《Berkeley Problems in Mathematics》（加州大学伯克利分校数学问题集） 就是这样一套备受推崇的经典著作，它被广泛认为是系统掌握大学数学核心科目、并达到研究生入学水平（尤其是博士资格考水平）的绝佳习题书。

这本书并非传统的教科书，而是一本问题集与解答。它系统地汇编了美国顶尖学府加州大学伯克利分校（UC Berkeley）数学系的研究生博士资格考试的真题（Preliminary Exams）。这些考试是博士生在进入专业研究前必须通过的核心综合测试，涵盖了现代数学的基石。时间跨度：收录了从1977年到大约1997年二十年间的大量考题。编排方式：全书分为三大部分：

• 第一部分（Part I: Problems）：按学科分门别类地呈现原始问题。
• 第二部分（Part II: Solutions）：提供了相应问题的详细解答。
• 第三部分（Part III: Appendices）：包含有用的附录，如考试大纲、历年通过分数线和参考文献。

该书内容极其系统，几乎涵盖了大学数学本科高年级及研究生初级阶段的所有核心领域，构成了一个完整的知识体系：

数学分析（Real Analysis）：涵盖了极限、连续性、微分与积分、级数、函数序列等核心主题，难度远超普通本科教材。

多元微积分（Multivariable Calculus）：涉及高维空间的极限、微分（如雅可比矩阵）和积分（如散度定理）。

微分方程（Differential Equations）：包括一阶、二阶、高阶方程以及方程组。

度量空间与拓扑（Metric Spaces）：引入了现代分析的基础，包括一般拓扑、紧致性、完备性和不动点定理。

复分析（Complex Analysis）：这是本书的强项之一，内容非常深入，包括柯西定理、留数理论、共形映射、解析延拓等。

抽象代数（Algebra）：涵盖了群、环、域、模等核心概念，题目侧重于对结构的理解和证明，而非简单计算。

线性代数（Linear Algebra）：不仅限于矩阵运算，更深入到了线性变换、特征值、若尔当标准型、内积空间等理论核心。

伯克利的博士资格考题以深刻、灵活和综合著称。它们不是为了检验死记硬背，而是为了测试对数学概念的真正理解、逻辑推理能力和技巧的综合运用。解决这些问题需要你融会贯通各个知识点。通过按科目分类的问题，你可以清晰地看到每个领域的核心主题和难点是什么。就像一份“考纲”，为你指明了学习的方向和需要达到的深度。

这是本书最宝贵的部分。它不仅给出答案，更提供了思路和严谨的证明过程。通过学习解答，你可以模仿顶尖院校的数学家和学生是如何思考和分析问题的，这是自学过程中极其宝贵的资源。独立成功应对这本书中的问题，意味着你的数学水平已经达到了北美顶尖研究生院博士项目的入门要求。这是衡量你是否掌握大学数学核心精华的一个非常客观的标准。

这本书适合人群 准备攻读数学研究生（尤其是北美名校）的学生，这是备考博士资格考的“圣经”级教材，通过这本书可以深化学生对核心课程（如实变函数、复变函数、抽象代数）的理解，挑战更高难度的综合问题。如果自学者希望系统性地检验和提升自己的数学水平，构建一个完整且坚实的数学知识体系。

使用建议强调三遍：不要直接看答案，不要直接看答案，不要直接看答案！尝试独立解决问题，即使花费数小时甚至数天。这个挣扎思考的过程是能力提升的关键。将此书作为主流经典教科书（如《Rudin数学分析原理》、《Ahlfors复分析》、《Herstein代数学》）的配套习题集使用。用教科书学习理论，用此书挑战和应用理论。准备考试的时候根据自己的薄弱环节，选择相应的专题进行集中练习。

《Berkeley Problems in Mathematics》 不仅仅是一本习题集，它是一张通往高级数学殿堂的地图和一套严格的训练方案。通过系统地钻研它，你不仅能掌握各科目的核心内容，更能培养出真正的数学思维和解决问题的能力，从而达到一个非常高的数学水平。

一条不同寻常的路

林远从小就是家里公认的“最聪明的孩子”。在他还没上小学的时候，就能背诵九九乘法表，还会用自己的方法推演出新的算式。到了小学阶段，别的孩子还在为分数加减发愁，他已经能独立完成竞赛题，甚至偶尔能点破老师课堂上没来得及讲解的思路。每次考试，他几乎都稳居年级第一，常常让老师惊叹：“这孩子简直是为数学而生。”同学们佩服，他自己却觉得这不过是“顺手而为”。

家里人更是把他视作骄傲的象征。亲戚聚会时，总有人说：“林远以后准能成大器，说不定能成为科学家。”父母听在耳里，脸上满是掩不住的笑意。他们开始把几乎所有的期望都投注在他身上：买来各种奥数书籍、请最好的老师、鼓励他参加竞赛，生怕耽误了这份难得的天赋。对他们来说，林远不是普通的孩子，而是注定要攀登学术高峰的人。

于是，当初三那年，一个特殊的机会出现在眼前时，全家人都觉得这就是命运的召唤：一条不同寻常的培养路线，本硕博连读的项目，从本科环节直通博士，培养真正的学术先锋。它看似是一条捷径，仿佛只要踏上，就能走向辉煌的未来。可林远心底隐约明白，这条路并不轻松，它或许比任何道路都要漫长、孤独。

跨过层层关卡

林远的成长之路，从来都不是一帆风顺的。虽然他自小聪慧，但要想进入这条特殊的培养路径，仍需经历无数次艰苦的筛选与考试。从最初的零试到一试、二试，每一场考试都像是一道高墙，逼迫他不断超越自己。题目常常涉及大学甚至研究生阶段的内容，对一个中学生来说，无异于直面深不可测的深海。

为了准备这些考试，他几乎把整个青春都押上了。别人在假期里外出游玩时，他守在桌前推演习题；别人晚上轻松入睡时，他还在台灯下反复检查一份证明。无数次想要放弃的念头，最后都被咬牙坚持取代。每一次过关，都让他多了一分自信，却也多了一分疲惫。最终，他凭借过人的毅力和天赋，顺利跨过了一道又一道关卡。那一刻，当名单公布时，他的名字赫然在列，林远感到胸口涌起一股从未有过的成就感。多年的努力，终于换来了进入这条特殊道路的资格。他知道，这只是开始，未来还有更难的挑战在等着他。但至少此刻，他证明了自己——他成功闯进了那个无数人梦寐以求、却少有人真正到达的地方。

八年的长跑

进入这个项目后，林远才真正意识到，这条道路并不像他曾经想象的那样光鲜亮丽，而是充满了无尽的艰辛与挑战。一开始，他以为自己那份“与生俱来的聪明”足以让他轻松应对。但很快，他就发现，自己站在了一个全新的高度，这个高度的挑战远远超过了他在高中时所接触到的一切。在学习本专业的时候不能转专业，没有本科毕业证书，没有学士学位，只有八年连贯甚至十年以上的专业训练，这让他感到从一开始就被迫走上了一条无法回头的路。

每天的生活几乎都在高强度的学术训练中度过。那些看似枯燥的数学公式、繁琐的物理定律，都成了他日常的一部分。与同龄人不同，林远并没有享受过普通大学生的校园生活，去参加社团，去和朋友们欢笑谈天，或者去体验什么新鲜的事物。相反，当别人刚刚进入大学校园，适应大学生活时，他已经开始啃博士级别的教材。那些艰深的数学公式、需要几个月甚至几年的思考才能消化的物理问题，都像沉重的枷锁，紧紧压在他的肩上。

刚开始，他还是充满了信心，觉得这些只是挑战，自己总能一一突破。但随着时间推移，挑战越来越大，问题越来越复杂，每当他试图攻克一个难题时，背后却又是另一个更难的课题等待着。渐渐地，他发现自己越来越陷入深深的焦虑之中。那些曾经轻松应对的数学题目，如今却让他绞尽脑汁，常常在一题上花费几天甚至几周的时间。脑海中不断冒出的疑问和不安也让他越来越迷茫：如果自己一直跟不上进度，会怎么办？

这条路没有回头的余地，一旦走上了，就无法中途退出。林远知道，如果有一天他决定放弃，这个决定意味着什么——意味着不再有本科毕业证书，意味着自己将失去一个正常的学历路径，甚至连最基本的学位证书都无法得到。对于外界来说，这无疑是一道巨大的门槛，意味着他的学历将被“卡住”，再也无法跳出这条限制性的轨道。

每当想到这一点，林远的心就会沉重一分，夜深人静时，尤其如此。他躺在床上，翻来覆去，脑海里不断回响着自己担心的声音：“如果有一天，我真的跟不上进度呢？如果自己在这个过程中失败，那该怎么办？”他害怕失去机会，害怕走到中途才发现自己不适合这条路，却又无法退出。就这样，每一夜的辗转反侧，都让他陷入更深的迷茫。

他开始怀疑自己是否做出了正确的选择。每当看见其他同龄人轻松的生活和大学生活的多彩，心里不禁泛起一丝苦涩的落寞。虽然他嘴上说自己不后悔选择这条路，但内心的焦虑和孤独感却在不断累积，让他越来越无法平静地面对这段极度艰辛的成长过程。尽管如此，林远明白，走上这条路后，就没有退路。无论如何，他都只能往前走。每当他鼓起勇气翻开新的教材，继续攻克难题时，他就提醒自己：这是自己当初的选择，是父母和家人对他的期望，是他自己心底未曾放弃的信念。他不能辜负这一切，尽管有时候，他真的希望自己能停下来，呼吸一下外面的世界。

高压下的青春

在学校里面长时间的高强度学习数学，渐渐侵蚀了林远最初的热情。刚进入项目时，他像是一团燃烧的火焰，充满激情地钻研难题。一道复杂的题目，他可以兴奋地连续熬上几个通宵，直到把它彻底攻克为止。那时候的他相信，只要付出足够的努力，就一定能突破眼前的障碍。

然而，随着岁月的推移，这种激情逐渐被现实的压力所取代。每一天的日程都被安排得满满当当，教材永远厚不完，证明题永远解不完。他开始发现，失败变得越来越频繁，而每一次失败，都会像一块石头一样压在心头，让他难以喘息。焦虑、倦怠、甚至自我怀疑轮番涌上心头。他时常会在夜里盯着笔记本发呆，心里不断追问自己：“我真的适合走这条路吗？我真的还能坚持下去吗？”与此同时，他的青春似乎被剥夺了正常的色彩。同龄人正活跃在社团里，和朋友们一起排练节目，或者在运动场上挥汗如雨；有的同学开始恋爱，分享着校园里的浪漫故事。而林远，却几乎与这些完全绝缘。他的生活只有课堂、题目、考试，仿佛置身于一个与外界隔绝的空间。

这种疏离感随着时间推移越来越强烈。他在食堂里看着同龄人三三两两结伴谈笑，自己却只能默默端着餐盘，找个角落独自用餐。周末的时候，别人可以外出放松，他却要埋头在书桌前对付那一页页复杂的公式。久而久之，他开始觉得自己仿佛被锁进了一条只能前进的单行道，没有退路，也没有选择。孤独感在心底滋生，像阴影一样挥之不去。林远明白，这条路注定艰难，但他没想到，它会让自己的青春如此沉重。

家庭的期待

父母对这条道路抱有极高的期待。对他们来说，这不仅仅是一条培养路线，而是象征着荣耀、未来和前途的“金色通道”。他们常常在亲友面前骄傲地提起林远，说：“我们家孩子，已经走上了最顶尖的道路，将来一定会有大作为。”这些话让林远一开始也充满了自豪，觉得自己是被选中的幸运儿，肩上承载着家族的希望和梦想。

起初，他把父母的期待当作动力。每次遇到难题，他都会告诉自己：“不能辜负他们的心血和等待。”可是，随着时间一天天过去，压力却像积雪一样越压越厚。父母眼神中的殷切关切，渐渐不再只是温暖的鼓励，而是一种无形的枷锁。他开始明白，自己背负的不只是知识的重量，还有来自家庭的目光与社会的关注。有时，林远会在夜深人静时想象一个最糟糕的场景：如果自己有一天真的坚持不下去了，会怎样？父母会是什么反应？那份夹杂着担忧与失望的眼神，光是想象就让他心头发紧。他害怕看到父亲沉默的背影，害怕母亲无声的叹息。他知道，他们不仅会心疼，更会遗憾——遗憾这么多年的付出和牺牲，最终化为泡影。

更可怕的是，这条道路没有退路。一旦退出，就意味着一无所有。他没有本科文凭，没有学位证书，整个青春的努力都会瞬间化为乌有。别人至少还能拿到一个完整的学历，重新选择人生的方向，而他却会被卡在一个尴尬的境地里，连最基本的社会认可都失去了。那种“前有险峰，后无退路”的窒息感，让他常常夜不能寐。他开始越来越担心，自己会不会真的一事无成。小时候被称赞为“最聪明的孩子”，长大后却沦落到什么都没得到，这样的落差简直是他无法想象的囧境。曾经父母眼里闪烁的光芒，如今却成了压在心头的一块巨石，让他无论如何都无法轻松呼吸。

门槛与不确定性

项目里有一道很难逾越的关卡：进入博士阶段之前，必须通过四、五门相当于顶尖名校博士一年级的资格考试。这些考试的内容异常严苛，涉及的知识面广泛且深刻，从抽象的数学理论到复杂的物理模型，无一不是考验学术深度和思维能力的极限。对于一些同学来说，这些考试几乎成为了无法跨越的鸿沟。即便有人为此付出了两三年的努力，最终依旧倒在了这道门槛前，未能迈入博士阶段。

林远明白，即使自己现在的成绩再好，依旧不能保证一定能够顺利通过这一关。他开始深刻体会到，自己并不是站在一条宽广的路上，而是沿着一条狭窄的悬崖边缘前进。每一步，都充满了不确定性和风险。每当他看到其他优秀的同学在考试中受挫，心里总是泛起一丝不安——如果轮到自己，又会是怎样的结果呢？他有时会想，万一自己努力了这么多年，最后还是无法通过这些资格考试，那该怎么办？

即便顺利通过，他心里知道，这条路的尽头也并非坦途。在全球范围内，能够在顶尖学术岗位上站稳脚跟的学者寥寥无几。那些真正站在学术巅峰的人，是经历了无数次失败、竞争和挑战才最终脱颖而出的。林远清楚地知道，自己所追求的“顶尖学术岗位”，并不像表面看起来那样触手可及。每年从世界各地毕业的优秀学者不计其数，但真正能找到合适位置的，却屈指可数。多年来的高强度训练、日复一日的孤独与压迫，最终能换来什么？他时常会在夜里想象，若干年后，自己会是幸运者之一，跻身国际学术前沿，取得骄人的成绩吗？还是最终沦为大多数人的“反面教材”，多年的坚持与付出，最终换来的只是一纸毫无含金量的证书，甚至是在一个普通办公室里与同事谈笑的日常，追求的梦与现实之间的巨大落差让他深感迷茫。

在这个过程中，林远渐渐感受到，自己越来越被困在一个无法逃脱的圈套里——如果不能突破这个关卡，八年的高强度训练和所有牺牲将毫无意义。而即使成功通过，最终得到的又能是什么呢？也许是一个某个高校中的办公室，也许是一个数学讲座上的站台，但也有可能，这一切都会是短暂的，最终会和他设想中的辉煌不尽相符。想到这些，林远的内心像是被重重的压力压得透不过气。他意识到，这条路并非一片光明，而是充满了荆棘与未知，永远没有终点的平坦。每当他闭上眼睛，脑海里浮现的，不是理想中的学术巅峰，而是不断扩大的迷雾，迷失在其中的是他自己。

选择的代价

现实的人生

林远的人生，像是一艘已经驶离港口的巨轮。他从少年起便登上这艘船，没有回头的余地。每天面对的，是堆积如山的数学教材与物理公式；每一次考试，都如同悬在头顶的利剑，提醒他必须前进，绝不能掉队。他没有本科文凭作为退路，没有转专业的自由，唯一的选择就是咬牙坚持。孤独与焦虑像暗流一样伴随着他，夜晚辗转反侧，思索的不是梦想，而是“万一失败了怎么办”。他的青春被锁进了狭窄的轨道，生活中几乎没有音乐、球场、社团、朋友的欢笑，只有长夜灯下的演算纸和沉重的心跳。

平行的人生

而在另一个可能的人生中，林远会走上一条再普通不过的路。他正常参加高考，像无数同龄人一样，挥汗如雨地复习，紧张又兴奋地等待成绩。进入大学后，他也许仍然选择数学，但学习节奏会循序渐进，不会一开始就推到博士高度。他可以参加社团，打篮球，谈一场懵懂的恋爱，在食堂与同学们热烈讨论哪门课老师最有趣。即便哪天发现数学并不是自己一生的方向，他仍能尝试转专业，或者在毕业后选择去金融、互联网、教育行业发展。即便不是顶尖学者，他也至少能拿到一张本科文凭，拥有一条清晰、可调整的人生路径。

对照与疑问

一边是艰难、孤独却直指顶峰的巨轮；一边是普通、平稳却充满选择的长河。林远知道，自己已经在巨轮上前行，无法返回彼岸。但在深夜，他常常会幻想：如果真能走上那条更宽阔的道路，是不是会活得更轻松，也更快乐？

尾声

最后，林远仍在路上。夜色沉沉，书桌上的灯影把他的身影拉得很长。厚重的书本摊开在眼前，公式与符号像无声的海浪，一波一波涌来。他的手指在纸上颤动，笔尖却依旧固执地写下一个又一个推演。

窗外偶尔传来校园的笑声，远远地，与他无关。他抬起头，看着那盏孤独的灯光，眼里闪过一丝倔强。

前方是什么，他并不知道。巨轮还在航行，风浪未停。

（故事纯属虚构，如有雷同纯属巧合）

天衣岂无缝，匠心剪接成。

浑然归一体，广邃妙绝伦。

造化爱几何，四力纤维能。

千古存心事，欧高黎嘉陈。

这首诗是1975年杨振宁写给陈省身的。最后一句“欧高黎嘉陈”中，杨振宁把陈省身和数学史上的欧几里得、高斯、黎曼和嘉当并列，称他为数学史几何学上的第五人。而高斯、黎曼均属于 18 世纪的德国数学家，在数学史上有着不可磨灭的贡献。

德国的数学史

德国的数学发展历史悠久且贡献卓著，尤其在近代和现代数学中占据核心地位。17世纪，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）独立发明了微积分（与牛顿同时期），并发展了二进制系统，对数学分析、逻辑学和计算理论影响深远。18至19世纪，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在数论、代数、几何和分析等领域做出奠基性工作，如证明代数基本定理、发展非欧几何理论（与波尔约和罗巴切夫斯基并列）以及最小二乘法。19世纪下半叶，乔治·康托尔（Georg Cantor）创立集合论，引入无穷集合和超穷数概念，彻底改变了数学的基础。大卫·希尔伯特（David Hilbert）在20世纪初提出23个数学问题，推动了现代数学多个分支的发展，并在公理化体系和数学基础领域贡献显著。哥廷根学派成为全球数学研究中心，培养了埃米·诺特（Emmy Noether）等杰出学者，其抽象代数和守恒定理工作影响深远。德国数学以严谨性、抽象性和理论深度著称，为全球数学教育、研究及应用奠定了坚实基础。

16世纪前的德国数学

17世纪以前的德国数学发展虽不如同时期的意大利或法国那样耀眼，但仍有一批重要数学家为欧洲数学的复兴与传播做出了贡献。其中，雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436–1476） 是文艺复兴时期的关键人物。他本名约翰内斯·米勒（Johannes Müller），因出生于柯尼斯堡（Königsberg）而取拉丁化别名“雷格蒙塔努斯”。他系统翻译并注释了希腊数学著作，尤其是托勒密的《天球论》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，推动了三角学的独立发展。他撰写的《论各种三角形》（De triangulis omnimodis）是欧洲第一部系统的三角学专著，首次明确将三角学作为独立学科而非天文学附庸，并改进了正弦表的计算精度，为后世导航和天文计算提供了基础工具。

16世纪的克里斯托夫·鲁道夫（Christoph Rudolf，1499–1545） 在代数学领域有所建树。他的代表作《代数术》（Coss）系统介绍了代数符号和方程求解方法，推动了德国代数学的普及。书中首次使用根号符号（√）表示平方根，这一符号后来被广泛采纳并沿用至今。同时，米夏埃尔·斯蒂费尔（Michael Stifel，1487–1567） 进一步发展了代数和数论。他在《整数算术》（Arithmetica integra）中研究了二项式系数、算术序列及无理数理论，并尝试用几何方法证明代数命题，为符号代数的形成奠定了基础。斯蒂费尔还曾与马丁·路德合作，将数学思想应用于宗教改革时期的文献研究。

亚当·里斯（Adam Riese，1492–1559） 虽非理论数学家，却以实用算术教育影响了德国数学普及。他编写的算术教科书《计算艺术》（Rechenkunst）推广了印度-阿拉伯数字计算法，取代了传统的算盘计算，成为商人和学生的重要工具书，被誉为“德国计算大师”。这一时期德国数学的特点是从实用算术向理论学科过渡，并为17世纪莱布尼茨等人的重大突破奠定了基础。

17世纪的德国数学

17世纪是德国数学发展的重要时期，涌现出多位杰出数学家，为现代数学奠定了基础。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）是这一时期最著名的代表人物，他独立于牛顿发明了微积分，并发展了二进制系统，对数学和哲学产生了深远影响。莱布尼茨在符号表示方面做出了重要贡献，引入了积分符号∫和微分符号d，这些符号至今仍在广泛使用。他还研究了无穷级数、微分方程和组合数学，为后续数学发展提供了重要工具。莱布尼茨提出了符号逻辑的初步思想，这些贡献对后世数学和计算机科学产生了深远影响。他的工作尤其注重符号化与形式化，为现代数学语言奠定了基础。

另一位重要数学家是约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler），虽然他主要活跃于16世纪末至17世纪初，但其工作对17世纪数学发展具有持续影响。开普勒提出了行星运动三大定律，这些定律不仅推动了天文学发展，还促进了数学中圆锥曲线和积分思想的应用。他在《葡萄酒桶的立体几何》中研究了旋转体的体积计算，为微积分的诞生提供了前期准备。

克里斯托夫·克拉维乌斯（Christoph Clavius）也是17世纪初期德国数学的重要人物，他主要贡献在于历法改革和数学教育。克拉维乌斯参与了格里高利历的制定，并在其数学著作中系统整理了欧几里得几何学，推动了数学在德国的传播和教育规范化。

18世纪的德国数学

德国数学在17世纪的表现，体现了从文艺复兴到科学革命的过渡特征，强调数学与自然科学的紧密结合，为18世纪数学的蓬勃发展奠定了坚实基础，18世纪德国数学的发展涌现了多位杰出人物。

莱布尼茨的学生克里斯蒂安·冯·沃尔夫（Christian von Wolff）在推广莱布尼茨的数学和哲学思想方面发挥了重要作用，他通过系统化的教材和著作，使这些理论在德语世界得到广泛传播，促进了数学教育的发展。

约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）也在该时期贡献显著，他证明了π是无理数，并在双曲函数和非欧几何的早期探索中取得了进展，为19世纪数学的革命性发展埋下了伏笔。

总体而言，18世纪德国数学以莱布尼茨的符号化方法和欧拉的分析学成就为核心，融合了理论创新与教育推广，为现代数学的体系化奠定了坚实基础。

19世纪的德国数学

卡尔·弗里德里希·高斯

19世纪的德国数学界涌现了众多杰出数学家，他们的贡献奠定了现代数学的基石。卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777–1855） 被誉为“数学王子”，他在数论、代数、分析和几何等多个领域均有深远影响。高斯提出了正态分布理论，发展了最小二乘法，并发表了《算术研究》，系统阐述了模运算和二次互反律，为现代数论奠定了基础。此外，他在非欧几何领域的研究虽未及时公开，但后来被证实对几何学发展具有革命性意义。他的贡献几乎遍及所有数学分支，并在物理学、天文学和大地测量学等领域有深远影响。

数论领域的奠基性工作：

高斯在1801年出版的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中系统性地构建了现代数论的基础。他引入了同余理论（符号“≡”至今仍被使用），深入研究了二次剩余、二次互反律（并给出了第一个严格证明），并提出了高斯整数（复整数）的概念，推动了代数数论的发展。他还证明了费马多边形数定理，并对素数分布提出了猜想（后来成为素数定理）。

代数与方程论：

高斯在代数学中的核心贡献是证明了代数基本定理（每个复系数多项式都有至少一个复根），并给出了多种证明方法。他还研究了分圆方程（cyclotomic equations），即形如 xn=1x^n = 1xn=1
的方程，其工作为伽罗瓦理论的出现奠定了基础。在文档中提到的“高斯的解决分圆方程的工作”正是指他在这一领域的研究。

几何学的革新：

高斯是非欧几何的早期探索者之一（尽管未公开发表），他提出了内蕴几何的概念，发展了曲面理论（如高斯曲率），并建立了微分几何的基础。他的工作直接影响了几何学的现代化进程。

分析学与数学物理：

高斯在分析学中贡献了高斯积分（正态分布相关的积分）、超几何级数研究，以及数值计算方法（如高斯消元法、高斯-赛德尔迭代）。他还与威廉·韦伯合作研究了电磁学，提出了高斯单位制，并发表了电磁学中的高斯定律。

天文学与大地测量学：

高斯发展了行星轨道计算的最小二乘法（用于预测谷神星的位置），并提出了高斯分布（正态分布），这一分布在概率论和统计学中成为核心工具。在大地测量学中，他研究了曲面的映射问题，提出了高斯投影法。

高斯的数学思想以严谨、深刻和前瞻性著称，他的许多工作（如非欧几何）在当时未被完全理解，但后来成为现代数学的基石。他追求完美，主张“少而精”，其著作和笔记至今仍在激励数学家探索未知领域。

伯恩哈德·黎曼

伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826－1866） 以其对几何和分析的贡献闻名。他引入了黎曼几何，通过黎曼曲面的概念复分析推向新高度，并提出了黎曼积分和黎曼猜想，后者至今仍是数论中未解决的核心问题。他的工作为爱因斯坦的广义相对论提供了数学工具。他的工作在数学和物理学多个领域产生了深远的影响。黎曼出生于汉诺威王国的一个贫困牧师家庭，早年显示出非凡的数学天赋，在哥廷根大学和柏林大学学习期间受到高斯、狄利克雷等数学巨匠的指导。他的学术生涯虽短暂，却奠定了现代数学中多个重要分支的基础。

黎曼最著名的贡献之一是黎曼几何，他在1854年的就职演讲《论几何学基础中的假设》中提出了弯曲空间中的几何概念，推广了欧几里得几何学。他引入的黎曼度量和曲率张量为后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学框架，彻底改变了人们对空间、时间和引力的理解。黎曼几何不仅成为微分几何的核心，也在现代理论物理中具有不可替代的地位。

在复分析领域，黎曼提出了黎曼曲面的概念，将复变函数的研究从平面推广到多值函数和复杂拓扑结构上。他著名的黎映射定理（黎曼映射定理）表明任何单连通开集（非全平面）都可以共形映射到单位圆盘，这一结果在几何函数论中具有根本重要性。此外，黎曼在椭圆函数和阿贝尔函数方面也有深刻的工作。

数论中，黎曼在1859年的论文《论小于给定数值的素数个数》中引入了黎曼ζ函数，并提出了著名的黎曼猜想（Riemann Hypothesis），即ζ函数的所有非平凡零点的实部均为1/2。这一猜想至今仍是数学中未解决的最重要问题之一，其证明将极大地推动素数分布理论的发展。

黎曼还对积分理论做出了革新，提出了黎曼积分的定义，为后来勒贝格积分和其他更一般的积分理论奠定了基础。在实分析中，他研究了傅里叶级数的收敛性问题，并给出了黎曼可积性的条件。

在数学物理方面，黎曼研究了声波传播、流体动力学和电磁学等问题，他关于冲击波的工作为偏微分方程理论提供了新工具。他提出的黎曼问题在双曲型守恒律中仍是研究的热点。黎曼的思想极具前瞻性和深度，他的工作不仅推动了纯数学的发展，也为现代物理学提供了关键工具。尽管他生命短暂（仅享年39岁），但其贡献跨越了几何、分析、数论和物理等多个领域，使他成为19世纪最伟大的数学家之一。

利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823 – 1891） 是代数和数论的重要人物，他主张“上帝创造了整数，其余皆是人的工作”，强调数学应基于整数构建。他发展了代数数论，提出了克罗内克乘积和克罗内克极限公式，并对代数学的结构性研究有深远影响。

卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1851-1897） 被誉为“现代分析之父”，他严格化了极限、连续和微积分的定义，提出了ε-δ语言，消除了早期分析中的不严谨性。他还研究了椭圆函数和变分法，其工作为实分析和复分析提供了坚实基础。

费迪南德·戈特霍尔德·艾森斯坦（Ferdinand Gotthold Eisenstein，1823-1852） 虽英年早逝，但在数论和代数领域贡献显著。他研究了二次形式、立方互反律和椭圆函数，艾森斯坦级数和艾森stein不可约准则至今是重要工具。

菲利克斯·克莱因（Felix Klein，1849-1925） 以埃尔兰根纲领闻名，该纲领通过群论统一了几何学分类。他还研究了复变函数、非欧几何和数学教育，推动了几何与群论的结合，对现代数学发展有深远影响。

格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845–1918）是德国数学家，集合论的创始人，对现代数学产生了深远影响。他出生于俄罗斯圣彼得堡，后移居德国，在哈勒大学度过学术生涯。康托尔首次系统提出了无穷集合的理论，证明了无穷集合存在不同大小，例如实数集比自然数集“更大”，并引入了基数与序数的概念。他的对角线论证法成为逻辑与计算机科学的重要基础。尽管其理论初期遭到克罗内克等数学家的强烈反对，甚至引发哲学与神学争议，康托尔始终坚信自己的思想是“上帝传达的真理”。晚年他饱受抑郁症困扰，但其工作最终被希尔伯特等学者推崇，为数学奠定了新的基石。1904年，他荣获英国皇家学会的西尔维斯特奖章。

这些数学家的集体工作使德国成为19世纪数学研究的中心，他们的理论不仅推动了纯数学的发展，还为物理学、工程学等领域提供了关键工具。

20世纪的德国数学

大卫·希尔伯特

20世纪德国数学在世界数学史上占据重要地位，涌现出一批影响深远的数学家。大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862–1943）是这一时期的杰出代表，他在1900年国际数学家大会上提出了23个数学问题，为20世纪的数学研究指明了方向，对数学基础、数论、代数几何和数学物理等领域产生了深远影响。希尔伯特在公理化方法和数学基础方面的贡献尤为突出，他提出的“希尔伯特计划”试图为数学建立坚实的形式化基础。

希尔伯特早期的重要贡献集中在不变量理论领域。他证明了不变量的有限基定理，表明任何不变量的系统总可以由有限个不变量生成，这一结果解决了哥尔丹问题，并引入了非构造性证明方法，为现代抽象代数奠定了基础。随后，他将注意力转向数论，在1897年的《数论报告》中系统总结了代数数论的成果，并提出希尔伯特类域论等关键问题，推动了20世纪数论的深远发展。

在几何学领域，希尔伯特于1899年发表《几何基础》，首次以严格公理化的方式重构欧几里得几何。他提出一组完备且独立的公理系统，并深入探讨了公理系统的相容性、独立性和完备性，这一工作不仅革新了几何学的基础，更促进了数学公理化思想的普及，对后续数学研究产生了范式性影响。

20世纪20年代，希尔伯特转向数学基础研究，提出“希尔伯特纲领”，旨在通过有限主义方法证明数学系统的相容性，以应对集合论悖论带来的危机。尽管哥德尔的不完备定理表明这一纲领无法完全实现，但希尔伯特的形式化方法催生了证明论这一新领域，并深刻影响了现代逻辑和计算机科学的发展。

