Thurston 生平介绍
早年生活与教育
威廉·瑟斯顿于1946年10月30日出生于美国华盛顿特区，父亲保罗·瑟斯顿是航空工程师，母亲玛格丽特是裁缝。幼年因先天性斜视导致深度知觉障碍，母亲通过训练帮助他重建三维视觉能力。1967年，他作为首届学生从新佛罗里达学院毕业，本科论文为拓扑学构建直觉主义基础。1972年在加州大学伯克利分校师从莫里斯·赫希（Morris Hirsch）获得博士学位，论文题为《圆丛的三维流形叶状结构》。
学术生涯
瑟斯顿的职业生涯始于普林斯顿高等研究院（1972-1973）和麻省理工学院（1973-1974）。1974年，28岁的他成为普林斯顿大学正教授，展现了非凡的学术潜力。1991年重返伯克利任教授（1991-1996），并担任数学科学研究所（MSRI）所长（1992-1997）。1996年转至加州大学戴维斯分校，2003年加入康奈尔大学直至去世。他是最早将计算机引入纯数学研究的学者之一，曾启发杰弗里·威克斯开发三维双曲空间计算程序SnapPea。
研究贡献
瑟斯顿以低维拓扑学的革命性工作闻名：
- 叶状结构理论（1970年代早期）：解决了流形上Haefliger结构的可积性问题，构造了三维球面上具有连续变化Godbillon-Vey不变量的叶状结构族。
- 几何化猜想（1976年后）：提出三维流形的几何分类框架（含8种Thurston几何），证明双曲德恩手术定理和哈肯流形的双曲化定理，为佩雷尔曼最终证明庞加莱猜想奠定基础。
- 密度猜想（与Dennis Sullivan合作）：推广了Klein群极限的代数性质，2011-2012年被完全证明。
- 轨道折叠定理（1981年）：将几何化理论扩展至三维轨道空间，2000年左右由多团队完成证明。
荣誉与奖项
菲尔兹奖（1982年）：表彰其对2-3维拓扑学的变革性贡献。
奥斯瓦尔德·维布伦几何奖（1976年，与James Simons共享）。
美国数学会首届图书奖（2005年，《三维几何与拓扑》）。
斯蒂尔奖（2012年）：因其工作“彻底改变了三维流形理论”。
个人生活
瑟斯顿与第一任妻子Rachel Findley育有三子，其中长子Dylan成为印第安纳大学数学家。与第二任妻子Julian Muriel Thurston育有两子女。2011年确诊鼻窦黏膜黑色素瘤，于2012年8月21日在纽约罗切斯特去世，享年65岁。
学术遗产
瑟斯顿培养了包括David Gabai、William Goldman、Oded Schramm 等杰出学生。他的思想深刻影响了几何拓扑学，尤其是双曲几何在低维流形中的应用。其著作《三维几何与拓扑》等成为经典教材。康奈尔大学称他为“数学界的真正先驱”。
《On Proof and Progress in Mathematics》
William P. Thurston 在《On Proof and Progress in Mathematics》（1994）这篇经典论文中，Thurston超越了传统数学哲学的讨论，深入探讨了数学研究的本质、数学理解的多样性以及数学知识的社会化过程。数学常被视为一门纯粹的逻辑科学，其发展往往被简化为“定义—定理—证明”（DTP）的机械过程。然而，数学家的工作远不止于此。他们不仅是形式体系的构建者，更是人类认知的探索者、思想的传播者，以及数学知识社会化网络的维护者。William Thurston 在本文中深刻剖析了数学家的多重角色，揭示了数学研究的本质及其对人类思维发展的重要意义。
1. 数学家的创造性角色：超越形式化框架
传统的 DTP 模型将数学研究简化为从公理出发的演绎推理，但它无法解释数学问题的来源。数学家的工作并非仅仅是生产定理和证明，而是通过猜想、启发式论证和直觉洞察推动数学的发展。正如 Thurston 所言，数学的核心价值在于“帮助人们更清晰、更有效地思考数学”，而不仅仅是积累形式化的结论。
Jaffe 和 Quinn 提出的“推测性数学”（speculative mathematics）补充了 DTP 模型的不足，强调数学家需要通过提出猜想、探索可能性来推动学科进步。然而，Thurston 进一步指出，数学的真正挑战在于如何保持原始数学洞察的丰富性，而不是让形式化定义掩盖其背后的思维多样性。
2. 数学家的认知贡献：多元理解与思维整合
数学理解并非单一的逻辑过程，而是多维度、个体化的认知活动。Thurston 以“导数”为例，列举了七种不同的理解方式：
无穷小量（微积分早期思想）
符号运算（代数规则）
逻辑定义（ε-δ 语言）
几何直观（切线斜率）
物理速率（瞬时速度）
线性逼近（最佳局部近似）
显微极限（高倍放大下的极限行为）
这些理解方式并非互相排斥，而是互补共存。数学家的工作不仅是建立严格的定义，还要调和不同视角，使数学概念在不同领域（如物理、工程、计算机科学）中都能被有效应用。Thurston 强调，数学教育的核心挑战之一就是帮助学生内化这些不同的思维方式，而不仅仅是记忆公式和证明。
3. 数学家的社会角色：知识的传播与共享
数学的发展依赖于有效的交流，而 Thurston 指出，当前的数学界过于关注前沿成果的发表，而忽视了基础认知结构的传播。他呼吁数学家应更注重“如何向未知者传达数学思想”，而不仅仅是向同行展示技术性证明。
