Category Archives: 数学界的八卦

随笔(九)— 师门轶事

导师篇:

  1. 有一次在办公室跟导师聊天,导师问:“初来新加坡,你的住宿条件好不好,有没有空调?”听到这话我心想导师那么关心学生生活,深受感动,连忙说:“住宿条件一般,暂时没有空调”。导师说:“这样不行啊,没有空调不方便熬夜工作”。我继续说:“白天工作就好了呀”。导师说:“我见过的数学家都是要熬夜工作的,无一例外,白天杂事繁多,夜晚夜深人静适合思考数学”。
  2. 导师说:“每个 PHD 刚来学校的时候,其实我前三年都没怎么管,是因为想看一下学生独立发展能够发展成什么样,了解一下学生的数学能力极限在哪里。”于是,师兄们的毕业年限纷纷变成了 6 年,7 年, 8 年。前三年导师也没有跟我交流过太多论文技术,博士第四年才给我些许帮助,可能也是想看看本人的极限在哪里。后来我独立证明了一个 Real Bound Theorem 也就知道自身的极限大概是哪里了。
  3. 有一次我讲讨论班,自我感觉准备充分,但是讲的时候总是被打断和提问。导师回头就说:“讲讨论班的时候,不要让台上的人觉得很舒服,一定要让他觉得很难受”。还有一次我讲论文,刚说了两句话。导师说:“作为一个搞过多年数学的人,一听你这几句话,就知道你没有懂”。有一次我说我貌似得到一个新的结果,刚讲解了几句,导师就发现了问题,立刻说:“目前你都是一个 PHD 了,怎么还能写出这样一个数学公式”?
  4. 在某次聚餐上,导师说:“目前二师兄已经写好论文了,大师兄应该很快就把论文写好了,三师兄再努力一下搞一年”。然后回头看了看我,说:“你还有很多年”。事后来看,本人博士第四年努力了一下,总共花了一年时间就把论文交上去了。
  5. 同样是一次聚餐,导师问我们师门几人:“你们几个最近每天花在科研上的时间有多少,是一个小时还是两个小时?”大家顿时沉默不言。当时我阅读了一本关于拖延症的书籍,确实也按照书中所说治疗本人的拖延症,每天至少也有三个小时投入写论文中。我就如实告知导师。导师立刻说:“三个小时是肯定不够的,但是这个应该不算太差”。
  6. 在交了毕业论文之后,原本是按照导师计划留在本校做一段时间的研究员,但是导师当天突然告诉我没有给我申请相关职位,于是我就瞬间没有资金来源了,只好安心回家度假。当时想想也算好事,回家过年也算是一大喜事,毕竟留学五年也没有机会回国过年。有一天,系里面突然联系我,让我提供论文中的一些细节和证明。但是我的心里真的是无数 XXX 呼啸而过。看在还没有毕业的份上,即使没有任何收入也只能静下心来补充数学证明。
  7. 在本人的毕业聚餐上,我表达了以后不继续做动力系统的想法,导师和答辩老师都说:“学了数学的人搞不了其他的,只能继续从事数学研究”。当时我就不以为然,觉得自己肯定能够做其他事情,但是修改论文一直在耗费我的时间,也没有努力学习转行技能,当时确实又不知道可以做什么。在最后一次见面的时候,导师跟我说:“如果想回数学界的话,两年内基本上还是可以回来的”。并且导师也跟我的同学表达 XX 未来肯定会回到数学界。但是,我后来找到了一份工作,日常搞搞机器学习和金融数学,最后就不考虑回数学界的事情了。

师兄篇:

  1. 有次一个日本教授来新加坡访问,我们问:“跟他是不是只能说日语了?”二师兄立刻回答:“不要紧,你的三师兄一直都会几句日语”。 但是我回想很久,一直都没有听过三师兄说过日语。
  2. 在大师兄的毕业答辩上,有一个国内的教授问我:“你打算什么时候毕业,是不是明年?”我当时恰好把论文写得差不多了,立刻回答:“我打算今年就交论文毕业”。回想起师兄们的 6 年,7 年,8 年,当时觉得自己真的是毕业神速。
  3. 大家有段时间都在办公室里面玩暗黑 3,基本上是有时间就会开始打游戏。有一次三师兄突然告诉我,玩游戏卖装备已经回本了。于是,三师兄在我心目中一直就是游戏大神的形象。
  4. 在二师兄毕业了之后,在新加坡的就只剩下大师兄,三师兄还有我。有一段时间我们三人为了努力毕业,每周六早上都会去办公室搞讨论班,虽然我也听不懂师兄们在聊啥,但是也只能假装很有兴趣,因为毕业是头等大事。
  5. 在帮大师兄拿毕业证的时候,心想大师兄经过八年的辛苦工作终于毕业了。于是想到自己还没有一个合适的结果,拿学位证遥遥无期,顿时觉得心情十分低落。

(持续补充)

《我的几何人生》— 丘成桐

最近在看丘成桐先生的自传《我的几何人生》,书中有不少的数学内容,也有很多有意思的事情。下面整理了一下部分内容,欢迎大家一起来阅读。

萨拉夫可说是我第一个遇上的懂得当代数学的人,他用“美式风格”讲授常微分方程,鼓励学生在课堂上提问和投入讨论。这种方式对中国学生(包括我)来说,是非常不习惯的,我们一直被要求安安静静地听课,不可打断老师的话题。萨拉夫这种自由奔放的教学风格,比较随性和自然,但有时也会在讲课中间碰到困难,呆立当场。在这些场合,我就会出手相助了。如此一来,我很快便引起他的注意。有时觉得可以时,他就让我上一部分课。我也常常到他家中,帮他准备讲义,或提出不同的解题方法。

崇基体育部的主任卢惠卿也是伯克利来的,她力劝萨拉夫罢手,说坚持下去只会令情况更糟糕。她知道我家缺钱后,提议挣钱的另一方法,就是给校内的教授教太极。教员中很多是老外,对太极这国粹并不了解。坦白讲,太极并不是我的强项,但借此挣点钱也算轻松,我很感激卢的安排。

来伯克利之前,我自以为了解拓扑学,它研究最广义下物体的形状以及分类,但代数拓扑课提供了全新的角度,把拓扑问题化为代数问题处理。开始时有些紧张,因为学生比以前上课时更加投入。我没有打算说很多话,但其他同学则踊跃发言,似乎头头是道。几个星期后,我把课本(就是Edwin Spanier本人编写的)看了一大半,发觉大部分同学都是在吹牛瞎说。

可是到了1970年8月他从普林斯顿回来,情况就不同了,他戏剧性地提议我改变方向。普林斯顿的安德雷·韦依(André Weil)是声望极高的数学家,陈师在那里跟他谈了一次,十分兴奋。韦依指出,当前数学的发展,已使数论上著名的黎曼猜想变得只有一步之遥了。1859年黎曼提出了他的猜想,用以解释质数不依常规的分布。伟大的黎曼三十九岁就英年早逝,他没有给出答案。超过一个世纪之后,人们还不知这猜想的对错。陈先生期望我能破解它。我正急于定下论文的题目,陈先生催促我立时开始工作。毫无疑问,这是个极具挑战性的难题。出于个人的品位,我对几何问题的兴趣远比对解析数论的大。研究大问题往往要花上几年时间才能取得进展,必须靠激情始能坚持下去,因此我不为黎曼猜想所动。也许我的本能反应是对的,黎曼猜想至今尚未破解。

就在这时候【保钓事件】,陈先生生病住院一个月,我和一群中国学生去医院探望他,却对他讲的一番话感到愕然。他并不赞成我们政治上的行动。虽然他和杨振宁等知名人士联署了一封信,刊登在《纽约时报》上,内容和游行学生所说的大同小异,但他劝我们立刻停止行动。他说:“人生不外名与利,学生运动两者皆不达。”……在那一刻我理解到,即使陈先生和我的价值观并不相同,但我也可以从他身上学到许多东西,当然也要正确地看待他或其他人的意见。我相信他是为我着想,可是说到底,我还是要依靠父亲的教导立身处世。

项武义是系里的年轻教授,陈先生很喜欢他。有次他请我到他家出席隆重晚宴,开始时并不知道那是有所图的,他打算将他太太的亲戚介绍给我。当我知道后,便开诚布公对他说我心中另有所属。项武义很失望,当然此乃人之常情。我知他是一番好意,但这些事情也不是能敷衍以对的。几年后我从一些日本数学家口中得知小平邦彦的故事,小平是日本首位菲尔兹奖的得主。他们有位朋友是小平的学生,小平要这位出色的年轻人迎娶他的女儿。那学生心想如果拒绝的话,必定会触怒大师,于是只好乖乖答应,成为小平的东床快婿了。不久之后,我搬到东岸去。武义的兄长项武忠是耶鲁的数学教授,后来转到普林斯顿去。他请我吃晚饭,到了晚饭时才知道他夫妇想撮合我和他们的一个亲戚,当我告诉他们我心中已有人时,他和武义一样显得很失望。从一方面看,能够受邀结识某人的亲友,从而发展一段浪漫的关系,自是受宠若惊之事,但事情如此了结,使项氏兄弟不悦,似为未来之麻烦定了基调。

我从约翰·米尔诺的书《莫尔斯理论》学到很多关于这理论的内容。很惊讶莫尔斯本人非常讨厌这本书和它的书名,说它应该叫《极限点理论》才对。传说莫尔斯收到这本书后,随即把它撕烂并扔进垃圾箱,他认为只有自己才配写这题目的书。这种反应好像过激了一点。但我个人对莫尔斯倒没有什么看法,他和他的夫人都挺和善。为了保持良好的关系,以免他发怒,我小心翼翼地不让他知道,我是多么喜爱米尔诺的书,并且从那儿学到不少几何知识呢。

前面提过的项武忠也来了,他是和我同一年到高研院的。他似乎有一种与生俱来的能耐,不用刻意做就能冒犯别人。我也是他这种“天赋”的受害者,不过我不会放在心上。项太太却是十分和气的人,她不断补救丈夫的过失,纵然如此,在下认为她只有部分成功而已。

【尼克松宣布次年访华】莫宗坚不理会众人苦苦劝告,1972年他回国了。他把所有家当都丢在美国,就连车子也是,他要平价卖掉却一时之间找不到买家。可是半年后,他就决定跑回来。或者他和其他人一样,被当时贫困的生活环境,还有微薄的收入惊醒了美梦。很不幸,那时在美国找事情也不容易。项武忠打电话给宗坚的论文导师舒里南·阿比安卡尔(Shreeram Abhyankar),帮助他把原来的职位找回来,因此项跟我说他是莫宗坚的衣食父母。

我在石溪教书,第一门课是初等微积分。和在伯克利当研究生时的遭遇一样,我又面对了同样的困难,我的口音太重,学生听不明白。第一个星期之后,班上的人数剧减,有的退选了,有的转到其他组别去。到了最后,原来四十人的班,只有四个留下来。虽然如此,这四个学生到了期终考试,成绩都好到不得了,他们高兴地请我吃晚饭以示庆祝。经历这次磨炼后,我算是通过教学的测试了。

刚刚看到卡拉比猜想时,我正在伯克利的数学图书馆看书,这个问题立时把我抓住了,我有一种强烈的意愿,不管它对不对都要把它解决,我无法抽身离去。陈先生明显无此感觉,他有他自己的兴趣,自己关心的东西,但不知是何原因,他对这问题始终提不起兴趣。

次日早上,我往数学系看伍鸿熙,中途被项武义招到他的办公室。为了迎合他的口味,我告诉他自己近期的工作,利用微分几何中的偏微分方程解决了一个拓扑问题。项武义不以为然,说结果显而易见,用拓扑的方法便足以证明。同样的偏见,曾出现在以后的研讨班中。那次陈先生让我主讲,主题便是用微分几何来解决纯粹拓扑的问题。当时听众有五十多人,大家聚精会神听我讲一个新的用微分几何研究群作用的理论。项武义站起来,说:拓扑学者不需要几何学者来帮忙解拓扑问题,说罢就在陈先生和其他人的面前,拂袖而去。于是,项武义在办公室的黑板上勾写他的做法,即如何不用几何去解决拓扑的问题,可是差不多过了一个钟头,还是没有找到头绪。他突然离开办公室,说要上洗手间去,可是过了大半个钟头,还没有回到办公室来。我只好和伍鸿熙吃饭去了,此后未闻项再谈此事。

在这些故事中,钟开莱对华罗庚每多溢美之词,早年他曾随华学习,而对陈则没什么好话。从这些交谈之中,再加上后来的四处打听,我知道了陈、华不和的部分原因,他们的交恶对整个中国数学界都有负面的影响,对我个人而言亦复如是。根据钟开莱讲的故事,华罗庚是别人眼中的天才。他生长在贫穷的家庭,没受过什么教育,光靠自学,竟破解了数学上好些难题。陈省身终究成就更大,但这是后来的事了。陈并没有经济上的困难,他父亲是个法官,但华的父亲只是个店员,家境并不富裕。1941年,中国政府成立了国家科学大奖,第一届的得主是郭沫若和华罗庚。这个奖类似于美国的国家科学奖,由国家领导人亲自颁发。当时两人住在一起,可以想象这是对陈的打击。随着岁月的推移,陈的愤愤不平也许愈来愈盛,因他从未得过这荣誉,而说故事的钟开莱,其贡献当然未堪与陈比肩,但也得了个银奖。陈、华之争,原来起自芥毫的差别,但随着岁月而加剧。据在下观察,纷争容易形成,但难以化解。有时直到当事人皆不在世,纷争都不见得消散。……钟为人孤僻,和系里其他人相处不来。他和萨姆·卡林(Sam Karlin)都是研究概率的,但从来不闻不问。

贝利在研究某个数学问题,想知道写出一篇高质量的论文后,如何在具审稿制度的学报上发表,因此向师兄求教。“做数学就像是和女孩子睡,”老大哥如此说,“第一次或许有点儿麻烦,但下一次就会顺利得多了。”我不会这样说,但师兄的话或许真的见效。

1974年春天,陈先生邀请我到伯克利演讲。出生于俄罗斯的数学家米哈依尔·格罗莫夫(Mikhail Gromov)被视为当世最杰出的年轻几何学者之一,他正初次访问伯克利,伯克利待之为上宾。在六个月前,我曾和格罗莫夫有过一次不甚愉快的经历。那一次我用几何分析的方法证明了某个空间具有无限的体积,格罗莫夫却说我的证明一定不对。我并不能肯定他是否了解我采用的方法,无论如何,这结果经得起考验,绝没有错。这次在伯克利讲的是另一主题,就是在几何空间中的“谱”,即空间变形时产生的共鸣的、振动的频率。原则上,它和敲打鼓面变形时产生的一系列频率相似。格罗莫夫和上次一样中途发难,宣称我采取的研究路线根本不对。这次我的做法,就如上次争辩中的做法一样,非常倚重非线性偏微分方程,而格罗莫夫并非这方面的专家,或者他只不过是弄不清楚那证明。但他并没有要求我解释明白,而是嚷道我的理论有严重错误。他对我说话的态度,好像我是个差劣的学生,没有好好地做作业。在研讨班上,他花了不少时间来表达对内容的不满。说到底,据我揣摩,是他不认为几何分析值得发展。他坚信任何几何上的定理,都必须用直观几何的方法来证明,不能用拓扑或图形解释的方法,而我不这么看。整个几何分析正好建基于这信念:深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外,还需要加上大量分析的方法,尤其是新近发展的非线性分析的工具,并由其成果支撑。我也很希望从现代物理学和工程学上学习到新的工具和理念,四十年来的经验,显示这是正确而且丰富的想法。这次研讨班不算成功,格罗莫夫不断高声质疑,它怎可能会好。不过,其后我把证明详细地再讲给他听,并答复了他一次又一次的问难,终于把分析的方法化作纯粹的几何术语,阐明了上述空间有无限体积。他最后也释然,对结果默默接受了。几年后,他将我的几何解释应用于其他几何问题上,他的追随者甚至将这些结果冠上他的名字。

后来我和比尔·瑟斯顿也有类似而和谐的交流。瑟斯顿和我同时期在伯克利当研究生,他在几何和拓扑上扬名世界。瑟斯顿看待几何学,就有点像用细小的片片,如乐高般嵌成整个几何的空间或流形,从而勾勒其内部的结构。我则采取差不多相反的做法,利用微分方程来开启物体的内在结构和总体的拓扑。两种理念非常不同,却殊途同归。必须重申,瑟斯顿想得透彻而具原创力,他的论证不必时时详尽清晰,其理念却对数学有深刻而长远的影响。

我写了封信给项武忠(他当时刚从耶鲁转到普林斯顿),问他我可否在普林斯顿以斯隆学者的身份至少待上半年。几天后,他告诉我数学系并没有足够的办公室。时隔多年,人也比较世故了,知道项武忠和其他人如果愿意我来,办公室总是可以找到的。我写信给系主任可能有不同的结果,但已经太迟了。依靠相识的人是个错误,因你不知道他是否欢迎你。(不无讽刺地,几年后情况完全改变了。普林斯顿的系主任请项武忠打电话来,说要请我去当教授。我当下推却了。那不是报复,只是当时还不是去的时机。)

但是,好些代数几何学者对两个代数几何上著名的猜想同时被破解并不高兴,因为我并未用到任何这领域中的标准方法。但芒福德和其他人不一样,他思想开放,两年后哈佛要聘请我,部分原因或许在此。

【1978年】我先后三次跟他说要离开伯克利,但他拒绝相信。我不想他不开心,但经过多月的反复考虑,我最终下定决心离开。从这刻开始,陈先生对我有了不同的看法。虽然我感到在此之前,已经有人在挑拨生事,离间我们。记得几个月前一次晚餐,项武义在我和陈先生面前,谈起陈先生最近的一次中国之行。他问陈先生有没有跟别人说,我在解决了卡拉比猜想之后,成就已超过他了呢?陈先生听了之后非常意外,一下子脸都红了。我如坐针毡,浑身不舒服。虽然我极力解释先生的工作对我来说,高山仰止,怎敢比较,但还是怕陈先生怀疑我在他背后有此想法。有些人想尽办法使陈先生反对我,这只是一个在我面前发生的例子而已。

吴文俊在法国留学,以在代数拓扑学中引进“吴类”成名。他曾经受过陈先生的栽培,长期跟华罗庚不和,他们之间的矛盾导致中国科学院数学所的分裂。当时吴正在创立一个新的独立于数学所的数学研究中心,即系统科学研究所。数学所是由华创立的,作为一个纯数学的拓扑学者,对应用数学所知不多,却去建立系统所,确使人大惑不解,由此可见华、吴矛盾之深了。

一天,有个曾师事吴文俊的学者登门求见,并出示他写的一篇论文。我没时间细看文章,只是随口说它不错。但吴即向有关领导报告,说我认为这学者做出了重要的工作,值得拿一个国家级的奖项。华的一些同事,对此感到不快,觉得这人的工作不值得这个奖项。他们找到了萧荫堂。萧坚持要我上书,纠正我客气话导致的错误。我本无意做这种烦恼事,只是经过萧多次游说后,才勉强上书说明,这项工作不值得国家级的奖项。事情在最后关头才起波折,这位学者当然甚为不快,为一年后一次激烈的争辩埋下伏线。

【1980年】吴文俊的门人又登门求见了,他咄咄逼人地要求我推荐他拿一个重要的奖项,我拒绝了,大家便争吵起来,愈来愈激烈,以致我的血压飙升,差不多要昏倒了。经此可怕的一幕,当地负责接待的老一辈数学家小心翼翼,不让我再受到不速之客的骚扰。一天晚上,陈先生在晚饭后,请了十位受邀来华的重要客人参加茶会。他先请各人坐下来,听取大家对中国数学现状的看法。他批评华罗庚领导的数学所,尽管那是中国数学主要活动之处,并敦促把它关掉。他提议在座十人联名上书,吁请中国政府把数学所永远关闭,话毕全场鸦雀无声,于是他又重复说了一遍。最后,我打破缄默,说:我们都是中国请来的客人,我们只是来访问,不宜喧宾夺主,这样做不恰当。博特同意我的看法,其他人也纷纷表态支持,对陈先生的提法都不愿沾手。

博雷尔要求我把专题年的讲话和文章编为两册,一册和微分几何有关,另一册则是极小曲面,由普林斯顿大学出版社出版。我把两册都差不多编完了,可以付印。六十多页有关几何分析的导引,主要是在霍普金斯医院等候时写好的。我主编的有关微分几何的那册于1982年面世,有关极小曲面的那册,我也已经准备好了。但是有一天,邦别里跑到我的办公室来,要求他做主编。我将全部收集来的文章交给他,没有想到他拖了两年,才原封不动地交给出版社。由于长期的推迟,很多作者对我颇有微词。

在多次访问中,我认识了迈克尔·弗里德曼(Michael Freedman)。那时弗里德曼还是系里的年轻小伙子,正在努力破解四维空间的庞加莱猜想。我们曾经多次讨论这问题,有时就在他家后院的游泳池里面或者旁边。普林斯顿的好些拓扑学者对弗里德曼的方法不以为然。他们倾向于运用米尔诺创立的割补手术技巧,我却对弗里德曼的方案感兴趣。他利用一种叫Bing topology的方法。当工作接近尾声时,我问他结果可否在JDG上发表,他同意了。普林斯顿的人很快便发觉他们要错失成果了。他们断言,文章应该在普林斯顿出版的《数学年刊》上发表,这是天下第一的数学学报。那里的拓扑学家比尔·布劳德(Bill Browder)以及他的同事项武忠都打电话给我,说拓扑学中最好的文章应该在最好的学报,即《数学年刊》上发表,这才是正路。但我不为所动,平静地解释说,已经跟弗里德曼谈过多次了,这是他的决定。如他要撤回文章,我会二话不说立即应允。在最后关头,我跟弗里德曼说,他的文章对JDG十分重要,会大大提升学报的地位,由此也对微分几何这科目有利。这些话最后令弗里德曼没有改变初衷。他的论文《四维流形的拓扑》于1982年发表于JDG,并凭此文获得菲尔兹奖。为了此事,普林斯顿大学《数学年刊》那些人对在下颇有微词,纵使我在高研院上班,离大学只有不到两公里。

我让学生组织了一个研讨班。有些上了年纪的同事却嘀嘀咕咕,他们认为高研院只需要高级研讨班,讨论最新的进展。但我不这样看,培育后进也应该是研讨班的目的。他们又投诉学生讨论所引起的嘈杂声,其实最吵闹之处只在我办公室方圆之地、学生聚集之所。这使我回忆起小时在香港,邻居也曾因父亲教授自己和附近的小孩诗词而抱怨。人常常为这样或那样的事情恼怒,但无论如何,年轻人为学习数学或诗词的热情,都不应当是抱怨的理由。

大概一年后,华罗庚的弟子钟家庆来访问普林斯顿。我提议他跟莫毅明一起,研究某些复几何上的问题。在我的指导下,他们进展良好,并得到一些有趣的结果。可是,正如前面说过,萧喜欢和我竞争较量,当他知道我在指导莫和钟的合作,有时也加入时,就紧张起来了,他建议莫不要和我合作。从那一刻开始直到现在,我再没有和萧或他的弟子合作。这样的结局使我不快。萧荫堂是位卓越的数学家,我们曾一起做了些好的工作,如果能继续下去该多好啊。在这期间,我和萧荫堂又另有瓜葛。彼得·萨那克(PeterSarnark)是菲尔兹奖得主保罗·科恩(Paul Cohen)的学生,毕业之后一直留在斯坦福。科恩希望在短短几年之内将他提升为正教授,这是十分不寻常的,萧托我向普林斯顿的同事朗兰兹寻求专业意见。我不想应允,一方面我不认识“萨那克,另一方面我不熟知萨那克专精的那类数论。可是萧找了我多次,我不得不向朗兰兹求助。萨那克毕业没几年,朗兰兹并没有觉得萨那克的工作有多了不起,这是可以理解的,于是我把这些颇为草率的意见转告了萧。不久之后,就传来在斯坦福的一次系务会议上,有人说我反对萨那克的升职。真相是我什么都没说过,只是在反复的要求下,转达了朗兰兹的某些初步看法而已。这样一来,得罪了一向和我关系不错的科恩,另一方面也搞砸了和萨那克的关系,他们都说升职一事由我一锤定音。虽然其后萨那克和我还是客客气气的,但从这件事中,我上了宝贵的一课。就是在学术上,人际关系十分微妙,有时还会被人在背后捅一刀。此后对不相干的事情,我总是“避之大吉”,但于这方面只算是部分成功而已。

1983年,陈先生在伯克利组织了一个几何分析的计划,4月我到了那里访问三个月。理察和我开了一门几个星期的课,专门讨论有关正纯量曲率流形的一些新定理,以极小曲面作为工具。好几位在石溪的中国研究生告诉我,劳森一位已毕业的学生做了一份详细的笔记,那些笔记可能给格罗莫夫和劳森看了。事关他们不久之后写的一篇论文,理察看了预印本后指出,其中似是袭用了我们的一些想法。理察写了一封申诉信给劳森,他把信寄到伯克利的埃文斯楼的信箱。但信箱封闭了,几个月后信退回给理察,到那时再寄信已来不及了,事情只好不了了之。由此可见,说到底,数学也是讲究竞争的。

萧荫堂、项武忠两人都强烈反对陈先生和格里菲思筹划中的录取中国学生赴美留学的计划。此计划参照“中美联合培养物理类研究生计划”(CUSPEA)这个由诺贝尔物理奖得主李政道几年前创办的著名计划,目的是帮助中国的物理学生考取美国和加拿大的研究院。“文革”后,学校的成绩单、老师的推荐信和类似的文件都难以找到,同时也不见得可信。于是李政道(当时在哥伦比亚大学)就和其他美国物理学者设计了一项考试,每年挑选优秀中国学生赴海外留学。陈先生也想对数学学生按方抓药,由于实验设备价格高昂,不需做实验的数学学生要比物理学生多得多。萧、项和我对派留学生出国没有异议,但是根据陈先生和格里菲思提出的计划,主要的考官由美国数学学会决定。举例来说,1984年的考试,纯粹数学由格里菲思主考(后来为了要我改变想法,他们坚持将我也拉进来参与这个考试),应用数学则由麻省理工的戴维·本尼(David Benny)负责,代表美国数学学会的教授们对哪个学生到哪所学校行使很大的决定权。我们对这个中国学生的计划心中不踏实,因为它的规章使权力落到少数外国学者手上。我们三人都认为参加这个计划的学生,与原计划相比,应对择校有更大的自主权,我们倾向让学生直接申请美国的学校,这样选择会较多,并且比较不受美国数学学会的束缚。我曾前后三次询问陈先生,美国数学学会在计划中的角色是不是他的主意,每次他都否认了,说和此事无关。由此可见,我们对学会原计划的疑问,不应该被视作对陈先生、格里菲思或本尼的攻击,我并没有反对他们。虽然项、萧和我都十分关注此事,他们还提议不如给中国教育部写信,表明对这计划不同的意见,不过他们这封信始终没有写。几个月后,我和郑绍远、学生曹怀东和正在高研院访问的林长寿再次谈起这事,这次我们坐言起行,起草了一封信,内容基本上和上次跟萧、项谈的差不多。这封信本来是由项、萧和我一起署名的,于是我把信(其实是手写的未定稿)寄给萧,看他有何意见。在没有询问我的情形下,萧迅速将它译成英文,送给格里菲思。不久之后,陈先生也看见了。听说陈先生对这个草稿大不高兴,他和我的关系也从此走了下坡路。我一向抱着“自反而缩,虽千万人吾往矣”的原则做人,但情况比事实更糟糕,项、萧两人最初和我一同构思上书,此时却加油添醋,使陈先生更加愤怒,而责任却由我一力承担。此事在中国教育界酿成相当大的风波。国内一众学者为了平息陈先生的愤怒,请求我在第一次口试时,和格里菲思及戴维·本尼一同参加。我也不愿意过分激怒陈先生,同时我参加也表示美国数学学会没有全面控制中国大学生出国。所以我同意参加这一次的口试。回顾一下整个事件,不无讽刺地,这对我造成长久伤害的事件,竟源自我获得数学界至高无上的菲尔兹奖后一次酒后庆祝的交谈。

1982年我们在高研院讲课,现在到了圣迭戈便继续下去。在这课上讲述的是我们原创的工作,其中包含尚未发表的想法。有时我们工作过了午夜,为的就是准备次日的课。我们要找人好好做笔记,把课上的内容保存下来,以便最终整理成两本书:《微分几何讲义》和《调和映射讲义》,打算几年后出版。由于总希望帮助中国的学者来美国访问,让他们既能体验一下研究的气氛,同时又能挣点钱,我便向杨乐打听有无适当的人选。中科院有位姓许的研究人员毛遂自荐。为了这份差事,我付了超过一年的酬劳给他,后来才知犯了大错。许对数学虽然不算外行,却追不上我们的进度,很多时候听不明白,可他又不愿意向理察或我求教。有时,他会私底下问我的学生,但他们对他并不友好,或许觉得他年纪太大,又或许他们不愿花时间。最后,他整理出来的讲义全无价值,这对理察和我是一大打击。我们并没有把所有东西记下来,到了发现许的讲义不能用时,要重新再做一次为时已晚了。到了许要向中科院呈交进展报告时,事情变得更糟了。为了掩饰未能把工作做妥,他把报告变成对我的攻击,说我图谋反对陈先生,又说我想营结他所谓的“丘党”,专门和我的老师作对。其做法是如此拙劣,中科院的人都看出他无中生有。杨乐知道后非常意外,他把许的报告信件给我看了,并且对派遣他来一事道歉,不久许就回去了。

当时已是1985年的下半年,我正在哥伦比亚大学参加会议,和丹尼斯·沙利文在一起,沙利文是纽约城市大学的阿尔伯特·爱因斯坦讲座教授(迄今还是)。弗里德曼想知道自己会不会在明年拿到菲尔兹奖,他以为我们两人会知道,但事实上我们对此一无所知。情急之下,弗里德曼说他比我更值得拿菲尔兹奖,因为在解决庞加莱猜想时,他用了五个原创的想法,而我解卡拉比猜想时只用了一个。差不多一年之后,1986年8月,弗里德曼果真拿了菲尔兹奖,可说是实至名归。

田刚在2012年10月25日在石溪的一次讲话中宣布他可以证明我的猜想,却没有提到证明的内容,但是唐纳森等人也随即宣布了他们的工作,同时在2012年11月19日将他们第一篇文章放在网上。田刚在20日也赶紧将他的文章传上网。(但是在2013年1月28日,他又添加了十五页的修正。)专家一般都认为田刚还是没有完成他的证明,所以陈、唐纳森和孙把不忿公之于世,从“原创性、先后性和数学的正确性”三方面反驳田刚的宣称。田的讲话“欠缺详情”,并且指出,他们看不见“任何证据足以说明,田在石溪那次讲话时就具有完成整个证明的能力”。当时人们能看见在田的工作中,含有“严重的漏洞和错误”,而其后田所做的许多修改和添加,“重现了我们先前引入的想法和技巧,而这些想法和技巧都是早已公开的”。唐纳森才华横溢,声誉极隆,兼且是公认的谦谦君子。我不认为有任何人,包括田本人,能有力地反驳唐纳森等三人对他的指控。

1990年,由于发生车祸,我被卷进刑事案件(之后由法院判决无罪),居留权可能出现大问题。为了保护家人的安全,我决定加入美国籍,开始申请成为美国公民。……我作为无国籍者已过了颇长的时间,成了美国公民之后,国外旅行顿时变得很方便。但这种突然的身份变动,也令我难以释怀。我对出生地中国仍然怀着强烈的感情,身份上却无凭无证。我曾在1980年代考虑成为中国公民,并且向华罗庚的大弟子、当时的中国科学院学部委员陆启铿提到这个想法。他和有关部门讨论以后,托人向我解释,时机还未成熟。后来我在美国遇到一些困难,此事就没有再提起了。

我打电话给中国科学院的杨乐,他当时正在担任中国数学学会的会长,提议中国争取于1998年主办国际数学家大会。杨乐也觉得可取,稍后更跟我说,国内数学界和科学界的领导一致认同这项提议。事情出乎意料地顺利,但我知道必须得到陈先生的首肯。他开始时并不以为然,但郑绍远最后说服了他,他同意了。……过了几天,我和陈先生一起坐车去北京。我不是汲汲求进、努力钻营以求见国家领导的人,然而对这次会面非常期待。在这两小时的车程中,我要好好想想见面时要说什么。陈先生也有点儿紧张,但是当时他只关心南开数学所,对于中国主办国际数学家大会,他则有些事不关己。之所以如此,或因八十二岁高龄的他并不肯定到时是否还健在,但是他希望为南开数学所争取更多的经费。胡国定为他准备了很多资料,尤其是近几个月的领导人讲话。……原先计划北京申办1998年的数学家大会,但国际数学联合会把主办权给了柏林,于是我们便申办2002年的大会。然而情况最后还是变得复杂,以致九年后大会召开时,我竟然完全被排斥在外。……IMU决定由中国数学学会推荐八位中国数学家在大会上做报告。一如既往,我坚持挑选演讲者,必须以其新近工作为原则,但我的对头却要排除我对大会的影响。这时,大家都为成为演讲者而竞争,有的也想进入甄选委员会中。大家因应各种关系而非学术成就而定下人选,我没有被邀请发表任何意见。有些中国学者为了争取成为演讲者,四处拉拢具有影响力的人,投资不少,有如一场彩金很大的赌博。能在ICM讲话意味着实时的认同,还附上金钱和地位。所在单位会把你视为你领域中的主要人物,擢升自然而来,或许还带着某些奖项。一夜之间,你会成为一个杰出的、可以倚重的人物。中国数学学会把这八个名额确定后,才勉强地写信邀请我参加大会,信里还说这是求同存异的精神。他们认为如早些时候找我,我便会在人选上跟他们争吵。到了此刻,我对他们的办事手法已倒尽胃口,已经不想和这大会有任何瓜葛了。

张恭庆,一位来自北京大学深具影响力的数学家,也在仪式上讲了话。他带出来的讯息,就是他要不惜一切代价把【晨兴数学】中心搬到北大去。而从始至终,我们都希望新的中心建于中国科学院,那里才是中国数学的实力所在;而且,至少就我的品位而言,学术气氛也较浓厚。

建造商为了省钱,打算建蹲厕而非坐厕。到了最后,大部分洗手间都用了坐厕,但一楼的洗手间还是用了蹲厕,启宗、乐宗的母亲在大楼开幕典礼时不肯用这洗手间。在号称世界级的研究所,竟还有如此规划疏忽,自己也感到尴尬。

佩雷尔曼并没有把这些文章发表于学报。如果他真的这样做,学报的编辑恐怕会要求他在这里或那里写得详细些。我曾几次写信给他,邀请他把工作发表在《微分几何学报》上,这学报从1980年开始就由我主编,但他并没有回复。那就只能靠其他人在佩雷尔曼的论证中,正如《纽约时报》所谓,“把虚点连起来”,然后才能断定它是完整的,还是存在重要的破绽,最后评估它究竟证明了什么。我让理海大学的弟子曹怀东,和曾做我博士后的中山大学的朱熹平,一起仔细地把佩雷尔曼的文章梳理一次,再重新把证明写出来。曹怀东和朱熹平二人堪当此任,他们从1990年代起便研究里奇流,累积了大量的经验,比大部分其他人都适合。克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)是个非营利的基金会,会址与哈佛差不多是一街之隔。他们也出资请了两组数学家去检验佩雷尔曼的证明。他们是布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleiner)和约翰·洛特(John Lott),以及约翰·摩根(John Morgan)和田刚。……由于庞加莱猜想可说是数学的里程碑,我当然希望审视证明的人愈多愈好。但作为一个“传统的人”,我认为作者应负最大的责任,而不是把责任推到别人身上。数学家不只有责任向别人清楚解释自己的工作,同时本人也得弄明白,因为只有把证明通通付诸笔墨,每一步都写出来,才能够肯定其对错。……我邀请了朱熹平于2005—2006学年到哈佛访问。他每周讲几个小时,一连讲了半年,把他和曹怀东的文章从头到尾讲了一次。2005年12月,他们两人把三百多页的论文投到我编辑的《亚洲数学学报》,说明会给出“汉密尔顿和佩雷尔曼有关庞加莱猜想完整证明的详细导引”。这篇论文发表于2006年6月,里面给出了不少佩雷尔曼短文中没有的细节。在此一个月前,克莱纳和洛特发表了《佩雷尔曼文章的注记》,而一个月后,摩根和田刚的文章《里奇流和庞加莱猜想》也上线了。曹、朱的论文发表后,我受到猛烈的抨击。人们说文章投稿后六个月便刊登,时间太短,根本不够时间审稿。事实上,我早已有考虑。首先,出版界会将重要的文章及时发表,这是向来的做法。而且,我也问过几位几何流的专家,包括汉密尔顿和佩雷尔曼,邀请他们审稿,而他们都回绝了,不得已之下我才自己当了审稿人。事实上,除了上述两位外,我在这方面的认识比很多人深刻。而且我在哈佛听了朱熹平的讲课超过60小时,又细心看过文稿,并没有发现任何修补不了的问题,我把推荐发表的意见告知其他编委。我没有发现什么明显的错处,但也不能保证它百分百正确,事实上哪个人能保证?你只能说,经过详尽审视后,就我所知,此文正确。……曹、朱的论文开始后不久,有若干页重复了克莱纳—洛特的论证而没有标注,这是不幸的错误。他们解释说是因为在一整年的工作中,笔记当中有一项具体的证明,即有限的距离意味着有限的曲率,其实来自克莱纳—洛特的文稿。这个疏忽虽不经意,却引发很大的尴尬。作为学报的编辑,这些过失也受到非议。几个月后,学报刊登了曹、朱的道歉,正式鸣谢克莱纳和洛特的工作。……问题是,里奇流的专家并不多,佩雷尔曼的证明结尾处最为晦涩,至今我尚未碰见过一个专家说完全了解。……据我所知,没有人利用佩雷尔曼在文章后半部引入的技巧,成功地解决过其他有意思的题目。这事实意味着其他数学学者并不完全掌握这工作,以及其中的方法。

著名数学家芒福德在1996年到布朗大学去了,原因是他想要多做点应用的东西,但在哈佛得不到支持。

1991年,项武义宣称他证明了具有380年历史,由天文学家约翰尼斯·开普勒提出的开普勒猜想。他又说为了破解它,特意发展了许多球面几何的新工具。他的论文《球堆积问题和开普勒猜想的证明》发表于1993年10月的《国际数学学报》。这本杂志在数学界并不起眼,但是陈先生认为这件工作令项武义当【台湾中研院】院士实至名归,他热情地在院士的聚会中推荐项武义,项武忠也为弟弟的当选造势。三个这方面的权威,普林斯顿的约翰·康威(John Conway),时在密歇根大学的托马斯·黑尔斯(Thomas Hales)和时在AT&T和山农实验室的尼尔·斯隆(Neil Sloane)都认为项武义的证明无效,根据康威和黑尔斯所言,里面包含“严重的错误”,或如斯隆所言,含有“重要的漏洞”。杨忠道教授指出他本人也研究过这个问题,项的想法并无新意,匈牙利的数学家早就尝试过,而且项的文章错误百出。听了这些专家的意见后,其他的院士都说难以用这件工作来支持他成为院士。投票后,项武义落选了。一个多月后,我在香港中文大学访问。杨振宁先生把我召到他的办公室,他说:“你得罪了你的老师。”我的意见逆了陈先生的意愿。我回答说我一直闭口不言,直至别人问我才开口,而且也是清心直说,并无虚言啊。“你只需要说证明是对的便好了!”听他说完后,我只有无言地离开了他的办公室。

在美国的学术界,绝大部分年纪老迈的学者都不再企图去影响年轻人的学术方向,但在国内,“愈老愈强”似乎是正道。

清朝的时候,大概是从1600—1900年,学者很少研究数学,反而把精力专注于数学史上。研究数学史当然很有价值,你可以知道前人(对我来说,如高斯、黎曼等几何学家)的工作,这是十分有用的。很多美国人不喜欢回头看,有时花了很长时间在某个问题上,当我告诉他们问题是从何处和从何人来的,他们会觉得很惊讶。

百年未解的谜题:庞加莱猜想

《三联生活周刊》2006年8月17日《百年未解的谜题:庞加莱猜想》

十几年来,没有哪一届国际数学家大会,能像8月22日将在西班牙马德里召开的2006年国际数学家大会(ICM2006)这样引人注目。

早在几个月前,ICM2006的网站上,就贴出了这样的消息:“一个有100年历史的数学难题的证明,将在本届大会上宣布。”尽管做出欲说还休的姿态,但看一眼会议的日程表——8月22日17:15至18:15,里查德·汉密尔顿(Richard Hamilton),题目:庞加莱猜想。答案,已经无需再言。

一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想,就是其中的一个。

1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学猜想:在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。提出这个猜想后,庞加莱一度认为,自己已经证明了它。但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来。于是,拓扑学家们开始了证明它的努力。

20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然,英国数学家怀特黑德(Whitehead)对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文。失之桑榆、收之东隅的是,在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特黑德流形。

50年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的宾(R.Bing)、哈肯(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“帕帕”(Papa)。在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被普林斯顿大学邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn’s Lemma)而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰·米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却折在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言。

这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究,虽然没能产生他们所期待的结果,但是,却因此发展出了低维拓扑学这门学科。

一次又一次尝试的失败,使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而,因为它是几何拓扑研究的基础,数学家们又不能将其撂在一旁。这时,事情出现了转机。

1966年菲尔茨奖得主斯梅尔(Smale),在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决,高维的会不会容易些呢?1960年到1961年,在里约热内卢的海滨,经常可以看到一个人,手持草稿纸和铅笔,对着大海思考。他,就是斯梅尔。1961年的夏天,在基辅的非线性振动会议上,斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维和五维以上的证明,立时引起轰动。

10多年之后的1983年,美国数学家福里德曼(Freedman)将证明又向前推动了一步。在唐纳森工作的基础上,他证出了四维空间中的庞加莱猜想,并因此获得菲尔茨奖。但是,再向前推进的工作,又停滞了。拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展,有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿(Thruston)就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,并因此获得了1983年的菲尔茨奖。

然而,庞加莱猜想,依然没有得到证明。

人们在期待一个新的工具的出现。

“就像费马大定理,当谷山志村猜想被证明后,尽管人们还看不到具体的前景,但所有的人心中都有数了。因为,一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任文志英说。

可是,解决庞加莱猜想的工具在哪里?

