的铺垫）。

3. 丰富的应用与延伸

  • 例题引导思考：章节末尾的习题设计巧妙，例如：
  1. 验证定理对  和  的成立性；
  2. 利用中值定理证明函数在导数为零的区间内为常数；
  3. 推广到复合函数求导法则（链式法则）的证明。
每一个小节的习题

4. 语言风格与教学理念

  • 简洁而深刻：哈代的叙述简洁直接，但每一句话都蕴含关键信息。例如，他指出定理的几何意义“无需严格证明”，但依然给出完整解析证明，体现对严谨性的追求。
  • 启发式教学：通过问题引导读者自主探索（如习题中要求验证特殊情形），符合他倡导的“数学是创造性活动”的理念。题目中大量来自 Math. Trip 的习题，很有特点。
每个章节的数学题

One Dimensional Dynamical System

如何用通俗易懂的语言来解释一维动力系统

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我们用科普的角度来聊聊“一维动力系统”（One-Dimensional Dynamics）。

想象一下，你有一个非常简单的规则，这个规则告诉你：根据一个点当前的位置，如何确定它下一刻的位置。然后你不断地、一遍又一遍地应用这个规则。研究这个点在“时间”（可以理解为迭代次数）推进下如何运动、最终会去哪里、系统整体会表现出什么性质的学问，就是动力系统理论。
当这个点只能在一条线上移动时（比如一条无限长的数轴，或者一个首尾相接的圆圈），我们研究的系统就叫做一维动力系统。

为什么研究“一维”？

  1. 简单但深刻： 一维是维度最低的情况，规则相对简单，更容易分析和理解。但别小看它，即使是最简单的一维规则，也能产生极其复杂和令人惊讶的行为（比如混沌）。
  2. 基础性： 理解了一维系统的行为，是理解更高维（二维、三维甚至无穷维）更复杂系统的基础。很多高维系统中的核心思想和现象（如混沌、分形、吸引子）都能在一维模型中找到原型或被深刻理解。
  3. 应用广泛： 虽然模型简单，但一维动力系统可以用来描述很多实际现象的简化模型，比如：
    （1）种群增长： 今年昆虫的数量决定了明年的大致数量（考虑环境承载力的限制）。
    （2）简单物理过程： 单摆的近似运动（在小角度时）。
    （3）经济模型： 简单的市场供需关系演化。
    （4）信号处理： 某些反馈机制。

一维动力系统的核心要素：

  1. “舞台”： 点运动的空间。主要分两类：
  • 区间： 比如一条线段 [0, 1]。点不能跑出这个范围。
  • 圆周： 像一个环 S¹。点跑出“右边界”会从“左边界”回来（反之亦然）。想象一个圆盘边缘的点。

2. “规则”： 一个函数 f(x)。它定义了如何根据当前点 x 的位置，计算出下一个点 x_{n+1} = f(x_n)。这个函数通常是连续的，有时甚至是光滑的（可导的）。

3. “演员”： 一个初始点 x₀。

4. “剧情”： 点运动的轨迹 x₀, x₁ = f(x₀), x₂ = f(x₁) = f(f(x₀)), x₃ = f(f(f(x₀))), ...。这个序列 {x₀, x₁, x₂, ...} 称为轨道。

研究什么？关键问题：

  1. 不动点： 有没有点 x* 满足 f(x*) = x*？这个点就像“黑洞”，一旦到达就永远停在那里。它是系统最简单的稳定状态。
  2. 周期点： 有没有点 x_p 满足 f(f(...f(x_p)...)) = x_p（应用 k 次后回到自身）？这样的点会产生一个循环往复的轨道 (x_p, f(x_p), f²(x_p), ..., f^{k-1}(x_p), x_p, ...)，称为周期 k 轨道。这代表了系统的周期性行为。
  3. 吸引子： 大多数初始点的轨道最终会趋向于什么样的状态？是一个不动点？一个周期轨道？还是一个更复杂的、永不重复但被限制在某个区域的集合（混沌吸引子）？吸引子代表了系统长期行为的模式。
  4. 对初始条件的敏感性（蝴蝶效应）： 这是混沌的核心特征。两个非常非常接近的初始点 x₀ 和 y₀，经过多次迭代后，它们的轨道 {x_n} 和 {y_n} 会分道扬镳，变得毫无关系吗？如果系统具有这种性质，那么长期预测就变得极其困难。
  5. 拓扑共轭： 两个看起来不同的规则 f(x) 和 g(x)，是否本质上描述了相同的动力学行为？就像一个故事用中文和英文讲述，情节一样，只是语言不同。找到这种“等价关系”有助于对系统分类。
  6. 分岔： 当规则 f(x) 依赖于某个参数 a（比如 f_a(x) = a * x * (1 - x)）时，随着 a 的变化，系统的长期行为（吸引子的类型、数量、稳定性）会发生突然的、戏剧性的变化。这就像调节一个旋钮，系统性质突然“跃变”了。