例如，在坐标参数化的研究中，数学家需要找到一种表达方式，使得非专业人士也能理解其核心思想。这意味着数学语言必须既能精确描述问题，又能适应不同背景学习者的认知需求。Thurston 认为，数学的未来发展需要更多精力投入在数学思维的普及，而不仅仅是追逐最新的理论突破。
4. 数学证明的社会化本质：共识与动态修正
Thurston 通过自身经历揭示了数学证明的社会化特征：
共识验证：许多数学定理的接受并非仅依赖于书面证明，而是通过学术共同体的口头交流、引用和集体认可逐渐确立。
动态纠错：某些“公认”的定理可能缺乏完整证明，甚至存在错误，但数学界通过持续的讨论和修正维持其可靠性。
知识网络：数学理解不仅存在于论文中，更嵌入研究者的思维网络和社会互动中。
这一观点挑战了“数学证明是绝对真理”的传统观念，强调数学知识是动态、社会化的认知构建，而非静态的逻辑产物。
5. 数学家作为人类思维的塑造者
Thurston 的论述表明，数学家的工作远超出形式逻辑的范畴。他们是：
思想的创造者（提出猜想，探索未知结构）
认知的整合者（调和不同理解方式，促进跨学科应用）
知识的传播者（发展有效表达，使数学更易被理解）
社会共识的维护者（通过学术网络验证和修正数学真理）
数学的真正进步不仅体现在定理数量的增长，更在于人类对数学的认知深度和传播效率的提升。因此，数学家的核心使命不仅是证明，更是推动人类思维的发展。全文始终贯穿一个核心主张：数学不仅是形式系统，更是人类认知活动与社会实践的复合体，需要从思维多样性、交流有效性和知识社会化等维度重新审视数学的本质价值。
十个与 Thuston 相关的小故事
Yair Minsky的回忆：比尔的文字具有一种称之为”唯一正确补全特性”的写作风格。他的行文清晰但极为简练，初读（甚至再读）时总难以把握该如何补全论证细节。Minsky屡次经历这样的体验：苦思冥想许久后意识到某个关键论点或条件确实被遗漏了，但当Minsky重新查阅原文时，却发现那些内容自始至终都白纸黑字地写在那里。Minsky回忆Thurston的教学风格——注重几何直觉而非形式化计算。一次，Minsky在课堂上试图用公式证明某个定理时，认真研读证明过程，理解了演算步骤的脉络，回到课堂后在黑板上逐步推演。Thurston痛苦地打断他说：“我想要的不是公式……”这体现了Thurston对直观理解的执着。某年比尔与丹尼斯·沙利文将各自的研究生团队合并，在普林斯顿大学和纽约市立大学研究生中心轮流举办联合研讨会。这些研讨会及其前后、乃至火车旅途中的交谈，都让我们获益良多。
Lee Mosher的厨房时光：Mosher描述与Thurston一家在普林斯顿的“食物合作社”生活。他们一起购物、做饭，厨房常陷入混乱。Thurston的数学热情甚至延伸到生活细节，比如用UNIX工具 grep 研究群论，并兴奋地宣布“我能用这个群做计算！”。
Benson Farb的“泡泡理论”：Farb向Thurston请教负曲率流形的课题时，对方陷入两分钟的沉思后突然说：“哦，这像一堆泡泡，泡泡间的相互作用有限。”Farb一头雾水地记下“泡泡，有限作用”，三年后完成论文时发现这竟是问题的完美总结。
Danny Calegari的地板绘图：在加州大学戴维斯分校，Thurston曾兴奋地买来巨幅纸张和彩笔，与Calegari趴在地上画数学构造。他感慨：“在普林斯顿时我常这么干！”这一幕展现了Thurston用视觉化探索数学的童趣。
Ian Agol的二进制手指计数：在MSRI的野餐活动中，Thurston向学生演示如何用手指表示二进制数，并全程用这种方法数完了徒步的步数。他还用SnapPea程序颠覆了Agol对纽结理论的认知，强调“从简单模型出发”的研究哲学。
Carol Wood的MSRI改革：担任MSRI所长期间，Thurston推动“数学对话”打破研究者与教师壁垒，引入3D打印等新技术，甚至试图将机构昵称从“misery”（痛苦）改为“emissary”（使者）。他办公桌上总摆着自制的猪与人类DNA胶带模型，向来访者展示科学之趣。
Tan Lei的跨领域顿悟：2011年，Thurston在研究三次多项式迭代时，突然发现其组合结构与S^3中的判别式补集存在隐藏联系。经过一周沉思，他构建出两者间的桥梁，并激动地宣布：“这适用于任意次数！”展现了他“数学万物互联”的信念。
幼儿园的镜面实验：在解释“轨形空间”时，Thurston带着两面镜子和蓝精灵玩偶去幼儿园课堂。孩子们通过调整镜面角度，直观理解了多重镜像如何生成无限宇宙，体现了他用生活化方式传达深奥概念的才能。
脑模型趣事：参与创造力研究后，Thurston收到黏土制作的脑模型。他逢人便炫耀，甚至在某次数学讨论中突然插话：“我的大脑明天就到！”让在场学者陷入迷惑，直到他掏出那个粉色模型。
临终前的数学热情：2011年Banff会议上，重病中的Thurston仍积极参与Dani Wise的讲座，甚至开玩笑问：“如果我给你1000美元找论证错误，你会检查哪里？”直至生命最后，他仍通过Dropbox与全球年轻数学家合作，延续着思想的激荡。
ZHANG RONG 