工具有了

里查德·汉密尔顿,生于1943年,比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候,丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”,但提起他的数学成就,却只有称赞和惺惺相惜。

1972年,丘成桐和李伟光合作,发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想,并因此获得菲尔茨奖。1979年,在康奈尔大学的一个讨论班上,当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候,汉密尔顿刚刚在做Ricci流,别人都不晓得,跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到,1980年,他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说,“于是,我跟他讲,可以用这个结果来证明庞加莱猜想,以及三维空间的大问题。”

Ricci流,以意大利数学家Gregorio Ricci命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术,构造几何结构,把不规则的流形变成规则的流形,从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后,丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中,就包括他的第一个来自中国大陆的学生曹怀东。

第一次见到曹怀东,是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间,几乎所有的媒体都在找曹怀东,但穿着件颜色鲜艳的大T恤的他,在会场里走了好几圈,居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家,依然是远离公众视线的象牙塔中人,即使是名动天下如威滕(Witten),坐在后排,俨然也是大隐隐于市的模样。

1982年,曹怀东考取丘成桐的博士。1984年,当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时,曹怀东也跟了过来。但是,他的绝大多数时间,是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时,丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的,是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为个性和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,今天关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?

在使用Ricci流进行空间变换时,到后来,总会出现无法控制走向的点。这些点,叫做奇点。如何掌握它们的动向,是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后,1993年,汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时,丘成桐隐隐感觉到,解决庞加莱猜想的那一刻,就要到来了。

1995年,丘成桐来到北京。这次,跟他一起来的,还有汉密尔顿。做演讲的时候,丘成桐提出了口号,向汉密尔顿学习。随后,又在新建的晨兴数学中心,开设了关于Ricci流的讨论班。当时在中山大学的朱熹平,便在这段时间跟了上来。

朱熹平最早的研究方向,是与Ricci流关系并不大的偏微分方程。但是,遇到丘成桐后,他开始转型。“那段时间很痛苦的,几乎没什么文章出来。”朱熹平说,“幸好中山大学的制度,工资高,收入只有很少一部分与课题基金和论文挂钩,这才坚持下来。”在报章一度的渲染中,专心研究Ricci流和三维庞加莱猜想的朱熹平,被描述为几年没有论文发表。问及此事,朱熹平哈哈一笑:“我有那么差吗?”事实上,在很短的时间内,他就完成了转型,而且在《数学发明》等著名数学专业杂志上,也先后发表过多篇文章。

汉密尔顿提出的Ricci流,实际上可以分为两类。一种是在实流形上作的实Ricci流,它与三维庞加莱猜想的证明密切相关,另一种是在复流形上作的复Ricci流,它有很多重要的应用,但与庞加莱猜想无关。最早跟随汉密尔顿进行Ricci流研究的曹怀东,主要的方向,其实是复Ricci流。丘成桐的其他一些弟子也不例外。直到后期,部分人才开始转到实Ricci流的方向。后转型的朱熹平,因为用功、投入和耐心,没过多久,就成为国内做实Ricci流最出色的数学家,而他的实干与低调,也赢得了丘成桐格外的青睐。

然而,尽管曹怀东、朱熹平以及朱的学生陈兵龙在Ricci流的研究上取得了很多进展,但是,无论是汉密尔顿还是他们,几经周折,都没能找出解决奇点的好办法。随着拓扑手术次数的增加,奇点也会递增,最终失去控制。几年的时间里,在这个最关键的问题上,研究几乎停滞了。

就在关于Ricci流的工作陷入山重水复疑无路的情形持续了几年之后,远在圣彼得堡的一位特立独行的大胡子数学家,却在几乎不为外界所知的半隐居中,找到了解决问题的柳暗花明又一村。

格里沙!

2002年11月12日,当时在麻省理工学院数学系任教授的田刚在信箱中看到一封显示发件人为“格利高里·佩雷尔曼”(Grigori Perelman)的邮件。

标题:新的预印本
亲爱的田,
可否请你关注我发表在arXiv数学网站上的论文,DG 0211159。
摘要:我们提出了一个Ricci流的单调式,在所有的维度中成立且无需曲率假设……我们还验证了与理查德·汉密尔顿关于瑟斯顿封闭三维流形几何化猜想证明的纲领相关的一些假设,使用先前关于局部曲率下界的塌陷结果,给出了对这一猜想的证明概要。
格里沙·佩雷尔曼

三天之后的晚上,田刚写下了这封回信。

标题:回复:新的预印本

亲爱的格里沙,我正在阅读你的论文。很有意思。你是否愿意访问MIT并就这一工作做几个演讲?
田刚

佩雷尔曼的全名,是格利高里·雅科夫列维奇·佩雷尔曼,但熟悉的人,通常都叫他格里沙。生于1966年的佩雷尔曼,中学时就读的是著名的圣彼得堡第239中,这所学校,一向以高等数学和物理教学闻名。1982年,作为一名高中学生,佩雷尔曼参加了国际数学奥林匹克竞赛,并以满分的成绩获得金牌。此后,他在圣彼得堡大学获得了博士学位,接着在斯特科洛夫研究所(Steklov Institute of Mathematics)谋得职位。1992年秋天,佩雷尔曼前往美国纽约大学库朗研究所访问,随后,又于1993年春天,到了纽约州立大学的石溪分校。就是在这期间,当时就职于库朗研究所的田刚认识了佩雷尔曼。

田刚回忆道,那时候,佩雷尔曼的研究方向,并不是几何分析和Ricci流,而是度量几何。“他的思路很敏捷,做东西技术性和技巧性很强,而且很严谨。”1994年,在加州大学伯克利分校任职米勒访问学者(Miller Fellow)时,佩雷尔曼证明了著名的灵魂猜测(Soul Conjecture),为他赢得了国际声誉。此外,他还曾被邀请在国际数学家大会上做报告。大约在1994年左右,汉密尔顿到库朗研究所作了一个关于Ricci流的报告,佩雷尔曼也是听众之一。“让大家都有点惊讶的是,他居然提了一个关于奇点的问题”——如何解决手术过程中产生的奇点,正是证明庞加莱猜想中的关键一步——“现在看来,那个时候,佩雷尔曼就应该已经对解决庞加莱猜想产生了兴趣。”田刚说。

在米勒访问学者期满后,佩雷尔曼回到圣彼得堡,继续“安静地”任职于斯特科洛夫研究所。有一次,田刚遇到一位当时曾与佩雷尔曼共事的数学家,向他打听佩雷尔曼的近况。得到的消息是,佩雷尔曼几乎已经离群索居,没人知道他在做些什么。然后,就到了2002年11月。就像阿拉丁神灯中的神仙一样,佩雷尔曼现身了,而且,带着有可能是正确的庞加莱猜想的证明论文。

佩雷尔曼的第一篇论文,发表在arXiv网站上。这是一个著名的学术论文网站,最开始的用户多为物理学家,随后,数学家们也纷纷在上面发表自己的论文预印本,以供同行参照评议。不过,通常而言,发表在arXiv网站上的文章不被认为是正式发表的学术论文。

建立一个关键的椭圆形估计,应用粗细分解,来给出瑟斯顿几何化猜测的证明,这被认为是佩雷尔曼的“神来之笔”。在随后发表于网上的第二篇论文中,佩雷尔曼给出了更多的证明细节。看过论文的田刚,益发认识到这项工作的重要性。而“几乎是幸运的”,2002年12月3日,佩雷尔曼给田刚回了信,表示愿意到麻省理工学院演讲。

在一般的描述中,佩雷尔曼是一个怪人:胡子头发都很长,不修边幅,衣服经常很久不洗。今年40岁的他,至今单身,与母亲生活在一起。因为父亲去世早,佩雷尔曼事母至孝,又一种说法是,当时他在美国,曾经有很多学校邀请他任教,但佩雷尔曼坚持回国,原因就是牵挂母亲。2003年访问麻省理工学院时,他的条件之一,就是要携母同行。

不过,在田刚的眼中,佩雷尔曼的“怪”,只是远离物质化和名利世界的一种表现。在讨论学术问题时,他和最严谨的数学家一样,愿意就每一个细节认真地回答。2003年的4月7日、9日和11日,佩雷尔曼在麻省理工学院作了3个演讲,除此以外,在两周的访问时间里,他还作了一系列报告,时间超过20个小时,非常仔细地回答每一个问题。这时候,庞加莱猜想被证明的消息,开始流传出去,《纽约时报》和“数学世界”(MathWorld)网站都刊登了相应的消息。

然而,就是在麻省理工学院的讲座后,有数学家表示,佩雷尔曼的文章存在“gaps”(漏洞),无法读通。就在所有人都期待佩雷尔曼就此作出解释,补全文章的细节之时,佩雷尔曼却不置一词,翩如惊龙,自此隐居不出。两篇文章放在网上,3年多来,没有显示任何准备交由学术杂志发表的迹象。这给曾规定,必须在学术刊物上发表论文才有资格被颁给千年数学问题奖金的克雷数学研究所,出了个不大不小的难题。在接受本刊记者采访时,克雷所所长卡尔森表示,不排除为此修改规定的可能。

可是,佩雷尔曼会接受这笔奖金吗?最近的消息,是他因为不愿参与江湖中的名利之争,已经从斯特科洛夫研究所辞职,靠着10年前在美国访问时的积蓄维生,躲起来思考另一个大问题。因为佩雷尔曼曾经拒绝领取欧洲数学会颁发的一个奖项,很多人怀疑,菲尔茨奖和克雷所的百万悬赏,都未必能打动这个世外高人的心。

三驾马车

如果把庞加莱猜想比作一局棋,在汉密尔顿和佩雷尔曼下完最关键的几步后,余下的,已经是收官的工作。

不能说这个工作不重要。“高手或许一步可以看到7步后的变化,棋艺稍逊的人或许只能看到2步,剩下的5步,就是gaps。”普林斯顿大学数学系的一位教授说,“只有完完整整把每一步的走法写下来,才能算是一个完整的证明。”

而在丘成桐看来,需要做的工作,可能比补上缺失的几步还要多。“一篇论文,从2002年放到现在,3年半的时间,为什么一直没有人站出来说看得懂?关键是其中还有很多问题没有解决。”他认为的关键问题,是几何化猜想,而天降大任于斯人的对象,就是朱熹平和曹怀东。

2005年5月中旬,为了纪念一年前刚刚去世的陈省身先生,丘成桐在哈佛大学组织了一个微分几何的研讨会。朱熹平也被邀请参加这个会议。会议间隙,丘成桐问朱熹平:“做得怎么样了?”

“基本上完成了,可是要到暑假的时候才能全部写出来。”

丘成桐当即决定:“你来哈佛,专门讲这个问题。”经哈佛数学系教授表决同意,这一年9月,朱熹平来到了哈佛,向这一领域的专家讲解他和曹怀东的证明论文。每周讲3个小时,一共讲了70多个小时,这些内容与曹怀东的研究结果汇集整理之后,就是后来发表在《亚洲数学杂志》上的328页的《庞加莱猜想和几何化猜想的完全证明——汉密尔顿-佩雷尔曼Ricci流理论的应用》(A Complete Proof of the Poincar and Geometrization Conjectures – application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow)。

《亚洲数学杂志》是丘成桐主编的一本相对比较年轻的杂志。与公认排名前四的《美国数学年刊》、德国的《数学发明》、《美国数学会杂志》和瑞典的《数学学报》相比,分量上的确稍显不足。而且,《亚洲数学杂志》的两名编委,斯瑞尼瓦斯(Srinivas)和普拉萨德(Prasad)在论文发表后写给编委会的邮件中也指出过一些问题:比如,最终发表论文的题目与最初征询编委同意时的题目不一致;直到杂志出版后近半个月的6月13日,杂志全文仍无法下载,与以往惯例不符;论文的审稿没有遵循复杂的程序,留给编委评论的时间也只有3天。之所以会存在这些问题,丘成桐的解释是——“竞争”。虽然在程序上或有可商榷之处,但丘成桐敢于用自己的学术声誉为朱熹平和曹怀东的工作担保:“完完整整,每一步写得清清楚楚,第一次给出了全部的证明,可以用来做教科书。”在接受《科学时报》记者采访时,丘成桐说。而汉密尔顿,则给出了如下的评价:“曹怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上,给出了关于庞加莱猜想证明的一个完整与详细的描述。我很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章。他们引入了自己的新思想,使得证明变得更容易理解。”

的确,竞争是激烈的。就在《亚洲数学杂志》6月号出版前的5月25日,密歇根大学的布鲁斯·克莱纳(Bruce Kleine)和约翰·洛特(John Lott),把名为“佩雷尔曼论文注记”(Notes on Perelman’s Papers)的192页文章放到了arXiv网站上。这是对他们2004年关于佩雷尔曼部分工作的注记的修改和补充。

比这再早一些时间,2004年9月,田刚和哥伦比亚大学的拓扑学家约翰·摩根(John Morgan)决定合作,在田刚之前给学生开讨论班研读佩雷尔曼论文时留下的笔记的基础上,撰写一部关于庞加莱猜想的书。这部书稿,得到了克雷数学研究所的著述专项资助(Book Fellow)。2006年5月,摩根和田刚合作完成的书稿提交给了克雷数学研究所,并在7月25日把这本473页的书放到了arXiv网站上。而此时,国际数学家大会已确定,将由摩根在8月24日作一个关于庞加莱猜想的公众报告。

3个小组,3驾马车,彼此的差异在哪里?在接受本刊记者采访时,摩根说:“2004年8、9月间,我和克莱纳、洛特以及田刚和其他一些人共同参加了一次学术会议。我们研读了佩雷尔曼的第二篇文章。这之后,我认为,我们彼此都觉得佩雷尔曼了解问题所在。我和田刚对庞加莱猜想感兴趣,并且给出了我们认为的完整的证明,而克莱纳和洛特、曹怀东和朱熹平的文章,关心的是整个几何化猜想的问题,并把问题的范围缩小到Shioya-Yamaguchi的工作的范围内。而这项工作,反过来要借助佩雷尔曼自1990年以来未发表的文章。我的感觉是,在最后几步中所引用的数据,可能需要进行更彻底细致的检查。”不过,在克雷研究所所长卡尔森的眼中,事情,也许并没有那么复杂。“克莱纳和洛特,曹怀东和朱熹平,摩根和田刚,3个小组中的每一个都对检验佩雷尔曼的工作做出了重要的贡献。能够有3个独立的数学家小组来做这件事,当然比只有一个小组要好得多了。”

而且,所有的竞争,仿佛只是让佩雷尔曼最终获得菲尔茨奖的成算,变得更大。

如果一切如普遍的预料,那么,在数学论文日益冗长繁复的今日,佩雷尔曼将创下一个新的纪录:可能为他赢来数学家最高荣誉的两篇网上论文,分别只有22页和39页。

“大张旗鼓地面对一个众人皆知的难题,将会冒很大的风险。”1982年的菲尔茨奖得主阿兰·孔曾经在一篇论文的序言中如此写道,“以后人们记住他的将是他的失败,而不是别的。随着年龄的增大,我认识到‘安全地’到达生命的终点是一种很好的自我保护的选择。”对于在过去20年的时间里一直致力于攀登数学世界里的珠穆朗玛峰——黎曼猜想——的阿兰·孔来说,这段话,更像是一段幽默的自嘲。庞加莱猜想的故事,也许会在几个星期、几个月或者几年内迎来一个圆满的——或许也是出人意料的——结局,但它所开拓的疆域,和数学世界广袤无垠充满挑战与乐趣的地平线,还将无穷无尽的向远方延伸。

故事,永远在继续……-

忆皖雄同学

作者:郑方阳,重庆师范大学数学科学学院教授。

第一次见到皖雄是 1982 年的秋天,在北京的中国科学院研究生院。这一年数学所招了 18 名硕士生,其中 5 人来自于科大 78 级,包括皖雄和江明昌,王建荣,苏宇,耿晓。当时科大的同学普遍有“年龄小、基础好”的特点,皖雄入学时还不满 19 岁。第一年住在玉泉,除英语按程度分班之外,基本上修同样的课,第二年开始搬回中关村数学所背后的小楼,大家按各自选择的方向分到不同的教研室。数学所因为华老的缘故,当时数论和函数论是最热门的选择。成绩突出的皖雄和管鹏飞去了函数论组,跟陆啓铿,钟家庆等老师学习多复变。我和吴宏友去了几何组,和上一届的游志平,李明一起在王启明、虞言林老师的指导下学习微分几何。

在中科院两年的同学生涯里,皖雄留给我的印象,一是成绩好,我们当时的学号是按招生考试的成绩来排序的,皖雄的学号我记得不是第一就是第二。科大同学基础很扎实,像代数拓扑、多复变之类的高年级课程,除科大北大等少数院校之外,我们其它学校来的同学大都没有接触过。当时大家的学习积极性都很高,同学们互相切磋互相帮助,印象里每次有同学向皖雄请教问题时他都十分乐于助人,分享他的知识和经验。对皖雄的印象之二是他的性格很温和,很安静,从没见到过他与人争辩或红脸。之三是他对象棋的着迷,当时班上同学中好像没有对手,因此他经常一个人自己研究棋谱,自己跟自己下。皖雄的另一个爱好是古典文学,记得他当时跟我们讲起《水浒》里的情节,连半文半白的台词都一字不差,给我留下很深的印象。

我于 1984 年秋来到加州大学圣迭戈分校,跟随丘先生学习,第二年春皖雄也来了,我们成了同门师兄弟。丘先生在圣迭戈带了一大批中国学生,开启了大规模为祖国培养人才的模式。当时我们同门同学中有清华的曹怀东,王文祥,北大的田刚,复旦的李骏,董瑞涛,杭大的季理真,科学院的皖雄,肖兵等十余个学生,搞得系里有美国研究生酸味十足地问:你们讨论班是用普通话还是广东话?当时的圣迭戈,教授中有丘先生,Rick Schoen, Richard Hamilton, Mike Freedman 等大师,更有一大批前来短期访问的几何和拓扑学家,可以说是世界几何学界的热点和中心之一。中国同学中除了丘先生的学生,还有跟其他老师的林晓松,罗锋,贺正需,张东,白重恩等等,非常热闹。1987 年,丘先生调工作,我们又跟随他转学去了哈佛。记得田刚是 88 年毕业,李骏和我是 89 年,皖雄是 90 年。因此在波士顿我们又同学了两年。现在回想起来,在人生最美好的年龄段,我和皖雄同学了 6 年,的确是缘分使然。

1982 年,Hamilton 运用热方程的思想,开创了黎曼流形上 Ricci 流的研究,证明了紧流形上短时间解的存在性,并以此为工具,证明了任何具正 Ricci 曲率的三维单连通紧黎曼流形必微分同胚于三维球面。丘先生以其天才般的几何直观,一直向我们强调 Ricci 流的重要潜力,并建议他的学生曹怀东,周培能,施皖雄等人专攻 Ricci 流,他们成为了继 Hamilton 之后研究 Ricci 流的主力军。

皖雄的一项重要贡献是将 Ricci 流的研究发展到了非紧完备流形上,他在曲率有界的条件下,证明了短时间解的存在性。从紧到非紧,技术上的难度是巨大的,需要高超的技巧以及非凡的定力。皖雄的超级淡定的性格和一丝不苟的作风使得他特别适合这项挑战。同学们大家都知道,皖雄平时的草稿纸都打得比我们多数人的笔记还要工整。他的办公桌上,看过的报纸都整整齐齐地码放好。记得有一次,当皖雄得到了主要的估计式后在讨论班上报告时,他在黑板上写下了长长的公式,足足有二十多项,然后在大家的惊异中说道,这些都是“好项”,另外还有十余个“坏项”需要一一处理。这次讨论班给我留下了极深的印象。据皖雄自己说,当年 Huisken 来访问丘先生并报告他关于平均曲率流的著名结果时,其完全不怕麻烦的精益求精的作风使皖雄很受震撼。丘先生对自己的学生向来期望值较高,不轻易表扬,但对皖雄的工作给予了很高的评价。2003 年,俄国数学家 Perelman 运用 Ricci 流的方法解决了著名的 Poincaré 猜想,其中皖雄的工作也起到了奠基性的作用。

皖雄是纯粹的数学家,对数学研究充满挚爱,教学等工作也十分认真敬业,除此之外,淡泊名利,无欲无求。记得在圣迭戈时,我们都对开车很有兴趣,圣迭戈公共交通的缺乏也使得开车成为出行的必须。但皖雄为了省时间,拒绝学车。平时去中国店买菜,也只是请同学们带面条,酱油等少数必需品,生活上做到了极简。不过同学们互相之间都很关心,田刚和曹怀东年长我们几岁,怕皖雄的饮食过于单调缺乏营养,常常给他带些蔬菜。我印象最深的是,在圣迭戈和波士顿,每次同学们组织派对,都要邀请皖雄,经常是由董瑞涛或我出面,因为我和皖雄是数学所的同学,而董瑞涛本科是科大,与皖雄同学。派对上因为皖雄好静的性格,大家怕他落单,通常都是由李骏和他下象棋,因为其他人的棋艺完全跟不上。李骏是急性子,遇上了长考派的皖雄,只能站起来走来走去,像极了一只来回踱步的老虎。

皖雄毕业后去了普渡,那里地处美国中西部,人烟稀少,中国人尤其少。我后来想,骤然离开了热闹的师门,多半让皖雄在心理上感觉到了孤独,不过我们当时都没有意识到这一点。皖雄从 97 年前后开始了隐居,失联了好一段时间。后来他科大的同学在华盛顿特区找到了他,大家才又重新得知了他的下落。今年国庆节,骤闻皖雄过世的噩耗,十分意外,因为他还这么年轻而且身体向来健康。历史上数学家们大多长寿,但也不乏英年早逝者,可能是要看上天安排他们来的事情做完了没有。皖雄的研究成果,因其在庞加莱/几何化猜想和丘成桐单值化猜想中所起到的重要作用,在数学史上留下了痕迹,这是他最在意的事,也是他毕生的追求。


同学:郑方阳
二零二一年十月二日于重庆

悼念我的学生施皖雄 — 丘成桐

十月一日那天,胡森打电话给我,说施皖雄早上八时去世了。听到这个消息,心中感到莫名的悲恸。

我自七十年代出道,以几何分析为世所知。我和学生 Richard Schoen 以及众多朋友花了十年工夫,完成了现代几何分析的奠基工作。可惜我的中国学生在分析方面的成就,比不上我早期的美国和澳大利亚的学生,只有施皖雄和王慕道是例外。但他们都受到同门的排挤,尤其以施皖雄为最,半生潦倒,才不得展,郁郁而终。

记得友人 Richard Hamilton 1978 秋天在康乃尔大学和我讨论,学习调和映射理论中 J. Eells 和 J.H. Sampson 的工作,并在度量空间寻找类似的几何流。不久,里奇流的概念就诞生了。由于当时没有适当的估值方法,没有办法再进一步。

1982 年,Hamilton 打电话到普林斯敦研究所,告诉我他的最新结果。对于里奇曲率为正的情况,他找到了完美的估值。我大吃一惊,立刻邀请他来普林斯敦,详细解释他漂亮的工作。我当时有六个硏究生,我即时让其中三人做有关里奇流的工作。他们分别是曹怀东、板东重稔(日本人)和 Bennett Chow。前两位的论文是 Kähler 流形里的里奇流。板东做的刚性定理,以后被莫毅明推广。曹怀东做的 Kähler 里奇流,原意是给出我和萧荫堂证明的 Frankel 猜想的另一证明。曹怀东没有完成这个使命,但却证明了 Kähler 里奇流的整体存在性,后人都需要用到这个理论。至于重证 Frankel 猜想,直到如今,里奇流还没有给出完美的成果,尽管田刚多次在一些假设上来完成这个工作(假如我们同意 Frankel 猜想成立的话,这些假设是成立的。)

1984 年,我离开普林斯敦,到加州大学圣地牙哥分校任教。次年即有十五名中国学生来当我的博士生,施皖雄是其中一位。他本来是中国科学院钟家庆的硕士生。他的分析能力比较其他中国学生强,所以我给他博士论文的题目是硏究非紧空间上的里奇流。我还记得,1986 年秋天我带着大伙去访问 Texas Austin。我让田刚学习在物理系的友人 Philip Candelas 的工作。他倒是勤奋去读了 Candelas 还没有发表的文章,得到不少好处。至于施皖雄,我们开了很多讨论班,连星期六和星期日都在硏究估值问题。他虽然是刚开始学习,但是学问突飞猛进。不久,我的朋友都留意到我这个学生了。

施皖雄(前排右)与导师钟家庆(前排中)

1987 年,我决定接受哈佛大学的聘书,由加州迁到波士顿。根据和哈佛大学的合约,我可以带领四名圣地牙哥的学生到哈佛去。我挑选了李骏、施皖雄、田刚和郑方阳。施皖雄 1990 年得到博士学位,论文极为出色,行内众口争传,深得 Hamilton 的喜爱。很多名校都争取他去,Berkeley 的伍鸿熙教授曾多次打电话来,问施皖雄可否去 Berkeley。结果发现施皖雄在没有征询我的意见前,自己决定不去名校。但他申请了加州大学圣地牙哥分校,Hamilton 在那里当教授,又特别了解他的工作,圣地牙哥破例聘请一个刚毕业的学生做 tenure track 的助理教授。直到今天,该校数学系的助理教授都能升等为长聘教授。施皖雄也申请了普渡大学,那里的莫宗坚是研究代数的,我也认识,不知道他用什么甜言蜜语,说服了施放弃了圣地牙哥而选择普渡。

Hamilton 完成正里奇曲率的里奇流后,我建议他用里奇流来破解庞卡莱猜想,其中关键在于控制里奇流中可能出现的奇点。我建议他把我和 Peter Li 的有关工作推广到里奇流上去。这项工作极为复杂,没有想到他居然完成了。

Hamilton 的工作在迈进。1995 年,我在哈佛数学系作报告,指出里奇流将要在不久的将来,解决由 Thurston 提出的有关三维空间几何分类的猜想,同时也解决庞卡莱猜想。我提议邀请 Hamilton 来哈佛访问一年,解释里奇流的重大进展,大学同意了。翌年,Hamilton 来了。在他访问期间,给了很多精采的讲演。由于哈佛大学一般不聘请年纪超过五十岁的教授,我企图说服 MIT 数学系去聘请 Hamilton,可惜还是不行。Daniel Stroock 告诉我的内幕消息是,田刚虽然到 MIT 不久,但要表示他的权威性,他做了一个介绍,说 Hamilton 只懂得一个方程,前途不大,不值得聘请云云。
 
偏偏这时,普渡大学正在考虑施皖雄的终身教职, 而普渡大学不容许自己的导师写介绍信,当时全球做 Kähler 流形的几何分析的学者不会超过五个人,田刚是其中一个。田刚这样的看法,做成了普渡大学不可逆转的裁决。Hamilton 的介绍信一般很晚才寄出,据他说他将普渡大学臭骂了一顿,但是无济于事。当年游说施皖雄应聘的莫宗坚也没有说出一句挽救的话。其实当时施皖雄已完成了几篇极有分量的论文,比同系研究几何的同事的工作来得重要。无论如何,普渡大学没有充分的理由不给予施皖雄终身职位。
 
华人学者在美国的互动,由此可见一斑。此后施皖雄拒绝了其他地方的聘书。而讽刺的是,当年瞧不起里奇流的人,在 Perelman 的工作出来以后,却摇身一变,成为里奇流的专家了。
 
今天,天妒英才,皖雄不幸去世了。我记下这段历史,好让大家知道皖雄的学问是一流的。他在里奇流的工作,比这几年来个别哗众取宠的做里奇流的中国学者来得重要。

现在挑选施皖雄几篇论文如后,可以注意的是:微分几何杂志(Journal of Differential Geometry,JDG)是几何文章最重要的杂志,发表过名家如 Freedman,Donaldson,Witten 等人的成名作。在 1997 年,就是施皖雄离开普渡大学那一年,微分几何杂志发表了施皖雄一篇长达一百多页的长文 [8],假如这篇文章不是特别重要,微分几何杂志是不会发表这样长的文章的。这件事可以作为一个客观的判断:施皖雄是一个杰出的几何学家,在几何流这门学问上会受到数学历史的尊重,排挤他的同行们的工作远逊于他,他受到不公平的待遇,但是几何分析的历史会记得他的工作。


—— 丘成桐

2021.10.03

施皖雄发表的论文

[1] Wan-Xiong Shi, Complete noncompact three-manifolds with nonnegative Ricci curvature, Journal of Differential Geometry 29 (1989), no.2, 353–360.

[2] Wan-Xiong Shi, Deforming the metric on complete Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 30 (1989), no.1, 223–301.

[3] Wan-Xiong Shi, Ricci deformation of the metric on complete noncompact Riemannian manifolds, Journal of Differential Geometry 30 (1989), no.2, 303–394.

[4] Wan-Xiong Shi, Ricci deformation of the metric on complete noncompact Kähler manifolds, Ph.D. Thesis, Harvard University (1990).

[5] Wan-Xiong Shi, Complete noncompact Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, Bulletin of the American Mathematical Society 23 (1990), 437-440.

[6] Wan-Xiong Shi and S.-T. Yau, Harmonic maps on complete noncompact Riemannian manifolds, in: A Tribute to Ilya Bakelman (College Station, TX, 1993), pp.79–120, Discourses Math. Appl., No.3, Texas A & M Univ., College Station, TX, (1994).

[7] Wan-Xiong Shi and S.-T. Yau, A note on the total curvature of a Kähler manifold, Mathematical Research Letters 3 (1996), 123–132.

[8] Wan-Xiong Shi, Ricci flow and the uniformization on complete noncompact Kähler manifolds, Journal of Differential Geometry 45 (1997), no.1, 94–220.

[9] Wan-Xiong Shi, A uniformization theorem for complete Kähler manifolds with positive holomorphic bisectional curvature, The Journal of Geometric Analysis 8 (1998), 117–142.


相关背景:

施皖雄博士2021年9月30日逝于美国华盛顿特区去世,享年58岁。施皖雄是中国科学技术大学数学系781校友、哈佛大学博士。这位英年早逝的数学英才为Ricci流解决庞加莱猜测和几何化猜测做出了基础性贡献。

《三联生活周刊》2006年8月17日《百年未解的谜题:庞加莱猜想》

丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的,是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为…和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,今天关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?

汉密尔顿信件对施皖雄评价

丘还有一些跟随他从普林斯顿到圣地亚哥分校的非常杰出的学生,特别是曹怀东,周培能和施皖雄三人。丘成桐鼓励他们研究瑞奇流,他们对这个领域也作出了非常重要的贡献。…施皖雄开创了完整非紧流形上瑞奇流的研究,在许多漂亮的论证基础上他证明了瑞奇流的局部微商估计。奇异点的放大通常会产生非紧致解,证明放大极限的收敛性总是要依赖于施皖雄的微商估计,所以施皖雄的工作是佩雷尔曼和我使用的所有极限论证方法的关键。

汉密尔顿致丘成桐代理律师的信(转载于中国科学院官网,2006.9.30)

光明日报(2006.6.21)《所有中国人都应为他们感到骄傲》

汉密尔顿高度评价了陈省身、丘成桐、施皖雄等中国数学家的贡献,他说:“所有中国人都应该为中国数学家在微分几何领域所取得的成就,和对庞加莱猜想的贡献感到骄傲。”

施皖雄,福建泉州人,1963年10月6日生,2021年9月30日下午8时零7分(当地时间)在美国华盛顿特区去世,享年58岁。 施皖雄1978年10月从福建泉州五中考入中国科学技术大学数学系,1982年7月获得学士学位。同年考入中国科学院数学研究所,师从陆启铿院士和钟家庆教授,1985年获得硕士学位。1985年赴美留学,始在加州大学圣地亚哥分校,1987年起在哈佛大学,师从数学大师丘成桐院士,1989年获得哈佛大学博士学位。1989年起在普渡大学数学系任教,1997年离职,后移居华盛顿特区。施皖雄在微分几何的几何流研究中做出了突破性的工作,建立了非紧空间上里奇(Ricci)流的基本理论,为里奇流解决庞加莱猜测和几何化猜测做出了基础性贡献。 施皖雄为人友善,生活淡泊,与世无争。他酷爱数学,在数学领域做出了突出贡献,是后辈学习的楷模。

施皖雄部分亲友

2021.10.1.

普林斯顿大学数学系的崛起:把研究生”扔到河里”,游过去的就成为博士

王则柯

(中山大学岭南学院教授)

普林斯顿大学数学系和普林斯顿高等研究院数学部,在20世纪30和40年代迅速成为美国学术界冉冉上升的明星,不仅在拓扑学、代数学和数论方面独占鳌头,也在计算机理论、运筹学和新生的博弈论处于领先地位。

第二次世界大战以后,大家都返回普林斯顿,科学和数学被视为战后创造更加美好的世界的关键。由于数学在战争年代对于美国的贡献,政府似乎突然意识到纯粹研究的重要性,军方尤其如此,纷纷拨款资助纯粹理论方面的研究项目。人们充满热情地筹划举办新的一届世界数学家大会,而上一届大会是在战前的阴郁日子里召开的。

1948年秋天,数学系主任所罗门·列夫谢茨教授在西休息室召集所有一年级研究生谈话。他用浓重的法国口音给他们讲述生活的道理,整整讲了一个小时。他的目光锐利,情绪激动,大声说话,还不断用木头假手敲桌子。

他说他们是最优秀的学生,每个人都是经过精心挑选才来到这里的,但是这里是普林斯顿,是真正的数学家从事真正的数学研究的地方,和这里已经成名的数学家相比,他们只不过是一群无知可怜的娃娃而已,普林斯顿就是要把他们培养成人。

他说他们可以自己决定要不要上课,他不会骂他们,分数没有任何意义,只是用来满足那些”讨厌的教务长”的”把戏”

他对大家的唯一要求就是每天参加下午茶的聚会,在那里他们会见到世界上最了不起的数学家

当然了,如果他们愿意,他允许他们参观高等研究院,看看他们能不能幸运地见到爱因斯坦、戈德尔或者冯·诺伊曼。

他一再重复的一点是,教授们绝对不会把他们当做娃娃。对于年轻研究生们,列夫谢茨的这番话无异于美国作曲家苏萨的鼓舞人心的乐曲。

毫无疑问,列夫谢茨富有企业家精神,精力充沛。他在莫斯科出生,在法国接受教育,酷爱数学,却由于不是法国公民而不能选修数学,只好学习工程学,后来移民美国。

23岁那年,他正在著名的电气公司西屋公司工作,一场严重的变压器爆炸事故发生,夺去了他的双手。用了几年时间,他才得以康复。其间他深感痛苦绝望,不过这场事故最终促使他下定决心,追求自己的真爱——数学

他到克拉克大学攻读博士学位,那里因为1912年弗洛伊德曾经举办精神分析讲座而闻名。不久,列夫谢茨和那里的另一位数学系学生相爱,两人结为秦晋之好。毕业之后,他在内布拉斯加州和堪萨斯州教了将近10年的书,一直寂寂无名。

课余时间他撰写了多篇具有原创思想的精辟的论文,渐渐引起学术界的重视,终于有一天,来自普林斯顿大学的一个电话邀请改变了他的生活道路,他成为普林斯顿大学数学系首批犹太人教师之一

列夫谢茨身材高大,举止粗暴,衣着毫无品味可言。刚来的时候,因为人们常常在走廊里假装看不见他,避免和他打招呼,他常常自称为”看不见的人”。但是他很快证明自己具有非凡的魄力,可以跨越远比这些过分拘谨、媚上傲下的同事更加困难的障碍,一手将普林斯顿数学系从一个”有教养的平凡之辈”培养成为令人景仰的”巨人”。

列夫谢茨招聘数学家只有一个条件,这就是原创性的研究。他注重独立思考和原创精神高于一切,蔑视那些优美或刻板的证明据说他从来没有在课堂上做完一个正确的证明

他的第一部全面论述拓扑学的著作提出了”代数拓扑学”的术语,影响深远,其主要价值在于体系,而不是细节,细节方面的确有很有一些欠斟酌的地方。有人传说他是在”一个休息日”里完成这部著作的,他的学生们根本没有机会帮助他整理。

他了解数学的绝大多数领域,但是他的演讲往往没有条理。他的编辑作风专制而又有个性,使普林斯顿一度令人厌倦的《数学年刊》(Annals of Mathematics)一跃成为世界上最受推崇的学术刊物。

有人批评他将许多犹太学生拒之数学系的门外,他却辩解说这是因为担心他们毕业之后多半找不工作。不过,没有人可以否认他确实具有极佳的判断力。他训斥别人,独断专行,有时相当粗暴,但是他的目标只有一个,就是为数学系赢得世界声誉,将学生们培养成和他自己一样坚韧不拔的真正的数学家

列夫谢茨关于研究生数学教育的思想是以德国和法国名校的传统为基础的,很快就成为普林斯顿的指导纲领,其核心是尽快使学生投入到他们自己的研究工作中去。由于普林斯顿数学系本身就积极从事研究工作,同时有能力对学生进行指导,列夫谢茨的想法得以付诸实践。

博学固然是一项值得尊敬的才能,但这并不是列夫谢茨的目标,他更强调学生应该有能力提出自己独特的看法,作出重要的原创性的发现。

普林斯顿给予学生最大的压力和最小的管制。列夫谢茨就说过,系里不要求学生非来上课不可。数学系确实设立了自己的一整套课程,不过考勤和分数一样,几乎只是幻象

到了在学生的成绩报告上打分的时候,一些教授会给所有学生判C,另一些教授则会都给A,装装样子而已。一些学生根本不需要上一节课就可以得到分数。的确,所谓成绩单只是用来讨好那些墨守成规、被称为”俗人”的教务长之辈。

比如数学系传统的口试,可能只是要求学生翻译一段法语或德语数学论文。由于选定的论文充满数学符号,文学极少,即便没有多少外语知识的学生也能看出个大概头绪。如果实在搞不清楚,只要学生许诺回去好好研读这份论文,老师们也可能判他合格。

真正要计算成绩的是”总考”,包括5个题目,其中3个由数学系选择,另外2个由考生自行选择,在第一年的年终或第二年进行。不过,即便是这次考试也可能依据每个学生的具体优缺点而进行设计

举例而言,如果某个学生对一篇论文掌握得很好,而且他总共就知道这一篇论文,那么考官确实有可能大发善心,出题时自觉把内容限制在这篇论文里,好让这个学生顺利通过考试。

学生动笔写毕业论文之前,最重要的事情是要找到一个高资历的教授支持自己选择的题目。整个数学系的教师对学生都相当了解,如果他们认为某个学生实在没有能力完成自己的题目,列夫谢茨就会毫不犹豫地更换导师或干脆叫他离开因此,通过了总考的学生通常在两三年里就能取得博士学位,而在哈佛则需要六七年,甚至更长的时间。

则柯(即作者本人——编者注)在1981-1983初次到普林斯顿大学进修的时候,当时的系主任项武忠教授还在津津乐道列夫谢茨建立的传统:普林斯顿数学系把研究生”扔到河里”,游过去的,就成为博士

普林斯顿总是有最好的教授,最好的访问学者,他们授业解惑,可以说是有问必答,但是决不关心考试。如果你自己不思进取,没有人会逼迫你。

普林斯顿总是开最先进的课,每周好几次请世界一流的数学家讲演自己的最新发现。她提供最好的环境,是不是能够利用这个环境,是研究生自己的事情

至于列夫谢茨,教授们都有点儿夸大地说,正因为他从来没有在课堂上完整地做完一个正确的证明,他的学生不得不把他的漏洞补上,从而练就了本事。

如果教授在课堂上讲的都已经十分正确十分完备,而学生能够把教授所讲背得滚瓜烂熟,那不叫本事。懂得高等教育的人都知道,如果每一步都要讲解得十分完备,你根本不可能在大学讲授一门象样的课程

本文转自《书城》2000年第3期文章仅作分享,不代表一读EDU观点和立场。一读EDU编辑部对原文略有编辑、调整,如需引用,请参考《书城》2000年第3期原文。

博士后老张归国记

【注:本文几乎没有版权可言,或者说,即使有版权,也很难找到当初的作者群了——是的,这篇小说甚至没有一个明确的作者。最早大概是在2009年开始在留学生论坛里流传的一个故事,当时只有第1、2部分,大家的猜测却出奇的一致:一定是某位在美留学的大龄生物学博士或博后写的,毕竟写得太真实了,很多人表示自己感同身受,几乎要读哭了。后来,大概在2012年,第3部分开始出现在国内论坛里。基于这一部分的情节中透漏出来对国内工作的熟稔程度,大家猜测这位作者应该是在国内郁郁不得志的青年高校教师或师资博后。很快,在水木社区上开始流传以女主角为主线第4部分。由于这一部分对女性心理的准确把握,大家又开始怀疑这是一位女网友的作品。然而,争议最大的也就是这一部分。因为初次发布的版本就是文中的悲剧结尾,所以作者收到了“你太恶毒”的评价。几天后,网上出现了不悲不喜的结尾。至此,《博士后老张归国记》正式完篇。另外,需要提醒的是,第3部分的最后一个自然段与第4部分的悲剧结尾是互相矛盾的,但与不悲不喜的结尾完美契合,这也证明了不悲不喜的结尾才是符合作者原意的续作。虽然不断有人对后两部分不满,要求写出一个喜剧结局来,但是因为前两部分的基调已定,再怎么改,也只能做到不悲不喜。】

第一部分:老张相亲

老张不老,博五快要结束,博六就要开始。

且慢,这博士咋读了五年还没读完?