一个著名的例子：Logistic Map（逻辑斯蒂映射）


规则极其简单：f(x) = r * x * (1 - x)。其中 x 在 [0, 1] 区间内（比如可以代表种群数量占环境最大承载量的比例），r 是一个参数（比如代表繁殖率）。

  • 当 r 比较小（比如 r=2）时：几乎所有初始点的轨道都趋向于一个稳定的不动点。种群数量最终稳定在一个固定值。
  • 当 r 增大一些（比如 r=3.2）时：不动点失稳，出现一个稳定的周期2轨道。种群数量开始呈现“大小年”交替振荡。
  • 当 r 继续增大（比如 r=3.5）时：周期2失稳，出现稳定的周期4轨道。振荡模式变得更复杂。
  • 当 r 增大到某个临界值（约 r≈3.57）以上：系统进入混沌区！轨道看起来是随机的（虽然由完全确定的规则产生），永不重复，对初始条件极其敏感。种群数量变化变得不可长期预测。在这个区域里，还能发现一些“窗口”，其中又会出现稳定的周期轨道（比如周期3）。
  • 当 r=4 时：混沌行为充满整个区间 [0, 1]，并且轨道点会稠密地分布在整个区间。

这个简单的二次函数，仅仅通过改变一个参数 r，就展现了从稳定、周期振荡到混沌的几乎所有一维动力系统的典型行为！它是一维动力系统研究的“明星模型”。

一维动力系统研究的是点在一条线（直线段或圆圈）上，按照一个确定的规则 f(x) 一步步移动的长期行为。它关注点最终会去哪里（吸引子）、是否会周期性重复、是否对起点极其敏感（混沌），以及当规则参数变化时行为如何突变（分岔）。虽然空间结构简单，但它能产生极其丰富和复杂的动力学现象，是理解更复杂系统的基础，并且在简化模型中描述了许多自然和社会现象。Logistic Map 是展示一维动力系统魅力最经典的例子。

Mathematics

从数学博士到电视艺人—《原来数学这么有用》

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你能够想象一位东京大学的数学博士是日本电视艺人吗？这听起来似乎不太可能，但鹤崎修功却打破了这种常规，将严谨的数学思维与娱乐性十足的电视节目完美结合，成为了日本综艺节目《东大王》中的常驻嘉宾，并且连续6年稳居节目中的顶尖选手。这样一位跨界人物，能够将学术领域的深奥数学与大众化的娱乐形式结合，正是本书《原来数学这么有用》的独特魅力所在。

1. 学术与娱乐的完美结合：一本让你爱上数学的书

鹤崎修功的这本《原来数学这么有用》，不仅仅是一本讲解数学概念的书籍，更像是一场跨越学术与日常生活的思维旅行。在这本书中，作者以一种通俗易懂且引人入胜的方式，将数学的奥秘从教科书里带到了每个人的生活中。无论是通过大数的浪漫，还是揭示数学思维在日常生活中的无限便利，书中每个章节都渗透着数学与生活的紧密联系。数学不再是冷冰冰的公式，而是与我们的日常息息相关的一部分——从概率判断到逻辑推理，再到复利法则的应用，数学思维像一把钥匙，帮助我们解锁生活中的种种谜题。

2. 让数学不再高冷：不只是公式的背诵

与一般的数学书籍不同，鹤崎修功的这本《原来数学这么有用》并不以枯燥的公式和定理为主，而是通过许多生活中的例子和趣味性的讲解，使读者能够在轻松的氛围中理解数学的内涵。比如通过简单易懂的”维恩图”，让我们了解如何掌握整体情况；通过“反证法”帮助我们理清思维，找出难题的突破口。而且，作者还巧妙地通过历史故事将数学家们的经历和挑战呈现出来，这些天才人物的故事不仅丰富了书的内容，也给读者带来了不同于传统教科书的情感连接。

3. 从娱乐节目到数学殿堂：读这本书，你会重新定义“数学”

鹤崎修功的身份不仅仅是一名学者，他还是日本综艺节目《东大王》的冠军和常驻嘉宾。正是这种双重身份让他能够从不同的角度去看待数学：一方面是严谨的学术研究，另一方面则是通过娱乐的方式传播数学的乐趣。因此，这本书不仅适合学生和数学爱好者，更适合任何想在繁忙生活中找到一点数学趣味的读者。书中的附录部分特别适合文科生和数学基础薄弱的读者，通过简洁明了的计算技巧，让你在轻松中掌握数学的小窍门。这种“学以致用”的思维，让《原来数学这么有用》成为一本真正能够为普通读者带来实际价值的数学入门书籍。