希尔伯特在积分方程和数学物理领域也有杰出贡献。他发展了希尔伯特空间理论，为泛函分析奠定了基础，这一概念后来成为量子力学的重要数学框架。他与弟子合作的研究还推动了变分法、特征值理论等领域的进展。希尔伯特的学术遗产不仅体现在具体定理和理论上，更在于他高瞻远瞩的问题意识、对数学统一性的追求以及培养大批杰出学生的教育贡献，使他成为当之无愧的现代数学奠基者之一。

埃米·诺特（Emmy Noether，1882-1935）是抽象代数的奠基人之一，她的诺特定理将对称性与守恒定律联系起来，对理论物理学的发展起到了关键作用。她在环论、域论和模论等领域的开创性工作为现代代数结构研究奠定了基石。赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）在群论、表示论和数学物理等领域贡献卓著，他的工作涉及连续群、量子力学和广义相对论，尤其在对称性和规范场理论方面有深远影响。

菲利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff，1868-1942）是点集拓扑学的创始人之一，他提出的豪斯多夫空间和豪斯多夫维数等概念成为现代拓扑学和分形几何的基础。格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）虽然主要工作在19世纪末，但他的集合论和超穷数理论在20世纪被广泛接受并进一步发展，对数学基础和逻辑学产生了革命性影响。此外，卡尔·西格尔（Carl Siegel）在数论和多复变函数论方面的工作，以及赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）在数论和相对论中的几何方法，也为20世纪数学的发展做出了重要贡献。

这些德国数学家的成就不仅推动了纯粹数学的进步，还在理论物理学、计算机科学和工程学等领域产生了广泛的应用，奠定了现代数学的许多核心分支的基础。

简单介绍

斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887–1920）是印度数学史上一位传奇式的天才人物。他出身贫寒，未接受过正规高等教育，却凭借超凡的直觉和自学能力，在数论、无穷级数、连分数和分拆函数等领域做出了深远而独创的贡献。在孤立的研究环境中，他独立发现了大量定理，其中许多结果甚至重现并超越了欧洲数学家的成果。1913年，他致信英国数学家G.H.哈代，其才华得到赏识，随后赴剑桥大学合作研究，成为英国皇家学会会员和三一学院研究员。尽管英年早逝，他留下的数千个公式和猜想为现代数学研究提供了丰富的源泉，被公认为数学巨匠。

在印度的生活

一、神童的诞生与早期教育（1887-1904）

拉马努金于1887年12月22日出生于印度泰米尔纳德邦的埃罗德（Erode），在一个贫困的婆罗门家庭中长大。他的父亲是纱丽店的一名职员，母亲是家庭主妇，也在当地寺庙演唱宗教歌曲。童年时期，他接受了深厚的婆罗门文化熏陶，学习宗教歌曲和传统仪式。他的数学天赋在幼年便已显现。1897年，10岁的拉马努金以优异成绩通过初级考试，在英语、泰米尔语、地理和算术科目中名列学区第一。同年，他进入贡伯戈纳姆市高中（Town Higher Secondary School），首次接触正规数学教育。11岁时，他已经掌握了家中两位大学生房客的全部数学知识。13岁时，他完全自学掌握了S.L. Loney的《三角学》高级教材，并独立发现了复杂定理。14岁时，他开始获得学校颁发的优异证书和学术奖项，并协助学校完成1200名学生与35名教师的复杂分配工作，能在规定时间一半内完成数学考试，并熟练运用几何和无穷级数。

二、坎坷的大学之路与独立研究（1904-1909）

1904年，拉马努金从市高中毕业，校长克里希纳斯瓦米·艾耶（Krishnaswami Iyer）授予他K. Ranganatha Rao数学奖，并称他是一位“应得分数超过满分”的杰出学生。他凭借此成绩获得政府文理学院（Government Arts College, Kumbakonam）的奖学金。然而，悲剧也随之而来。他对数学的痴迷导致他完全忽视了其他学科。1905年，他因非数学课程不及格而失去了奖学金。他后来进入马德拉斯的帕夏帕学院（Pachaiyappa’s College），再次在数学上表现出色，但在生理学等科目上成绩糟糕。1906年12月，他未能通过文学学士学位考试，一年后再试依旧失败。没有学位，他被迫离开大学，陷入了极端贫困，甚至时常遭受饥饿的折磨。在此期间，他完全依靠自学进行独立的数学研究。没有指导、没有同行交流，他在孤立无援的环境中持续探索。他通过做家教赚取微薄收入，但常常食不果腹。他的家人，尽管经济拮据，却始终包容他，没有强迫他放弃数学去寻找一份常规工作。

三、转折点：被学术界发现（1910-1913）

在贫困交加中，拉马努金的转机终于出现。他开始在《印度数学会刊》（Journal of the Indian Mathematical Society）上提出并解决问题。1911年，他在该期刊上发表了一篇关于伯努利数的杰出研究论文，这使他在马德拉斯地区开始声名鹊起，被誉为“数学天才”。1912-1913年间，在朋友和导师的鼓励下，他决定将自己的研究成果寄给英国剑桥的数学家。他写信给三位学者，其中最重要的一封是1913年1月16日写给G.H.哈代（G.H. Hardy）的信。随信附上了一份长达11页的清单，列出了120个他独立发现的定理和公式，其中许多涉及连分数、无穷级数和素数分布等领域。这封信改变了历史。哈代最初对这位“无名印度职员”的手稿持怀疑态度，但很快就被其中一些结果的深度和美感所震撼。他与同事J.E.李特尔伍德（J.E. Littlewood）仔细研究后，确信拉马努金是一位“与欧拉和高斯同等级别的天才”。哈代回信邀请他来剑桥合作。

四、赴英前的准备与本土荣誉

拉马努金最初因宗教原因（远洋旅行会失去种姓身份）和母亲的反对于1913年拒绝了哈代的邀请。然而，随着与哈代的通信持续，他的才华引起了马德拉斯大学的高度重视。1913年5月，在马德拉斯大学数学教授E.W. Middlemast（他写道：“我强烈推荐这位申请者。他是一个在数学，尤其是数论方面具有非凡能力的年轻人。”）的极力举荐下，大学决定破例授予拉马努金一份为期两年的特殊研究奖学金，使他能够辞去港务局的职员工作，全身心投入数学研究。最终，在各方努力和母亲的妥协下，拉马努金接受了哈代的第二次邀请。1914年3月17日，他从印度启航前往英国，结束了他在印度孤独而辉煌的探索时期，开启了他与世界数学中心碰撞的新篇章。

与哈代的合作及剑桥时期

尽管哈代已为他在剑桥三一学院争取到了为期两年的奖学金，拉马努金启程前却充满了挣扎。作为一名正统的婆罗门，他极度担忧这次远行会让他失去种姓身份，并且对英国的寒冷气候与饮食禁忌感到恐惧。最终，在印度几位数学教授的极力劝说下，他才终于成行。经过四周的海上航行，其中三天他因晕船而备受折磨，他于4月14日抵达伦敦。哈代的同事E.H.内维尔（E. H. Neville）开着一辆汽车在码头等候他，四天后，便将他带到了剑桥切斯特顿路的家中暂住。

拉马努金很快就在剑桥安顿下来。四月底，他搬入了三一学院 Whewell’s Court 的宿舍，这里距离哈代的房间仅五分钟步行路程。尽管他并非正式学生，但他仍旁听了哈代以及国王学院数学家亚瑟·贝里（Arthur Berry）关于椭圆积分的讲座。在一次贝里的课上，拉马努金脸上兴奋的光芒引起了教授的注意。当被问及是否想补充什么时，他走上讲台，写下了贝里尚未证明、并且他此前不可能知晓的结果，令全场震惊。他立即开始了与哈代和利特尔伍德（Littlewood）的紧张工作，几乎每天都会向哈代展示半打新的定理。

然而，剑桥的生活远非一帆风顺。来自热带地区的拉马努金完全无法适应英格兰阴冷潮湿的气候，冬季时常病倒，一度连续五个月无法进行有效的科学研究。他严格的婆罗门戒律要求素食，且食物必须由同为婆罗门的人烹饪，这在战时的英国变得极其困难，他大多时候只能靠自己烹饪。文化的隔阂、食物的匮乏、战争的阴云以及深深的思乡之情，逐渐侵蚀着他的身心健康。在一次极度抑郁的爆发中，他甚至试图扑向地铁列车。1917年，他的健康彻底崩溃，被诊断出患有严重疾病（可能是肺结核或肝感染），此后大部分时间都在不同的疗养院中度过。

尽管病魔缠身，拉马努金的数学创造力却从未熄灭。他在病床上依然坚持研究。1918年，他的成就得到了最高认可：2月，他当选为剑桥哲学学会会员；5月，当选为英国皇家学会会士（FRS），成为最年轻的院士之一；10月，又当选为三一学院研究员，成为首位获此殊荣的印度人。这些荣誉仿佛一剂强心针，一度提振了他的求生意志，他甚至短暂地恢复了数学工作。在生命最后的时光里，他于1920年1月写给哈代最后一封信，概述了他最深奥的贡献之一——模拟Θ函数（Mock Theta Functions）的发现。

1919年，战争结束，拉马努金已是一个病入膏肓的人。他于2月27日至3月13日间踏上了返回印度的旅程。尽管马德拉斯大学已为他提供了优渥的研究津贴，但他于1920年4月26日与世长辞，年仅32岁。他在剑桥的五年虽是短暂一瞬，却彻底改变了现代数学的图景。他与哈代这位理性主义的无神论者结成了数学史上最不可思议的伙伴关系——一位依靠“女神在梦中给予公式”的直觉天才，与一位信奉严格证明的数学正统派。他们的合作，是一次不同文化、信仰和工作风格的激烈碰撞，也是最终绽放出最绚丽科学成果的完美互补。

数学成就与贡献

拉马努金在几乎无正规数学训练的背景下，对数论、无限级数、连分数、椭圆函数和分拆函数等领域做出了深远贡献。他独立提出了近3900个数学结果（多数为恒等式和方程），其中许多具有高度原创性和突破性，例如：

拉马努金素数：与素数分布相关的特殊素数。

拉马努金θ函数：影响模形式理论的发展。

分拆函数p(n)的渐进公式：与哈代合作提出，后被Rademacher证明。

模拟θ函数：临终前提出的深刻概念，启现代数几何与物理研究。

拉马努金在其1914年发表的论文《模方程与π的近似值》（Modular equations and approximations to π）中，提出了多个用于计算1/π的无穷级数。其中最著名且收敛速度极快的公式为：

该级数具有非凡的收敛特性。文档明确指出，其部分和收敛到π真值的速度在20世纪70年代之前是任何其他计算方法都无法比拟的。级数的每一项都能提供大约8位额外正确的小数位数。例如，仅计算首项（n=0）即可得到π的近似值精确到6位小数，而下一项（n=1）则能将精度提升至约14位小数。

超几何形式：

该公式的数学本质是椭圆积分与模函数理论的深刻应用，其推导源于拉马努金对q-级数和超几何函数的独创性研究。文档指出，这类公式是“椭圆积分的确切类比”，并体现了拉马努金将模函数理论应用于数论问题的非凡洞察力。

该公式的实际计算价值在计算机时代得到了极致发挥。Borwein兄弟在1986年使用拉马努金公式的一个变体，将π计算到了1700万位小数，并发现该公式的收敛效率远高于任何先前的方法。此后，基于拉马努金工作启发的算法（如文档中提到的“四次迭代算法”）被多次用于打破π的计算纪录，例如在2009年，一个团队利用此类算法在73小时内计算出了π的2.5万亿位小数。

拉马努金-楚德诺夫斯基公式 (Ramanujan-Chudnovsky Series)由Chudnovsky兄弟基于拉马努金的工作发现，是现代破纪录计算π的基础。

特性： 此级数的收敛速度比拉马努金的原公式更快，每一项可增加约14位十进制数的精度。该公式被用于计算π的数万亿位小数。

拉马努金还有提及了多个与π相关的级数公式，它们展示了拉马努金工作的广度。

公式A:

公式B:

公式C (与平方和表示相关):

注: 其中 是将整数k表示为两个平方和的方法数，是Ramanujan和。

除了级数，拉马努金也给出了高精度的代数近似公式，这些源于其“化圆为方”的几何研究。

近似式A (精确到9位小数):

近似式B (精确到16/18位小数):

近似式C:

拉马努金的工作方式依赖极强的直觉和归纳能力，常通过数值计算猜想定理，而非传统严格证明。尽管部分结论存在错误，但其主流成果已被广泛验证并融入现代数学体系。拉马努金的π级数不仅是其超凡数学直觉的例证——他甚至在缺乏严格证明的情况下就确信其正确性——更重要的是，它为现代计算数学提供了最强大的工具之一，彻底改变了高精度计算π的方式。

影响与遗产

拉马努金的工作对20-21世纪数学产生了深远影响：国际期刊《The Ramanujan Journal》专门发表受其影响的数学研究。印度设立“拉马努金奖”，其生平被改编为电影《知无涯者》（The Man Who Knew Infinity）。他的笔记本至今仍被数学家（如G.E. Andrews、B.C. Berndt）深入研究，推动数论、模形式等领域的发展。哈代评价其为“与欧拉、高斯并列的天才”，尽管缺乏正规教育，但其直觉与创造力无人能及。

总结

拉马努金在π的计算上留下了深刻的遗产，他的工作核心开创了基于模函数和椭圆函数的快速收敛级数，其收敛速度在计算机时代得到极致发挥。他提供了多种形式的公式，包括无穷级数和代数近似。他的思想直接启发了后来更强大的公式（如Chudnovsky公式），这些公式至今仍是计算π数十亿、数万亿位小数的算法基础。

解析与代数数论：问题驱动的探索之旅

数学并非仅是抽象符号与方程的集合，其最生动的应用往往体现在解决现实世界的问题之中。在解析数论与代数数论这一深邃的领域，传统的教科书常侧重于定理的逐一推导与证明，虽逻辑严谨，却可能让学习者陷入被动接受的困境，难以真切体会数学发现过程中的曲折与灵感迸发。M. Ram Murty 的这两本书尝试打破这一常规，秉承“一边做、一边学”的理念，将引导读者通过亲身求解一系列精心设计的问题，逐步探索整数的微妙性质与素数分布的奥秘。这种以问题串为主线、强调实践参与的学习模式，不仅能使抽象的数学概念变得生动具体，更能帮助学生在发展直觉、动手尝试、遭遇挫折、调整策略并最终解决问题的过程中，主动建构知识，深化对解析与代数数论核心思想的理解，最终提升独立研究的能力。

《Problems in Analytic Number Theory》

本书书名为《Problems in Analytic Number Theory》（解析数论中的问题），第二版。这本书是《Graduate Texts in Mathematics》（GTM）系列的第206卷，由Springer出版社出版。GTM系列是数学领域享誉盛名的研究生级教材系列，专注于提供严谨、深入的数学专题论述，旨在为研究生和研究人员提供高质量的学习与参考资源。该书作者M. Ram Murty是加拿大女王大学（Queen’s University）数学与统计系的教授，是一位在数论领域具有广泛影响和贡献的知名数学家。

本书的主题是解析数论，重点通过“问题-练习”的形式，引导读者深入理解该领域的核心概念与方法。内容覆盖了解析数论中的多个基本和高级主题，包括算术函数的性质、素数分布、Dirichlet级数、素数定理、函数方程、筛法、p进方法，以及第二版新增的等分布理论等。该书特别强调通过具体问题和练习培养读者的技巧和直觉，不仅提供理论框架，更注重如何将这些理论应用于解决数论中的具体问题。该书写作风格兼具教学性和研究性，既适合作为高年级本科生或研究生解析数论课程的教材，也适合作为研究人员自主学习和深化理解的工具书。书中包含大量精心设计的问题和练习，并配有详细的解答，帮助读者在实战中掌握解析数论的思想和方法。

M. Ram Murty的《解析数论问题》（Problems in Analytic Number Theory）正是这种理念的杰出代表。这本书的特色在于它完全颠覆了传统数学教材的呈现方式，

1. 以问题为核心的“做中学”模式 (Learning by Doing)

本书除了提供最基础的定义和概念框架外，几乎将所有重要的定理、命题和推导过程都转化为了一系列精心设计的习题（Exercises）。例如，素数定理（Prime Number Theorem）、Dirichlet定理（Primes in Arithmetic Progressions）、函数方程（Functional Equations）等解析数论的核心结果，其证明都不是直接给出的，而是被分解、引导，并通过习题让读者自己一步步完成。这种设计迫使读者从被动的知识接收者转变为主动的探索者和建构者。正如作者在序言中引用André Weil的观点：“仅仅掌握理论概念不足以充分欣赏一门学科，通常需要去解决那些这些思想被至关重要地使用的具体问题。” 掌握数学的真谛在于“先练习，后知识”（”it is practice first and knowledge afterwards”）。

2. 自我指导与研究能力的训练场

本书的目录清晰地分为两部分：第一部分（Part I）：问题（Problems）；第二部分（Part II）：解答（Solutions）。这种结构为读者提供了完整的自我指导学习路径。读者可以先尝试独立解决第一部分的难题，在遇到瓶颈时再参考第二部分的解答进行比对和学习。作者明确指出，本书的 singular purpose（唯一目的）是训练刚开始研究生学习的学生掌握解析数论的重要技巧。通过每日与这些问题“搏斗”（grappling），读者不仅能获得解析数论的知识，更能培养出自我指导学习（self-instruction）的纪律性，而这种能力对未来的研究工作是 indispensable（不可或缺的）。

3. 模块化与灵活的教学适配性

书籍的内容组织极具灵活性。作者建议了多种使用本书进行教学的方式： 本科高年级入门课程：可以专注于第1, 2, 3, 9, 10章。研究生初级课程：可额外涵盖第4, 5, 8章。高强度研究生课程：可以在一学期内覆盖全书，并将第6, 7, 10等更常规的章节交给学生进行报告（student presentations）。另一种模式：每周学习一章，由讲师聚焦于主要定理，并通过几个已解答的例子进行阐释。这种模块化设计使得一本书可以适应不同层次和不同进度的教学需求。

4. 覆盖广泛且深刻的“基础工具包”

本书内容极为丰富，从算术函数、素数分布、 contour积分、函数方程、Hadamard乘积、显式公式，到更专门的筛法（Sieve Methods）、p-adic方法，乃至第二版新增的等分布（Equidistribution）理论，几乎涵盖了现代解析数论的所有基础工具和核心课题。作者坦言，虽然许多重要课题被省略了，但所包含的材料是每一位数论学家所需的 “基础工具包”（”basic tool kit”） ，而其中较难的习题则揭示了该领域精妙的“技巧诀窍”（”tricks of the trade”）。

总结而言，M. Ram Murty的这本书通过其独特的“全习题化”架构，成功地将一本教材转变为一座连接理论知识与研究实践的桥梁。它不仅仅是在传授解析数论的内容，更是在传授如何发现、探索和最终理解这些内容的方法论，完美体现了“授人以渔”的教学最高境界。这种模式为编写高级数学领域的教科书提供了一个非常成功且值得效仿的范本。

《Problems in Algebraic Number Theory》

这本书《代数数论问题》（Problems in Algebraic Number Theory）的核心特点是以“做中学”（Learning by Doing）为教学理念，强调通过具体问题的提出与解决来引导学习者深入理解代数数论的核心概念与方法。全书的结构与内容设计均围绕这一理念展开，同样具有以下鲜明特点：

1. 问题驱动的学习路径

书中通过系统编排的500多个问题，循序渐进地揭示代数数论中概念与思想的演变。每个章节从基础问题入手（如整数的唯一分解、欧几里得环的性质），逐步过渡到更复杂的主题（如理想类群、二次互反律、密度定理），使学习者在解决问题的过程中自然构建知识体系，而非被动接受抽象理论。

2. 通过示例深化理论理解

作者在前言中引用牛顿和Lichtenberg的观点，强调“通过例子学习比通过规则学习更有效”。书中每个问题都配有完整的解答，确保学习者在自主尝试后能获得即时反馈，并通过对比解答来修正思路、填补知识漏洞。这种设计鼓励学习者主动探索定理的细微差别和应用场景，从而形成深刻直觉。

3. 适合独立学习的自洽性

全书内容设计为适合一学期独立学习，任何具备本科代数背景的学习者均可自主使用。问题与解答的紧密结合降低了外部指导的依赖，学习者可通过反复练习和验证来强化推理能力，真正实现“在脑海中开辟一条可重复使用的路径”。书中不仅传授知识，更注重培养研究能力。通过引导学习者从简单问题中发现规律、逐步推广到复杂问题（如从费马小定理到ABC猜想的应用），模仿了实际数学研究中的问题提出与解决过程。这种训练帮助学习者掌握“提出正确问题”的艺术，而非仅仅记忆结论。新增的密度定理章节体现了“代数方法与解析方法的壮丽交互”，通过问题展示如何将抽象理论（如Dedekind ζ函数）应用于具体问题（如素数分布）。学习者在解决这些问题的过程中，自然领悟到理论的实际意义与威力。

总之，这本书通过问题与解答的有机组合，将“做中学”的理念贯穿始终，使代数数论的学习不再是被动接受，而是主动探索、实践和发现的过程。这种设计不仅夯实了理论基础，更培养了学习者独立研究和创造性思维的能力。

个人简介

张益唐，1955年出生于上海，自幼展现出对数学的浓厚兴趣。10岁时，他独立证明了勾股定理，燃起了一生对数学的热爱。1978年，他考入北京大学数学系，师从数论专家潘承彪，展现出卓越的数学天赋。1985年，他赴美国普渡大学攻读博士学位，师从华裔数学家莫宗坚，研究方向转向代数几何。

1992年博士毕业后，张益唐经历了长达数年的职业低谷，一度在快餐店担任会计。1999年，他在朋友帮助下获得新罕布什尔大学讲师职位，开始稳定的教学生涯。2013年，58岁的张益唐发表论文《素数间的有界距离》，首次实质性推进解决”孪生素数猜想”，一举成名。2016年，他出任加州大学圣巴巴拉分校数学系终身教授。

2025年6月，70岁的张益唐全职回国，加盟中山大学香港高等研究院，出任首席科学家。他表示回国不仅是为了”落叶归根”，更是希望继续为数学研究贡献力量。从少年天才到古稀之年仍坚持研究，张益唐用一生诠释了对数学的执着追求。

回到 2013 年

2013年，58 岁的张益唐在数学界掀起了一场轰动。这位此前默默无闻的数学家发表了一篇题为《素数间的有界距离》的论文，首次在解决著名的”孪生素数猜想”上取得了实质性突破。

孪生素数猜想的历史背景

孪生素数猜想是数论中最古老、最著名的未解决问题之一，可以追溯到古希腊数学家欧几里得。该猜想认为存在无穷多对相差2的素数（如3和5、5和7、11和13等）。虽然数学家们普遍相信这个猜想是正确的，但几千年来始终无法证明。

张益唐的突破性成果

张益唐证明了存在无穷多对素数，其间隔不超过7000万。具体来说，他证明了存在无数对素数(p, q)，其中每对素数之差不超过7000万。这个结果的意义在于：首次将”孪生素数猜想”中的间隔从无限缩小到一个有限值（7000万），虽然7000万与理想的2还有很大距离，但这是从无到有的突破。证明了素数间隔存在一个上限，这是前所未有的。

张益唐将论文投给数学界最权威的期刊《数学年刊》（Annals of Mathematics）。通常该期刊的审稿周期长达1-2年，但张益唐的论文仅用三周就被接受发表，创下了该刊130年来最快录用纪录。审稿人、著名数学家伊万涅茨（Henryk Iwaniec）给予了极高评价：”这项研究是一流的”，”作者成功证明了一个关于素数分布的里程碑式的定理”，”论文写得非常仔细，我们很难发现任何错误”。

张益唐的成果在 2013 年立即在数学界引发轰动：他的方法启发了其他数学家，很快将7000万这个界限不断缩小。英国数学家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）将其缩小到600。陶哲轩等数学家通过合作研究，最终将这个界限降到了246。虽然尚未达到2的终极目标，但张益唐的突破打开了研究的新方向。246 在近十几年内没有被打破。

个人境遇的戏剧性

最令人惊叹的是，张益唐当时只是新罕布什尔大学的一名普通讲师，此前仅发表过一、两篇论文。他的突破证明了数学研究的真谛：重要的不是头衔和资历，而是思想的深度和创新的勇气。

这项工作也让张益唐从默默无闻的讲师一跃成为世界顶尖数学家，获得了麦克阿瑟天才奖等多项荣誉。更重要的是，他的故事激励了无数年轻数学家：追求真理永远不晚。

几十年的孤独探索

张益唐的早年生活充满坎坷，但他始终保持着对数学的执着追求。从上海到北京，从北大到美国，他的故事既是一部个人奋斗史，也是一段数学探索的传奇。

1. 少年时期：数学天赋初现（1955-1978）

1955年，张益唐出生于上海，童年由外婆抚养。10岁时，他独立证明了勾股定理，展现出惊人的数学直觉。 1966年，因各种原因影响，他随母亲下放湖北农村，但依然坚持自学数学，阅读《十万个为什么》等书籍。 1971年，他回到北京，进入北京制锁厂当工人，业余时间研读华罗庚的《数论导引》，梦想有朝一日能进入大学深造。

2. 北大求学：数学天才崭露头角（1978-1985）

1978年，高考恢复后，他考入北京大学数学系，成为第一批大学生。 1982年，他师从著名数论专家潘承彪攻读硕士，研究方向为解析数论，展现出极高的天赋，被同学称为“数学系第一人”。 1985年，在北大校长丁石孙的推荐下，他赴美国普渡大学攻读博士学位，师从华裔数学家莫宗坚，研究方向转向代数几何。

3. 博士生涯：学术挫折与坚持（1985-1992）

在普渡大学，张益唐的研究并不顺利。他的博士论文涉及雅可比猜想，但因与导师莫宗坚的研究方向存在分歧，最终未能获得强有力的推荐信。 1992年，他艰难获得博士学位，但毕业后即面临失业，无法在美国大学找到教职。

4. 漂泊岁月：从快餐店会计到大学讲师（1992-1999）

1992-1999年，张益唐经历人生最低谷： 他曾在肯塔基州的Subway快餐店打工，担任会计和收银员，长达7年。他居无定所，一度借宿朋友家的地下室，但仍坚持研究数学问题。 1999年，在北大校友葛力明的帮助下，他终于获得新罕布什尔大学的讲师职位，生活才逐渐稳定。

5. 隐忍研究：20年的孤独探索（1999-2013）

在新罕布什尔大学，张益唐只是一名普通的微积分讲师，薪水微薄，但他并不在意，仍专注于数学研究。 他极少发表论文，但一直在思考孪生素数猜想，这一难题困扰了数学界几百年。 2012年，他在科罗拉多州朋友家度假时，灵感突然降临，找到了证明的关键思路。 2013年4月，他将论文投稿至顶级期刊《数学年刊》，仅用三周就被接受，震惊数学界。

故事仍在继续

2013年，张益唐因在孪生素数猜想上的突破性成果一举成名，成为数学界的焦点。然而，他的生活并未因荣誉而改变太多，他依然保持着低调、专注的生活方式，继续探索数学的奥秘。 2013年，张益唐的论文发表后，他迅速从新罕布什尔大学的讲师晋升为教授，并受邀前往全球顶尖数学机构演讲，包括普林斯顿高等研究院、哈佛大学等。 2016年，他正式加入加州大学圣塔芭芭拉分校（UCSB），成为数学系终身教授，终于获得了稳定的学术环境。 2022年，他在朗道-西格尔零点猜想上取得重要进展，再次引发数学界的关注。这一猜想与著名的黎曼猜想密切相关，是数论领域的核心问题之一。

尽管成名后媒体争相报道，张益唐依然保持着极简的生活方式：不喜欢社交：他很少参加学术会议之外的社交活动，更喜欢独自思考数学问题。坚持早起工作：他每天早晨7点就到办公室，晚上7点回家，周末也不例外。对物质无追求：他的办公室几乎没有多余的装饰，家中也极为朴素，甚至妻子孙雅玲曾调侃他“连衣服都懒得换”。拒绝商业化：曾有科技公司高薪聘请他，但他婉拒了，认为数学研究才是他的使命。

张益唐在多个采访中分享过他对数学研究的理解：“数学需要思想的深度”：他认为数学不是靠机械计算，而是需要深刻的洞察力（insight），找到问题的本质。“保持新鲜感”：他从不满足于已有的成果，而是不断挑战更困难的问题，比如从孪生素数转向朗道-西格尔零点猜想。 “年龄不是障碍”：他反对“数学是年轻人的游戏”这一说法，认为只要保持专注和好奇心，任何年龄都能做出突破。“孤独是常态”：他曾在采访中说：“做数学的人，大多数时候都是孤独的，但正是这种孤独让你能深入思考。”

2025年6月，70岁的张益唐全职回国，加入中山大学香港高等研究院，担任首席科学家。他在采访中表示：“我回来，不仅仅是一片落叶”——他不想只是“落叶归根”，而是希望继续为中国数学发展贡献力量。 “数学研究不受地域限制”：他认为，数学在哪里都能做，但回国能让他更贴近中国的数学发展，并培养年轻学者。

张益唐常常鼓励年轻人：“不要害怕困难”：数学研究充满挑战，但坚持思考，终会有所突破。“保持独立思考”：他不喜欢跟风热门课题，而是坚持自己的研究方向。“物质不是最重要的”：他曾在快餐店打工多年，但从未放弃数学，最终在58岁取得突破。

结语

张益唐的人生轨迹证明，真正的数学家不会被年龄、环境或世俗评价所束缚。他的故事不仅是数学上的传奇，更是一种精神的象征——纯粹、坚持、不受干扰地追求真理。即使成名后，他依然保持着对数学的热爱，继续挑战更深刻的问题，正如他所说：“我不愿意当一片落叶，我觉得我还有生命力。”

数学学科划分是一个系统化、层次化的分类体系，目的是在对数学研究领域进行标准化归类。目前最权威的分类系统是MSC2020（Mathematics Subject Classification 2020）这个系列的材料。由国际数学数据库《数学评论》（Mathematical Reviews）和zbMATH的编委会联合制定。该分类体系广泛应用于学术论文、期刊和文献的主题标识，便于研究者检索和归类研究方向。

MSC2020采用三级分层编码结构，每一级对应不同的分类精度。第一级由两位数字组成，代表数学的宏观领域，例如“03”表示数学逻辑与基础，“11”为数论，“35”为偏微分方程。第二级在第一级的基础上增加一个字母，用于细化子领域，例如“53A”代表经典微分几何，属于第一级“53”（微分几何）。第三级进一步精确到具体的研究方向或问题，例如“53A45”专指向量与张量分析。此外，特殊代码（如“-00”）用于标识通用材料类型，如教科书、会议录等。

该分类体系覆盖了数学的各个分支，从纯数学到应用数学均有涉及。基础数学部分包括数论、代数、几何、拓扑等；应用数学涵盖概率统计、数值分析、优化理论、数学物理等；交叉学科则涉及计算机科学、经济学、生物学等领域。此外，辅助分类如数学史（01）和数学教育（97）也被纳入其中，确保体系的全面性。

MSC2020在学术出版和数据库检索中具有重要作用。期刊通常要求作者在论文中标注MSC代码，以明确研究主题。MathSciNet、zbMATH等数据库依赖该分类体系实现文献的高效检索。编码规则要求至少标注第一级代码，但推荐使用更精确的三级代码以提高分类准确性。 该分类体系自20世纪40年代起历经多次修订，如MSC2000、MSC2010等。2020年版（MSC2020）通过数学社区的广泛协作，对部分分类进行了调整和扩充，以反映学科的最新发展，例如计算数学和数据科学相关领域的细化。

