天衣岂无缝，匠心剪接成。

浑然归一体，广邃妙绝伦。

造化爱几何，四力纤维能。

千古存心事，欧高黎嘉陈。

这首诗是1975年杨振宁写给陈省身的。最后一句“欧高黎嘉陈”中，杨振宁把陈省身和数学史上的欧几里得、高斯、黎曼和嘉当并列，称他为数学史几何学上的第五人。而高斯、黎曼均属于 18 世纪的德国数学家，在数学史上有着不可磨灭的贡献。

德国的数学史

德国的数学发展历史悠久且贡献卓著，尤其在近代和现代数学中占据核心地位。17世纪，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）独立发明了微积分（与牛顿同时期），并发展了二进制系统，对数学分析、逻辑学和计算理论影响深远。18至19世纪，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在数论、代数、几何和分析等领域做出奠基性工作，如证明代数基本定理、发展非欧几何理论（与波尔约和罗巴切夫斯基并列）以及最小二乘法。19世纪下半叶，乔治·康托尔（Georg Cantor）创立集合论，引入无穷集合和超穷数概念，彻底改变了数学的基础。大卫·希尔伯特（David Hilbert）在20世纪初提出23个数学问题，推动了现代数学多个分支的发展，并在公理化体系和数学基础领域贡献显著。哥廷根学派成为全球数学研究中心，培养了埃米·诺特（Emmy Noether）等杰出学者，其抽象代数和守恒定理工作影响深远。德国数学以严谨性、抽象性和理论深度著称，为全球数学教育、研究及应用奠定了坚实基础。

16世纪前的德国数学

17世纪以前的德国数学发展虽不如同时期的意大利或法国那样耀眼，但仍有一批重要数学家为欧洲数学的复兴与传播做出了贡献。其中，雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436–1476） 是文艺复兴时期的关键人物。他本名约翰内斯·米勒（Johannes Müller），因出生于柯尼斯堡（Königsberg）而取拉丁化别名“雷格蒙塔努斯”。他系统翻译并注释了希腊数学著作，尤其是托勒密的《天球论》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，推动了三角学的独立发展。他撰写的《论各种三角形》（De triangulis omnimodis）是欧洲第一部系统的三角学专著，首次明确将三角学作为独立学科而非天文学附庸，并改进了正弦表的计算精度，为后世导航和天文计算提供了基础工具。

16世纪的克里斯托夫·鲁道夫（Christoph Rudolf，1499–1545） 在代数学领域有所建树。他的代表作《代数术》（Coss）系统介绍了代数符号和方程求解方法，推动了德国代数学的普及。书中首次使用根号符号（√）表示平方根，这一符号后来被广泛采纳并沿用至今。同时，米夏埃尔·斯蒂费尔（Michael Stifel，1487–1567） 进一步发展了代数和数论。他在《整数算术》（Arithmetica integra）中研究了二项式系数、算术序列及无理数理论，并尝试用几何方法证明代数命题，为符号代数的形成奠定了基础。斯蒂费尔还曾与马丁·路德合作，将数学思想应用于宗教改革时期的文献研究。

亚当·里斯（Adam Riese，1492–1559） 虽非理论数学家，却以实用算术教育影响了德国数学普及。他编写的算术教科书《计算艺术》（Rechenkunst）推广了印度-阿拉伯数字计算法，取代了传统的算盘计算，成为商人和学生的重要工具书，被誉为“德国计算大师”。这一时期德国数学的特点是从实用算术向理论学科过渡，并为17世纪莱布尼茨等人的重大突破奠定了基础。

17世纪的德国数学

17世纪是德国数学发展的重要时期，涌现出多位杰出数学家，为现代数学奠定了基础。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）是这一时期最著名的代表人物，他独立于牛顿发明了微积分，并发展了二进制系统，对数学和哲学产生了深远影响。莱布尼茨在符号表示方面做出了重要贡献，引入了积分符号∫和微分符号d，这些符号至今仍在广泛使用。他还研究了无穷级数、微分方程和组合数学，为后续数学发展提供了重要工具。莱布尼茨提出了符号逻辑的初步思想，这些贡献对后世数学和计算机科学产生了深远影响。他的工作尤其注重符号化与形式化，为现代数学语言奠定了基础。