这个问题已经被老张的爸爸妈妈爷爷奶奶叔叔阿姨包括刚学会说话的侄子侄女问了无数遍,老张的耳朵都快起了老茧,回答也快把嘴皮磨破老茧了。

读个生物博士我容易么我。老张心想。

可是老张父母等不及啦,左邻右舍拼命地问:张爸,你儿子咋读书读到30岁还没个完呢?还真读上瘾啦?怎么,到现在对象还没找上?那你们老两口可得趁着这个机会好好享享清福哟……唉,不能和你多说了,我那孙子一准醒了……

老张父母心里那个不是滋味呀。想着当初从老张出生开始,他们为了老张跑在别的孩子前头,费了多大力气。老张这孩子以县第一名考上名牌大学的时候,老张父母多荣耀。后来老张又出国了,老张父母多扬眉吐气光宗耀祖。可是这跑着跑着,老张这孩子咋还是不争气,落到别人后面了呢。眼见着隔壁那跟老张同年的学习不好的王二孩子都光屁股满地跑了,学说广告词了,这老张咋还对象都没个影呢。
当然了,在老张父母心目中,老张那是老张他爸,而老张依然是张娃子。

老张很想把父母签过来玩玩,可是他离家五年,对父母的感情越来越捉摸不定起来。有时候他觉得心里很想爸妈,简直想到骨头里去了。但有时候吧,他想到父母那两张喋喋不休的嘴巴,他就恨不得离他们越远越好。

这周末给家里电话,张爸又唠叨了:隔壁王二他小子今天学会了一句英语了,见人都说好肚油肚。老张不耐烦地说,那都是哪辈子的英语了,人都说 howareyou。张爸气愤地说:你会说有啥了不起,人小孩说稀罕。你啥时候给整个小孩出来说好肚油肚你就烧高香吧。张妈一看苗头不对立刻从张爸手里抢过电话,边数落张爸“你怎么还老跟孩子急”,然后对老张说:“儿啊,最近有碰到啥中意的姑娘没?”老张说“中意的姑娘没碰到,小伙倒是认识了好几个”。张妈柔中带刚地说“你别老和你妈打岔,你看我和你爸也老了,再老都不能帮你们带孩子了……”老张打呵欠:“那个‘们’一撇还没有呢”。听着老张那吊儿郎当的口气,张妈的好脾气也受不了了:“你这孩子,咋就不让我和你爸省点心呢?你看隔壁王二跟你同年的,小孩都学会说英语了……”

每次电话都是这样的死循环,老张每次挂了电话都想,这人生真是三十年河东三十年河西,想当初小时候父母老是说“再和王二那没出息的厮混,小心我(你爸)打断你的腿!”或者就是说“跟好学好,跟叫花子学讨,你别老跟着王二学坏,是不是人家讨饭你也跟着讨饭去?”结果这还没过三十年,就变成了“你看看人家王二,跟你一样大,不但媳妇娶了,儿子生了,这生的儿子还都会说英语了。”

说真的,老张自己心里也着急。咋不着急?这眼看着大好春光都陪着小白鼠度过,为啥那红袖添香夜读书的姑娘她就是迟迟不出现呢?难道我老张真的是命犯孤星?不能啊。

总结来总结去,原因只有一个:僧多粥少。

老张在学校五年了,除了第一年,年年接新生。可是接来接去接的都是男生。偶尔接到个把女生吧,安置下来后就杳无音信。很多女生刚来的时候都有海誓山盟的男友,纯洁美好的让老张不敢作任何妄想。等几个月一过这些女生同国内男友吹灯拔蜡之后,老张又发现她们不管丑的美的统统让别人捷足先登了。没办法,谁让他除了带TA写paper做实验之外还得伺候小白鼠呢。

有时老张甚至幻想,有一天某只小白鼠含情脉脉地看着他,偷偷咬他一口。他正要生气的时候,发现一貌美如花的白衣MM正咬着手指巧笑倩兮地看着他呢。

可是老张的白鼠姑娘依然没有出现,这春节一过,老张立刻被打上了30的标签。虽然老张自己一再重申这30岁是野蛮的毫无道理的,因为他明明还未满29岁,可是老张爸妈不干了:“儿子,人家都说30而立,你咋什么都没立呢?书书没念完,老婆老婆没找到,儿子更是没个影。”

老张还想像往常一样打马虎眼过去,可是老两口认真了:“今年你安排个时间回来,我们托人找些姑娘你相一相。”

“那哪成?那没有感情基础。”老张嗫嚅地说。

老张爸在电话那头把眼珠子一瞪:“要个屁的感情基础!你要是有那本事找个有感情基础的,你也不至于到30了还光棍一条!”

老张想再次重申自己还未满30,可是想到电话那头老爸直飙而上的血压,忍了口气,陪笑说“行,我跟老板商量商量,今年回趟家,找个老婆给我爸生孙子!”老张爸再一吼:“这是正经事情,别跟你爸嬉皮笑脸的。”“是是”,老张无奈地说。

老张的飞机一落地,老张就不是实验室那个勤勤恳恳伺候小白鼠的老张了。老张是学业有成年轻有为青年老张。这是老张爸给他的定位。老张对自己的定位稍土一些,头衔叫相亲别动队。本来他觉得此行是一个搞笑的主题,但当他见到已经老态明显的父母时,忽然意识到他爸说的是正确的:“这是正经事情”。他决心把它当成一个project来搞。

第一个星期老张分别见了A,B,和C。说实在的她们挺好的,长的挺好的,谈吐挺好的,家境挺好的,什么都挺好的。但是老张相亲的时候老容易走神,这让她们觉得老张这人挺不靠谱的。A说的是,你这人挺好的,但是我不太想去美国发展,真不好意思。B说的是,你挺好的,可是吧我觉得我不适合你。C什么也没有说,礼貌地说了再见,就再也没有见过。

第二个星期老张又见了D,E,F和G。这四个姑娘也都挺好的,老张也没有再走神发呆,他开始进入状态。他觉得D虽然漂亮,但是学历有点低。E谈吐不错,但长的有点那个,还赶不上学校女生的平均水平。F挺有趣,但是她年龄太小,他怕和她有代沟,跟不上她的步伐。G各方面平平朝上,但是怎么说呢,略显精明,她甚至还说“听说你们生物在国外挺不好混的”,害的老张一口热茶差点噎进气管里。

第三个星期老张见了H,I,J,K,L…他发现原来世界上单身的女孩还挺多的。但是他见得越多,她们在他心里就越平面,变得像一张张扑克牌。他抽一张出来还挺好的,再抽一张出来也挺好的。但一张和一张之间,他看不出有什么分别。

于是后来,老张只好做了一张Excel表格,给她们每人各项打分,再加权平均。外貌的权重是20%,学历加专业权重20%,做饭手艺权重10%……渐渐的这些活色生香的女子在他心里就变成了一个一个的数字:8.5,9.3,7.6……9.3不错,可惜9.3没有看上他。也许还是8.5好,会做一点饭,人也算温柔,妈说屁股有点大能生孩子……

一个半月的相亲生活,在飞机的轰鸣声中渐渐远去。

老张定了8.5和另一个8.8的作为可行性发展对象,回到学校后继续联系。老张发现原来从未谈过恋爱的自己居然有不少恋爱天赋,可能是因为隔着屏幕看不到脸,老张的脸皮也就厚了起来。8.5和8.8都挺爱和他聊天的。再后来,老张就定了8.5,因为张妈听介绍人说8.5的个性好一些,于是就逼着老张和8.8断了。据说8.8为此还哭了,老张说不清楚,感觉也有点难受,但是既然妈说了8.5就8.5吧,本来就是为了爸妈找的老婆,还是听他们的吧。

老张和8.5谈了半年的msn恋爱,婚期定了,国庆。

老张其实挺不喜欢国庆结婚的,但是老张的爸妈和8.5的爸妈都挺喜欢的,普天同庆嘛,再者亲戚朋友也抽的出空来吃酒席。所以老张又跟老板请假。老板有点不高兴,可是人结婚大事,总不能不让人去,但也很是给了老张几天脸色,并暗示像他这样休假下去六年毕业都挺困难的。
但老张终于要结婚了啊,老张已经过了29岁生日,再过一年就要满30岁了。古人云30而立,又云先成家后立业,所以这家是一定要成的了。老张想到终于要有红袖添香了,心底挺高兴的。但转眼又想到自己真要独自承担起一个家了,心底又有点乱。临近回国,他又开始想就这样和一个见过几面的人结婚是不是太草率仓促了。可是,一切都在如火如荼的准备之中,他更像是一只流水线上等待宰割的鸭子。

直航飞机经过气流层,上下颠簸着老张醒来了。其时老张正在梦里快速回放相亲过的ABCDEFG,以及后来的9.3,7.6,8.5。他恍惚地睁开朦胧的眼睛,看见飞机椅背上的飞机航行状态图,原来真的是三万英尺。他想起大学毕业时候吼的歌,悄悄爱过的女孩,想起她的长长黑发,透明眼睛,芊芊背影。她的笑声,她在操场上跑过的姿势,每一丝每一时都那么立体。老张不由得想出了神。

他终于明白为什么自己在和ABC相亲的时候会走神:他在想她。

他终于明白为什么自己总是在追女生的时候后知后觉:他一直爱她。

原来他的潜意识里,是有一个女孩的,只是他一直强迫着自己遗忘。

这世上竟然没有真正的相忘于江湖。至少他老张没有做到。但,又怎么样呢,此刻他已是一个待婚的男人。

下了飞机,老张在接机口看到了他的8.5。老张看过她很多照片,所以一眼认出她来。她有点羞涩的笑着,挥手叫老张的名字。老张拖着行李箱大踏步地走过去,一直走到她面前。老张的手在衣兜里摸到一枚戒指,这戒指是用来向她求婚的。但老张终究没有在众目睽睽之下单膝跪地,他把戒指塞到她手里,她说“谢谢”。因为这事情早就计划好,这也就算求婚成功了。

婚礼办的盛大而热闹,东方而西方。老张的姑姑说老张穿着西服也有点人模狗样起来了,老张的阿姨说这就叫佛靠金装人靠衣装。酒店里宾客来来往往,热热闹闹,老张父母简直比老张还激动,脸上笑起的皱纹好像绽放着一朵大菊花。

老张站在台上,听着欢快的音乐以及嘈杂人声,忽然想这究竟是不是一场梦。或者自己是主持人,身边的主持人才是新郎。但他有点想不通自己到底是怎么卷入这一场闹剧里来。可是忽然一切都安静下来,婚礼进行曲响起,红地毯的一端,是他的新娘披着白纱,挽着她父亲的手臂款款走来。

不知为什么,老张忽然有些不忍看这一幕,抑或是不敢。他偏过头,看到主宾席上盛装的父母婆娑泪眼中期待的目光。他忽然明白,他是在这期待的目光里越走越远:他在这期待的目光里迈出人生的第一步,他在这期待的目光里独自踏上北上的列车,他在这期待的目光里抛下曾经的她赴美追逐梦想,他又是在这期待的目光里一次又一次地流水相亲。而此刻,他在这从未改变的期待的目光里,不能不再次勇敢地直面现实,甜蜜而微苦地傻笑着伸手接过他8.5的妻。

第二部分:老张的人生全线溃败

老张的博士整整读了六年。

这六年中,他无数次地憧憬过拿到那张毕业证书,正式成为一个有Dr头衔的人时的场景。他是会大笑,还是会哭泣?也许会呐喊,更可能会绕着会场狂奔。他想像过无数个场景,而当他真的从老教授手里接过那张薄薄的纸时,他却什么感觉也没有。像是一只刚刚被注射了麻药的小白鼠,从汗毛末梢一直麻木到心里。是无比空洞的茫然。而这种茫然直接地反射到他的脸上,使他在余雨的相机里怎么看怎么平面,有点像是一个活死人。

“你又怎么了啊?天天吵着要毕业,现在毕业了,还板着个脸。我跟着你真是他妈的倒霉透了,瞧瞧你那副棺材脸,看着都折寿!”老张回到座位上之后,余雨不满地挖苦他。老张对此没有作出任何回应,甚至连一丝愤怒也没有——他已经习惯了。有时候他想这究竟是不是一个规律:婚姻使女人聒噪,使男人沉默,然后女人的聒噪使男人愈加沉默,而男人的沉默则导致女人的更多聒噪。不过,不管这个规律是否适用于大部分婚姻,老张的婚姻早就陷入了这个恶性循环是确定一定以及肯定的。

老张只是不太明白余雨为什么会变成现在这个样子。在相亲的时候,她虽然不是最出众,但也是十分美好的。那时的她不讲脏话,也不摔东西,也不会用恶毒的语言诅咒老张。但即使余雨变成如今这个样子,在老张心里,她依然是他相濡以沫的妻。他从来没有后悔过当初回国相亲,也从来没有后悔在众多的相亲对象里挑中了余雨。在老张的世界里,这个世界上没有所谓“如果”这个命题,存在即是合理。已经发生的就是既定事实,所能做的就是积极勇敢地去面对它。所以当老张面对余雨暴风骤雨般的辱骂时,没受过什么情感教育的他所能做到的最好就是沉默地包容以及忍让。

但余雨和老张想的不一样。她无时无刻不在后悔。如果时间可以倒回到她的25岁,她绝对不会同意和老张相那个莫名其妙的亲,又鬼使神差地被老张的美国博士光环蒙蔽,抛却工作,家人,亲戚,朋友,跟着老张一起来到这个鸟不生蛋的混蛋美国。自从来美国之后,她的脾气变得越来越坏,学会了讽刺,挖苦,诅咒,歇斯底里的怒吼以及摔东西。更让她生气的是,她所有讽刺,挖苦,诅咒,怒吼,以及摔东西的影响对象只有一个,那就是老张,这个一棍子打不出一个闷屁的老张。她讽刺挖苦诅咒老张的时候,老张从来不还嘴,甚至连一点生气的表示都没有,好像她根本不存在,她所采用的一切恶毒词汇对他没有任何撼动力。当她怒吼或者摔东西的时候,老张倒确实会紧张,但他紧张的并不是她,他是害怕余雨的动静太大吵到邻居报警。每次余雨看到老张紧张地搓着手,一副小心翼翼叫她不要吵到邻居的样子她就越发生气:她怎么会嫁给一个这样窝囊的人!从头到脚,怎么看怎么窝囊!

余雨并不知道,任何一个人如果在老张的实验室干上六年活,基本上都会变得像老张差不多窝囊。而老张之所以比其他人要显得更窝囊,则完全应该归功于余雨这一年零四个月以来的陪伴与照顾。

不过,对于老张成功地博士毕业以及找到一个博士后职位,余雨和老张两个人都很高兴。虽然博士后的钱不多,只有三万出头,但是毕竟比老张博士时候的奖学金高出来不少,手头可以宽裕一些,甚至还可以存上一点钱。让余雨非常高兴的还有一点就是他们终于要离开这个荒无人烟的农村了,这让她从心底里觉得欢畅起来。晚上余雨在电脑上看碟的时候看一个当年的下放知青描述当年知道终于可以回城时的激动澎湃的心情,忘我地笑着跟老张说,你知道吗我现在的心情跟她还真是他妈的像。而好久没有听过余雨高兴口气的老张反应又不适时宜地慢了半拍,表情尴尬地给了一个“哦”字,又招来余雨对他的一个白眼和一顿抱怨。

抱怨归抱怨,老张从余雨的口气里还是听出来她心情不错。于是晚上上床的时候,老张壮起胆子,半开玩笑地跟余雨说:“余雨,要不咱们也生个娃吧。”

黑暗中的余雨没有作声,老张便将这看作是余雨的默许,开始往她身上爬。

余雨睁着眼睛,悲哀地看着激动到有点战战兢兢的老张。跟激动的老张相比,没有一丝感觉的她好像是一具解剖台上的尸体——她太清楚他下面都要做什么,因为他每一个步骤都像完美设计的实验程序,每次与每次之间哪怕相隔数月,都几乎没有太大误差。有一刻她看着胸脯白白胖胖松松垮垮估计有A-罩杯的老张,忽然觉得心里有一股说不出来的恶心。这恶心终于让她猛然醒悟过来今天忘记提醒老张采取必要的安全措施,但老张已然完成了他的最后一个步骤,满足地趴在了她的身上。

余雨推开他走进洗手间去冲水,一边冲一边怒气冲冲地对老张吼:“如果怀孕了怎么办?如果怀孕了怎么办?”老张还沉浸在征服的喜悦中,高兴地回答说:“怀上了就生呗!”但是余雨一边冲着一边就开始哭了,一边哭一边诅咒老张顺带问候老张全家,老张就拿着她的洗澡毛巾唯唯诺诺地靠在浴室门口讨好地看着她。老张没有反对余雨问候他全家是因为余雨也不能算是完全冤枉他父母。老张的父母没有太多文化,不懂得什么叫做越俎代庖,在他们看来,他们所做的一切都是为老张,为余雨,为他们家庭的将来好。而且在他们看来,结婚就是为了生孩子,否则干嘛还要结婚呢。所以从余雨刚刚嫁给老张开始,他们就开始督促余雨生孩子的事情,而他们的不当沟通方式也引起了余雨的直接反感。余雨说,我是一个有血有肉的人,不是生孩子的机器,我生孩子是我的事,关你父母什么事?他们想生让他们自己生去。在老张听来,这话实在是大逆不道,且不说让两个五十多岁的人生孩子是否具有可行性,自己活了三十岁也从没能为父母做点什么,生个孩子让他们尽天伦之乐享绕膝之欢是一件怎么也不能说过分的事情。但是余雨说的话从她的角度看,也并非没有道理。所以在这件问题上,他保持缄默了很久,平常也不触及这个敏感话题,直到今夜。所以此刻靠在浴室门口的老张虽然表面上唯唯诺诺,心里却是酣畅淋漓,心里反反复复地回荡着一句“春风得意马蹄疾,一朝看尽长安花”。虽然余雨在哭,但她经常哭,哭哭也就过去了。夫妻吗,就是床头吵架床尾合,何况她即使再生气,她也没有朋友可以找,没有娘家可以回。生活空间被限制在这小小的一室户里,再大的矛盾它也顶不上天去。

过了几天,老张和余雨把家里的旧家具能卖的卖了,该扔的扔了,把其他东西零零总总地收拾了一下塞进车后备箱和后座里,在空落落的房子里留了个影,就开车奔向了新生活。老张告别的时候,眼里闪过一丝泪光,但兴高采烈的余雨并没有注意到。也幸好她没有注意到,否则她一定会嘲笑老张窝囊,受虐狂,在这样的鬼地方呆了六年居然还产生感情了,真是天生蠢材。余雨已经想好了,到了城里,她要好好地学习,狠下一把劲,把托福和GMAT考了,申请读研,结识新的朋友,走出老张阴影笼罩下的小世界,走进五彩斑斓的大世界。至于几天前夜晚的突发事件则已被余雨远远地抛在了脑后,因为她的哭不过是为了震慑老张,而潜意识里觉得窝囊的老张就那一次绝对搞不出什么来。

然而余雨错了。老张就像她当时诅咒的那样,是坏到骨子里的坏。他成功算计了她,先是把她算计到了美国,接着又算计着她怀了孕,让她的完美计划彻底泡汤。但余雨怀孕这件事在老张看来却完全不一样,是件值得昭告天下的大喜事。他在读博士的时候做了无数个实验,最后才勉强成功了一次发了个论文毕了业。这样一比较,他在造人方面的天赋就显著的多,只一次就成功了,就那么一次。年满三十岁的老张终于要成为一个父亲,他多么高兴,他多么骄傲。他觉得这个孩子是他人生的转折点,分水岭。为了孩子,老张想,自己一定要好好干,多出结果,早日结束博士后的生涯,做上助理教授,将来带着余雨和这个孩子,以及可能会有的下一个孩子,吃香的,喝辣的,其乐融融,做一个美国社会的典型中产幸福之家。老张并没有把这些憧憬告诉余雨,原因有很多。一,他觉得这种话在现实生活中说出来非常恶心,毕竟人生不是小说,更不是电视连续剧;二,他认为只要自己认真去做,余雨一定能够懂他;三,他没有必要为自己找麻烦,接受余雨的再一次打击及嗤之以鼻;四,因为荷尔蒙水平不稳定,余雨的脾气变得比怀孕前更差,所以基本上没有一个合适的机会和气氛对余雨做以上煽情温情矫情的表白。事实上老张在余雨怀孕后,说的话并没有比以前更多。有次余雨发脾气的时候,老张斟酌了很久,跟她说“老婆,不要生气,生气对宝宝不好”,立刻被余雨吼了回去 “宝宝宝宝,你就知道宝宝,我不是个人?!哪条法律规定我不能生气?我一生气我还跑去堕胎呢!”吓得老张赶紧闭嘴。

好在余雨不会真的去堕胎。有时候老张觉得美国确实还是有些非常好的规定,比如禁止妇女随便堕胎。有天他看国内的新闻,说一个怀孕七八个月的80后妻子跟丈夫吵架,决定不跟他过了,便立刻去医院做了引产,引产完就提出离婚,看得他一身冷汗。余雨也是一个80后,所以老张深信如果自己和余雨身在国内,他在余雨肚子里播种的孩子可能真的无法撑到安全落地。每每想到这点,老张都不由得深吸一口气,虔诚地感谢上苍及美国成全了他一颗赤父之心。

老张的博士后生涯开展的不太顺利,准确地来说其实是开展的太不顺利。老张的新老板和旧老板在行事风格指导下属上的背道而驰,让从火焰山跳进北冰洋的老张极端无所适从。老张的旧老板是一个有无数想法的人,老张所要做的就是尝试他这些想法看是否可以实现。因为旧老板的想法太多期限很紧,老张并没有时间考虑这些想法是否愚蠢,更不要说培养自己独立找想法的能力。但新老板居然没有一个想法给他。第一次和老张碰面,新老板说完“张,你可以先构思一个项目,想出了轮廓之后再来和我讨论”就拍拍屁股去开会了,将目瞪口呆的老张撂在一片苍茫茫前不见古人后不见来者的异度空间。

总是会有办法的,老张安慰自己说。多看论文,勤思考,一定会有想法的,一定会有的,一定。但是老张发现不知道从什么时候开始,他已经无法坐下来安静地思考,或者说,余雨没有给他任何安静思考的机会与空间。即使他不在家去了图书馆或者呆在实验室,他的心里也无时无刻不牵挂着余雨和她肚子里的孩子,或者说,是他的心已经被余雨的声音和动静填满了。因为效率低下,老张不得不更长时间地泡在图书馆或者实验室里。老张想起来小的时候母亲挑选用来孵小鸡的鸡蛋,对着光照一照,中间有一个小黑点就证明这个鸡蛋可以孵出小鸡。他真想把他要看的那些论文对着光照一照,看哪些论文看了之后会孵化出新的论文来。

老张看完了近期的所有期刊后,却依然没有归纳出任何属于自己的想法。老张是一个纯粹的接收者,像一个黑洞。或者说老张是一个男人,要一个男人努力地去怀孕生孩子确实是太过于难为他。而更大的痛苦是,老张好不容易想出了一个构思,去网上一谷歌发现早在两三年前人家就已经写成论文发表了。老张没有想当初决定读博士是不是一个错误,因为后悔与反思不是他的风格。老张也没有想过转行,因为他的人生已经有十年投入到这个行业当中去,那是他的黄金十年,他不能说放弃就放弃。也许再挖一寸就能见到井水。也许,可能,或者。老张越来越害怕那一个月一次的组会。

余雨不知道老张在新的实验室的所有挣扎,她所看到的只是一个早出晚归的老张,一个对老婆和孩子不负责任的老张。她和老张的交流越来越少,老张似乎也并没有注意到。余雨想通了,她是不可能和这个人过一辈子的,尽管她已经有了他的孩子。

在心理上把老张当成是一个陌生人以后,余雨平静了很多,在挺着大肚子为自己做饭的时候也不再会哭,也不会在去论坛上讨伐老张的不管不问,让他在无数的跟贴中被骂得死无全尸灰飞烟灭。余雨开始认真地学习准备考试和申请学校。余雨发现这个失败的婚姻让她认识到了自己的坚强。未来不管怎么样,应该都不会比现在更差,更可怕。

该来的终于来了,周日的时候老张的新老板给老张发了一封信,要求和他单独谈谈。老张颤抖着手关掉了邮件窗口,像一个老年帕金森综合症患者,余雨斜着眼角看了他一眼,便低下头继续做题。余雨对他这种惊弓之鸟的状态已经习惯了,烂泥是永远扶不上墙的。她做着手里的题,想像它们是一双翅膀两双翅膀,可以终于带着她逃跑,离开,飞翔。她觉得由衷的愉悦。

进了老板的办公室,老张小心翼翼地在老板对面的位置上坐下来。
老板:“张,你知道我找你来是为什么。”
老张:“其实不太清楚。”
老板:“你已经连续五个月在组会上没有任何发言了。”
老张:“我一直在努力,我在努力。”
老板:“我是付你薪水的。”
老张:“嗯,我知道,谢谢。”
老板:“你有没有想过,也许你并不适合学术这条路。”
老张:“不会,我知道有志者事竟成,努力一定会有回报的,在将来的某一天。”
老板:“也不是所有的努力都会有回报,进行学术研究是需要创造力与天分的。”
老张:“我觉得我会有。”
老板:“我欣赏你的态度,但是还是要尊重现实。现在全球性的经济危机袭来,实验室的资金到位并不是很理想。”
老张觉得一股寒气从脚心直升到头顶,他说:“您能再给我六个月时间吗?”还没等老板说什么,老张听见自己继续在用磕磕巴巴的英语说: “我妻子还有两个月就生孩子了,她没有工作,可不可以再给我六个月时间,我一定加油,一定。”
老板:“张,很抱歉,但我的实验室不是慈善机构。”
老张:“我求你,我们全家求你了。”
老板:“如果六个月之内还没有进展,我是没有办法再继续雇佣你了。”
老张:“那一定,谢谢。”

老张和余雨的孩子提前了半个月诞生了,是个女孩,只有六磅重。老张捧着小小的女儿,心里百感交集。他给孩子取名叫Ann,中文名叫安安,希望她能够平平安安地长大。而余雨因为产后晕厥,错过了对孩子姓名的否决机会,否则她是绝对不会给女儿取这样一个土了吧唧的名字的。不过她在这件事上并没有纠缠太久,因为她的大部分精力都用于和前来给她坐月子的老张妈作斗争上了。

余雨不爱老张,更不会爱他妈。对于她一个年过半百的人来给她照顾月子,她并没有太多的感激之情。因为这个孩子本身就是他们全家算计她的,他们自然应该负责任。余雨在过去近两年里学会了无视老张,其实与老张的沉默有着密不可分的关系。她发现她就无法无视絮絮叨叨的老张妈。她出了月子就要考试,所以月子里依然还在看书做题。老张妈一看到就要说她,说月子里不能劳神,看书容易变瞎。余雨不睬她,她就说余雨目无尊长。在余雨看来,没有直接顶撞她,已经证明了自己的极高修养和良好家教。

老张没有卷入这场家庭斗争,因为他已经自顾不暇了。有很多时候人们相信奇迹,但奇迹永远只会发生在小说里,电影里。现实中你以为你在最无助的时候买个彩票就能中上五百万,往往是对号码对了半天发现连50块都中不了。所以如果你要是认为老张真的能够在那宽限的六个月中进行头脑风暴,构思风起云涌,那不过是你同情老张,愿意陪他一起意淫做梦。

老张在挣扎了三个月之后,终于意识到他的唯一出路跟网上的建议一样,就是寻找下一个实验室做他的冤大头。于是他跟余雨建议让他妈把孩子带回国去带,这样节省生活开支,更不至于让孩子在很小的时候就跟着他们颠沛流离。余雨二话不说就同意了,孩子对于她来说完全是个累赘,在肚子里的时候是,生出来之后依然是。她的考试结果出来都不错,申请顺利的话到了九月份就可以开始上学读研了。而开始上学就意味着她终于可以摆脱死气沉沉的老张,絮絮叨叨的老张妈,以及哭哭啼啼的老张女儿。现在有这样一个机会让她提前摆脱掉后两者,有什么理由能让她不欣然接受呢。至于骨肉情深,余雨并没有太多的体会。她认为,只有和爱人生的孩子,才是值得疼爱与珍视的。对于安安,她只能说妈妈对不起你,因为她真的爱不起来。

原来经济危机不仅仅会出现在历史和政治课本上,它是一场能够真正波及到每个人的风暴。老张从来没有想过自己和经济能扯上任何关系,在这场危机中他却好像和经济是绑在一根绳上的蚂蚱。他联系了很多实验室,都是一句话:没钱。在危机中依然有钱的实验室都是厉害的实验室,看不上老张这个在实验室做了一年就被老板扫地出门的Loser。但老张还是要感谢美国政府,体贴地把他的OPT从一年延长到了二十九个月,让他尚可以苟延残喘一把,也好歹可以支撑到余雨开始上学。余雨并不知道老张已经失业了,因为他依然每天早出晚归。大部分的时间老张是去公共图书馆,有的时候只是在公园里闲逛。他只是不想让余雨沮丧,担心,难过。她已经好久不再苛责他,这让他非常感激,又非常不安。老张喜欢余雨的安静,像他最初认识她时的样子。而余雨的安静又让他觉得无比的不安,就好象暴风雨来临之前,总是无比的宁静。他知道余雨拿到了录取通知书,但是什么专业哪个学校一无所知,余雨不说,他就不敢问。余雨依然给他做饭,两个人一起吃饭的时候却尴尬的只有咀嚼食物的声音。老张有时候想开口发声,但看到余雨那张漠然的脸,千言万语往往只化成几个字“嗯,不错,这个挺好吃的。”余雨也并不回答他,仿佛他是个透明的泡泡。

转好身份的那天,余雨给老张摆了一桌鸿门宴。

老张回到家,看见桌上的酱鸭,蒸鱼,西红柿炒蛋,鱼香肉丝,茶树菇排骨汤以及香槟,堆出一个笑脸,装作很快活地问余雨:“哟嗬,今天伙食不错,有什么可庆祝的吗?”

余雨打开香槟,为他斟满酒杯,浅浅地笑了笑:“我转好身份了。”
“不错啊,独立了。”老张抿了口香槟,“是该好好庆祝一下。”
“吃吧,你回来的晚,都快凉了。”余雨说。

得妻若此,夫复何求啊,老张心想。所有的困难都会过去的,哪怕他转行,对,哪怕他转行。最近他在图书馆博览群书,大开眼界,学会了沉没成本这个词。他终于明白他的黄金十年已经像泰坦尼克号一样沉没了,他不适合学术界,他要去工业界,老老实实找一份工作,养家糊口。他依然可以带着余雨和安安奔上小康之路。

但是在老张大快朵颐风卷残云觉得生活掀开新的篇章的时候,他听见余雨说:“张晓翔,我觉得咱们就到这里吧。”“啊,我还可以再吃一点。”老张说。

“我不是说吃饭,”余雨说,“我是说我们。”

老张含着鸭子放下筷子:“余雨,这是什么意思。”

余雨说:“我们离婚吧。”

老张偏头看她,一副不敢相信的样子。但是他的大脑却仿佛早已预知这一切的发生,迅速接受了现实,并且让他的眼泪以最快的速度充满他的眼眶,并且沿着脸颊流下来。余雨看着他这幅窝囊的样子,有些不忍,但她心里清楚地明白,长痛不如短痛,一个错误的不修正,只会引起更多的一连串的错误。在她心里,她和老张这两年多的婚姻,也是一个沉没成本。

在冷静的余雨面前,老张的心像是被石头撞着,是巨大的闷痛。他从来没有像此时此刻觉得自己那么失败过。当他流着泪跪在老板面前请求他再宽限六个月的时候,他觉得不能比这更失败了;后来他抱着安安去打针,小小的安安被护士扎了好几针哇哇大哭,他抱着安安就陪她一起哭,他觉得不会有比这更无力的时候了;然而他的人生却像是一架笔直向下的过山车,带着惊恐无助的他一路冲向深不见底的地方。他没有想余雨的行为是忘恩负义,是过河拆桥,他只是在想他到底是怎么走到了这一步,到底是哪里走错了。怎么会到今天这样,四面楚歌。想到头痛的老张把脸埋在手里,发出受伤的兽一般低沉哀嚎的声音。

余雨不知道老张的心里一直背着那么重的包袱,也不知道他是在一直怎样努力地用他的方式保护着她。否则她不会选择在老张最无助的时候提出离婚,也或者她根本会爱上他。但是正如老张所坚持的那样,这个世界上是没有如果的。如果老张没有那么沉默,也许他就不再是老张,而是老李,老王,老吴了。老张最终没有告诉余雨他的处境,而是同意了离婚。老张把所有积蓄的一大半给了余雨,虽然没有很多钱,但是尚可以缓解一下她要开始念书的经济压力。余雨同意把安安留给老张,因为她知道老张爱安安比她爱的多的多。老张收拾好自己的东西离开之前,余雨说,有空还可以像朋友一样聚聚。老张看着她,说:“余雨,我没有照顾好你,你一定要幸福。”余雨从来没有听过老张这样讲话,她忍不住抱住他哭。老张小心翼翼地拍着她,没有流泪。因为他的泪水在过去的半个月里已经流尽了,结了痂,成了厚厚的盔甲。他也知道,他不会再和余雨像朋友一样聚聚了,他的失业期已经超过了规定期限,失去了在美国的停留权。

老张回国的机票已经订好了,在五天以后。因为并没有什么地方可去,老张拖着箱子,买了一张不知道去哪里的火车票。他在美国七年,勤勤恳恳,兢兢业业,基本上没有出去旅游过。现在要走了,倒是可以看看美国的大好河山。老张坐在靠窗的座位旁,如饥似渴地盯着路边的风景。而那些风景都是转瞬即逝的,就像老张的青春。他想起高中毕业上大学的时候也是坐的火车,也是一样地看风景。那时的老张还是小张,没有现在这么胖,瘦瘦的,浑身透着一股灵气。然后他想起和前老板的那次谈话,他说,做学术是需要天赋的。然后很久以前,余雨最常挂在嘴边的话就是“张晓翔你怎么那么窝囊”。老张眼里的风景和脑子里的画面交织在一起,难解难分。于是他长长地叹了一口气。

“哥们,咋了?”老张旁边的黑人问叹气的老张。

老张说:“我刚刚离婚了。”

“那确实他妈的糟糕”,黑人说,“不过,女人嘛,没什么。走一个,自然会再来一个,这就是人生啊,哥们。”

这段话让老张想起那首王洛宾的歌:太阳下山明早依旧爬上来,花儿谢了明年还是一样的开,我的青春一去无影踪,我的青春小鸟一去不回来
于是老张就不再和他搭话,开始眯起眼睛睡觉,他实在是太累太累了。

终于,老张拿着登机牌坐在候机厅里,透过巨大的玻璃窗户看着外面的飞机,以及像蚂蚁般繁忙的人们。当初他就是这样一个人来的美国,如今他又要一个人回去了。未来的路怎么走,他不清楚。他是否留恋这里,他也不清楚。如果是几个月以前的他,他可能会哭,但是这几个月他坚强了很多。他知道即使他哭,他也不会是为离开美国而哭泣,他哭的不过是自己的韶华。但自从他明白了这些过去的投入都是沉没成本之后,他就不容易为这个哭。他也不再留恋余雨,他能够衷心的祝愿她幸福,说明他不够爱她。他们两个本来就是不对的两个人,余雨没有错。过去的已经过去,而未来即将到来。当飞机升空,再次将老张推向椅背的时候,他紧紧地闭上了眼睛。

祝老张幸福。

第三部分:老张祝福大家,世事静好,平安喜乐

老张不记得自己是怎么下飞机,然后又是怎么到宾馆的。他一路上并没有喝酒,却老觉得自己醉醺醺的,看什么都不太真实。好像有一刻他曾拉着行李箱狂奔,越跑越觉得自己是一头被拴在一个巨大的磨上的驴——他那么努力地往前狂奔,却逃不了回到原点的命运。

老张没有告诉任何人回国的事,连自己爸妈也没有讲。以前听别人说出国就是一条不归路,总觉得有点装B。真到了自己头上,就发现这话说的其实一点也不假。虽然大家嘴里都说如今中国往上美国往下,但谁也不会真以为老张这种裸归族是识时务的俊杰。至于老张父母,虽然总跟邻居叨叨说羡慕人家儿孙绕膝,但提起老张“在美国”时还是不免有种半惆怅的欢喜。所以老张决定还是等找到工作后再分次告诉爸妈他海归及离婚这两件事,好歹不会显得他的人生多么苍凉,也略微缓冲下对二老造成的冲击。

可是没有想到,原来拿着海归文凭在自己的祖国找工作居然也这么难。虽然老张经过博士后经历的洗礼明白了自己不是块做学术的料,但不知道为什么,回国后的第一想法还是去学术界试试。于是老张拿着简历找了几所高校,转了好几圈找到所谓的“相关负责人”。

“相关负责人”的态度却相当傲慢,拿着老张印着J. Biochem.文章的简历对老张说:“你这个条件——虽然是海归,但论文的数量不多,质量也一般哪。博士后做了一年,什么结果都没有——为什么不继续做了?”老张有些尴尬,刚要回答,对方却自己接下去了:“我看你也是没有办法才回来的吧?这样吧,我们这里正在招师资博士后,你要是觉得有兴趣就把简历留下,如果有教授对你有意向的话再跟你约面试的事情。”老张第一次听说“师资博士后”这个名词,本来还想问问清楚,结果对方一副日理万机的样子,直接给老张下了送客令。

回去一百度,才知道师资博士后是个畸形产物,跟大学扩招差不多,主旨是为了构建和谐社会。简而言之是又要做科研又要去教书,并且永远都在考核期。至于待遇就更不清楚,居然是按照人事部全国博士后管委会相关文件制度发放工资。还有这么个部门。老张思来想去,觉得自己虽然对学校留恋,但实在犯不着去做个师资博士后,于是决定还是找个工业界的位置算了。

以前听别人说找“学术界”“工业界”的工作,基本上论调是“唉,混AP无望,只好去工业界了”,好像只要一个有志于学术界的人声明放弃搞学术了,就会立刻被工业界喜出望外地一抢而空。但这事没有发生在老张身上。老张海投了无数份简历,收到的回音却寥寥无几。后来才想到是投工业界的简历需要重新修改的缘故。但不知不觉好几个星期已经过去了。老张本来打算工作定下来后再就近租个房子的,结果发现找工作居然要打持久战,才退了宾馆在光华BBS上找人合租了个廉价的两室一厅。

跟老张合租的是一个大学刚毕业的男生,叫何方。说来也巧,居然也是生物专业的。重点大学本科毕业,不想再继续往上读了,所以也跑来上海找工作。听说老张在美国拿了博士学位,还“读”了一年博士后,景仰不已。结果何方找到工作两个星期以后,老张才拿了三个面试,而且有两个已经明确地黄了。两人晚上在一起喝酒的时候,何方说,兄弟,没事,工作和感情一样,都是水到渠成的事。他们不要你是他们的损失,别跟他们一般见识。再说了,你不是还有一个面试吗,还是美国企业,大公司,好好把握呗。老张抿了口酒,苦笑着说,怎么感觉啥事儿到你嘴里都不算个事儿?何方装作老朽的样子捋了把不存在的胡子说,年轻人,万般皆浮云哪。兄弟,干杯!

老张跟美国公司的面试还挺顺利的,因为方向对口,老张几乎没有在任何一个技术问题上面卡壳。最后一轮面试是见大头。大头说,你的专业知识不错啊。老张谦逊地说,还好,还好。大头说,你填的期望薪资有点偏高嘛。老张有点怀疑自己的耳朵——他明明只填了八千月薪。大头说,我也理解你的想法,博士,海归,还发了一篇非常不错的论文,怎么样都值八千一个月。但是我们公司是按职位来定薪水的,这个职位呢本来就是硕士也可以,所以薪水我们最高只能开五千。你也是找第一份工作,对薪水有期望正常,但是更应该看公司给你提供的发展空间,你认为呢?听了这番话,老张觉得全身的血都刷地一下子涌到头顶上来了。月薪五千,二十多年的寒窗苦读就这样被标了价。老张很想吼一句F word,但是沉默了半晌之后,他听见自己的声音说:“谢谢您,请您再给我一点时间考虑一下吧。”然后轻飘飘地,他被自己的脚带离了那个尴尬的地方。

晚上回去跟何方说的时候,何方说,妈的,兄弟你真是虎落平阳遭犬欺。老张说,没错,就是那种感觉。何方说,不过我要是你,就先把那份工作接了,以后再慢慢跳呗,骑驴找马总比走路找马强。老张说,兄弟,你年轻,有的是资本。我年纪已经大了,第一份工作起点重要。我就不信我他妈的找不到一份像样的工作。何方说,对!不蒸馒头也要蒸口气呀!兄弟,干杯!

然而老张仿佛是被诅咒了,接下来整整一个月,他居然连一个面试都没有。何方的培训期结束,基本上每天都要加班到很晚才回家,自然也无暇再陪老张喝两杯小酒。老张开始每晚做同一个主题的梦,那就是他在各种胡同或者迷宫或者森林里迷路,找不到出口。或者好不容易找到了出口,伸头一看,小路原来通向万丈深渊。

比工作毫无着落更糟糕的是老张的储蓄也日渐减少。他起初以为余雨比他更需要钱,所以把大部分储蓄都留给了余雨,结果到了上海才知道为什么大家都管这儿叫魔都。这地方真的能把一个正常的人变成魔鬼,连从来视金钱如粪土的老张,如今也是满脑袋地在想着马内这种阿堵物。老张后来打电话给那个美国公司的人力资源部,告诉他们说可以接受月薪五千的条件,结果他们说招的人已经上班两个多星期了。老张想,实在不济就去学校做那个劳什子的师资博士后,结果也再没有教授电过他。

老张也开始赶场各种招聘会。但是就像何方说的那样,除了高校里的正式招聘会,外面的大部分都是些低层工作,不适合他这种级别的人去跑。但是和一个人在家里憋着等电话相比,老张还是更宁愿去赶招聘会,可以些微弥补点内心的空虚。但是当他真的跟那些刚毕业的年轻面孔挤在同一个招聘台位前时,心里又是另一样的惶恐。后来招聘会赶多了,感觉就有点像当年去相亲:回到家以后,根本想不起来今天又给哪几个公司递了简历,又分别申请的是什么职位。后来就根本不看是哪些公司在招聘了,就随着人潮走到各个台子前看看。遇到并没有合适的位置的地方,也装作专业地瞅着招聘职位发一会儿呆。

“嘿,张晓翔!”有人狠狠地拍了一下正在发呆的老张的肩膀。

老张吓了一跳,定神一看,居然是高中同桌林立群。

“你不是去美国了吗,怎么回来了也不说一声?”林立群说,“还真不把咱当哥们儿了?”

这话老张还真不知道从哪里接起,因为他从来没有觉得自己跟林立群是哥们儿过。那时候老张是班里的尖子生,林立群是班里的“害鬼”,两人同桌纯属班主任一厢情愿的“一帮一”想法。结果一学年结束,老张还是那个老张,林立群还像老师说的那样“鸡立鹤群”,两人虽然没起过冲突,但也基本没有过共同语言。可是老张还没怎么反应过来,林立群已经吆喝着收了招聘的摊子,把老张押到他的车里去共赴午餐了。

吃饭的时候老张才了解到林立群出现在招聘会场纯粹是个偶然事件。因为他已经是一个不大不小的生物科技公司老总了,这天公司没什么事,才想起去招聘会凑凑热闹。推杯换盏之间,两人不知不觉都有些醉。十几年没怎么联系过的两个人,此刻竟像生死之交似的开始互诉衷肠。老张基本上半带哭腔地说完了这些年发生的事情后,林立群拍着他的背说:“晓翔,跟你说句真心话,我觉得你挺傻的。你会念书考试,这个不假。但你还是傻。有本畅销书叫什么来着,对,穷爸爸富爸爸,回头你得看看!那里面说有些人就爱买些实质上是负债的资产,这说的不就是你吗?你说你当年高中的时候考试,每次你都非得憋着考个全校第一。看上去光鲜吧,其实是给自己下套。后来你有次不小心考了个第二,你眼泪噼里啪啦往下掉的事儿你还记得不?后来你上了名牌大学热门专业,咣,又一个套。大家都觉得你该往上念,你就又往上继续念了,咣咣又两个套,对不,一个是美国留学一个是博士学位?