MSC2020与其他学科分类体系存在关联。例如，物理学领域的PACS（Physics and Astronomy Classification Scheme）常用于数学物理交叉研究；计算机科学的ACM CCS（Computing Classification System）与MSC的计算机数学部分（如68）有所重叠；而arXiv等跨学科平台则结合MSC、PACS等多个分类体系以适应不同领域的需求。 就以动力系统学科为例来看这份文档：

37-动力系统与遍历理论（Dynamical Systems and Ergodic Theory）学科分类介绍

动力系统与遍历理论（Dynamical Systems and Ergodic Theory） 是数学中的一个重要分支，研究随时间演化的系统及其长期行为。该学科结合了微分方程、拓扑学、测度论、概率论和统计力学等多个数学领域的理论和方法，并在物理学、天文学、生物学、工程学和计算机科学等领域有广泛应用。在MSC2020数学学科分类系统中，该学科被归类为37，并进一步细分为多个子领域。

1. 动力系统（Dynamical Systems）

动力系统研究的是由微分方程、差分方程或迭代映射定义的系统的演化规律。根据时间变量的连续性，动力系统可分为：连续时间动力系统（由微分方程描述，如哈密顿系统、耗散系统）和离散时间动力系统（由映射或递推关系定义，如逻辑斯蒂映射、双曲映射）。

主要研究方向包括：

• 稳定性理论：研究平衡点、周期轨道和不变流形的稳定性（如李雅普诺夫稳定性）。
• 混沌理论：研究系统对初始条件的敏感性（如蝴蝶效应）、混沌吸引子（如洛伦兹吸引子）和分形结构。
• 分岔理论：研究参数变化时系统定性行为的突变（如鞍结分岔、霍普夫分岔）。
• 哈密顿系统与辛几何：研究守恒系统的动力学，如天体力学中的多体问题。
• 随机动力系统：研究受随机扰动影响的动力系统（如随机微分方程驱动的系统）。
• 拓扑动力系统（Topological Dynamics）：从拓扑角度研究系统的长期行为，如符号动力系统、极小系统。核心工具包括拓扑熵、回归性理论。
• 齐次动力系统（Homogeneous Dynamics）：研究李群作用下的动力系统，如格点流（Geodesic Flow）、齐次空间上的遍历性。应用于数论（如丢番图逼近）和几何。

2. 遍历理论（Ergodic Theory）

遍历理论研究动力系统的统计行为，特别是系统在长时间演化后的平均性质。其核心概念是遍历性，即时间平均等于空间平均。遍历理论在统计力学、信息论和量子混沌等领域有重要应用。

主要研究方向包括：

• 遍历定理（如伯克霍夫遍历定理、冯·诺伊曼平均遍历定理），研究系统轨道的均匀分布性质。
• 测度熵与拓扑熵：量化系统的复杂性和不可预测性（如柯尔莫哥洛夫-西奈熵）。
• 双曲系统与均匀双曲性：研究具有强混沌性质的系统（如阿诺索夫系统）。
• 保测动力系统：研究保持测度的变换（如伯努利系统、马尔可夫链）。
• 量子遍历理论：研究量子系统的统计行为，如量子混沌和能级分布。

3. 与其他数学领域的交叉

动力系统与遍历理论与多个数学分支密切相关：

• 微分方程（34, 35）：动力系统的许多模型来自ODE和PDE。
• 概率论（60）：随机动力系统和马尔可夫过程的研究。
• 拓扑学（54, 55, 57）：动力系统的全局行为涉及流形和拓扑空间的结构。
• 数论（11）：遍历理论在丢番图逼近和均匀分布问题中有应用。
• 统计力学（82）：遍历理论为热力学极限和相变提供数学基础。

动力系统与遍历理论的新兴方向

• 计算遍历理论：通过数值方法研究复杂系统的统计性质。
• 高维混沌系统：如高维洛伦兹模型、湍流理论。
• 生物动力系统：如基因调控网络、神经元放电模型。
• 信息动力系统：应用于密码学（如伪随机数生成）。

MSC2020通过层级化、标准化的编码系统，为数学研究提供了全面的分类框架。其权威性和广泛适用性使其成为全球数学学术交流的重要工具。如需查阅完整分类，可参考https://msc2020.org/或zbMATH的相关页面。

Nicolas Bourbaki 是一个由一群数学家组成的集体笔名，主要由法国巴黎高等师范学院（École normale supérieure, ENS）的校友组成。该团体成立于1934年至1935年，最初目的是编写一本新的分析学教科书。随着时间的推移，项目变得更加宏大，发展成为一系列以 Bourbaki 名义出版的教科书，旨在涵盖现代纯数学的各个领域。这一系列著作统称为《数学原理》（Éléments de mathématique），是 Bourbaki 的核心作品，内容涉及集合论、抽象代数、拓扑学、分析学、李群和李代数等。

背景与成立

Bourbaki 的名字来源于19世纪法国将军 Charles-Denis Bourbaki，他在普法战争中经历了戏剧性的失败。这个名字在20世纪初的法国学生中广为人知。1935年夏天，小组决定采用”尼古拉·布尔巴基”这个集体笔名。这个名字源自1870年普法战争中法国将军夏尔·索泰尔·布尔巴基。更滑稽的是，这个典故来自巴黎高师的一场恶作剧讲座——高年级学生拉乌尔·胡森假扮数学家，用假胡子和浓重口音宣讲了一堆以法国将军命名的错误定理，最后最荒谬的定理被命名为”布尔巴基定理”。

Bourbaki 的成立是对第一次世界大战后法国数学界人才断层现象的回应。战争导致一代法国数学家丧生，年轻教师被迫使用过时的教材。Henri Cartan 和 André Weil 等人在斯特拉斯堡大学任教时，对现有教材的不满促使他们召集其他数学家共同编写现代分析学教材。创始成员包括 Henri Cartan、Claude Chevalley、Jean Delsarte、Jean Dieudonné 和 André Weil 等。1934年，29岁的亨利·嘉当和27岁的安德烈·韦伊在斯特拉斯堡大学任教时，因对传统教材《Goursat分析教程》不满，萌生了编写新分析教材的想法。他们与巴黎高师校友们在圣米歇尔大道的卡普拉德咖啡馆定期聚会（每周一中午），这个充满咖啡香气的空间成为了现代数学史上最具影响力的学术沙龙。

工作方式

Bourbaki 定期举行私人会议，讨论和起草《数学原理》的内容。主题分配给小组委员会，草案经过激烈辩论，只有全体一致同意后才会出版。尽管过程缓慢且费力，但这种方法确保了作品的严谨性和普适性。Bourbaki 还组织 Séminaire Bourbaki，定期举办讲座并出版讲义。疯狂的科学聚会：1935年7月在贝斯昂尚德塞举行的第一次布尔巴基大会上，成员让·迪厄多内后来描述道：”初次参会者总会觉得这是一群疯子的聚会”。会议没有主席，所有人可以随时打断发言，常常三四个人同时 shouting，但这种”精心设计的混乱”恰恰成为他们创造性思维的源泉。韦伊解释说，任何组织化的尝试都会让著作变得平庸。1938年小组将著作命名为《数学原理》(Éléments de Mathématique)，故意去掉通常法语中”数学”(Mathématiques)的词尾”s”，用这个语法细节宣示他们对数学统一性的信仰，这个细节后来成为科学史上最著名的”缺失的S”。

1940年代末新成员Armand Borel首次参加Bourbaki会议时，被现场震撼——成员们用”最高音量喊出两三个独立进行的独白”，尤其是大嗓门的Dieudonné总能让讨论升级为”混乱的喊叫比赛”。这种独特的审稿方式要求每个章节被逐行朗读，任何人都可随时打断批评，形成一种既混乱又高效的协作模式。Dieudonné强调成员必须对”听到的一切都感兴趣”，拒绝只专精某一领域的”狂热代数家”。成员常被要求撰写非本专业的章节，比如代数专家写拓扑章节，这种”通才培养”模式让许多人受益匪浅，但也引发后来关于”是否需天才才能胜任”的争议。

原计划按顺序出版6本书，实际却呈现”大杂烩”式出版：1947年先出《拓扑学》第5-7章，1948年突然跳回《代数》第3章讲张量积，1949年又穿插《实变函数》的泰勒定理，完全打乱编号体系。这种看似混乱的进程反而展现了他们对数学整体性的追求。1950年代新加入的Grothendieck坚持”百科全书式写作”，提案用超代数等前沿理论为流形奠基，结果被吐槽”过于抽象，可能让我们陷入基础工作多年”。年轻成员Cartier后来直言早期著作”当教材是灾难”，反映了代际认知差异。

影响与批评

Bourbaki 学派以极端严谨的公理化方法著称，强调数学结构的分类（代数结构、序结构、拓扑结构），并主张从最一般的形式推导特殊案例。其独特的“布尔巴基风格”表现为高度抽象、排斥直观图示与计算，追求逻辑上的完备性。例如，实数被定义为拓扑群的完备化，而非直接从有理数构造。Bourbaki 在20世纪中叶对数学产生了深远影响，尤其是在数学结构的引入和严格化方面。其作品影响了“新数学”（New Math）教育改革运动，但由于过于抽象而受到批评。Bourbaki 的风格强调公理化和抽象化，但也因忽视应用数学和某些现代数学领域（如范畴论）而受到批评。

成员与传承

Bourbaki 的成员身份保密，历史上约有40名成员，通常保持10至12人的规模。成员按“代际”更替，创始成员逐渐退出，由年轻数学家接替。尽管 Bourbaki 的影响力在20世纪后期有所下降，但其对数学教育的贡献和严谨的数学方法仍被广泛认可。自2012年以来，Bourbaki 恢复了《数学原理》的出版，修订了部分章节并新增了代数拓扑和谱理论等内容。2023年出版了关于谱理论的新卷，并宣布正在准备范畴论和模形式的新书。Bourbaki 不仅是一个数学团体，更是一种数学文化和方法的象征，其作品和思想至今仍在数学界引起讨论和反思。

历史活动

布尔巴基研讨会是自1948年起在巴黎举行的系列公开讲座，以数学家集体笔名“尼古拉·布尔巴基”命名。以下是1948/49和1949/50两个年度的研讨会内容概述：

1948/49系列

1. Henri Cartan：Koszul的工作（I-III）——李代数上同调。
2. Claude Chabauty：Minkowski-Hlawka定理（数论中的格点问题）。
3. Claude Chevalley（I-II）：Weil的代数函数域上的黎曼假设（局部ζ函数）。
4. Roger Godement（I-II）：复单模群的不可约酉表示（Gelfand和Neumark的工作）。
5. Léo Kaloujnine（两次）：有限对称群的Sylow p-子群结构及无限推广。
6. Pierre Samuel & Luc Gauthier：Zariski的双有理对应理论（代数几何）。
7. Jean Braconnier：有限群的自同构塔（Wielandt的工作）。
8. Laurent Schwartz（两次）：Petrowsky的偏微分方程柯西问题研究。
9. André Weil：Poincaré和Frobenius的θ函数基本定理。

特点：

主题涵盖代数几何、群论（有限群与无限群）、表示理论、偏微分方程等。多次重复同一主题（如Koszul、Zariski、Petrowsky的工作），显示深度探讨。

1949/50系列

1. André Blanchard：Kolchin的微分伽罗瓦理论。
2. Jean Dieudonné：Chow的齐次代数空间几何。
3. Roger Godement（I-II）：希尔伯特空间的连续和（泛函分析）。
4. Charles Pisot：Selberg和Erdös的素数定理初等证明。
5. Georges Reeb：动力系统的轨迹性质。
6. Pierre Samuel：局部环与代数几何导论。
7. Marie-Hélène Schwartz：Heins的解析函数与次调和函数增长性研究。
8. Charles Ehresmann：微分纤维丛中的无穷小联络。
9. Laurent Schwartz（四次）：Kodaira的黎曼流形调和场（Hodge理论）。
10. Jean-Pierre Serre & Armand Borel：Iwasawa和Gleason的局部紧群扩张。
11. Jacques Dixmier：冯·诺依曼代数的分类与迹。
12. Jean-Louis Koszul：Jordan代数。

特点：

新增微分几何（纤维丛联络）、动力系统、调和分析（Hodge理论）等方向。更强调分析学与几何的结合（如Kodaira的工作）。

1950-1959系列

后续研讨会按十年分期延续了这一传统（如1950-1959、1960-1969等）。出版方包括巴黎大学、Springer-Verlag和法国数学学会（Astérisque系列）。 布尔巴基学派（Nicolas Bourbaki）在1950-1959年间的研讨会（Séminaire Nicolas Bourbaki）涵盖了广泛的数学领域，反映了该学派在这一时期对现代数学的深远影响。以下是这十年间研讨会的主要内容和研究方向总结：

1. 主要研究方向

代数几何：包括Jacobian簇、Picard簇、Hilbert第十四问题、Zariski理论、复乘法和代数曲面等。Grothendieck的下降理论和形式模理论为现代代数几何奠定基础，Zariski和Weil的工作推动了算术几何的发展。

拓扑学：涉及同伦群、纤维丛、上同调理论、Steenrod运算、配边理论（Thom、Milnor）以及Bott周期性定理。Thom的配边理论和Bott周期性定理影响了微分拓扑和K-理论。

李群与表示论：包括半单李群、Harish-Chandra的工作、诱导表示、球函数、紧李群及其在齐次空间上的作用。Harish-Chandra的半单李群表示理论和Godement的zeta函数研究推动了自守形式的发展。

微分几何：研究Kähler流形、Hermitian对称空间、齐次空间的微分几何、等距嵌入（Nash-Kuiper）等。

数论与类域论：涉及Weil猜想、局部类域论、Iwasawa理论、adelic环和代数数域的扩张。Iwasawa理论、Weil猜想和Dwork的zeta函数理性证明标志着现代数论的转折点。

偏微分方程：包括椭圆方程、Cauchy问题、Navier-Stokes方程、Malgrange和Hörmander的工作。Malgrange、Lions和Hörmander的工作为线性与非线性PDE提供了重要工具。

泛函分析：拓扑张量积、核空间（Grothendieck）、von Neumann代数、Banach代数中的符号计算等。

逻辑与计算理论：图灵机、不可判定问题（Tamari）、谓词逻辑的语义表（Guillaume）。

2. 重要人物与贡献

Alexander Grothendieck：在代数几何（下降理论、对偶定理）、拓扑张量积和形式几何方面做出奠基性工作。

Jean-Pierre Serre：涉及同伦论、类域论、Steenrod运算、zeta函数的理性（Dwork）以及Borel-Weil定理。

Armand Borel：研究代数群、齐次空间、Hermitian对称空间和紧李群。

René Thom：在配边理论、微分映射的奇点理论以及浸入分类（Smale）方面做出贡献。

Jacques-Louis Lions：研究位势理论、椭圆边值问题、Navier-Stokes方程和插值理论。

André Weil：涉及类域论、复乘法、Torelli定理以及adele代数群。

1960-1969系列

这一时期的研究为20世纪下半叶数学的发展奠定了坚实基础，尤其是代数几何、表示论和拓扑学的革命性进展。 布尔巴基学派（Nicolas Bourbaki）在1960-1969年间的研讨会（Séminaire）涵盖了广泛的数学主题，反映了当时数学研究的前沿方向。

1. 主题多样性

代数几何：Alexander Grothendieck 的贡献尤为突出，涉及 Hilbert 概形、Picard 概形、下降技术（descent techniques）以及 Brauer 群等。

拓扑学：包括 Bott 周期性定理、球面嵌入（embeddings of spheres）、向量场（vector fields on spheres）以及 Poincaré 猜想在高维的情况（由 Kervaire 和 Stallings 的工作）。

微分几何与代数拓扑：如 Nash 嵌入定理（Nash embedding theorem）、Chern 定理（Chern’s theorem）以及微丛（microbundles）。

表示论与李群：包括半单群的表示（Roger Godement、Claude Chevalley）、Kirillov 的轨道方法（nilpotent Lie groups）以及 p-adic 李群（Jean-Pierre Serre）。

数论与算术几何：如 Néron 模型（André Néron）、Mordell 猜想（Pierre Samuel）以及自守形式（automorphic forms，由 Shimura 和 Langlands 的工作）。

分析：包括偏微分方程（Bernard Malgrange、Lars Hörmander）、调和分析（Jean-Pierre Kahane、Paul Cohen）以及奇异积分算子（Laurent Schwartz）。

逻辑与计算：如不可判定性定理（Daniel Lacombe）。

2. 重要人物与贡献

Alexander Grothendieck：主导了代数几何的多个方向，包括概形理论、下降技术和 Brauer 群。

Jean-Pierre Serre：涉及群上同调（group cohomology）、p-adic 李群和有限群的研究。

Roger Godement：研究了线性代数群、Selberg 迹公式（Selberg trace formula）以及模函数（modular functions）。

Bernard Malgrange：专注于偏微分方程和椭圆边值问题（elliptic boundary value problems）。

Adrien Douady：贡献于复几何（如 Kuranishi 的模空间理论）和拓扑（如 Bott 周期性定理）。

Pierre Cartier：涉及随机过程（stochastic processes）、表示论和代数群。

3. 标志性成果

Atiyah 的椭圆算子指标定理（1962-63）：由 Michael Atiyah 介绍，成为微分拓扑的重要工具。

Bott 周期性定理（1963-64）：由 Adrien Douady 介绍，推动了 K-理论的发展。

Nash 嵌入定理（1961-62）：由 Serge Lang 介绍，解决了黎曼流形的等距嵌入问题。

Langlands 的自守形式研究（1963-64）：由 Hervé Jacquet 介绍，为朗兰兹纲领奠定了基础。

1960-1969 年的布尔巴基研讨会是现代数学发展的一个缩影，涵盖了从代数几何到分析、从拓扑到数论的广泛领域。其特点是理论深度与跨学科性，许多主题至今仍是研究热点。Grothendieck、Serre 和 Atiyah 等数学家的贡献尤为突出，推动了 20 世纪数学的重大进展。

朗道（Lev Davidovich Landau, 1908-1968）是20世纪最杰出的理论物理学家之一，他的贡献涵盖了理论物理学的几乎所有领域，从量子力学到凝聚态物理，从核物理到流体力学。他的工作不仅推动了物理学的发展，还通过他的教学和指导培养了一代又一代的物理学家。

生平简介

列夫·达维多维奇·朗道（Lev Davidovich Landau，1908年1月22日－1968年4月1日）是苏联著名理论物理学家，出生于俄罗斯帝国巴库（今阿塞拜疆首都）的一个犹太家庭。他自幼展现出非凡的数学天赋，12岁掌握微积分，14岁进入巴库大学同时学习物理和化学，后专注于物理学。1924年转入列宁格勒大学（今圣彼得堡国立大学），1927年毕业后赴欧洲游学，曾在哥本哈根尼尔斯·玻尔研究所工作，深受玻尔影响。1932年至1937年，他在乌克兰哈尔科夫的物理技术研究所领导理论物理部门，创立了著名的“朗道学派”。1937年移居莫斯科，担任苏联科学院物理问题研究所理论部主任直至1962年。1968年因车祸后遗症去世，葬于莫斯科新圣女公墓。

主要科学贡献

朗道的研究涵盖理论物理几乎所有领域，被誉为“最后一位全能物理学家”。朗道的科学贡献横跨多个领域，他的理论不仅深刻影响了20世纪的物理学，至今仍在多个研究方向中发挥重要作用。他的教育理念和科学精神也激励了无数物理学家。1962年，他因“凝聚态物理的开创性理论，特别是液氦的超流性”获得诺贝尔物理学奖。尽管他在1962年的车祸后健康严重受损，但他的科学遗产仍在继续推动物理学的发展。他的核心成就包括：

1. 量子力学与量子场论

朗道在量子力学的早期发展中做出了重要贡献。1927年，他在研究辐射阻尼问题时首次引入了密度矩阵的概念，这一工具后来成为量子统计力学和量子信息理论的基础。1930年，他与佩尔斯（R. Peierls）合作研究了相对论量子力学中的测量限制，提出了在相对论情况下动量测量的不确定性原理的扩展。这一工作为后来的量子场论奠定了基础。

在量子场论方面，朗道与阿布里科索夫（A. Abrikosov）和哈拉特尼科夫（I. Khalatnikov）合作，研究了量子电动力学中的发散问题。他们提出了一种“点相互作用”的极限处理方法，并发现当相互作用半径趋近于零时，理论会“归零化”（即有效电荷趋于零）。这一发现对量子场论的重整化理论产生了深远影响。

2. 凝聚态物理

朗道在凝聚态物理领域的贡献尤为突出，尤其是在超流性和超导性的研究上。1941年，他提出了液氦II的超流理论，解释了为什么液氦在极低温下可以无摩擦流动。他引入了准粒子（元激发）的概念，将液氦的能谱分为声子（phonon）和旋子（roton）两种模式，并建立了二流体模型，即超流体和正常流体的共存理论。这一理论不仅解释了超流现象，还为后来的玻色-爱因斯坦凝聚研究提供了重要参考。

1950年，他与金兹堡（V. L. Ginzburg）合作提出了超导的唯象理论（Ginzburg-Landau理论），该理论通过引入序参量（order parameter）描述了超导相变。这一理论后来被BCS理论（微观超导理论）所证实，并成为研究超导体的重要工具。

3. 相变理论

1937年，朗道提出了二级相变的一般理论，这是他对统计物理学的重大贡献。他引入了序参量的概念，并指出相变的发生与系统对称性的变化密切相关。他的理论不仅适用于超导和超流，还广泛应用于铁磁、铁电和液晶等系统的研究。朗道的相变理论为现代凝聚态物理提供了重要的理论框架。

4. 等离子体物理与流体力学

朗道在等离子体物理方面的贡献包括朗道阻尼（Landau damping）的发现。1946年，他证明即使在无碰撞的等离子体中，高频振荡也会因粒子与波的共振相互作用而衰减。这一现象对等离子体物理和受控核聚变研究具有重要意义。

在流体力学领域，他研究了湍流的起源，提出了层流失稳后流动发展的定性理论。他还发现了超音速流动中的双重激波结构，并给出了粘性不可压缩流体轴对称射流的精确解。

5. 核物理与粒子物理

朗道在核物理方面提出了液滴模型，将原子核视为量子液体，这一模型后来被用于解释核裂变和核结构。在粒子物理领域，他在1956年提出了二分量中微子理论，预言中微子具有固定的螺旋性（helicity），并提出了“联合宇称”（CP守恒）的概念。尽管后来发现CP对称性在某些弱相互作用中也会破缺，但他的理论对粒子物理的发展产生了深远影响。

6. 教育与科学传承

朗道不仅是一位伟大的科学家，还是一位杰出的教育家。他设计了“理论物理最低标准”（Theoretical Minimum）考试，要求学生在数学和物理的各个方面达到高标准。他的《理论物理学教程》（与栗弗席兹合著）至今仍是全球物理学学生的经典教材。他的学生中有多位成为苏联科学院的院士，包括阿布里科索夫、哈拉特尼科夫等著名物理学家。

7. 个人风格与影响

朗道以其敏锐的物理直觉和追求简洁的思维方式著称。他常说：“物理学家的工作是‘平凡化’（trivialize）复杂的问题。”他的科学风格强调物理本质，而非数学形式。他还以幽默著称，曾对数理物理学家进行“等级排名”，将自己列为“2½级”，而爱因斯坦是“½级”。

Landau Genius Scale

朗道天才标度（Landau Genius Scale）是苏联物理学家列夫·朗道（Lev Landau）在20世纪30年代提出的一种对理论物理学家创造力进行分级评价的体系。该标度以对数形式衡量物理学家的贡献，每差一级代表贡献相差10倍。

1. 标度分级与代表人物

0级：最高级别，仅牛顿一人入选，被誉为“近代物理学之父”。

0.5级：爱因斯坦，被认为略逊于牛顿，但仍是“物理巨匠”。

1级：量子力学奠基人，包括玻尔、海森堡、狄拉克、薛定谔，以及费米、德布罗意、玻色、维格纳等。

1.5-2.5级：朗道最初自评为2.5级，获诺贝尔奖后调整为2级，晚年升至1.5级。

3-5级：涵盖其他知名物理学家，如费曼被认为与朗道相近（约2级），而杨振宁未被朗道正式评分，但后人推测其应属1级。

2. 标度的数学意义

以10为底的对数标度，即一流（1级）物理学家的贡献是二流（2级）的10倍，超一流（0级）是一流的10倍。朗道认为牛顿的贡献是爱因斯坦的10倍（因0级与0.5级的对数差）。

3. 争议与补充

杨振宁的定位：朗道未直接评价杨振宁，部分因其成就多在朗道去世后显现。后人分析其“杨-米尔斯理论”等贡献应属1级，与量子力学奠基人并列。主观性与局限性：标度反映朗道个人观点，虽在科学界有一定认可度，但也因“傲慢”引发争议（如将5级称为“病态”）。

4. 其他分类方式

朗道还曾用数学算符比喻物理学家类型，如：拉普拉斯算子（聪明且专注）：玻尔、爱因斯坦；菱形算子（聪明但浮躁）：自称；梯度算子（浮躁且平庸）：如伊万年科。

朗道标度以对数形式量化物理学家的历史地位，核心逻辑是“创造力差距的指数级差异”。尽管主观性强，但其对牛顿、爱因斯坦等“开派宗师”的定位与科学史共识高度一致。

教育与学术遗产

朗道设计了严苛的“理论物理最低标准考试”，1934-1961年仅43人通过，其中包括多位未来著名物理学家（如阿布里科索夫、栗弗席茨）。他与学生合著的十卷本《理论物理学教程》至今仍是经典教材。他提出的“物理学家天才对数标度”将牛顿评为最高级（0级），爱因斯坦为0.5级，自评为2级，成为科学界的趣谈。朗道性格幽默尖锐，持无神论和社会主义立场。他参与苏联核武器研发，获斯大林奖（1949、1953）和“社会主义劳动英雄”称号（1954）。1962年，朗道遭遇严重车祸，虽幸存但丧失科研能力，同年获诺贝尔物理学奖（因超流理论），由其学生代领。1968年逝世，身后留下对苏联科学的深远影响，其思想与人格矛盾（天才的傲慢）成为传奇。他的KGB档案于1991年公开，揭示了日常生活与学术成就交织的复杂一生。为纪念他，俄罗斯科学院设立“朗道金质奖章”，月球陨石坑和小行星2142均以其命名。

Weil 生平介绍

安德烈·韦伊（André Weil，1906年5月6日－1998年8月6日）是20世纪最具影响力的法国数学家之一，以其在数论和代数几何领域的奠基性工作闻名于世。他出生于巴黎一个阿尔萨斯犹太裔家庭，其妹妹西蒙娜·韦伊是著名哲学家。安德烈·韦伊（André Weil）自幼展现出惊人的语言与数学天赋：12岁自学拉丁文和希腊文，15岁已通晓德语、英语和梵文基础。1921年，15岁的韦伊结识数学家雅克·阿达马（Jacques Hadamard），后者成为他学术生涯的引路人。1922年，他考入巴黎高等师范学院，开始系统研读黎曼等数学大师的著作，从此踏上数学探索的传奇之路。

1925年，韦伊在巴黎高师期间接触到印度史诗《薄伽梵歌》，这部经典深刻影响了他的世界观。书中关于”责任与使命”的哲思，后来竟戏剧性地拯救了他的生命——二战期间，他因拒绝服兵役被捕，正是凭借这一哲学信念坚持己见，最终免于死刑。这段经历也反映在他的学术风格中：韦伊的数学研究常带有哲学般的宏大视野，例如他将拓扑学的”莱夫谢茨不动点定理”与数论中的”黎曼猜想”联系起来，开创了跨领域的突破性思维。韦伊先后在巴黎大学、罗马和哥廷根求学，1928年获得博士学位，师从雅克·阿达马和埃米尔·皮卡德。

1934年，28岁的韦伊与好友亨利·嘉当（Henri Cartan）在斯特拉斯堡大学任教时，因不满陈旧的数学教材，联合一群年轻数学家秘密组建了”布尔巴基学派”。他们用虚构人物”尼古拉·布尔巴基”署名，以咖啡馆为据点，用集体讨论的方式重写现代数学基础。这个叛逆的学术团体后来成为20世纪最具影响力的数学组织，其严谨的公理化体系彻底重塑了数学教育。韦伊曾笑称：”我们本想写教科书，最后却编了部百科全书。”

1940年二战期间，韦伊因”逃避兵役”被关押在法国鲁昂监狱。令人惊叹的是，在这座阴冷的牢房里，他完成了两项里程碑式工作：证明了”有限域上曲线的黎曼猜想”，并校对了他的积分论专著手稿。狱警回忆道：”这个囚犯整天在墙上画奇怪的符号，还声称自己在拯救法国数学。”出狱后，他辗转流亡美国，在芝加哥大学任教期间，其《代数几何基础》一书为现代代数几何奠定了基石。

韦伊的学术生涯跨越多国，曾任职于巴西圣保罗大学（1945-1947）、芝加哥大学（1947-1958），最终长期执教于普林斯顿高等研究院。他是尼古拉·布尔巴基学派的创始人之一，该学派对现代数学的结构化发展产生深远影响。韦伊在数学上的主要贡献包括：证明有限域上曲线的黎曼猜想（1940年代）、建立现代代数几何基础、提出韦伊猜想（后由格罗滕迪克、德利涅等人证明），以及引入阿代尔环概念。他在1949年发展的韦伊上同调理论为代数几何与数论建立了深刻联系。

韦伊的学术荣誉包括沃尔夫数学奖（1979）、美国国家科学院外籍院士（1966）、京都奖（1994）等。他著有《代数几何基础》（1946）、《数论基础》（1967）等经典著作，以及自传《一个数学家的学徒生涯》。韦伊于1998年在普林斯顿逝世，享年92岁。其科学遗产通过布尔巴基学派和众多开创性理论持续影响着当代数学发展。

Cartan 与 Weil 长期的友谊

Henri Cartan 与 André Weil的友谊跨越了七十余年，其深厚情谊与数学合作在文章中得到了细腻展现。

初识与早期交往（1923-1928）

Cartan与Weil的友谊始于1923年巴黎高等师范学校（École Normale）的相遇。当时Weil已是二年级学生，年仅16岁，因穿短裤被校长训斥的轶事凸显其早慧与不羁。Cartan注意到Weil的非凡才华——他提前一年完成所有考试，并研读黎曼著作。两人虽不同届（Weil早一年毕业），但学术兴趣逐渐交融。1928年，Weil在代数几何领域的博士论文答辩完成，而Cartan同年12月也在Paul Montel指导下完成关于正规族的论文，两人正式步入学术生涯。

竞争与合作的转折（1929-1933）

1929年，两人竞争斯特拉斯堡大学的讲师职位。Cartan因研究方向更契合教授Georges Valiron的偏好而胜出，Weil则转向印度阿利加尔大学改革数学教育（1930-1932）。这段分离期间，Weil通过信件向Cartan描述异国工作的挑战。1933年，Weil受Cartan邀请重返斯特拉斯堡任教，两人共事仅两月后Cartan因伤寒住院，Weil的频繁探访成为艰难时刻的慰藉。

Bourbaki的诞生与数学共进（1934-1939）

Cartan在教学中对经典分析教材不满，与Weil频繁讨论。Weil提议召集同辈（包括Jean Delsarte等）定期会面，由此催生了Bourbaki学派（1934）。Weil确立核心原则：匿名写作、成员50岁退休制，并推动Cartan转向多复变函数研究（受Carathéodory启发）。两人在巴黎-斯特拉斯堡的火车旅途中常争论数学，Weil刻意质疑以激发Cartan深入思考，这种“挑战式交流”成为友谊的独特印记。1937年Weil与Eveline结婚，Cartan观察到婚姻如何改变了他的生活。