另一位重要数学家是约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler），虽然他主要活跃于16世纪末至17世纪初，但其工作对17世纪数学发展具有持续影响。开普勒提出了行星运动三大定律，这些定律不仅推动了天文学发展，还促进了数学中圆锥曲线和积分思想的应用。他在《葡萄酒桶的立体几何》中研究了旋转体的体积计算，为微积分的诞生提供了前期准备。

克里斯托夫·克拉维乌斯（Christoph Clavius）也是17世纪初期德国数学的重要人物，他主要贡献在于历法改革和数学教育。克拉维乌斯参与了格里高利历的制定，并在其数学著作中系统整理了欧几里得几何学，推动了数学在德国的传播和教育规范化。

18世纪的德国数学

德国数学在17世纪的表现，体现了从文艺复兴到科学革命的过渡特征，强调数学与自然科学的紧密结合，为18世纪数学的蓬勃发展奠定了坚实基础，18世纪德国数学的发展涌现了多位杰出人物。

莱布尼茨的学生克里斯蒂安·冯·沃尔夫（Christian von Wolff）在推广莱布尼茨的数学和哲学思想方面发挥了重要作用，他通过系统化的教材和著作，使这些理论在德语世界得到广泛传播，促进了数学教育的发展。

约翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）也在该时期贡献显著，他证明了π是无理数，并在双曲函数和非欧几何的早期探索中取得了进展，为19世纪数学的革命性发展埋下了伏笔。

总体而言，18世纪德国数学以莱布尼茨的符号化方法和欧拉的分析学成就为核心，融合了理论创新与教育推广，为现代数学的体系化奠定了坚实基础。

19世纪的德国数学

卡尔·弗里德里希·高斯

19世纪的德国数学界涌现了众多杰出数学家，他们的贡献奠定了现代数学的基石。卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777–1855） 被誉为“数学王子”，他在数论、代数、分析和几何等多个领域均有深远影响。高斯提出了正态分布理论，发展了最小二乘法，并发表了《算术研究》，系统阐述了模运算和二次互反律，为现代数论奠定了基础。此外，他在非欧几何领域的研究虽未及时公开，但后来被证实对几何学发展具有革命性意义。他的贡献几乎遍及所有数学分支，并在物理学、天文学和大地测量学等领域有深远影响。

数论领域的奠基性工作：

高斯在1801年出版的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中系统性地构建了现代数论的基础。他引入了同余理论（符号“≡”至今仍被使用），深入研究了二次剩余、二次互反律（并给出了第一个严格证明），并提出了高斯整数（复整数）的概念，推动了代数数论的发展。他还证明了费马多边形数定理，并对素数分布提出了猜想（后来成为素数定理）。

代数与方程论：

高斯在代数学中的核心贡献是证明了代数基本定理（每个复系数多项式都有至少一个复根），并给出了多种证明方法。他还研究了分圆方程（cyclotomic equations），即形如 xn=1x^n = 1xn=1
的方程，其工作为伽罗瓦理论的出现奠定了基础。在文档中提到的“高斯的解决分圆方程的工作”正是指他在这一领域的研究。

几何学的革新：

高斯是非欧几何的早期探索者之一（尽管未公开发表），他提出了内蕴几何的概念，发展了曲面理论（如高斯曲率），并建立了微分几何的基础。他的工作直接影响了几何学的现代化进程。

分析学与数学物理：

高斯在分析学中贡献了高斯积分（正态分布相关的积分）、超几何级数研究，以及数值计算方法（如高斯消元法、高斯-赛德尔迭代）。他还与威廉·韦伯合作研究了电磁学，提出了高斯单位制，并发表了电磁学中的高斯定律。

天文学与大地测量学：

高斯发展了行星轨道计算的最小二乘法（用于预测谷神星的位置），并提出了高斯分布（正态分布），这一分布在概率论和统计学中成为核心工具。在大地测量学中，他研究了曲面的映射问题，提出了高斯投影法。