现在你海归了,看着光鲜,事实你心里也清楚。套儿哽在那儿呢,上不去下不去的,别人看着好,自己难受,其实不值当!你再看看我,当初那老班怎么说我的,说我‘鸡立鹤群’,‘害群之马’。但是我高中乐得轻松,我爸妈也对我没期望,后来我上了个大专他们还给祖宗上香祭拜,搞笑吧!大专毕业,他们都觉得我要是能找到个工作就谢天谢地,结果我找了份工作,月薪八百,他们高兴的什么似的。后来我不高兴干了,把工作辞了,我爸妈伤心也伤心,但也没觉得天要塌下来了,反正我就是那么一个败家子,他们习惯了。后来我开始捯饬保健品,瞎打瞎闹的,运气不错,居然搞了个公司出来。他们还是对我没期望,觉得我搞起来的公司,不是今天就是明天就会倒掉。结果,嘿,后来我给公司换了个时髦名字,如今快要做上市了,我这也算是给自己下了个套。不过有过去的基础摆在那儿呢,我没压力,反正该怎么着就怎么着吧。”
老张借着酒劲,腆着脸说:“立群,不如你招我去你们公司干吧。”林立群立刻打了个哈哈,说:“晓翔,你现在有点儿饥不择食了啊。我这个破公司,对你来说就是个小庙堂,留你是耽误你。哥们儿还是看好你的。”老张还想说点儿什么,林立群抬腕看表,说:“哎呀晓翔,真不好意思,一不小心都这个点儿了,我晚上还约了一个经销商吃饭。那我们改日再聚,好吧!”

跟林立群吃过饭后的一个多星期,老张都没有再去赶过招聘会的场子。他好像是害怕再碰见林立群或者其他什么混的风生水起的熟人,又好像是病了。他的时差明明几个月前就倒过来了,如今白天却老想睡觉。一睡觉就又重复地做万丈深渊的梦,有时他还梦见自己义无反顾地跳下去,然后一头冷汗地被吓醒过来。老张也没有办法再想任何关于钱的事情。

他查账户余额的时候一身冷汗,何方跟他提起很快要交下面一季度房租的时候他也是一身冷汗。为什么啥都那么贵?只买打折商品也那么贵?为什么还是找不到工作,连面试也没有?为什么,为什么自己的人生就像他们调侃的那样是个茶几,上面摆满了杯具?难道还要跟着摆放上餐具?

“你看了浙大那个讣告没有,简直是太可笑了。干杯!”难得没有加班的何方又跟老张喝上了。

“什么讣告?”老张随口问。

“啊?你不知道?就是浙大那个跳楼海归博士的讣告啊。上面居然还注明了微波炉,空调什么的,在网上都被人骂死了。哪有这样恶心人的讣告。”

可是老张听到何方说“跳楼海归博士”六个字,一下子被吓的清醒了,以为何方说的是自己。去网络上一搜,果然是铺天盖地的讨论以及媒体报道。老张仔仔细细读了浙大的讣告,句句都像是写自己的。原来人如果活得卑微,连死了也不会有尊严。浏览完几乎所有的相关讨论,老张觉得被代入着死了一次,然后有幸看到了自己死去之后发生的所有事情,忽然觉得好轻松,想好好地睡上一觉。

老张这一觉睡了整整十六个半小时,异常踏实,连梦都没有做。醒来之后何方说,兄弟,你这一觉睡的够久的,有点吓人。老张说,还好还好,十六个半小时不就等于正常睡眠八小时吗。何方说,看来这一觉睡的精神可以啊,都会开玩笑了。老张说,必须的。何方说,哇,兄弟你不是被穿越了吧,整个人说话口气都变了。老张只是笑笑。

老张的钱本已所剩无几,便给安安买了满满一旅行箱的廉价玩具和一张回家的火车票。看着路边变得越来越熟悉的风景,老张想起很多少年时的时光,真的就如歌里唱的那样:还记得你说家是唯一的城堡,随着稻香河流一路奔跑,微微笑小时候的梦我知道。

老张的父母看到老张回家,惊喜多过于诧异。安安已经开始认生了,开始甚至不要老张接近她,过了一段时间之后就开始张开胳膊要求老张抱抱。老张抱她抱上了瘾,手都麻木了还不舍得放。老张没有想到原来父母已经知道了他离婚的事,因为余雨的爸妈已经为此事登门道歉过了,并且还送了一副金手镯给安安。老张解释了一下决定回国发展的事,老张爸说:儿子,这些天来我跟你妈思来想去,觉得我们自始至终都在包办你的人生。你也三十好几了,大了,你想过怎样的生活,就去过怎样的生活吧。你要是想留在老家去县中当个老师我们也不反对。

老张他爸只是随口一说,老张却觉得这个提议不错,于是就去县中找了下校长。当年的高考县状元,现在的海归博士后,居然要回母校当老师,校长当然是乐开了花,还给开了两千五百元月薪的高工资,至少校长觉得已经够高了。条件嘛,就一条儿,老张必须在两年内考取教师资格证。老张自我调侃说,这真是雄关漫道金如铁,而今迈步从头越啊。他的同事也开他玩笑,说,海归博士后有什么了不起,我有教师资格证书,他还没有!这件事还差点儿被电视台炒作,后来由于老张实在不愿露面才作罢。不过还是有小报记者找到了老张,想知道他的心路历程。老张说,我一个同学跟我说,有些东西,看似光鲜,其实是给自己的人生下套。我当时觉得他是小人得志,在找机会揶揄我,回头一想可不就是那么回事吗。所以我就把我自己的套给砸碎了,过我自己真正想过的日子。

后来,擅长考试的老张很快拿到了教师资格证,反正他也就只擅长这事儿而已。正如何方当初说的那样,感情和工作是一回事,要讲究水到渠成的缘分。老张再婚的那天,还接到了余雨的电话。余雨在电话里说,当初是自己不懂事,对不起老张。如今她也只能祝福他。电话这头的老张笑一笑,宽厚地说:没事儿,都过去了。对了,安安很喜欢她的新阿姨,你放心。你也要幸福。

最后,老张祝福大家,世事静好,平安喜乐。

第四部分:余雨的故事,以及主角们的结局

老张刚刚离开美国的时候,余雨看着变得有些空荡荡的家,心里也有些空荡荡的。离婚这件事她向往已久,但如今真的发生了,却又仿佛变了味道。晚上一个人吃饭的时候,余雨忍不住趴在和老张一起搬回来的二手桌子上哭了起来。记得那时她和老张刚刚搬到这里,家里什么都没有。隔了几条街刚好有个台湾女生要搬家甩卖家具,余雨一眼就看上了这个桌子。付完钱后才知道桌子有多重,没几条街的距离,余雨和老张愣是花了四十多分钟才磕磕碰碰地把它弄回家,还调整了好几次姿势才顺利地把它从门里塞了进来。余雨不知道为什么自己要想起这些事,她明明从来没有爱过老张,也不想再那么窝囊地生活,否则她干嘛要跟老张离婚呢。可是环顾四周,好像每件东西都跟老张有着千丝万缕的联系,都要叫她忍不住放声大哭。

哭归哭,余雨明白她和老张是再也回不去了。她打电话告诉爸妈离婚的事情,差点没把他们气晕过去。余雨从小到大都是一个听话的孩子,在离婚这件大事上居然自己拿了主意。余雨的妈妈又着急又生气,质问她老张到底是哪里不好,不抽烟不喝酒不赌博不嫖娼,又对她一心一意,基本上可以算是新好男人。余雨说她从来没有爱过老张,余雨的爸爸火了,问那么当初她为什么要嫁给他。余雨也不知道怎么回答这个问题。彼时的余雨在一家民企做着一个不上不下的职位,几乎每天都幻想着有王子骑着白马来救驾,然后老张就出现了。结果结婚了她才发现老张根本不是个王子,甚至连白马都算不上,充其量只能算是一头闷驴。但余雨作为一个活生生的人,怎么能就这样和一头驴共度余生。所以余雨说,也许是时过境迁吧。余雨的妈妈直说她糊涂,连孩子都生了,还以为人生可以从头再来。余雨的爸爸吃了几片降压药还是愤怒,说他决不会养出余雨这种忘恩负义的女儿,叫她以后再也不要打电话回家,回国也不准再踏进他的家门。

余雨没有料到父母的反应会如此强烈,而且她不明白爸爸为什么会说她“忘恩负义”。且不说老张到底对她有没有恩情,即便有,她为他尽心尽力地做了两年多的饭,又生了个女儿,基本上也算还的差不多了吧。但是这些话她没法和父母讲,就像她没法和父母讲她这几年过的是怎样的日子一样。挂了电话,余雨用手环抱住自己,哭到胃痛。

原来人真的是越长大越孤单,有那么一天连家都不再是温暖的港湾。是这样的无路可退。好在学校很快就开学了,余雨的生活一下子变得忙碌起来。因为老张给她留下的钱最多只能支撑两个学期的花费,所以除了注册课程和参加社团,她还费了好一番力气在学校找了一份校内工作。余雨发现人果然是一充实就快乐的多。坐在教室里的时候,余雨看着身旁错错落落各色各样的人们,怀疑自己是不是在做梦:昨天她还像一只被关在笼子里的仓鼠一样因为没有出路对老张大发雷霆,转眼她已俨然是一名重返校园前程似锦的独立女性,人生是如此奇妙。

但是这种快乐的感觉并没有持续多久,烦心事就接踵而至了。起先是学校对于国际学生的英语摸底考试成绩出来了,余雨有三门不及格,所以还要额外修三门英语课,平白无故多了好几千的开销。然后是她发现她很难跟上老师讲课的进度,尤其是印度老师的课,基本上属于无解的听不懂状态。而最让她感觉烦恼的是,她发现自己不知道从什么时候开始,好像失去了与人交往的技能。出国之前,余雨还有一帮要好的小姐妹,不管是知心的还是不知心的话,凑在一起总能唧唧喳喳说上一天。后来余雨出国了,发现美国的生活原来根本不像她们想象的那样美好,更要命的是她才知道原来自己拿的陪读签证根本是二等公民的标志,现实中受歧视,连在网上也要被侮辱。老张本来想介绍实验室的女生给余雨认识,拓展一下她的生活圈子,结果人家高高兴兴地来吃了余雨做的饭,却自始至终没有正眼瞧过一下余雨。后来那帮女生走了以后,余雨生气地跟老张大吵了一架。老张好心办了坏事,从那以后再也没有提过帮余雨介绍朋友的事。余雨日子过得不好,自然也不愿意跟国内的小姐妹再联系,甚至连和父母打电话都不再有什么话讲。她一直以为自己的话越来越少只是因为心里不高兴,等高兴了自然就好了,可是现在才发现原来这种退化竟然是永久性的。她心里很期待交往新的朋友,可是别人一和她说话或者微笑,她就不知道该怎么办才好。甚至连上课老师要求做自我介绍的时候,轮到余雨,她都有些手足无措,不知道眼睛要向哪里看,手该往哪里摆。

余雨在学校正式交到的第一个也是唯一一个朋友是李芸。

那天余雨正在学校的餐厅专心地对付一块两美元的廉价皮萨,李芸一手端着盒饭,一手掂着一个大书包走过来,用中文跟余雨说:“嗨,我可以坐在这里吗?”余雨慌忙点点头。李芸便说:“我在英语课上看到过你,你也是来读会计的吗?”余雨又点点头。

熟了之后,李芸说,要不是在课上听过你回答问题,那天八成要以为你是个哑巴呐,你怎么那么金口难开啊。余雨就对她笑笑。

李芸比余雨小两岁,也是从陪读签证转的学生签证,不过性格上跟余雨相差了十万八千里,更准确地说,是和现在的余雨性格相差了十万八千里。她虽然是跟余雨同时入学的,却基本上已经跟学校里所有的中国人混了个脸熟。李芸说:“开始我还以为会计真的是F2专属专业呢,没想到还有国内名校过来的F1,哈哈。不过他们的眼睛都长在头顶上,不爱跟我们这些奸懒馋滑的F2一起玩儿。”

没多久余雨就发现李芸说的没错,甚至连上课的时候,都是F1和F1坐一块,F2和F2坐一块,也不知道他们最开始是怎样分辨出各自所属的群体的。

余雨没有告诉别人她也是从F2转的F1,但是她只和李芸熟点,所以也就和李芸一起跟F2同学扎堆。时间久了,大家也就默认她也是F2出身,只是有点奇怪她从来没有提过任何关于她老公的事情。但因为余雨向来都比较沉默寡言,她们就没有指望从余雨那里探出什么口风来,也算是相安无事。

不知不觉中,一个学期就过去了,冬天到了。余雨陆陆续续地收到了老师伊妹儿来的成绩,除了印度老师给的B+,其他三门都还不错,两门拿了A-,一门拿了A。虽然不能和李芸的全A比,但她已经很开心了。可是这样的开心却有找不到人分享的感觉。余雨后来打过几个电话回家,但是只要爸爸听出是她打的电话,就立刻给掐掉,也不知道他怎么对自己的女儿有这么深的仇恨。余雨的妈妈虽然要好的多,但是她也依然不能接受余雨跟老张离婚这事,每次电话基本上都围绕着余雨糊涂不懂事以后要吃亏展开。尤其是后来老张回到县中去教书,余雨妈妈说:“我们被你方阿姨(当初给余雨和老张介绍牵线的媒人)说的要死,说当初不该把你介绍给张家,把人家害到这个地步。唉,我和你爸爸现在都不太敢出门,怕出去给别人戳脊梁骨。”余雨本来听说老张回到县中去教书心里还有点难过和不忍,后来被妈妈说的多了也觉得很烦,心想他自己不争气关我什么事。于是后来余雨也渐渐地不爱给家里打电话了,什么都放自己心里闷着。

第二个学期上到一半的时候发生了一件大事:李芸突然退学了。那时余雨正和所有的同学一起为了找暑期实习的事情忙的晕头转向,也没有对李芸几天没来上课这事特别上心。后来听同学说是因为李芸在学校交男朋友的事情被她老公发现了,所以逼着她退学的。余雨对于这件事一直都有点将信将疑,因为李芸虽然活泼开朗爱交朋友,但是基本上张口闭口都是“我老公”,一副幸福甜蜜的样子。但大家都有点言之凿凿的样子,搞得余雨也不是很确定。在四大皆空之后,余雨一度想给李芸打个电话,可是她不知道如果真的接通了电话后该和李芸说点儿什么,所以一拖再拖,最终没有打。

改了无数次简历,对着镜子练了无数次面试之后,余雨最终拿到了一个小会计师事务所的暑期实习 ,时薪二十块。她辞掉校内工作的时候,一直对她很苛刻的老太太忍不住抱着她哭,说余雨是她最好的助手,搞得余雨也有些伤感。为什么人总是这样呢,拥有的时候不好好珍惜,直到失去的时候才追悔莫及。但是她知道李芸会撇撇嘴说:“美国人都这样,就会搞些台面上的东西。”李芸好像对什么都看得比较透。但就在余雨正式开始实习之前,传来了李芸自杀未遂然后脑子出了点问题的消息。不多久以后就听说李芸被她爸妈接回国去了。

此后余雨的日子就开始平淡得像翻日历,每天都游走在家,学校,公司的三点一线之间。在念会计之前,余雨还为选专业的事情很是纠结了一番,真正上班了才发现原来会计真的很适合自己。整理那些乱七八糟的数字的时候,就好像也连带着梳理自己的心情。余雨的老板也很喜欢她的认真和聪明,经常对余雨说,雨,你实习完之后可一定要留下来啊,我们这儿需要你。后来余雨真的留在那里做了整整一年的实习生。然而就像李芸以前常讲的那样,美国人最擅长搞的就是台面上的东西,而美国人中最最奸诈的就要属犹太人。但是李芸以前讲的话实在太多,余雨并没有句句都听进去,所以在这上面吃了一个大亏。当余雨的犹太老板明确告诉余雨说因为公司没有名额不能将她转成正式员工的时候,距离余雨毕业只剩一个月的时间,而数天前他还真诚地看着她的眼睛恳求她不要出去找工作就留在这里。这一切来的太突然,简直将余雨一下子打懵了。

自从打算跟老张离婚以后,她就下定决心要努力为自己挣一个美好的明天,当初选择无爱的会计也无非是为了找工作容易。可是此刻余雨终于明白命运对人的嘲弄,也开始理解当初老张的失败并不是因为他不够努力不作为。就好像会计基础说的那样,有借必有贷,借贷必相等,也许出来混的,都是要还的吧。

余雨就是在这个时候认识廖芹芹的。说刚刚认识也不确切,因为她们明明在一起修了好几门课,只是此前从来没有交谈过。那天也不知道是因为什么原因,两个人都脱离了各自的群体落了单,坐在了一起。余雨那时的心情已经糟糕到极致,连上课都忍不住一直流泪。廖芹芹给她递了一张纸巾。下课后廖芹芹才知道余雨是因为工作的事情哭,让她有些惊讶。她一直以为只有没有退路的F1才会为了找工作这种事情抓狂,F2再不济总是可以回去让老公继续养着。余雨沉默半晌,告诉她自己在两年前就离婚了,把廖芹芹吓了一跳,因为她还是第一次在现实生活中近距离接触一个离婚女人,还颇像网上流传的搬运工版本。于是她和余雨说,你连婚都敢离,还有什么好怕的,回头我把一个会计师事务所的单子发给你,你挨个给他们发简历,实在不成就打电话去一个一个骚扰,登门拜访都成。反正you have nothing to lose。虽然后来基本上所有同学都知道了余雨离婚的事,余雨还是因为廖芹芹那句话一直对她心存感激。在这种光脚不怕穿鞋的精神鼓舞下,余雨居然拿到了两个公司的聘请通知。

刚刚到新公司上班没几天,余雨就发现背后老是有人冲她丢纸团。她有点不敢相信这年头还有人玩高中时逗女生的把戏,回过头想瞪人,却看见一群故作无辜却忍俊不禁的笑脸。看见余雨回头,他们很高兴,连忙凑过来跟她做自我介绍。而事实是余雨根本不擅长记美国人的名字,直到一个多星期以后才把他们各人和名字对上号。但那帮家伙俨然已经把余雨当成了自家姑娘,成天玉玉玉地叫个不停,虽然他们在工作方面和余雨并没有什么交集。

后来余雨一直想不起来自己是从什么时候开始记住杰森的名字的。杰森也是“那帮家伙”中的一个,也是最年轻最帅的一个,比余雨还要小三岁。余雨也想不起来自己到底是从什么时候开始和他渐渐地熟稔起来的,是第一次杰森给她听他IPOD里面的老乐队Phish的歌,还是下雨天在公司的内部messenger上面给她说“Rain rain go away, come here another day”,又或是那天余雨问他周末是不是打算和女友去看电影时他说“why you think I should have a girlfriend”?和杰森在一起,余雨觉得自己变得快乐了很多,他总有那么多好玩的事情可以讲。余雨听说美国人不打小孩,就问他小时候有没有被爸爸打过,他说,哦,我爸爸拿着皮带跟在我后面追,我就在前面疯跑,但是我知道他不会打我,他也从来没有打过我。余雨说,那你为什么还要跑呀。杰森说,如果你是我,看见我爸拿着一根皮带跟在后面怒气冲冲地追赶,你也会跑的呀。然后两人在一起笑的抹泪。杰森还给她看非死不可上面他幼儿园时的照片,小小的杰森灰头土脸地坐在教室一角,丝毫没有要长成玉树临风的迹象。公司summer party结束的时候,杰森第一次短暂地抱余雨,说,路上小心哦。余雨说,我又没有喝酒。杰森莞尔一笑,说,傻瓜,你得当心我们这些喝了酒的坏人呀。过三十岁生日的那天,余雨有些沮丧,杰森说,你要是真的那么在意年龄,我们交换好了呀,那么就是我三十岁了,哇哦,确实有点大了哦。

即使心底再怎样不愿承认,余雨也清楚地知道自己是喜欢上杰森了。跟老张提离婚的时候,她从来没有想过这辈子还要再恋爱结婚。后来经不住妈妈一再唠叨,她也去交友网站注册了个帐号,但是联系她的几个男人没有一个稍微靠点谱的,后来就不了了之。但是无论如何她也没有想过要喜欢一个美国男人,还是搞的姐弟恋。李芸以前一直说美国人就喜欢搞台面上的东西,所以余雨也不清楚杰森到底是喜欢她呢,还是完全出于人道主义精神地逗那时成天不开心的她欢笑。甚至于像网上说的那样,这个年纪的美国男人约会无非是为了玩玩而已。

杰森是在他家的船上和余雨表白的,那时余雨正在出神地看船底溜过的水母泛起盈盈的蓝光,而不远处的公园正在放着烟火。后来的事情就比较美国化了,杰森领她回家去自己的房间,看桌上摆着的童年少年青年的照片。聊了一会儿天,杰森便去洗手间淋浴,留下余雨坐在桌边,不知道该怎么样开口和他坦白自己的过去以及怎么样继续。然而想想又觉得可笑,自己明明已经是结婚又离婚连孩子都生过的过来人了,面对男人居然还拘谨的像个处女。也许爱一个人的时候就是这样,有点像政客竞选时希望自己的过去光辉灿烂,一丝污点也没有。等杰森出来的时候,他惊讶地发现余雨竟然已经把桌上放的红酒喝掉了半瓶,而她根本是从来不喝酒的人,连summer party那么多人劝她都没有喝。更令他惊讶的是,余雨喝了那么多居然还没有醉倒,英文居然也流利了很多,不停地要跟他说这样说那样,而且句子跟句子之间毫无逻辑可言。

第二天早晨,余雨头疼欲裂地在杰森的床上醒来,却发现杰森已经不在身边了。她发现自己居然是和衣而睡的,难道昨天晚上什么都没有发生?桌上是杰森倒好的牛奶和一张龙飞凤舞的便条:雨,面包在冰箱,早餐愉快。余雨满心欢喜地讲便条收起,好像是得了一条“存在过”的凭证。吃过早饭,到了公司却发现杰森并没有去上班,一连好几天都没有消息。余雨有些忐忑地试着问了一下他们组的人,他们说,啊,你不知道啊,杰森忽然大姨妈来了,吵着闹着要去滑雪,请了两个星期的假,也不知道是不是真的跑澳大利亚去了——这个疯子,老板都差点儿把他给开了。嘿嘿,你已经开始想他啦?整整两个星期。余雨觉得自己的心里凉凉的,每天都像在深海里行走。空气像水一样厚重,压得她喘不过气来。这就是爱情吗。幸好还有工作可以填补这样空虚的灵魂。但是即使在忙碌地工作,她依然觉得整个人都空空的。两个星期之后,杰森回来了,还是年轻阳光的样子,只是皮肤好像又晒黑了一点。他还是跟余雨笑着打招呼,说自己怎样跑去悉尼滑了好多天的雪,但是余雨知道和以前不一样了。而那个表白,好像当时的烟花一样绽放又消泯了,仿佛从来没有存在过。留着便条又有什么用呢?三十岁的余雨还是那么傻。

余雨是最后一个知道杰森要换工作的人。而且是最后一天才知道。她问杰森为什么,杰森说,更高的工资,更自由的工作时间,更好的职位,为什么不呢。余雨说,杰森,你知道我问的是什么。杰森说,如果你真的想知道为什么,我们可以去街上走走。余雨想也没想放下手上的工作就出去了。在熙熙攘攘的街头,杰森说,雨,我去悉尼滑雪其实也是想冷静一下。其实我还是喜欢你的,只是……只是你配不上我。

然后你可以找到更好的吗?那你为什么要跟我表白呢?余雨想到那句经典拒人台词,有点恼怒地问。

杰森笑了一下,说,雨,你不要生气,其实我能接受你结过婚的事,活了这么多年,谁的身后没有点阴影呢。我和家人谈了一下,他们也不是不能接受你离过婚,雨,他们只是没办法接受一个不要自己小孩的母亲做我的妻子。你能理解吗?

余雨没有想到他要说的是这些,一下子愣住了。是连眼泪都流不出来的痛。余雨开始零零星星地想起那晚和杰森说的那些话,说自己这些年是怎样的痛苦,一直到工作才真正甩掉F2的帽子,还是因为美国人压根儿搞不懂自己国家签证的事儿。她当初是怎样和老张相亲,稀里糊涂地嫁人,直到现在都不愿意回想自己曾经怀孕生女的事实,却每次洗完澡看着依然松弛的小腹感伤。还有小学时的梦想,大学时妈妈怎么样叫她小小年纪不要交男朋友,后来工作了又开始急着让她相亲结婚。反正正如杰森当时所体会到的那样,乱七八糟,毫无逻辑。然而也是狼狈得一览无遗。

回到公司,两个人都装作好像什么都没有发生过。下午的时候,杰森像每个离职的同事那样平常地来和余雨道别。余雨看着他,快要哭出来。但是因为他们平常本来感情就不错,所以别的同事也不以为意,还起哄说,哈,傻瓜小雨想要一个拥抱来着。于是拥抱。是那样近,又那么远。

没有了杰森的生活好像也没有多少的不同,余雨的生活只是越来越趋于平淡。她健身,上班,烹饪,偶尔酗酒。杰森的家人说的没有错,不要小孩的母亲心得有多狠。余雨无论如何也不明白当初是怎么毫无表情地让老张妈把小小的安安带走的,甚至连一张合影都没有和她照。和杰森分手之后,她好像越来越想念安安,甚至于看到街上玩耍的孩童都要心痛。她想过给安安打电话,也真的打过,但是每次听电话的都是老张妈或老张爸。他们问她要找谁的时候,她说张安安。可是张安安还那么小,他们就奇怪地问她是谁,她就不知道该怎么回答,做贼心虚一般地挂了电话。次数多了,他们也猜出来了,问她“你是余雨吗”。从那以后,余雨就再也没敢打过电话。

老张妈打电话告诉余雨妈老张要再婚的消息时,客客气气地说“其实也没什么,就是亲家一场,跟你们知会一声。”但是余雨妈可不会这么想。老张自从回了县中教书之后,人变得开朗许多,学历又高,自然有不少姑娘倾慕。余雨妈本来就为余雨当初草率离婚恨的不得了,如今又被亲家有意无意地示威抢白,忍不住又叨叨余雨一番,说她当初昏头昏脑不想好,有了孩子还离婚,如今看她一个二婚头还没嫁出去,老张已经香饽饽一样被下街头抢跑了。但经过多年的历练,余雨只抓住了重点,那就是老张要再婚的事,于是回她说,那也挺好的,晓翔确实是个好人,他会幸福的。余雨妈一时竟然不知道该怎么把话题继续下去。

可能不仅仅是女人,应该是每个人都会犯贱。就好像小孩子明明已经不要的玩具丢掉,如果被别的小孩捡走,却又要去生生地要回来,其实自己并不是真的珍惜。而成人的世界又有不同,不是什么东西说要回来就要回来的。给老张打完电话,余雨躺在床上,回想起和老张半路夭折的婚姻,忽然有点面目模糊的感觉,也不明白自己当时哪来那么多的愤怒。如果当初没有离婚,现在是不是也还不错,有个完满的三口之家。可是在老张那里哪里有如果这种事,余雨想着他一根筋的样子又有点明白当初为什么要那么生气。更可恨的是这个人居然连回国都没有告诉自己一声。早知道他这么薄情,当初那么多追求的男生里就不该挑中他。那么也就不会遇见杰森。好像也没有后悔遇见他。这些乱七八糟的事情让余雨想的有些头痛,直想睡觉,可是头越痛就越睡不着,越要想事情,成了恶性循环。

喝了几杯酒,又分次吃了十几粒安眠药以后,余雨终于把困倦不已的脑袋成功地放进梦境里了。这感觉真是又甜美又舒服。她好像是躺在船上被海浪轻轻地摇着,像一个襁褓中的婴儿。很多亲人和朋友和她招手问候,有国内的也有国外的,她真没想到这些人能聚在一块儿。然后她梦见自己漂到了一处古色古香的地方,池塘里荷花开的正好,水波清澈见底,像是仙境一般。最后是大片大片盛开的郁金香,而一个亭亭少女站在最那头。不知为什么,余雨知道那就是安安,于是叫:安安。安安看了她一眼,说,你不是我妈妈。余雨说,我是妈妈呀。但自己吐出的妈妈这两个字生涩无比。安安转身就跑,一边跑一边说,你不要我了,你不是我妈妈。余雨急了,一边叫着安安一边跟着她跑,却跑进越来越浓的雾里面去。

【不悲不喜的结局】

翻江倒海无休无止的催吐洗胃过后,余雨终于醒了过来。护士说,你真是太幸运了,要不是电话打的及时不知道会发生什么事情。

余雨疲倦地对她笑笑,说,我可以吃点东西吗,好饿。护士笑,每个洗完胃的人第一句话都是这个啊,连自杀的都没有说让我去死的。余雨也笑。

死里逃生的感觉原来是这么好,所有稀松平常的事情都有异常幸福的味道。余雨满足地啃着三明治,庆幸自己当时居然醒悟过来且死撑着拨打了911。

重新回公司上班的时候,余雨照见自己在玻璃门上的影子。那种感觉,就好像是和另一个自己迎面走来,又擦肩而去。她对自己提醒着不要放弃自己,永远不要。

感恩节假期的时候,余雨回到了阔别几年的家。余雨爸看到女儿瘦弱的样子,将扬起要打她的手放下,又抬起去拭眼角的泪花。余雨抱住他和妈妈,说,对不起,让你们担心。

余雨还去见了安安,没想到她已经长到这么大了。安安有些警惕地看她,老张说,安安,这是你的妈妈呀,去,让妈妈抱一抱。安安看看老张,扑闪扑闪几下眼睛,听话地走到余雨的怀里。余雨小心翼翼地抱着安安,问她:可以让妈妈亲一下吗?安安摇摇头,又点点头。老张笑着说,她现在有时还把摇头和点头搞混呢。

经过老张老婆的批准,两个曾经剑拔弩张的人如今隔着一张茶桌遥遥相对,都有一种恍若隔世的感觉。老张说,好像是掉进水里差点儿被溺死了,如今终于站在桥上看云淡风轻。余雨跟他不经意地提了过量服用安眠药的事。老张惊讶于余雨竟然因为他再婚而“殉情”,余雨笑他自作多情,那不过是心里有事儿,又喝了酒,不小心drug overdose罢了。老张心有余悸地说,以后别再喝了,酒多误事也伤身。余雨说,已经戒了。老张说,现在这状态看上去还行。余雨说,嗯,昏睡时我想通的最大一件事就是要学着接受自己。老张说,没错儿,我们都是普通人。余雨说,确实没错儿。

老张送余雨下楼。看着她渐远的背影,老张听到风里传来甲壳虫的Yesterday,这歌声让他想起不知什么时候在网络上看到的一篇短文:

如果,你就这样轻飘飘,轻飘飘地
跌落在风里
你会飞到哪去
是飞到云上,还是飞进溪流里
在最后的一瞬,你会看到谁的名字
它让你叹息,还是欣喜
后来,谁在为你唱最后一首歌
她唱的轻缓,而又湍急
她唱你的一生就像个夏季,五月方始,八月就结束
你的微笑像干掉的花瓣被镶在透明相框中,她一边唱一边看着你哭
而那天你是见了谁微笑,然后,跌落在风里
要相信人的一生大多是骗局,误会,以及不必要的相逢,和擦肩而过
谁叫你依旧心怀感激,为了那些相逢,相识,和所有来不及的不悲,或喜

【悲剧结局】

手机响起的时候,老张正带着安安在操场上放风筝。

那边说:您好,这里是纽约警署,请问您是余雨的丈夫吗?

老张说:呃,我是她前夫。

那边说:哦,不好意思,她填的紧急联系人还是您的信息。我们有一个不幸的消息要通知您。余雨已经在两天前去世了,我们初步怀疑她是自杀,但具体原因还在调查中。无论如何,希望您能通知她的家人来处理一下后事。

老张说:对不起,我没太听懂,您可以再说一遍吗?

对方一共重复了三遍,可是老张还是听不懂,或者他的脑子根本已经是一片空白,又或者他根本就不想听懂。

风筝的线不知道怎么搞得断了,安安一边追一边嚷嚷着“爸爸风筝飞跑跑啦”,老张也听不懂她在嚷嚷什么。他好像一下子被扔到一段真空里,树是漂浮的,云是漂浮的,一切都是漂浮的,包括他自己。

老张从来没有想过自己还会再回到美国,还是和余雨的爸妈一起。离婚后他也做过好几个与余雨重逢的梦,但从来没有现在这个场景。

余雨的公寓在十七楼,她以前总相信这种所谓的幸运数字,居然现在还是相信。老张看到她桌上摆的还是她大学一年级时和室友拍的照片,笑容还是无忧无虑得让老张觉得那不是他所认识的余雨。余雨的妈妈一边哭一边唱着悔不该当初让老张把余雨带到美国来,老张好像是第一次听到“悔不该”这个词,然后又想起以前最讨厌的“如果”。

他从来没有像现在这样强烈地盼望世界上有所谓“如果”:如果可以退回到“悔不该”的时候,那么那天电话里他就不要叫余雨“放心”;如果时间可以再倒退一点,他就可以直接从余雨汗津津的手心里把那枚求婚的戒指抠回来,那么他们就不会结婚;如果干脆再倒回一点,那么他自己当初就不要来这个操蛋的美国。这些无数令人憎恨的如果在老张的心里撞击着,一度要使他窒息。于是他走到窗边,把窗子拉开,是那么新鲜的空气,那么好的街景。隔着十七楼的距离,来来往往的车流也有了远离尘嚣的宁静。余雨是那么热爱生活的一个人,他从来没有试图了解过。是他将她归纳成一个数字,又变成如今这个小小的盒子的。余雨的妈妈说的其实都对。

“张,你在做什么!?”美国警察惊呼。

然而老张已经像一片羽毛一样,轻飘飘地从窗口跃出去了。他有些惊异于人的身体可以如此轻盈,于是他像无数个梦里那样舒展开双臂。只是和梦里不同的是,此刻的他没有一丝恐惧和哀伤,反倒有种投入一场爱情般的欣喜。

离地面越来越近的时候,老张听到风里传来甲壳虫的Yesterday,这歌声让他想起不知什么时候在网络上看到的一篇短文:

如果,你就这样轻飘飘,轻飘飘地
跌落在风里
你会飞到哪去
是飞到云上,还是飞进溪流里
在最后的一瞬,你会看到谁的名字
它让你叹息,还是欣喜
后来,谁在为你唱最后一首歌
她唱的轻缓,而又湍急
她唱你的一生就像个夏季,五月方始,八月就结束
你的微笑像干掉的花瓣被镶在透明相框中,她一边唱一边看着你哭
而那天你是见了谁微笑,然后,跌落在风里
要相信人的一生大多是骗局,误会,以及不必要的相逢,和擦肩而过
谁叫你依旧心怀感激,为了那些相逢,相识,和所有来不及的不悲,或喜

昨夜无眠,为了一个学生

程代展:昨夜无眠,为了一个学生

昨夜无眠,为了一个学生。

五年前,他在清华大学数学系四年级。他可以保送直接攻读博士学位,参加了我们所的入学考试后,研究室建议我考虑他。面谈后,我同意了。

事情开始得非常顺利,他请我担任他大学毕业论文的导师,我给了他一个解矩阵半张量积方程的小题目。讨论了几次之后,他就做下去了。他很快进入角色,做了一些小的结果。他的毕业论文,我修改过。后来他告诉我,得了“优”。我也比较满意,觉得他赢在了起跑线上。

硕博连读的第一年,他在研究生院上课,接触不多。第二年回所,我很快发现了他的优点。从素质上说,他数学基本功扎实,和他讨论数学问题是一种享受。一些需要细想或计算的问题,交给他就好了。少则数小时,多则一、两天,一定会给你一个“Yes”或“No”的解答。

他在科研上的敏感性也很难得。例如在讨论布尔网络可控性时,他首先发现了控制传递矩阵的特性,我们一起,很快导致了一个很简洁的能控性公式。这个公式不久后被两个以色列人重新发现。碰巧我是他们文章的审稿人,我告诉他们:一模一样的公式我们已经发表了。这是一个比较深刻的结果,后续引用也很多。没有他,这就不是我们的了。

他在实验室口碑很好,他负责研究生的一些组织工作,很负责,室领导也很满意。他被认为是室里最用功的学生,白天、黑夜都在实验室干活。虽然家在北京,但周末常不回家,有时回家看看,半天就回来了。

他几乎是个无可挑剔的好学生,听话出活,对我的要求(现在反省可能有些过份了),从来不说:“No”。我渐渐地被他感动了,将自己的希望寄托在他身上。我跟他说:“我是一个失败的运动员,当我成了教练员,就把全部希望放在了学生身上,但愿他们能实现自己当年的梦想。”

当博二开始的时候,他的研究成果已经相当多了。为了他的成长,我对他提了个要求:30%时间做研究,70%时间念书。这一年,他主要上了微分几何以及相对论的课。另外,由于自己主要在确定性方向工作,我不希望他在随机方面有缺陷。

我让他自学“随机过程”,每周报告一次,用的教材是Z. Brzezniak, T Zastawniak, Basic Stochastic Processes。我要他连每一道习题都要讲清楚。到了第二学期,听众只剩我一个人,我们还是一直坚持到讲完。事实证明,这些结果在他后面关于概率布尔网络及混合策略博弈的工作中得到很好的应用。

我自己一生吃了英语的不少亏,因此,我一再强调他英语一定要过关。从博一开始,我每年都安排他出国开会至少一次。博三,在我的协助和支持下,安排他到英国、美国、新加坡等进行学术访问。上个暑假,他到英国Glasgow访问了两个半月,他明天就要去美国Texas Tech Univ.访问四个月。新加坡的Xie教授答应他什么时候去都可以。

他有一张令人羡慕的成绩单。他已经发表了十几篇期刊论文、十几篇会议论文(至少一半是国际会议)。还有一本和我及我另一个毕业学生合写的专著:“Introduction to Semi-tensor Product of Matrices and Its Applications”,World Scientific (600 pages) 。他的论文包括IEEE TAC的Regular Paper (第一作者),Automatica的Regular Paper (第二作者),Systems and Control Letters (第一作者),中国科学 (第一作者),等等。同行一看就知道这些文章的份量。

他还有若干在审或待发表的文章。例如,他在Glasgow大学访问时写的一篇文章。他曾要求我参加,我要他把我名字去掉,给我道个谢就行。我就是希望培养他真正独立从事科研的能力。这篇文章投IEEE TAC,最近编辑部来信,作为 Regular Paper,一次就接受了。IEEE TAC是IEEE CSS的旗舰杂志。

他多次被评为三好学生,获得若干种奖学金,今年得了数学院的院长特别奖。他还得过控制界很有影响的关肇直奖。他才二十五岁!我对他充满期待,也充满信心。他成了我对未来的一个梦!

我坚持要求,他毕业后到国外做两年博士后。他已经得到英国Glasgow Univ.和瑞典Royal Institute of Technology的博士后邀请(注意,不是“申请获准”,而是“邀请”)但我认为他应当到正在最前沿做最好的研究工作的地方去。半年前我和UCSB大学的一位当红教授联系,他当时口头同意接受他。不久前在日本见到该教授,确定在今年CDC两人见面一谈,算是Interview罢。

这似乎是一个美丽的故事。然而,矛盾出现在半年前。一天,他突然跟我说,毕业后他想去银行,或者到中学当教师。他还告诉我,他已经考过会计师。我大吃一惊,但以为是年轻人一时头脑发热。几次争辩后,我甚至义正辞严地对他说:“你就死了这条心罢,我是绝对不会答应的。”

后来,他同意了我这样的建议:先做两年博士后,两年后再做决定。我跟他明确说:“我既不要你跟我做,也不要你做与我有关的题目。但你天生就是做科研的材料,不能自暴自弃。”

时间过得飞快,上周五,他突然对我说,北京某中学给他Offer,要在本周二(今天)前签约,而他明天就要到美国去了。我一下子急了,和他谈了两个钟头。好话坏话都说尽了。好话是:“你这样做,中国,甚至世界可能会失去一个优秀的科学家。”坏话是:“年轻人要有理想,有抱负,怎么可以向往‘老婆孩子热炕头’的生活?”我告诉他:“你一定会悔的。”可不管我怎么说,他就只重复一条理由:“做研究太累,没兴趣,不想做了。”最后,他答应再好好想一想,大家就不欢而散了。

周一见了他,就问他想得如何。他说回了一趟河北老家,和父母以及老家亲戚都谈过,他们都支持他。我傻眼了,说他们不了解科研,也不了解你的情况,你应该和教授们谈谈。昨天,室里许多人跟他谈。我还搬兵找到陈老师,心想:“我的话你不听,老院士劝你,总该听罢?”陈老师是个爱才的人,一听这事也急了,立刻答应:“我可以找他。”可惜,陈老师似乎也没能动摇他的决心。

昨天我们对他是连番轰炸,直到晚上,几位年轻人,还有一位来访的年轻教授,一起请他吃饭。准备在席间再劝劝他。昨晚我回到家里,饭后一个人发呆,欲哭无泪。我曾对他说过:“我的底线是:最后的决定权还是你的,我不会强迫你。”那位访问教授背后曾问我:“你明明是为他好,明明知道他的决定是错的,为什么不能强迫一下?”这勾起了我的心病,我告诉她:“因为强迫儿子按我的意志生话,我把他逼上了绝路。我不能再……”

昨天晚上十点多,我实在忍不住,给一位年青同事打电话。他告诉我:他们的“鸿门宴”还在继续,只是仍无进展。现在,也许他正在签约……反省自己,我一直把他当着一个听话的好孩子。总是像父母亲一样强行安排他的一切,很少了解和尊重他的意愿。

我对这一切的解释就是:“我是为了你好!”可这够吗?现在的我,是又一次“哀莫大于心死”。

可谁能告诉我:是我错了,还是他错了?

