简单介绍
斯里尼瓦瑟·拉马努金（1887–1920）是印度数学史上一位传奇式的天才人物。他出身贫寒，未接受过正规高等教育，却凭借超凡的直觉和自学能力，在数论、无穷级数、连分数和分拆函数等领域做出了深远而独创的贡献。在孤立的研究环境中，他独立发现了大量定理，其中许多结果甚至重现并超越了欧洲数学家的成果。1913年，他致信英国数学家G.H.哈代，其才华得到赏识，随后赴剑桥大学合作研究，成为英国皇家学会会员和三一学院研究员。尽管英年早逝，他留下的数千个公式和猜想为现代数学研究提供了丰富的源泉，被公认为数学巨匠。
在印度的生活
一、神童的诞生与早期教育（1887-1904）
拉马努金于1887年12月22日出生于印度泰米尔纳德邦的埃罗德（Erode），在一个贫困的婆罗门家庭中长大。他的父亲是纱丽店的一名职员，母亲是家庭主妇，也在当地寺庙演唱宗教歌曲。童年时期，他接受了深厚的婆罗门文化熏陶，学习宗教歌曲和传统仪式。他的数学天赋在幼年便已显现。1897年，10岁的拉马努金以优异成绩通过初级考试，在英语、泰米尔语、地理和算术科目中名列学区第一。同年，他进入贡伯戈纳姆市高中（Town Higher Secondary School），首次接触正规数学教育。11岁时，他已经掌握了家中两位大学生房客的全部数学知识。13岁时，他完全自学掌握了S.L. Loney的《三角学》高级教材，并独立发现了复杂定理。14岁时，他开始获得学校颁发的优异证书和学术奖项，并协助学校完成1200名学生与35名教师的复杂分配工作，能在规定时间一半内完成数学考试，并熟练运用几何和无穷级数。
二、坎坷的大学之路与独立研究（1904-1909）
1904年，拉马努金从市高中毕业，校长克里希纳斯瓦米·艾耶（Krishnaswami Iyer）授予他K. Ranganatha Rao数学奖，并称他是一位“应得分数超过满分”的杰出学生。他凭借此成绩获得政府文理学院（Government Arts College, Kumbakonam）的奖学金。然而，悲剧也随之而来。他对数学的痴迷导致他完全忽视了其他学科。1905年，他因非数学课程不及格而失去了奖学金。他后来进入马德拉斯的帕夏帕学院（Pachaiyappa’s College），再次在数学上表现出色，但在生理学等科目上成绩糟糕。1906年12月，他未能通过文学学士学位考试，一年后再试依旧失败。没有学位，他被迫离开大学，陷入了极端贫困，甚至时常遭受饥饿的折磨。在此期间，他完全依靠自学进行独立的数学研究。没有指导、没有同行交流，他在孤立无援的环境中持续探索。他通过做家教赚取微薄收入，但常常食不果腹。他的家人，尽管经济拮据，却始终包容他，没有强迫他放弃数学去寻找一份常规工作。
三、转折点：被学术界发现（1910-1913）
在贫困交加中，拉马努金的转机终于出现。他开始在《印度数学会刊》（Journal of the Indian Mathematical Society）上提出并解决问题。1911年，他在该期刊上发表了一篇关于伯努利数的杰出研究论文，这使他在马德拉斯地区开始声名鹊起，被誉为“数学天才”。1912-1913年间，在朋友和导师的鼓励下，他决定将自己的研究成果寄给英国剑桥的数学家。他写信给三位学者，其中最重要的一封是1913年1月16日写给G.H.哈代（G.H. Hardy）的信。随信附上了一份长达11页的清单，列出了120个他独立发现的定理和公式，其中许多涉及连分数、无穷级数和素数分布等领域。这封信改变了历史。哈代最初对这位“无名印度职员”的手稿持怀疑态度，但很快就被其中一些结果的深度和美感所震撼。他与同事J.E.李特尔伍德（J.E. Littlewood）仔细研究后，确信拉马努金是一位“与欧拉和高斯同等级别的天才”。哈代回信邀请他来剑桥合作。
