在南京大学读本科的时候，笔者就参加过不少讨论班，自我感觉有的讨论班搞得还算不错。但是有的讨论班我就完全上听不懂，在课上基本就是摸鱼。在讨论班上的感受就是，每个同学或者老师会轮番上去讲解一些内容，然后在讲解的过程中，其他老师或者同学都会参与讨论和做笔记。讨论班的整体感觉还是比较好的，一般也不会对讲解的学生或者老师刁难太多，毕竟讲讨论班的人也是花了时间准备这门课的。

后来到了新加坡，本以为讲讨论班跟之前本科的时候差不多，但实际体验了之后却有很大区别。当时我刚到新加坡的时候，参加讨论班的有五个人，其中有导师，再加上三位师兄，最后就是我。在参加的时候，我是先听了三位师兄的发言和讲解，但是总感觉师兄们在讲解的时候准备不够充分。因为三位师兄在讲解数学的过程中，总是被导师提出问题，经常被打断然后挂在黑板上。而且他们当时讲的内容并不是学术论文，而是一本动力系统方面的教材。当时由于我粗浅的认知，觉得他们挂在黑板上只是因为准备不够充分。直到我本人亲自讲的时候，才体会到原来挂黑板是一件正常的事情。

第一次讲讨论班

当时由我主讲的第一个讨论班课题是由自己选择的，当时选择了一个调和分析的内容来讲。在讲解的过程中，大家貌似对这个方法并不是很熟悉，所以也会在讨论的时候经常提问和打断。印象比较深刻的点有两个：

（1）关于一个积分公式的改写，本质上是 Riemann 积分和 Lebesgue 积分的求面积公式。为了计算曲线下方的面积，通过 Riemann 积分的方法计算和通过 Lebesgue 积分的方式计算都是合理的。当时被导师问到：“如何才能够直观地发现这个公式？”遇到这个问题的时候，笔者就愣了一会，毕竟之前学习数学的时候，是按照书本的模式来学习的。而书本上的流程基本上就是定义，性质，例题，习题，只要按照这个流程来学习，很多数学课都能够完成。但是在学习的过程中，我确实没有想过“为什么可以发现这个东西？”，“有没有更简单的方法”诸如此类的问题。

（2）当讲解到一个定理的时候，我对定理的陈述并没有描述得太清楚。当初只是抱着学习的态度去看数学，对数学本身的理解其实也不够深刻。在这种前提下，导师就针对这个陈述性的东西进行挑战，导致当时在黑板上也挂了许久。

通过第一次讨论班的实际讲解，我终于知道挂在黑板上并不是师兄们准备得不够充分，而是这个挑战的模式是非常容易让一个讲讨论班的人挂在黑板上的。

第一年的讨论班

在讲完第一次讨论班之后，后面我选择的课题都是跟动力系统相关的了，貌似选择过一些复动力系统的东西，也讲过 McMullen 的一本书。有一次我讲讨论班，自我感觉准备充分，但是讲的时候总是被打断和提问。导师回头就说：“讲讨论班的时候，不要让台上的人觉得很舒服，一定要让他觉得很难受”。还有一次我讲论文，刚说了两句话。导师说：“作为一个搞过多年数学的人，一听你这几句话，就知道你没有懂”。有一次我说我貌似得到一个新的结果，刚讲解了几句，导师就发现了问题，立刻说：“目前你都是一个研究生了，怎么还能写出这样一个数学公式”？

到了第一年的下学期，貌似导师就没再组织过讨论班了。而我本人忙于课程和考试，在讨论班上花的时间也不多，每次都只是听师兄们在上面讲，但是个人在下面也只是听得一知半解。不管怎么样，第一年我还是把重心放在了搞课程上面，第一个学期也就把 Qualify Exam 轻松通过了。貌似在第一年结束的时候也读完了下面这篇论文：

Bruin, Henk, et al. “Wild Cantor attractors exist.” Annals of mathematics (1996): 97-130.

