Nicolas Bourbaki 是一个由一群数学家组成的集体笔名，主要由法国巴黎高等师范学院（École normale supérieure, ENS）的校友组成。该团体成立于1934年至1935年，最初目的是编写一本新的分析学教科书。随着时间的推移，项目变得更加宏大，发展成为一系列以 Bourbaki 名义出版的教科书，旨在涵盖现代纯数学的各个领域。这一系列著作统称为《数学原理》（Éléments de mathématique），是 Bourbaki 的核心作品，内容涉及集合论、抽象代数、拓扑学、分析学、李群和李代数等。
背景与成立
Bourbaki 的名字来源于19世纪法国将军 Charles-Denis Bourbaki，他在普法战争中经历了戏剧性的失败。这个名字在20世纪初的法国学生中广为人知。1935年夏天，小组决定采用”尼古拉·布尔巴基”这个集体笔名。这个名字源自1870年普法战争中法国将军夏尔·索泰尔·布尔巴基。更滑稽的是，这个典故来自巴黎高师的一场恶作剧讲座——高年级学生拉乌尔·胡森假扮数学家，用假胡子和浓重口音宣讲了一堆以法国将军命名的错误定理，最后最荒谬的定理被命名为”布尔巴基定理”。
Bourbaki 的成立是对第一次世界大战后法国数学界人才断层现象的回应。战争导致一代法国数学家丧生，年轻教师被迫使用过时的教材。Henri Cartan 和 André Weil 等人在斯特拉斯堡大学任教时，对现有教材的不满促使他们召集其他数学家共同编写现代分析学教材。创始成员包括 Henri Cartan、Claude Chevalley、Jean Delsarte、Jean Dieudonné 和 André Weil 等。1934年，29岁的亨利·嘉当和27岁的安德烈·韦伊在斯特拉斯堡大学任教时，因对传统教材《Goursat分析教程》不满，萌生了编写新分析教材的想法。他们与巴黎高师校友们在圣米歇尔大道的卡普拉德咖啡馆定期聚会（每周一中午），这个充满咖啡香气的空间成为了现代数学史上最具影响力的学术沙龙。
工作方式
Bourbaki 定期举行私人会议，讨论和起草《数学原理》的内容。主题分配给小组委员会，草案经过激烈辩论，只有全体一致同意后才会出版。尽管过程缓慢且费力，但这种方法确保了作品的严谨性和普适性。Bourbaki 还组织 Séminaire Bourbaki，定期举办讲座并出版讲义。疯狂的科学聚会：1935年7月在贝斯昂尚德塞举行的第一次布尔巴基大会上，成员让·迪厄多内后来描述道：”初次参会者总会觉得这是一群疯子的聚会”。会议没有主席，所有人可以随时打断发言，常常三四个人同时 shouting，但这种”精心设计的混乱”恰恰成为他们创造性思维的源泉。韦伊解释说，任何组织化的尝试都会让著作变得平庸。1938年小组将著作命名为《数学原理》(Éléments de Mathématique)，故意去掉通常法语中”数学”(Mathématiques)的词尾”s”，用这个语法细节宣示他们对数学统一性的信仰，这个细节后来成为科学史上最著名的”缺失的S”。
1940年代末新成员Armand Borel首次参加Bourbaki会议时，被现场震撼——成员们用”最高音量喊出两三个独立进行的独白”，尤其是大嗓门的Dieudonné总能让讨论升级为”混乱的喊叫比赛”。这种独特的审稿方式要求每个章节被逐行朗读，任何人都可随时打断批评，形成一种既混乱又高效的协作模式。Dieudonné强调成员必须对”听到的一切都感兴趣”，拒绝只专精某一领域的”狂热代数家”。成员常被要求撰写非本专业的章节，比如代数专家写拓扑章节，这种”通才培养”模式让许多人受益匪浅，但也引发后来关于”是否需天才才能胜任”的争议。
原计划按顺序出版6本书，实际却呈现”大杂烩”式出版：1947年先出《拓扑学》第5-7章，1948年突然跳回《代数》第3章讲张量积，1949年又穿插《实变函数》的泰勒定理，完全打乱编号体系。这种看似混乱的进程反而展现了他们对数学整体性的追求。1950年代新加入的Grothendieck坚持”百科全书式写作”，提案用超代数等前沿理论为流形奠基，结果被吐槽”过于抽象，可能让我们陷入基础工作多年”。年轻成员Cartier后来直言早期著作”当教材是灾难”，反映了代际认知差异。
影响与批评
Bourbaki 学派以极端严谨的公理化方法著称，强调数学结构的分类（代数结构、序结构、拓扑结构），并主张从最一般的形式推导特殊案例。其独特的“布尔巴基风格”表现为高度抽象、排斥直观图示与计算，追求逻辑上的完备性。例如，实数被定义为拓扑群的完备化，而非直接从有理数构造。Bourbaki 在20世纪中叶对数学产生了深远影响，尤其是在数学结构的引入和严格化方面。其作品影响了“新数学”（New Math）教育改革运动，但由于过于抽象而受到批评。Bourbaki 的风格强调公理化和抽象化，但也因忽视应用数学和某些现代数学领域（如范畴论）而受到批评。
成员与传承