四、赴英前的准备与本土荣誉
拉马努金最初因宗教原因（远洋旅行会失去种姓身份）和母亲的反对于1913年拒绝了哈代的邀请。然而，随着与哈代的通信持续，他的才华引起了马德拉斯大学的高度重视。1913年5月，在马德拉斯大学数学教授E.W. Middlemast（他写道：“我强烈推荐这位申请者。他是一个在数学，尤其是数论方面具有非凡能力的年轻人。”）的极力举荐下，大学决定破例授予拉马努金一份为期两年的特殊研究奖学金，使他能够辞去港务局的职员工作，全身心投入数学研究。最终，在各方努力和母亲的妥协下，拉马努金接受了哈代的第二次邀请。1914年3月17日，他从印度启航前往英国，结束了他在印度孤独而辉煌的探索时期，开启了他与世界数学中心碰撞的新篇章。
与哈代的合作及剑桥时期
尽管哈代已为他在剑桥三一学院争取到了为期两年的奖学金，拉马努金启程前却充满了挣扎。作为一名正统的婆罗门，他极度担忧这次远行会让他失去种姓身份，并且对英国的寒冷气候与饮食禁忌感到恐惧。最终，在印度几位数学教授的极力劝说下，他才终于成行。经过四周的海上航行，其中三天他因晕船而备受折磨，他于4月14日抵达伦敦。哈代的同事E.H.内维尔（E. H. Neville）开着一辆汽车在码头等候他，四天后，便将他带到了剑桥切斯特顿路的家中暂住。
拉马努金很快就在剑桥安顿下来。四月底，他搬入了三一学院 Whewell’s Court 的宿舍，这里距离哈代的房间仅五分钟步行路程。尽管他并非正式学生，但他仍旁听了哈代以及国王学院数学家亚瑟·贝里（Arthur Berry）关于椭圆积分的讲座。在一次贝里的课上，拉马努金脸上兴奋的光芒引起了教授的注意。当被问及是否想补充什么时，他走上讲台，写下了贝里尚未证明、并且他此前不可能知晓的结果，令全场震惊。他立即开始了与哈代和利特尔伍德（Littlewood）的紧张工作，几乎每天都会向哈代展示半打新的定理。
然而，剑桥的生活远非一帆风顺。来自热带地区的拉马努金完全无法适应英格兰阴冷潮湿的气候，冬季时常病倒，一度连续五个月无法进行有效的科学研究。他严格的婆罗门戒律要求素食，且食物必须由同为婆罗门的人烹饪，这在战时的英国变得极其困难，他大多时候只能靠自己烹饪。文化的隔阂、食物的匮乏、战争的阴云以及深深的思乡之情，逐渐侵蚀着他的身心健康。在一次极度抑郁的爆发中，他甚至试图扑向地铁列车。1917年，他的健康彻底崩溃，被诊断出患有严重疾病（可能是肺结核或肝感染），此后大部分时间都在不同的疗养院中度过。
尽管病魔缠身，拉马努金的数学创造力却从未熄灭。他在病床上依然坚持研究。1918年，他的成就得到了最高认可：2月，他当选为剑桥哲学学会会员；5月，当选为英国皇家学会会士（FRS），成为最年轻的院士之一；10月，又当选为三一学院研究员，成为首位获此殊荣的印度人。这些荣誉仿佛一剂强心针，一度提振了他的求生意志，他甚至短暂地恢复了数学工作。在生命最后的时光里，他于1920年1月写给哈代最后一封信，概述了他最深奥的贡献之一——模拟Θ函数（Mock Theta Functions）的发现。
1919年，战争结束，拉马努金已是一个病入膏肓的人。他于2月27日至3月13日间踏上了返回印度的旅程。尽管马德拉斯大学已为他提供了优渥的研究津贴，但他于1920年4月26日与世长辞，年仅32岁。他在剑桥的五年虽是短暂一瞬，却彻底改变了现代数学的图景。他与哈代这位理性主义的无神论者结成了数学史上最不可思议的伙伴关系——一位依靠“女神在梦中给予公式”的直觉天才，与一位信奉严格证明的数学正统派。他们的合作，是一次不同文化、信仰和工作风格的激烈碰撞，也是最终绽放出最绚丽科学成果的完美互补。
数学成就与贡献