高斯的数学思想以严谨、深刻和前瞻性著称，他的许多工作（如非欧几何）在当时未被完全理解，但后来成为现代数学的基石。他追求完美，主张“少而精”，其著作和笔记至今仍在激励数学家探索未知领域。

伯恩哈德·黎曼

伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826－1866） 以其对几何和分析的贡献闻名。他引入了黎曼几何，通过黎曼曲面的概念复分析推向新高度，并提出了黎曼积分和黎曼猜想，后者至今仍是数论中未解决的核心问题。他的工作为爱因斯坦的广义相对论提供了数学工具。他的工作在数学和物理学多个领域产生了深远的影响。黎曼出生于汉诺威王国的一个贫困牧师家庭，早年显示出非凡的数学天赋，在哥廷根大学和柏林大学学习期间受到高斯、狄利克雷等数学巨匠的指导。他的学术生涯虽短暂，却奠定了现代数学中多个重要分支的基础。

黎曼最著名的贡献之一是黎曼几何，他在1854年的就职演讲《论几何学基础中的假设》中提出了弯曲空间中的几何概念，推广了欧几里得几何学。他引入的黎曼度量和曲率张量为后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学框架，彻底改变了人们对空间、时间和引力的理解。黎曼几何不仅成为微分几何的核心，也在现代理论物理中具有不可替代的地位。

在复分析领域，黎曼提出了黎曼曲面的概念，将复变函数的研究从平面推广到多值函数和复杂拓扑结构上。他著名的黎映射定理（黎曼映射定理）表明任何单连通开集（非全平面）都可以共形映射到单位圆盘，这一结果在几何函数论中具有根本重要性。此外，黎曼在椭圆函数和阿贝尔函数方面也有深刻的工作。

数论中，黎曼在1859年的论文《论小于给定数值的素数个数》中引入了黎曼ζ函数，并提出了著名的黎曼猜想（Riemann Hypothesis），即ζ函数的所有非平凡零点的实部均为1/2。这一猜想至今仍是数学中未解决的最重要问题之一，其证明将极大地推动素数分布理论的发展。

黎曼还对积分理论做出了革新，提出了黎曼积分的定义，为后来勒贝格积分和其他更一般的积分理论奠定了基础。在实分析中，他研究了傅里叶级数的收敛性问题，并给出了黎曼可积性的条件。

在数学物理方面，黎曼研究了声波传播、流体动力学和电磁学等问题，他关于冲击波的工作为偏微分方程理论提供了新工具。他提出的黎曼问题在双曲型守恒律中仍是研究的热点。黎曼的思想极具前瞻性和深度，他的工作不仅推动了纯数学的发展，也为现代物理学提供了关键工具。尽管他生命短暂（仅享年39岁），但其贡献跨越了几何、分析、数论和物理等多个领域，使他成为19世纪最伟大的数学家之一。

利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823 – 1891） 是代数和数论的重要人物，他主张“上帝创造了整数，其余皆是人的工作”，强调数学应基于整数构建。他发展了代数数论，提出了克罗内克乘积和克罗内克极限公式，并对代数学的结构性研究有深远影响。

卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1851-1897） 被誉为“现代分析之父”，他严格化了极限、连续和微积分的定义，提出了ε-δ语言，消除了早期分析中的不严谨性。他还研究了椭圆函数和变分法，其工作为实分析和复分析提供了坚实基础。

费迪南德·戈特霍尔德·艾森斯坦（Ferdinand Gotthold Eisenstein，1823-1852） 虽英年早逝，但在数论和代数领域贡献显著。他研究了二次形式、立方互反律和椭圆函数，艾森斯坦级数和艾森stein不可约准则至今是重要工具。

菲利克斯·克莱因（Felix Klein，1849-1925） 以埃尔兰根纲领闻名，该纲领通过群论统一了几何学分类。他还研究了复变函数、非欧几何和数学教育，推动了几何与群论的结合，对现代数学发展有深远影响。