4. 数学家与工作者的小故事：从毕达哥拉斯到鹤崎修功

《原来数学这么有用》不仅仅是一本介绍数学原理的书，它还融入了许多数学家和数学工作者的动人故事，带领读者走进数学的历史与人性。书中的每一位数学家，不论是远古的毕达哥拉斯，还是近现代的拉马努金、费马，甚至是书中的作者鹤崎修功自己，都通过独特的故事展现了数学世界的多样性与魅力。

例如，书中提到毕达哥拉斯，他不仅是数学的奠基人之一，还是一位哲学家和宗教改革者。毕达哥拉斯的“数学即美”的理念影响了后来的数学发展，他将数字与和谐美的关系融入了音乐、天文学等多个领域。费马的“费马大定理”则成为了数学史上最著名的难题之一，这一难题直至1994年才被证明，书中讲述了费马的简短批注以及他对于数学的热情，令人感受到数学探索中的孤独与坚持。鹤崎修功作为本书的作者，也通过自己跨越学术与娱乐的故事，讲述了数学家如何在现代社会中实现自我价值，他的亲身经历让读者明白，数学不仅是一种知识，也是一种思维方式，能够塑造人的世界观。

结语

《原来数学这么有用》不仅仅是一本数学书，它也成为了跨界传播数学思想的桥梁。在娱乐和学术的双重身份之间，鹤崎修功给我们呈现了一个更为生动和多元的数学世界。数学不再只是抽象的符号，而是走进了每个人的生活，帮助我们理解世界的规律和秩序。如果你也曾为枯燥的数学课感到头痛，那么不妨翻开这本书，感受数学在你生活中的美丽与实用。

职场纵横

表面忙碌，实则低效：揭开职场中的“假努力”现象

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“假努力”是指在组织或团队中，员工表面上通过某些行为展现出“忙碌”或“努力”的状态，然而这些行为并未真正推动工作进展或产生实际价值。换句话说，假努力是一种通过表面形式来掩盖实际工作的缺失或低效，最终导致的是大量资源浪费、效率低下，甚至可能对员工的士气和创造力造成压制，只为了让领导或组织看起来似乎在“全力以赴”。

假努力的根源可以追溯到多个方面。考核机制的扭曲是关键。将工作时长、会议次数、代码行数、文档个数等易量化的指标作为核心KPI，而忽视了实际产出的价值。这使得员工被迫投入更多精力在应付考核、完成形式化任务上，而非关注如何提高实际工作效率。管理层的惰性也助长了假努力的现象，宁可不准员工请假休息，也要不愿意梳理和优化流程。高压考勤和形式化流程常常掩盖了真正的管理问题，比如战略模糊或决策低效，导致组织陷入表面“忙碌”而非实质推进的困境。文化的异化让员工逐渐放弃了解决问题的本质，而是将更多的精力投入到“证明自己在努力”的游戏中，形成了不健康的工作文化。强制分摊指标也是假努力文化中的一大体现。有些组织会强制按照月度、季度的较大比例（超过10%）分配“不合格”名额，即使团队整体表现优秀，也会有人被要求背锅。这种做法剥夺了员工的公平性，让团队成员之间陷入了不必要的竞争，导致真实的贡献无法得到认可，工作氛围变得更加消极。

假努力的典型表现之一是工时竞赛。有些员工通过加班、打卡等形式满足工时考核要求，尽管他们在工作时间内并未真正完成任务，甚至有的人在工位上睡觉、打游戏，仍能因工时较长而获得奖励。这种行为形成了一种扭曲的激励机制，员工通过“摆烂”获取应有的报酬，导致绩效评估失真，激励制度形同虚设。另一个明显的假努力表现是仪式性加班。这类加班并非源于真正的工作需要，而是为了制造一种“全员奋斗”的假象。例如，员工下班后仍然留在公司，甚至熬夜美化PPT，只是为了让上级看到“全员加班”的景象。还有一些员工为了让系统显示“周末加班”，故意带家属到公司打卡，然后离开，完全没有任何实质工作。

假努力的核心特征之一是过度文档化。在这种文化中，简单的任务往往被包装成复杂的流程。例如，本可以在一个小时内解决的技术问题，却需要员工编写大量分析报告并附上多种可视化图表，所谓的“知识沉淀”实际上只是对工作效率的拖延和时间的浪费。类似的情况还体现在数据的重复填写上，员工不得不在多个系统间手动同步数据，尽管这样的行为只是为了“闭环”数据流，实际上却消耗了几倍的时间和精力。而且在AI工具日益盛行的今天，不使用信息化和 AI 工具来分析数据，频繁使用手工统计数据就是企业效率低下的表现。