拉马努金在几乎无正规数学训练的背景下，对数论、无限级数、连分数、椭圆函数和分拆函数等领域做出了深远贡献。他独立提出了近3900个数学结果（多数为恒等式和方程），其中许多具有高度原创性和突破性，例如：
拉马努金素数：与素数分布相关的特殊素数。
拉马努金θ函数：影响模形式理论的发展。
分拆函数p(n)的渐进公式：与哈代合作提出，后被Rademacher证明。
模拟θ函数：临终前提出的深刻概念，启现代数几何与物理研究。
拉马努金在其1914年发表的论文《模方程与π的近似值》（Modular equations and approximations to π）中，提出了多个用于计算1/π的无穷级数。其中最著名且收敛速度极快的公式为：
该级数具有非凡的收敛特性。文档明确指出，其部分和收敛到π真值的速度在20世纪70年代之前是任何其他计算方法都无法比拟的。级数的每一项都能提供大约8位额外正确的小数位数。例如，仅计算首项（n=0）即可得到π的近似值精确到6位小数，而下一项（n=1）则能将精度提升至约14位小数。
超几何形式：
该公式的数学本质是椭圆积分与模函数理论的深刻应用，其推导源于拉马努金对q-级数和超几何函数的独创性研究。文档指出，这类公式是“椭圆积分的确切类比”，并体现了拉马努金将模函数理论应用于数论问题的非凡洞察力。
该公式的实际计算价值在计算机时代得到了极致发挥。Borwein兄弟在1986年使用拉马努金公式的一个变体，将π计算到了1700万位小数，并发现该公式的收敛效率远高于任何先前的方法。此后，基于拉马努金工作启发的算法（如文档中提到的“四次迭代算法”）被多次用于打破π的计算纪录，例如在2009年，一个团队利用此类算法在73小时内计算出了π的2.5万亿位小数。
拉马努金-楚德诺夫斯基公式 (Ramanujan-Chudnovsky Series)由Chudnovsky兄弟基于拉马努金的工作发现，是现代破纪录计算π的基础。
特性： 此级数的收敛速度比拉马努金的原公式更快，每一项可增加约14位十进制数的精度。该公式被用于计算π的数万亿位小数。
拉马努金还有提及了多个与π相关的级数公式，它们展示了拉马努金工作的广度。
公式A:
公式B:
公式C (与平方和表示相关):
注: 其中 
除了级数，拉马努金也给出了高精度的代数近似公式，这些源于其“化圆为方”的几何研究。
近似式A (精确到9位小数):
近似式B (精确到16/18位小数):
近似式C:
拉马努金的工作方式依赖极强的直觉和归纳能力，常通过数值计算猜想定理，而非传统严格证明。尽管部分结论存在错误，但其主流成果已被广泛验证并融入现代数学体系。拉马努金的π级数不仅是其超凡数学直觉的例证——他甚至在缺乏严格证明的情况下就确信其正确性——更重要的是，它为现代计算数学提供了最强大的工具之一，彻底改变了高精度计算π的方式。
影响与遗产
拉马努金的工作对20-21世纪数学产生了深远影响：国际期刊《The Ramanujan Journal》专门发表受其影响的数学研究。印度设立“拉马努金奖”，其生平被改编为电影《知无涯者》（The Man Who Knew Infinity）。他的笔记本至今仍被数学家（如G.E. Andrews、B.C. Berndt）深入研究，推动数论、模形式等领域的发展。哈代评价其为“与欧拉、高斯并列的天才”，尽管缺乏正规教育，但其直觉与创造力无人能及。
总结
拉马努金在π的计算上留下了深刻的遗产，他的工作核心开创了基于模函数和椭圆函数的快速收敛级数，其收敛速度在计算机时代得到极致发挥。他提供了多种形式的公式，包括无穷级数和代数近似。他的思想直接启发了后来更强大的公式（如Chudnovsky公式），这些公式至今仍是计算π数十亿、数万亿位小数的算法基础。
ZHANG RONG 