但是，我当时对这篇论文的理解并不够深刻，对一个微小的推广并没有意识到可以简单证明出来。

第二年的讨论班

到了第二年，我个人需要准备 Qualify Exam 的 Oral 部分，也就是口试。当年的口试只需要准备一份开题报告就可以了。我当时还是在阅读下面这篇论文：

Nowicki, Tomasz, and S. van Strien. “Polynomial maps with a Julia set of positive Lebesgue measure: Fibonacci maps.” preprint (1994).

这篇论文足足有 90 页，同时存在一个过不去的 Gap，该方向的学者对这篇论文的 Gap 貌似都说得不清不楚，可能大家也觉得读一篇 90 页的论文没啥意义吧。原因大概有以下两点：

1. 补充别人论文里面的 Gap，容易得罪人。江湖不是打打杀杀，而是人情世故。

2. 就算补上了这个 Gap，其他数学工作者也会说这是一个修修补补的工作，不足以成大事。

所以，个人至今也没有明白为什么要读这篇论文。但是，毕竟是博士生，和导师没有讨价还价的权利。博士生从导师那里拿到了任务，即使心里百般不愿意，也要完成这个工作。

在第二年的时候，我个人的工作重心已经从学习转向了科研，而阅读这篇 90 页的论文却给我带来了无尽的痛苦，每学习一步都觉得十分艰难。毕竟这个系列的有确定性结果的论文全部发表在数学四大期刊上，阅读起来也十分困难。但是为了准备 Oral，我还是坚持读下来了。不过到了 Oral 的时候，我应该还没有完全读完，只读到了 Part 9 附近就已经觉得很困难了。但是，根据我个人的感觉，前 9 部分应该都是没有问题的，有问题的应该是在 Part 10。

到了 Oral 的时候，我也就是陈述了这个论文的大致情况，以及动力系统的发展，未来要做的内容。不过，当初的 Oral 考试不难，基本上大家都能够轻松通过这次考试。

通过了 Oral Exam 之后，我还想找导师探讨一下这篇论文，继续搞搞讨论班。但是，导师和师兄们却没有这个兴趣搞，也有可能是不想花时间在这个题目上。于是，我就踏上了独自奋斗的道路。

到了第二年的下学期，可能是科研实在是太难，容易让人产生厌倦的情绪，毕竟我也不是神仙，能够坚韧不拔地做任何事情。为了获得一些成就感，我居然开启了一条编程的道路，买了一些 C++ 的书籍，例如 C++ Primer，重新把 C++ 这门课学了一遍，然后发现 C++ 这门课比科研简单太多了。

后来到了 2012 年的四月份，也就是第二年第二学期快结束的时候，我的科研进展其实并不大，这一个学期基本上处于停滞的状态。不过我的 C++ 编程能力倒是有很大的提升。不过，当时低维动力系统的很多数学家都来到了新加坡，准备参加由 NUS 的 IMS 举办的研讨会。

不过，当时参加这个研讨会个人感觉价值并不大。原因有以下两个：

1. 参加的时候，我也只是听了一下研讨会，日常跟其他数学家的交流基本上等于零。例如，这一周的晚上，老外数学家都喜欢去酒吧喝酒聊天，但是我并不在被邀请的行列中，不知道其他师兄最后去了没有，反正我并没有去过。可能也没有认识其他数学家的机会。

2. 个人的实力不太行，听讲座会觉得有较大的压力，然后日常就是记笔记，但是最后回顾起来，这些笔记对我来说并没有什么作用。甚至不如自己学的那些 C++ 代码和算法导论知识。

不管怎么样，第二年的学术生涯也就结束了。

第三年的讨论班

到了第三年，我确实也感受到了毕业带来的压力，总算把自己的科研论文捡了回来，重新翻阅了一下。在日常跟导师的汇报中，我把那篇有 Gap 的论文读完了，也知道是 Part 10 的一个定理证明错误了。但是，我个人并没有什么方法来解决这个问题。第三年的第一个学期的主要精力就放在了这篇论文上，当时我对这几篇论文只能说大致有一个理解，但是并没有太深刻的认识。