战争中的患难与共（1939-1945）

二战爆发后，Weil因反战立场离开法国，辗转芬兰、瑞典等地，期间仍通过加密信件（署名“Ahlfors”）与Cartan保持联系，讨论Bourbaki工作。1940年Weil被捕，在鲁昂监狱期间手写积分论论文（现存法国科学院），Cartan之父出庭作证。法国沦陷后，Cartan协助Weil家族避难，并最终在克莱蒙费朗迎接Weil归国。1944年Weil携妻儿赴美，Cartan成为其与法国亲属的联络纽带。战后，Weil每年夏季返法参与Bourbaki会议，直至1955年按规则退休。

晚年与永恒纪念（1948-1998）

1948年Weil邀请Cartan访美，助其适应新环境。此后形成传统：每年5月Weil抵法后首日必致电Cartan“Je suis là”，共度午后长谈，漫步大学城花园，直至深夜。1986年Eveline去世后，Weil仍坚持这一仪式，但健康逐年衰退。晚年的韦伊在普林斯顿高等研究院潜心研究，身边总伴着一只名叫”猫咪苏”（Catsou）的虎斑猫。1994年，88岁的他赴日本领取京都奖——数学界的终身成就”诺贝尔奖”。领奖台上，他幽默地说：”我年轻时幻想在1959年黎曼猜想提出百年时破解它，可惜失败了。但现在，我的猫或许更关心晚餐。1996年最后一次巴黎会面时，他虽体力不支，思维仍敏锐。Cartan亦深切怀念Weil的妹妹——哲学家西蒙娜·韦伊，提及兄妹虽志趣迥异却彼此深爱，Weil曾为出版她的全集倾注心血。”这位一生追求”数学真理之美”的大师，于1998年8月6日安然离世，留下8大数学领域的开创性贡献。

Cartan 以“无法估量我欠 André Weil 多少”作结，这段友谊不仅是数学史上的佳话，更见证了两位巨匠在学术竞争、战争离乱与生命起伏中的相互扶持。他们的合作重塑了现代数学，而情感纽带则跨越时空，直至 Weil 1998 年逝世后仍被 Cartan 深情追忆。

本文纯转载，并且是 2012 年的文章，有的观点可能不符合现在的场景，请读者自行甄别。

[回复本文][原帖] 发信人: WAMozart(含泪微笑的天使), 信区: PhD

标 题: 博士这条船

发信站: 饮水思源 (2012年12月17日15:50:49 星期一)

一、前言

原先我是准备等到毕业的那一天，痛痛快快地哭过了之后，一口气写掉这篇文章的。其实一直在零散时间打腹稿，差不多已经煲熟了。刚才有同样读博士读得凄凄惨惨切切的师兄表示期待，于是一横心决定现在就写了。何况，早点让更多还没上博士这条船的弟妹们看到，提醒他们读博要谨慎谨慎再谨慎，能多挽救一个像我们哥俩这样不是读博的料的孩子，也好。

文章原先是分八篇发表的，现整理为一整篇，每一部分加上原先的标题。有几点要说明的：

1.或许有人嫌太长了不想看，或许我的观点片面甚至偏激，或许我的经历太特殊而不具备代表性

但是无论如何，请点进来看的每一位想要读博士的朋友，还包括尚未高考的小朋友和他们的爸妈们，切记，在做出选择之前做一下人格测试/职业倾向测试等等，至少没有坏处。职业倾向测试会给出比较细致的职业类型建议，会大大减少选择专业的盲目性。至少，对于有明显偏科倾向的孩子来说，不要在文理科之间站错队。为什么从读博士扯到高考选专业呢？因为对于有些专业来说，不读到博士几乎就等于没读，比如我们生物专业，如果读到硕士毕业，只能每天背个包挨个实验室敲门推销试剂，或者在流水线上做质检，在可口可乐之类勉强与生物擦个边的公司给博士打下手。要想做研发，土博士都没人理你，海龟博士铺天盖地的。所以选择有些专业就意味着除非转行，否则一定要从一而终，读到博士才能在本专业内做点有意义的事情。要特别强调的一点是“隐性偏科”。像我这种在高中阶段已经表现出偏科倾向的孩子，其实从成绩来看并不算明显偏科。但那是我基本不花时间在语文和英语上，而咬着牙狠命拼数学的结果。另外得益于上海的高考政策，我高二已经放弃物理了，选了半文半理的化学。背点东西什么的，对我来说从来就是轻松愉快的事情，而逻辑推理是要了命的。这种孩子其实内心很明白自己到底是属于文科还是理科世界的，至少能清楚地感受到自己到底是对史地生还是数理化更有兴趣，学起来更轻松。

简单说下我上错理科这条船，继而又上了博士这条小艇，沉浮于学术苦海这一故事的起因：高中的时候，家长和老师都希望我选理科，理由是男生嘛，理科拼一拼还是很不错的（确实高考数学被我拼到了138），不要学文科，以后没饭吃。我高考前还是上个世纪末，网络刚刚进入人们的生活，那时候高中生上哪里去找几个走过大学的人去听听他们的故事呢，又怎么知道还有各种测试性格、思维方式和职业倾向的科学测试呢？现在的孩子们要利用好你们拿起手机就能拥有的这些宝贵资源啊！而我的性格真的决定了我的命运，我不够有魄力，缺乏那种豁出去了一定要执着于自己的梦想的气概。其实如果我从知道音乐学院作曲指挥系需要考钢琴那一刻开始，两年时间内狠命练钢琴，同时凑活着读点书，钢琴肯定可以过关，高考分数绝对也能达到音乐学院那点分数线了。

虽然说在这个现实的社会中，吃饱饭确实是第一要务，吃饱了饭才能做好自己热爱的事情。而搞纯正的文科或艺术类专业，除非成为同行中的佼佼者，确实很难挣大钱。但我就不信一个人如果能够从事自己真正热爱而且擅长的事情，因此不仅仅为了一家人能吃饱饭去工作，而是为了让自己的灵魂不至于枯死、为了让自己和其他人的生命持续发光、为了让周围的人拥有shinning eyes（请搜索Classical Music and Shinning Eyes，美国一位指挥家一段20分钟的讲座视频，其中提到他所认为的成功便是如此），那么，不管他读什么专业，我就不信他会找不到工作，我就不信他会饿死！尽管可能太天真，太理想主义，我还是觉得，比挣大钱更重要的是发挥出一个人天赐的价值，遵从其内心深处的理想，能够从事一份不存在上下班概念，不给加班工资也乐意继续工作而不以之为“加班”的事业。而只有这样的事业，才真正称得上是事业，而不仅仅是职业。他或许会因此而活得不那么光鲜，或许买不起豪宅开不起豪车，但他会是世界上最幸福的那一小群人——人生理想和职业理想能够重合——之一。

而世界上最大的悲剧，除了“你未来的丈母娘站在你面前而你只能喊阿姨”，便是，不得不把上帝赐予自己的天赋打包藏起来，把梦想掩埋起来，用自己的短处去跟一群强者争一口饭吃。然后只能在业余时间偷偷拿出自己的梦想来把玩一下，以免自己的灵魂凋零。楼主便不幸是这么个悲剧人物。并且已经一把年纪了，不再有年轻的资本，能豪迈地呐喊，去你的permanent head damage，老子不干了，老子要实现自己的理想。都而立之年了，棱角磨平了，梦想的光芒也穿不透打包盒了，生存的压力和对安稳的渴求已经压倒了一切。认命了。

2.公认地，化学和生物是所有专业中读博士最苦逼的专业

所以一个生物学博士生的血泪史，尤其还包括一段在大洋彼岸一个指鹿为马偷梁换柱暗度陈仓装腔作势无中生有咆哮如雷喷吐唾沫诸项技能无所不精的极品手下做学术民工的生涯，已经达到苦逼的极致了。我所能有把握说到位的，也仅限于生物专业。何况行文之中无论如何不可能完全排除个人的情感因素，一定会有夸张的成分，只是绝不会无中生有。其他专业的朋友们，不要把本文太当真，参考参考就行，还是多听听自己专业前辈们的说法。但从另一个方面来说，不管什么专业的博士，有一些要求是相通的。下文中会详细展开。

3.对于真正适合读博士做科研并且真心热爱科研的人，什么都拦不住的

本文能够拦住的，一定是相当不适合上这条船的人。其实你们像我一样，会在其他领域发挥自己的才能，没必要硬着头皮上船，走进下船前流着热泪劝弟妹的历史循环。对介于此两极之间的中间派，读博无妨，不过别想着在高校和科研院所做研究了。现实点，去企业做研发吧，或者像我这样，有文字和英语方面特长的，打个擦边球，在本专业范围内从事文字工作。做理论研究是投入产出比最低的工作，在相当一部分专业是如此。因为中间派的人生理想并不是扔下家庭没日没夜地泡实验室，所以，在有年收益率将近5%的债券什么的可供选择的情况下，何必把钱存银行呢？所以，在不误读我的文章的前提下，我不担心乱写一气会给弟妹们带来不利的影响。至少至少，给大家打打预防针，上船前多做点切合实际的准备，总没错呢。

二、读完博士能够干什么

实际上这个问题问出来，有点亵渎“博士”这个词的本真涵义。Philosophy degree的本意应当是授予拥有相当智慧（注意，知识和技能都只是“智慧”的子集）的人的最高学位，因为philo和sophy这两个来源于希腊语的词根本意分别是“爱”和“智慧”。在西方国家，花白头发的博士生并不罕见，而这类无止境地追求自身更高精神境界的勇士才最配被授予荣耀的博士学位。或者说，读博士的目的应当不仅仅局限于为了找份更有技术含量报酬更高的工作。实际上如果我真的如愿去音乐学院读博士，我不会仅仅问“博士毕业之后能做什么”，我更看重的是学习的过程会为我这如同空气和水一样重要的爱好（实在不仅仅是一种爱好）带来什么样的benefit，会让我的一生拥有怎样一个精神境界和视野，会给我的后代，给整个人类社会留下点什么无价的财富。可惜的是，在大学无异于职业技能培训所的中国，绝大部分博士生，包括现在上了生物学博士这条船的我，对于博士学业的意义，只能问出这样一个问题：毕业之后我能干什么？

毕竟我们的国情不同于西方发达国家，生存的压力对于绝大多数中国人来说是压倒一切的。生存问题得不到一个足够强有力的保证，谁都不会去考虑更高层次的需求，包括对什么事物的热爱。我有个在美国读过硕士的朋友告诉我，他的室友有个绝对强大的老爸，财产足够他坐吃一辈子而不空，但是他就是不读大学，而是做了一个快乐的厨师。而我在美国做学术民工时所见到的美国学生，包括来自一些发达国家的学生，基本上家境都比较殷实，另外一方面在美国博士毕业之后的收入通常来说并不比硕士乃至本科毕业的高太多。所以那些欧美国家的学生，基本都是在一种不着急毕业了挣钱的情况下，怀揣着对学术由衷的热爱，把科研当成爱好来做的。既然是爱好，就不大可能以牺牲睡眠，必要的recreation and social time，以及最重要的健康，这样的代价，去谋求更上一层楼。所以通常来说天黑之后老外实验室基本都关灯了，如果没关灯的话在里面埋头苦干的基本上是来自中国、印度等第三世界国家的学生，再就是晚上在黑灯瞎火的地方只要不张嘴绝对隐形的那种老黑——美国本土并不出产黑到这种程度的老黑…… 而也只有把科研当成爱好而不只是任务或者通向未来的一个台阶，才有可能真正做得好科研。做任何一件有挑战性的事情，由衷的热爱都是绝对必须的先决条件。否则，普通人绝无可能面对无穷无尽的困难而依然保持足够强大的动力。

所以我们来回答当前我们国家国情下的这个问题吧：博士毕业之后能干什么？

其实大家都知道，无非以下这么几条路。其中涉及到的详情，我只能说生物医药领域的，其它领域的，请各个领域的朋友们补充。

1.出国做博士后

作为学位，博士到顶了，可是之后还有圣斗士，壮士，烈士。博士毕业之后还有不少人去企业，而做完博士后的人留在基础研究领域的可能性则更高一些。基础研究领域包括高校和科研院所，也不排除一些特别强大的医药和生命科学类企业中的上游研究。但这种研究在西方国家比较常见，在国内还是凤毛麟角——国内能够做点像样研究的企业都不多，从数量上说占多数的都是些倒买倒卖试剂的皮包公司，大家都知道的……所以做完博士后，基本上就要把整个人生献给科学事业了。当然也有少数不得志的，一辈子做博士后，那点工资也够养家糊口……这条路适合真心热爱做科研，生命中没有什么爱好能够压倒科研，为了科研可以牺牲很多东西乃至包括家庭的那些人。正是这些人为全人类的进步提供了最大的动力，他们的自我牺牲值得崇敬。只是，绝大部分人是达不到这一境界的。

2.直接留在高校和科研院所

因为没有博士后经历，即使是国外名校博士毕业回到国内，也得爬几年才有可能爬到副教授职位（二三流大学不用提了，那是养老的所在，读博士就是为了去二三流大学的可以不用看下去了）。国内博士毕业的，即使是名校比如咱交大，要想直接留在一流大学或者去一流科研院所，那对不起，只能从食物链的最底层开始爬。我们实验室几位近几年博士毕业的青椒，包括两位交大毕业的，只能从讲师开始干起。跟我们学生做几乎同样强度的实验，晚上和周末经常加班干活（对学生来说是常态，生物实验不像写电脑程序，有些实验扔下来休息一天可能就报废了得从头开始重新做起），还要负责实验室琐碎的事情，还要给本科生上课。就这样累死累活，每个月到手才4000。当我知道这一事实的时候我简直忍不住要爆粗口了，要知道现在上海的公交司机每个月到手都能有4000！交大本科毕业起薪都能有三四千，工作到正常博士毕业的岁数七八千总有了。吭哧吭哧读到博士毕业，在高校里做了个听起来很不错的老师，收入只能跟开公交的持平？去二三流大学收入会高很多，因为人家求贤若渴，而一流大学根本不怕没人来。即使爬到食物链的上层（需要有国外访学经历、领导过一定级别以上的课题、发表过一定数量和质量的论文，才有资格去竞争晋升的名额），做了教授，据说在咱生物学领域做基础研究的（也就是没有很多来自企业的横向课题，而是主要靠国家的经费生存的），算上正常额度的灰色收入（不能说太细了，但这种“正常额度”内的还算是很厚道的了，而且对低到令人发指的工资来说简直是必须的），每月收入也就刚过万。这就是悲惨的现实。诸君莫怪很多教授搞三产，捞“超过正常额度”的外快，这实在并不是道德败坏到溃烂，而是为生存压力所迫——教授的尊严何在，应有的体面生活何在？

3. 去企业

国内目前一般的生物医药行业企业，刨去那些倒买倒卖试剂的皮包公司，给博士的待遇都要比高校讲师高得多。起薪就翻个倍达到8000左右，很快可以过万。至于皮包公司，小庙也容不下胖和尚，总不能让博士去推销试剂咯。但生物学博士去企业的这个收入，跟其它很多专业的比起来，实在是太寒碜了。做实验最辛苦，毕业难度名列前茅，毕业后收入在博士中几乎垫底（可以跟文科博士抱团痛哭了），这就是生物学博士被称为失足青年的原因。不过好歹月收入万把块，如果配偶收入也还可以，在上海是勉强可以生存下去了。就整个博士群体而言，在国内工作的待遇也还是偏低的。

4. 其它零碎的出路

比如我今后的去向，做本专业英文SCI杂志的编辑，或者去果壳网之类的科普网站/杂志写科普文章。后者倒是我的兴趣和长处之所在，据说待遇也还可以。或者创业。不过本专业创业的难度是极大的。比如做药的话，要知道一个药从实验室开始研究到最后能获准上市至少十年，而且在实验室或临床实验的某个阶段被砍掉的概率至少在七八成。没有哪个创业者能够承担这样的成本和风险。做试剂的话稍微好点，但要搞出自己拥有专利的试剂谈何容易，大部分还是落得个倒买倒卖的下场，走入同质化低价竞争的死胡同。所以除非博士阶段做出过惊天地泣鬼神的原创性成果，而且很快就可以产业化，自己在生物医药领域创业几乎是无法生存下去的。

5. 转行

好吧，可是如果毕业之后转行的话，为啥要读博士？不过到了山穷水尽的地步，走这条路总比饿死好点吧。。。。。。。

三、怎样的人适合读博士？

回答这个非常宽泛的问题前，请允许我讲个我自己的故事。

记得2005年初，我在选择本科毕业论文导师（通常也就是研究生阶段的导师）时，从我大三起带我做PRP的老教授向李老师推荐我，说这孩子对科学有非常纯真的热情和兴趣，思路活跃有灵感，就收了他吧。李老师刚归国，原本不想招太多人，但在德高望重的老教授面前还是答应了。读研前两年，我也确实没辜负老教授的期望，甚至李老师送我出国交流前还表示希望把我培养成他的接班人。后来发生的转折，我的老朋友们都知道，先按下不表。我要说的便是那“热情，兴趣和灵感”。确实，在我刚涉足科研领域时，这三个词放在我身上，我是不用谦虚的。大二暑假里我就从“鸽子每胎生两个一定是一雌一雄”的传言中，结合专业课上学到的皮毛知识，萌生了自己立项做PRP(participate in research program)的想法。于是我扣开老教授的办公室门说明想法，他同意给我指导，但项目由我自己申请。获批三千块经费后，我跑上图去查文献，拉拢了几个同学，靠在我寝室的床上把整个宏伟的蓝图描绘得天花乱坠（就跟现在那些创业公司骗风险基金似的=。=）。然后在老生物楼（现在的本科生物理实验楼）一间实验室堆放废旧仪器的角落里，打扫干净建立了自己的实验室。瓶瓶罐罐和基本的仪器设备是从各个实验室化缘而来的，要用稍微高端点的仪器就要跑上跑下借用。鸽子呢，正好学校里就有，用经费换了超市购物券打点好管鸽子的大爷，就可以去抓几只鸽子，拿几只鸽子蛋。再买了点最便宜的试剂，几个人就开始干活了。2006年交大110周年校庆征文，我以此段经历为材料写的《老生物楼309，我的科研之梦开始的地方》获得一等奖。特等奖获得者全是老者，而我是一等奖中唯一的学生。那篇文章确实是我饱含热泪写出来的，因为写作的时候老生物楼已经在施工改造了，那亲手拼凑起来的小角落，已经与那只从我们手中逃脱而弄得满屋子“鸽”飞蛋打的鸽子一样，成为了永远的回忆。

当时我是学院历史上第一个自己申请PRP课题的，跟绝大部分做PRP的同学不同——他们基本上是去为师兄师姐们刷瓶子装枪头混报告的。后来我自己也带过PRP本科生，试着让他做实验，才知道为什么会这样：教他做比自己做更累，而关键是他做出来的数据不敢用啊，用了能发论文能毕业吗？生物学实验是门手艺活……

PRP那两年中我们自己动手把论文上的文字变成手艺活，艰难也可想而知。不过我们都乐在其中。这其实是最本真的科研——完全由纯真的好奇心驱动，不受任何诸如考核、毕业等要求和标准的污染，没有任何功利性目的。每个周末我们当中的上海人不回家，泡在实验室，是自觉自愿的。当时我跟我妈说，我觉得就算在实验室里扫地的时候也很开心。可惜的是，这种纯真的状态在我去美国做学术民工之后就一去不复返了。然而，当年我的热情，兴趣，灵感，莫非是虚假的？绝不是！现在我恍然大悟，破灭的并不是我的兴趣、灵感和热情，而是科研本应有的纯真的，不带功利性目的的环境。当然，如果没有那段血泪民工史，我的这些财富还不至于这么快这么彻底地化为泡影。

长长的故事讲完了……就是希望那些觉得自己对科研很有兴趣或者被老师这样夸赞的，对科研殿堂充满美好憧憬的弟妹们，要多长一个心眼，要看看自己是不是拥有我接下来要说的这些资质。这些才是科研工作者真正必需的。我把读博士等同于做科研了，因为不管毕业之后怎样，读的过程中每个人必然要自己做科研。当然我只能描述生物医药类（或许可以旁通到化学化工类）研究的情况，其它学科的，作作参考就好。

1.极强的自制力

因为极少有人会从骨子里热爱做科研，胜过喜爱花前月下饕餮大餐环游世界以及一觉睡到中午•﹏• 所以没日没夜没周末缺假期（实验学科的博士生暑假能有一两周假期就不错了，还得看老鼠的脸色），在实验室埋头苦干，必须有极强的自我约束力。靠老板管是没用的，如果处于老板不在就乐翻天的状态，基本上也就只能混毕业了。

2.狭窄的兴趣和有限的社会活动

经常要进城看音乐会？每天晚上要陪女朋友？得了吧。在实验学科读博士，过的绝不可能是正常人过的日子。除非你禀赋惊人又运气好到爆，否则想天一黑就离开实验室该干嘛干嘛，在中国是行不通的。因为这里有博士毕业必在SCI杂志发表一定数量和质量论文的规定。也就是说。虽然科学研究的本质就是探索未知世界，未知世界的面目不可能在几年前就确定，但一个博士生在四到六年的时间内必须把未知世界探索到一定的广度和深度并且取得一定质和量的成果。翻译一下，就是必须做到一定量的实验，以保证去掉必然会存在的“此路不通”之后剩下的都还够。再说得形象点，就好比把一个猎人赶进从没人进去过的原始森林，规定他几天后出来必须带多少大小以上的禽畜，至少总共多少公斤。现在知道为什么中国人论文造假层出不穷了吧？知道为什么纽约大学动物房的耗子们被淹死之后自然科学界的博士们纷纷转帖向这些要延期毕业了的同行们默哀了吧？所以，如果不愿冒造假被抓的风险，又没有惊人的禀赋和好到爆的运气可以用idea击败审稿人（这样也还是必须做实验的），那就用工作量堆呗。

3.说得不好听点，要有点geek

比如什么呢？比如我做学术民工时的那个老板，每天午饭就用微波炉热份冷冻垃圾食品，拿在手里满实验室转悠，逮着谁做实验不够好就骂；每天半夜两三点回家早上八九点来实验室，周末晚一两个小时来同样时间走；一坐在实验台前就快乐得哼小曲儿，回到家除了睡觉吃饭就是偶尔看电视（自己告诉我们的，还很骄傲地说他老婆非常好把所有的事都包了）。这个太极品了？那说说我现在的老板吧，他说他就是觉得坐在办公室里才安心了，幸福了，回到家就无聊得要死，呆不住。他也是两个孩子的父亲。是不是跟大部分人“老婆孩子热炕头，神马来着就老酒”（是这样说的吗，记不起“神马来着”是神马了-_-#）这么点追求不一样？为全人类作出巨大贡献的正是这样一些geek，然而实在是奇怪了点。而但凡科研做得非常出色的博士生，除了刚才提到过两次的特殊情况，多少也有点geek味。或者，至少能在这段时间内看起来像geek。

4.家里有一定的财力

女朋友不很物质（或男朋友是大款），没被催着结婚。第一条是保证博士生熬白了头发终于毕业开始挣钱时，爸妈还不等着他供养，最好还已经准备好了房子，免得博士生还得工作好几年到快要四十岁了才能结婚。后两条是保证博士生能有比较稳定的感情，因为有时候被耗子虐得想跳楼，心爱的人会是最温暖的慰藉（~~o(>_<)o~~）。或者，干脆搞基得了……

5.脸皮要厚，心脏要坚强

被老板骂得狗血喷头实属正常，实验一次成功可以马上去买彩票了。漫漫五年左右的岁月，没这两条属性怎么行？没有也得练出来！

6.不要往上比，要往下比

高中同学聚会，当年考试分数被自己永远秒杀的傻不拉几只会踢球的哥们，带着娇妻抱着宝宝开着宝马，饭桌上充斥着育儿经，股票基金，年终奖，IPO等等话题。此时，兜里只有几百块钱孓然一身来赴宴的博士生，须秉持“不该看的不看，不该听的不听，不该吃的赶紧多捞几口”的原则，在心中默念“我毕竟比华联生活中心卖鸡蛋灌饼的幸福多了”。。。。。。

前几天遇到一个人，是交大一位学霸的亲戚，聊了一会，对这一段又有了新的思路。

先说这个学霸的故事：82还是83年生人，交大航空航天还是机动学院（那个亲戚说不清楚）硕博连读毕业，就在交大留下，拿到副教授待遇，去了美国做博后。父母都只有初中文化水平，但孩子从小读书不用父母管，总是自觉完成所有作业，成绩始终拔尖，初高中经常数学满分（初中在区重点学校一会处于班级中游一会流窜到前几名一会又跌回中游的掩面路过）。从本科到博士年年拿很牛的奖学金，论文发到手软。出国前导师给他二十万让他写本书，在很短的时间内就写完了。到博士毕业也没谈过恋爱，一毕业人家给介绍了个某省高考状元，在海外博士毕业的妹子（一般男人听到这样的妹子都腿软，不敢要啊），很快结婚一起去美国了。

故事讲完了。仰视得脖子已经骨折，惭愧得已经挖地洞挖到地下十八层了。

这样天资聪颖而意志力极强的人，天生就是汉白玉，当然是极其罕见，属于最适合读博士搞科研的极小一部分人。而比较适合读博士搞科研的那一大类人，也在一定程度上具有他身上的可贵品质。除了上篇中写到的，还有以下几点：

7.强大的逻辑思维能力

那位学霸数学经常拿满分，不光是靠拼命用功就能做到的。一些拼命到不要命但逻辑思维能力毕竟没有出类拔萃的女生，数学经常考得到95分但很难拿到满分。物理也一样。学霸的逻辑思维能力是他学到这个境界的必要条件之一。像我这种高等数学课从不拉下一节，作业从来都自己试图完成，但几乎什么都没搞懂过然后毫无悬念地挂在高树上了的人，就是吃了神药每天24小时学习，在他这个专业都未必能博士毕业。换过来，要他像我这样三天打鱼两天晒网地准备了两个礼拜就拿到GRE作文5.5，估计让他去英语系每天24小时学习几年他也做不到。我当时看到题目想了一分钟就开始不停地写，一小时写了几屏幕大约两千多英文词。因为根据我常年观察，除非是极品天才，人的语言文字能力（与形象思维关系不小）和逻辑思维能力极难两全。人的天赋一部分是由大脑结构决定的，这里面又有一部分是由基因决定的，扔不掉，也拿不来。当然也有后天因素，但像我这样一直努力学数学却从来没学好过，从未感受到过数理学科任何一丁点美的，读理工科博士可以，但从入学起就扔掉以后搞科研的念头吧！干脆地、彻底地，啪地一下把那个气球戳破掉。别像我似的，两年前（读博士的第三年）还跟导师说我想毕业后去美国做博后，他莞尔一笑，你生活在火星上吗？

人对自己有个清醒的，准确的，客观的认识，由此规划自己的人生道路，扬长避短，是很关键的。

那么，对所有的专业来说逻辑思维能力都很重要吗？文科我不敢说，但听说也需要相当程度的逻辑思维能力。当然不是狭义地指数理方面那种线性的思维能力，具体也说不太清楚，请文科的朋友来补充。理工科方面，大家知道，生物学是最偏文科的一门。尤其本科时候学的那些东西，生物化学，遗传学，分子生物学，免疫学，发育生物学等等，没有一门需要用到比四则运算更加复杂的数学。对不起，四则运算只是算术，还不是数学。。。。。算术之外说穿了都是文科那种要背的东西，在背的基础上再去融会贯通。即使到了硕博士搞科研阶段，如果不是搞生物信息学、生物工程等少数分支，就算在Nature上发文章，最高级的数学也只是用到方差计算等一些最基础的概率与统计而已。而且我相信至少在近几十年内，生命科学不可能发展成一门以数学为主要工具的，模型化的，线性的自然科学。因为生命现象和活动的随机性、复杂性和动态特性太强，数学工具用来描述这些现象和活动，至少以目前数学的发展水平来看，是达不到足够的准确度的。

就是这样一门不能再“文科”一点的理工科，搞研究缺乏逻辑思维能力还是不行。比如，我每次组会上拿出来的ppt，老板的评语总是“像散文”，在美国时的导师的评语是“像小说”，那已经是我尽量简洁表达的产物了。我绞尽脑汁学人家的样弄出来的图表，总是连我自己都看不下去。但对于逻辑思维能力强的人来说，表达实验结果天然地就是用图表比较爽，要他们用文字描述清楚反而得费不少功夫。所以大家都觉得写论文比做实验痛苦，写完中文还得翻译成英文更痛苦。唯有我觉得直接用英文写论文好轻松，不开夜车两天足够搞定一篇SC。只是我写出来的论文还是像文学作品，现场感描述得很生动而缺少逻辑性。我更主要的问题是得费好大的功夫折腾出一些勉强算是实验结果的东西，才够我写一次文章。可是对于理工科研究生来说，没有做出质和量都在一定档次以上的实验结果，你写个啥？写文章再轻松有个啥用？再比如，设计实验思路，我觉得自己一步步走得已经很逻辑了，老板的评语是“顺序都不对，你不知道做这个实验之前必须先做哪几个实验，出现了问题应该按照什么样的顺序去找问题”，而这种正确的顺序我怎么都学不到位，因为我根本就不擅长那种一步步推导的线性思维。

设计实验不行，trouble shooting不行，表述结果也不行，光会写文学作品那还读个啥理工科博士？即使动手能力强做得好实验有什么用？生物学实验本身都是民工也能做得好的，只要培训足够长的时间。而博士的价值在于把握研究方向，设计实验思路，trouble shooting，以及销售自己的成果。除非导师每一个实验步骤都给你设计好，每一个结果会给你检查，你只需要像机器人一样干活，否则逻辑思维能力差的人即使再努力也绝对不可能成为一个优秀的理工科博士生，继而在科研领域做出大的成就。逻辑思维能力特别差的，像我这种，甚至可能遭遇生存危机，绝非危言耸听。好在我毕业后还有本专业文字工作的饭碗可以端端，可以让我扬眉吐气地实现自己的价值，否则简直是绝望了。我都不知道我高考的时候“理智地”报了理工科中最偏文科的生物学，到底是幸运还是不幸。或许如果我报了数学、计算机、机械动力这一类我小宇宙爆发也还是理解不能的天书学科，大二的时候就会因为挂科太多而被劝退，或许我就横下一条心去学音乐了，整个人生道路就完全不同了。祸兮，福兮？现在想这些也没用了，到了一定的岁数渐渐就信命了，就淡定地接受上帝的安排了。

就是希望让尽可能多的人知道，只要你学理科，逻辑思维能力一定要好，否则就现实一点早点工作算了。已经读博士了的能下船就下船，下不了的就早作毕业后尽快逃离学术圈的准备，别弄到太被动了。

8.有极清晰并且得到严格执行的（阶段性）人生目标

上文提到的学霸，快30岁了博士毕业才初恋然后很快结婚，是不是跟“正常人”不大一样？如果不是取向异常，那就是阶段性人生目标非常清晰而且得到严格执行。我妈有个同事的儿子也是这样，读博士阶段坚决不谈恋爱。追求他的姑娘其实不少，据说不乏非常优秀的。但他就是铁了心这几年要过苦行僧一样的生活。学业当然是完成得非常漂亮。等到毕业，就娶了一位苦苦等了他很多年的姑娘，几乎都没经过恋爱阶段。在他读博士期间这位姑娘多次表白，他很简单地回答，你愿意等就等，不愿意拉倒……我估计啊，有一些姑娘就此不再相信爱情了，或者就变成啦啦了……