假努力在形式主义汇报中表现得尤为明显。员工往往花费大量时间在文档排版、标题格式等细节上，不断修改文件，却并没有提升报告的实际内容。某些组织甚至要求员工每天细化到每小时的任务，导致员工花费大量时间在填表和汇报上，而非真正推动工作进程。这种形式主义的行为不仅浪费时间，还使得员工逐渐陷入无意义的任务中，无法专注于实际的工作成果。

另一种典型表现是会议表演。频繁召开没有实际决策意义的会议，员工往往只是为了应付而参加，会议中的讨论缺乏深度，往往只是为了让上级看到“工作在进行”，给人一种“忙碌”的假象。这种低效会议消耗了大量的时间，员工的精力并未投入到实际工作中，而是被无意义的讨论和争论所消耗。更为严重的是，部分团队组织还会出现数据造假的现象。为了应对考核压力，员工可能会通过刷数据来“伪装”出工作的进度和效果。例如，刷研发设备的使用率或软件的点击率，甚至在项目进展滞后的情况下，通过美化报告来掩盖进度延误。这样做的直接后果是问题没有得到解决，工作效率被严重低估，甚至导致决策失误。

在一些技术和创新领域，假努力也表现得非常突出，尤其是无效创新指标。例如，技术岗位员工被强制要求每年提交一定数量的专利，然而这些专利往往是没有实际价值的“螺丝钉角度调节装置”之类的产品。某些“微创新”也只是虚有其表，投入了大量资源，但实际却没有任何使用场景。这种形式化的创新指标，不仅浪费了大量时间和资源，也削弱了技术团队的创新能力。运动式学习也是假努力的一种常见现象。企业往往要求员工完成与工作无关的学习任务，仅仅为了刷满“人均学习时长”。有时，培训也是一种形式主义，企业会组织一些如“XXX技术分享会”、“元宇宙战略研讨会”、“AI功能介绍会”之类的活动，会议结束后却没有任何实际的落地行动，会议的意义也就成为了拍照和写简报，毫无实质内容。

更进一步，假努力往往伴随着责任转嫁体系的存在。在这种文化下，决策的责任被层层分摊，最终大家都避免承担实际责任。例如，任何决策都需要经过多人会签，以避免个人承担责任。会议上，每个部门都会背诵“风险可控”，而实际上风险却在不断积累。这种做法往往让员工陷入无效的工作流程中，无法专注于真正需要解决的问题。

假努力的背后隐藏着一种特有的运作逻辑。员工往往优先选择那些能被领导看到的任务，譬如熬夜修改PPT，尽管这些任务并非最重要。与此同时，员工也可能通过“数据美容术”将失败的项目包装成“成功完成第一阶段目标”，用产出的“厚度”替代了实际的“结果价值”。在这种文化中，员工往往陷入了一个恶性循环：高层的焦虑转化为中层的考核压力，中层又将这种压力转化为形式化的指标，最终基层员工只忙于应付这些无关紧要的任务。

假努力的恶性循环最终会导致劣币驱逐良币。那些拒绝参与表演式加班、真正致力于高效工作的员工，往往因为没有表面上的努力而被打低绩效，而擅长写汇报、做表面功夫的员工则容易获得晋升。资源的浪费也会加剧，例如员工用80%的时间证明自己“在努力”，而只有20%的时间用于真正的工作，这样的情况无疑造成了巨大的资源浪费。这种文化的认知扭曲也非常严重。许多人把“吃苦”看作是一种美德，甚至在每天早上8点准时上班的前提下实现凌晨3点依旧在公司打地铺，工作到生病甚至吐血，都被视为一种值得尊敬的行为。而实际上，这样的行为只是低效工作的象征，反而应该被批判，而不是赞美。

假努力的危害不可小觑。首先，人才流失是最直接的后果。真正有能力、效率高的员工往往不愿参与这种无效的内耗，他们会因为感到无法发挥自己的价值而选择离开。其次，创新停滞也是假努力带来的重大问题。大量的精力被消耗在应付考核、填报表格等无关紧要的事情上，导致员工无法集中精力进行技术攻坚和创新性工作。最后，信任崩塌也是假努力的严重后果之一。当员工明白领导口头上强调“奋斗”，却在背后纵容形式主义时，他们的积极性会急剧下降，表面上可能还会“赞美”领导，私下却会产生强烈的不满。

假努力本质上是一种管理失效的表现。企业通过制造“忙碌假象”来掩盖战略不清晰和流程混乱，员工则通过加班、汇报等形式来“证明”自己的努力。最终，假努力不仅导致资源的浪费和效率的低下，还可能抑制员工的创造力，造成整个组织的创新停滞。假努力的文化本质上是用战术上的勤奋来掩盖战略上的懒惰。当企业无法精准识别真正的价值时，便通过形式主义来维持表面秩序。要打破这一困局，需要勇气与决心：停止赞美那些“工位上的尸体”，开始奖励那些能够用更少时间创造更多价值的人。这不仅能够提升组织的整体效率，还能激发员工的创造力和工作热情。因此，摒弃假努力文化，重视实际产出和效能，才是提升组织效率和员工积极性的关键。