Bourbaki 的成员身份保密，历史上约有40名成员，通常保持10至12人的规模。成员按“代际”更替，创始成员逐渐退出，由年轻数学家接替。尽管 Bourbaki 的影响力在20世纪后期有所下降，但其对数学教育的贡献和严谨的数学方法仍被广泛认可。自2012年以来，Bourbaki 恢复了《数学原理》的出版，修订了部分章节并新增了代数拓扑和谱理论等内容。2023年出版了关于谱理论的新卷，并宣布正在准备范畴论和模形式的新书。Bourbaki 不仅是一个数学团体，更是一种数学文化和方法的象征，其作品和思想至今仍在数学界引起讨论和反思。
历史活动
布尔巴基研讨会是自1948年起在巴黎举行的系列公开讲座，以数学家集体笔名“尼古拉·布尔巴基”命名。以下是1948/49和1949/50两个年度的研讨会内容概述：
1948/49系列
- Henri Cartan：Koszul的工作（I-III）——李代数上同调。
- Claude Chabauty：Minkowski-Hlawka定理（数论中的格点问题）。
- Claude Chevalley（I-II）：Weil的代数函数域上的黎曼假设（局部ζ函数）。
- Roger Godement（I-II）：复单模群的不可约酉表示（Gelfand和Neumark的工作）。
- Léo Kaloujnine（两次）：有限对称群的Sylow p-子群结构及无限推广。
- Pierre Samuel & Luc Gauthier：Zariski的双有理对应理论（代数几何）。
- Jean Braconnier：有限群的自同构塔（Wielandt的工作）。
- Laurent Schwartz（两次）：Petrowsky的偏微分方程柯西问题研究。
- André Weil：Poincaré和Frobenius的θ函数基本定理。
特点：
主题涵盖代数几何、群论（有限群与无限群）、表示理论、偏微分方程等。多次重复同一主题（如Koszul、Zariski、Petrowsky的工作），显示深度探讨。
1949/50系列
- André Blanchard：Kolchin的微分伽罗瓦理论。
- Jean Dieudonné：Chow的齐次代数空间几何。
- Roger Godement（I-II）：希尔伯特空间的连续和（泛函分析）。
- Charles Pisot：Selberg和Erdös的素数定理初等证明。
- Georges Reeb：动力系统的轨迹性质。
- Pierre Samuel：局部环与代数几何导论。
- Marie-Hélène Schwartz：Heins的解析函数与次调和函数增长性研究。
- Charles Ehresmann：微分纤维丛中的无穷小联络。
- Laurent Schwartz（四次）：Kodaira的黎曼流形调和场（Hodge理论）。
- Jean-Pierre Serre & Armand Borel：Iwasawa和Gleason的局部紧群扩张。
- Jacques Dixmier：冯·诺依曼代数的分类与迹。
- Jean-Louis Koszul：Jordan代数。
特点：
新增微分几何（纤维丛联络）、动力系统、调和分析（Hodge理论）等方向。更强调分析学与几何的结合（如Kodaira的工作）。
1950-1959系列
后续研讨会按十年分期延续了这一传统（如1950-1959、1960-1969等）。出版方包括巴黎大学、Springer-Verlag和法国数学学会（Astérisque系列）。 布尔巴基学派（Nicolas Bourbaki）在1950-1959年间的研讨会（Séminaire Nicolas Bourbaki）涵盖了广泛的数学领域，反映了该学派在这一时期对现代数学的深远影响。以下是这十年间研讨会的主要内容和研究方向总结：
1. 主要研究方向
代数几何：包括Jacobian簇、Picard簇、Hilbert第十四问题、Zariski理论、复乘法和代数曲面等。Grothendieck的下降理论和形式模理论为现代代数几何奠定基础，Zariski和Weil的工作推动了算术几何的发展。
拓扑学：涉及同伦群、纤维丛、上同调理论、Steenrod运算、配边理论（Thom、Milnor）以及Bott周期性定理。Thom的配边理论和Bott周期性定理影响了微分拓扑和K-理论。
李群与表示论：包括半单李群、Harish-Chandra的工作、诱导表示、球函数、紧李群及其在齐次空间上的作用。Harish-Chandra的半单李群表示理论和Godement的zeta函数研究推动了自守形式的发展。
微分几何：研究Kähler流形、Hermitian对称空间、齐次空间的微分几何、等距嵌入（Nash-Kuiper）等。
数论与类域论：涉及Weil猜想、局部类域论、Iwasawa理论、adelic环和代数数域的扩张。Iwasawa理论、Weil猜想和Dwork的zeta函数理性证明标志着现代数论的转折点。