这样执行人生目标，或许有点残忍。然而不得不承认，最能做得成大事情的恰恰有不少是这种理性得可怕的人。

读博士最理想的状态，确实是不要有爱好，不要有很多朋友，不要谈恋爱，成天像个机器人泡在实验室或者图书馆。某位教授的原话如此，而且我觉得他说得很到位。这可不是为了考研几个月不打DOTA那么简单，这可是在昔日同窗纷纷踏入婚姻殿堂的几年中，一直要忍受孤苦伶仃的滋味啊。如果一位男博士的女朋友，能够在这样一种情况下：大部分的晚上要等到男朋友干完了活十点十一点甚至更晚才能见个面抱一抱，大部分周末都没法拉他出去逛一逛吃个饭买点衣服，最需要他的时候他正戴着手套在虐待耗子（或者被耗子虐待）连电话都没法听短信都没法及时回，又穷得连送她一根最便宜的施华洛世奇项链都要咬咬牙，就这样陪他一起走过了这么多年的话……那么恭喜这位博士生，他要么是找到了一位也是没日没夜泡实验室的同行，一生中每天都可以回到家继续讨论学术问题；要么是找到了一位打着灯笼也找不着的好姑娘，恋爱的时候在这种情况下都不离不弃，结了婚还有什么能拆散这一对！

暂时写到这里，留待日后补充。

四、怎样读博士？

老规矩，我在这里所能谈论的只能是生物医药领域的科研情况（还不包括生物信息学这种dry work，双手不沾鲜血的孩纸们），顶多能够延伸到化学化工这一类同为劳动密集型学科的失足青年专业。但是这些劳动密集型专业博士的读法，稀释一下之后多少也能用于其它专业吧。不管做什么事情，如果你决心把它做好，做到自己的极致，把自己的价值发挥到极致，而不只是走个过场踏个台阶拿块敲门砖，那你就必须从一百分的天赋、精力、热情和毅力中拿出一百二十分来，不是么？

1.从入学那一刻起就牢记，你是SB，你是渣渣，你什么都不是

在短短几个月内出色地完成了本科毕业论文，得到了“优”的评价，甚至发表在了SCI杂志上，所以你很牛？是的，在本科生当中你很牛。可是当太阳又一次升起之后，现在你是博士（硕士）生了。你的参照系底部从你家那幢楼的底层上升到了金茂54层的凯悦大酒店大堂，并且住在87层行政层的那些顶级大牛也在同一个参照系里面。并不因为你年轻，你缺乏经验，你偶尔疏忽会犯错，你就可以花光了口袋里的资本而继续赖在酒店里，你会被直接从窗口扔出去。学术研究的现状，尤其在中国，就是这样残酷：做不好实验，发不了论文，你就滚蛋，没人会救你。你不再可以只把自己跟你家隔壁的小明乃至楼下那双颊还泛着红晕的阿芳去美滋滋地比。不管你是谁，你有什么历史，你在有影响力的杂志上发了论文，名字在第一位，才有人鸟你。否则你房间里的被子还得自己叠，给钱都没服务生睬你。当然这是指学术圈至少中上游流域的情况。如果你希望毕业之后做一条下游的鱼，戴一顶教授的高帽子，成天拉一帮人吃吃喝喝搞一些名字很漂亮其实就是一包草的“课题”，养两三个学生成天在实验室打DOTA发中文核心期刊综述（不用做实验，零打碎敲摘抄别人的论文就可以凑出一篇。据说有些二三流大学博士毕业就真是不需要英文SCI，搞个中文核心就可以，或者只要求发英文SCI而不限影响因子，那印出来只能当草纸用的英文SCI杂志也确实是有的），或者你就是这样一位教授的DOTA学生，那你就不必那么谦虚了。可是，有点志向的人们，你们愿意做这样一种腐烂得恶臭的鱼？

你以为你在本科阶段就已经有了满脑袋的灵感，好像比老板的还多，所以你很了不起？等你读到了博士，发现自己本科阶段苦读文献坚持操练实验技术终于掌握了的“复杂技能”不过是博士们每天干一直干到要吐的routine job，发现自己引以为傲地写成了一本书那么厚的毕业论文里面没有一个字可以发表到影响因子10分以上的SCI杂志上，你就知道，原来本科时候的自己就是SB，就是渣渣。站在一个小圆圈的边界上，你不知道大圆圈可以有多大，所以现在我告诉你，你的小圆圈什么都不是。这要比你自己过几年才终于发现这一事实，要好得多。

我本科做毕业论文之前带一帮人做PRP的时候，自我感觉是最好的。我简直就是一个导师。我在动手做第一个实验之前就靠在寝室床上把宏伟蓝图描绘得让在下面听的几个同班同学一愣一愣的。那时候上个厕所都会产生新的灵感。我觉得自己牛逼到了迪拜塔顶了。结果玩了一年多的鸽子和鸽子蛋，练就了以后当家下厨杀鸡的本事，却没能把文章发到哪怕是中文核心期刊上。连个确定的结果都没拿到，因为有个跑PCR的技术“难关”，尝试了各种方法，包括偷用我本科毕业论文导师买的顶级的罗氏Taq酶，跑一次PCR，8个样品就花掉1000多块，还是攻克不了。几年后我知道PCR只是比装枪头略微高级一点点的基础技能，要用到的时候五十个样品一字排开呼啦啦地跑，而且在生物公司里为客户做检测的大专文化程度技术员，做PCR比我们这些博士生牛多了。本科的时候这样自认为牛X不要紧，成了博士生之后，尤其是头一两年中，还这样那就惨了。以为老板的想法也没什么牛的，好像还是自己上厕所的时候迸发出来的灵感更有可能做出大文章？你还不知道没有足够的文献积累，没有在这潭泥浆中摸爬滚打好几年，你迸发出来的灵感确实有可能做成了大文章而你导师的想法做到一半就死了，但这种概率，我觉得不比我们全都要在几天之后分解成游离原子和分子状态的概率来得大。你吃个饭迸发出十个灵感，激动得要死，被老板嘲笑得无地自容，你很愤怒。但老板只提出了一个想法，两年后师兄把它发到了Nature上，而你的十个想法没有一个能够做下去的。你傻眼了？

所以，切记，当你开始学术生涯的时候，扔掉你本科时候热得烫手的GPA和牛X闪闪的论文，从零开始，跟着你的导师慢慢学。前提是你的导师确实是有学术水平的。如果不幸撞上了一个不学无术只会喝酒骗钱的，又没法转导师了，怎么办？我的导师说得好，教科书和论文（当然不包括中文论文和印出来只能当草纸用的英文SCI）是最好的老师，在他们面前人人平等。如果有一篇论文一本教科书写的东西我自己也不懂，那我也是它的学生。所以只有一类人可以不鸟我这一段长篇大论，那就是禀赋异于常人，并且敢于跟老板拍桌子说，我不鸟你的idea，但你还是要给我经费做实验的牛人。

2.你是木头人，你是机器人

读了博士，夸张点讲，你就不是人。人都有七情六欲，人都喜欢睡懒觉，人都喜欢吃好吃的，人都喜欢扔下工作去做自己喜欢的事情。如果你工作了，你抑制自己这些本能的动力或许来自于绩效考评，来自于下个月的零花钱额度，来自于老板那双贼溜溜的眼睛。可是大部分博导并不会像企业老板那样对你严加看管，或者即使管你，毕竟跟劳务聘用关系基础上的约束力不是同一个等级的。那读博士的时候你要强制自己尽量远离这些本能，就只能靠前面两篇文章所说的极强的自制力等品质。

不要抱着侥幸心理，觉得我就玩这几天，耽误几天的实验，没事。读博士最理想的状态是你的脑袋里始终充满了学术那些事，从睁开眼睛到睡着都这样，那你才能保持对学术最高程度的敏感性。先不说有些实验在有些步骤上一旦停下来就算彻底报废了所以你必须每天守在实验室。就是有些可以在某个步骤停下来然后过几天重新启动的实验，你的敏感性降低了，你做实验的手感减弱了，你的脑袋里还残留着度假期间的欢愉，心时常从实验室飘到那美丽的沙滩，那你不把实验搞砸了就算撞大运了。所以读博士期间，能不回家就不回家，能不旅游就不旅游，能不腐败就不腐败，能不逛街就不逛街。君不见我们实验室漂亮的师妹们，几年来买衣服都是利用实验间隙上淘宝，进城逛个商场早已成了奢望。上海同学最好周末就别回去孝敬父母了，前几年我经常就是这样的，三个礼拜一个月回一次家。不要觉得博士学制有四年，然后还可以延期两年，好像时间非常宽裕。我很快就要进入第六个年头了（扣除在美国交换的一年），博士资格面试的情境还恍如昨日呢。

博士毕业了做科研，如果能混到个PI的位置，不要以为自己爬到食物链顶端了就可以休闲养生了。高处不胜寒啊。你在跟全世界的同行竞争杂志上那两三页纸的位置，那个位置就是你和你学生们的命根子。在美国，系里公用的共聚焦激光显微镜只要10美元一小时，一个楼层就有两台所以几乎任何时间都可以去用，你在国内是400人民币一小时加200开机费；人家只要在晚上八点前把DNA样品放到楼下一个窗口，贴上自己实验室的条形码，第二天一早就有测序结果发到你的邮箱，你在国内要打电话联系皮包公司来取样然后过几天才拿到结果；人家一幢楼里从早到晚不间断地有学术报告，诺贝尔奖获得者来做个讲座根本就是家常便饭，去听报告经常还有免费的食物供应，你在国内来一个老外教授就像过节了似的；人家凭一个学生ID可以想下什么文献就下什么文献，你在国内要下一些文献只能找在海外的师兄帮忙，隔了时差给你发过来；人家跑完胶在凝胶成像仪上按个按钮，直接在旁边的打印机上把图打印出来，看到好的文献在电脑上按个按钮，直接在大堂里的打印机上免费彩色打印，人家的实验记录本是活页的装订得像时尚杂志一样漂亮，而你在国内实验室那台像蜗牛一样慢的打印机没墨了还得打电话让外地口音的大妈来换墨盒；人家一个系十个实验室就有四位秘书和一位主管秘书全职服务，大到申报和报销经费小到个人要订个机票都帮你办了，实验室订工作午餐自己垫付了把收据交给秘书一小时之后就能拿回现金，你在国内一个课题结题要由一位青椒带动几乎全体博士生像四大里面突击搞审计那样折腾，然后一天跑个四五趟财务处去欣赏窗口里面那张长满麻子像铁板一样硬的脸，有时候还要长途跋涉到市区里面去欣赏另外一些面孔。以上这些“人家”都是我亲眼所见，亲手所做。可正如上文所说，你在金茂凯悦酒店里，不因为任何理由而会有人对你施恩。所以你要在中国读博士，要在中国做PI，很多方面要比在国外辛苦得多。但你是木头人，是机器人，你不知道辛苦，不懂得艰难，不理解辛酸，不需要休息，你唯一的任务就是埋头苦干。

如果你的人生哲学并不是事业至上，并不是不计一切地投身于工作甚至连付出健康的代价都在所不惜，那就至少不要做科研梦了吧。博士还是可以读，但委屈一下自己，在这几年中不要做自己了。或者，如果你觉得自己真正的事业并不在你的专业你的工作上，那也一样。实际上每个人人都会为了自己所认定的事业而付出他所能付出的全部心血、精力，时间和代价。比如我有时候会因为躺下去之后突然闪现写作灵感而半夜里起来，查找多资料来写一篇关于音乐或者别的什么的长文（虽然通常是又臭又长，事后自己也不要看）。但我现在不会为了做科研而这样了。如果你的情况跟我相似，那就不要硬逼着自己走学术道路了，你真心不适合。事业并不仅仅包括那份供你养家糊口的工作，事实上仅仅以养家糊口，名利双收，拓展人脉以及晋升职位为目的的工作根本谈不上是事业(career)，那只是职业(job)。事业必须是没有上下班的界限，没有退休的概念，少了它你的灵魂就会枯竭的那块玉石。你的事业在别处，那就现实一点，尽量混个毕业找份工作，去支持自己一辈子的事业吧！

要想读好博士，光把自己当成渣渣，并且成功变身木头人机器人，还不够。那两条我个人觉得最基础，但还有一些Tips也很重要。

3.做实验要高度专心

我导师规定手机不得带入实验室，一开始我觉得过分，后来自己吃了苦头，已经自觉养成习惯了。生物学实验是细致到家的手艺活,一个半秒钟的疏忽就可能让几十甚至上百小时的劳动成果完全报废。不像编程，打错了字改正一下就行，哪怕全部写完了再debug也能挽救。而有些生物学实验会仅仅因为一次走神就做砸了，必须重新来过，如果浪费了实验动物可能还要等很久才能订得到下一批，代价会非常惨重。比如给一排ep管加试剂，标准做法是加完一管就把管子往上移一格以防一走神忘记自己加到哪一管了。尤其往大体积比如一两百微升的溶液里加一微升的酶，全都是无色透明溶液，根本无从确认有没有加过酶。加两倍的酶可能就会影响实验结果了，漏加当然不用说了。（忍不住吐槽劳动密集型实验，这种机械的事情，不识字的农妇都做得来。完全可以实现自动化，可是博士生比机器便宜得多啊）如果一边做实验一边听音乐，像我这种只要喜欢的音乐一响起来，可能连别人跟我说话都直接从同一个耳朵出去的人，那完了。心里发一声感叹“真好听啊”，加完一排样品才意识到忘记把加完了的管子往上移一格，根本不知道自己有没有漏加或重复加。继续做下去吧，要冒几天之后结果出来才知道加错了的风险。从这个步骤开始推倒重来吧，不甘心。最后基本上还是乖乖取出冻存的备份样品（什么东西都要留备份，留后路，非常重要！），把耳机放回办公桌，重新加样。所以从几年前开始，我就习惯了进实验室不带任何会导致自己分心的东西。可是脑袋里储存的音乐删不掉，有时候几个小时坐下来受不了了，脑袋里突然蹦出一句什么旋律，完了……

文科做研究当然也需要专注，但假如必需临时放下手头的事离开，只要把当前的想法简单记下来回头继续，已经写下来的东西总不会丢掉。总不至于像实验那样，一旦回不到原来的点就要把几天几周甚至几个月的努力全部推倒重来吧。

4.底子不够厚就老老实实照规矩来，别乱创新

Protocol上的繁琐步骤，老板的奇异规定，师兄师姐的古怪经验，可能照着做很麻烦，但别轻易地扔了它们。手艺活靠的就是经验，很多经验可能看起来没道理甚至违反常理，但在你成熟到可以向别人系统地传授经验之前，别人的经验就是王道，至少在你尝试过，并与自己的想法系统地比较过之前。科学研究需要质疑精神，需要创新，但是盲目质疑，就跟反右时我外公仅仅因为给员工分发福利就被打成右派一样是犯罪，而缺乏根基只靠拍脑袋的创新就跟钢产量两年赶英三年超美一样是胡闹。尤其在刚开始读博士时，你是渣渣，渣渣还质疑啥，创新啥？

5.读文献，读文献，读更多的文献

二战美国海军名将“公牛”哈尔西被问到准备如何对日作战时回答，杀日本鬼子，杀日本鬼子，杀更多的日本鬼子！读文献也一样。夸张点说，读多少好文献决定了毕业时能发多少好文章。没有通读几百篇英文文献，不要跟别人说你博士毕业了。文献当然没文学作品美丽，实际上简直是丑陋，八股文字读得让人很反感。但这些“日本鬼子”必须杀掉。惭愧，虽然我读英文文献比大部分理工科学生轻松得多，地铁上半小时足够我把一篇四五页的英文文章从头看到尾还不用字典。但我没读过多少文献，反正肯定没有我博士期间读过的五线谱的页数多。所以我做实验有如盲人摸象。设计实验不知道一条好的实验思路是怎样的，需要哪些理论和实验基础，到了每一个阶段通常应当怎样走。具体的实验方案方面，也没有足够的文献积累可供参考。慢慢地我才懂得，因为偷懒而省下一个小时的文献阅读时间去玩，几乎一定会付出几十倍的时间去做徒劳无功的实验。另外补充一下，把文献从头读到尾是很愚蠢的做法。除了必需精读的几篇顶级综述，以及为了学习论文写作而解剖的几篇研究论文，大部分论文只要读通abstract，扫一眼图和表格，把自己用得到的实验方法摘录下来，再看看人家引用的参考文献有哪几篇可以为我所用，就够了。能用一句话概括论文的核心idea和结论就记在本子上，否则就划出来留待日后翻阅。

6.重视实验记录

做实验的时候用到的试剂仪器和方法，当时可能早已司空见惯，懒得重复写在记录本上。但做完实验写论文时，要写实验材料和方法，就想不起一年前做实验时候的一些细节，当时所用的试剂早已用完了包装扔掉了，当年的测序报告可能已经找不到了，这下傻眼了。我就吃够了自己散文式实验记录的苦头，有时候偷懒没把具体信息写全，甚至先做了实验回头再写，记忆已经有误。实验结果也要妥当有序地存放好，电子数据一定要备份，免得电脑失窃或坏了之后欲哭无泪。

7.重视presentation skill的锻炼

我在美国时第二个导师传授了我很多经验，包括：做presentation一定要是audience oriented，文字要少图表要多，严格控制在每张slide一分钟然后按总时间决定slides数量，slides之间要有承上启下的衔接，演讲前最好背出讲稿尽量多看观众（我那次把整个半小时的讲稿，以PPT里的一点图表和文字为依托，硬是全部背出来的，所以跟听众交流比较多，系里的师生反响特别好）。她说，一个好的科研工作者除了做得一手好实验，还要是一个优秀的salesman。能不能拿到足够的经费，很大程度上看你能不能成功地把自己的成果卖出去，尤其在美国（在中国可能主要得靠酒量）。但不管怎么说，即使博士毕业之后不搞科研，在博士毕业答辩的现场作一次精彩的展示，毕竟是给自己好几年的苦读划上一个圆满的句号。而且工作中也难免作报告之类的吧，利用博士期间每一次组会作报告的机会，锻炼自己的presentation skill吧。最最起码，把妹也用得着。。。。。。。。

8.尽量多帮助实验室里的每一位成员

生物医药行业不仅是一个劳动密集型行业，而且非常接近流水线生产的形式。不是说日本那种每个研究生负责一项技术然后真的以流水线形式生产论文，而是说这个领域内的技能种类实在是太多了，一个人不可能精通所有的技能，大家互帮互助是团队存在之最重要的意义。光说实验领域，怎么着也能数出至少一百种，比如分子克隆（这其中的倒平板、转化、涂板、挑克隆、抽质粒、酶切、连接等步骤已经打包了，否则能数出上千种吧），PCR，Western，Southern，CoIP, 流式细胞，共聚焦显微镜，显微注射，动物解剖，血涂片制作和血象观察统计，实验动物的各种注射（尾静脉，腹腔，皮下等等），各种生理指标的观测，实在是太繁杂了。像琼脂糖凝胶电泳，SDS-PAGE这种天天做的事情已经都不能列为技能了，这都成本能了。每个实验室可能用得到的就得有几十种，而每个人在博士阶段可能用得到十几种。如果想要在每一种技能上都成为专家，估计可以读一辈子的博士了。所以大家互帮互助，各自多做自己擅长的事情，大家都做不了就求助于楼上楼下其他实验室的兄弟姐妹们。大家都是失足青年，抱起团来特别有爱。在实验技能之外还有文字技能呢，比如我就经常帮人家修改论文，换取别人帮助我一起做实验。一定要记住，试图靠一己之力完成劳动密集型专业的博士学业，除非你禀赋异于常人，否则几乎是不可能的。

五、在美国读博士

在这个系列的最后，我想就我在美国做学术民工的所见所闻，谈谈在国外生物医药领域读博士的情况。我在那边时间不长，也不是拿学位的性质，所以描述未必准确， 还请在美国读博士的朋友们补充指正。另外，欧洲和澳洲的情况我不了解，请相应的朋友们帮忙补充，谢谢。

首先要岔开了说下目前在中国读博士的现状。在中国读博士，实在是不得已的下下策，除非能进中科院上海生科院神经所这类体制接近国外研究机构的异类，那还稍好一些。如果我本科时的数学物理等公共课能不挂掉那么多，凭专业课成绩和GT分数早就出国读博士了，也就不会有那么多曲曲折折。中国很多高校和科研院所，对博士毕业条件的规定实在是荒唐。虽然在前文中我说过，因为国情不同，如果在我国也像美国那样对博士毕业条件不作硬性规定，而由答辩委员会对博士学习期间实际所受学术训练的质和量以及学生实际学术水平进行考察来决定（我在美国就见过没有第一作者SCI论文而毕业的哈佛生物学博士来应聘博士后）。那样的话，先不说国内大部分导师有没有这种考察能力，此制度本身必然导致更大范围内更严重的学术腐败。但并不是说除了这种当前情况下最合理的方式，就不可以有其它辅助方式。以其为单一标准，比如交大规定理工科博士必须发表影响因子总和大于三分的至少两篇文章，这种强奸学术的规定逼迫学生要么抓住狗熊将其痛打一顿让它承认自己是兔子，要么就尽量规避风险，尽量在别人走过的老路上试图挖点残羹剩饭吃。因为创新程度越大必然意味着风险越大，意味着出成果所需时间越长。没有人会愿意拿无法顺利毕业为赌注，去赌自己可能在创新的领域中作出大成就。只有我在前文中反复提到的“少数秉赋异于常人而且运气特别好”的人可以例外。这种规定，与其贼兄盗弟——高校教师和院所研究员晋升的规定中关于发表论文质和量的部分一样，是我所知道的学术规定中最荒谬，危害最大的。它们不仅给博士生和青年教师施加了无谓的压力，催生了一大堆在世界范围内臭名昭著的，印出来只能当草纸用的中国式SCI/EI论文（包括我自己的在内），而且使我们这个民族的创新能力受到极大的损害。

昨天排四重奏时我跟Patrick聊天，他是赛诺菲中国（制药）的部门总监。他说据他在曾经工作和生活的几个地方——美国，法国，日本和中国——的观察，中国科研人员所做的具有真正原创性意义的研究，是最少的。这种原创性意义不仅不可能用SCI论文数量来衡量，而且SCI论文影响因子和被引用次数也不是准确的标准，因为写论文的时候尽量引用自己人的论文，不管实际上是不是真的在文中具有参考意义，这是很自然的。中国人多嘛，所以中国人的论文被引用次数上升很快有此一个原因。相对地，做出一个成果所需的时间倒是一个更有规律性的标准。CNS（Cell, Nature, Science）上的文章，鲜有在一两年之内就做出来的，而那种印出来只能当草纸用的杂志，里面的文章多是同一个课题组一年能灌好几篇的水文。一项真正有意义的原创性工作，除非得到上帝赐予的灵感从而一次尝试就成功，必然要经历艰苦的摸索，反复的尝试，再加上经验，灵感，日复一日枯燥难耐的工作，才能诞生。中国的博士培养制度为啥不允许培植这类珍贵果实的土壤存在？我们的博士学制一般是三到四年，交大去年才延长到四年，又规定延期不得超过两年，像我这样出国交流休过学的还不能对休学的时间相应给予补偿。去掉疲于对付各种课程（只有赵立平教授的课是真正有意义的，其它都是枉然浪费时间）而无法投身实验室的第一年，论文投稿准备答辩的最后一年，只剩最多四年。等到导师摸清了学生的特点而给了他合适的课题，学生也锻炼出了堪用的能力，课题做到能判断可否继续下去的程度，又是一到两年过去了。最后只剩一两年时间，想做原创性研究？连失败一次的机会都没有。

美国的情况如何呢？我有两个表姐都在美国拿了生物学博士，其中一个还在哈佛做过博后，加上我自己做交换生期间的耳闻目见，算是有所了解。博士读个七八年，在美国太正常了。在这期间没有发表第一作者SCI论文的硬性要求，那干什么呢？在学术的海洋中畅游，这才能叫畅游！一开始就是在多个实验室轮转，寻找到你情我愿的最佳组合。然后，甩开胳膊游泳。这个领域不喜欢，这个课题似乎做不下去，没关系，只要老板不太harsh的话，就换一个。发表文章不是唯一目标，接受从思维方法到具体技术的严格训练才是要务，也正是论文答辩时所要考核的。

美国博士淘汰率不低，所以含金量在全世界最高。美国学生不怕白读了几年博士然后还是个学士？这当然有点悲惨，不过美国人读博士失败的代价要比中国人小得多了。在美国，即使开公交车，也可以活得快乐，体面，有尊严。我的一位朋友在美国读书期间有个美国室友，家里坐拥金山银山，但他偏要学厨师，背井离乡租房做厨师。因为他的人生理想就是做个优秀的厨师。在这样一个社会，博士毕不了业并不意味着世界末日。可是在中国就不一样了。所以我们这里博士毕业要求很硬，而达到要求之后，审通过，答辩不过是走个过场，顺带教授们聚个会吃个饭。我从来没听说过发表论文达到要求，大论文通过盲审而在答辩现场被枪毙的事情。从而这个仪式也就失去了其作为人类社会中，就学历而言最高层次的智慧展示和交锋，这样的光辉和神圣色彩。

对于有足够才干和机遇的人来说，出国读博士是不二选择。之前的文章只是写给那些已经在国内上船或者因为各种原因以后还是要在国内上船的人看的。那么，在美国读博士要注意什么呢？

1.千万避开三种导师

中国人，女人，AP（Assistant Professor，刚取得教职的人，最低的职称）。中国老板往往擅长欺负自己的同胞，而且自己也是干活不要命，所以学生也不得不卖命干活，这是出名的。我们读书是为了锻炼和完善自己，不是去卖命的。女人呢，做到教授，尤其学术光环闪亮的，跟普通的贤妻良母几乎必有本质区别，这是不言而喻的。科研能力强的女导师，有好多都不婚，结了婚而家庭幸福的也很少。自己的家庭都不幸福，做她的学生能幸福？至于AP呢，刚拿到教职建立实验室，急于出成果，各方面条件又有限，一个学生干两三个人的事情。实验室规模又小，成天盯在学生屁股后面。我在美国短期呆过的两个实验室，第一位老板是已经拿到终身教职的中国人，但也是在学术圈里已经是一流大牛而自觉自愿每天朝八晚二到晚三（就是第二天。。。）在实验室，年中无休的特殊人才；第二位则集中国人，女人，AP三项于一身。于是，我那暗无天日的生活也就在情理之中了。无数前辈们用血泪买来的教训，可不止我这孤立的两个例子，绝对是有统计学意义的。弟妹们切记，切记！不是说这三类人当中没有正常一点的，只是要冒太大风险才可能找到，何必呢？斯斯文文，闪耀着人性光芒的欧美学术大牛，一抓一大把。他们实验室里面贴的不是Rules&Regulations and Protocols，而是lab party and tour的欢乐照，晚上和周末不会像中国老板的实验室那样总是晃动着人影，门口却挂着比中国实验室更多的CNS文章。不像我这样被直送地狱而有选择之自由的朋友们，你们选哪种？顺便说句，碰到印度老板也要绕道走，原因和中国老板差不多。

2.Hard Working

这还是必须的。虽然我们去国外留学，不是用严重损害健康的代价去换取什么，不是为了在一堆中国人之间没日没夜没假期做几年实验，就和在国内没什么本质区别。但毕竟也不是出去度假的。在美国做科研，软硬件条件确实好，但这不意味着你可以有丝毫的松懈。除了像爱因斯坦那种天才，拍拍脑袋演算几张草稿纸就可以创造一个新理论，大部分人做科研即使运气再好，也离不开非常勤奋的工作。基本上，在劳动密集型领域读博士，想每天晚上都窝在家里，周末总能正常享受，属于痴心妄想。用功当然也得讲究方法和策略，不过楼主作为一个在错的船上无甚成就的家伙，在这些方面提不出什么建议。只是告诉大家，在国外一样要过不是正常人的日子。

3.多交外国朋友

这里面有两层含义：一是生活上的朋友。在美国这样一个大部分人口都是信徒的基督教国家，我所遇到过的大部分老美确实比较善良，易于交往。初来乍到，当地的朋友所能给你的帮助和安慰非常重要。我在那里认识了学校乐团一对老夫妇，在那里他们就是我的美国父母，很多难关是他们提供帮助才度过的。五年来我们一直还保持通信。同龄人中也有很多非常nice的。回忆起来，当时认识的中国人中甚至没一个记得起名字的，而外国朋友依然可以随口叫出一打名字。并不是我崇洋媚外，中国人之间，尤其不知道为什么在国外的中国人之间，缺少美国人那种单纯，直率和真诚。我所在的小城市位于中部地区，民风淳朴，东西海岸大城市不太一样。但不管怎么说，即使只是出于在这几年中多些玩伴，困难时多得到些帮助和安慰的功利性目的，多结交一些来自不同文化的朋友没有坏处。第二层含义，多到其它实验室串门，多搭讪欧美学生。他们在科研方面的思维方式，看问题的方法等等，很有益处。具体的知识和技能都是浮云，而自主学习的能力，科学的质疑精神和创新精神等等，才是博士学业真正带给人的学术方面的财富。从小在应试教育的泥坑里摸爬滚打长大的中国人，不利用出国学习的机会补补自己的短板，岂不可惜？不用说了解异国文化，拓宽自己视野等这些非学术范畴的好处了。

4.多参加学术活动

欧美国家的学术活动通常免费提供不少好吃的，上面的人讲PPT下面的人咔咔开易拉罐嚼bengal并不奇怪。不过这当然不是重点。我觉得美国学术界相对中国来说，最大的优点不在硬件设备，而在于参加不完的高质量学术活动。不像国内一些什么博士生论坛之类搞得形式大于实际意义，美国学术机构中的seminar，以我所参加过的而言，那种大家勤于思考踊跃讨论的氛围，在国内几乎找不到。更不要说从早开到晚的讲座，大师云集。就我所在那个小城市的研究所，短短几个月内，生物医药领域的诺贝尔奖得主就来过好几个了，我在交大十几年都没见过那么多生物医药领域诺贝尔奖得主 。

关于在国外读博士的Tips，就先说到这里了。

六、结语——关于事业

很多人说，科学和艺术在较高层次上是相通的。在下不才，在科学领域只能仰望那“较高层次”，无法与自己在艺术领域的感悟“相通”。但是，在一部奥斯卡最佳纪录片From Mao to Mozart中，在犹太裔美国小提琴大师斯特恩访华时所说的几段话中，我找到了这种沟通艺术和科学的桥梁。

Being a musician is not a profession. It’s not just a job, and it’s not something occasional. It is the totality of your life , and your DEVOTION to something in which you BELIEVE PROFOUNDLY. And you have to BELIEVE in order to make other people BELIEVE.

Unless you feel that you will live with music, that music can say more than words, that music can mean more, that without music we are NOT ALIVE. You don’t feel all that, don’t be a musician.

Every time you take up the instrument, you are making a statement, YOUR statement. And it must be the statement of FAITH, that you believe this is the way you WANT to speak, not the way you are REQUIRED.

在前两条中，只要简单地把music换成science，把musician换成scientist，然后去掉关于音乐与语言之间的比较，那直接就是对希望从事科研事业的人所说的金玉良言。第三条，大师说的是中国音乐教育体系的弊端：不重视学生内心的WANT而REQUIRE他们去make a statement。这原话移到中国的学术圈，又有什么问题！

仔细看看第一条吧。若要从事科研事业，除非你觉得科研对你来说并不仅仅是一份混饭吃的职业，不仅仅是偶尔为之的工作，是你生命中的全部，你离开了科研就没法活下去。如果不满足这些条件，那还是算了，去企业做研发吧，那里有上下班的概念，下了班有自己的生活。而大学和科研院所里是没有上下班概念的——not occasional。我遇到过的两位导师就是这种“离开了科研就没法活下去”的人，科学界最杰出的基本上就是这一类人。

然后，科研要是你的信仰。人可以是有神论者也可以是无神论者，但最好是有信仰者。若要从事科研事业而不是科研工作，最好信仰科学本身。信仰它能够带给人类的一切力量。如果像我这样渐渐地怀疑科学的力量之界限究竟有多大，开始相信有些东西是以人类的识、工具、智慧和力量所永远无法企及的，是神秘和不应当为人类所触动的，那还是不要搞自然科学了。你都不相信自己搞的东西会具有overwhelming power，那你搞个毛线？就像你作为领导说I have an idea，但你又说but I am not sure how many people would say yes to it.