程代展,2012年11月13日

…………………………………………………

学生:我为什么逃离科研

在来美国的前一天晚上和程老师吃饭的时候,师兄告诉我们程老师下午发的博客已经上科学网首页了,但当时也只有40多个回复而已,我们也没有在意,毕竟程老师的博文经常上科学网首页。当晚我们并没有继续讨论我工作选择的事情,而是像往常一样随便侃了侃,甚至还讨论了点学术问题。回宿舍以后我还跟几个好友开玩笑的说“哥出名了,上科学网首页了”。但没想到的是,我真的出名了,第二天我下飞机开了手机以后,短信不断。这几天很多朋友、同学、实验室老师、甚至毕业后就一直没有联系过的本科辅导员都纷纷对我表示关心,或支持我的决定,或劝我重回科研道路,不管怎样,我都很感动,在这里先向他们的关心表示感谢。当然也还有几位记者发邮件过来要采访。我本来不想回应,想继续沉默下去的,但是程老师说他认为这个事情的讨论对许多年轻博士生是有好处的。仔细想一想,这也许是我这个科研逃兵在离开前能对科研界做的最后的,其实也是唯一的贡献了。反正也已经出名了,程老师把书名、奖项都列出来了,想肉我的早就肉到了,死猪不怕开水烫了,就发在人人吧。

前面两部分我要先帮程老师和我家里人说几句话,对这些不感兴趣的可以直接从第三部分开始看。

一、关于程老师

首先要帮程老师说几句话,因为很多支持我的都说程老师太push了。其实我一直觉得程老师是国内科研界少有的非常nice的导师之一,不但不push,还经常告诫我要多休息,多出去玩玩儿。另外程老师也给我们之间创造很多学术之外的沟通机会,会隔三差五的带我们出去吃饭,和我们几乎是无所不谈。我研一的时候在程老师面前还是非常拘谨的,但没多久就能畅所欲言了。实验室秘书都说程老师的学生都跟他“没大没小”的。只是在和他的交流中我一直不敢说自己以后不想搞科研了,因为我深知程老师对我寄予厚望,我说出来他肯定非常失望的,而又因为这几年和程老师培养出的感情,我不想让他失望。我甚至一直在想就这样坚持搞科研搞下去,但真正到了该抉择的时候,我还是选择了自私的按自己的意愿。

二、关于家里的意见

还好我父母都不上科学网、水木这样的网站,不然看到那些说我是因为他们给的压力而放弃科研的猜测后,不知他们会不会鸭梨山大。我父母确实是没钱没权也没啥本事的,不过因为有单位分的房住,他们靠自己不高的工资在北京也是生活无忧的,所以他们也从来没有要求过我赚大钱养活他们,只要我过得开心就好,他们甚至还认为家里如果能出个科学家是件光宗耀祖的事情。我年轻的时候也是向往过赚大钱的,不过渐渐的觉得自己其实更喜欢稳定安逸的生活,钱够花就成,当然能保证稳定安逸的话钱还是多多益善哈。所以如果不是我彻底厌恶了科研的话,我觉得科研这工作挺符合我的要求的,社会地位不低,待遇也足够过比较体面的生活了,关键是极度自由。我光棍节那天回姥姥家(程老师听成了老家,差了个lao,不过这无所谓了)算是开了个会,并不是他们劝我赶紧去挣钱,而是我想问问他们对我选择中学这样一个地位不高,挣钱也不多(不算自己外面接活的话,挣钱真的多不到哪去,被it民工们秒杀,更别提金融界的温拿了。而以我的性格,除非真的缺钱,不然应该不会去接活的),还挺累的职业有没有什么意见。最后大家一致认为我真的厌恶科研的话,坚持干一辈子科研一定不会幸福的,而他们并不在意我的名利地位什么的,中学老师也挺好。

三、我为什么逃离科研

其实很简单,唯一的原因就是没兴趣了。没兴趣还算个比较中性的词的话,我其实可以说我已经厌恶科研了,主要原因有两个:

1. 累。但再次强调这不是程老师强迫的,程老师给我安排的大多数任务都没有给定deadline,只是因为我从小被教育成听话的“好”孩子,只要别人给了我任务并且应该是我做的任务,不管我喜不喜欢,都会尽力去完成,不只是科研问题,甚至是帮实验室干杂活,都是完成的既快又好。这样的结果就是导致了程老师以为我喜欢做科研,所以就忍不住不停的给我安排任务。如此恶性循环了下去。后来实验室秘书也说,如果当时我能更加变通的面对程老师安排的任务,给三件就做一件,程老师也不会批评我什么的,而我也不会被自己给自己的压力压垮了。当然比体力累更重要的是心累,体力其实有时候根本就谈不上累,我甚至可以好几天在实验室坐着无所事事的刷着微博逛着人人,甚至干脆出去跟朋友打牌爬山什么的去了,但这时脑子里还一直装着那些想不出来的问题,还有一些该做但实在是很烦,不想去做的任务(比如审一些很水很水很水的文章…),半刻也不得安宁。当我决定退出科研的时候,心里是久违的无比的轻松,而这样的轻松,更加坚定了我的决心;

2. 没能力。这真不是装13。我虽然是有几篇控制界顶级期刊的文章,但顶级期刊的文章不等于是顶级文章。说实话,我还真是觉得我这几篇大文章无论理论上还是应用上都不算真的有用,甚至技术难度上也没啥挑战性,只是相比当今大批的水文,这些算是矬子里拔将军,我也没有为这些文章以及由这些文章而带来的荣誉真正的兴奋过。然后发的那么多其他文章中还有一半以上是程老师被一些国内期刊、会议邀稿而又不好不给面子,临时凑的没啥营养的综述类文章,而且真的是程老师自己主笔的,我只是帮帮忙而已。反正我是觉得这些只能证明我比较勤奋,根本不能说明我有天赋有能力。如果我继续搞科研的话,我能想象出的结果只有两个,要么迫于学校要求发文章的压力沦为灌水机器,虽然还能混得不错,不过天天自己鄙视自己,要么就是坚持不发水文,但又因为能力不足以做出真正有价值的工作而混得很惨。我觉得程老师的博文下面有一条回复对于我的看法是相当正确的:

“[682]kanhaoxi

2012-11-17 04:42

From what you described, especially“听话出活,对我的要求,从来不说:‘No’”, this student is clearly not a top student. If he is not even a top student, he will definitely not be a top researcher. In this case, it is better to advise him to get into some other things. Unfortunately, many Chinese professors’ definition of top students are different from other people. They usually promote those students similar to this student of yours. This is unfair to truly top students.”

当然也有一些对现在科研界风气的不满,不过这个我了解不深,就不胡说了,说多了被人笑话,还有推卸责任之嫌。

四、我为什么选择中学

1. 我觉得我有足够能力应对中学数学的知识。这与我觉得我完全没能力做有价值的科研工作形成了鲜明的对比。不过除了知识能力,教中学更重要的是授课能力。我很清楚我现在的授课能力和优秀教师还有很大差距,但通过了学校的试讲,也在试讲中pk掉了不少北师清华北大的硕士博士们,至少说明了我还是具备基本的授课能力,我也相信授课能力是通过我自己的努力可以提高的。当然除了授课以外,优秀的中学教师还需要很多其他素质,比如基本的师德,对孩子的关心,亲和力等等,但这些我觉得我都还是不错的。

2. 我也很喜欢教会别人知识的那种成就感。我也做过家教,我觉得当几个小时的家教比搞几个小时的科研舒服多了。我今年寒假还帮一个微积分挂了的大一孩子补了两天的微积分,当她告诉我她补考得了90多分的时候,那成就感啊,杠杠的。

3. 生活比较稳定。以后生活中比较麻烦的事情,比如住房、子女入学等都可以解决了(房子不给产权,只是在职就可以住),但是中学老师的工资对一个博士毕业生来说确实不算多。

4. 我真的是没时间找其他工作,找工作的黄金时间我在美国啊。其实我之前真的都准备听程老师话,毕业去做博后了,因为我本来是要10月底就来美国访问的。但签证意外的被check了,于是要晚走半个月。然后没事干,就投了投简历,其实我也只投了4所高中,没有投其他行业,甚至我投的时候我也觉得我一定是赶不上试讲了,其中我在投给人大附的简历中还写道“因为本人11月至3月在美国,如果有幸能有资格通过初选参加试讲,是否可能将试讲安排在3月?”。但没想到有两所学校很快就通知试讲了,其中某个学校的效率意外的高,上午试讲下午群面第二天终面,终面后不让走,等都面完了直接出结果,于是赶上了我能在出国前签约,要不我觉得他们也不会把职位给我留到回国后。这种种意外也算是一种缘分吧,再加上该学校也是所很好的学校,他们的教育改革理念(至少是宣传片上的)我也很欣赏,并且他们的待遇在高中也是很好的,跟家里商量后我就同意了。另外我真的没有考CPA啊,程老师记错了,我怎么会有时间准备CPA…..

当然我也知道当高中老师并不是很轻松的事。比如说很累,不过这点搞过科研的表示呵呵。比如遇到实在不听话的孩子和无理取闹的家长,这种事情比较棘手,我有心理准备,但现在还不知道要怎么处理,以后会从同事那里得到经验的吧。再比如我虽然觉得我通过努力能提高自己的授课能力,但万一再怎么努力也真的不行呢?这个….到时再说吧。

写了这么多废话,总之就是我确定我对搞科研没兴趣了,而我觉得我对教中学是有兴趣的。我也觉得中学需要引进优秀博士,前提是得保证他们的教学质量,他们会给学生带来更广阔的视野。当然科研界更是亟需人才的,其实哪里都需要优秀的人才的(这是一句废话)。只是我自己肯定不是科研界需要的人才,对科研没有兴趣的人是不可能做出真正有意义的成果的,我希望自己可以是教育界需要的人才吧。就说这么多了。

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看了大家的评论,这里再多啰嗦几句,要说的不多,就不另开一贴了。

1. 辟个谣,我去的不是人大附中。帖子里说的是我在给人大附中投的简历中写了什么什么,后面说的签约的是“某个学校”。

2. 我强调的对科研失去兴趣是累和没能力,也就是两者交互作用的结果,并不是单纯的累。如果只是累,而我很有能力,能够或者相信自己能够在长久的辛苦后可以得到令自己满意的成果,哪怕中间会经历很多次失败,也会是痛并快乐着,甚至很享受这样的过程。但我现在没有并且也不认为自己有能力可以取得令自己满意的成果,所以这一过程只是痛苦。至于我该不该认为自己没能力,该不该不满意我现在的成果,其他学生如何避免我这样的想法,都是另一层面的问题,也不在我有能力讨论的范围了。而我现在已有的自我认知,是短期内无法改变的了。

3. 有批评说我没有国家使命感没有献身科学的精神,这些批评我都同意,但无法改正。

4. 还有人说我这篇文章会使很多彷徨的年轻学者放弃科研,于是我成了中国科研界的千古罪人什么的。这我就真不敢苟同了。能被我影响而放弃科研的人,一定是跟我一样没兴趣没能力的人,我们的离开不会对真正的科研界造成任何损失。真正的有意义的科研成果也绝不是靠人海战术完成的。中国的国际论文发表量已是世界第二了,但又如何了呢?

5. 确实我投身教育并不是我对教育有多么的热爱,因为我还没从事过,热爱无从谈起。只是我现在相信我有能力,我也觉得我有兴趣。也许几年后,像部分网友们说的那样,我会像现在逃离科研界一样逃离教育界,哪里都是围城,在外面永远搞不清里面是什么样子的。以后的事情以后再说了,也许我会再次厌恶逃离,但也许会很热爱呢,也抑或不喜欢也不讨厌,就这样平淡的继续下去。现在我只是从一条确定性的不幸福的道路,转到了一条有可能幸福或者说是未知的道路。

程代展的学生 

2012年11月23日

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程代展:我的反思(续:昨夜无眠,为了一个学生)

因为明天一早就要飞成都开会, 科学网的访谈参加不了了, 就以这篇博文作为我的答卷罢. 
 
那是一个难眠之夜过后, 自己坐在办公室, 想到此时我的学生可能正在签约, 心头怅然若失, 手中的工作做不下去, 就将心里话写成《昨夜无眠》. 没想到这成了引玉之砖, “一石激起千重浪”. 说明“如何培养学生”,“怎样才能将有天分的学生留在科研第一线” 等问题是科学网上的青年学生和老师们共同关心的焦点. 事件本身和所有网友的意见, 都给我启迪, 催我反思. 现在将我反思的心得提交出来, 算我的回答, 也算我的致谢, 当然, 还是一块再次的抛砖.
 
(1)    我的最大错误是把学生当作我自己的“替身”, 盼着自己没有实现的人生梦想能在他身上实现. 但他是有血有肉、有个性、有想法的年青人, 我却把他当作自己的创造物. 我想让他吸取我人生的教训、克服我身上的弱点. 潜意识里我是在制造完美的自我. 我时时在他身上寻找年轻时我的影子, 我觉得我对他倾注了无数心血和真诚的爱, 实际上也许我却成了说一不二的暴君, 强迫他按我的意志去念书, 去做研究. 也许正是这个让他厌倦了科研.
 
(2)    我只关心他的三件事: 数学基础打得怎么样? 英语口语讲得怎么样? 科研做得怎么样? 对于他个人的思想感情, 生活, 以及家庭情况等都知之甚少. 两人见面, 除了学术还是学术, 没有朋友般的交心, 更没有刻意培养他对学术的兴趣. 对学生, 我只有梆梆控制, 却无视反馈.
 
(3)    网上许多年轻朋友用自己的亲身经历说明: 应当尊重年轻人选择自己生活道路的权利. 我的学生其实也说过, 他的价值观和我不一样. 我接受了大家的观点, 中午给他发了个 E-mail, 告诉他 (他现在还在去美国的飞机上) : 不管他最终的选择是什么, 我都支持他.  
 
(4)    中午, 一位清华年轻教授给我来电话, 他曾是我的博士后, 他用自己的经历给我上了一课: 他是正宗清华子弟兵, 从本科到博士, 在清华上了十年. 然后跟我做了两年博士后. 也是一个极聪明的好学生. 但上完博士后他却要去公司, 当时我也很不理解. 他说, 他当时也是厌倦了学校和科研所的生活, 想过一种新的生活. 他后来又回了清华, 而且做得很好. 我相信, 我的这位学生如果真喜欢科研, 将来某一天他也会回归的.
 
怎么带好学生, 让他们健康成长, 是值得老师们反思的一个问题. 但是, 事情还有另一个方面: 
 
(1) 我仍然相信, 一个博士生去当中学教师是一种教育资源和人力的浪费. 他学的许多知识: 例如微分流形, 鞅不等式之类的东西, 到中学不成了天方夜谭? 那怕微积分, 线性代数这些初等数学知识, 都不会有用武之地. 这不是看不起中学教师, 中学教师对社会, 对民族科学文化水平的提高同样至关重要, 但一个师大本科毕业生会比像我的学生这样受过专问训练的高等人才干得更好得多. 因此, 让博士们, 特别是像我的学生这样优秀人才去教中学, 是教育制度的失败, 社会人才分配的失衡.
   
(2) 据说北大清华本科毕业生, 一等的上公司, 二等的出国, 三等的才去读研. 中国要走科技强国之路, 如果不能将有天分, 有潜质的年轻学子推上和留在科研岗位上, 将会后继无人. 国家花大力气从国外引进百人计划, 千人计划, 这我不反对. 但是, 难道国内就没有可以与他们一较上下的优秀人才, 为什么就不重视他们呢? 难道就不相信, 中国人自己也可以培养出一流的人才? 引进总是有限的, 国家应当为年轻人的成长创造条件. 
 
(3) 高校和科研院所待遇低, 是人才流失的一大原因. 还拿我的学生说罢, 他到的中学可以给他提供住房和不错的工资. 他们说, 他如果到大学, 要奋斗五到十年才能达到这个水平. 据我所知, 他家境欠佳, 他面临生活的压力. 正像许多参加讨论的年轻人说的, 大学的青年教师工资低, 没住房. 许多得了博士学位的年轻人, 他们多半都小三十了, 面临着结婚生子的压力, 靠空洞的 “理想”, “事业”,  “追求” 等能拴得住他们吗?
 
(4) 虽然近年来国家对教育与科研的经费投入不断增加, 但目前高校与科技机构经费分配极不合理. 少数特权者占有大量资源, 各种基金重叠分配. 而身缠多金的“学术带头人”却常常只是“学术捎客”, 弄了钱让下面的年轻人干活, 自己挂名. 国家应当更多关心那些高校和科研院所中的“小博士”们的疾苦, 给他们创造安心工作的条件, 他们才是科研的主力. 再强调一次, 高校和科研院所中的贫富悬殊一点不比社会上轻. 
 
最后, 谢谢所有网上给我留言的朋友. 也感谢那么多给我打电话、发 E-mail的朋友. 十八大刚过, 愿它给年轻学子带来实质性的改善, 中国的科技进步归根到底靠的是他们.

程代展
写于2012年11月14日

评复旦姜文华事件 — 国际经济学家张五常

关于复旦大学青年教师姜文华刺杀王永珍教授的事,当然是悲剧。我不想评论,但好些朋友问及,我不妨将自己的观点说说。首先要说的,是我知道的只是一些网上数据,没有其他。

姜文华显然是一个天赋不俗的数学家。这样说不仅因为他在国际的知名学报发表过好些文章,重要是有一篇据说被“大量引用”。作为一个炎黄子孙,文章在西方被引用不容易。种族歧视明显。

举一个例,诺斯的一本说明是拜我为师的书,被引用了约四万次,但我这个可怜的师傅的所有英语作品加起来,被引用还不到九千!杨小凯就曾经为文直指斯蒂格利茨抄袭我的一个脚注获诺奖而破口大骂。

其他还有几位诺奖得主也被中国的同学替我骂了。这些事我历来不管,因为认为将来的经济思想史会有公论。不要误会,我绝对不是说文章被引用的次数多有什么了不起。

在经济学来说,无数的被引用次数多的文章是废物,何况我对姜文华从事的数学一无所知。我只是要说,一个炎黄子孙在西方发表学术文章,多被引用不是那么容易。


姜文华的学术生涯本来不错。他在美国攻读博士的Rutgers University有水平,而博士后参与研究的NIH与Johns Hopkins University皆属世界级。2012年回国后任教于苏州大学五年,其后姜文华进入复旦大学任教职。从美国的常规看,过了五、六年,姜文华从一家大学转到另一家,复旦聘请他时应该给予他终身雇用合约。这是美国的惯例。

这里,姜文华从苏州大学转到复旦,是往高处转,应该获终身雇用合约为起点才对。但没有。算是有学术贡献的姜文华,博士后在美国研究两年,苏州大学五年,复旦大学五年,共十二年,还没有获得终身雇用合约,被解雇,不是悲剧是什么?


也不要误会,我绝对不是说姜文华应该被升为副教授或获终生雇用合约。我不知道。我要说的,是纵观上述的姜文华的履历,他的上司应该在两三年前就给他信息,让他知道获取终身雇用合约的机会如何。

美国的大学就是这样处理的。姜文华从苏州转到复旦是向上走,复旦给他的合约应该是tenure track的,即是走向有机会获取终身雇用合约之途。


从我知道的美国的制度看,这一关的重要性难以夸张,因为如果拿不到终身合约,一定要离校。离校的选择,要向档次较低的学校走,较高的免问。我很怀疑,姜文华走的数学研究路线会有多少家档次较低的大学让他选择。


听说姜文华在复旦教书教得不怎么好。然而,在复旦这种高水平的大学,教书不好不应该是问题:转去主持一些研讨班就是。以研究为主的大学,从来是管思想的深度,不多管教书的如何好听,更不应该讲什么人际关系的。这里的关键,是姜文华今天三十九岁,再不年轻,被复旦革职,于是前无去路,而纯数学家是不容易转业的!


数学的天才稀有。印度的拉马努金的数学天赋不见古人;美国的纳什百年一见。但我们要知道,数学天才患上精神失调的或然率是比较高的。纳什曾经患上严重的精神分裂症,但普林斯顿没有炒他。天赋更高的拉马努金,虽然在精神上属正常,但他曾经说,他有些写出来的令人叫绝的数学方程式,是在梦中母亲告诉他。这不是有点不正常吗?


人的脑子是有着很特别的生理机能。弗里德曼曾经告诉我,思想是脑子的运动,要持续操作才有可为。可惜我们也知道,脑子不停推敲或思考,跟任何体力运动一样,可以受伤闯祸。脑子受伤,小小的伤,也是灾难!


在学问的思想上,我是个可以持久地拼搏的人,但唯恐自己的脑子会出事,就需要混合着多项的其他造诣或玩意。这些行为在香港惹来非议,但在美国却被赏识。我还是幸运的,因为当年博士后正式出道的第一天,就获终生雇用合约,几个月后无端端地被升为正教授。

然后,重要的帮忙是西雅图华大的系主任诺斯与社会科学院的院长鲍特文清楚地告诉我,算文章数量与论学报高下这些衡量准则完全与我无干。我要做什么都可以。只这一点,我就自由自在地在完全没有压力下写出一系列今天一律被认为是经典的文章。

要是我出道时有今天美国或中国的大学初出道的教授遇到的发表文章的压力,我那些经典文章不可能写出来,也可能弄出精神问题了。


最后要说的,据网上所载,这次被杀的王永珍书记是一位忠厚随和的教授,出现这样的不幸让我心境难平,这里我谨向王书记的家人表示慰问。

怀念黄渝 — 一位科大数学怪才在美国的经历

按语:

黄渝出生於云南砚山县,为家中次子,天资聪颖,特别是对数学有着特别的兴趣与爱好。1981年,以云南省高考第六名的成绩考入中国科技大学数学系。在科大读本科时,黄渝逐渐显示出了他在数学领域的杰出才华。大一时就曾解决了所用教材《线性代数》中悬而未决的一个公开问题,后来被该专著作者,著名数学家许以超先生写进了再版书中的前言。1986年,本科毕业黄渝留校在科大北京研究生院读研。1989年获得了美国约翰·霍普金斯大学的全额奖学金,赴美攻读博士学位。

2004年12月25日凌晨4点,黄渝死于车祸。当时他正前往投递报纸的工作途中,由于爆胎下车检修,被一个醉酒驾驶的司机从后面撞击而死。黄渝死时没有留下任何财产。银行里的存款不足100美元。

怀念黄渝 

作者:曾思欣 

黄渝是1989年底来到Johns Hopkins的,我是1990年10月来的,他比我高一个年级,我们虽然不久就认识,但成为很熟的朋友大概是在一两年后了。同在数学系的时候,我和他办过讨论班,还试图合作做过问题(很可惜没有结果)。2000年他搬到纽约后,更是我们家的常客,我们一起吃过无数次的饭,吹过无数次的牛,实在是熟得不能再熟的朋友,他这些年的生活,我应该是最了解的人之一。 

黄渝是2000年12月搬到纽约的,他在我所在的公司工作了近八个月,2001年7月份被layoff。其后的一年多他没有工作,然后从2002年9月份开始他在CUNY的John Jay College当Tutor(他跟我说过这是沈珂兄给介绍的)。后来为了增加收入,大概从2003年初开始他开始早上送报纸。这两个工作他一直干到了最后。此外在CUNY的这两年半他每个星期四都去听数学系的一个俄国教授Kolyvagin的课。Kolyvagin是数论学家,原来在Johns Hopkins待过,那时黄渝就听过他的课。 

黄渝是个非常奇特的人,是我见过的人里最有特点的人,非常与众不同。他的故事多的说不完。有时候我觉得他不象个生活在尘世间的人,好象是生活在一个另外的世界里一样。其实细想起来,这都是有原因的。 

首先黄渝的英文非常差,他是我见过的中国学生里英文最差的。那时Johns Hopkins的学生都知道黄渝闹的笑话,他资格考试的时侯,考他的是数学系的两个教授,Igusa和Zucker,他们问了黄渝三个问题,黄渝全说错了,都是答非所问。好象是问他什么是sheaf,他说成了什么是scheme,问什么是variety,他说成了什么是valuation,等等。Zucker非常恼火,要fail他,但德高望重的Igusa先生坚持让他过了。最后Zucker 对他说:“OK,you passed。”但这句话黄渝也没听懂,所以他考完后不知道过了没有。等过了两天黄渝找到另外一个同学刘刚,请他到Zucker那里去问问到底通过了考试没有。Zucker气得跳出来对他吼:“You must improve your English!”黄渝只是愣愣地看着他,不知道这句话听懂了没有。 

黄渝私下里和我说起过他的英文问题,他说一讲起英文来他嘴里说的和他脑子里想的不是一回事,他也不知道该怎么办,我劝他要多大声朗读,最好要背一些经典的文章。我记得我还借给他一本凯恩斯的小书,要他把前言给背下来,但估计他也没看。 

到纽约之后,我发现他的英文比以前反而还要退步了!两年前我知道他有意在CUNY把Ph.D读完,就劝他尽早去和Kolyvagin谈一谈,黄渝为难地说怕英文不好讲不清楚,我说如果实在不行就把要说的话写在纸上给他看。几个星期后黄渝拿了一页纸来,说写好了,给我看看。我看了之后哭笑不得,大概有十行字,几乎每一行都有语法错误,还有一句的意思正好是说反了!全是小学生都不应该犯的错误,我不明白怎么会写成这样,他不是每天都在看NewYork Times么?我不相信他是不认真,这个语言问题真的成了他的一个无法克服的障碍了。在美国的十几年,他的英文交流障碍一直困扰着他,不知让他受了多少罪。 

有一次出于好奇我问他中文的作文怎么样,他告诉我中学的时候他最怕写记叙文,不知道该写什么好,但不怕写议论文,“只要瞎议论就行了。”黄渝好高谈阔论政治问题,2004年初的时候他从我这儿借去了《走向共和》的VCD,看完之后非常激动,和我讨论了好多次。他非常关注去年的总统大选,和我说过竞选造成的社会分裂很明显,连他的同班同学都出现了矛盾。 

黄渝另外的一个特点是一种出自天性的宽厚和善良,这方面他也是一个极端,从来只考虑别人,不考虑自己。到美国十五年来他孤身一人,贫困潦倒,好象什么厄运都撞上了,不知道吃了多少亏,但我从未听他抱怨过。黄渝跟我说:“我这人没什么,就是有点脾气。”他对生活要求得很少,既使这样他也长期挣扎在边缘,可他的脾气从来没变过,我们总说,黄渝永远是黄渝,总是这个样。 

在Johns Hopkins的时侯黄渝是有名的夜猫子,每天半夜三更叼着根烟在校园里走,谁要找他讨论问题只要半夜去数学系找就行了。黄渝总说:“晚上多安静呀,是看书的好时间。”但他好象白天也不太睡,我们的同学庄德谦说他是“无时不睡,无时不醒”, 是很传神的写照。

大约在92年左右数学系决定黄渝的英文没法上习题课,把他的钱扣了一些,那时黄渝在感情上好象也有些挫折,一度挺消沉的。那时黄渝的导师Shalika,在数学研究上早就不活跃了,而且还在闹离婚,是个在生活和事业上都在走下坡路的人。Shalika开始的时侯对黄渝是基本不管,到了93,94年就催他快毕业。 我不是很清楚他们之间到底发生了什么事,据黄渝说是Shalika给他了一个题目,但他实在没有兴趣,就没做。大概还有其它的一些miscommunication,总而言 之,94年的时侯Shalika对系里说黄渝已经不准备读学位了。从那时起黄渝就离开了Johns Hopkins。 

但是黄渝对Shalika一点怨言都没有,他总说:“Shalika其实对我不错。”我说:“可他把你的前途都毁了。”黄渝说:“我其实无所谓。”怎么可能无所谓?我觉得他是不愿在别人面前说他老师的坏话,他为人的厚道在此也可见一斑。 

94年的夏天黄渝回国住了三个月,这是他在美国的十五年中唯一的一次回国。他虽有美国的绿卡,但没有工作,所以回来后就开始在外面打工。那时他还住在学校附近,我们还能经常见面。他找的工作也是在晚上的,所以有时白天他还到学校来听课。我问他干什么工作,他说:“就是干点活。”我说:“到底干什么活?”他说:“你问那么多干什么?在一个仓库里扛东西。”从那时起黄渝在经济上就一直生活在边缘,一贫如洗,到最后都没有翻身。 

我太太问他:“黄渝,你为什么总是生活在边缘?”黄渝说:“很多人生活在边缘啊。” 我太太说:“可你并不deserve这个样呀。”黄渝默然不语。别人经常为他着急,而他自己反而是有些漠然了。黄渝是个明白人,我觉得他不是不想去改变现状,而是觉得已经是无能为力了。我对他说:“咱们在这世道上混,心不一定要黑,但脸皮一定要厚,是不是?该吹就得吹,该要就得要,否则岂不亏了!” 但黄渝的脸皮从来没厚过。 

几年前我的同学告诉我黄渝从前的朋友徐飞,在Harvard访问的时候一直在找黄渝。徐飞在国内已是晨兴数学所的负责人了。我因此问黄渝愿不愿意回国发展,还能回数学界去。黄渝坚决地否定了这个建议,并叫我不要把他的现状告诉国内数学界的人。我知道他是放不下面子,黄渝毕竟是当年最有希望的学生之一, 这也是人之常情。 

去年四月份我回国探亲,我父母家离苏州大学不远,我抽空去那里找到黄渝以前的好友余红兵兄,我们谈了很久黄渝的事。临走的时候余红兵对我说:“请你转告黄渝,我现在也不是以前的余红兵了,为了钱我也干很多下三滥的事。”我知道他这话是真心的,只有黄渝的朋友才会说这样的话。 

虽然为了基本的生存黄渝都不得不苦苦挣扎,但他从来不是个悲观厌世的人,恰恰相反他非常热爱生活,我们见面的时候他总是有说有笑。黄渝还特别擅长做菜,自己还独创了一些新的花样,这些年来不知有多少人吃过他的菜。来到纽约后黄渝的主要业余爱好好象是钓鱼,这两年来他很多个星期六都是在海边度过的,他说在海边时他一边钓鱼一边有时还读读数学文章。 

几年前的一天黄渝到我们家吃饭,他拿来一本读书杂志指着一篇文章说“这是篇好文章!”要我好好读读。这真是篇美文,在读书的2001年第4期上,题目是“信仰只一细柱香”,说的是二三十年代著名的才女林徽因的故事。我暗暗地想:“看不出来黄渝这小子还这么小资,这么sentimental!”这是黄渝难得的流露这方面的感情世界,谁知道呢,也许在他笑咪咪的外表之下,他真是一个多愁善感的人。 

我和黄渝虽然无所不谈,但我们说的最多的还是数学。众所周知黄渝是个非常有数学才能的人,李尚靖兄说黄渝是最应该拿Ph.D的人,我完全同意。他在数学上非常早熟,来美国的时候就已经是一个成熟的数学家了,这在我所见过的中国学生里是独一无二的。此外他在数学上有非常准确的判断力,而且他在数论,代数和表示论方面的知识几乎是百科全书式的。 

李尚靖兄提到的黄渝在本科时就解决了一个open problem,黄渝和我仔细讲过这段经历。这个问题好象是某种矩阵的分类,在许以超的书上做了正定的情况,黄 渝的一位学兄做了半正定的情况,而黄渝做了所有不定的情况。他说那段时间每天晚上开始算,算到深夜好象差不多了,但第二天早上一下就发现了问题,于是到了晚上又从头开始算,如此反复算了一个多月才最后成功。那时真是黄渝的 一个创造高峰期。黄渝说他的文章由他的同学窦苍柱帮助译成了英文,两部稿子都没发表,还在箱底放着。我想如果在他的遗物里能找到这篇文章,应该找个机会把它给发表了,这大概是黄渝唯一写成的数学文章了。 

最近我读到一篇吴文俊先生纪念陈省身的文章,提到早年做数学的历程,竟有和黄渝完全类似的经历,英雄的道路大概都是一样的。本来我想和黄渝说这事,可惜现在已经没有机会了。 

到美国之后黄渝没能做出和他的才能相称的数学结果,这是非常令人遗撼的。有时我想也许是他渊博的知识和敏锐的判断力多少影响了他的创造力。黄渝经常说:“这些问题都做不动。”好象数学里的问题都做不动一样。科学创造是个复杂的过程,有时不一定需要很多知识,反倒是更需要一些false sense of self-confidence,或者是reckless self-regard,简单说就是要一些狂妄,一些冲劲。现在的著名数学家年轻时多半是个狂人,而这些东西黄渝一点都没有。不过话说回来,任何好的数学工作都需要一些起码的外界条件来支持,而这些条件黄渝早就没有了。 

在所有的数学问题里,黄渝最喜爱的是Hilbert第12问题,我清清楚楚地记着,十几年前的一个晚上,在Hopkins数学系的Help Room里面,黄渝仔细地给我讲了这个问题,说是给定一个数域,如何找到一个超越函数,使得它在某些特殊点上的值生成了给定数域的所有阿贝尔扩张。当这个数域是有理数域时这是分圆域的 理论,当这个数域是虚二次域的时候这是复乘法的理论,所以Hilbert第12问题问的就是如何推广分圆域和复乘法的理论到任意的数域上去。学过数论的人都知道,这个问题有个诗意的名字,出自于当年Kronecker给Dedekind的一封信中,“The dearest dream of my youth。”所以经常被称为“Kronecker青春之梦”,我想这也是黄渝从青春时代就开始的梦想,这个梦他一直做到了最后。 

大概是两年前,对一类特殊的数域,所谓全虚域或者CM域,我有一些新的想法, 我把这些想法和黄渝讨论过,黄渝大概是挺受刺激,也开始重新想这问题。在2004年春天的时候他告诉我对所有的数域他觉得都能解决这个问题了,我问他在全虚域的情形下他找到的超越函数是什么,他说他不是在这种意义下来解决这题的,他用的是一个抽象的方法,类似于形式群的理论,他说主要是从函数域的Drinfeld模理论中得到了启发,关键要把函数的意义进行推广,但推广成什么?他没说,我现在也不知道。 

黄渝嘱咐我不要把他的想法告诉任何人,他说要利用暑假的空余时间好好地把这想法给检查一遍,如果没有问题再告诉我细节。夏天过后我问他进展怎样,他说看上去好象过去了,但有一步总是有问题,他还需要时间。年底前我又问他,他还是说有一步有问题,需要再看看。黄渝是个懒于笔墨的人,我怀疑他是否把自己的想法给写了下来,如果没有的话,他到底是怎么想的就真成一个谜了。 

说实话我一直对他的想法有些怀疑,因为我觉得任何关于Hilbert第12问题的解答都必需和Hecke L函数的变化相符合,也就是要和所谓Stark猜想相符合。按黄渝所说他的解答是一种抽象的函数,我不知道和L函数会有什么关系。这好象也不是Hilbert提这个问题的本意。我把这些疑问和黄渝说过,黄渝并不以为然。谁知道呢,也许他看到了些我没看到的东西,黄渝是能创造奇迹的人。 

在他出事三个星期前的星期六晚上十点,他突然跑到我家里来,原来是他的车坏在了去钓鱼的路上,他辗转坐火车跑了回来。我对他说:“你的这个老破车,如果修要超过1000块钱,就不值得去修了。”他表示同意,但有些惶然地说:“我现在这个样子,如果没了车就好象什么都没有了一样。”最后他的车修了700多块钱。 

事后我和公司的同事刘怡说起这事,刘怡要我劝黄渝不要再去想读Ph.D了,应该去学校里找一份稳定的技术工作,把生活安定下来。我觉得也有道理,在学校里工作也符合他的性格,准备过了年和他好好谈一谈,没想到再也不可能了。 

上个星期一,12月27日我接到他的凶讯,欲哭无泪。这么一个至善至诚的人,竟会死得这么惨烈。我没法接受他的死,我们全家包括小孩早就把他当成了家中的一员了,叫我怎么去和他们讲。我再也见不到他笑眯眯的样子了,再也不能和他吹牛了,再也不能吃他做的菜了,他的突然离去留下来的空白我不知道该怎么样来填补。 

古人云:“死生亦大矣。”面对生死总让人多想想生活的意义,生命的本质。黄渝这后半生,漂泊异乡,历尽磨难,到死也没有翻身。说实话,我看不出什么意义来,我只知道,我再也不会有这么好的朋友了。我会常常想他的。 

有时我想做数学这东西也会害人的,象黄渝这样痴迷数学的人,数学就是他的命,一旦离开数学界,他的精神就全垮了,生活上就随波逐流无所谓了,以至于一路沦落到这个地步。 

最近一两年来,黄渝常常和我们说起他小时候的一些往事,在上学以前他住在云南的一个小县城里,那时总是阳光明媚,四面是郁郁的青山,山上有无尽的野果和野蘑菇。黄渝说这些时,眼睛里闪着光。我知道他是有些想家了,游子悲故乡,自从94年后,他已是离开故乡十年了。有时见到我们为了照顾小孩而狼狈不堪,黄渝会说起小时候因为父亲在外地工作,他的母亲一个人照顾他们兄妹三个的故事。那时他母亲从事一些农业技术的推广工作,经常需要下乡去。每次下乡都带着他们三个,母亲推着一辆车,他的妹妹坐在车里,他和哥哥在后边跟着走在乡间的路上,周围是青青的山,天上飘着白云,我想着这幅图画,这是多么温馨快乐的时光。这些童年的点点滴滴,一直深深刻在他的心里。 

现在这流落异乡的游子就要回到他梦魂萦绕的故乡,永远地安息了。愿故乡的青山和白云永远陪伴着他! 

曾思欣 

2005年1月3日 

【转载】我所认识的姜文华

姜文华是我在Rutgers统计系博士班的学弟,他2004年秋季从复旦数学系本科直接考来,2009年毕业,去NH做博士后,2011年回国。

在美国我和他有7年的overlapping。在Rutgers的头几年,我们做为TA合教过的一二个学期的课,周末定期一起打篮球,但是文华是典型的书呆子,孤傲,害羞,木纳寡言并不善言辞的人,我又比他大,我们俩并不熟,客客气气而己。

我和文华走得很近,能够很长时间的聊天,其实是在文华博士生的最后一年和他博士后的最后一年,当他在生活与事业遇到一些困难的时候。

我所认识的文华是这样一个人:

1,学业和学术都是一流,如果当年,他能随他自己的心愿,毕业之后进美国顶级大学做博士后继续钻研自己感兴趣的学术(当时这扇门对他是开着的,虽然这扇门对于Rutgers多年来的绝大多数博士生是关着的),而不是很不正常地去NH那种学术三流,官僚一流,金玉其外,败絮其中的机构稀里糊涂地做了很多在他眼里的又苦又累又耗时又对他的学术没有帮助的杂事,他今天应该是美国学术圈里一个小有名气的教授。

2,内心干净,心底非常善良,不撒谎也不会撒谎,不害人也不知怎么害人;对别人不设防,不太知人情事故,不知江湖险恶;正因为他太干净,太善良,一旦遇到他认为的不公正,他完全不知所措,心里的反应会比普通人激烈,会有一些极端负面的想法,但他绝非是心里不正常的人,他会咬着牙,把咽不下的那囗气咽下去。

3,在师道尊严的环境中成长,从小的学霸,对老师言听计从,对领导唯唯诺诺,不敢越雷池半步;从不惹事,如果别人和他发生争执,文华习惯性地会以自己退让的方式去解决问题。

4,生活规律,洁身自好,不抽烟,不喝酒,不打牌,不玩游戏,没有任何嗜好,准时上课,从不迟到旷课,每周的生活规规矩矩地安排好,什么时候锻练,什么时候买菜,什么时候在图书馆,什么时候就寝都按定好的时间表走。工作认真负责,兢兢业业,在美国,没有几个TA会像他那样认真备课,耐心给学生答疑。

5,做为一个家中独子的上海人,对钱有概念,但不贪钱,也不追求金钱,绝对不占别人小便宜。文华和我一起吃饭,从来没有让我替他买过单,即使我一再坚持,他也坚决不花别人的钱。

6,对爱情与婚姻很向往,对于自己爱的人和他认为爱他的人,他会用心去交往。文华在Rutgers的头4年,应该半个女朋友也没交,一门心思做学问。快毕业的那年,不知道是他忽然想恋爱了,还是有人看好他的未来,陆陆续续就有人给他介绍对象。

有一阵子,他似乎是系里最popular的钻石王老五。但是许多媒人只看availability(有时这一点也搞不清楚)不看compatibility,给他介绍了许多在我看来非常不合适的candidates。但文华做为nerdy式的爱情小白,完全看不清楚这里面的弯弯绕绕,对于每一个约会都拿出做学问的态度规规矩矩认认真真地对待。


对于约会地点来回的交通线路以及约会地点周围的情况会上网仔细看看,对于约会餐厅的菜谱会提前研究透彻,对于约会对象可能提的问题会在脑子里想象出来,然后沙盘推演。

虽然几乎每个约会都无疾而终,但他还像虔诚的信徒那样,神圣般地对待每一个下一次。有一次他从曼哈顿中城约会回来,大约晚上十点钟来找我,难得地很兴奋,很开心。他告诉我,中间人跟他捎话了这个女生喜欢他,愿意和他继续交往。

我先恭喜他,但是很skeptical,就又问了他一些具体的问题,比如,他们一起吃饭的时候,当他说话的时候,她的眼睛是在盯哪里,在看他,还是桌子上的菜,还餐厅进出的客人?约会完了,各回各家之后,谁跟谁在几点钟先打的电话?