偏微分方程：包括椭圆方程、Cauchy问题、Navier-Stokes方程、Malgrange和Hörmander的工作。Malgrange、Lions和Hörmander的工作为线性与非线性PDE提供了重要工具。
泛函分析：拓扑张量积、核空间（Grothendieck）、von Neumann代数、Banach代数中的符号计算等。
逻辑与计算理论：图灵机、不可判定问题（Tamari）、谓词逻辑的语义表（Guillaume）。
2. 重要人物与贡献
Alexander Grothendieck：在代数几何（下降理论、对偶定理）、拓扑张量积和形式几何方面做出奠基性工作。
Jean-Pierre Serre：涉及同伦论、类域论、Steenrod运算、zeta函数的理性（Dwork）以及Borel-Weil定理。
Armand Borel：研究代数群、齐次空间、Hermitian对称空间和紧李群。
René Thom：在配边理论、微分映射的奇点理论以及浸入分类（Smale）方面做出贡献。
Jacques-Louis Lions：研究位势理论、椭圆边值问题、Navier-Stokes方程和插值理论。
André Weil：涉及类域论、复乘法、Torelli定理以及adele代数群。
1960-1969系列
这一时期的研究为20世纪下半叶数学的发展奠定了坚实基础，尤其是代数几何、表示论和拓扑学的革命性进展。 布尔巴基学派（Nicolas Bourbaki）在1960-1969年间的研讨会（Séminaire）涵盖了广泛的数学主题，反映了当时数学研究的前沿方向。
1. 主题多样性
代数几何：Alexander Grothendieck 的贡献尤为突出，涉及 Hilbert 概形、Picard 概形、下降技术（descent techniques）以及 Brauer 群等。
拓扑学：包括 Bott 周期性定理、球面嵌入（embeddings of spheres）、向量场（vector fields on spheres）以及 Poincaré 猜想在高维的情况（由 Kervaire 和 Stallings 的工作）。
微分几何与代数拓扑：如 Nash 嵌入定理（Nash embedding theorem）、Chern 定理（Chern’s theorem）以及微丛（microbundles）。
表示论与李群：包括半单群的表示（Roger Godement、Claude Chevalley）、Kirillov 的轨道方法（nilpotent Lie groups）以及 p-adic 李群（Jean-Pierre Serre）。
数论与算术几何：如 Néron 模型（André Néron）、Mordell 猜想（Pierre Samuel）以及自守形式（automorphic forms，由 Shimura 和 Langlands 的工作）。
分析：包括偏微分方程（Bernard Malgrange、Lars Hörmander）、调和分析（Jean-Pierre Kahane、Paul Cohen）以及奇异积分算子（Laurent Schwartz）。
逻辑与计算：如不可判定性定理（Daniel Lacombe）。
2. 重要人物与贡献
Alexander Grothendieck：主导了代数几何的多个方向，包括概形理论、下降技术和 Brauer 群。
Jean-Pierre Serre：涉及群上同调（group cohomology）、p-adic 李群和有限群的研究。
Roger Godement：研究了线性代数群、Selberg 迹公式（Selberg trace formula）以及模函数（modular functions）。
Bernard Malgrange：专注于偏微分方程和椭圆边值问题（elliptic boundary value problems）。
Adrien Douady：贡献于复几何（如 Kuranishi 的模空间理论）和拓扑（如 Bott 周期性定理）。
Pierre Cartier：涉及随机过程（stochastic processes）、表示论和代数群。
3. 标志性成果
Atiyah 的椭圆算子指标定理（1962-63）：由 Michael Atiyah 介绍，成为微分拓扑的重要工具。
Bott 周期性定理（1963-64）：由 Adrien Douady 介绍，推动了 K-理论的发展。
Nash 嵌入定理（1961-62）：由 Serge Lang 介绍，解决了黎曼流形的等距嵌入问题。
Langlands 的自守形式研究（1963-64）：由 Hervé Jacquet 介绍，为朗兰兹纲领奠定了基础。
1960-1969 年的布尔巴基研讨会是现代数学发展的一个缩影，涵盖了从代数几何到分析、从拓扑到数论的广泛领域。其特点是理论深度与跨学科性，许多主题至今仍是研究热点。Grothendieck、Serre 和 Atiyah 等数学家的贡献尤为突出，推动了 20 世纪数学的重大进展。
ZHANG RONG 