National University of Singapore, One Dimensional Dynamical System

在新加坡的这五年—学术篇（八）

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在2010年12月的新加坡，没有冬天，只有雨天。每天差不多下午四点，天色微暗，图书馆的窗外就会下起一场雷阵雨，雷声轰鸣却不让人害怕，反而像是某种自然的节奏。而且下雨的时间非常准时，不多不少，正好是每天下午的四点左右。当年由于办公位紧张，再加上我的运气一般，导致我没有抽到办公位，所以我每天就喜欢坐在新加坡国立大学的理学院图书馆（Science）靠窗的位置，桌上摊着一篇数学论文，题目看起来很有难度：《Polynomial maps with a Julia set of positive Lebesgue measure: Fibonacci maps》。这是导师布置的任务，要我找出这篇论文中的一个“gap”，而且这个gap是Xavier Buff在1997年就已经指出，但是又没有明确指出哪一段有问题。我当时还很年轻，对动力系统入门并不算久，也没有阅读论文的经历，面对那些抽象的定理和公式，一度感到焦头烂额。

这篇论文声称，对于足够大的偶数 \ell，总存在实数c，使得映射 z \mapsto z^\ell + c 的Julia集具有正的Lebesgue测度。这是一个重要的结论，也是一道未解的难题。可惜的是，1997年时法国数学家Xavier Buff指出论文中存在严重缺陷，但具体问题所在一直无人给出明确分析。导师要我做的，就是从这篇纸面看似无懈可击的证明中，找出那个致命的漏洞。那段时间，我每天在图书馆待到闭馆，翻来覆去地研究每一个lemma、每一页的推导，一边听着窗外准时的雨声，一边陷在公式构筑的迷宫里。

Xavier Buff是一位法国数学家，虽然他写了一篇论文来解释原始论文中的“gap”，但他并没有用英文，而是选择了法语来表达。而且，这篇论文只是在布尔巴基的Seminar会议或者期刊上发表。毕竟，当着大佬们的面指出他们论文中的漏洞，压力是很大的，最好还是含蓄一些。毕竟，学术界的江湖并不是简单的打打杀杀，更多的是讲究人情世故。如果这些大佬的论文即便有瑕疵，最好不要随便去补漏洞，免得得罪人都不知道是怎么回事。那时我还年轻，依旧保持着一股浓烈的数学研究热情，尽管是法语论文，也没有难倒我。

我打开翻译软件，将Xavier Buff的论文一字一句地翻译。那时的科技远没有现在那么发达，翻译软件的功能也很有限。我只能一段一段地翻译，然后将翻译内容用LaTeX排版成英语文章。整整花了一个多月的时间，我终于把这篇论文翻译完成，并且整理成了英语版本，发给了导师。但我也感觉到，Xavier Buff在论文里其实并没有明确指出，原论文的哪一章节、哪一个定理、甚至哪一句话是错的。当时我就体会到了，果然，老外也是很讲究人情世故的。

不过，Xavier Buff针对Fibonacci Maps还是撰写了一篇英文的文章《FIXED POINTS OF RENORMALIZATION》。他将经典多项式映射的重正化理论拓展至更广泛的映射类型（称为L-映射），特别针对具有特定临界轨道组合结构的斐波那契映射（非经典重正化对象），构建了一个封闭的自洽重正化算子。证明实对称斐波那契映射的迭代重正化序列会收敛到一个二阶周期循环（即两个映射交替互为重正化结果）。这两个映射在临界点邻域内表现相同，而在另一特定区域内则呈现符号相反的对称关系。通过重正化不动点导出关键函数方程（Cvitanović-Feigenbaum方程），并证明其解具有独特的几何性质：解的解析域是由拟圆边界界定的拟盘。由此构造的多项式类映射，其动力系统的Julia集具有拟共形等价性（如等价于某类多项式的朱利亚集或拟圆）。这篇论文虽然提供了一个不错的想法，但是对指出原始论文的Gap帮助有限。

做科研比较痛苦的事情就是思考问题，而且要克服的事情就是每天起床之后要面对一天的失败，毕竟365天起码有300天没有结果。经过我个人的不懈努力，一页一页磨，总算在博士第三年把论文推进到Chapter10。虽然推进的速度相对其他方向慢了许多，但是我在阅读论文的过程中还是把周边的论文都读了个遍，包括但不限于Fibonacci Interval Map、Fibonacci Circle Map、Renormalization Theory、Martingale Theory 等方向的书籍与论文资料，当时给我的感觉就是除了这篇文章没搞定，其他论文都搞定了。而且这篇原始的论文我差不多也花费了快三年的时间，可能是我个人的天分不太够吧。在2021年左右，我在师弟的一篇报道中看到下面这一段话，引用在这里以激励大家努力工作从而做出杰出成果：