当文华把我的一堆问题回答完之后,他自己也明白,中间人大概没有和他说实话,这个女孩和以前的女孩子们一样大概不会再找他了。他原本阳光灿烂的笑容慢慢消失的他阴郁地安静了下来。

十几年过去了,今天我还对那晚他最终落寞的样子印象深刻,am still feeling such guilty,似乎是我把他捧在手里的希望给拿走了,是我打碎了他那种对前所未有的开阔壮丽之新世纪的无限渴望。

还有一年的夏秋之际,国内有人给他介绍了一个国内某大学教授的千金小姐,马上要到马里兰大学来上研究生,双方通过网络见过面,聊过天,介绍人和双方都父母都很熟,女孩对他很满意。他高兴地给我看那个女孩的照片,一个非常漂亮,极有气质的上海女孩,在国内,追她的人估计可以塞满黄浦江,到了美国,怎么会看上他这样没钱,没工作,没绿卡,前途不明的穷学生呢?我当时强烈怀疑不他又把对方理解错的但这种话我不能说,也没办法说。

从那女孩办签证开始,文华就开始眍心沥血地帮她,女孩飞到美国来,他又亲自过去帮这帮那,安排一切,并拿出这几年从奖学金中攒下的钱,为那女孩买了一辆他付的起的最贵的车。没过多久,那个女孩就列出一堆理由要和他分手,他急得够呛,也完全不知道自己做错了什么,就咨询师姐师兄,看怎样可以弥补,据我所知,他那时努力研究菜谱,提高手艺定期做一些好菜,然后开车200多英里送给女孩吃,还时不时地买一些在他眼里很贵重的礼物,寄给她。但最终这段他非常认真

付出的感情又不了了之。

他处理这件事的善后,彰显他为人的品质:第一,分手之后,他从来没有和那女孩讨论过他花在她身上的钱,总数虽然不会太多,但对于一个学生来讲肯定是巨款;我曾经拿出中国男人特有的狭隘,撺掇过他几次,让他和她把帐算清楚,至少结一点,但每次他都不接我的话。

第二,分手之后,他深受打击,但他也就自己一个人忍了下去,没有追着她死烂打,也没有哭天呛地,絮絮叨叨,惹事生非。那女孩和他分手,我一点也不惊讶,但我一直不明白,她为什么最初会答应他。我的猜测,女孩子马上就要从父母的呵护中到一个完全陌生的环境,她需要一个知根知底,忠厚老实的同乡来帮助她的smooth transition。一旦她过了这个坎儿,他的价值也就不存在了。

7、文华毕业后去NH做了两年博士后,据他说,博士后导师水平低(am not surprised),学术上帮不了他,只一味地给他一堆没什么学术价值的事情做,让他荒废了两年宝贵时光,没能如愿以偿重回美国的顶级大学做tenuretrack,他只好选择回国。

总之,文华是一个纯洁,纯粹的象牙塔里的人,他唯一的passion就是做学问,他不爱财,也不图名,渴望爱情,但是顺其自然,不善也不爱交际,人际冲突中选择退让。有才华,很能干的学者,但需要一个合适的环境,他人生唯一的要求是象牙塔里的一张安静的课桌。如果毕业之后,他能够在一个真正的学术圈里,我坚信,他现在己经成为许多人仰视的偶像。

我不知道文华能否看见我这里写的这些东西,事发那天,消息迅速传到美国,好几个许多年没有联系过的Rutgers校友和我联系。大家为你痛心,为你叹息,不只一个人为你掉了眼泪。

我们一致认为你一定是受到了莫大的委屈,如果我们当中任何一个人前几天在国内,能够和你说说话,事情不会发展成这样;你一生孤单,现在又要以最孤独的方式一个人去面对未来,我们都想为你做点什么。

在这里,我必须为文华做博士时候的导师讲几句话。坊间流传的关于文华的博导的评论和我所了解的情况并不相符。文华的博导很欣赏文华,对他关爱有加,因为对他不善和人打交道的书呆子气很了解,博导对文华的帮助远远超过一般的师生之谊。

文华在做博士后的第二年出困境时候能够在第一时间拿到苏州大学的offer,在苏州大学6年后不续签的情况下能够顺利上升进入复旦大学都是他的博导倾力帮助的结果。明白人都知道,复旦大学的faculty不是一般人可以进去的:每个位子被无数有背景的人盯着,有真本事有名气也不一定能进去。一位教授愿意拿自己的一生攒下来的名誉,动用自己的人脉,冒着风险,去帮助一个已经毕业8,9年,陷在困境中的学生,这是一位非常难得的导师。

一代数学大师 Rota 的经验与忠告

意大利裔的美籍数学家 Gian-Carlo Rota(1932 年 4 月 27 日 – 1999 年 4 月 18 日)是一位杰出的组合学家。他曾是研究泛函分析(Functional Analysis)出身,后来由于个人兴趣的转移,成为了一位研究组合数学(Combinatorial Mathematics)的学者。Rota 的职业生涯大部分都在麻省理工学院(MIT)度过,曾担任 MIT 的数学教授与哲学教授。

Rota's Photo 1970
1970 年的 Rota

从数学家族谱(Mathematics Genealogy Project)上面可以看到:Gian-Carlo Rota 的导师是 Jacob T. Schwartz,Rota 于 1956 年在耶鲁大学获得数学博士学位,其博士论文的题目是 Extension Theory of Differential Operators。

Rota的数学家族谱_1
Rota 的数学族谱

在 1997 年,Rota 发表了两篇关于人生经验和忠告的文章,分别是 “Ten Lessons I wish I Had Been Taught” 和 “Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department“。下面就来逐一分享这两篇文章中的一些观点。

Ten Lessons I wish I Had Been Taught

Springer Link Ten Lessons I wish I Had Been Taught
Ten Lessons I wish I Had Been Taught

讲座(Lecturing)

每次讲座或者分享的时候都有几个需要注意的事情。

(a)每次讲座都应该只有一个重点。(Every lecture should make only one main point.)

Every lecture should state one main point and repeat it over and over, like a theme with variations. An audience is like a herd of cows, moving slowly in the direction they are being driven towards. If we make one point, we have a good chance that the audience will take the right direction; if we make several points, then the cows will scatter all over the field. The audience will lose interest and everyone will go back to the thoughts they interrupted in order to come to our lecture.

(b)不要超时。(Never run overtime.)

Running overtime is the one unforgivable error a lecturer can make. After fifty minutes (one micro-century as von Neumann used to say) everybody’s attention will turn elsewhere even if we are trying to prove the Riemann hypothesis. One minute overtime can destroy the best of lectures.

(c)提及听众的成果。(Relate to your audience.)

As you enter the lecture hall, try to spot someone in the audience with whose work you have some familiarity. Quickly rearrange your presentation so as to manage to mention some of that person’s work. In this way, you will guarantee that at least one person will follow with rapt attention, and you will make a friend to boot.

Everyone in the audience has come to listen to your lecture with the secret hope of hearing their work mentioned.

(d)给听众一些值得回忆的东西。(Give them something to take home.)

Most of the time they admit that they have forgotten the subject of the course and all the mathematics I thought I had taught them. However, they will gladly recall some joke, some anecdote, some quirk, some side remark, or some mistake I made.

板书技巧(Blackboard Technique)

(a)开讲前保持黑板干净(Make sure the blackboard is spotless.)

By starting with a spotless blackboard you will subtly convey the impression that the lecture they are about to hear is equally spotless.

(b)从黑板的左上角开始书写(Start writing on the top left-hand corner.

What we write on the blackboard should correspond to what we want an attentive listener to take down in his notebook. It is preferable to write slowly and in a large handwriting, with no abbreviations.

When slides are used instead of the blackboard, the speaker should spend some time explaining each slide, preferably by adding sentences that are inessential, repetitive, or superfluous, so as to allow any member of the audience time to copy our slide. We all fall prey to the illusion that a listener will find the time to read the copy of the slides we hand them after the lecture. This is wishful thinking.

多次公布同样的结果(Publish the Same Result Several Times)

The mathematical community is split into small groups, each one with its own customs, notation, and terminology. It may soon be indispensable to present the same result in several versions, each one accessible to a specific group; the price one might have to pay otherwise is to have our work rediscovered by someone who uses a different language and notation and who will rightly claim it as his own.

说明性的工作反而更有可能被记得(You Are More Likely to Be Remembered by Your Expository Work)

When we think of Hilbert, we think of a few of his great theorems, like his basis theorem. But Hilbert’s name is more often remembered for his work in number theory, his Zahlbericht, his book Foundations of Geometry, and for his text on integral equations.

每个数学家只有少数的招数(Every Mathematician Has Only a Few Tricks)

You admire Erdös’s contributions to mathematics as much as I do, and I felt annoyed when the older mathematician flatly and definitively stated that all of Erdös’s work could be “reduced” to a few tricks which Erdös repeatedly relied on in his proofs. What the number theorist did not realize is that other mathematicians, even the very best, also rely on a few tricks which they use over and over. But on reading the proofs of Hilbert’s striking and deep theorems in invariant theory, it was surprising to verify that Hilbert’s proofs relied on the same few tricks. Even Hilbert had only a few tricks!

别害怕犯错(Do Not Worry about Your Mistakes)

There are two kinds of mistakes. There are fatal mistakes that destroy a theory, but there are also contingent ones, which are useful in testing the stability of a theory.

使用费曼的方法(Use the Feynman Method)

You have to keep a dozen of your favorite problems constantly present in your mind, although by and large they will lay in a dormant state. Every time you hear or read a new trick or a new result, test it against each of your twelve problems to see whether it helps. Every once in a while there will be a hit, and people will say, “How did he do it? He must be a genius!”

不要吝啬你的赞美(Give Lavish Acknowledgments)

I have always felt miffed after reading a paper in which I felt I was not being given proper credit, and it is safe to conjecture that the same happens to everyone else.

写好摘要(Write Informative Introductions)

If we wish our paper to be read, we had better provide our prospective readers with strong motivation to do so. A lengthy introduction, summarizing the history of the subject, giving everybody his due, and perhaps enticingly outlining the content of the paper in a discursive manner, will go some of the way towards getting us a couple of readers.

为老年做好心理准备(Be Prepared for Old Age)

You must realize that after reaching a certain age you are no longer viewed as a person. You become an institution, and you are treated the way institutions are treated. You are expected to behave like a piece of period furniture, an architectural landmark, or an incunabulum.

 

Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department

Springer Link Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department
Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department

不要在其他系讲自己系同事的坏话(Never wash your dirty linen in public)

Departments of a university are like sovereign states: there is no such thing as charity towards one another.

别越级打报告(Never go above the head of your department)

Your letter will be viewed as evidence of disunity in the rank and file of mathematicians. Human nature being what it is, such a dean or provost is likely to remember an unsolicited letter at budget time, and not very kindly at that.

不要进行领域评价(Never Compare Fields)

You are not alone in believing that your own field is better and more promising than those of your colleagues. We all believe the same about our own fields. But our beliefs cancel each other out. Better keep your mouth shut rather than make yourself obnoxious. And remember, when talking to outsiders, have nothing but praise for your colleagues in all fields, even for those in combinatorics. All public shows of disunity are ultimately harmful to the well-being of mathematics.

别看不起别人使用的数学(Remember that the grocery bill is a piece of mathematics too)

The grocery bill, a computer program, and class field theory are three instances of mathematics. Your opinion that some instances may be better than others is most effectively verbalized when you are asked to vote on a tenure decision. At other times, a careless statement of relative values is more likely to turn potential friends of mathematics into enemies of our field. Believe me, we are going to need all the friends we can get.

善待擅长教学的老师(Do not look down on good teachers)

Mathematics is the greatest undertaking of mankind. All mathematicians know this. Yet many people do not share this view. Consequently, mathematics is not as self-supporting a profession in our society as the exercise of poetry was in medieval Ireland. Most of our income will have to come from teaching, and the more students we teach, the more of our friends we can appoint to our department. Those few colleagues who are successful at teaching undergraduate courses should earn our thanks as well as our respect. It is counterproductive to turn up our noses at those who bring home the dough.

学会推销自己的数学成果(Write expository papers)

When I was in graduate school, one of my teachers told me, “When you write a research paper, you are afraid that your result might already be known; but when you write an expository paper, you discover that nothing is known.”

It is not enough for you (or anyone) to have a good product to sell; you must package it right and advertise it properly. Otherwise you will go out of business.

When an engineer knocks at your door with a mathematical question, you should not try to get rid of him or her as quickly as possible.

不要把提问者拒之门外(Do not show your questioners to the door)

What the engineer wants is to be treated with respect and consideration, like the human being he is, and most of all to be listened to with rapt attention. If you do this, he will be likely to hit upon a clever new idea as he explains the problem to you, and you will get some of the credit.

Listening to engineers and other scientists is our duty. You may even learn some interesting new mathematics while doing so.

联合阵线(View the mathematical community as a United Front)

Grade school teachers, high school teachers, administrators and lobbyists are as much mathematicians as you or Hilbert. It is not up to us to make invidious distinctions. They contribute to the well-being of mathematics as much as or more than you or other mathematicians. They are right in feeling left out by snobbish research mathematicians who do not know on which side their bread is buttered. It is our best interest, as well as the interest of justice, to treat all who deal with mathematics in whatever way as equals. By being united we will increase the probability of our survival.

把科学从不可靠中拯救出来(Attack Flakiness)

Flakiness is nowadays creeping into the sciences like a virus through a computer, and it may be the present threat to our civilization. Mathematics can save the world from the invasion of the flakes by unmasking them and by contributing some hard thinking. You and I know that mathematics is not and will never be flaky, by definition.

This is the biggest chance we have had in a long while to make a lasting contribution to the well-being of Science. Let us not botch it as we did with the few other chances we have had in the past.

善待所有人(Learn when to withdraw)

Let me confess to you something I have told very few others (after all, this message will not get around much): I have written some of the papers I like the most while hiding in a closet. When the going gets rough, we have recourse to a way of salvation that is not available to ordinary mortals: we have that Mighty Fortress that is our Mathematics. This is what makes us mathematicians into very special people. The danger is envy from the rest of the world.

When you meet someone who does not know how to differentiate and integrate, be kind, gentle, understanding. Remember, there are lots of people like that out there, and if we are not careful, they will do away with us, as has happened many times before in history to other Very Special People.

参考资料:

  1. Rota, Gian-Carlo. “Ten lessons I wish I had been taught.” Indiscrete thoughts. Birkhäuser, Boston, MA, 1997. 195-203.
  2. Rota, Gian-Carlo. “Ten Lessons for the Survival of a Mathematics Department.” Indiscrete Thoughts. Birkhäuser, Boston, MA, 1997. 204-208.

从对数学的贡献上来讲,丘成桐有多厉害?

作者:匿名用户
链接:https://www.zhihu.com/question/33463090/answer/116836782
来源:知乎
著作权归作者所有,转载请联系作者获得授权。

补充一下某匿名用户的回答。他只是说了大方面,我来给大家补充一点细节。这些故事都是笔者多年来从不同渠道收集到的,虽然未必准确,却能很好地反映出丘先生高尚的人品,卓越的才能,和为祖国数学事业无私奉献的精神。

1.丘成桐教授不仅有数学才华,还很有商业天赋。他在Boston地区有三十多套房产。因为Harvard是个很有钱的学校,所以有很多闲置的房产,他们会用极低的价格把这些房产卖给教授。丘成桐教授以其杰出的商业眼光,前前后后一共买了三十多套,租给他的博士后,每年盈利不可胜计,真是令人钦佩!后来丘教授又看中了一处房子,但是学校却不愿意批准卖给他,所以他让当时是系主任的Ben Gross教授去询问缘由,后来Gross说,学校得知你在Boston地区有三十多套房产,实在太多了,所以不能卖给你。大家知道,在数学界,要想组织seminar和conference,经费是必不可少的。正因为丘教授有杰出的商业头脑和投资眼光,所以为中国数学的蓬勃发展输入了大量的物质财富,可谓是中国版的Simons。但是他的数学水平又远胜Simons,所以丘教授无愧为古往今来第一大师!

2.丘教授通过这些seminar和conference让大量的中国年轻数学家有了抛头露面和展示自己的机会。虽然这些年轻人的数学水平只可意会,但是相信通过丘教授的帮助会很快发展成为华人数学界的领军人物,继承他的资源和衣钵。近年来,丘教授在中国大陆,中国香港和台湾地区设立了大量的研究所。这些研究所的设立不但给不少人提供了很好的工作机会,也给不少想学数学的年轻人提供了优秀的平台。比如清华大学的丘成桐数学中心,可以说是亚洲第一数学中心,连日本京都的RIMS都是远远不如的,我想即使放到宇宙上也是名列前茅的。在这里我们应该特别欢迎广大二本和三本的数学系学生报考这些研究所,因为丘先生的理念就是要给普通高校热爱数学的学生以机会。

3.丘教授每年都到中国的各所高校讲学,尤其是他开设的几个数学中心,这些讲座传授给年轻人许多高深的数学知识和实用的数学技巧。他演讲的话题包括:数学之美、我的成功经验、Harvard数学系的历史和我的一个不听话的学生等等。内容丰富,发人深省,不但能从中学到数学知识,还能体会到许多做(中国)人的道理。可悲的是,一些反动派受到西方自由思想的荼毒,对这样高质量的讲座却视而不见,拒绝参加,其中包括一些数学界的同行。丘教授知悉此事后,给这些人发了一封邮件,明确要求他们:今后只要是我来你们学校做讲座,所有中国人就必须参加!丘先生的严厉做法很好地整肃了华人数学界的风气,提高了凝聚力。相信在丘先生的领导下,大家一定能鼓足干劲,力争上游,多快好省地建设中国数学!

4.丘教授亲自培养的许多学生都有极高的数学水准,在国际上获得广泛承认,多次荣获重大国际奖项,比如晨兴数学奖、新世界数学奖、陈省身奖之中国版等等。这些学生不仅自己水平惊人,对年轻人也提供了无微不至的关怀和细致周到的帮助。比如,丘教授的不少学生害怕学生没有自己的想法,经常亲自给学生提供idea,来帮助学生找到研究的思路。即使学生不需要也要苦口薄心,再三敦促。这样一来,不仅学生可以发paper,他们自己也因为贡献了一个“关键的”idea而顺便加到了名字,可谓是一举两得的做法。丘教授另一些学生因为害怕国际上一些著名杂志的编辑是势利眼,不让年轻学生单独发paper,所以不惜牺牲自己的名节,主动要求在paper上加名字。这样一来,学生发文章的时候就不会吃亏了。他们为学生的付出令人感动。可悲的是,一些年轻人不但不知道感恩,反而对此感到苦恼。对这样的人,我们就应该毫不犹豫地把他们踢出华人数学界,让他们去落后的西方世界吃点苦头!

5.丘教授掌握了国际上一本极为重要的数学杂志,即Journal of Differential Geometry。这本杂志现在成为许多年轻人展示自己只可意会的数学水平和找到教职的最佳平台。为了方便某些中国学生在杂志上发表论文,丘教授提供了一些非同寻常的便捷渠道。比如文章不用发给编辑,可以直接发给自己,再由他转发给编辑。这样一来,中国数学家的文章就经常出现在顶级杂志上,他们的研究水准得到了空前飞跃!丘教授控制的另一本杂志就是大名鼎鼎的Asian Journal。这本杂志上发表了人类在20世纪到21世纪一些最伟大的数学工作,比如朱熹平教授和曹怀东教授对Poincare猜想的最终证明,封顶了人类一百余年来悬而未决的难题。这篇文章长达300多页,但是经过Asian Journal的编辑不知疲倦的辛勤工作,该论文在极短的时间内就获得了发表。可以看到,丘教授在经营杂志以后,杂志审核文章的效率大大提高了。可以说,正是丘教授勤劳刻苦,生命不息,奋斗不止的精神感召了这些编辑,让他们不再玩忽职守和放松懈怠。

6.丘成桐教授对自己学生的关怀可以说是无微不至。有些学生一时糊涂涉嫌抄袭和剽窃,丘教授知道以后果断采取措施,息事宁人,避免了家丑外扬。中国数学界正是在丘先生的努力下才能铁板一块地团结在一起,大家毫无私心,全心全意为中国数学的发展添砖加瓦。但是有些人却不明白丘教授的苦心,经常在丘教授面前投诉,甚至还写匿名信把事情闹到别的学校。对此,丘教授态度坚决,铁面无私地无视了这些无理要求,可以说很好地体现了一位领袖的英明果决。而那些闹事的逆流虽然可能有一点点数学水平,但是今天也没办法站出来领导数学界了。就是因为某些人只知道做研究和思考数学问题,没有意识到帮助中国数学发展才是更有意义的事。思想境界比起丘教授差的太远了。可以说,丘先生高瞻远瞩,气盖环宇,数风流人物,还看今朝。

7.丘教授对中国学生的关心不仅仅局限在数学系,还遍及到各个非数学领域。从前,只要是中国、香港和台湾去Harvard读数学的学生,丘教授都要亲自过问,热情关怀,把他们一一纳入自己门下。比如某学生要跟Taubes,他会亲自找到Taubes,告诉他,这位学生就托付给你了。这样一来,这些西方数学家慑于丘先生的气魄和威望,就不敢再歧视中国学生了。到了后来,只要去Harvard的中国、香港和台湾学生,无论学什么专业,丘先生都要跟他们打交道。据说他还曾经举办过大型party,邀请Harvard商学院大中华地区的所有学生参加。这些活动使他亲民的形象更加突出,在各界广受好评。相信不久的将来,丘教授会吸引到亚洲其他地区的学生参与他的party。像他这的一代王者,相信任何人都会被他的魅力所感召。毕竟只有深入到人民群众中去,才能发现问题所在。丘教授真不愧为一代明君!

8.丘教授虽然已经接近70高龄,仍然老骥伏枥,近年来在数学研究上非常活跃。仅2015一年就在arxiv贴文23篇,以每个月两篇论文的速度进行高质量的数学研究,这是古往今来其他任何数学家都望尘莫及的!要知道,丘教授作为华人数学界的领袖,每天要处理几百封邮件。熟悉丘教授的朋友们都知道,即使是在seminar上他也要一边摁手机收发邮件,一边听talk。能在如此繁忙的情况下一个月写两篇论文,效率之高真是令人震惊!丘教授还特别注意与年轻人的合作,近年来每篇论文几乎都要提携一些年轻数学家,大度地和他们一起署名发表。由于他提携的年轻数学家太多,很多时候甚至会忘记自己的合作者。比如某韩国数学家之前跟他有合作,到了找教职的时候希望丘教授能帮自己写推荐信,但是丘教授却坦言自己并不认识对方。实际上,丘教授不认识自己的合作者正可以反映出他已经帮助了太多年轻人,以至于自己都想不起来自己干的那些好事!范仲淹说:云山苍苍,江水泱泱,先生之风,山高水长。丘先生年近七旬而笔耕不辍,真可谓吾辈典范!

9.丘成桐教授对于人才优劣的判断也是明察秋毫,一望即知。早先,北大一个学生仗着自己是那一届最优秀的就自不量力,想要去Harvard跟丘教授学数学,丘教授对他说:你水平不行。想跟我也可以,先去Boston待两年,经我考察合格了,再来跟我。这个学生不得已之下去了另一个inferior的学校跟了一个比丘教授差了十万八千里的数学家M。事实证明,这个学生现在虽然出了一点小名,在Yale做教授,但是确实不够资格在Harvard做丘教授的学生:因为他只拿到了晨兴数学银奖,而丘教授的学生一般都是拿金奖的。
还有一次,丘教授的学生,国际著名数学家刘教授的一个学生L经刘教授推荐去Harvard师从丘成桐教授,而刘教授另一个学生不服,认为自己比L优秀。他给丘教授发邮件针对此事发了一大堆牢骚,丘教授立刻把他的邮件转发给了刘教授,叫刘教授严加管教。而事实证明,虽然这个学生目前在自己的领域是一个优秀的数学家,但是比起L来差的太远了,因为后者后来解决了国际上多年悬而未决的Hopf猜想,即使在历史上也要留名的。值得一提的是,L不仅数学了得,他满腔的爱国情怀也令人感动。有一次,Harvard一位教授不小心把台湾说成是一个国家,L立刻站起来,义正辞严地告诉该教授:“台湾是中国不可分割的一部分!”像这样品学兼优的杰出青年正是建设祖国数学事业所需要的人才啊!如果不是丘教授乾纲独断,岂不失之交臂?
像丘成桐教授这样慧眼识金的伯乐正是中国数学界最需要的伟大领袖。只要有了他,没有一个人才会被埋没,没有一个庸才可以投机。野无遗贤,万邦咸宁。天降丘神,万物生明!
——————————————–
先写到这里,丘先生的贡献还有很多,许多细节的地方因为空白太小,都已经写不下了,有待日后慢慢总结整理。作为丘教授的铁杆粉丝,我要告诉学数学的年轻人一个简单的道理:没有丘成桐教授开天辟地,创造了数学这个领域,哪来你们今天的归宿?所以,学好数学固然重要,但是更重要的是坚持丘教授在中国数学界的领导地位,紧密团结在他的周围,为早日把中国建设成数学强国而奋斗!军民团结如一人,试看天下谁能敌!

[转载]痛批计算数学所

发信人: rodm48gmf (—>—>—>—>—>—>—>—>—>—),

信区: D_Maths

标 题: 老板痛批计算数学所 (转)

发信站: 南京大学小百合站 (Sat Oct 11 15:59:23 2014)

昨天讨论班上,一位师兄就博士论文向老板咨询。老板语重心长的说:现在好歹也是博士了,论文里必须要有些自己的东西,能拿别人的东西拼凑!接着话锋一转,说道:最近中国的大飞机搞得很热闹,发动机是别人的不算,连自己测试出来的飞机模型数据因为没 有算法也不会算,只好花了6000万美金问老美买软件。但美方条件相当苛刻,要求中方把初始数据的备份拷给美方,等美方分析完了,再把最终结果告诉你,中间过程没法看到。 这下可好,不但算法核心没法掌握,连同我们的飞机性能也让人家了如指掌了,不用侦查卫星,就把你查个底朝天。

老板接着说:回头看我们的计算数学所,近几年来对数学理论本身的要求越来越弱化。招的学生在本科就学些计算数学专业的数值分析,数学软件。到了研究生阶段,只看见天天 泡在电脑前面敲键盘、调试程序,写出的算法无非是对已有的东西小打小闹,根本没有理论深度。也不是他不花功夫,是实在是层次太低,别说微分几何、代数拓扑这些常规的东西都不懂,即使是本科的数学物理方程,真正学好的人也没几个。对偏微分方程的认识皮 毛也谈不上,你说他怎么写的出好的算法。

老板还说,若把那些大飞机、卫星项目让企业来做,就更加不行了。那些工程师自从高校中出去以后,就开始吃老本,天下算法一大抄,有的甚至为了拟合精度而篡改实验数据,这样造出来的飞机、卫星能不掉下来吗?当然为了混口饭吃,这么做也并不难理解。

最后,老板说道:反观数学所,我们也没必要高兴到哪里去。可能我们这儿招的做PDE的学 生,数学物理方程还没计算所的好呢。现在国家急了,对重大计算项目特别重视,基金委拨了2亿元立项,十二五期间务必在这方面有重大突破。所以啊,不管怎么说,大家做东西 一定得有自己的想法,一步步把结果做上去!现在无论是做大飞机、还是搞卫星,都需要研究人员不仅会编写程序,还要懂得其中深刻的数学原理,可能它的理论难点就涉及某些奇点理论,这就需要大家懂微分几何、懂流形拓扑、懂奇点理论。物理背景的重要性是毋庸置疑的,量子理论作为物理的两大基石之一,处处发挥重要作用。如果我们的研究人员都具备了这样的素质,我们的科研才有希望。而中国的计算数学差就差在两点:一、没有 数学理论做依托,只会微积分和矩阵论。二、系统集成能力太差,编出Windows之类的操作系统根本不可能!

※ 来源:.南京大学小百合站 http://bbs.nju.edu.cn

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Controversy over Yau-Tian-Donaldson

http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=6430

Controversy over Yau-Tian-Donaldson

Posted on November 25, 2013 by woit

The last posting here was about an unusually collaborative effort among mathematicians, whereas this one is about the opposite, an unusually contentious situation surrounding important recent mathematical progress.

What’s at issue is the proof of what has become known as the “Yau-Tian-Donaldson” conjecture, which describes when compact Kähler manifolds with positive first Chern class have a Kähler-Einstein metric. This is analogous to the Calabi conjecture, which deals with the case of vanishing first Chern class. Progress by Donaldson on this was first mentioned on this blog here (based on his talk at Atiyah’s 80th birthday conference in 2009). Last fall a proof of the conjecture was announced by Chen-Donaldson-Sun, with an independent claim for a proof by Gang Tian, see here. I wrote a bit about this last winter here, after the details appeared of the Chen-Donaldson-Sun proof, and that posting gives some links to expository articles about the subject.

I had heard that there were complaints about Tian’s behavior in this story, including claims that he did not have a complete proof of the conjecture and was not acknowledging his use of ideas from Chen-Donaldson-Sun. Recently this controversy has become public, with Chen-Donaldson-Sun deciding to put out a document (linked to from Donaldson’s website) that challenges Tian’s claims to have an independent proof. The introduction includes:

Gang Tian has made claims to credit for these results. The purpose of this document is to rebut these claims on the grounds of originality, priority and correctness of the mathematical arguments. We acknowledge Tian’s many contributions to this field in the past and, partly for this reason, we have avoided raising our objections publicly over the last 15 months, but it seems now that this is the course we have to take in order to document the facts. In addition, this seems to us the responsible action to take and one we owe to our colleagues, especially those affected by these developments.

I should make it clear I’m no expert on this mathematics, so ill-equipped to judge many of the technical claims being made. The Chen-Donaldson-Sun document is giving one side of a complicated story, so it would be useful to have Tian’s side for comparison, but I have no idea if he intends to respond.

On a more positive note, perhaps this controversy will not interfere much with future progress in this area, as Donaldson and Tian are jointly organizing a Spring 2016 workshop on this topic at MSRI.


Update
: I hear from Tian that he has recently written a response to the Chen-Donaldson-Sun document, which is available here, and he may at some point write some more about this. Anyone who has read the CDS side of this should also take a look at what Tian has to say in response.

6月8日聚会 张益唐问答录

6月8日聚会  张益唐问答录

王军涛:我有一个问题。我是北大毕业的,你觉得北大生活对你有什么影响?

张益唐:从本科来讲,北大养成了我严谨的(作风),给我打下了扎实的基础。但是从现在来看呢,如果还是按照北大原来那种教育方式(这也是很多人关心的就是中国现在的教育方式是好还是坏,杨振宁说好,丘成桐说不好),我认为如果现在还是这个样子的话,那显得有点太陈旧了,可能跟不上新的东西。因为北大是强调那个传统,你要把基本功打得非常非常扎实,这个东西我不否定,这是对的。但是你过于去弄这种,现在数学这几十年发展突飞猛进啊,你可能一辈子都打不完这些基本功。我承认我在做这个的时候,也有一些很新的东西inmypaper在这里头,那是最后两个引理,实际上我是很晚才补上的。在数学研究里,有的时候并不是你要告诉这个结果,一页一页一个字一个字看是怎么证明的,这可能跟技术物理还不太一样啊,有时候你要是对它有一种感觉,这个东西它的意义在哪里,你怎么去用它。我觉得中国至少原来的大学教育(现在的我不敢说)在这方面是比较缺的。

西诺:最近有个评论说,你在证明这个数学难题时用的是经典的证明方法,而并非是最新的数学技术,请问你为什么要采用这种方法呢,在这方面你是不是有自己另外的想法呢?

张益唐:这个取决于问题本身,看它是属于什么范围里的问题。你能够引进新的方法当然也好,但要看解决什么样的问题用什么样的方法最适合,而不是换一个新办法。这种东西用这个办法解决是有效的,但是你换另一种办法可能根本就用不上。另外他说我用的是经典的办法,其实这不对,我刚才提到在我证明最后一部分其实用的是很新的东西,前面大部分都是经典的,但最后一部分用的很新,而且是从完全不同的学科引过去的,那学科叫代数几何Algebraic Geometry,这个问题本身是数论领域的,但我用的别的东西。

HL先生:我在网上看到,你早先的博士论文是做代数几何的(张:对)。你刚才说的经典的那些是指筛法吧,(张:对)我原来记得在陈景润做1+2时,魏伊说这达到了筛法的顶峰。但你的结果说明那还不是顶峰,你能把筛法加上后来的代数几何。

张益唐:这要看是怎么评论了。因为这个问题跟陈景润所做的,尽管很相近,一个孪生素数,一个哥德巴赫猜想,但treatment还是不一样

HL先生:也许你所做的意义更大,难度可能各有千秋。但你等于是证明有这回事,让大家不要做了,以前都没有这个具体的数值,现在有了七千万这个数,至于能不能压到2是另外一回事。

张益唐:是的,有这回事,有个七千万了(指素数对的差距已缩小到此)。但能不能跟他比,我想按中国人说法就是见仁见智吧,我自己不能说做的比他(指陈景润)好。

陈小平:我脱开数学问个问题,看报道说你很长一段时间都消失了。刚才听胡平说,你除了数学以外,还有很多非“书呆子”的爱好,那么在此期间到底发生了什么事呢?为什么消失了呢?

张益唐:那段时间的事其实报道中有提到,谋生的问题暂时在那里。至于消失的话,其实在我这次出来之前,(名字)上网、上自然杂志以前,我和过去很多同学没有联系,没有时间也没心思。但现在一上了网,他们当然就找到了我。所以像这种报道呢,上海文汇报比中国青年报早两天在5月16号抢在前面报道了,讲的基本上还是符合事实,但是很多细节似乎有出入,我也不会去解释,也解释不过来。

李进进:提一个中国文化的问题。我读中文报道对你解答的问题所做的解释,不易看,可是我看胡平转给我的一篇关于你的英文报道,虽然很短但解释的很清楚。我自己也曾反思过中国的文化传统好像和现代的数学不搭架的,没有桥梁。我和儿子讨论,中国语言上也不可能和现代数学有关系,也不可能解决现代数学的问题,但我觉得假如中国的文化、语言都和现代的数学没有关系的情况之下,为什么中国人的头脑可以达到今天数学的顶峰?

张益唐:我只能说前一部分是个事实,中国的传统文化上没有产生(现代数学的因素),中国有古代数学,比如说代数,就是算,很实用。但是中国从传统上,古代数学方面根本没有产生过像古希腊那样辉煌的成果。比方说,历史上第一个研究素数的是欧几里德Euclid,他就是能够证明,用反证法,证明存在无限多个素数。我很怀疑在中国古代数学里有没有素数这个概念。再比如勾股定理,西方叫毕达哥拉斯定理Pythagoras Theorema^2+b^2=c^2\!\,,

毕达哥拉斯是把这个定理证明了,而且据说他证出来之后杀了一百头牛来庆贺。中国有勾三股四弦五这句话,但好像没有人把它作为定理证明出来。中国文化到了后来可能与政治制度有关系,聪明人都去考科举,学而优则仕去了,这可能也是一个原因。中国传统没有产生很辉煌的数学并不等于中国人就不适合搞数学,这是两回事。这里有一个很有意思的,我也没法解释为什么。中国最早搞高等数学、微积分的是比华罗庚还要早一辈的姜立夫、熊庆来,他们只是到美国、欧洲接受了我们现在大学本科一般的数学教育,回国后中国也有自己的数学教育了,很快下一代就有一批中国人,在数论就是华罗庚,在几何学是陈省身,马上就表现出在世界上他们是第一流。日本也是这样的,明治维新19世纪后半期以后也是派出一批最优秀的人学习现代数学,后来就成为世界上著名的数学家。所以一个民族有好的数学传统的话,对数学会是一个推动,而且推动力会很大。但反过来讲,如果一个国家、民族原来缺少数学传统的话,并不能推出以后一定出不了大的数学家。

张菁:你是中国民联最老的成员,我非常荣幸今天看到这么多民联的老成员在这里,前主席徐水良也来了,这很少见。我的问题是,你对中国民主运动还有什么兴趣去关注,你对中国民联有什么寄望吗?

张益唐:第一,我不是民联很早的成员,不算太早,1989年那时加入的;第二,我作为一个独立知识分子,我的政治理念不会改变,也不会因为大陆不管是捧我还是怎么对我,我的基本理念不会改变。至于具体参与,因为现在我也很长时间没参与了,我想将来也没有太多机会去参与。

(众插话:还是好好去做数学。)

金钟:您有没有可能在三分钟之内用中文再给我们说一遍,您这次解决的数学难题究竟是怎么回事?

张益唐:首先,我们知道什么是素数,它是只能被它自身和1整除。我证明存在一共有无限多素数对,他们之间的差呢不会超过7千万。

杨巍问:你以后有没有这样的研究方向,就是把这个数(素数对之差)再缩小,因为它有下限是2嘛?

张益唐:关于我的办法,我在论文里不断用considerably reduce,就是还能再缩小很多很多,这是肯定的。我自己也试过,就是我这个办法到底能减到多少,但最后太复杂了,我太累了就算了。但仅限于我的办法是不可能减少到2的。具体能减到多少呢,我现在也说不出来。

王军涛:你今天能不能也提出一个猜想?

张益唐:没有猜想,但我倒是有个现实面对的问题,怎么样能出名了后还不受干扰?

王军涛:胡平刚才已经讲了,你有这个素质。

李进进问:你解决这个问题的意义到底是什么?

张益唐:我只能说,这是一个纯理论性的问题,没有什么意义。Google请我到纽约大学去讲,我不敢接受,就是怕他们问我这个证明有什么实用价值。这样纯理论性的问题我现在觉得一点实用价值都没有。

张先生:几年前我们在胜平家聚会时,你跟我说你在思考另外一个问题,那你现在对孪生素数猜想的解决是你顺带写出来的吗,还是你当时也在思考这个问题?

张益唐:我其实是一直在做两个问题。孪生素数想了很久没做出名堂,但去年夏天当我觉得能做出来以后,我觉得应该把别的问题先停住,因为这个问题毕竟只差了一点点,如果让别人先做出来就可惜了。我现在希望回到我原来的问题上。

张先生:数学家总是不公开说自己在做什么研究,在写安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的书中我看到说他突然失踪了,不让别人知道他在研究那个问题,我想问数学家这样做是出于什么样的心态?

张益唐:这就是要concentration不受干扰。比如,像我是装模作样已经做出一个结果,就有人会盯我,你要做什么,下一步是什么,我只能说sorry,I don’t like it, I may not mention.我不愿意让人知道,这很正常,除非你想跟别人合作。如果你就决定单独做而不是合作的话,就不要让别人知道,否则的话噪音会太多。我想数学是这样,别的学科我不知道。

王军涛:你在做出这个结果之后,获得这么多赞誉,你自己内心发生什么变化没有?

张益唐:我觉得我的内心没有任何变化。因为有这样一个前提,我刚才说为什么高兴:为我能解决它而高兴,为它能很快得到承认而感到高兴,第三就是正如普林斯顿的教授Peter Sarnak所说以前离这个证明只差头发丝一样短的距离,几年前很多人都想做这个问题,但几年下来别人都giveup了,但我坚持下来了。我为这三点而高兴,而不是为任何其他事情感到高兴,比如名利双收等,别人问我,我就说这本来就不是我要的东西。

西诺:现在有没有大陆的大学和研究机构邀请你回去做研究?

张益唐:有,中国科学院、北京大学、清华大学、浙江大学等等。(追问:那你的打算呢)短期内我不会回去,也不会全职回去,这不是因为政治原因。原来我也知道大陆学术界的一些状况,很多人也在批评那些问题。“人在江湖,身不由已”,我现在出了名,好像也在江湖里了。最近一段时间呢,我才知道,我回去啊,有些事情不是说我不想去卷入,怕引起人事纷争,但我要回去了,不想卷也跑不了纷争。我在国内时的硕士生导师也在为我想,他说的不那么直接,但我已经知道这个意思了。现在有北大、清华、中科院数学所,那我回去就有一个问题,演讲的第一站选在哪里?到北大,清华不高兴;到清华,北大不高兴。但从我原来学校来讲,supposed我应该先回趟北大,是母校嘛。有些派系纷争,我这里也不好说,了解不深。在美国,纽约时报、波士顿环球报、NPR已经报道了我,剩下报道的一般是科普杂志,所以在美国我觉得我还是我。但回了中国大陆,我就不是我了,为什么说这个话呢?顺便说一下,前几天丘成桐教授他要拉我回去,他在中国和清华合办了研究所,所以他是清华的。后来因为签证上一点误会什么的,本来时间也很紧,我就没有回去,但是后来我想幸亏没回去。清华来人说给我回去的接待是以最高科学家规格,要走贵宾通道。我说给我买经济舱的机票就好了,他说这一次要商务舱,然后由副校长到机场迎接,住清华最高档的宾馆。给我看他们排的schedule,今天跟校长晚宴,明天下午在某某大概是最高的演讲所做演讲。我看了就想一个问题,我要演讲,你给不给时间让我准备啊,如果整天就是吃喝的话。我还是我,如果我过去说这些东西不是我要的,那现在还不是我想要的。我不需要高官厚禄之类的东西,那对我不重要。我希望能静下心来,我有我自己的时间。但我回国的话,可能一出机场就会被记者围住,我对此有顾虑。

魏碧洲:一个道歉,然后一个问题。先前《世界日报》的报道把你的名字写错了,英文名字上应该是Y开头,结果写成T开头。按照美国学校现在的研究范例,你有这样大的publication,那你在NewHampshire待一阵子后有没有考虑换学校?或者说别的学校会用更好的条件来请你?当然在做数学,不像跟做化学、生物科技一样需要更多的经费、设备、人才,你是单枪匹马的,那你觉得是不是到任何地方都可以。比如普林斯顿请你的话,你会考虑这样的异动吗?

张益唐:我会考虑的。因为这个成果出来的时候已经是5月份了,从财政年度来讲,各个大学已经把下一年的排定了,很可能明年会来很多offer,我会考虑。但是我做这些其实还是自己一个人做,还没有找到很好的partner跟我合作,也许这是我的个性。看什么地方对我做学术有利,我把这个放在第一位。

于大海:很高兴见到益唐,首先是祝贺你的成就。前几年有一个俄国的数学家佩雷尔曼(Grigori Perelman)解出了庞加莱猜想Poincare Conjecture,然后他也不接受任何奖金、荣誉啊,他说数学界不公平。想问你的感觉是怎么样?

张益唐:我不清楚他说的这个数学界不公平是什么意思。我以前看到他为什么不接受解决庞加莱猜想的奖金、荣誉,是说他认为哥伦比亚大学的数学教授汉密尔顿(Richard Hamilton)在这方面也做过很多贡献。汉密尔顿是研究Ricci flow的,与微分方程、几何有关,他研究了近20年,其中丘成桐也起过作用,他见到汉密尔顿后说Ricci flow可以用来证庞加莱猜想,汉密尔顿去做了但最后的关键地方卡住了,一点都做不动了。佩雷尔曼就是一个人在圣彼得堡而不是莫斯科做了好几年,我和他有点像,他一个人最后做出来了,就把结果放在网上提醒他的朋友去注意这个,于是轰动的不得了,他被请到美国来,在波士顿的MIT、纽约大学、Princeton都做了演讲。可是他个性也许是孤僻,有记者对他拍照时用闪光灯,他就说别照别照,有人问他庞加莱猜想有没有实用价值,他听了勃然大怒,怎么会有人问这种愚蠢的问题。后来他受不了了,就回到俄国,拒绝国际数学家大会和克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute)给他的奖,他和谁都不联系,也许现在做黎曼假设呢。

王军涛:你觉得数学研究跟年龄有关系吗?

张益唐:Depends.传统说法是,数学研究是年轻人做的,过了一定年龄就不能做了。但是现在的趋势有点不一样了,十几年来最好的几项数学成果,比如费马大定理、庞加莱猜想的解决者都不是很年轻。现在的数学越来越难,如果不是全神贯注投入很多年,很难的。传统的话,你看20世纪最大的数学家,希尔伯特(David Hilbert)、庞加莱(Poincare)他们从未停止过,五六十岁时照样做(数学研究)。这可能也是看人。

陈小平问:看一些资料,你在关注三个问题。你的博士论文是做雅可比猜想,现在孪生素数猜想你取得突破,还剩下黎曼猜想。那你在雅可比猜想以后会取得进展吗?