最后一条，如果你在读本科和硕士的时候，觉得自己写到论文里的东西是一些自己都不相信的bullshit，是你被毕业发表论文的要求REQUIRE要写的而不是你发自内心WANT写的，那还是趁早下船吧。如果此时你的博士学业也就刚刚开始，那下船还来得及，或者赶紧把毕业后的目标从科研机构转向企业，那也好多做准备。

其实，真要做一份事业，不管是哪个领域的，不管形式上是不是一份工作（经营一个家庭，教育一个孩子，完善自己的心智，何尝不是一份需要投入无限精力，没有上下班概念，持续终生，并可能带来巨大回报的事业！），怎能少得了devotion，怎能不是your DEVOTION to something in which you BELIEVE PROFOUNDLY? 要做一份事业，你怎能像只做一份工作的凡人一样，计较加班工资，盘算如何最大程度地用好年假，每天只想着快点完成任务回家哄老婆抱孩子？

有时候我们这些科研领域的门外汉看那些全身心扑在实验室的大牛，觉得敬佩而又困惑，为啥这些人好像对基本的精神和物质生活无欲无求，为啥这些人会自觉自愿加班加点又多拿不到一分钱。实际上，对于离开了科研就无法活下去的人来说，实验室这一方天地就是他整个的精神和物质生活之界限，而家只是个回去睡觉的地方（我的一位导师亲口这样说的）。在实验室里，他感到无比的满足，安宁和幸福，他在此实现他的价值。我们无法理解，但实际上，我们当中很多人会在另外一方天地中找到全部这些财富。比如对我来说，任何我能听到音乐，能拉琴，能码字的地方，就能够给我满足，安宁和幸福，能够实现我的价值。只不过我没有偏执到觉得这些就是我整个的精神和物质生活之界限，我觉得家绝不仅仅是个回去睡觉的地方。

所以，其实还是不要把这些人称为geek了。为全人类文明的进步作出最大贡献的人群当中，就有这些牺牲了正常人很多难以割舍的东西而DEVOTE到科学中的伟人。

但并不是每个人都可以成为这样的伟人。当我们面临升学的选择，不妨扪心自问，我能达到前两句话中所提的要求吗？或者说，我心中有没有另外两个词可以取代science和scientist？如果science和scientist被取代得毫无疑义，那如果你还年轻，还有机会，那就勇敢地遵从自己内心的渴求吧！

有一句话永远是对的：只要你在做的是一份事业而不只是工作，不管它本身给你带来的收入可能多微博，不管在世俗的眼光中这如何算不上一份体面的工作，从你开始从事这份事业的那一天起，你已经成功了！

分析学派的重要人物

Antoni Zygmund（1900年12月26日－1992年5月30日）是一位波兰裔美国数学家，被公认为20世纪最伟大的分析学家之一。他出生于华沙，1923年在华沙大学获得博士学位，师从Aleksander Rajchman，专注于三角级数的研究。后在维尔纽斯的斯特凡·巴托里大学任教直至1939年二战爆发。在第二次世界大战期间，他逃离被占领的波兰，最终于1940年抵达美国，并在芝加哥大学建立了其学术生涯的核心基地。先后在霍利奥克山学院、宾夕法尼亚大学和芝加哥大学任教，并在芝加哥大学创建了著名的数学分析学派。

Zygmund的研究领域极为广泛，涵盖傅里叶级数、奇异积分算子、函数空间理论以及偏微分方程等多个方向。他与学生Alberto Calderón合作发展的Calderón-Zygmund理论，成为现代调和分析的基石，深刻影响了多变量分析、概率论和微分几何等领域。其代表作《三角级数》（Trigonometric Series）两卷本（1959年修订版）系统总结了该领域的经典成果与新进展，被誉为“调和分析的圣经”。

Zygmund的学术贡献不仅在于理论创新，更在于他培养了一个庞大的数学学派。他在芝加哥大学指导了超过30名博士生，包括Elias Stein、Guido Weiss等著名学者，形成了“Zygmund学派”。该学派以解决分析学中的具体问题为导向，强调不同数学分支（如实分析、泛函分析、微分方程）的交叉融合，与当时盛行的抽象代数风格形成鲜明对比。Zygmund培养了众多杰出数学家，生前是美国国家科学院、波兰科学院等多个学术机构的成员，于1992年在芝加哥逝世，享年91岁。他的名字被用于多个数学概念，如Calderón-Zygmund引理和Marcinkiewicz-Zygmund不等式等。

他的教育理念充满人文关怀，主张“只关注学生的成就，忽略其失误”。这种包容的态度吸引了全球优秀学生前往芝加哥求学。Zygmund还创立了著名的“Zygmund讨论班”，持续数十年推动学术交流。1981年，美国数学会专门举办会议纪念他的学术成就，其150余篇论文被收录于《Zygmund文集》。通过其开创性研究和人才培养，Zygmund将调和分析从经典傅里叶理论拓展为现代数学的核心领域之一。

重要数学贡献

Antoni Zygmund（1900–1992）是20世纪最具影响力的分析数学家之一，尤其在三角级数理论、调和分析、奇异积分算子等领域做出了奠基性贡献。

1. 三角级数与傅里叶分析

Zygmund 的核心研究围绕三角级数展开，该理论在 Lebesgue 积分出现后得到重大发展。他的工作包括：Bernstein 不等式的推广：证明了对于 空间（）中的三角多项式 ，有 ，这一结果在逼近论中广泛应用。共轭函数的可积性：若 ，则其共轭函数 ，且满足 。Zygmund 类（Lip ）：修正了经典 Lipschitz 空间的定义，解决了整数阶光滑函数的逼近问题。

2. 函数空间与逼近理论

Zygmund 研究了几类关键的函数空间： 空间：用于刻画共轭函数的可积性，成为调和分析中权重理论的基础。 空间（有界变差且满足 Lip 的函数）：证明其傅里叶级数绝对收敛，在有理逼近中优于多项式逼近（如 Petrushev 和 Pekarskii 的工作）。

3. 奇异积分与 Calderón-Zygmund 理论

与 Alberto Calderón 合作，Zygmund 创立了奇异积分算子理论，成为现代调和分析的基石：证明了奇异积分算子在 空间的有界性（）。建立了核的尺寸条件、光滑性条件和消失矩条件（如 ）。该理论推广了 Hilbert 变换和 Riesz 变换，并为偏微分方程的正则性分析提供了工具。

4. 插值理论与 Marcinkiewicz 定理

Zygmund 重构并推广了 Marcinkiewicz 插值定理：若线性算子 在弱 型下有界，则对中间空间 也是强有界的。这一成果成为 20 世纪 60–70 年代算子插值理论的核心，影响了 Peetre 的 K-泛函和 J-泛函方法。

5. Littlewood-Paley 理论与高维推广

Zygmund 参与了 Littlewood-Paley 理论的发展：通过 Littlewood-Paley 函数 和 Lusin 函数 刻画傅里叶级数的收敛性。该理论后被 Stein 推广至高维，成为研究多变量调和分析的重要工具。

6. 微分理论与集合的唯一性

研究了高阶导数的定义问题，区分了 Riemann 导数与 Peano 导数，并证明两者在几乎处处意义下的等价性。对唯一性集合（如 Pisot 数构造的 Cantor 集）的研究，解决了三角级数收敛的唯一性问题。

桃李满天下

Antoni Zygmund 培养了许多杰出的数学家，其中一些成为20世纪数学领域的重要人物，以下是他的几位著名学生及其贡献：

1. Alberto Calderón（1920–1998）

主要贡献：与Zygmund共同发展了奇异积分算子理论（Calderón-Zygmund理论），这一成果成为现代调和分析的核心内容。美国国家科学奖章（1991年）、沃尔夫数学奖（1989年）。被誉为“分析学界的巨人”，推动了偏微分方程、信号处理等领域的发展。

2. Paul Cohen（1934–2007）

主要贡献：证明了连续统假设（Continuum Hypothesis）的独立性（即它既不能被证明，也不能被证伪），并因此获得1966年的菲尔兹奖（数学界的最高荣誉），他的工作在数理逻辑和集合论中具有深远影响。

3. Elias M. Stein（1931–2018）

主要贡献：调和分析、复分析、偏微分方程领域的权威，发展了Hardy空间理论和振荡积分理论。沃尔夫数学奖（1999年）、美国国家科学奖章（2002年）。他的著作《调和分析》（Harmonic Analysis）是该领域的经典教材。

总结

Zygmund 的工作不仅奠定了现代调和分析的基础，其技术工具更广泛应用于偏微分方程、随机分析和信号处理等领域。他的理论至今仍是数学研究的重要参考。

待解决的问题——理查德·费曼

真野是获诺贝尔奖的科学家费曼从前的学生，也曾经是朝永振一郎的学生。他写信来道贺。费曼回了信，问他近况如何。他回信说：“正在研究同调理论应用于电磁波在扰动的大气中的传播……是一个很卑微、末节的题目。”

亲爱的光一：

我非常高兴知道你的消息，也知道你在一家研究实验室里有个适当的职位。

不过你信中的语句看起来很哀伤，这令我有点忧心，好像你的老师给了你一个没有什么意思的想法，不太值得花和大的力气去研究。其实一个问题有没有价值，并不 在于问题本身的大小，而是看你好是不是能真正解决它，或有助于解决它。这样，你的辛苦就有真正的贡献，不是白费的。

在科学界，只要是出现在我们面前而还没有解决的问题，我们却有办法向答案推进一点，这就是伟大的问题。我倒是想建议你，先找一些更简单的，或者如你说的，更卑微的问题。让你可以轻易解决掉。不管问题有多么平凡都没关系，你会尝到成功的喜悦。而且要经常协助同事，就算回答那些能力不如你的人所提的问题，都是值得做的，都会累积自己的成就感。不要因为“什么问题没意思、什么问题才有价值”这种错误想法，而一直闷闷不乐，剥夺了自己对成功的喜悦。

我们相遇的时候，正是我生涯上的巅峰期。因此在你眼中，我对问题的解决能力，简直像神一样，好像什么都难不倒。但是我当时还带另外一位博士生希布斯（Aibert Hibbs），他的博士论文只是研究风如何把海水吹出浪花。我接受他是因为他带着自己想解决的问题，跑来找我指导。我对你犯了一个错误，就是我指定了一个题目给你，而不是你自己找的题目。这让你误解了题目的意义，认为有些问题是有趣的、令人欣喜的或重要而值得的——也就是，你认为有些问题值得你花功夫去解决，有些则不然。

真抱歉，请原谅我的疏忽。希望这封信能稍微有点补救效果。

我自己研究过无数的题目，有很多都是你说的那种卑微的、末节的问题。但是我觉得很开心，而且做得很卖力。因为我有的时候会得到部分成果。我举一堆例子：

我研究过高度抛光表面的摩擦因数，想知道摩擦力是怎样运作的（结果失败了）；也研究过晶体的弹性与原子之间的作用力有怎样的关系；怎么把金属电镀到塑胶物 体上（如门把）；中子如何扩散出铀原子；电磁波如何从玻璃的薄镀膜反射；爆炸的时候，震波是怎样形成的，我也设计过中子计数器；计算轻原子核的能阶；探讨为何某些元素会捕获L层电子，却不会捕捉K层电子。我还研究了如何把纸折成某几种儿童玩具（用纸条折成的外形可变化的多边形）的一般理论；紊流理论（我在这上面花了好几年工夫，可惜没有结果）；当然还有量子理论的那些“比较伟大的”问题。

你说自己是个无足轻重的小人物。但我要说，你对你太太和孩子而言，可不是小人物。如何你的同事带着问题来，得到满意的答案而去，那你也不是小人物。你对我当然也不是小人物。不要妄自菲薄，认为自己是个无名氏，这样就令人伤感了。知道自己在这个世上的定位，努力扮演好自己的角色。不要用自己年轻时的幼稚想法来论断自己，也不要用别人的眼光和想法来评论自己。

祝你好运而愉快。

诚挚的祝福

理查德·费曼

1966年2月3日

What Problems to Solve – By Richard Feynman

A former student, who was also once a student of Tomonaga’s, wrote to extend his congratulations. Feynman responded, asking Mr. Mano what he was now doing. The response: “studying the Coherence theory with some applications to the propagation of electromagnetic waves through turbulent atmosphere… a humble and down-to-earth type of problem.”

Dear Koichi,

I was very happy to hear from you, and that you have such a position in the Research Laboratories. Unfortunately your letter made me unhappy for you seem to be truly sad. It seems that the influence of your teacher has been to give you a false idea of what are worthwhile problems. The worthwhile problems are the ones you can really solve or help solve, the ones you can really contribute something to. A problem is grand in science if it lies before us unsolved and we see some way for us to make some headway into it. I would advise you to take even simpler, or as you say, humbler, problems until you find some you can really solve easily, no matter how trivial. You will get the pleasure of success, and of helping your fellow man, even if it is only to answer a question in the mind of a colleague less able than you. You must not take away from yourself these pleasures because you have some erroneous idea of what is worthwhile.

You met me at the peak of my career when I seemed to you to be concerned with problems close to the gods. But at the same time I had another Ph.D. Student (Albert Hibbs) was on how it is that the winds build up waves blowing over water in the sea. I accepted him as a student because he came to me with the problem he wanted to solve. With you I made a mistake, I gave you the problem instead of letting you find your own; and left you with a wrong idea of what is interesting or pleasant or important to work on (namely those problems you see you may do something about). I am sorry, excuse me. I hope by this letter to correct it a little.

I have worked on innumerable problems that you would call humble, but which I enjoyed and felt very good about because I sometimes could partially succeed. For example, experiments on the coefficient of friction on highly polished surfaces, to try to learn something about how friction worked (failure). Or, how elastic properties of crystals depends on the forces between the atoms in them, or how to make electroplated metal stick to plastic objects (like radio knobs). Or, how neutrons diffuse out of Uranium. Or, the reflection of electromagnetic waves from films coating glass. The development of shock waves in explosions. The design of a neutron counter. Why some elements capture electrons from the L-orbits, but not the K-orbits. General theory of how to fold paper to make a certain type of child’s toy (called flexagons). The energy levels in the light nuclei. The theory of turbulence (I have spent several years on it without success). Plus all the “grander” problems of quantum theory.

No problem is too small or too trivial if we can really do something about it.

You say you are a nameless man. You are not to your wife and to your child. You will not long remain so to your immediate colleagues if you can answer their simple questions when they come into your office. You are not nameless to me. Do not remain nameless to yourself – it is too sad a way to be. now your place in the world and evaluate yourself fairly, not in terms of your naïve ideals of your own youth, nor in terms of what you erroneously imagine your teacher’s ideals are.

Best of luck and happiness.

Sincerely, Richard P. Feynman.

备注

理查德·费曼（Richard Feynman，1918年5月11日－1988年2月15日）是20世纪最具影响力的美国理论物理学家之一。他因在量子电动力学领域的开创性工作，与朱利安·施温格和朝永振一郎共同获得了1965年诺贝尔物理学奖。费曼以其独特的教学风格和通俗易懂的科普著作而闻名，他的《费曼物理学讲义》至今仍被广泛使用。此外，他还参与了曼哈顿计划，并在挑战者号航天飞机事故调查中发挥了关键作用。

费曼以其幽默、好奇心和反传统的精神著称，不仅在物理学领域做出了卓越贡献，还在纳米技术、量子计算等领域提出了前瞻性观点。他的自传《别闹了，费曼先生！》展现了他丰富多彩的人生和独特的思维方式。费曼的Feynman图成为粒子物理学中不可或缺的工具，而他“自然不能被愚弄”的名言也成为了科学诚信的象征。

群论

群论是数学中研究对称性的核心分支，它通过抽象的代数结构描述物体、方程或物理系统的对称操作。有限群，即元素个数有限的群，在数学和科学中无处不在，从晶体结构的对称性到密码学的加密算法，再到粒子物理的标准模型，都能看到它们的身影。

而有限单群作为群论中的“基本粒子”，扮演着至关重要的角色——它们无法被分解为更小的群的直积，因此构成了所有有限群的构建基石。有限单群的分类定理被誉为20世纪数学最伟大的成就之一，它证明了所有有限单群都归属于四大类别：素数阶循环群、交错群、李型群和26个散在单群。这一分类不仅解决了数学中一个根本性的结构问题，还为其他领域提供了强大的工具。例如，李型群与几何和数论中的模形式紧密相连，而最大的散在单群“魔群”甚至与弦理论中的高维物理模型产生了意想不到的联系。该定理的证明历时超过一个世纪，涉及数百位数学家，总证明长度超过一万页，堪称数学界的“曼哈顿计划”。尽管分类已经完成，其影响仍在持续发酵——数学家们仍在努力简化证明、探索散在群的神秘性质，并寻找这些抽象结构在现实世界中的新应用。有限单群的分类不仅是纯粹数学的巅峰之作，更是人类理解对称性和宇宙基本结构的里程碑。

有限单群分类

有限单群是群论中的基本构件，类似于数论中的素数——它们无法被分解为更小的群的直积。20世纪，数学家们完成了有限单群的完全分类，这是数学史上最庞大的证明之一，涉及数百位数学家的合作，最终将所有有限单群划分为四个明确的类别。

一个有限单群（finite simple group）是指一个有限的群 ，它没有非平凡的正规子群（即除了 和 本身之外）。这意味着它不能分解为更小的群的直积或半直积。单群在群论中的作用类似于素数在数论中的作用——它们是构建更复杂群的基本“原子”。

19世纪末：问题的萌芽

1870年，法国数学家 Camille Jordan 首次系统研究单群，发现 （）和某些线性群是单群。1892年，德国数学家奥托·赫尔德（Otto Hölder）首次明确提出“分类所有有限单群”的构想。单群是数学中的“原子”——它们无法分解为更小的群结构，就像质数是数的基本构建块一样。赫尔德的开创性工作激发了早期研究者如伯恩赛德（Burnside）和科尔（Cole）的兴趣。伯恩赛德在1899年证明了第一个分类定理：若一个非阿贝尔单群的所有非单位元均为对合（阶为2的元素）或奇阶元素，则它必同构于 。这一阶段工具有限，主要依赖西罗定理和计数技巧。

20世纪早期：工具与初步探索

1900年左右，伯恩赛德和弗罗贝尼乌斯（Frobenius）利用新发展的群表示论（特征标理论）取得突破。伯恩赛德在1904年证明著名的 定理：阶为两素数幂的群必可解。弗罗贝尼乌斯则研究了弗罗贝尼乌斯群的结构。与此同时，美国数学家迪克森（Dickson）系统构造了有限域上的线性群，为后来的李型群分类奠定基础。这一时期的成果虽零散，但逐步建立了单群研究的框架。

1930-1950年代：理论奠基

德国学派（如费廷、维兰特、扎森豪斯）深化了群的结构理论。扎森豪斯在1937年的著作中强调“单群是构建所有有限群的砖石”，并提出了舒尔-扎森豪斯定理（关于群扩张的分解）。二战后，菲利普·霍尔（Philip Hall）发展了西罗定理的推广（霍尔子群），并证明“可解群等价于所有互素阶子群存在”。这些工作为后续分类提供了关键工具。

1950-1960年代：革命性突破

1963年，费特（Feit）和汤普森（Thompson）发表255页的《奇数阶定理》，证明“所有奇数阶群均可解”。这一里程碑不仅解决了伯恩赛德猜想，还引入了信号函子（signalizer functor）等新方法，将研究重心转向局部群论（即通过局部子群分析整体结构）。同期，布劳尔（Brauer）和铃木通夫（Suzuki）利用特征标理论刻画了某些单群的中心化子结构，而汤普森的学生时代成果（弗罗贝尼乌斯核的幂零性）成为后续工作的基石。

1960-1970年代： sporadic 群的爆发

随着分类进程加速，数学家们意外发现一系列“散在单群”（sporadic groups）——它们不属于已知的无限族（如交替群或李型群）。1965年，扬科（Janko）发现第一个散在群 ，随后费舍尔（Fischer）、格里斯（Griess）等人陆续构造出“魔群”（Monster，阶约 ）等怪物级结构。这一时期共发现26个散在群，其神秘性质（如“月光猜想”）至今仍是数学物理的研究热点。

1970-1980年代：最后的计划

戈伦斯坦（Gorenstein）在1972年提出16步分类纲领，将问题分解为“奇型群”和“偶型群”两大方向。阿施巴赫（Aschbacher）在1973年证明“标准分量定理”，极大简化了奇型群的分析。1980年，格里斯构造魔群的代数结构，标志散在群研究的收官。1981年，戈伦斯坦宣布分类基本完成，但“拟薄群”（quasithin groups）的细节直到2004年才由阿施巴赫和史密斯（Smith）补全。2004年，Aschbacher 和 Smith 发表 1200 页的论文，填补了最后的空白，正式完成分类。

现代影响与未解之谜

分类定理的最终形式断言：有限单群仅有四类——素数阶循环群、交替群、李型群和26个散在群。其证明跨越万页论文，汇集百位数学家的智慧。应用上，它解决了伯恩赛德受限问题（Zelmanov，1994），推动了表示论和几何的发展。但深层问题依然存在：为何散在群出现？是否存在更本质的“群起源理论”？正如汤普森所言：“我们仍在等待一位达尔文，用非林奈式的眼光统一这些硬核定理。”这一历程不仅是数学的胜利，更展现了人类合作与毅力的辉煌。从霍尔德的朴素提问到魔群的惊人构造，有限单群的故事仍在激发新一代的探索。

常见的有限单群

素数阶循环群

最简单的单群，其中 是素数。例如：（模5加法群）。

交错群 ​（）

由 个元素的偶置换构成。例如 （正二十面体的对称群），其阶数为 。

李型群（Lie-type groups）

这些群与线性代数、几何和有限域 密切相关。包括： 线性群如 （特殊射影线性群）。辛群如（保持辛形式的群）。例外李群如 ，其中 是某个素数的幂。

26个散在单群（Sporadic groups）

这些群不属于任何无限家族，而是孤立存在的例外。最大的散在单群是魔群（Monster group, ），其阶数约为 。其他著名的散在单群包括马蒂厄群（Mathieu groups）、康威群（Conway groups）等。

有限单群的分类是数学史上最雄心勃勃、最具挑战性的项目之一，也被誉为“数学的登月计划”。这一宏伟工程始于19世纪末，由数学家如Otto Hölder和William Burnside等人奠基，历经一个多世纪的努力，最终在21世纪初由Michael Aschbacher和Stephen Smith完成最后的证明。该项目集结了全球数百位顶尖数学家的智慧，总证明超过1万页，涉及深刻的群论、组合数学、几何和表示理论等领域的交叉融合这一里程碑式的成就不仅彻底解决了群论中最根本的结构问题，还为密码学、粒子物理、晶体学等应用科学提供了关键的理论工具。有限单群的分类是数学史上最庞大的工程之一，它不仅揭示了群的结构，还深刻影响了其他数学和物理领域。这一成就展示了数学的统一性和深度，至今仍是研究的热点。尽管分类已经完成，数学家们仍在继续简化证明、探索散在单群的深层性质，并寻找这些抽象结构在现实世界中的新应用。有限单群的分类不仅是纯粹数学的巅峰之作，更是人类理性思维追求统一与完美的永恒见证。

玛丽·卡特赖特（Mary Cartwright）于1900年12月17日出生于英国北安普敦郡的艾尼霍（Aynho），父亲威廉·迪格比是当地牧师。她的家族背景显赫，祖母简·霍尔贝奇是诗人约翰·多恩和威廉·蒙佩松的后裔。卡特赖特早年就读于利明顿高中（1912–1915）、格雷夫利庄园学校（1915–1916）和戈多尔芬学校（1916–1919）。1923年，她在牛津大学圣休学院获得数学一等学位，成为该校首位获得数学一等学位的女性。

学术生涯与成就

中学时卡特赖特最擅长历史，但因厌倦死记硬背，在毕业那年被数学”无需机械记忆也能成功”的特质吸引。这个选择彻底改变了她的命运——1923年她以一等荣誉学位从牛津毕业，成为当时全校仅有的5名数学系女生之一。一战后的牛津教室挤满退伍军人，她常因无法挤进课堂而不得不抄写同学的笔记。这种困境导致她在中期考试仅获二等成绩，一度考虑转回历史专业，最终因对数学的热爱而坚持。在同学V.C.莫顿建议下，她参加了数学家哈代的周一晚间研讨会。这些持续到深夜的讨论会（被记载为”奠定了她职业生涯的方向”）让她重拾信心，最终以优异成绩毕业。

最后卡特赖特在牛津大学师从著名数学家G.H.哈代（G.H. Hardy），并于1930年获得博士学位，论文题目为《特殊类型整函数的零点》。随后，她前往剑桥大学格顿学院继续研究，并在J.E.李特尔伍德（J.E. Littlewood）的指导下解决了其提出的一个开放性问题，提出了著名的“卡特赖特定理”，该定理为解析函数的最大模提供了估计方法。

1936年，卡特赖特成为格顿学院的数学研究主任。1938年，她与李特尔伍德合作研究无线电和雷达工程中的微分方程，发现了范德波尔振荡器的复杂解结构，这一成果成为后来混沌理论的基础之一。1945年，她简化了埃尔米特关于π的无理性的证明，并将其作为剑桥大学数学荣誉学位考试的题目。

荣誉与认可

卡特赖特是首位获得多项荣誉的女性数学家：1947年当选为英国皇家学会会士（FRS），是该学会首位女性数学家会员。1949年出任剑桥大学格顿学院院长（该院史上第二位女院长），同时保持活跃研究，1950年代在簇集理论领域取得新突破。1951年担任数学协会（Mathematical Association）主席。 1961–1962年担任伦敦数学学会（London Mathematical Society）主席。1964年获得西尔维斯特奖章（Sylvester Medal）。 1968年成为首位获得德摩根奖章（De Morgan Medal）的女性。 1969年被英国女王授予“大英帝国女爵士”（Dame Commander of the Order of the British Empire）称号。

学生回忆她”总能直击问题核心，在数学和人事上皆如此”；96岁高龄时仍能在纪录片中展现”敏锐的智慧火花”；斯坦利·斯宾塞为她创作的肖像现存于格顿学院；终生保持对绘画、音乐的深厚修养。

晚年与遗产

卡特赖特于1968年从格顿学院退休，后在美国布朗大学和克莱蒙特研究生院担任访问教授。她一生发表了90多篇论文，涉及解析函数、微分方程和混沌理论等领域。1998年4月3日，她在剑桥去世，享年97岁。她的工作为现代动力系统理论和混沌理论奠定了基础，被誉为“混沌理论先驱之一”。

生平介绍

Lars Valerian Ahlfors（1907年4月18日－1996年10月11日）是芬兰著名数学家，以在黎曼曲面和复分析领域的开创性工作闻名于世。他出生于芬兰赫尔辛基，母亲因难产去世，父亲是赫尔辛基理工大学的工程学教授。作为瑞典语家庭的后代，Ahlfors早年就读于瑞典语私立学校，1924年进入赫尔辛基大学，师从Ernst Lindelöf和Rolf Nevanlinna，1928年毕业。

Ahlfors在1929年协助Nevanlinna完成了关于整函数渐近值数量的Denjoy猜想证明，该成果后被称为Denjoy-Carleman-Ahlfors定理，奠定了他早期学术声誉。1930年获得博士学位后，他于1933-1936年担任赫尔辛基大学副教授。1936年，他与Jesse Douglas共同成为首届菲尔兹奖得主，时年29岁。

二战期间，Ahlfors曾短暂任教于瑞士苏黎世联邦理工学院（1944-1945），后于1946年重返美国哈佛大学任教直至1977年退休，期间担任William Caspar Graustein数学教授。他还在1962年和1966年两度访问普林斯顿高等研究院。除菲尔兹奖外，Ahlfors还获得1981年沃尔夫数学奖、1982年美国数学会Leroy P. Steele奖等重要荣誉，并担任1986年国际数学家大会名誉主席。

其学术贡献涵盖拟共形映射、共形几何、克莱因群有限性定理等多个领域。1953年出版的经典教材《复分析》至今仍是该学科的权威著作，其他代表作包括《黎曼曲面》（1960）和《共形不变量》（1973）。他培养的博士生中包括Paul Garabedian、Robert Osserman等著名学者。

Ahlfors于1933年与奥地利移民Erna Lehnert结婚，育有三个女儿。晚年定居美国马萨诸塞州，1996年因肺炎在匹茨菲尔德逝世，享年89岁。他的学术遗产通过以他命名的Ahlfors函数、Ahlfors测度猜想等理论持续影响着现代数学发展。

拟共形映射

拟共形映射（Quasiconformal Mappings）是复分析和几何函数论中的一个重要概念，它在数学的多个领域（如Teichmüller理论、Kleinian群、复动力系统等）中具有广泛的应用。Lars Valerian Ahlfors（拉尔斯·瓦莱里安·阿尔福斯）在拟共形映射的研究中做出了奠基性的贡献，不仅重新定义了拟共形映射，还推动了其在现代数学中的应用。

1. 拟共形映射的基本概念

拟共形映射是一类介于共形映射（Conformal Mappings）和一般同胚之间的映射，它允许一定程度的“变形”，但保持某种几何控制。具体来说：

经典定义（Grötzsch & Teichmüller）：最初，拟共形映射被定义为几乎处处可微的同胚映射，其复导数（Beltrami系数）满足

，其中

称为最大伸缩比（Maximal Dilatation）。

Ahlfors的几何定义：Ahlfors抛弃了对光滑性的要求，转而通过 四边形的模（Modulus of Quadrilaterals）来定义拟共形映射。一个同胚 是 -拟共形的，如果对任意四边形 ，有：

这种定义不依赖于微分结构，适用于更广泛的映射类。

2. Ahlfors在拟共形映射中的主要贡献

Ahlfors在拟共形映射领域的贡献主要体现在以下几个方面：

(1) 重新定义拟共形映射（1954）

在论文 On Quasiconformal Mappings（1954）中，Ahlfors提出了拟共形映射的几何定义，去除了传统定义中对光滑性的要求。这一突破使得拟共形映射的理论更加普适，并能够应用于更广泛的数学问题。为Teichmüller空间的理论奠定了坚实的基础，使得拟共形映射成为研究非光滑几何结构（如分形、Kleinian群的极限集）的有力工具。

(2) 可测Riemann映射定理（Measurable Riemann Mapping Theorem, 1960）

Ahlfors与Bers合作，在论文 Riemann’s Mapping Theorem for Variable Metrics（1960）中证明了：

定理：对于任何可测函数 满足 ，存在唯一的（在规范化条件下）拟共形映射 ，使得其复导数几乎处处成立。

意义：该定理是Teichmüller理论的核心工具，允许通过Beltrami微分参数化Teichmüller空间，在复动力系统（如Sullivan的“无游荡域定理”）中起到关键作用。

(3) 边界对应理论（Boundary Correspondence, 1956）

在 The Boundary Correspondence under Quasiconformal Mappings（1956，与Beurling合作）中，Ahlfors研究了拟共形映射的边界行为：证明了拟共形映射在Jordan域上的边界对应是拟对称（Quasisymmetric）的。构造了奇异边界对应的例子，即存在拟共形映射，其边界对应完全不绝对连续（与共形映射的F. & M. Riesz定理形成对比）。为后续研究Kleinian群的极限集（如Ahlfors测度零猜想）提供了工具，在双曲几何（如Mostow刚性定理）中有重要应用。

