我自己读的第一本数学分析教材是这本《A Course of Pure Mathematics》，由数学家 G.H.Hardy 在一百多年前所写的教材。
当年我阅读这本书的时候，还是2005年的时候，对数学家的了解也不够，对 G.H.Hardy 本人也没有足够的了解，后来随着学习的深入，我才发现 G.H.Hardy（1877–1947）是20世纪最具影响力的数学家之一，以其在数论和分析学领域的贡献而闻名。他长期任教于剑桥大学，培养了许多杰出的数学家。哈代的著作以清晰和严谨著称，除了《纯数学教程》外，他还与李特尔伍德（J.E. Littlewood）合作发表了大量重要论文，并与印度数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan）建立了深厚的学术友谊。哈代的数学哲学强调纯粹数学的美学价值，他认为数学的真正意义在于其内在的优雅和逻辑的完美。《纯数学教程》不仅是一本教科书，更是一部数学思想的经典表达。它适合那些希望深入理解分析学基础的读者，无论是初学者还是有一定数学背景的学生，都能从中受益匪浅。
《纯数学教程》这本书以其严谨的逻辑结构、清晰的表述和对数学基础的深刻洞察而闻名，长期以来被视为分析学领域的标准教材之一。数学家哈代在书中系统地介绍了实数、函数、极限、连续性、微分和积分等核心概念，为读者奠定了坚实的数学基础。
主要章节与内容概述
- 实数变量（Real Variables）
第一章深入探讨了实数的性质，包括有理数与无理数的定义、实数连续性的概念以及戴德金分割（Dedekind’s Theorem）。哈代通过几何直观和严格的数学论证，展示了实数系统的完备性，并引入了极限和收敛的基本思想。 - 函数（Functions of Real Variables）
第二章讨论了函数的定义及其图形表示，包括多项式函数和有理函数。哈代详细解释了函数的连续性、单调性以及极值问题，并通过大量例子帮助读者理解函数的多样性和复杂性。 - 复数（Complex Numbers）
第三章介绍了复数的基本理论，包括复数的代数运算、几何表示（阿冈图）和德摩弗定理（De Moivre’s Theorem）。这一章为后续分析复数函数提供了必要的工具。 - 极限（Limits of Functions of a Positive Integral Variable）
第四章专注于数列极限的理论，包括收敛的定义、极限的性质以及无穷级数的求和。哈代通过严格的证明和丰富的例子，帮助读者掌握极限的核心思想。 - 连续函数的极限（Limits of Functions of a Continuous Variable）
第五章将极限的概念推广到连续函数，讨论了函数的连续性、间断点以及一致连续性的重要性。这一章还包含了海涅-博雷尔定理（Heine-Borel Theorem）的证明。 - 导数与微分（Derivatives and Integrals）
第六章和第七章分别介绍了微分和积分的基本理论。哈代详细阐述了导数的定义、求导法则以及微分的应用，随后转向积分的概念，包括黎曼积分的定义和基本性质。 - 对数与指数函数（The Logarithmic and Exponential Functions）
第八章专门讨论了对数函数和指数函数的性质，包括它们的级数展开和函数方程。哈代还涉及了三角函数和双曲函数，展示了这些函数在分析中的重要性。 - 附录（Appendices）
书的最后部分包含四个附录，分别讨论了方程的根的存在性、双重极限问题、圆函数的定义以及分析和几何中的无穷概念。这些附录为读者提供了更深入的数学背景和补充材料。
以第125小节的“中值定理”（The Mean Value Theorem）的内容，总结本书的特色：
- 以核心定理为纲：贯穿几何直观、严格证明与应用延伸；
- 注重逻辑严谨性：同时通过例题和注释培养读者的数学思维；
- 平衡经典与现代：既传承传统内容，又融入当时的最新观点，即使在一百年之后，这些观点依然有其深刻的意义。
1. 严谨的逻辑推导
- 定理陈述清晰：哈代明确提出了中值定理的核心内容：若函数 在区间 内可导，则存在 使得
- 几何直观与严格证明结合：他先用几何意义（曲线弦与切线的平行性）直观解释定理，随后通过构造辅助函数并应用罗尔定理（Theorem B of §121）给出严格的解析证明，体现了从直观到形式化的过渡。参考 Fig.43。
2. 强调数学思想而非技巧
- 核心地位：哈代称中值定理为“微分学中最重要的定理”，凸显其核心地位，而非仅将其视为工具。
- 推广形式：定理被进一步表述为 便于后续应用（如泰勒展开的铺垫）。
3. 丰富的应用与延伸
- 例题引导思考：章节末尾的习题设计巧妙，例如：
- 验证定理对 和 的成立性；
- 利用中值定理证明函数在导数为零的区间内为常数；
- 推广到复合函数求导法则（链式法则）的证明。
4. 语言风格与教学理念
- 简洁而深刻：哈代的叙述简洁直接，但每一句话都蕴含关键信息。例如，他指出定理的几何意义“无需严格证明”，但依然给出完整解析证明，体现对严谨性的追求。
- 启发式教学：通过问题引导读者自主探索（如习题中要求验证特殊情形），符合他倡导的“数学是创造性活动”的理念。题目中大量来自 Math. Trip 的习题，很有特点。
ZHANG RONG 