接近一年的时间就为了去搞懂一篇论文，这在有的人看来是很不划算的，沈老师却有不同的观点：“ 做数学要能静心来，年轻人花十年时间不去计较得失钻研数学不是件吃亏的事情”，这句话让我内心深受震撼。确实数学研究一直是困难重重，做出好的结果更加不易，大多数时候的付出往往没有收获，计较一时的得失只会犹豫不前。只有不忘初心，才不会愧对自己的人生。 “十年不亏”也成为了我后来学习生活的指路明灯，我相信那句话： “念念不忘，必有回响”。

最近到了2025年，回想起当时的种种，也觉得颇有一番道理。如果只是为了做一个普通的结果，那就最好不要去做了。还是要以核心的论文和课题为目标，只有树立远大的目标，最终才会有一个好的结果。比如说，在研究动力系统的过程中，如果以发表《Annals of Mathematics》为目标，那么说不定最终能发表一篇《Communications in Mathematical Physics》；如果以发表《Communications in Mathematical Physics》为目标，或许可以发表一篇《Ergodic Theory and Dynamical Systems》；如果以发表《Ergodic Theory and Dynamical Systems》为目标，最终可能只会发表一篇《Discrete and Continuous Dynamical Systems》；而如果以《Discrete and Continuous Dynamical Systems》为目标，那么估计最后只能发表国内期刊了。当时我还在读博士的时候，我们私下认为，要想在动力系统领域做下去，博士期间至少得发一篇《Ergodic Theory and Dynamical Systems》这个档次的论文，毕竟这算是动力系统领域的敲门砖，发表了之后就算是正式进入这个领域了。

转眼已经是2025年，我再次想起那篇让我头疼了好几年的论文。这一次，我有了一个全新的“助手”——人工智能。我将整篇论文输入到AI中，要求它分析出最有可能出错的关键lemma或theorem。为了避免它被先前的结果干扰，我每次分析前都清空对话历史。第一次，它指向了第10章；第二次，依然是第10章；第三次，依旧如此。这个结果让我震惊，因为十几年前，我也正是凭借自己的直觉和一堆手写演算，将焦点锁定在了那个章节。那一刻，我突然感受到一种跨越时间的验证——仿佛过去那个在热带雨中冥思苦想的我，终于得到了回应。

于是，我再次深入提问，追问第10章可能存在的潜在问题。这次，AI指出了引理10.3和定理10.3的渐进表达式可能存在问题，这与我当时认真分析和严格计算得到的初步结果已经非常相似。我意识到，AI并没有直接为我解答问题，它只是以另一种方式验证了我的直觉和判断。那时我可能还在用尺规构建数学的“积木”，而现在，AI则帮我拿起了扫描仪。它不是替代者，而是另一个视角，一个冷静、系统、高效的数学“侦探”。它无法凭空理解抽象背后的意义，但它能以惊人的效率指向结构中的松动之处，让我们这些人类研究者能够更加聚焦地重新思考。

而在2010年我翻译的那一篇法语论文在AI的协助下，翻译变得极为容易，只需要短短几句话，我就可以得到完整的段落翻译，甚至还可以获得论文指出的“Gap”。从论文指出的内容来看，确实也算指出了原始论文存在不可逾越的缺陷。

这次经历让我对之前的科研进行了反思，也对AI的使用有了更深层次的体会。AI可以是导师，是助手，是共谋者，但它永远无法取代我们对于美、逻辑和意义的追求。我记得在新加坡的前三年时间里，我对着这篇论文感到迷茫和无力；而现在，我借助AI，让迷雾稍稍散去了一点。这不仅仅是一次问题的回溯，更像是一次人与技术共舞的实验。最终，我并没有解决那个难题，但我知道，解决的路径已经比过去清晰了许多。

未来的科研，将是人与AI的合奏。我们用直觉和经验提出问题，AI用速度和模式捕捉给出方向。而最终的证明与理解，仍然属于我们。那些新加坡每天准点落下的雷雨，就像是大自然给出的节奏，而AI，是帮我们听懂这段旋律的新耳朵。

职场纵横

从公式到实践：数学博士的职业转型指南

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在十年前读书的时候，笔者就听老师说过，十年前的数学博士就业环境与二三十年前的就业环境完全不一样。二三十年前还有很多教职空缺，还有大量的数学博士的需求，十年前这类岗位就逐渐减少了。更别说 2025 年的今天，数学博士在学术界找到教职的机会也越来越少。因此，在漫长的学术生涯中，数学博士在这个环境下会面临一系列结构性困境，诸如低薪、职位不稳定、学术界对职业发展路径的限制以及学术研究与现实需求的脱节等因素。这些困境促使许多数学博士开始思考是否需要跳出学术界，去寻找一个更加灵活和富有挑战性的职业道路。