(4) 拟圆周（Quasicircles）的刻画（1963）

在 Quasiconformal Reflections（1963）中，Ahlfors给出了拟圆周的几何刻画：

定理：一条Jordan曲线 是拟圆周当且仅当存在常数 ，使得对任意三点 ， 在 和 中间，有：（即“三点不等式”）

意义：拟圆周是复分析中重要的曲线类，出现在Teichmüller空间、共形动力系统等领域。Ahlfors的条件成为研究拟共形映射边界行为的标准工具。

共形几何与Kleinian群

在共形几何领域，Ahlfors的工作主要集中在黎曼曲面的类型问题与共形不变量上。他通过引入“共形度量”的概念，重新定义了判断黎曼曲面属于抛物型（共形等价于复平面）还是双曲型（共形等价于单位圆盘）的几何准则。这一成果将经典的皮卡定理（Picard’s Theorem）和布洛赫定理（Bloch’s Theorem）统一为类型问题的特例。他与阿尔内·贝林（Arne Beurling）合作发展的“极值长度”（Extremal Length）理论，成为共形不变量的核心工具，广泛应用于拟共形映射和曲面分类问题。此外，阿尔福斯将奈望林纳（Nevanlinna）的亚纯函数值分布理论几何化，提出“覆盖曲面理论”，将函数的增长性与曲面的拓扑性质联系起来。他的广义施瓦茨引理（Ahlfors-Schwarz Lemma）通过比较不同共形度量的曲率，为复流形理论（如小林度量、格里菲斯的高维奈望林纳理论）奠定了基础。

在克莱因群的研究中，Ahlfors摒弃了传统的三维拓扑方法，转而采用复解析工具。他于1964年提出的“有限性定理”指出，有限生成的克莱因群在普通集（ordinary set）上的商空间是一个有限型的轨道曲面（orbifold），这一结果揭示了克莱因群作用的几何结构，为后来的瑟斯顿（Thurston）三维流形理论提供了关键启示。他通过推广伯斯（Bers）的艾希勒上同调（Eichler Cohomology）方法，构造了光滑势函数以处理非光滑边界问题，并引入“软化子”（mollifier）技术克服了极限集（limit set）分析的困难。尽管他提出的“极限集测度零猜想”（Ahlfors Measure Zero Conjecture）未被完全证明，但推动了沙利文（Sullivan）等人在遍历理论和双曲动力系统上的突破性工作。阿尔福斯与伯斯的合作还催生了“面积不等式”（Bers-Ahlfors Area Theorems），量化了克莱因群的几何有限性，并启发了后续对拟共形映射边界对应问题的研究。

数学贡献

Ahlfors的贡献不仅在于具体定理的证明，更在于他构建的理论框架深刻连接了复分析、微分几何与拓扑学。他的方法——如将奈望林纳理论重构为覆盖曲面的几何性质，或通过艾希勒上同调描述群作用——展现了将复杂分析问题转化为几何直观的非凡能力。这些工作不仅解决了当时的核心问题，更为泰希米勒空间（Teichmüller Space）、复动力系统（Complex Dynamics）和高维双曲几何等领域提供了持久的研究方法。

皮埃尔·法图（Pierre Fatou）简介

皮埃尔·约瑟夫·路易·法图（Pierre Joseph Louis Fatou，1878年2月28日－1929年8月9日）是20世纪初法国著名的数学家和天文学家。他在分析数学的多个分支中作出了重要贡献，尤其在复变函数、动力系统和测度论领域影响深远。法图引理（Fatou’s lemma）、法图定理（Fatou’s theorem）、法图集（Fatou set）以及法图-比伯巴赫域（Fatou–Bieberbach domain）均以他的名字命名，彰显了其学术成就的广泛影响。

生平与教育背景

法图出生于法国洛里昂（Lorient），其父母曾希望他投身军旅，但因健康问题未能如愿。1898年，他进入巴黎高等师范学院（École Normale Supérieure）学习数学，并于1901年毕业。此后，他加入巴黎天文台（Paris Observatory），从实习天文学家逐步晋升为正式天文学家（1928年），并在此工作直至去世。法图于1918年获得贝克勒尔奖（Becquerel Prize），1923年被授予法国荣誉军团骑士勋章，1927年担任法国数学学会主席。1929年8月9日，他在法国滨海波尔尼谢（Pornichet）度假时因突发疾病去世，享年51岁。

数学贡献

复分析与调和函数

法图的博士论文《三角级数与泰勒级数》（1906）首次将勒贝格积分应用于解析函数和调和函数的研究，特别是对单位圆上任意测度的泊松积分进行了开创性分析。他提出的法图定理（Fatou’s theorem）证明了单位圆内有界解析函数几乎处处具有径向极限，为20世纪有界解析函数理论奠定了基础。

全纯动力系统

1917–1920年间，法图开创了全纯动力系统（holomorphic dynamics）领域，研究解析函数的迭代行为。他首次定义了如今称为朱利亚集（Julia set）的补集——法图集（Fatou set），并与加斯东·朱利亚（Gaston Julia）等人独立获得了该领域的核心结果。1926年，他进一步研究了超越整函数的动力学，为现代复动力系统的发展铺平了道路。

实分析

在实变函数中，大家都会学习Fatou引理，这是实变函数的重要定理之一。Fatou引理（Fatou’s lemma）提供了非负可测函数列在积分与极限交换时的基本不等式，即对于一列非负可测函数，其逐点下极限函数的积分不超过积分序列的下极限：

这一结论打破了直觉中“极限与积分可自由交换”的预期，揭示了积分运算的细腻性。Fatou引理与单调收敛定理和勒贝格控制收敛定理共同构成了积分极限理论的三支柱。

法图-比伯巴赫域

在全纯动力系统的研究中，法图发现了一类特殊的复空间子区域（现称法图-比伯巴赫域），这些区域与整个复空间双全纯等价，但仅存在于高维情形（n≥2）。

天体力学与应用数学 法图在天体力学中证明了高斯提出的关于短周期扰动平均化的定理（1928），该成果被莱昂尼德·曼德尔施塔姆（Leonid Mandelstam）和尼古拉·博戈柳博夫（Nikolay Bogolyubov）等人进一步发展，成为现代应用数学的重要工具。

学术遗产

法图的工作深刻影响了20世纪分析数学的发展，尤其是复动力系统在1980年代后因丹尼斯·沙利文（Dennis Sullivan）等人的突破性研究而复兴。他的成果至今仍在数学物理、复分析及动力系统等领域具有广泛的应用价值。

主要著作

《三角级数与泰勒级数》（1906）

《关于函数方程的研究》（1919–1920）

《整超越函数的迭代》（1926）

《短周期力作用下的系统运动》（1928）

法图以严谨的数学思维和跨学科的视野，为数学与天文学留下了不可磨灭的遗产。

Michael Atiyah：二十世纪的数学

来源：《数学译林》2002年第2期

迈克尔·阿蒂亚爵士，OM，FRS（Sir Michael Francis Atiyah）1929年4月22日生，英国数学家，被誉为当今最伟大的数学家之一。主要研究领域为几何。1960年代他与伊萨多·辛格合作，证明了阿蒂亚-辛格指标定理。此定理在数学的一些领域均有重要作用。他于1966年荣获菲尔兹奖，与辛格在2004年共同获得阿贝尔奖。

导言

谢谢邀请我来这里参加这个活动。当然，如果有人想谈论一个世纪的终结以及下一个世纪的开始，那么他有两个具有相当难度的选择：一个是回顾过去百年的数学；另一个是对未来百年数学发展的预测，我选择了前面这个比较困难的任务，任何人都可以预测未来而且我们并不能判定是对还是错。然而对过去的任何评述，每个人都可以提出异议。

我在这里所讲的是我个人的观点。这个报告不可能包含所有内容，特别是，有一些重要的内容我不准备涉及，一部分是因为我不是那些方面的专家，一部分也是出于它们已经在其他地方被评述过了。例如，我不会去谈论那些发生在逻辑与计算领域内的著名事件，这些事件往往是与像Hilbert，Godel，Turing这些伟大的名字相关的，除了数学在基础物理中的应用之外，我也不会谈论太多数学的其他应用，这是因为数学的应用太广泛了，而且这需要专门的论述。每一个方面都需要一个专门的报告．也许大家在这次会议的其他报告中会听到很多关于这些内容的演讲。另外，试着罗列一些定理，甚至是列出在过去一百年的著名数学家的名字也是毫无意义的，那简直是在做枯燥的练习。所以，代替它们的是，我试着选择一些我认为在很多方面都是很重要的主题来讨论并且强调围绕这些主题所发生的事情。

首先我有一个一般性的说明。世纪是一个大约的数字概念。我们不会真地认为在过整整一百年的时候，有些事情会突然停下来，再重新开始，所以当我描述二十世纪的数学时，有些内容实际上可能是跨世纪的，如果某件事件发生在十九世纪九十年代，并持续到二十世纪初，我将不去计较这种时间方面的细节。我所做的就象一个天文学家，工作在一个近似的数字环境中。实际上，许多东西始于十九世纪，只不过在二十世纪才硕果累累。

这个报告的难点之一是很难把我们自己放回到1900年时作为一位数学家的位置上，这是因为上个世纪的数学有非常多的内容已经被我们的文化和我们自己吸收掉了。难以想象人们不用我们的术语来思考的那个时代是什么样子的。实际上，如果现在有人在数学上有一个真正重要的发现，其后他也一定会与之一起被忽略掉了！他会完全地被融入到背景之中，于是为了能够回顾过去，我们必须努力去想象在不同时代，人们用不同方式思考问题时的情景。

从局部到整体

作为开始，我准备列一些主题并且围绕它们来讨论。我谈论的第一个主题概括地讲，就是被大家称为从局部到整体的转变。在古典时期，人们大体上已经研究了在小范围内，使用局部坐标等等来研究事物。在这个世纪，重点已经转移到试图了解事物整体和大范围的性质。由于整体性质更加难以研究，所以大多只能有定性的结果，这时拓扑的思想就变得非常重要了。正是Poincare，他不仅为拓扑学发展作出先驱性的贡献，而且也预言拓扑学将成为二十世纪数学的一个重要的组成部分，顺便让我提一下，给出一系列著名问题的Hilbert并没有意识到这一点。拓扑学很难在他的那些问题中找到具体体现．但是对Poincare而言，他相当清楚地看出拓扑学将成为一个重要的内容。

让我试着列一些领域，然后大家就能知道我在想什么了。例如，考虑一下复分析（也被称为“函数论”），这在十九世纪是数学的中心，也是象Weierstrass这样伟大人物工作的中心。对于他们而言，一个函数就是一个复变量的函数；对于Weierstrass而言，一个函数就是一个幂级数。它们是一些可以用于写下来，并且可以明确描绘的东西或者是一些公式。函数是一些公式:它们是明确可以用显式写下来的。然而接下来Abel、Riemann和其后许多人的工作使我们远离了这些，以至于函数变得可以不用明确的公式来定义，而更多地是通过它们的整体性质来定义：通过它们的奇异点的分布，通过它们的定义域位置，通过它们取值范围。这些整体性质正是一个特定函数与众不同的特性。局部展开只是看待它们的一种方式。

一个类似的事情发生在微分方程中，最初，解一个微分方程，人们需要寻找一个明确的局部解！是一些可以写下来的东西．随着事物的发展，解不必是一个显函数，人们不一定必须用好的公式来描述它们。解的奇异性是真正决定其整体性质的东西。与发生在复分析中的一切相比，这种精神是多么的类似，只不过在细节上有些不同罢了。

在微分几何中，Gauss和其他人的经典工作描述了小片的空间，小块的曲率以及用来描述局部几何的局部方程。只要人们想要了解曲面的整体图象以及伴随它们的拓扑时，从这些经典结果到大范围的转变就是很自然的了。当人们从小范围到大范围时，最有意义的性质就是拓扑的性质。

数论也有一个类似的发展，尽管它并不是很明显地适用于这一框架。数论学家们是这样来区分他们称之为“局部理论”和“整体理论”的：前者是当他们讨论一个单个的素数，一次一个素数，以及有限个素数时；后者是当他们同时讨论全部素数时。这种素数和点之间，局部和整体之间的类似性在数论发展过程中起了很重要的作用，并且那些在拓扑学发展中产生的思想深深地影响了数论。

当然这种情况也发生在物理学中，经典物理涉及局部理论，这时我们写下可以完全描述小范围性质的微分方程，接下来我们就必须研究一个物理系统的大范围性质。物理学涉及的全部内容就是当我们从小范围出发时，我们可以知道在大范围内正在发生什么，可以预计将要发生什么，并且沿着这些结论前进。

维数的增加

我的第二个主题有些不同，我称之为维数的增加。我们再次从经典的复变函数理论开始：经典复变函数论主要是详细讨论一个复变量理论并加以精炼。推广到两个或者更多个变量基本上发生在本世纪，并且是发生在有新现象出现的领域内。不是所有的现象都与一个变量的情形相同，这里有完全新的特性出现，并且n个变量的理论的研究越来越占有统治地位，这也是本世纪主要成就之一。

另一方面，过去的微分几何学家主要研究曲线和曲面，我们现在研究n维流形的几何，大家仔细想一想，就能意识到这是一个重要的转变。在早期，曲线和曲面是那些人们能真正在空间里看到的东西。而高维则有一点点虚构的成分，在其中人们可以通过数学思维来想象,但当时人们也许没有认真对待它们。认真对待它们并且用同样重视程度来研究它们的这种思想实际上是二十世纪的产物。同样地，也没有明显的证据表明我们十九世纪的先驱者们思考过函数个数的增加，研究不单单一个而是几个函数，或者是向量值函数(vector-valued function)。所以我们看到这里有一个独立和非独立变量个数增加的问题。

线性代数总是涉及多个变量，但它的维数的增加更具有戏剧性，它的增加是从有限维到无穷维，从线性空间到有无穷个变量的Hilbert空间。当然这就涉及到了分析,在多个变量的函数之后，我们就有函数的函数，即泛函。它们是函数空间上的函数。它们本质上有无穷多个变量，这就是我们称为变分学的理论。一个类似的事情发生在一般（非线性）函数理论的发展中。这是一个古老的课题，但真正取得卓越的成果是在二十世纪。这就是我谈的第二个主题。

从交换到非交换

第三个主题是从交换到非交换的转变。这可能是二十世纪数学，特别是代数学的最主要的特征之一。代数的非交换方面已经极其重要，当然，它源自于十九世纪。它有几个不同的起源。Hamilton在四元数方面的工作可能是最令人惊叹的，并且有巨大的影响，实际上这是受处理物理问题时所采用的思想所启发。还有Grassmann在外代数方面的工作，这是另一个代数体系，现在已经被融入我们的微分形式理论中。当然，还有Cayley以线性代数为基础的矩阵方面的工作和Galois在群论方面的工作等。

所有这些都是以不同的方式形成了把非交换乘法引入代数理论的基石，我形象地把它们说成是二十世纪代数机器赖以生存的“面包和黄油”。我们现在可以不去思考这些，但在十九世纪，以上所有例子都以各自不同的方式取得了重大的突破，当然，这些思想在不同的领域内得到了惊人的发展。矩阵和非交换乘法在物理中的应用产生了量子理论。Heisenberg对易关系是非交换代数在物理中的一个最重要的应用例子，以至后来被von Neumann推广到他的算子代数理论中。 群论也是在二十世纪占重要位量的理论，我稍后再回来谈它。

从线性到非线性

我的下一个主题是从线性到非线性的转变。古典数学的大部分或者基本上是线性的，或者即使不是很精确的线性，也是那种可以通过某些扰动展开来研究的近似线性，真正的非线性现象的处理是非常困难的，并且只是在本世纪，才在很大的范围内对其进行了真正的研究。

我们从几何开始谈起：Euclid几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这一切都是线性的。而从非欧几何的各个不同阶段到Riemann的更一般的几何，所讨论的基本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经典方法所看不到的新现象。在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了。它们代表不同的极端。孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为(disorganized behavior)。这两者出现在不同领域，都是非常有趣和重要的，但它们基本土都是非线性现象。我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分。

当然，在物理学，Maxwell方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程。与之对应的是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力。这些方程之所以是非线性的，是因为Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现，并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项。于是在这里我们看到了一个非线性性与非交换性之间的有趣的联系。非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意思和很重要的。

几何与代数

至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的思索和说明。我指的是几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史。几何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人。所以，它们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系。

让我首先由这个问题的历史开始。Euclid几何是数学理论中最早的一个例子，直到Descartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的。Descartes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试。从代数学家们的角度来讲，这当然是对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家而Leibniz基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于Newton而言，几何学，或者是由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试。他关心的是在很广泛意义下的物理，以及几何世界中的物理。在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界的观点来思考它，用几何图象的观点来看待它。当他发展微积分的时候，他想要发展的是微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证，因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与Newton的途径截然不同，并且二者有很多不同的记号。正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场大争论中，Leibniz的记号最后得胜。我们现在还沿用他的记号来写偏导数。Newton的精神尚在，但被人们埋葬了很长时间。

在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincare和Hilbert是两个主要人物。我在前面已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人。Poincare的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具。Hilbert更多的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述。虽然任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同的传统。

当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有代表性的人的名字。谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字Arnold Bourbaki，前者是Poincare-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilbert最著名的接班人。Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是源自于Newton的；以为存在处于二者之间的东西，除了象Riemann（他确实跟两者都有偏离）等少数人之外，都是一种误解。Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的研究，将数学公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功。每一种观点都有它的优点，但是它们之间很难调和。

让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同。几何学当然讲的是空间，这是毫无疑问的．如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件。我们大脑的构造与视觉有着极其重要的关系。我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之八十或九十。在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说。理解并感知我们所看到的这个世界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分。因此空间直觉(spatial intuition)或者空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明显几何性质的事物也可以使用。我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使用我们的直觉．我们的直觉是我们最有力的武器。特别是在向学生或是同事讲解一种数学时可以看得很清楚。当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了。学生这时会说些什么呢？他会说“我看到了（我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他语言作对比同样有趣。我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善。

在另一方面（也许有些人不这样认为），代数本质上涉及的是时间。无论现在做的是哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思是我们必须有时间的概念。在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静态的：我可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以继续观察。然而,代数与时间有关，这是因为我们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时，我并不单单指现代代数。任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这一切看得很清楚。现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案。

代数涉及的是时间的操作，而几何涉及的是空间。它们是世界互相垂直的两个方面，并且它们代表数学中两种不同的观念。因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情。

当然只是为了论证是哪一边输了，哪一边胜利了，这并不值得。当我考虑这个问题时，有一个形象的类比：“你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家？”这个问题就象问：“你愿意是聋子还是瞎子？”一样．如果人的眼睛盲了，就看不见空间；如果人的耳朵聋了，就无法听见，听觉是发生在时间之中的，总的来说，我们还是宁愿二者都要。

在物理学，也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分。物理学有两个部分：理论——概念，想法，单词，定律——和实验仪器。我认为概念在某种广义的意义下是几何的，这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物。另一方面，实验更象一个代数计算。人们做事情总要花时间，测定一些数，将它们代入到公式中去。但是在实验背后的基本概念却是几何传统的一部分。

将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就是所谓的“浮士德的奉献”。正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼提供给数学家的供品。魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问题。

你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”(现在可以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假装我们出卖灵魂，但不真地给它。不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当我们转入代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思考其含义。

在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东西，把它化成一个公式，然后得到答案．在这样的一个过程中，人们不再需要思考代数的这些不同阶段对应的几何是什么。就这样，洞察力丢掉了，而这在那些不同的阶段都是非常重要的．我们绝不能放弃这些洞察力！最终我们还是要回到这上面来的，这就是我所谈到的浮士德的奉献．我肯定这种讲法尖锐了一点。

几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生，并且代数和几何之间的区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华．例如，代数学家们经常使用图式(diagram)。而除了几何直觉，图式又能是什么呢？

通用的技术

现在我不想再谈论太多就内容来划分的主题，而想谈谈那些依照已经使用的技术和常见方法所确定的主题，也就是我想描述一些已经广泛应用于众多领域的常见方法。第一个就是：同调论。

历史上同调论是作为拓扑学的一个分支而发展起来的。它涉及到以下情形。现有一个复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数，得到某些与之联系的可加的线性不变量等。这是一种在非线性条件下关干线性不变量的构造。从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群．同调论，作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶发现的。这是一种从几何中获益匪浅的代数。

同调概念也出现在其他一些方面。其另一个源头可以追溯到Hilbert及其关于多项式的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式。正是Hilbert那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”，具有公共零点的多项式的线性组合．他要寻找这些理想的生成元．生成元可能有很多。他审视它们之间的关系以及关系之间的关系．于是他得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”。Hilbert的这个理论是一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形。本质上来讲，Hilbert构造了一个线性关系的复杂体系．能够把象多项式这样的非线性事物的某些信息纳入其中。

这个代数理论实际上是与上述拓扑理论平行的，而且现在它们已融合在一起构成了所谓的“同调代数”．在代数几何学中，本世纪五十年代最伟大的成就之一是层的上同调理论的发展及在解析几何学中的扩展，这是由Leray，Cartan，Serre和Grothendieck等人组成的法国学派取得的。从中我们可以感受到一种既有Riemann-Poincaré的拓扑思想，又有Hilbert的代数思想，再加上某些分析手段的融合。

这表明同调论在代数的其它分支也有着广泛的应用。我们可以引入同调群的概念，它通常是与非线性事物相关的线性事物。我们可以将之应用于群论，例如，有限群，以及李代数：它们都有相应的同调群。在数论方面，同调群通过Galois群产生了非常重要的应用。因此在相当广泛的情形下同调论都是强有力的工具之一，它也是二十世纪数学的一个典型的特征。

K-理论

我要谈的另外一个技术就是所谓的“K-理论”。它在很多方面都与同调论相似，它的历史并不很长（直到二十世纪中叶才出现，尽管其起源的某些方面也许可以追溯到更早一些），但它却有着很广泛的应用，已经渗透进了数学的许多部分。K-理论实际上与表示理论紧密相联，有限群的表示理论，可以讲，起源于十九世纪．但是其现代形式——K-理论却只有一个相对较短的历史。K-理论可以用下面的方式来理解：它可以被想成是应用矩阵论的一种尝试。我们知道矩阵的乘法是不可交换的，于是我们想构造矩阵可换的或是线性的不变量。迹，维数和行列式都是矩阵论中可换的不变量，而K-理论即是试图处理它们的一种系统的方法，它有时也被称为“稳定线性代数”。其思想就是，如果我们有很多矩阵，那么把两个不可换的矩阵A和矩阵B放在不同块的正交位置上，它们就可换了，因为在一个大的空间里，我们可以随意移动物体。于是在某些近似情况下，这样做是很有好处的，足以让我们得到一些信息，这就是作为一个技术的K-理论的基石。这完全类似于同调论，二者都是从复杂的非线性情形获取线性的信息。

在代数几何中，K-理论是由Grothendieck首先引入的，并且取得了巨大的成功，这些与我们刚刚谈到的层理论密切相关，而且也和他在Riemann-Roch定理方面的工作有紧密联系。

在拓扑学方面，Hirzebruch和我照搬了这些思想并且将它们应用到一个纯粹的拓扑范畴内。从某种意义下来说，如果Grothendieck的工作与Hilbert在合系方面的工作有关，那么我们的工作更接近于Riemann-Poincaré在同调方面的工作，我们用的是连续函数，而他用的是多项式．K-理论也在椭圆算子的指标理论和线性分析的研究中起了重要作用。

从另外一个不同的角度，Milnor，Quillen和其他人发展了K-理论的代数方面，这在数论的研究中有着潜力巨大的应用．沿着这个方向的发展导致了许多有趣问题的产生。

在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换的C*-代数情形。一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数。但是在其他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地成为了这些问题的温床。

因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分的非常困难的，技巧性很强的问题。K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框架，在不同部分之间具有类比和相似。 这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”。

非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒量”提供了一个很自然的“家”。虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是现在看起来K一理论能提供更好的答案。

李群

另一个不单单是一项技术、而且是具有统一性的概念是李群。现在说起李群，我们基本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它们在二十世纪数学历史中起了非常重要的作用。它们同样起源于十九世纪．SophusLie是一位十九世纪的挪威数学家。正如很多人所讲的那样，他和Fleix Klein，还有其他人一起推动了“连续群理论”的发展．对Klein而言，一开始，这是一种试图统一处理Euclid几何和非欧几何这两种不同类型几何的方法。虽然这个课题源于十九世纪，但真正起步却是在二十世纪，作为一种能够将许多不同问题归并于其中来研究的统一性框架，李群理论深深地影响了二十世纪。

我现在来谈谈Klein思想在几何方面的重要性。对于Klein而言，几何就是齐性空间，在那里，物体可以随意移动而保持形状不变，因此，它们是由一个相关的对称群来控制的。Euclid群给出Euclid几何而双曲几何源于另一个李群．于是每一个齐性几何对应一个不同的李群。但是到了后来，随着对Riemann的几何学工作的进一步发展，人们更关心那些不是齐性的几何，此时曲率随着位置的变化而变化，并且空间不再有整体对称性，然而，李群仍然起着重要的作用，这是因为在切空间中我们有Euclid坐标，以至于李群可以出现在一种无穷小的层面上。于是在切空间中，从无穷小的角度来看，李群又出现了，只不过由于要区分不同位置的不同点，我们需要用某种可以处理不同李群的方式来移动物体。这个理论是被Eile Cartan真正发展起来的，成为现代微分几何的基石，该理论框架对于Einstein的相对论也起着基本的作用。当然Einstein的理论极大地推动了微分几何的全面发展。

进入二十世纪，我前面提到的整体性质涉及到了在整体层面上的李群和微分几何。一个主要的发展是给出所谓的“示性类”的信息，这方面标志性的工作是由Borel和Hirzebruch给出的，示性类是拓扑不变量并且融合三个关键部分：李群，微分几何和拓扑，当然也包含与群本身有关的代数。

在更带分析味的方向上，我们得到了现在被称为非交换调和分析的理论。这是Fourier理论的推广，对于后者，Fourier级数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．这本质上是Harish-Chandra一生的工作。

在数论方面，整个“Langlands纲领”,现在许多人都这样称呼它，紧密联系于Harish-Chandra理论，产生于李群理论之中。对于每一个李群，我们都可以给出相应的数论和在某种程度实施Langlands纲领。在本世纪后半叶，代数数论的一大批工作深受其影响．模形式的研究就是其中一个很好的例证，这还包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工作。

也许有人认为李群只不过在几何范畴内特别重要而已，因为这是出于连续变量的需要。然而事实并非如此，有限域上的李群的类似讨论可以给出有限群，并且大多数有限群都是通过这种方式产生的。因此李群理论的一些技巧甚至可以被应用到有限域或者是局部域等一些离散情形中。这方面有许多纯代数的工作，例如与George Lusztig名字联系在一起的工作。在这些工作中，有限群的表示理论被加以讨论，并且我已经提到的许多技术在这里也可以找到它们的用武之地。

有限群

上述讨论已把我们带到有限群的话题，这也提醒了我：有限单群的分类是我必须承认的一项工作。许多年以前，也就是在有限单群分类恰要完成之时，我接受了一次采访，并且我还被问道我对有限单群分类的看法,我当时很轻率地说我并不认为它有那么重要．我的理由是有限单群分类的结果告诉我们，大多数单群都是我们已知的，还有就是一张有关若干例外情形的表．在某种意义下，这只不过是结束了一个领域。而并没有开创什么新东西，当事物用结束代替开始时，我不会感到很兴奋。但是我的许多在这一领域工作的朋友听到我这么讲，理所当然地会感到非常非常不高兴，我从那时起就不得不穿起“防弹衣”了。

在这项研究中，有一个可以弥补缺点的优点。我在这里实际上指的是在所有的所谓“散在群”(sporadic groups)中，最大的被赋予了“魔群”名字的那一个。我认为魔群的发现这件事本身就是有限单群分类中最叫人兴奋的结果了。可以看出魔群是一个极其有意思的动物而且现在还处于被了解之中。它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系。这是分类工作的一个有趣的副产品。正如我所说的，有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇大门。

物理的影响

现在让我把话题转到一个不同的主题，即谈谈物理的影响。在整个历史中，物理与数学有着非常悠久的联系，并且大部分数学，例如微积分，就是为了解决物理中出现的问题而发展起来的。在二十世纪中叶，随着大多数纯数学在独立于物理学时仍取得了很好的发展，这种影响或联系也许变得不太明显．但是在本世纪最后四分之一的时间里，事情发生了戏剧性的变化，让我试着简单地评述一下物理学和数学，尤其是和几何的相互影响。

在十九世纪，Hamilton发展了经典力学，引入了现在称为Hamilton量的形式化。经典力学导出现在所谓的“辛几何”．这是几何的一个分支，虽然很早已经有人研究了，但是实际上直到最近二十年，这个课题才得到真正的研究．这已经是几何学非常丰富的一部分。几何学，我在这里使用这个词的意思是指，它有三个分支：Riemann几何，复几何和辛几何，并且分别对应三个不同类型的李群。辛几何是它们之中最新发展起来的，并且在某种意义下也许是最有趣的，当然也是与物理有极其紧密联系的一个，这主要因为它的历史起源与Hamilton力学有关以及近些年来它与量子力学的联系．现在，我前面提到过的、作为电磁学基本线性方程的Maxwell方程，是Hodge在调和形式方面工作和在代数几何中应用方面工作的源动力。这是一个非常富有成果的理论，并且自从本世纪三十年代以来已经成为几何学中的许多工作的基础。

我已经提到过广义相对论和Einstein的工作。量子力学当然更是提供了一个重要的实例．这不仅仅体现在对易关系上，而且更显著地体现在对Hilbert空间和谱理论的强调上。

以一种更具体和明显的方式，结晶学的古典形式是与晶体结构的对称性有关的。第一个被研究的实例是发生在点周围的有限对称群，这是鉴于它们在结晶学中的应用。在本世纪中，群论更深刻的应用已经转向与物理的关系，被假设用来构成物质的基本粒子看起来在最小的层面上有隐藏的对称性，在这个层面上，有某些李群在此出没，对此我们看不见，但是当我们研究粒子的实际行为时，它们的对称性就显现无遗了。所以我们假定了一个模型，在这个模型当中，对称性是一个本质性的要素，而且目前那些很普遍的不同理论都有一些象SU(2)和SU(3)那样的基本李群融入其中并构成基础的对称群，因此这些李群看起来象是建设物质大厦的砖石。

并不是只有紧李群才出现在物理中，一些非紧李群也出现在物理中，例如Lorentz群．正是由物理学家第一个开始研究非紧李群的表示理论的。它们是那些能够发生在Hilbert空间的表示，这是因为，对于紧群而言，所有不可约表示都是有限维的，而非紧群需要的是无穷维表示，这也是首先由物理学家意识到的。

在二十世纪的最后25年里，正如我刚刚完成阐述的，有一种巨大的从物理学的新思想到数学的渗透，这也许是整个世纪最引人注目的事件之一，就这个问题本身，也许就需要一个完整的报告，但是，基本上来讲，量子场论和弦理论已经以引人注目的方式影响了数学的许多分支，得到了众多的新结果、新思想和新技术．这里，我的意思是指物理学家通过对物理理论的理解已经能够预言某些在数学上是对的事情了。当然，这不是一个精确的证明，但是确有非常强有力的直觉、一些特例和类比所支持。数学家们经常来检验这些由物理学家预言的结果，并且发现它们基本上是正确的，尽管给出证明是很困难的而且它们中的许多还没有被完全证明。

所以说沿着这个方向，在过去的25年里取得了巨大的成果．这些结果是极其细致的．这并不象物理学家所讲的“这是一种应该是对的东西”。他们说：“这里有明确的公式，还有头十个实例（涉及超过12位的数字）”。他们会给出关于复杂问题的准确答案，这些决不是那种靠猜测就能得到的，而是需要用机器计算的东西，量子场论提供了一个重要的工具，虽然从数学上来理解很困难，但是站在应用的角度，它有意想不到的回报。这是最近25年中真正令人兴奋的事件。

在这里我列一些重要的成果：Simon Donaldson在四维流形方面的工作；Vaughan-Jones在扭结不变量方面的工作；镜面对称，量子群；再加上我刚才提到的“魔群”。