格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845–1918）是德国数学家，集合论的创始人，对现代数学产生了深远影响。他出生于俄罗斯圣彼得堡，后移居德国，在哈勒大学度过学术生涯。康托尔首次系统提出了无穷集合的理论，证明了无穷集合存在不同大小，例如实数集比自然数集“更大”，并引入了基数与序数的概念。他的对角线论证法成为逻辑与计算机科学的重要基础。尽管其理论初期遭到克罗内克等数学家的强烈反对，甚至引发哲学与神学争议，康托尔始终坚信自己的思想是“上帝传达的真理”。晚年他饱受抑郁症困扰，但其工作最终被希尔伯特等学者推崇，为数学奠定了新的基石。1904年，他荣获英国皇家学会的西尔维斯特奖章。

这些数学家的集体工作使德国成为19世纪数学研究的中心，他们的理论不仅推动了纯数学的发展，还为物理学、工程学等领域提供了关键工具。

20世纪的德国数学

大卫·希尔伯特

20世纪德国数学在世界数学史上占据重要地位，涌现出一批影响深远的数学家。大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862–1943）是这一时期的杰出代表，他在1900年国际数学家大会上提出了23个数学问题，为20世纪的数学研究指明了方向，对数学基础、数论、代数几何和数学物理等领域产生了深远影响。希尔伯特在公理化方法和数学基础方面的贡献尤为突出，他提出的“希尔伯特计划”试图为数学建立坚实的形式化基础。

希尔伯特早期的重要贡献集中在不变量理论领域。他证明了不变量的有限基定理，表明任何不变量的系统总可以由有限个不变量生成，这一结果解决了哥尔丹问题，并引入了非构造性证明方法，为现代抽象代数奠定了基础。随后，他将注意力转向数论，在1897年的《数论报告》中系统总结了代数数论的成果，并提出希尔伯特类域论等关键问题，推动了20世纪数论的深远发展。

在几何学领域，希尔伯特于1899年发表《几何基础》，首次以严格公理化的方式重构欧几里得几何。他提出一组完备且独立的公理系统，并深入探讨了公理系统的相容性、独立性和完备性，这一工作不仅革新了几何学的基础，更促进了数学公理化思想的普及，对后续数学研究产生了范式性影响。

20世纪20年代，希尔伯特转向数学基础研究，提出“希尔伯特纲领”，旨在通过有限主义方法证明数学系统的相容性，以应对集合论悖论带来的危机。尽管哥德尔的不完备定理表明这一纲领无法完全实现，但希尔伯特的形式化方法催生了证明论这一新领域，并深刻影响了现代逻辑和计算机科学的发展。

希尔伯特在积分方程和数学物理领域也有杰出贡献。他发展了希尔伯特空间理论，为泛函分析奠定了基础，这一概念后来成为量子力学的重要数学框架。他与弟子合作的研究还推动了变分法、特征值理论等领域的进展。希尔伯特的学术遗产不仅体现在具体定理和理论上，更在于他高瞻远瞩的问题意识、对数学统一性的追求以及培养大批杰出学生的教育贡献，使他成为当之无愧的现代数学奠基者之一。

埃米·诺特（Emmy Noether，1882-1935）是抽象代数的奠基人之一，她的诺特定理将对称性与守恒定律联系起来，对理论物理学的发展起到了关键作用。她在环论、域论和模论等领域的开创性工作为现代代数结构研究奠定了基石。赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）在群论、表示论和数学物理等领域贡献卓著，他的工作涉及连续群、量子力学和广义相对论，尤其在对称性和规范场理论方面有深远影响。

菲利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff，1868-1942）是点集拓扑学的创始人之一，他提出的豪斯多夫空间和豪斯多夫维数等概念成为现代拓扑学和分形几何的基础。格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）虽然主要工作在19世纪末，但他的集合论和超穷数理论在20世纪被广泛接受并进一步发展，对数学基础和逻辑学产生了革命性影响。此外，卡尔·西格尔（Carl Siegel）在数论和多复变函数论方面的工作，以及赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）在数论和相对论中的几何方法，也为20世纪数学的发展做出了重要贡献。

这些德国数学家的成就不仅推动了纯粹数学的进步，还在理论物理学、计算机科学和工程学等领域产生了广泛的应用，奠定了现代数学的许多核心分支的基础。