张益唐:我只能说我做的同黎曼假设有关,我有可能会转到别的问题上去。

******

胡平介绍德比夏尔(John Derbyshire):著名的作家,其著述题材广泛,涉及政治、历史、科学、还有中国,体裁多样,小说、传记,政论都有。关于素数领域,他写过《素数之恋》(Prime Obsession),赢得美国数学学会首届欧拉图书奖,2008年翻成中文,也广受好评。他对中国、对民运也很关心,2001年12月19日王若望先生病逝,2002年1月3日他就在美国著名政论杂志《国家评论》(National Review)上发表文章,向英文读者介绍王若望先生并给予高度评价。现在请他讲话。

德比夏尔:谢谢.对不起,我说中国话说的不太好,都忘了,所以我说英语。

谢谢为我的数学书做广告,我希望能尽快再写一本。不过我有一本小说《来自太阳的火》马上就能在Kindle上面世,这是关于以前的民主运动和活动家们的。但我要提醒你们,这部小说很长很长,因为我把我所有的兴趣都融入其中,包括数学、华尔街、意大利歌剧及中国戏剧,还有西藏等其他我感兴趣的话题,所以这部小说很长但会很好看。小说名来自一个古老的希腊传说,普罗米修斯因为盗火而受到惩罚。

好了,我不能再为自己做广告了。作为一名数学专业的老毕业生,我非常荣幸今天能同张教授坐在一起。虽然在数学领域很难取得重大进展,但张教授取得了卓越的优美的成果。如果你们看他的论文,就知道他向我们表明存在一个小于七千万的数(来解决孪生素数猜想),我们实际认为这个数应该是2,所以如何从七千万压缩到2还有很长的路要走,但比起另外一个类似的难题来说,这段路不算最坏的。在数学的另外一个领域也有一个很难的问题,现在我们已经知道存在一个数字,葛立恒数(Graham’s Number),这个数字如此巨大以至于难以用语言形容,但我们相信实际答案应该是6,所以与之相比在数学界张教授的工作不算最坏。再次恭喜张教授取得非凡成就。我很高兴来到这里,也很高兴同一些老朋友再见面,我们20多年前就相识可后来失去联系。

德比夏尔:Thank you very much.对不起,我说中国话说的不太好,都忘了,所以我说英语。Thank you for advertising my mathematics book. I hope to have another one coming out soon. And I also have a novel which will appeal to the old democracy movement and activists called “Fire from Sun” which you can get on KINDLE. But I warn you it is a very long novel, because I put my all obsessions into it, including mathematics, Wall Street, Opera (both Italian and Chinese), and Tibet, several other of my obsessions all in the novel which makes it very long , but it’s very good. The name is “Fire from Sun”,从太阳来的火。It is from an old Greek story about God, about Prometheus who stole some fire from sun and was punished for it. I don’t want advertise myself.

is an honor for me, an old math major to be sitting here with Professor Zhang .He just does a remarkable thing, wonderful thing, in the field of mathematical where it is difficult to make much progress.

If you understand his paper, you will understand that he has shown that there is a number, which solved this problem, and the number is less than seventy million, actually we all believe that number is 2. So we have some distance to go, from seventy million down to 2. But that is not the worst situation in mathematics. There is another difficult problem in a different area of math, and we know there is a number that solves that problem. But the number is so big you can’t even express it, beyond millions, beyond trillions. It has a special name, Graham’s Number , a very very big number. But we actually believe that the true solution to this problem is 6. So this is not the worst case in mathematics. But it is marvelous achievement. I congratulate Professor Zhang, it is an honor to be here with him and it is very happy to make some old friends who I have known for twenty years or more, although we lost in touch.

It’s pleasure to be here. Thank you.

相关文章

作 者 :张益唐 等
出 处 :北京之春
整 理 :2013年7月8日20:26

素数并不孤独

http://songshuhui.net/archives/82114

数学是科学的女王,数论是数学的女王。

——高斯

 

 

数论,是研究数字的一门数学分支。如同大海,它清澈透明而又深不见底。它的基础概念,自然数、加法、乘法,每个小学生都清楚;但关于自然数的定理,却可以让人穷尽一生而不得其解。而这篇文章要介绍的,只是这个广阔海洋中一个小小的海域。即便如此,我们仍未知道此处海深几何,尽管最近张益唐的突破性工作,使我们比以往更接近真理,但这远远不够。

尽管笔者才疏学浅,有恐贻笑方家。但如能为读者勾勒出一点点数学之美,也不枉费一番心思。

素数何时成双对

可以说,素数是数论中最基础而最重要的概念。如果一个大于二的正整数,除了1和它本身之外,不是任何数的倍数,那么它就是一个素数。比如说,6不是一个素数,除了1和它本身以外,它还是2和3的倍数;而5则是一个素数。

在古希腊,人们已经有了素数的概念,对素数的研究也略有所得。在欧几里德的《原本》中,第七、八、九篇讲述的是“关于整数及其比值的性质”,实际上也就是数论。在这几卷中,欧几里德指出了今天所说的“算术基本定理”:将自然数分解成素数乘积的方法是唯一的。也就是说,如果用乘法的眼光来看自然数,那么素数就是自然数的最小组成单元。它们不能被分解成更小的数的乘积,而所有自然数都可以分解成它们的乘积。

那么,我们自然要问:素数作为自然数的组成单元,它们有多少个?

有无限个,欧几里德不仅回答了这个问题,还给出了一个经典的证明。

不妨反设只有有限个素数,考虑它们的积N,它是一个有限的自然数。所以,N+1也是一个自然数,它也应该是一些素数的积。但根据假设,每一个素数都不整除N+1,这不可能!所以,素数必定有无限个。

这个精巧的证明,是人类探寻素数奥秘的第一步。

2、3、5、7、11、13……最初的几个素数,要找出来并不困难,但随着数字增大,如果一个一个数字按照定义去筛选是否素数,工作量会很快变得十分庞大。同为古希腊数学家的埃拉托色尼,给出了一个比较省力的算法,后人称之为埃拉托色尼筛法。

首先,列出从2开始的数。然后,将2记在素数列表上,再划去所有2的倍数。根据定义,剩下的最小的数——在这里是3——必定是素数。将这个数记在素数列表上,再划去所有它的倍数,这样又会剩下一些数,取其中最小的,如此反复操作。最后剩下的都是素数。

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【埃拉托色尼筛法,图片出处:维基百科】

当古希腊人用这种方法计算出长长的素数列表时,他们也许也曾惊异于素数分布的秩序缺失。这些自然数的组成单元,在自然数中的排列却毫无规律,时而靠近,时而疏远。用类似欧几里德证明中的构造,我们知道,两个相邻素数之间的距离可以要多大有多大。而随着数目越来越大,相邻素数之间的距离似乎也越拉越长。

在无限延伸的自然数集中,向无穷的地平线望去,虽然仍有无穷的素数,但它们似乎也愈变孤独。

这种孤独甚至是可以度量的。在十八世纪的尾巴,年仅15岁的高斯独立提出了一个猜想:在n附近素数的密度大约是n的对数。也就是说,相邻素数之间的平均距离大概与它们的对数成正比,虽然增长很慢,但却义无反顾奔向无穷。但即使是高斯,也无法严格地证明他的猜想,要等两个世纪后的阿达玛(J. Hadamard)和德拉瓦莱普森(C. J. de la Vallée-Poussin),才能将这个猜想变成现在的“素数定理”。

虽然如此,偶尔也会有成对出现的素数,它们之间只相差2。像这样成对出现的素数,在那些孤独的同伴看来,无疑是异类。

它们被称为孪生素数。

漫天星河难理清

一个自然的问题是,孪生素数有多少?

孪生素数猜想断言,有无限对这样的孪生素数。但还没有人能严格地证明这一点。在1849年,数学家A. de Polignac甚至猜想,对于任意的偶数2k,都有无数对相邻的素数,它们的差恰好是2k。

这不是一个容易的问题。素数是乘法的产物,而孪生素数的定义则涉及到加法。即使只是加上2,也需要同时用到自然数的加法和乘法的性质。而在数论中的很多看似简单但无比困难的问题,比如哥德巴赫猜想和华林问题,核心也在于加法和乘法的交织。这种相互作用给数论学者们带来了无穷的头痛,以及对咖啡的无尽渴求。

与此同时,行外人的评价却似乎异常中肯:“为什么素数要相加呢?素数是用来相乘而不是相加的”。

当然,如果只将素数用在只与乘法有关的问题上,事情当然简单得多。但如果我们想要更多地了解自然数的玄机,那必然涉及到加法和乘法的相互作用。缩在“容易”的圈子里从来无补于事。如同探险家一般,数学家也有着征服难题的渴望,因为在那困难的山巅上,有着无尽的风光。为了难题产生的新方法、新思想,可能会开辟出意想不到的新天地。

Ulam's Spiral

【画在平面上的素数分布,图片出处:维基百科】

孪生素数的难点在于,它是一个关于素数的具体分布的问题,而我们对素数的具体分布知之甚少。素数定理只告诉我们素数的大体分布,而对于具体一个个素数的位置却无能为力。如同繁星,素数点缀着自然数的夜空,放眼望去,它们朝向无限的地平线愈见稀薄。但要想分清这无限繁星中的每一颗,即使用上最好的望远镜,也无可奈何。

所以,在很长一段时间里,对于孪生素数猜想,人们仍然停留在揣测和估计的层面。

首先尝试直接猜测的,是英国数学家哈代(G. H. Hardy)和李特尔伍德(J. E. Littlewood),他们在1923年开始了一系列的猜测。

G. H. Hardy

【霸气的哈代,图片出处:维基百科】

素数定理告诉我们,对于足够大的自然数N,在N附近随机抽取一个自然数n,它是素数的概率大概就是(ln N)^{-1}。那么,在同样的区间,随机独立选取的两个数都是素数的概率就是之前概率的平方,也就是(ln N)^{-2}

那么,在N附近随机抽取一个自然数n,n和n+2是一对孪生素数的概率是否就是大概(ln N)^{-2}呢?很遗憾,并非如此,因为n和n+2并非完全独立的,所以不能直接应用之前的结果。不过这个估计虽不中亦不远,只要乘上一个修正系数,借此表达两个数相差2的性质,就能得到对孪生素数密度的估计:2C_{2}(ln N)^{-2}。在这里,修正系数C_{2}是一个关于所有质数的无穷乘积。如果密度确实如此,那么显然有无限对孪生素数,孪生素数猜想应该是正确的。

实际上,这是所谓“第一哈代-李特尔伍德猜想”的一个特殊情况,难度甚至远高于孪生素数猜想:它不仅隐含了孪生素数猜想,而且对具体的分布作出了精细的估计。虽然上面的论证看上去很诱人,但它并不是一个严谨的证明,因为它的大前提——素数是随机分布的——本来就不成立。素数的分布有着深刻的规律,远远不是一句“随机分布”所能概括的。

但哈代和李特尔伍德并非等闲之辈,作为当时英国的学科带头人,既然提出这个猜想,当然经过了深思熟虑。现在看来,依据之一是,望向无限,素数的分布的确看似随机:对于那些“简单”的操作(比如说加上2)来说,数值越大,越靠近无限的地平线,看上去也越“随机”。所以,在考虑各种素数形式的分布时,假定素数按照素数定理的密度随机分布,不失为一个估计的好办法。更为重要的是,数值计算的结果也与哈代和李特尔伍德的猜测所差无几。这更增添了我们对这个估计的信心。

然而,猜测只是猜测,不是严谨的证明。无论用数值计算验证到什么高度,有多符合,对于无限而言,都是沧海一粟。李特尔伍德本人就曾证明过一个类似的结论。

人们此前猜测,小于某一个数N的素数个数π(N)必定小于所谓的“对数积分”函数li(N),而根据素数表,这个规律直到10的14次方都成立。但李特尔伍德在1914年证明了一个惊人的结论:对于足够大的N,不仅π(N)可以大于li(N),而且它们的大小关系会无穷次地逆转!但直到今天,对于第一次打破这个规律的N,我们仍然不知道它的具体数值,只知道它大概是个有三百多位的数。

这个例子足以说明素数可以多么深不可测而又出人意料,同时提醒我们,面对无限,不能掉以轻心。无论有多少计算的证据,都不能轻易下定论。征服无限的工具,只有严谨的数学证明。

狂沙淘尽始得金

既然难以知道孪生素数具体有多少,那么不妨换个思路:孪生素数最多能有多少呢?

这就是数学家的思路,如果正面久攻不下,那么就从侧面包围。当难以直接得到某个量时,数学家的“本能”会指引他们,尝试从上方和下方去逼近,证明这个量不可能小于某个下界,或者不可能大于某个上界。如此慢慢缩小包围圈,就有希望到达最终的目标。

而在1919年,挪威数学家布伦(V. Brun)走的就是这么一条路:他证明了,孪生素数的个数不可能超过O(\frac{N(lnlnN)^{2}}{(lnN)^{2}})。籍此,他证明了所有孪生素数倒数的和是有限的。要知道,所有素数倒数的和是无穷大,可见孪生素数在素数中有多么稀少。人们将所有孪生素数的倒数和称为布伦常数,它的具体数值大约是1.90216…。

关于布伦常数,还有个有趣的小插曲。1994年,美国一位教授在计算布伦常数时,无意中发现当时英特尔公司的奔腾处理器在计算浮点除法时,在极稀有的情况下,会产生错误的结果。虽然英特尔声明这种错误对于日常使用来说不足为患,但对于消费者来说,这种托辞实在难以接受。最后,英特尔不得不承诺免费更换有问题的处理器。帮助发现硬件问题,这可算是数论在现实中的一个小小应用。

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【出问题的那款芯片,图片出处:维基百科】

但布伦的证明意义远不止于此。他的这个证明,正是现代筛法的开端。

布伦所用的筛法,根源可以追溯到古希腊的埃拉托色尼筛法。还记得我们怎么用埃拉托色尼筛法列出素数表吗?每次获得一个新的素数,我们都要划去所有新素数的倍数,然后剩下最小的数又是一个新的素数。用类似的方法,我们可以估计在某个区间中,比如说在N和2N之间,大约有多少素数。

首先,我们假设手头上已有足够大的素数表(大概到\sqrt{2N}的所有素数)。用这个素数表,我们打算把从N到2N的所有合数都划去一遍,剩下的就是素数。对于每个素数p,我们将所有p的倍数划去一遍。在N和2N之间,对于每个素数p,大约有N/p个这样的倍数。当然,如果N不是p的倍数,这样的估计会有误差,但在数学家看来,只要能把握误差的大小,最终仍然可以得到正确的结论。

这样,剩下的数的个数就是N减去所有N/p的和,是这样吗?并不尽然,因为有些数可能被划去了几次。比如说1000,它能被2整除,也能被5整除,于是在处理2和5的倍数时,它分别被划去了两遍。对于每一对素数p1,p2,每个p1p2的倍数在之前都被划去了两遍,而我们只希望将它们划去一遍。为了得到正确结果,我们需要对这些数作出补偿:将这些数加回去,一共是N/p1p2个,加上一点点误差。

但这就是尽头吗?如果考虑三个素数的倍数,我们发现补偿得又太多了,需要重新划去;继续考虑四个素数的倍数,划去得又太多了,需要重新补偿……如此一正一反,损有余,补不足,一项一项估计下去,才能从自然数的海洋中,精确筛选出所有我们想要计算的那些素数。

但我们是否需要做到如此精细呢?在整个计算中,虽然每一项看似简单,但简单的代价是误差。虽然每一项的误差很小,但因为数目巨大,累土而成九层之台,累计误差可以比需要估计的量还要多。所以,在现代的筛法中,过于精细反而是一种累赘。况且,我们的目的是获得上界或者下界,所以结果无需完美,只需误差可控。一般而言,由于越到后面的项贡献越小,往往忽略它们的计算,直接将其计入误差。这样可以有效减少需要计算的项的数目,同时也能间接减少误差。当然,如果忽略的项太多,它们引起的误差又会太大,也会导致不够精确的结果。

布伦相对于前人的改进,正在于此。如果盲目计算所有的项,必然深陷误差的泥沼。而布伦则大胆截去那些贡献很小却占绝大多数的项,而对于剩下的项也果断采用更粗放的近似来简化计算。虽然看似不依章法,但通过仔细调校,布伦得以有效控制总误差,从而获得他想要的结果。

布伦的这个思路,开启了解析数论之中一大类方法的大门。我们不知道怎么数素数,是因为它们的分布实在难以捉摸。而现在,布伦的筛法指出了一条用简单的集合来逼近素数集合的道路,这自然令数学家如获至宝。

在更精细的筛选与更微小的误差之中寻找那一线的平衡,这大概是筛法的醍醐。但这样的平衡,显然依赖于我们如何估计每一项的具体数值。可以每项分开估计,但合起来也无伤大雅。无论做法如何,估计的误差越小,筛选可以越深入,结果也越逼近真实。即使估计方法不变,如果有更好的方法决定每一项的取舍,取贡献大而误差小之项,而舍贡献小而误差大之项,当然也能得到更好的结果。

但为何拘泥于每一项?对于每一项,为什么要么取要么不取,不能站在中间立场吗?只要能控制误差,将每一项拆解开来,根据贡献和误差来赋予不同的权值,再求和,这样的结果岂不是更精细?再者,有时不拘泥于素数,放松限制去筛选那些“殆素数”,也就是那些只有少数几个素因子的数,在某些情况下也能得到更好的结果。在严谨的前提下,只要能做出更好的结果,数学家对于突破原有思路毫不犹豫。

这就像一场对素数的围捕战。数学家们拿着筛法这个工具,不断打磨它、改装它,不断练习,正着用,反着用,与别的领域的工具配合着用,绞尽脑汁发明新的用法,殚精竭力用它来围捕那些调皮的素数。欲擒故纵,反客为主,无中生有,李代桃僵,数学家们在对各种各样素数的围捕中,借着筛法,将一套兵法使得淋漓尽致,精彩之处,三国亦为之失色。

在筛法的力量下,孪生素数终于露出了一鳞半爪:

在1920年,同样是布伦,证明了有无穷对9-殆素数,它们之间只相差2。所谓9-殆素数,或者更一般的k-殆素数,就是那些至多有k个素数因子的自然数(包括重数)。而1-殆素数就是素数。模仿哥德巴赫猜想的记号,布伦证明的就是(9 – 9)。

在1947年,匈牙利数学家雷尼(A. Rényi)证明了,存在一个常数k,使得有无穷对自然数m,p,其中p是素数,m是一个k-殆素数,而两者之间只相差2。也就是说,他证明了(k – 1)。

在1950年,挪威数学家塞尔伯格(A. Selberg)证明了,有无穷对整数n和n+2,它们的素因子一共至多有5个。而孪生素数定理相当于素因子至多有2个的情况。

在1966年,意大利数学家E. Bombieri与英国数学家H. Davenport证明了,孪生素数的密度至多是8C2(lnN)−2。也就是说,孪生素数的数量至多是哈代与李特尔伍德所估计的4倍。

陈景润的雕像

【陈景润的雕像,图片出处:维基百科】

在1978年,在证明了哥德巴赫猜想的(1 + 2)后,陈景润用相同的筛法改进了雷尼的结果:他证明了,有无穷对自然数m,p,其中p是素数,m是一个2-殆素数,而两者之间只相差2。也就是说,他证明了(2 – 1)。

而最新的结果则是D. Goldston、J. Pintz和C. Yildirim在2009年发表的。他们证明了,两个素数之间的差距,相比起平均值而言可以非常小。在假定某个强有力的猜想后,他们还证明了,存在无限对素数,它们之间相差不过16,与目标的2只有八倍的差距。但问题在于,即便16这个数目相当诱人,但他们的假定过于强大,强大得不像是对的,也使人们对他们结果的信心打了个折扣。

在整个过程中,数学家们动用了解析数论中的大量工具:L函数、西格尔零点的估计、多种版本的筛法、克鲁斯特曼和的估计、自守形式,如此等等,不一而足。每样工具,都是心血的结晶。但即便如此,我们离孪生素数猜想还很遥远。尽管Goldston、Pintz和Yildirim的结果非常强大,但也不能在无假定的情况下,推出有无穷对素数,它们相差恰好是一个有限的确定值。

虽然只差那么一点点。只要关于所谓“素数分布水平”的引理稍微强一点点,就能得到有无穷对相差不远的素数的结论。但就在这个关口,人们却处处碰壁。希望就在伸手可及之处,却似乎总是差那么一点点。“此路不通”的想法开始弥漫开来。

在众人束手无策之际,当时默默无闻的张益唐向《数学年刊》提交了一份论文。

梅花香自苦寒来

张益唐

【张益唐,图片出处:新罕布什尔大学】

一份三十公分的意大利面包,纵向剖开,抹上金枪鱼泥,放上四片奶酪,放到烤炉烤一分钟,撒上生菜,铺上酸黄瓜和番茄,包起来,切成两半,就是又一个三明治。

这也是张益唐曾经蹉跎的岁月。

在博士毕业后,因为种种原因,虽有真才实学,但张益唐未能在学术界找到一份工作。为了生活,他不得不打工维持生计。即使在他的同学帮助他,找到新罕布什尔大学的一份代课讲师工作后,即使在转正成为一名大受学生好评的讲师后,正式而言他仍不是一名研究人员。

时运不齐,命途多舛;冯唐易老,李广难封。

但数学无需官方认可,研究也不需要正式的职位。张益唐受过正式的数学研究训练,有扎实的功底,有充分的能力,知道怎么去做研究,心里也时刻揣着数学。即使没有正式的职位,他骨子里仍然是一位研究数学的学者。

而他心里装着的,正是素数的分布问题,特别是孪生素数。即使没有正式的研究职位,他仍然做着一名研究者会做的事。他紧跟当前解析数论学界的发展,阅读了J. Friedlander和H. Iwaniec在筛法上的突破性工作,阅读了Goldston,Pintz和Yildirim关于素数间隔的工作,还有很多不同的新工作。他思考着新的方法,尝试沿着前人的路径走下去,相信能用新的技巧,把道路走通,证明有无穷对相差不远的素数。

但这谈何容易!即使从Goldston等人强有力的方法出发,要得到想要的结果,也难倒了众多学者。张益唐花了三年时间,不断尝试新的方法,屡战屡败,屡败屡战。数学研究,莫不如是。

终于,在2012年6月,他到朋友家作客时,灵光一闪,找到了开启关键的钥匙。

要说起来,张益唐的方法并非那种横空出世的新构想,而是利用现有的工具,用新的策略将它们组合起来,再加上一点点新的思想。Goldston等人所用的筛法相对精细,但却稍欠回旋余地,而张益唐稍稍放松了这个筛法,虽然能作出的估计稍欠精细,却换来了更大的游刃之余,得以对筛法中误差与精细的天平作出更精巧的调整,结合一些新的结果,特别是Iwaniec等人的工作,反而能获得更好的估计。箇中精彩之处,恕笔者学识浅薄,难以一一尽述。

用他的新筛法,张益唐证明了,有无穷对素数,它们相差不过七千万。他将他的新方法与新结论,用简洁明了的语言,写成了一篇论文,投稿到数学界的顶级期刊《数学年刊》。

这篇论文名为Bounded gaps between primes(《素数间的有界间隔》)。

收到这篇论文的编辑想必十分意外。在一所不起眼的大学做着讲师的工作,在数学的研究共同体中也不活跃,之前一篇论文还是十多年前发表的,这样的一位默默无闻的数学家,突然声称自己解决了一个困扰众多学者几十年的问题,引起的第一反应自然是怀疑。但毕竟,数学证明就是他学识的证明,他的论文写得如此清楚明白,而所用的方法又是如此合情合理,这冲破了原有的一点点怀疑。编辑认为,张益唐的结论很可能是对的,而他的方法对于解析数论而言,也可能是个重要的进步。

因为很多数学证明都相当艰深晦涩,即使是同一个领域的专家,有时也要花上一大段时间来咀嚼揣摩,才能断定证明是否无误。所以,数学论文的审稿时间通常不短,少则数月,多则数年,期间匿名审稿人通常需要通过编辑与作者多次通信,才能决定一篇论文的命运。而张益唐的论文是如此激动人心,编辑认为他们等不起如此漫长的时间,于是对他的论文进行了“特殊对待”。他们请了筛法方面的大家Iwaniec教授与另一位匿名审稿人(可能是Goldston)来审核这篇论文,很快就有了回音。

两位审稿人都认为这篇文章没有明显的错误。实际上,评审报告中写着这样的评价:“论文的主要结果是第一流的”,“在素数分布领域的一个标志性的定理”。从论文寄出到审稿结束,仅仅花了三个星期的时间。

自此,消息不胫而走。在哈佛大学的丘成桐教授,知悉这个消息之后,很快邀请了张益唐来哈佛做关于他的工作的学术报告。消息很快在数学界与新闻界传开,张益唐几乎是一夜之间,从默默无闻变成举世知名。据说,他的妻子听说有记者要采访时,跟张益唐讲的第一件事,就是把发型整理一下。

作为励志故事,这个结尾再好不过了。

路漫漫其修远兮

当然,故事仍未结束。

在数学界中,对于久攻不下的问题,一旦有人打破一个缺口,其他人很快就会跟进,把缺口弄得更大。张益唐的结果也不例外。

在张益唐的论文中,他给出的结果是,存在无数对相邻素数,它们的差相差不过7000万。但这只是一个估计,并非张益唐的方法能得到的最好结果。在论文出炉后,一些数学家吃透了新方法,开始试着改进这个常数。

张益唐的论文在5月14号面世,两个星期后的5月28号,这个常数下降到了6000万。

仅仅过了两天的5月31号,下降到了4200万。

又过了三天的6月2号,则是1300万。

次日,500万。

6月5号,40万,连原来的百分之一都不到。

在笔者写下这行的今天,剩下的只有区区的25万。

这些结果,可以说是互联网的结晶。这样快的改进速度,对于仅仅依靠一年发行数次的期刊做研究的时代,完全是不可想象的。而在今天,数学家们在网上,你一言我一语,不停发布最新的思考和计算,以最高的速度,汇聚所有人的智慧,才能创造出如此奇观。

张益唐带来的影响不止于此。利用他的新方法,可以解决更多的问题。Pintz指出,从张益唐的工具出发,可以得知存在一个常数C,使得对于每C个连续偶数,都存在无穷对相邻的素数,它们的差是这些偶数之一。也就是说,Polignac的猜想,起码对于1/C的偶数来说是正确的。所以,不仅素数本身难以捉摸,它们之间的差更是剧烈起伏不定。

实际上,大数学家Erdős在1955年就猜测,相邻两对素数差的比值,可以要多大有多大,要多小有多小。而同样借助张益唐的工具,Pintz不仅证明了这个猜想,而且证明了比值之差以不低的速度趋向于两极分化。用他本人的话来说:在刚刚过去的几个月里,一系列十年前会被认为是科幻小说的定理都被证明了。

但孪生素数猜想本身又如何呢?我们知道,如果将张益唐论文中的常数从7000万改进到2,就相当于证明孪生素数猜想。既然现在数学家们将常数改进得如此的快,那么我们是否已经很接近最终的目标呢?

很遗憾,实际上还差很远。

张益唐的方法,本质上还是筛法,而筛法的一大问题,是所谓的“奇偶性问题”。简单来说,如果一个集合中所有数都只有奇数个素因子,那么用传统的筛法无法有效估计这个集合至少有多少元素。而素数组成的集合,恰好属于这种类型。

正因如此,当陈景润做出哥德巴赫猜想的突破性结果(1 + 2)时,他得到的评价是“榨干了筛法的最后一滴油”。因为如果只靠筛法,是无法证明哥德巴赫猜想的。(1 + 2)是筛法所能做到的最好结果。

但数学家们从不固步自封。要想打破“奇偶性问题”的诅咒,可以将合适的新手段引入传统筛法,籍此补上筛法的缺陷。张益唐的出发点——之前提到Goldston,Pintz和Yildirim的结果——正是这种新思路的成果。但对于孪生素数猜想而言,这些进展仍然远远不够。学界认为,虽然不能断定张益唐的方法,即使经过改进,是否仍然不能解决孪生素数猜想,但可能性似乎微乎其微。

但不能低估人类的才智。发明割圆术的刘徽,他对于无知的态度更适合我们:

敢不阙疑,以俟能言者!

参考资料:

Bounded gaps between primes, Yitang Zhang, Annals of Mathematics

Open question: The parity problem in sieve theory, Terence Tao,http://terrytao.wordpress.com/2007/06/05/open-question-the-parity-problem-in-sieve-theory/

Are there infinitely many twin primes?, D. A. Goldston,http://www.math.sjsu.edu/~goldston/twinprimes.pdf

关于相邻素数之差的笔记(张益唐及其他), 木遥,http://imaginary.farmostwood.net/592.html

Polymath上常数改进的页面:http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes

张益唐和北大数学78级, 汤涛, 数学文化, http://www.global-sci.org/mc/readabs.php?vol=4&no=2&page=3

哈洛德•贺欧夫各特:彻底证明弱哥德巴赫猜想

http://songshuhui.net/archives/85342

本文修改版已刊作为果壳网系列面向海外科学家的系列采访发表。采访人为远在巴黎高师的数学松鼠方弦,编辑为果壳的吴师傅,现将未删节的完整版本发布在松鼠会。

先来一段背景知识:

“任一大于 2 的整数都可以写成三个质数之和。”271 年前,德国人哥德巴赫告诉欧拉这句话时,可能自己也没想到一下就在解析数论这个领域挖了一个东非大裂谷级别的“坑”。

那时 1 还是素数。如今数学界已不用这个约定,原话用现在的语言来表示是,“任一大于 5 的整数都可写成三个质数之和。”

欧拉后来回信哥德巴赫,说这句话可以更简洁——“任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和”。后人将这句话记为“1 + 1”。这个表述如此简单,以至于很多业余爱好者也想在这个问题上一展身手。但它实际上却是那么难,出现之后的 160 年里,没有任何进展。1900 年希尔伯特在第二届国际数学大会提到它后,又重新燃起数学家们挑战和解决它的热情。

然而,至今也没有人证明哥德巴赫猜想。

不过,数学家们已经从 271 年前的出发点走的很远了。从上面关于偶数的哥德巴赫猜想,又可以推出:

任一大于 5 的奇数都可写成三个素数之和。

这被称为“弱哥德巴赫猜想”。1923 年,英国数学家哈代与李特尔伍德证明,假设广义黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。

1937 年,苏联数学家伊万•维诺格拉多夫更进一步,在无需广义黎曼猜想的情形下,直接证明了充分大的奇数可以表示为三个素数之和,被称为“三素数定理”。不过他无法给出“充分大”的界限。他的学生博罗兹金于 1939 年确定了一个“充分大”的下限:314348907。这个数字有 6846169 位,要验证比该数小的所有数完全不可行。

1995 年,法国数学家奥利维耶•拉马雷证明,不小于 4 的偶数都可以表示为最多六个素数之和。莱塞克•卡涅茨基证明了在黎曼猜想成立的前提下,奇数都可表示为最多五个素数之和。2012年,陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。

2013年5月13日,法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德•贺欧夫各特,在线发表两篇论文宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。贺欧夫各特在文章“Minor arcs for Goldbach’s problem”中,给出了指数和形式的一个新界。在文章“Major arcs for Goldbach’s theorem”中,贺欧夫各特综合使用了哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法、筛法和指数和等传统方法,把下界降低到了1030左右,贺欧夫各特的同事 David Platt 用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想,从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。

哈洛德•贺欧夫各特(1977年 -),秘鲁数学家。2013年5月13日,贺欧夫各特在网络上发表两篇论文,宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想。以下问答便是在哈洛德和小方之间展开的。

证明弱哥德巴赫猜想

问:您能向读者介绍一下您自己吗?包括您的工作和经历。

答:我是个搞数学的,在秘鲁出生,高中毕业之后获得了美国大学的一份奖学金,然后在普林斯顿大学攻读博士,在2003年获得了博士学位。之后我到过几个地方工作,比如说加拿大,现在就在巴黎搞研究。

问:解析数论是你的主要研究领域,是这样吗?

答:对的,不过我也搞一点群论,比如说关于置换群的Cayley图的研究。

问:您最近宣布您证明了弱哥德巴赫猜想,您能简单介绍一下这个猜想以及您的证明吗?

答:对的,希望我的证明没有搞错吧。(笑)

这个弱哥德巴赫猜想,它来源于18世纪初欧拉和哥德巴赫的通讯。我们知道欧拉是历史上最伟大的数学家之一,他当时在俄国搞数学。当时的俄国正处于现代化的进程,科学方面一穷二白,但他们仍然希望发展科学。而哥德巴赫则是一位德国青年,在莫斯科的外交部们工作。他不是专门搞数学的,但是个很不错的数学爱好者,而欧拉也很高兴能有位说德语的笔友可以聊聊数学。他们互相写过不少信,而哥德巴赫猜想就是由哥德巴赫提出,由欧拉阐述的。

有两个哥德巴赫猜想:弱哥德巴赫猜想和强哥德巴赫猜想。弱哥德巴赫猜想说的是,每个大于5的奇数都可以表达为三个素数的和;而强哥德巴赫猜想说的是,每个大于2的偶数都可以表达为两个素数的和。大家都觉得这两个猜想是对的,但是还没人能证明这一点。

从名字也可以看出来,如果强哥德巴赫猜想成立,那么弱哥德巴赫猜想也成立。如果每一个大于2的偶数都可以写成两个素数的和,那么对于任意的一个大于5的奇数,减去3之后就是一个偶数,可以写成两个素数的和,而原来的奇数就是这两个素数的和加上3。因为3也是一个素数,所以这个奇数就是三个素数的和。而我做的工作就是证明这个弱哥德巴赫猜想。

在19世纪,人们又开始对这类问题感兴趣。某位不知道哥德巴赫的数学家重新提出了这个猜想。对于这类问题,当时数学家只能做点手工验算。对于强哥德巴赫猜想,他们验算到了大约两百万。用这个结果,他们将弱哥德巴赫猜想验算到了十亿。他们是怎么做的呢?他们写出从3到大概十亿的一串素数,相邻两个素数之间相差不到两百万。用这条”素数天梯”就能验算弱哥德巴赫猜想。对于任意十亿以下的奇数,我们只要找出素数天梯中恰好比它小的那个素数,它们的差一定是个不超过两百万的偶数,所以能写成两个素数的和。也就是说,这个奇数能写成三个素数的和。虽然这个方法不错,但如果只靠手算的话,也推进不了多远。

然后到了20世纪,问题才有了真正的进展。在大约1920年,英国数学家哈代和李特尔伍德证明了,在假定广义黎曼猜想成立的前提下,存在一个常数C,使得所有大于C的奇数都能表达为三个素数的和。他们没有具体给出C的数值。

所谓广义黎曼猜想,它关注的是一类被称为L函数的复变函数。它宣称所有这些L函数的所谓非平凡零点的实部都是1/2。虽然我们有很多很好的理由去相信这个猜想成立,但我们还没办法证明它,所以这类依赖于它的结果都是条件性的。

十几年后,俄国的维诺格拉多夫改进了这个结果。他去掉了之前结果中对广义黎曼猜想的假定,直接证明了存在一个常数C,使得所有大于C的奇数都能表达为三个素数的和。

无论是哈代-李特尔伍德还是维诺格拉多夫,在证明中都没有给出常数C的具体值,不过我们可以从证明中看出来,维诺格拉多夫的常数比哈代他们的要糟糕得多。二十多年之后,维诺格拉多夫的一位学生Borozdin才给出常数C的一个具体值。这并非易事,在数论的某些问题中,你可以证明存在某个常数C,但基本上没有希望确定它到底是多少。我们不太清楚维诺格拉多夫原来的证明有没有提示这个常数的具体值,因为证明很复杂,涉及所谓的”西格尔零点”。但很有可能维诺格拉多夫已经知道他本人的证明在原则上可以给出常数C的具体值。

虽然Borozdin给出了常数C的具体值,但这个值非常大,实际上是3的3的15次方。这个数非常非常大,就连它的位数本身都非常非常大。你可能会说,那就像当年十九世纪那样,验算到这个数,就能完全证明弱哥德巴赫猜想了。问题是,这个任务基本上没可能完成,永远不可能,因为数字太大了。

后来人们就尝试改进这个常数。陈景润和王天泽就将常数改进到了大概10的30000次方,或者是20000,我记不太清了。陈景润就是那位证明了充分大偶数可以表示为一个素数和一个至多只有两个素因子的所谓”殆素数”的和的数学家,我想你们的读者也对他相当熟悉。他们改进的常数比维诺格拉多夫的要好得多,但还是远远不够。后来又有一位中国的数学家,将常数改进到了10的大约1300次方,也就是1跟着一千三百个零那么大的一个数。这挺好的,但也还是远远不够。

其实,即使能将常数减小到10的100次方,也还是不够。为什么?因为这个数比宇宙中所有的粒子数再乘以自大爆炸以来的秒数还要大,所以你即使拥有整个宇宙以及其中的所有原子,用来建造一台大的计算机,也很难在足够短的时间内将猜想验证到10的100次方。所以,我们要做的就是将常数尽量降低,降低到大约10的30次方,到达计算机能处理的范围。其实计算机能处理的要比这个多一点,但是大概不会多太多。

于是,在2005到2006年,我开始对这个问题感兴趣。在此之前,我看过维诺格拉多夫的证明,那是在我的研究生课程上看到的内容之一。陈景润等人的工作的方向又与此完全不同。那时我就意识到要将常数降得很低,我当时能将它降到10的100次方,但是这还不够,对猜想的完全证明没有决定性的作用。

所以,从2006年左右开始,我就一点点地去做这个问题,发掘不同的小想法。也有别人在干类似的事情。大概十几年前,法国的一位数学家Ramaré就证明了,每个偶数都可以写成最多六个素数的和。然后大概一年半前,陶哲轩证明了每个奇数都可以写成最多五个素数的和。从这个节奏看来,我要赶紧点,当时可能我也有些毛了(笑)。所以从去年开始,我就放下了手头上别的工作,开始加班加点把所有的小想法拼在一起。最后我发现它们能行得通,而这无疑是极好的。

我把常数降低到了10的29次方,你在网上的预印本上看到的就是这个数字。实际上我们可以将它降低到10的27次方,但这个没什么意义,因为我们的程序已经能验证到大概8×10^30,比实际需要的还要高80倍,再搞下去也没有必要。

这篇论文已经投稿到期刊了,现在就是等待审稿的结果,大概要花上一年时间吧。

谈谈张益唐

问:这几个月对于解析数论来说挺忙碌的,我们有您对弱哥德巴赫猜想的证明,还有张益唐对素数间距方面的突破。您对此有何评价?

答:我还没有仔细看张益唐的证明,不过我觉得他的证明令人印象深刻。大家说我和张益唐的证明是同一天发出来的,但实际上我发表我的证明的前一天就听说了张益唐的证明。但这只是个巧合,我并没有刻意去赶上时间,而我和他的工作其实关系也不太大。当时,我写好了论文之后,就跟我父母谈过,看看是明天或者下个星期在arXiv上贴出我的证明。然后我在Facebook上就看到了他在哈佛做讲座的消息,宣布了他证明了对于某个有限间距,存在无穷对小于这个间距的素数对。

一开始大家都不太相信,事实上我的Facebook好友们似乎也持怀疑态度。但很显然他并没有将他的工作发在网上,因为他之前没有发表多少论文,他可能怕大家不相信他的证明,不会去认真对待他的工作。于是他直接将论文投稿到了一个期刊,然后请这个期刊尽快审阅他的稿件,然后过了一个月,审阅就完成了,对于一个数学期刊来说这是相当的高速度,也是相当的罕见。对于一般的论文,比如说我的,就大概要花一年的样子。

反正是过了一个月,张益唐的论文被几位数论方面的专家匿名审阅过,没有挑出很大的问题,于是他才将论文放到网上。大家读了论文之后,都意识到他的确解决了素数有限间距的问题。他的证明是对的。这整个过程很震动人心。

在他的证明以及我的证明中,我觉得很重要的一部分就是对方法的改进。在张益唐的证明中,他改进了邦别里-维诺格拉多夫定理的一种特殊情况。其实之前也有人对这个定理做过各种各样的改进,但这些改进都不太适合素数有限间距的问题。而张益唐做的就是找到了适合的那种推广。我觉得他的推广也许可以用到别的数论问题上。

张益唐的证明里给出了一个常数。对张益唐本人来说,常数本身是多少并不重要,重要的是这是个有限的常数,而现在人们在尝试降低这个常数。我个人希望相关的论证能够弄得简洁一些,因为如果论证太复杂的话,这种努力就不太吸引人了。

问:张益唐没有正式的研究职位却取得了重要的成果,在数学界中这很普遍吗?

答:其实这不太普遍。一般说的”纯粹的研究职位”也不是只搞研究,也有一些行政方面的工作,也带一些学生,不过还是研究居多。而更普遍的是研究和教学兼有的职位,在法国这很普遍,我相信在中国和其它国家这也是主流。

张益唐特别的地方在于,他是大学里的讲师,这不是一个永久职位,而大家也不会期望一位讲师去做研究。所以一位大学讲师证明了这么一个重要的定理,这很不寻常,一般的讲师大概连论文都不太发。讲师的授课压力还是比较大的,所以可以搞研究的时间可能就少一些,当然这跟大学本身的政策也有关系。

当然,即使张益唐没有正式的研究职位,但他是受过专业的数学训练的,所以才能解决素数间距的问题。

问:您知道,张益唐和陈景润在不太好的境遇中做出了非常好的成果。有些人觉得他们也能想这两位数学家那样解决世界难题,即使他们没接受过数学训练。您对这些人是怎么看的?

答:我知道,总有一些人,他们没有数学背景,不知道何谓数学证明,却整天幻想解决重大的数学猜想。这是一件悲哀的事情,但总有这样的人。我偶尔也会收到这些人给我发的邮件。我真的觉得这是件很悲哀的事,他们应该找点别的事情去做。

要想做数学,需要多年的训练,还要与别的数学家交流。当然,对于做数学的人来说,总会碰到艰难的时期。这时,陈景润和张益唐的遭遇就会提示我们,只要有坚实的数学训练,再加上坚强的意志和艰苦的工作,常常可以度过困境。但正式的数学训练是必须的。

举个例子,印度的天才,拉马努金,他没有接受完整的大学教育,因为他在大学里只想上数学课所以被开除。但他的确接受了坚实的数学训练,虽然质量可能没那么好。他也去图书馆看书,做了很多数学工作,也跟同学讨论,也有老师支持他去学数学。所以,数学训练是必须的,任何想做数学的人都不能绕过这一步。

问:您平时是怎么工作的呢?

答:你看,我会看书(指着桌面上的一大堆书)。在法国这里,我将绝大部分工作时间花在了搞数学研究上,不过我也会跟数学家朋友们聊聊天,也会去带博士,也会去教课。我觉得对于数学家来说教课是很重要的。我挺喜欢教课,偶尔去一下那种,有很多人教课比我好得多。我喜欢去讲一些大家都比较熟悉的东西,但是用一些新的理解和思路去讲。我不太喜欢那种每个学年的例行讲课。

我在法国的这个职位有一点好处,就是比较自由。除了研究以外,我可以去教课,可以到全球各地与别人合作。我觉得这是一件好事,我相信数学的未来在于全球合作。在欧美的数学家也应该多去欧美以外的地方,像是南美和亚洲,去传播数学。

问:您曾经到印度和秘鲁授课,这就是您的动机吗?