这个主题到底讲的是什么呢？正如我在前面提到过的一样，二十世纪见证了维数的一种转换并且以转换为无穷维而告终，物理学家超越了这些，在量子场论方面，他们真正试图对广泛的无穷维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空间是各类典型的函数空间，它们非常复杂，不仅是因为它们是无穷维的，而且它们有复杂的代数、几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群，即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李群和流形上分析的发展，这部分物理涉及了在无穷维情形下的类似处理．当然，这是一件非常不同的事情，但确有巨大的成功。

让我更详尽地解释一下，量子场论存在于空间和时间中．空间的真正的意义是三维的，但是有简化的模型使我们将空间取成一维．在一维空间和一维时间里，物理学家遇到的典型事物，用数学语言来讲，就是由圆周的微分同胚构成的群或者是由从圆周到一个紧李群的微分映射构成的群。它们是出现在这些维数里的量子场论中的两个非常基本的无穷维李群的例子，它们也是理所当然的数学事物并且已经被数学家们研究了一段时间。

在这样一个1＋1维理论中，我们将时空取成一个Riemann曲面并且由此可以得到很多新的结果。例如，研究一个给定亏格数的Riemann曲面的模空间是个可以追溯到上个世纪的古典课题。而由量子场论已经得到了很多关于这些模空间的上同调的新结果。另一个非常类似的模空间是一个具有亏格数g的Riemann曲面上的平坦G-丛的模空间。这些空间都是非常有趣的并且量子场论给出关于它们的一些精确结果。特别地，可以得到一些关于体积的很漂亮的公式，这其中涉及到Zeta函数的取值。

另一个应用与计数曲线(counting curve)有关。如果我们来看给定次数和类型的平面代数曲线，我们想要知道的是，例如，经过那么多点究竟有多少曲线，这样我们就要面临代数几何的计数问题，这些问题在上个世纪一直是很经典的。而且也是非常困难的。现在它们已经通过被称为“量子上同调”的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得到的。或者我们也可以接触那些关于不在平面上而在弯曲族上的曲线的更加困难的问题，这样我们得到了另一个具有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，所有这些都产生于1＋1维量子场论。

如果我们升高一个维数，也就是2-维空间和1-维时间，就可以得到Vaughan-Jones的扭结不变量理论．这个理论已经用量子场论的术语给予了很美妙的解释和分析。

量子场论另一个结果是所谓的“量子群”。现在关于量子群的最好的东西是它们的名字．明确地讲它们不是群！如果有人要问我一个量子群的定义，我也许需要用半个小时来解释，它们是复杂的事物，但毫无疑问它们与量子理论有着很深的联系它们源于物理，而且现在的应用者是那些脚踏实地的代数学家们，他们实际上用它们进行确定的计算。

如果我们将维数升得更高一些，到一个全四维理论（三加一维），这就是Donaldson的四维流形理论，在这里量子场论产生了重大影响．特别地，这还导致Seiberg和Witten建立了他们相应的理论，该理论建立在物理直觉之上并且也给出许多非同寻常的数学结果。所有这些都是些突出的例子．其实还有更多的例子。

接下来是弦理论并且这已经是过时的了！我们现在所谈论的是M一理论，这是一个内容丰富的理论，其中同样有大量的数学，从关于它的研究中得到的结果仍有待于进一步消化并且足可以让数学家们忙上相当长的时间。

历史的总结

我现在作一个简短的总结。让我概括地谈谈历史：数学究竟发生了什么？我相当随意地把十八世纪和十九世纪放在了一起，把它们当做我们称为古典数学的时代，这个时代是与Euler和Gauss这样的人联系在一起的，所有伟大的古典数学结果也都是在这个时代被发现和发展的。有人也许认为那几乎就是数学的终结了，但是相反地，二十世纪实际上非常富有成果，这也是我一直在谈论的。

二十世纪大致可以一分为二地分成两部分。我认为二十世纪前半叶是被我称为“专门化的时代”，这是一个Hilbert的处理办法大行其道的时代，即努力进行形式化，仔细地定义各种事物，并在每一个领域中贯彻始终。正如我说到过的，Bourbaki的名字是与这种趋势联系在一起的．在这种趋势下，人们把注意力都集中于在特定的时期从特定的代数系统或者其它系统能获得什么。二十世纪后半叶更多地被我称为“统一的时代”，在这个时代，各个领域的界限被打破了，各种技术可以从一个领域应用到另外一个领域，并且事物在很大程度上变得越来越有交叉性。我想这是一种过于简单的说法，但是我认为这简单总结了我们所看到的二十世纪数学的一些方面。

二十一世纪会是什么呢？我已经说过，二十一世纪是量子数学的时代，或者，如果大家喜欢，可称为是无穷维数学的时代。这意味着什么呢？量子数学的含义是指我们能够恰当地理解分析、几何、拓扑和各式各样的非线性函数空间的代数，在这里，“恰当地理解”，我是指能够以某种方式对那些物理学家们已经推断出来的美妙事物给出较精确的证明。

有人要说，如果用天真幼稚的方式(naive way)来研究无穷维并问一些天真幼稚的问题，通常来讲，只能得到错误的答案或者答案是无意义的，物理的应用、洞察力和动机使得物理学家能够问一些关于无穷维的明智的问题，并且可以在有合乎情理的答案时作一些非常细致的工作，因此用这种方式分析无穷维决不是一件轻而易举的事情。我们必须沿着这条正确的道路走下去。我们已经得到了许多线索，地图已经摊开了：我们的目标已经有了，只不过还有很长的路要走。

还有什么会发生在二十一世纪？我想强调一下Connes的非交换微分几何．Alain Connes拥有这个相当宏伟的统一理论．同样，它融合了一切．它融合了分析、代数、几何、拓扑、物理、数论，所有这一切都是它的一部分。这是一个框架性理论，它能够让我们在非交换分析的范畴里从事微分几何学家通常所做的工作，这当中包括与拓扑的关系。要求这样做是有很好的理由的，因为它在数论、几何、离散群等等以及在物理中都有（潜力巨大的或者特别的）应用。一个与物理有趣的联系也刚刚被发现。这个理论能够走多远，能够得到什么结果，还有待进一步观察．它理所当然地是我所期望的至少在下个世纪头十年能够得到显著发展的课题，而且找到它与尚不成熟的（精确）量子场论之间的联系是完全有可能的。

我们转到另一个方面，也就是所谓的“算术几何”或者是Arakelov几何，其试图尽可能多地将代数几何和数论的部分内容统一起来。这是一个非常成功的理论。它已经有了一个美好的开端，但仍有很长的路要走．这又有谁知道呢？

当然，所有这些都有一些共同点。我期待物理学能够将它的影响遍及所有地方，甚至是数论：Andrew Wiles不同意我这样说，只有时间会说明一切。

这些是我所能看到的在下个十年里出现的几个方面，但也有一些难以捉摸的东西：返回至低维几何．与所有无穷维的富有想象的事物在一起，低维几何的处境有些尴尬。从很多方面来看，我们开始时讨论的维数，或我们祖先开始时的维数，仍留下某些未解之谜。维数为2，3和4的对象被我们称为“低”维的．例如Thurston在三维几何的工作，目标就是能够给出一个三维流形上的几何分类，这比二维理论要深刻得多．Thurston纲领还远远没有完成，完成这个纲领当然将是一个重要的挑战。

在三维中另外一个引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本质上来源于物理的工作。这给了我们更多的关于三维的信息，并且它们几乎完全不在Thurston纲领包含的信息之内。如何将这两个方面联系起来仍然是一个巨大的挑战，但是最近得到的结果暗示两者之间可能有一座桥，因此，整个低维的领域都与物理有关，但是其中实在有太多让人琢磨不透的东西。

最后，我要提一下的是在物理学中出现的非常重要的“对偶”。这些对偶，泛泛地来讲，产生于一个量子理论被看成一个经典理论时有两种不同的实现。一个简单的例子是经典力学中的位置和动量的对偶。这样由对偶空间代替了原空间，并且在线性理论中，对偶就是Fourier变换．但是在非线性理论中，如何来代替Fourier变换是巨大的挑战之一。数学的大部分都与如何在非线性情形下推广对偶有关．物理学家看起来能够在他们的弦理论和M一理论中以一种非同寻常的方式做到了这一点。他们构造了一个又一个令人叹为观止的对偶实例，在某种广义的意义下，它们是Fourier变换的无穷维非线性体现，并且看起来它们能解决问题，然而理解这些非线性对偶性看起来也是下个世纪的巨大挑战之一。

我想我就谈到这里。这里还有大量的工作，并且我觉得象我这样的一个老人可以和你们这么多的年轻人谈谈是一件非常好的事情；而且我也可以对你们说：在下个世纪，有大量的工作在等着你们去完成。

来源：《数学译林》2002年第2期

早年教育与学术背景

詹姆斯·亚历山大·梅纳德（James Alexander Maynard）于1987年6月11日出生于英国埃塞克斯郡的切尔姆斯福德。他在剑桥大学皇后学院获得数学学士和硕士学位（2005–2009），随后进入牛津大学贝利奥尔学院攻读博士学位，师从著名数论学家罗杰·希斯-布朗（Roger Heath-Brown），并于2013年完成博士论文《解析数论专题》。

学术成就与突破性贡献

梅纳德的研究聚焦于解析数论，尤其是素数分布、素数间隙和丢番图逼近等领域。他的突破性工作包括：

1. 素数间隙理论：2013年，他独立改进了张益唐关于有界素数间隙的证明，将间隙上限从7000万大幅降至600，并证明了对任意整数𝑚，存在无限多个长度有限的区间包含至少𝑚个素数。这一成果推动了“Polymath8b”合作项目，最终将间隙缩小到246（假设广义埃利奥特-哈尔伯斯坦猜想下可降至6）。

2. 埃尔德什猜想：2014年，他解决了保罗·埃尔德什提出的关于素数大间隙的猜想，获得该猜想史上最高奖金1万美元。

3. 达芬-谢弗猜想：2019年与库库洛普洛斯合作，彻底证明了这一困扰数学家80年的度量数论难题，揭示了无理数逼近的深层规律。

荣誉与奖项

梅纳德的贡献为他赢得了多项国际顶级奖项：菲尔兹奖（2022年）：表彰其在素数结构与丢番图逼近上的革命性工作。 SASTRA拉马努金奖（2014年）：授予在数论领域展现卓越创造力的年轻数学家。 怀特黑德奖（2015年）、EMS奖（2016年）等。2023年，他当选为英国皇家学会院士（FRS），并获“数学新视野奖”。

素数小间距的研究综述

一、背景与历史脉络

素数间距问题长期以来是数论研究的核心课题之一。经典猜想如孪生素数猜想（存在无限对相差2的素数）至今未解。2013年，张益唐里程碑式地证明了存在无限对素数间距小于7000万，首次突破了有限间距的界限。这一成果激发了Polymath项目的后续优化，将界限降至246。而James Maynard在2014年独立提出了一种改进的GPY筛法，将最小间距进一步压缩至600，并在假设Elliott-Halberstam猜想下可达12。这些工作共同构成了现代素数间隙研究的突破性进展。

二、核心问题与工具

关键问题：对于任意整数 ，是否存在无限多个素数对 满足 ，其中 为仅依赖 的常数？

方法论基础：

1. GPY筛法：Goldston-Pintz-Yıldırım (2005) 通过高维Selberg筛法，结合素数在算术级数中的分布（Bombieri-Vinogradov定理），首次证明 。

2. 可容许集（Admissible Sets）：集合 若对所有素数 ，存在同余类避开所有 ，则称为可容许的。素数 -元组猜想断言此类集合对应无限多 使 全为素数。

3. 水平分布（Level of Distribution）：若对任意 ，素数在模 算术级数中均匀分布（误差可控），则称素数具有水平 。Bombieri-Vinogradov定理给出 ，而Elliott-Halberstam猜想断言 。

三、Maynard的突破性改进

Maynard的核心创新在于对GPY权重的重构：

1. 广义权重设计：传统GPY方法采用形如 的权重，Maynard引入更灵活的多元函数： ， 其中 为光滑函数，支撑在 上。这种形式允许权重对各除数 独立调控。

2. 筛法优化：通过选择对称多项式或指数型函数 ，Maynard证明：无条件结果：。假设Elliott-Halberstam猜想时，间距可降至12。对 -元组，存在 的普适界。

3. 关键命题：通过计算“主项比” ，其中： 为 的-范数， 反映 在剔除第 维后的投影。当 时 ， 时 ，从而保证多素数对的存在性。

四、技术难点与创新

1. 高维积分估计：Maynard通过对称多项式展开（如幂和 、）将 和 转化为矩阵特征值问题，借助凸优化理论求解极值。

2. 误差控制：通过限制小素数因子（）和精细的余项分析，确保主项主导。

3. 平滑函数选择：对大规模 ，采用 形式，利用中心极限现象简化积分估计，证明。

素数大间距的研究综述

素数间距问题一直是数论研究的核心课题之一，特别是关于素数间最大间距的研究吸引了众多数学家的关注。本文整合了Ford、Green、Konyagin、Maynard和Tao等人在”Large Gaps between primes”和”Long gaps between primes”两篇重要论文中的工作，系统介绍素数大间距问题的发展历史和整体研究思路。

一、研究背景与历史发展

素数间距问题源于对素数分布规律的探索。记 为第n个素数，定义G(X)为不超过X的连续素数之间的最大间距：

根据素数定理，素数平均间距约为log X，因此早期研究关注G(X)与log X的关系。注意，这里的的意思。

重要历史节点：

1. Westzynthius (1931)：首次证明 G(X)/log X→∞，即存在任意大的相对间距，并给出定量下界： 。

2. Erdős (1935)：改进下界至： 。

3. Rankin (1938)：进一步改进，引入关键常数c： 初始c=1/3，后续研究主要集中于提高c值。

4. Ford-Green-Konyagin-Maynard-Tao (2014)：突破性证明c可任意大，解决了Erdős长期悬赏的问题：。

二、研究方法与核心思路

1. Erdős-Rankin构造方法

基本思路是通过选择适当的同余类 覆盖区间 ，使得 都是合数，从而在 附近创造长度为的素数间距。关键步骤：将素数分为”小素数”和”大素数”分别处理，使用中国剩余定理构造覆盖模式，通过渐进分析优化的长度。

2. 超图覆盖定理的推广

论文的核心创新在于推广了Pippenger-Spencer超图覆盖定理，使其适用于边基数可变的情况。这一组合工具允许更灵活地处理素数的分布：

定理：给定超图 和随机边集 ，若满足：边基数有界：，顶点度条件： ，相关性控制：边集间依赖性弱，则可高效覆盖大部分顶点，这一工具为构造大间距提供了关键技术支持。

3. 多维筛法与小间距结果的结合

研究借鉴了Goldston-Pintz-Yıldırım和Maynard关于小间距素数的工作，特别是：使用高维筛法控制素数分布，引入平滑权重函数处理几乎素数，结合Maier矩阵方法处理素数链。

三、主要结果与贡献

大间距下界：证明了对于充分大的X，有：

，其中隐含常数是有效且可计算的。这一结果显著改进了Rankin的经典下界。他发展了随机覆盖技术处理可变的同余条件，将素数k元组猜想与间距问题联系起来，建立了筛法理论与组合覆盖之间的新联系。该工作引发了系列后续研究：证明存在包含完美 次方的大间距(Maier-Rassias)，研究归一化间距的极限点分布(Baker-Freiberg)，建立大间距链的结果(Ford-Maynard-Tao)。

四、研究意义与展望

这些工作代表了素数分布研究的重大进展，其意义在于：

1. 理论层面：突破了Erdős-Rankin方法的固有局限，将组合工具与解析数论深度结合。

2. 技术层面：发展的超图覆盖方法具有独立性趣，可应用于其他组合问题。

3. 展望：虽然当前结果接近方法的最佳可能，但距离Cramér猜想()仍有差距，需要全新的思路。未来可能在以下方向突破：结合更精细的分布模型，发展处理高相关性筛法问题的新工具，探索素数分布与随机矩阵等领域的联系。

总之，素数大间距研究展示了现代数论中不同领域方法的交叉融合，其发展历程也体现了数学问题从特殊到一般、从定性到定量的典型演化路径。

未解决的猜想

在 《Gaps in Prime Numbers》 这篇论文中，James Maynard 详细介绍了以下的 Open Question 和当前进展。

1. 孪生素数猜想（Twin Prime Conjecture）

内容：存在无限多对相差恰好为2的素数（即形如的素数对）。现状：尽管定理2（Zhang等）证明存在无限多对素数间隔不超过246，但猜想中“严格等于2”的结论仍未解决。该猜想是更广泛的素数k元组猜想的特例。

2. Cramér猜想（弱形式）

内容：对于第 个素数，最大素数间隔满足：。

现状：定理3（Ford-Green-Konyagin-Tao-Maynard）给出了下界，但上界与Cramér猜想的预测仍有显著差距。目前已知的最大间隔下界为：

3. 素数k元组猜想（Prime k-tuple Conjecture）

内容：给定满足特定条件的个线性函数，存在无限多整数使得所有同时为素数。现状：定理1（Maynard-Tao）证明了弱形式，即存在无限多使得至少个 为素数，但“所有函数同时为素数”的完整猜想仍远未解决。该猜想是许多素数分布问题的核心。

4. 广义Elliott-Halberstam猜想

内容：将素数在算术级数中的分布控制推广到更大模数范围（如模数）。现状：定理6表明，若该猜想成立，则素数最小间隔可降至6。但猜想本身未被证明，且是突破现有方法（如定理2中246的上界）的关键障碍。

5. 素数间隔的极限与方法的局限性

小间隔问题：基于筛法的“奇偶现象”限制了进一步改进，无法证明超过个线性函数同时为素数。定理6指出，即使假设广义Elliott-Halberstam猜想，最小间隔下界仍无法低于6。大间隔问题：现有方法依赖于构造连续合数序列，其长度受限于最小素因子的分布。Maier-Pomerance猜想认为最大连续合数序列长度应为：，但当前结果（定理3）尚未达到这一预测。

学术生涯与影响

梅纳德现任牛津大学数论教授（2018年起），并任圣约翰学院超员研究员。他的研究结合筛法、组合数学与代数工具，持续推动素数理论的边界，例如证明无限多素数缺失某一十进制数字（2016年），以及改进无平方差集的定量估计（2020年）。其论文被引用超988次（截至2025年），h指数15，彰显其学术影响力。 梅纳德与医生伴侣埃莉诺·格兰特（Eleanor Grant）育有一子。他积极参与公众科普，曾接受Numberphile等平台访谈，讲解孪生素数猜想和菲尔兹奖背后的故事。 梅纳德延续了哈代-拉马努金等英国数论学派的传统，同时以创新方法解决经典问题。他近年致力于大模数算术级数中的素数分布（2025年系列论文）及狄利克雷多项式估计，未来或进一步揭示素数与数论函数的深层联系。 梅纳德的职业生涯体现了理论数学的纯粹性与应用潜力，其工作不仅夯实了数论基础，也为年轻学者树立了“用简单工具解决复杂问题”的典范。

问题：他到底是一个人，还是一个研究所？

从数学家们的评价来看，柯尔莫哥洛夫的研究广度和深度远超单个学者的极限。他不仅独自建立了概率论、算法复杂性、湍流理论等多个领域的数学基础，还培养了一代顶尖学者。因此，他既是天才的个人，也是一个“行走的数学研究所”——他的影响力至今仍在塑造现代数学和科学。在1963年，美国统计学家沃尔夫·维茨惊叹：“我想知道，柯尔莫戈洛夫到底是一个人呢，还是一个研究机构？”

个人经历

安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫（Andrei Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）是20世纪最伟大的数学家之一，被誉为“数学的巨人”。他出生于俄罗斯坦波夫，母亲在分娩时去世，父亲因参与革命活动被流放并在1919年内战中去世。柯尔莫哥洛夫由母亲的姐姐维拉·雅科夫列夫娜抚养长大，并在雅罗斯拉夫尔附近的家族庄园中度过童年。他自幼展现出非凡的数学天赋，5岁时就独立发现了奇数求和与平方数的关系（1=1²，1+3=2²等），并在家庭自办的杂志《春燕》中发表数学问题。

柯尔莫哥洛夫早年兴趣广泛，涉猎生物学、历史、文学和音乐。1920年进入莫斯科国立大学后，他师从著名数学家尼古拉·卢津（Nikolai Luzin），并在本科期间就发表了关于傅里叶级数发散性的突破性成果（1922年）。1925年毕业后，他与亚历山大·辛钦（Aleksandr Khinchin）合作研究概率论，开启了其辉煌的学术生涯。1931年，他成为莫斯科大学教授，并与好友帕维尔·亚历山德罗夫（Pavel Alexandrov）共同建立了深厚的学术与个人友谊。

柯尔莫哥洛夫最著名的贡献是1933年出版的《概率论基础》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），其中提出了概率论的公理化体系，彻底解决了希尔伯特第六问题中“物理学的公理化”部分。他还创立了KAM理论（与Arnold和Moser合作）、柯尔莫哥洛夫复杂性理论，并在湍流理论、拓扑学、信息论等领域作出开创性工作。尽管在斯大林时期面临政治压力，他仍获得斯大林奖（1941年）和列宁勋章等荣誉。

柯尔莫哥洛夫终身致力于教育，创办了莫斯科物理数学寄宿学校（后以他命名），并亲自编写教材。他晚年研究算法信息论，提出“概率论应基于信息论而非相反”的颠覆性观点。1987年因帕金森病逝世于莫斯科，其思想至今仍深刻影响着数学与科学领域。

数学成就

柯尔莫哥洛夫是20世纪最具影响力的数学家之一，他的研究横跨多个数学领域，包括概率论、拓扑学、信息论、算法复杂性、动力系统、流体力学等。他的工作不仅奠定了现代数学的多个分支，而且对物理学、计算机科学和统计学产生了深远影响。以下是他在不同领域的重大贡献：

1. 概率论的公理化（1933）

柯尔莫哥洛夫最著名的贡献是1933年出版的《概率论基础》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），其中他基于测度论建立了概率论的公理化体系。这一工作解决了希尔伯特第六问题（“物理学的公理化”）的一部分，并彻底改变了概率论的研究方式。 柯尔莫哥洛夫公理：他定义了概率空间，其中： 是样本空间， 是事件， -代数， 是概率测度这些公理至今仍是概率论的标准框架。条件期望：他严格定义了条件期望，使其成为现代概率论的核心工具。零一律（Kolmogorov’s Zero-One Law）：证明某些极限事件的概率只能是0或1，这对随机过程的研究至关重要。

2. 随机过程与马尔可夫链

柯尔莫哥洛夫在随机过程领域做出了奠基性工作：柯尔莫哥洛夫方程（Chapman-Kolmogorov方程）：描述马尔可夫过程的转移概率演化，是随机过程理论的核心工具。扩散过程：他研究了连续时间随机过程的微分方程，为现代金融数学和物理学中的随机微分方程（SDE）奠定了基础。大数定律的推广：他给出了独立随机变量序列满足强大数定律的充要条件。

3. 算法信息论与柯尔莫哥洛夫复杂性（1960s）

柯尔莫哥洛夫在1960年代提出了算法复杂性的概念，后来被称为柯尔莫哥洛夫复杂性（Kolmogorov Complexity），这是信息论和计算理论的重要突破：定义：一个字符串的柯尔莫哥洛夫复杂性是最短程序（在某种通用计算机上）能生成该字符串的长度。随机性：如果一个字符串的柯尔莫哥洛夫复杂性接近其自身长度，则该字符串是“随机”的。影响：这一理论影响了数据压缩、密码学、机器学习等领域，并与所罗门诺夫（Solomonoff）和柴廷（Chaitin）的工作共同构成了算法信息论的基础。

4. 湍流理论与Kolmogorov-Obukhov定律（1941）

柯尔莫哥洛夫在流体力学中提出了湍流能谱的标度律（Kolmogorov-Obukhov定律）：-5/3定律：在惯性子区，湍流能量谱

，

这一理论至今仍是湍流研究的基础。Kolmogorov尺度：定义了湍流的最小尺度（Kolmogorov微尺度），影响气象学、海洋学和工程学。

5. 拓扑学与同调论（1930s）

柯尔莫哥洛夫在代数拓扑领域也有重要贡献：上同调环（Cohomology Ring）：与亚历山大（J.W. Alexander）独立发现，是现代代数拓扑的核心工具。Kolmogorov空间（空间）：定义了最弱的分离公理，影响了一般拓扑学的发展。维数理论：他研究了拓扑空间的维数，并构造了开映射增加维数的反例，挑战了当时对维数的直观理解。

6. 动力系统与KAM理论（1954）

柯尔莫哥洛夫在哈密顿系统的研究中提出了KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser理论）：稳定性问题证明在微扰下，某些可积系统的不变环面仍然存在，解决了太阳系稳定性等经典力学问题。KAM理论为混沌动力学奠定了基础，影响天体力学和统计物理。

7. 统计学与柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验（1933）

柯尔莫哥洛夫在数理统计中提出了柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验（K-S检验）：非参数检验用于判断样本是否来自某一特定分布，广泛应用于数据分析，他的工作推动了非参数统计的发展。

8. 信息论与熵（1950s）

柯尔莫哥洛夫与辛钦（Khinchin）和香农（Shannon）共同推动了信息论的发展：柯尔莫哥洛夫熵用于度量动力系统的混沌程度，影响遍历理论和复杂性科学。信息几何他的工作为信息几何（Information Geometry）提供了数学基础。

KAM 理论

KAM理论（Kolmogorov-Arnold-Moser理论）是动力系统理论中关于哈密顿系统稳定性的重要成果，由三位数学家Kolmogorov（1954）、Arnold（1960年代）和Moser（1960年代）逐步完善。该理论起源于对经典力学中可积系统受扰动后行为的研究，旨在解决“小分母问题”和长期稳定性难题。其核心结论是：在满足非退化性条件（如Hessian矩阵非奇异）和Diophantine频率条件（频率向量满足无理比例且难以被有理数逼近）的前提下，弱扰动下多数不变环面（KAM环面）会以微小形变的形式保留，而非完全破坏。

由来与历史背景

经典问题：Poincaré在研究三体问题时发现，可积系统的扰动可能导致共振和轨道不稳定，但严格证明长期稳定性极为困难。Kolmogorov突破（1954）：提出不变环面在扰动下持续存在的思想，并引入牛顿迭代法解决收敛性问题。Arnold与Moser的推广：Arnold将理论扩展到多自由度哈密顿系统，Moser则放宽了光滑性要求，适用于有限次可微系统（如类）。

核心内容

1. 非退化条件：要求未扰动系统的频率随作用量变化（如，确保系统非线性。

2. 频率条件：频率比需满足（, ），排除共振。

3. 结论：扰动后，多数环面（测度趋近于全集）保持拟周期运动，其余部分形成“随机层”或混沌带。

应用场景包括但不限于天体力学（解释太阳系长期稳定性（如木星轨道的KAM环面阻止混沌扩散））、等离子体物理（约束磁场中粒子运动的环面结构）、非线性动力学（研究标准映射（Standard Map）中规则岛与混沌区的分界）、统计力学（反驳“遍历性普遍成立”的假设，证明弱耦合多振子系统可能存在能非均分）。

局限性

1. 小扰动限制：仅适用于，实际物理系统可能超出此范围。

2. 高维扩散：在自由度时，Arnold扩散表明非KAM环面区域可能存在缓慢混沌输运。

3. 非光滑系统：Moser版本虽放宽条件，但仍需一定光滑性，不适用于不连续扰动（如碰撞系统）。

KAM理论揭示了规则运动与混沌的微妙共存，成为连接可积系统与遍历理论的桥梁，其思想也被拓展至非哈密顿系统（如保体积映射）和无限维系统（如某些偏微分方程）。

其他数学家的评价

要想赢得足球名宿的认可，难度堪比在世界杯决赛加时赛中完成一记倒挂金钩破门——这些见多识广的老江湖见识过马拉多纳的连过五人、齐达内的天外飞仙，他们的标准早已被传奇拔高到云层之上。就像贝肯鲍尔不会轻易称赞后卫的铲断，克鲁伊夫很少夸奖前锋的跑位，除非你的表现能让他们想起自己当年的神迹，或是展现出超越时代的灵光。毕竟，这些亲手书写过足球历史的人，眼光里永远带着黄金年代的滤镜。要想赢得菲尔兹奖或沃尔夫奖得主的赞许，难度堪比在数学的宇宙中徒手构造一个非交换的完美晶体——这些思维已触及人类智力巅峰的巨人，见识过格罗滕迪克的概形之海，领略过外尔的对称性之舞，他们的标准早已被黎曼、庞加莱等传奇铸就成了不可撼动的丰碑。就像塞尔不会轻易称赞一个同调论的构造，陶哲轩很少夸奖某个解析数论的技巧，除非你的工作能让他们想起高斯式的思想飞跃。毕竟，这些亲手拓展过数学边界的人，评判时总带着对”数学之美”近乎苛刻的直觉——那是唯有在代数与几何的深渊中潜游过千百回的灵魂才能拥有的嗅觉。下面，我们来看一下其他数学家对柯尔莫哥洛夫的评价。

P. S. Aleksandrov（帕维尔·亚历山德罗夫）亚历山德罗夫称柯尔莫哥洛夫为“数学王子”，强调其思想的广度和深度在同时代数学家中无与伦比。他指出柯尔莫哥洛夫的研究覆盖了从概率论到拓扑学等二十多个数学领域，且在每个领域都带来了根本性的革新（《The Life and Work of Kolmogorov》）。在柯尔莫哥洛夫50岁生日时，亚历山德罗夫还提到：“他的任何一篇论文都能引发对整个领域的重新评估。”

A. Ya. Khinchin（亚历山大·辛钦）辛钦认为柯尔莫哥洛夫具有罕见的才能，能将高度抽象的数学与实际问题结合。他特别指出：“柯尔莫哥洛夫最引人注目的特质是其思想的丰富性——他关于任何工作的每一句话都可能成为一篇博士论文的基础。”（《The Life and Work of Kolmogorov》）。

I. M. Gelfand（伊斯雷尔·盖尔范德）盖尔范德评价道：“数学被视为一门统一学科，很大程度上归功于柯尔莫哥洛夫。”他强调了柯尔莫哥洛夫在整合数学不同分支中的核心作用（《The Life and Work of Kolmogorov》）。

V. I. Arnold（弗拉基米尔·阿诺尔德） 阿诺尔德将柯尔莫哥洛夫与庞加莱、高斯、欧拉和牛顿并列，称“仅需五代人（柯尔莫哥洛夫-庞加莱-高斯-欧拉-牛顿）就能将我们与科学的源头连接起来”。他还提到柯尔莫哥洛夫对莫斯科大学数学系的深远影响，称其与佩特罗夫斯基共同塑造了该系的黄金时代（《A few words on Andrei Nikolaevich Kolmogorov》）。

N. H. Bingham 指出，柯尔莫哥洛夫1933年的《概率论基础》为概率论的公理化奠定了基础，解决了希尔伯特第六问题中关于概率论公理化的部分，甚至影响了保罗·莱维等学者（《Andrey Kolmogorov – MacTutor History of Mathematics》）。

Benoit Mandelbrot 在湍流研究中引用柯尔莫哥洛夫1941年的理论，认为其开创性地解释了能量级联现象，尽管后续发现需通过分形理论修正“间歇性”问题（《Fractals: A Very Short Introduction》）。

柯尔莫哥洛夫被广泛视为20世纪最具原创性和影响力的数学家之一，其工作不仅重塑了多个数学领域，还通过教育和跨学科研究留下了持久遗产。笔者貌似找到一个 Andrei Kolmogorov 不研究的领域，那就是数论（Number Theory）。

总结

柯尔莫哥洛夫的数学贡献几乎覆盖了现代数学的所有核心领域，他的工作不仅推动了理论发展，还在物理学、计算机科学、金融学、气象学等应用学科中产生了深远影响。他的思想至今仍是数学研究的重要源泉，被誉为“20世纪最伟大的数学家之一”。