点击率(CTR)融入物品相似度

假设物品A与其余三个物品1,2,3的相似度分别是S_{A1}, S_{A2}, S_{A3}.物品1,2,3的点击率(click through rate)分别是CTR(1), CTR(2), CTR(3). 此刻如果物品3的点击率过低,那么需要把第3个物品与物品A的相似度降低,使得第4个物品与A的相似度S_{A4}>S_{A3},从而使得第4个物品能够取代第3个物品。

定义物品A与物品1,2,3的相似度如下:

S_{Aj}^{'}(x)=\frac{S_{Aj}\cdot(x+CTR(j))}{x+(\sum_{k=1}^{3}S_{Ak}\cdot CTR(k))/(\sum_{k=1}^{3}S_{Ak})} \text{ for all }1\leq j\leq 3.

其中x\geq 0是待定的系数。下面就来研究新的相似度满足的性质。

性质1. 相似度的总和没有变化。i.e. \sum_{j=1}^{3}S_{Aj}^{'}(x)=\sum_{j=1}^{3}S_{Aj}对任何的实数x\geq 0都成立。

性质2. 如果CTR(1)=\max_{1\leq k\leq 3}CTR(k), i.e. 第1个物品的点击率最高,那么

(i) S_{A1}^{'}(x)\geq S_{A1}对于任何x\geq 0都成立。

(ii) S_{A1}^{'}(x)对于x是非增函数,i.e. 导数DS_{A1}^{'}(x)\leq 0.

(iii) \lim_{x\rightarrow \infty}S_{A1}^{'}(x)=S_{A1}.换句话说,随着x的增大,S_{A1}^{'}(x)是递减趋向于原始的相似度S_{A1}.

性质3. 如果第3个物品的点击率最低,i.e. CTR(3)=\min_{1\leq k\leq 3} CTR(k), 那么

(i) S_{A3}^{'}(x)\leq S_{A3}对于任何x\geq 0都成立。

(ii) S_{A3}^{'}(x)对于x是非减函数,i.e. 导数DS_{A3}^{'}(x)\geq 0.

(iii) \lim_{x\rightarrow \infty}S_{A3}^{'}(x)=S_{A3}.换句话说,随着x的增大,S_{A3}^{'}(x)逐渐增大趋向于原始的相似度S_{A3}.

(iv) 特别的,如果CTR(3)=0,那么S_{A3}^{'}(0)=0, 通过选择合适的x_{0}\geq 0, 可以使得S_{A3}^{'}(x_{0})<S_{A4}.在这里的S_{A4}指的是物品A与第4个物品的相似度。

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