对于那些深耕基础数学的学者来说，转型并非意味着放弃自己的学术身份，而是需要通过精心策划和有意识的自我重塑，在新的职业领域找到自己的位置。

一、承认转型的必要性

就个人的经验来看，数学博士在学术界的身份是高度专业化的，长期的研究和教学经历往往让他们形成了独特的思维方式。无论是基础数学的博士，还是应用数学的博士，都是在一个狭窄的领域里面攻克问题。然而，随着经济环境的变化和学术圈的竞争加剧，开始有越来越多的数学博士意识到，学术界所提供的职业机会并不总是能够满足他们的职业需求和生活期望。在此情况下，转型成了一个不容忽视的选项。这种转型不仅仅是职业路径的改变，更是身份的重塑。

数学博士需要克服的是失去“学者”身份的心理障碍。在很多数学博士眼中，学者身份象征着智力的高度和深度，是对个人能力和知识的认可。学术界的评价体系、同行的认可，以及学生们的尊敬，往往让博士们产生了强烈的归属感和自豪感。当数学博士面临离开学术界的抉择时，这种身份的告别不仅让人感到茫然，也伴随着对“自己还做得到什么”的深深疑虑。

“我还能做什么？” 这是许多数学系的博士在转型初期面对的最大困惑。学术界中的许多技能，例如复杂的理论推导、高深的数学论文，似乎与工业界的工作没有任何关系。因此，博士们容易产生“离开学术界就意味着自己是失败者”的情绪，甚至觉得自己在现实世界中的价值被大大缩小。但是，以笔者个人的观点来看，离开学术界并不意味着个人能力的贬值，相反，它可以是个人能力的重构过程。数学博士的科研训练使他们具备了深度的逻辑思维能力、严密的分析能力、解决复杂问题的技能，这些能力在非学术领域同样是极为重要且受欢迎的。问题在于，如何将这些学术能力有效转化为行业所需要的应用能力，如何让这些能力为企业创造价值？

二、从恐惧到探索：分阶段的转型策略

在整个转型过程可以分为几个关键阶段，每个阶段都需要博士生根据自己的实际情况作出调整。

  1. 恐惧期：这一阶段非常关键，数学博士面临的是对未知的恐惧和不安。转型的第一步是承认自己渴望改变职业道路的内心想法。可以通过写笔记、查看网络信息、与信任的同事或朋友进行讨论，来勇敢地直面这些情绪。在这一阶段，认知上的变化尤为重要，转型不意味着失败，而是给自己开启了新的可能性。在这个阶段，也要放下自己之前的执念，从坚持做数学转到坚持找工作和就业，并一切行动以就业这个目标为主。
  2. 探索期：一旦克服了心理障碍，下一步就是了解外部世界。在这一阶段，数学博士应通过信息访谈、人际网络的建立，主动与业界人士接触，拓宽视野。数学博士的分析思维和问题解决能力在很多非学术领域都能派上用场，例如金融、咨询、科技开发等领域。因此，探索期的目标是发现这些行业需求与自身技能的契合点。在十几年前，数学博士的转行方向之一就是quant，也就是去各个投行去做金融市场的分析，而当时推崇的教材就是《期权、期货与其他衍生品》。当然，十年前笔者并没有随大流加入quant，而是综合分析自身情况之后最终加入了互联网公司进行人工智能算法的研发，现在看起来人工智能的发展势头一点都不输给quant。所以，每一个转行的博士一定要根据自己的情况来调整，别人选择的方向并不一定适合你自己。
  3. 提炼期：这个阶段的核心任务是将学术技能转化为市场可用的职业能力。首先，数学方向博士生需要重构简历，突出可转移的技能。例如，制作PPT能力、撰写文档的能力、汇报能力、英语能力等都是数学博士在学术研究中已经积累的宝贵技能。当然，最重要的就是数学博士的数学能力。在转行的过程中，基础数学的博士还可以加强项目管理、数据分析、编程能力等此类能力，让公司的面试官认为候选人虽然不会，但是有极强的学习能力。在简历中，数学博士可以用商业术语来替代学术术语，将“发表论文”转化为“成果交付”是一个必要的转化步骤。在简历中也需要强调博士学位所培养的深度分析能力、复杂问题的解决能力、抽丝剥茧似的坚持不懈的能力，这些能力在很多工业界的领域中都是求职优势。
  4. 应用期与发展期：博士生需要开始积累与新职业相关的经验。可以通过兼职、临时项目、自由职业或者实习等低风险的方式进行尝试，逐步适应并了解新行业的工作环境和文化。现代社会有很多兼职和副业的机会，包括但不限于大学数学的辅导和考研辅导、实际的编程比赛、各种各样的AI工具实践。随着实战经验的积累，数学博士生可以更好地调整自己的研究习惯与工作习惯，逐渐放弃学术界的完美主义思维，转向更为高效的“二八定律”工作方法，专注于最具影响力的任务，用最少的时间换取最大的经济效益。同时，数学博士需要改变的是先学习再做论文的思维，在其他领域是强调“一边做、一边学”的学习方式，在各种AI工具的协助下，尽快完成工作任务则是工业界的要求之一。