答:正是如此。我觉得这是个很好的经验,那里有不少有才能的学生。我很快就要在秘鲁主持一期暑期学校了。对我来说,这是个很重要的事业。我在秘鲁授课的一个原因当然是我出生在秘鲁,但我觉得每个人都应该走出去传播数学,在世界的每个角落。每个人都可以由此得益,不失为很好的体验。

问:既然您在法国、美国工作过,又曾经到印度、秘鲁授课,能给我们讲讲这些国家之中数学研究与教学的差异?

答:比如说秘鲁,如同其它南美国家,数学研究在大概二十世纪起步,但由于国家本身经历的种种磨难,现在在秘鲁做数学并非易事。图书馆不够好,在城市生活也不轻松,薪水也不够高,能做研究的大学也很少。对于秘鲁的学生,他们通常会互帮互助,也有些机构会帮助这些学生,但能让他们接受到足够训练,成为研究人员的体制却仍不完全。秘鲁的学生可以到别的国家求学,比如说美国或者法国,然后成为研究人员。但秘鲁本身的体制也正在不断完善之中。

再看美国,对于研究人员来说最大的不同就是有了更多的自由,可以与更多的人合作。在法国有更多与拉丁美洲的合作项目,可能是因为语言更为相近的缘故。

问:对于希望学数学的中国学生,您有什么建议?

答:啊,这是个好问题。我就从数论方面讲。如果希望学数论的话,需要掌握很多领域的知识,而不仅仅是数论。全面的数学教育是很重要的。另外,数学不仅仅是理论的构建,还包括对实际数学问题的解决,应该注意到这一点。

我最喜欢的一本数学书是维诺格拉多夫的一本小书,书名是《数论基础》(Elements of number theory)。我是在13岁生日时收到这份礼物的。这本书不难,而且有很多很好的习题。当然,我现在的证明改进了维诺格拉多夫的结果,这纯属巧合。我小时候,秘鲁的书不便宜,但有个出版社专门出版一些不太贵的西班牙语数学书,这些数学书都不错,至少我买得起,从中也获益良多。

我认为兴趣对于做数学是很重要的。数学研究不仅仅是一种职业(job),更是一种使命(vocation)。当然会有困难的时候,但最重要的,还是将它视为自己的使命。毕竟人生苦短,虽然在工作外还有生活,但工作还是占据了很大一部分的时间,这些时间还是花在自己感兴趣的事情上为好。我们应该做有用的事,但同时最好也做最适合自己的东西。

问:有很多不做数学的人,觉得数学很困难而且很无聊,您怎么看?

答:我觉得这是因为他们没有接受到好的数学教育。

现在有一种很不好的现象。一个人可以堂而皇之说自己不懂数学,没人会指责他;但对文学的态度却截然不同,自称没读过莎士比亚或者论语的人往往会遭人白眼。

不过也有例外。有一次我和一位朋友在法国南部开会,因为错过了公交车,于是在路边干等着。有位好心的司机看见我们,载了我们一程。在车上闲聊时,他告诉我们他很喜欢数学,认为数学和戏剧同等有趣。当然这种人很少,不过还是有的。

当然,数学、戏剧,还有别的很多东西都很有趣,但会将它们相提并论的人并不多,而这些人之前大多从事过技术性工作。在一般的群体中,更常见的态度是自称会读小说而完全不懂数学,而且不以为耻反以为荣。我觉得这大错特错,人们不应该将自己的无知作为骄傲的资本。

问:对于数学科普,您怎么看?

答:我认为数学普及很好,数学研究可以由此传达大众,但我们也应该指导对数学感兴趣的年轻人去接受更严肃的数学教育,以成为数学家或者科学家。数学研究者一般在很年轻的时候就开始做数学,比如说高中毕业之后或者在大学里。我认为面向大众的数学普及是很好的,但面向这些年轻人的,比较高层次的数学普及也是很重要的。

当然,这两个层次之间还有一层,就是面对科学家和工程师的。数学是他们重要的工具,但不是他们研究的领域。他们明白更多的概念,所以说明可以更深入。

问:您认为职业数学家在数学科普中可以起到什么样的作用?

答:在我刚才说到的三种数学普及中,职业数学家更适合做中高层次的数学普及。已经有不少人在做面向大众的普及,而且都做得不错。但中高层次做的人很少。我自己也在做一些这方面的东西,比如之前说的去世界各地讲课。我还有个数学博客,但几乎没什么内容,因为我最近忙着做论文。不过,过些时间我会写一篇有关弱哥德巴赫猜想的博文,大概工程师的水平就能看懂,敬请期待。

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【摄影:方弦】

以下进入专业一些的内容,不过,也推荐大家一读。用哈洛德的话说是“虽然有点难,但是我觉得还是挺有趣的。”

问:您的证明是基于圆法的改进,您的方法能用到别的解析数论问题上吗?

答:为了降低常数,我对现有的技巧进行了很多改良。虽然很多改良都是针对弱哥德巴赫猜想这个特殊问题的,但也有一些可以应用到更广泛的解析数论的问题上。其实我认为有几个技巧甚至可以在解析数论以外的纯数学领域,甚至应用数学中找到应用。

在证明当中,我需要找到某种“平滑化”的手段,这涉及到某些积分。你要算一个无限求和的上下界,你不想搞突然截断,舍弃某一项之后的所有东西,你更希望这些项会慢慢变小,“软着陆”,这种技巧叫平滑化。

关于这一点,有个很有趣的故事。在哈代他们的证明里用到了无限求和的平滑化,但维诺格拉多夫的证明就搞的突然截断,而自此之后的大部分相关工作都没有用过平滑化,不过Ramaré和陶哲轩的工作就重新用了平滑化。

在解析数论中这种技术上的“倒退”,就好像当年罗马帝国崩溃之后,人们就忘记怎么造水泥了。就像这样,上一代的数学家好像忘却了平滑化,五十年代人们还在用,六十年代就没人用了。当然,这也要看情况。不过一般来说,还是平滑化的好。

但问题是,用哪种平滑化呢?Ramaré和陶哲轩用到了指数衰减的平滑化。虽然指数衰减用起来很便利,但是还不够平滑和缓。他们的平滑化其实还不错,但我觉得还不够好,所以我就开始自己开发新的技术。我用高斯函数代替了指数衰减,因为高斯函数更加光滑,下降得也更加快。

下面我讲一下技术细节,虽然有点难,但是我觉得还是挺有趣的。

指数衰减其实真的很好搞,因为实际上它与各种变换有很大的关系,比如说傅立叶变换和梅林变换,而我们对这些变换研究得很深入。但对于高斯函数,人们知道其中一些结论,也知道它跟三角函数有些联系。你可能觉得大家已经对这个高斯函数比较熟悉,但事实不是这样,在解析数论里,很少有人用到高斯函数的平滑化,所以有关的常数之类的东西还没人算出来过。反而在应用数学里,因为经常用到高斯函数,反而搞应用数学的人知道得更多。

在解析数论中,我们常常用到所谓的梅林变换,我觉得用到梅林变换的人之中有一半都是搞解析数论的。但梅林变换其实就是拉普拉斯变换的另一种写法。如果我们考虑高斯函数与三角函数乘积的梅林变换,我们会得到所谓的“抛物圆柱函数”。其实一年前我还不知道这个函数叫啥,但貌似物理学家和工程师是这么叫的。他们用这个函数用得不少,但对它的了解却不太透彻。我们知道一些渐近估计,但没有明确的常数,也没有明确的误差项。

所以我必须自己来搞清楚这些东西,我花了一个半月的时间。因为我平时不搞这个领域,当然比专精的人要慢些。我把这方面的结果都写进论文里了,我觉得这些结果对于工程师和物理学家来说可能会有用,他们可能还会推进这些结果。结果还得走着瞧,不过我觉得这是个很好的例子,说明数论工作也可能有实际应用,因为在数论研究中,我们需要改进各种工具,而这些工具不一定是数论专用的,可能在别的数学领域中也会用到。

问:您与合作者在证明中用到了计算机,具体是怎么用的呢?

答:我和我的合作者David Platt写了篇小文章,讲的就是用“素数天梯”的方法来验证弱哥德巴赫猜想到大概10的30次方。这个计算并不是很难,我们在地下室机房利用空闲时间算了几个星期。其实随便哪位爱好者有心的话,自己在家算几个月也能大概验证到10的29次方。这段计算其实小菜一碟。因为我希望留点余地,以免论文中有什么计算出错,所以验证到了比较高的10的30次方。

真正复杂的计算在另一篇Platt自己写的论文里,我对此的贡献就是说服他去做这个计算。其实在法国有很多公共资源,只要你能找到合适的人,跟他吃个午饭,这个计算就是这样子来的。在这个论文里,Platt延续了他博士论文中的工作。

还记得广义黎曼猜想吗?广义黎曼猜想涉及一类叫L函数的复变函数,它们在复平面上有无穷个非平凡零点。要对这些无穷的东西搞验证似乎是不可能的。但你可以考虑一个有限的问题,比如说先取十亿个L函数,然后对于每个函数,验证虚部绝对值小于十万的所有非平凡零点的实部都是1/2。这是一个可以完成的验证。类似的计算在十九世纪就有人做过,实际上黎曼在提出他的猜想时,就对黎曼ζ函数这个特殊的L函数验证过小于100左右的所有非平凡零点。所以,从原则上,我们考虑的有限的验证可以用手算解决,不过一般还是靠计算机。

Platt做的就是用计算机完成这样的计算,而且是以严格的方式。对于数学验证而言,严谨性很重要。我们知道,计算机只能表达有理数,它不能直接处理像圆周率这样的无理数。所以,实际上计算机不能处理实数,它只能处理一个区间[a,b],其中a和b都是有理数。而你只能问你的计算机,能不能给出一个尽量短的区间[c,d],使得区间[a,b]中的实数的正弦值(或者别的什么函数值)都落在区间[c,d]中。这就是所谓的区间算术。

有很多库可以处理区间算术,Platt他自己写了一个特别快的,不过网上也有不少类似的库。我们需要用这些库,即使这意味着计算速度比直接用浮点数要慢上几倍,但计算的过程和结果是完全严谨的。

问:您在证明中用到了计算机,那您对计算机在未来的数学证明中发挥的作用有什么看法呢?

答:这个问题挺有争议性的。在我们的证明里,计算机做的就是验证一些有限的陈述,其实跟十九世纪那种手工验证也没什么区别,而且计算机出错的可能性比人要小多了。你知道,把一串数字加起来可是计算机的强项。基本上在计算机验证里发现的错误,罪魁祸首都是敲键盘的那个人。

但计算机还能做别的东西。现在,计算机能够独自证明一些简单的小引理。最近有一篇论文,其中一个引理的证明就是计算机给出的。那是一个很小的不等式,就像那些在高中数学竞赛中出现的不等式。但这类不等式并不容易证明,所以它们才能出现在高中数学竞赛中。但现在,有时候你可以将这种不等式直接输入计算机,然后计算机有可能直接给你一个证明,或者告诉你这个是对的。这种计算机证明被接受了。

这是一种新事物,因为计算机能处理这种问题也就是最近的事。对付这种东西的算法还很原始,在实际操作过程中,为了能算出结果而又不死机,需要微调一大堆变量,在写代码时也要多花心思。这类小引理的证明算是种偶尔会出现的新奇事物。这也是个很有希望的方向,需要发展一下这方面的算法。

不过要分清计算机证明与数值实验。数值实验就是比如说我把某个东西验证到了一百万,然后我说它大概是对的,但这不是一个证明,而只是一种经验式的证据,告诉我们大概什么方向是对的。而计算机证明,我们用到的就是对有限陈述的验证,原则上用笔和纸也能完成的那种。这种有限的验证是不可避免的,因为在数学分析中,如果变量小于某个数值,主项和误差项相差不够远,这种情况就要一一验证。要分清证明和证据,证据只能指引方向,而证明就真的是无误的逻辑证明。

问:您的证明里用到了圆法,而张益唐的证明用到了筛法。您能介绍一下这两种方法的异同吗?

答:筛法和圆法其实是很不同的,不过也有相似的地方。有一种叫“大筛法”的,就跟圆法有关。但这与张益唐主要用的“小筛法”很不同,当然他也稍微用到了一些大筛法。圆法的本质就是应用在数论中的傅立叶分析,简单来说就是对圆周上的函数进行分析。而筛法的目的则是给出素数分布的一种近似估计。

在我的论文中就用到了大筛法和圆法的关系。在大筛法中的一些技巧可以直接用到圆法中,反之亦然。两者其实是同一枚硬币的正反两面。张益唐的证明也用到了大筛法,因为他需要类似邦别里-维诺格拉多夫定理的结果,而那个定理是用大筛法的。其实大约在八年前,大家就知道只要把邦别里-维诺格拉多夫定理的某个特殊情况推广一下,就可以得到张益唐的结论,而张益唐做的就是这一点。八年来很多聪明人都铩羽而归,大家都觉得这是个很难的问题,但张益唐成功了。我还没细读他的论文,但我感觉他虽然在这个意义上用到了大筛法,但他的改进并不在大筛法上,而是有关其它技巧的改进。

但他和我的证明也有相似之处。我们的论证都是基于维诺格拉多夫建立的所谓I类和II类和。在我的和他的论文里都用到了这些概念。

问:在解析数论中,除了筛法和圆法,还有别的主流方法吗?

答:比如说广义黎曼猜想,我们可以证明一些有限的特殊情况,然后利用这些特殊情况去证明别的东西。这大概有两种做法。

一是直接去证明一些更弱的结论,其中一个例子就是所谓的“无零点区域”。我们还不知道怎么证明所有非平凡零点的实部都是1/2,但我们可以证明零点必定在某个包含所谓“临界线”(实际上就是实部为1/2的复数组成的直线)的区域内,而这个区域在实轴附近很小。这种限制能告诉我们一些重要的信息,而人们一直在使用类似的结论来证明别的问题。

二是直接去验证零点。我们可以说,对于虚部大于一定数值的零点,我们一无所知;但对于虚部不太大的零点,我们可以直接用计算机去验证。这样的好处是,对于这些虚部不太大的零点,我们能完全确定它们的位置,而并非只知道它们在某个区域内。但我们只能对有限个L函数验证这些结论,而“无零点区域”类的结论可以应用到所有L函数上。不过,这种有限的验证也更容易做到。

其实还有很多很多的小技巧,不过它们还没有到达“方法”这一层面。

丘成桐香港中文大学演讲:如何成就科学大师

演讲人:丘成桐

时间:2013年6月10日

地点:香港中文大学

今日很高兴和诸位谈谈我个人成长、处世和决策的经验。这些经验不一定局限在数学的研究,我希望它对年轻的学生会有帮助。

介 绍

我首先描述一下我的家庭背景,这对于我的成长影响很大。我出生在一个受过良好教育但贫寒的家庭。我的父亲曾担任几所大学的教授,包括香港中文大学崇基学院。我的父亲做了很多哲学和中国历史的研究。不过,他大学时的专业是经济学,并在崇基学院讲授经济学课程。他也曾经在朋友的赞助下尝试创办银行,但以失败告终。在我14岁时父亲英年早逝。我们全家顿时陷入极大的困境。这段经历使我认识到资源对于家庭、社会乃至国家的重要性。

我们家一共有8个兄弟姊妹。父亲去世后,照顾家庭的重担落在我的母亲和姊姊身上。父亲的去世和家庭遇到的困难对年幼的我是很大的震撼。这时候,母亲和姊姊作出了对我一生至关重要的决定——让家中年幼的孩子在学校继续读书和完成学业。

但是,这也意味着母亲和姊姊要付出巨大的代价。我的舅舅曾受过我的父母的抚养和帮助,他的家境还算小康。他提出要帮助我们家从事养鸭子谋生。但他的条件是:所有的孩子必须放弃学业。母亲对我们的未来有更高的要求,拒绝了她弟弟的建议。在这非常困难的环境下,她的信念和忍耐起了决定性的作用。虽然我得到政府奖学金的资助,我在闲暇时还须靠辅导学童挣钱。生活虽然很艰难,但我却学会如何去应付这些困境,并从中取乐。我知道我必须在学业上出人头地,但对我来说这是一条不归路。我必须有所作为:为我自己和我的家人走出一条康庄大路。不成功的话,就没有前途了。

严峻的现实促使我成熟和坚强。我认识到我需要依靠自己的力量。在父亲去世前,我从未有过这种经验。父亲是家庭的领导者,他健在时我们丝毫不担心自己的未来。但现实毕竟是残酷的,再不靠自己就没有希望了。

苦难与成熟

我之所以提到这些经验,是为了说明经历过不幸之后,人们往往会变得更加成熟。在人类历史上,有许多本该拥有辉煌前程的人却最终被困苦的生活压垮,但是也有很多著名的伟人在克服困难之后取得成功的故事。

让我举一个我熟悉的例子。就是伟大的中国数学名家周炜良(1911年—1995年)。周炜良20世纪30年代在德国学习。学成归来后,开始是在中央大学任教,继而管理他的家族企业。第二次世界大战摧毁了他的财富,他决定重新回来做数学研究。他搬到普林斯顿居住,并向一位著名数学家所罗门·莱夫谢茨学习。在这段时间里,他做出了开创性的工作,代数几何学中有许多成果以他的名字命名,他大部分著作将会永载史册。

历经苦难最终导致伟大发现的过程,非常类似于打磨钻石。苦难让人成熟和进步。它教会人们如何快速作出正确的决定。在很多情况下,人们没有时间改变自己的决定,甚至没有时间犹豫或者后悔,所以做决定时往往得依靠我们的经验。翻开史册,我们发现企业或者国家的领导人如果有过艰辛的磨砺,往往能够比一般在优厚环境中长大的领导者更胜一筹。

在教育方面,我觉得让学生学会独立思考以及应对艰难情况的能力是极为重要的事情。学生应该主动学习丰富的知识,而教师应该尽量为他们创造良好的学习和咨询的环境。因此我组织每周约9小时的学生讨论班。我要求我的学生阅读一些可能与他们的论文课题并不直接相关的文章,包括一些超过他们当前学识的高深课题。

报告各自领域之外的困难文章让学生们备受挑战。但读懂了这些文章之后,他们会有质的飞跃。对某些课题甚至会比我有更好的理解。有些学生则试图欺骗和隐藏他们的无知,这些学生通常无法真正掌握推动学科进步思想的精髓。我相信我们如果不理解前人如何开创学问的蓝图,我们将会难以提出自己的创见。我相信这种经验并不局限于做学问:在社会上做事或者经营企业,假如没有亲身经历过挑战,就会缺乏经验,而难以施展才华。

困难的环境可以令人变得更加成熟。但是反过来说,长久的为生计奔波,对学者的成功却可能是有害的。毕竟,学者需要在一个稳定的环境下成长和发展,才能完成有深度的成果。我观察到历史上的伟大数学家之中,顶多百分之五的人在其整个职业生涯中都身处穷困。在历史上,我们看到一个社会,一个国家,在百战之余,都需要休养生息,才能成长。

建立目标

要成为一个大学者,我们必须建立一个宏大而有意义的长远目标。这个目标的一个非常重要的特征是要确保在我们追求它的道路上,即使遇到挑战,我们也还会感到愉悦。我本人的目标就是在数学研究上有深入的贡献。我并不是一个天生的数学家,但是父亲的教导让我很敬佩那些对人类作出永恒贡献的学者。我一生都为对数学有贡献而有着无比的欢愉。

因为我来自一个贫困的家庭,我没有太多的出路。但是数学并不需要太多金钱的投入,所以是一个比较容易的选择。但更重要的是,我着迷于数学的优雅和魅力。况且伟大的数学理论可以持续数千年,至少它可以影响好几代人。

我也知道数学可以极为实用,可以解决人类社会中任何需要推理的问题,甚至华尔街的金融投资都可以利用数学的工具。我的许多朋友在各行各业都取得了巨大的成功,其中包括大名鼎鼎的吉姆·西蒙斯。

我第一次遇到吉姆·西蒙斯是在42年前纽约州立大学的石溪分校。我当时惊讶于他对数学研究的痴迷。他已经在几何学中做出了很重要的工作,但是对新的数学发展还是兴奋不已。不过他也说,他非常喜欢金钱。最后他辞去数学教授,到纽约华尔街去创建投资公司。他极为成功,现在已经从他的公司退休,并决定重新再从事数学研究。显然,他现在做研究并不是因为金钱。他的生活是由兴趣所主宰,他的研究依然充满力量。

在我读高中的时候,我也有过从事研究中国历史的想法,部分是由于父亲的教导,另外一方面也是因为历史是我钟爱的科目。直到现在它依然是我的一大爱好。不过,我决定研究数学,不仅是因为我对它感到兴趣,我的志向是在数学上创造历史,而不仅仅是记录或解释历史。况且由于教学的需要,以及工商业极为需要有分析思维能力的职员,数学家比历史学家更易谋生。另一方面,我毕生从未想过赚取很多金钱,但在从事数学研究时,却自得其乐。我读伟大数学家高斯或黎曼的文章时,往往兴奋莫名,而自道:大丈夫,当如是!在数学上,我能与古人神交。这应当是我选择数学为我一生专业的理由罢。

数学带给我的兴趣已经远远超出我的想象。历史和数学都教会我作理性的思考。我记得第一次感受到数学的美是在初中二年级学习平面几何的时候。从简单的公理出发,可以推导出复杂有趣的定理,着实令我着迷。我听说,在古希腊时期,市民喜欢在大街上辩论。严谨的逻辑推理思维得到了发展,并被有效地应用到辩论之中。

在推理的学问里,我们需要建立一个假设,它必须来自于我们对周围环境的观察和体验。从我们所作的假设,我们可以基于逻辑推导出许多结果。我们需要的逻辑推理其实很简单。如果A蕴含B并且B蕴含C,那么A蕴含C。虽然这看似简单,但是建立一个良好的假设是创建任何坚实理论的重要根基。如何寻找命题B和C更是对一个良好数学家的考验。

也许你听说过约翰·纳什关于经济学的均衡理论的著名工作。他建立了一些简单的假设并由此推导出重要的结论。由于这项工作,他获得1994年诺贝尔经济学奖。

约翰·纳什将博弈论应用于经济学,并引入新的均衡概念,他改革了亚当·史密斯(1723年—1790年)的经典理论。他和其它经济学家将这些新兴的数学理论应用于经济学的研究,影响至今。

建立品味与文化

无论是从事科学研究或者经商,成功的研究所或企业应当体现出研究员或公司创始人的品味与个性。建立其内在的优雅文化是必要的。因为数学的工作都是基于严谨的逻辑推理,一台计算机就可以承担大部分推理的工作得到一些结果。然而,好的数学结果与不好的数学结果之间有着关键的区别。一台计算机可以生产出大量正确的命题,但如果没有人类思维的指引,绝大多数命题并无价值。在一般的情形下,它们无法构造可以加深我们对自然界了解的漂亮或有用的命题。计算机无法判断什么是重要或者是有趣的命题。

这带来了一个重要的问题:数学家如何发现重要而有深度的定理?

一个重要定理的证明通常由一系列复杂的推理所组成。如果我们看不清前进的方向,那么几乎不可能创造出这样的推理。

当数学家开始着手研究一个问题时,首先需要有一个好的规划。正如画家需要从画的类型来决定所采用的技术和媒介。另一方面,研究数学是一个动态的过程。很多时候,当新数据或新见解出现时,我们可能需要改变研究的规划。

众所周知,科学由许多科目组成。在探索自然的过程中,会诞生许多新的课题。有趣的是,许多新的研究课题往往来自于两个或多个古老科目的融合。非常类似于两家大公司的合并。如果我们了解这两家公司的文化,那么这很可能会是一个巨大的成功。反之,如果对两方的了解都不透彻,合并的结果,也可能是一个灾难。

爱因斯坦(1879年—1955年)曾经成功地将狭义相对论与牛顿引力理论相结合建立了广义相对论。这是物理学的巨大飞跃。爱因斯坦能够这样成功是因为他对这两个领域的精通超过任何同时代的物理学家。因此,我总是建议我的学生至少同时掌握两门不同领域的知识,并努力将不同的科目结合起来。这个建议可能对其他学科也适用。

无论是在科学,文学或社会学,我们都需要有广博的知识,这样才能开拓新的课题。在大学里,我们学习的知识可能取决于每所大学的要求。好的学校,比如哈佛,会要求学生学习许多不同领域的知识,打下良好的核心基础。哈佛大学的大部分学生不但学习刻苦,也经常互相交流,选修不同学科的课程。我有一位朋友的儿子,在哈佛大学读本科时主修埃及文学。我以为他会是一个学究。但他毕业一年后,开创了一间相当成功的高科技公司,由此可见通才教育成功的地方。

但是,当涉及到更具体的事情,大学教育还是不够的。我们需要进入研究生院深造,到公司实践学习,参加技能培训。无论身在何处,都有学习的机会。就我个人而言,我一生都在研究数学。但我也同时研究物理学,从我的博士后那里了解物理学前沿,并与他们一起工作。我的许多博士后拿的是物理学而非数学的博士学位。我选择物理学博士,是因为我需要向接受过物理学专业训练的年轻人学习。我觉得这一点很重要,我们不能仅仅学习了一门学科表面的东西,就以为自己掌握了这门学科。

如果没有足够的知识积累,很难找到合适的研究方向。

决 策

我们都知道,在我们的职业生涯中决策能力的重要性。这通常取决于许多因素,如个性、能力和外界的约束。为了选择我们的研究方向,我们需要权衡众多可能的影响因素:例如我们要考虑所需要的资源、可能产生的后果和团队的个性情感等等问题。

我们在做研究或创业的时候,往往需要当机立断,这需要一种直觉。这种直觉需要建立在知识的基础之上,与朋友讨论有助于拓宽这些知识和澄清疑点。经过足够的磋商,饱读相关的材料,权衡不同的利弊,都能帮助我们作出最终的决定。但是最重要的因子来自以下的直觉:如何更好地实现在研究或生活中早已设立的长远目标。

屈原说:“亦余心之所善兮,虽九死其犹未悔。”有时候人们会为了短期的目标,而迷失了人生的终极目标。在这方面,道德教育发挥了极为重要的作用。我非常感谢我的太太,她总是提醒我要坚持自己的理想。我们不能放任自己,为了短期的收益而忘记了初始的目标。即使我们生活的目标是为了赚钱,也需要考虑到社会结构已经发展到了一个非常复杂的状态,没有人可以不依赖别人的帮助或者不去帮助别人而获得成功。就如高科技的专利权——政府的法律保护和企业的互相尊重同等重要。

美国人擅于开发新技术的原因有很多,但保护知识产权也许是最重要的一条。知识产权不受到保护,就意味着工程师的成果很容易被人窃取。没有奖励,科学家和工程师很少愿意花费多年的努力去开拓新的研究!一般来说,中国企业家不太信任家庭成员以外的人,大多数私人公司由家人接班。遗憾的是,许多企业经过两三代的传接后就失败了。原因当然有很多,其中一个是因为他们的后人有着巨大的财富,流于安逸而丧失了动力或者对经商的兴趣。但是更重要的是对家族以外的人不信任,家族企业找不到最有能力的人来管理,这点也与法律不健全有关。在硏究的领域里,也会出现类似的问题。一般中国学者只相信自己的学生或系里的老朋友。造成这个现象的原因除了中国人的传统学派观念外,主要还是由于中国学术界存在剽窃的风气。在我接触到的学者和编辑的杂志中,我发觉中国数学界剽窃的问题比国外严重。至于其它学科也常听闻同样的问题。有些学者,甚至有的院士,他们在修饰文字后,将别人的想法放进自己的文章里头,由于不是搬字过纸,一般学者并不认为这是抄袭。一些机构却往往重用这些学者,这些山寨学者己经严重地影响到千人计划、重大项目的评选和院士选举等等,甚至起了控制作用。有人缺乏认识,有人不敢抗拒他们的欺诈,被迫跟他们合作,这是很不幸的事情。机构领导对此尚无认知,常年用少数的这种学者管事,确是中国数学未达世界一流的原因之一!

一般来说,美国高校和研究所富有浓郁深厚的学术气氛。但学者最终能否取得成功,仍然取决于研究人员是否能作出正确的选择和决定。

让我举一些亲自经历的例子。我在加州大学圣地亚哥分校工作了三年。从1980年开始,我带了不少研究生。1985年那一年,有15名研究生在我指导下学习。他们中有些成为了非常出色的数学家。许多中国大学的学生想到加州大学圣地亚哥分校来学习,我都尽力帮助他们,无论他们最后是否成为我的学生。

其中有一位来自北京大学的申请的学生希望学习数论。我安排他师从一位杰出的数论学家哈罗德·斯塔克,他是加州大学圣地亚哥分校和麻省理工学院的双聘教授。但当时的北京大学校长也许出于个人原因,没有同意他来加州大学。那个学生被派往普渡大学,学习并非他最感兴趣的代数几何。尽管他在博士论文中取得了进展,他仍然无法在毕业时找到合适的工作。

经过很多年艰苦的生活,他在一个朋友的帮助下,成为新罕布什尔大学的一个暂聘讲师。虽然环境并不尽如人意,他还是坚持做他心爱的数论研究。大约在两个月前,他解决了数论中最困难的问题之一。20多年的努力终于有了回报。虽然他的薪水不高,他却很享受研究的乐趣和所取得的成果。这位学生就是现在极负盛名的张益唐教授。

另一方面,我有一位在圣地亚哥任教时带的学生,他跟随我来到哈佛大学继续做研究。在我的指导下,他完成了几何学中几项重要的工作,但是他对事物有自己的看法,他在选择工作方面不接受我的建议。他毕业时,很多名校邀请他为助理教授。我的朋友汉米尔顿是大名鼎鼎的几何学家,也可以说是这个学生的偶像,他在圣地亚哥分校为这个学生安排了一个预备终身制助理教授的职位。这是一个极好的职位,因为这个位置很快就可以变成终身职,但这位学生拒绝了。他选择了普渡大学,因为他觉得普渡可以为他解决签证问题。他没有和我商量他的决定,事实证明这是一个严重的错误。三年后他被迫离开普渡大学,其实那些年中,他的工作还是做得很出色,但他不懂得系里的人事关系,被系中的教授排挤而离去。他因此觉得累了,不想再继续从事科研。他虽然曾经做出杰出的工作,但因为疲惫和失望,他选择放弃数学,为此我深感遗憾。

这两个例子表明,每个人在生活中都会遇到困难。但个人的能力和性格会造成截然不同的结果。我们如何克服困难是一个很重要的挑战。坚持不懈对于研究来说是非常重要的,但最重要的还是能从所做的事情中获得欢愉和成就感。我在上面提到的那个学生在他研究生涯的最后阶段时告诉我:他对研究已经逐渐失去了兴趣。我想这就是这两位数学家之间最主要的区别,遗憾的是,他们的人生也是截然不同的。不过,我还是希望我那位学生振作起来,前途还是光明的。

另一方面,我也见到很多早熟的年轻人,一早成名,却往往一念之差而开始沉沦。

在我的指导下,有另外一位学生在毕业时,读书读得不错,解决了我提出的一个有名问题的第一步。由于我的提拔,他受到数学界同仁的重视。但是几年后,他开始发表充满漏洞的数学文章,又依靠剽窃来获取本不属于他的荣誉,很快他就沉溺在虚伪的生活中,兴趣也从学术研究转到追逐名利,甚至联群结党,不择手段地去欺负年轻学者。这种现象已经严重地影响到中国数学的前途。看了他和政府官员的谈话和向媒体的宣传,我才对孔子说的“巧言令色,鲜矣仁”有比较深入的了解。屈原说:“何昔日之芳草兮,今直为此萧艾也。”至于何时他才能迷途知返,从既得权利的巅峰返回,做一些踏实的学术硏究,是一个有趣而又可悲的问题。在这个浮华和追逐名利的社会,这需要无比的勇气,我希望我的学生都能向张益唐学习。所以我们必须牢记正途并坚定不移地去追寻真理。

从这个故事来看,过早成名往往需要更严格的自律。来自同行的竞争压力,无知家长和有野心学长的期望,可以毁掉一个年轻人的光明前途。

中国家长都望子成龙,却常常没有顾及孩子成长时,除了学业和道德的教诲外,还需要有良好的伴侣,并得到年轻人应有的乐趣。

从前有一个才20岁的年轻人跟我做博士后。刚开始时,我没有注意到他的年龄,他的工作也算出色,和我及其他博士后一同发表了一篇还算不错的文章。但是有一天,我在中国访问时,突然接到一个电话,说他在家里不停地尖叫,被警察捉到精神病院去了。我才了解到他的情形:他在马来西亚长大时,极负盛名。他12岁中学毕业,就到加州理工大学读书,三年后完成学业,到康奈尔大学完成博士学位。这是中国家长都羡慕的年轻人。但是他进医院后,只有他的妹妹来看望他。据他妹妹说,他学业进步太快,没有任何朋友,连父母都没有办法跟他交流。过了大半年,我第一次见到他的父亲,我感到失望,他的父亲还继续对他施加学业上的压力。他回到新加坡后,过了两年,竟然自杀了。我为这件事感到惋惜。

所以我总想奉劝家长们,在教导小孩时,不宜操之过急。让孩子们多交一些益友,让他们知道生命的乐趣。

我的学生中,有成为一代大师的,例如在斯坦福任教的理察·孙就是,我和他一同成长,互相勉励,因此他在学问深受我在影响,但我也从他那里学习了使我一生受用不尽的学识。华裔学生还没有他这个水平。但是,李骏和刘克峰都在数学上有极重要的贡献,比我上述的在玩政治时呼风唤雨的学生贡献大得多。

当时李骏在上海参加改革开放后第一次数学比赛,得到第一。我孤陋寡闻,当李骏来美国做我的研究生时,我没有特别注意到他的辉煌历史。直到一个我从上海来的外甥指出有这么一号的天才时,我才知道这个事情。我想这是一件好事。他循规蹈矩、严谨治学,我送他到加州大学洛杉矶分校跟我一个老朋友学习代数几何,脚踏实地地学习两年后,他现在己经是这个学科的带领人,比我那位出名的学生做的工作重要得多。刘克峰也是在哈佛大学读书时博览群书,不单在几何上取得杰出的成就,对弦理论上也有深入的贡献。

除了我自己的学生外,我也看着一些用功的年轻人成长。其中有复旦大学的傅吉祥,在晨兴数学所的几个年轻数论学者和最近在清华大学的李海中,他们虽然受到某些有权势的院士排挤,仍然做出国际一流的工作,使我觉得兴奋。尤其是田野在数论上的工作,在国际上得到认同,得到三年一次的晨兴数学金奖,在众多高手竞争中,脱颖而出,成为中国大陆第一次得到金奖的得主。数论在他从前读书的大学已渐衰微,但出于兴趣,他坚持了下来,完成了大陆学者这三十年来最重要的工作,真是值得庆贺的事情。比田野年轻的有徐浩,他刚毕业时,我担任哈佛大学数学系的系主任,哈佛大学数学系以等同助理教授的职位聘请他四年,中国某些对他的工作亳无认识的院士却欺负他,连最基本的奖励都不愿意给他。由于哈佛数学系多年来不设助理教授这个职位,网上竟然有人质疑他在哈佛的职位。他还是很努力,解决了弦论数学上的重要问题,今年得到晨兴数学银奖。晨兴奖由十个国际知名的数学大师评审,其中三个大师是菲尔兹奖的得主,其他都是美国、德国、俄罗斯或英国的院士。这两位得奖的年轻人的成绩都值得我们庆贺。

所以急于求成,往往失败。而坚定不移的学习始终是做研究的不二法门!

结 论

艾萨克·牛顿(1642年—1727年)曾说过一句名言:如果我比别人看得更远,那是因为我站在巨人的肩上。或许我们还应该注意到这些巨人们是站在他们之前的那些巨人的肩上!任何想要获得成功的人,都必须学会向前辈伟人学习。很难相信如果不是站在这些巨人的肩上,我们能够取得超越他们的成就。要知道,在他们的年代,这些巨人也曾经被认为是天才,摆在我们面前的是,几代天才刻苦钻研所积累起来的成果。

我相信这个道理同样适用于商人,他们应该在建立企业之前学习了解他们所经营行业的基本概况。决策的制定要快而果断,当然前提是事先做过充分彻底的调研并集思广益。所以美国人说:世上没有免费的午餐!每个人都应该不断探索新的思路和新的方向,只有如此才能胜人一筹。我们应该知道,创新基于广泛的知识,开阔的思维和辛勤的工作。我们应该学会从不同的来源汲取知识,包括那些我们一直没有涉猎的科目,并且以无比的毅力和耐心向伟大的目标进发。

(丘成桐 1949年出生于广东汕头。1983年获得素有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖,迄今仍是华人数学家中唯一的获奖者。1979年后,丘成桐把主要精力转向振兴祖国数学事业上,先后创建了香港中文大学数学所、中科院晨兴数学中心、浙江大学数学中心和清华大学数学中心,并亲自担任这些研究机构的负责人。现任美国哈佛大学讲座教授、国际顶尖数学杂志《微分几何杂志》主编。)(原标题:数学与生活)

13 Math Jokes That Every Math Geek Will Find Hilarious

Back when the internet was young, the primary users were its builders, math and tech-oriented academics spread around the country.

 

As a result, math jokes have an elemental role in the history of the internet.

From the earliest Usenet threads to the techiest subreddits, geeky math jokes — some implicit swipes at less-pure disciplines, other puns or plays on words of different concepts — have been a major part of the modern history of math.

What’s more, these japes also have the effect of making those who didn’t get the joke to look into what makes it funny, teaching people some of the more obscure concepts.

Here are just a few of the best ones. Where necessary, we’ll do the unthinkable and the tacky and explain the joke.

JOKE #1

Three statisticians go out hunting together. After a while they spot a solitary rabbit. The first statistician takes aim and overshoots. The second aims and undershoots. The third shouts out “We got him!”

Source: chjilloutdamnit / Reddit

 

JOKE #2

Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously.

Source: armchairdetective /  reddit 

Explanation: When you roll a die, you either get a 1, 2, 3, 4, 5, or 6. Since there are a finite number of possibilities, the statistic involved is called a discrete random variable. When you select any real number from between 0 and 1, there are an infinite number of possible draws. The statistic involved is called a continuous random variable. 

 

JOKE #3

There was a statistician that drowned crossing a river… It was 3 feet deep on average.

Source: anatiferous_outlaw / reddit

 

JOKE #4

Write the expression for the volume of a thick crust pizza with height “a” and radius “z”.

Source: Reddit

Explanation: The formula for volume is π·(radius)2·(height). In this case, pi·z·z·a.

 

 

JOKE #5

A: “What is the integral of 1/cabin?”

B: “log cabin.”

A: “Nope, houseboat–you forgot the C.”

Source: Reddit

Explanation: We’re treating “cabin” is a variable.

The integral of 1/x is loge(x).

However, since it’s integration, you’ve got to add a constant.

So ∫(1/cabin) = loge(cabin) + c, or “a log cabin plus the sea.”

JOKE #6

Q: Why did the chicken cross the road?

 

A: The answer is trivial and is left as an exercise for the reader.

Source: Reddit

Explanation: 

This is a common refrain found in mathematics texts.

It is widely considered a cruel professor’s malicious cop-out by particularly lazy students of mathematics.

 

JOKE #7

Q: How many mathematicians does it take to change a light bulb?

A: One: she gives it to three physicists, thus reducing it to a problem that has already been solved.

Source: MathOverflow

Explanation: Mathematicians try to reduce an unsolved problem to a form which has already been solved before. Once that’s done it’s considered complete, as the previously derived formula is taken as written.

There are many light bulb jokes about physicists. Finding several are left as an exercises to the reader.

JOKE #8

A physicist, a biologist, and a mathematician are sitting on a bench across from a house. They watch as two people go into the house, and then a little later, three people walk out.

The physicist says, “The initial measurement was incorrect.”

The biologist says, “They must have reproduced.”

And the mathematician says, “If exactly one person enters that house, it will be empty.”

Source: Reddit

 

JOKE #9

The B in Benoît B. Mandelbrot stand for Benoît B. Mandelbrot.

Source: Reddit

Explanation: The Mandelbrot set is a fractal. As you zoom in on portions of the fractal, you ee a self replicating image. So the infinite paradox in the joke is a shoutout to the problem. Here’s an example of what we’re talking about with a gif of zooming in on a point of infinite complexity in the Mandelbrot set:

Mandelbrot set

 

JOKE #10

 

Infinitely many mathematicians walk into a bar. The first says, “I’ll have a beer.” The second says, “I’ll have half a beer.” The third says, “I’ll have a quarter of a beer.” The barman pulls out just two beers. The mathematicians are all like, “That’s all you’re giving us? How drunk do you expect us to get on that?” The bartender says, “Come on guys. Know your limits.”

 

Source: Reddit

 

Explanation: This is a reference to a converging infinite series. 

The limit of this:

from n=0 to ∞   Σ (1/2n) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …  = 2 

 

JOKE #11

An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third orders a third of a beer. The bartender bellows, “Get the hell out of here, are you trying to ruin me?”

Source: Reddit

Explanation: This is another hilarious reference to an infinite series — the harmonic series — which is not convergent but instead diverges to infinity. 

from n=1 to ∞   Σ (1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …  =  

See a full explanation in this slideshow >

 

JOKE #12

When a statistician passes the airport security check, they discover a bomb in his bag. He explains. “Statistics shows that the probability of a bomb being on an airplane is 1/1000. However, the chance that there are two bombs at one plane is 1/1000000. So, I am much safer…”

Source: Andrej and Elena Cherkaev

Explanation: While this statistician is correct that the joint probability there are two bombs on a plane is 1/1,000,000, his bringing one on doesn’t change the prior probability that there is still a 1/1,000 chance of his flight being the one with a random bomb.

Also, the TSA is not known for its logical prowess.

 

JOKE #13

What do you get when you cross a mosquito with a mountain climber?

Nothing. You can’t cross a vector and a scalar.

Source: Reddit

Explanation: A vector is a mathematical entity with both magnitude and direction in any number of dimensions. You can take the cross product of two vectors to form a new vector, similar to multiplication of real numbers.

A scalar is just a real number, a directionless magnitude in vector space. You cannot take a cross product of a scalar and a vector.

Hence, you can’t cross a mosquito (disease vector) and a mountain climber (a scalar).

That is one terrible pun. I’m sorry.

Read more: http://www.businessinsider.com/13-math-jokes-that-every-mathematician-finds-absolutely-hilarious-2013-5#ixzz2i5m8Kd00