三、心理建设与身份适应

转型不仅是技能的转变，还是心理上的适应。数学博士需要面对新的身份认同问题：从“学者”到“职业人士”的身份转换可能带来一定的焦虑。如何克服这种自我怀疑是转型过程中不可避免的心理挑战。在这一过程中，可以通过持续的自我反思和实践来逐渐积累信心。在新行业中，尽管初期可能会有不适应的阶段，但通过不断学习和积累经验，博士生能逐渐发现自己的独特价值并建立新的职业身份。

虽然转型意味着离开学术界，但完全割裂与学术界的联系并不一定是最好的选择。数学博士可以通过以下方式维持与学术界的联系，这不仅能保留学术兴趣，还能帮助他们在职业转型中保持平衡，避免完全脱离过去的身份：

  1. 撰写博客或出版文章：很多数学博士可以通过创建自己的专业博客或参与一些学术写作，继续分享数学领域的思考与成果。这不仅能够保持学术思维的活跃，也有助于维持与学术界的互动，继续与同行保持联系。与此同时，这也是建立个人品牌和影响力的一种方式，有助于在新的职业领域中获得更多的机会和认可。
  2. 参与学术会议或讨论：即使不再从事学术研究，数学博士也可以选择参加学术会议、研讨会等学术交流活动，保持对数学领域的关注。这不仅可以扩展学术圈子，还能够从中汲取新知识，提升自我认知，保持对学术的热情。

在转型的过程中，数学博士很可能会遭遇自我怀疑，尤其是在刚刚进入新领域时会最强烈。虽然博士生在学术界拥有强大的分析能力，但进入非学术领域后，他们可能会感到自己缺乏行业经验，无法立即适应新的工作环境。许多数学博士担心自己被视为“大材小用”，特别是在进入相对入门级的岗位时，可能会感到自己的能力无法完全发挥，心生不满。要克服这些心理挑战，最有效的办法就是通过实践和不断适应来积累信心。起初，数学博士可能会觉得自己在新环境中显得格格不入，或者面对着巨大的工作压力。但随着时间的推移，他们将逐渐发现自己独特的优势，学会如何在不同的情境中应用自己的思维方式和技能，逐步适应新的职业角色。

四、实用工具与技巧

数学博士在职业转型过程中，应重点关注AI工具的使用、简历优化、建立有效的人际网络以及低风险的实践尝试。这些步骤有助于减少转型过程中的不确定性，并逐步积累行业经验，从而为自己的职业发展奠定稳固基础。

  1. 简历优化：对于数学博士来说，简历优化是转型的关键。简洁而有力地突出业务价值，避免冗长的学术描述。具体来说，在工业界的数学博士要重点描述自己的数据处理能力、统计分析能力、项目管理经验、英语沟通能力、资料整理与汇报能力等。在这个过程中，可以尽量使用AI这样的工具来提升自我的综合能力。
  2. 人际网络：数学博士在新行业需要建立有效的人际网络，主动寻求行业专家的指导，并在转型后反哺他人。通过这种双向互动，博士生能够更好地了解行业动态，同时为自己积累更多的职业资源。
  3. 低风险尝试：在转型的过程中，数学博士完全可以通过临时工作、兼职项目等低风险方式积累行业经验，可以有效降低转型过程中失败的风险。例如，通过从数据录入工作、到开发工具自动化录入、再逐步过渡到咨询岗位，这样的实践经验可以为后续职业发展铺路。

五、长期职业观：跳板而非终点

对于数学博士来说，转型后迎来的第一份非学术工作可能并非最终的长远目标，而是职业发展的跳板。持续关注行业动态、增强相关行业技能、寻找与个人兴趣和能力更为契合的工作机会是博士转型的长期任务。虽然博士学位可能不再是学术界的加分项，但它在其他领域依然拥有不可忽视的价值。通过逐步证明自己的能力，博士生能够摆脱“大材小用”的困境，开创出更加广阔的职业前景。

数学博士的转型是一条充满挑战和机遇的道路。通过逐步转型和心理调整，博士生可以在更广阔的职业舞台上找到自己的位置。在这一过程中，大家不仅需要学会技能转化，还需要保持灵活的心态，适应新的工作环境，并在实践中不断完善自己。虽然转型的过程中充满不确定性，但只要积极准备、持续学习，最终将收获更加广阔的职业发展空间。

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