随着第三年第一个学期的结束，毕业压力瞬间就变得很大了。因为 NUS 的毕业年限是四年，第五年就要开始交学费了。如果四年无法毕业的话，对学生来说就会有很大的经济压力了。

即使是这样，到了第三年第二学期，我的科研依旧没有任何进展。留下的问题我依然无法解决，我也没有其他思路去重新考虑这个问题。不过，我作为一个还算有点上进心的人，也没有沉迷游戏，而是把很多时间用在了学习 C++ 和数据结构上，UVA 上面的题目倒是刷了几百个。

到了第三年第二学期快结束的时候，我依旧是没有任何结果。当时我偶然得到了一本书，叫做《战胜拖拉》，至今我都十分感谢这本书，我觉得我个人能够毕业是由两件事情推动的：

1. 获得了《战胜拖拉》这本书，从而使我掌握了一个相对正确的科研方法和整活态度。只有勇敢地面对科研带来的困难，每天进步一点点，才有希望解决最终的问题；

2. 张益唐于 2013 年 4 月 17 日在《数学年刊》（Annals of Mathematics）发表《素数间的有界间隔》，首次证明了存在无穷多对素数对（p, q），其中每一对素数之差，即 p 和 q 的距离，不超过 7000 万。 这为世纪难题“孪生素数猜想”的解决做出了突破性工作，他从一位默默无闻的大学讲师跻身世界重量级数学家的行列。这一故事让我知道了“庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关”这首诗，人只要坚持不懈地做一件事情，是有可能达成最终目标的。

于是，我从 2013 年 4 月份开始奋发图强，在 Prince George Park 的自习室里面学习，平时也不再去办公室，就天天窝在自习室和自己的宿舍。每天就带着一堆草稿纸和论文，围绕着一个方程思考，草稿纸算了一堆有一堆。但是随着我的坚持，没想到两周之后我居然有了一个突破，证明了 Real Bound Theorem。

后来等我快毕业的时候，导师说：“每个 PHD 刚来学校的时候，其实我前三年都没怎么管，是因为想看一下学生独立发展能够发展成什么样，了解一下学生的数学能力极限在哪里。”于是，师兄们的毕业年限纷纷变成了 6 年，7 年， 8 年。前三年导师也没有跟我交流过太多论文技术，博士第四年才给我些许帮助，可能也是想看看本人的极限在哪里。后来我独立证明了一个 Real Bound Theorem 也就知道自身的极限大概是哪里了。

当我把这个 Real Bound Theorem 告诉导师之后，导师却说国内有人已经证明出来了，让我继续努力。

第四年的讨论班

由于在第三年结束的时候（2013 年 4 月份），自己在没有任何帮助的情况下，独自成功的证明了Real Bound Theorem，总算挽回了一些做科研的信心。

在学术界，如果有人已经得到了相同的结论，一般情况下都会去 ARXIV 上搜索一下预印稿，看看其结论和方法是否与自己的完全一致。作为一个读了三年博士的人，这个基本的操作技巧我还是掌握的。我在 ARXIV 上盯了很长时间，也没看到任何预印稿，直到我快忘记的时候，2014 年这个结论却直接发表在学术期刊上。

不过科研这种事情总是充满了不确定性，不逼一下自己永远也不知道自己能够做到什么程度。在第四年的毕业压力之下，通过个人的努力和坚持不懈，总算在 Real Bound Theorem 的基础上跟上一层楼。在 2014 年 4 月底的时候几乎已经认为可以做出论文了。甚至有一天我已经认为自己做出来课题，导师问我多久能够写出论文，我直接开口说三天即可，因为当时总算是看到了毕业的曙光。不过这种感觉转瞬即逝，等我回去仔细思考之后，发现该方案并不能够解决问题，心情直接就像过山车一样的从天空落到了谷底。不过这个只是一个小问题，之前再大的困难都被克服了，怎么能够在最后关头倒下。于是重新审视了问题所在，发现原来的方法处理不了这个问题，但是恰好能解决其他的问题，于是赶紧把该方法运用到类似的问题上，这才算做完了自己的毕业论文，后续的工作只是把论文的步骤整理好即可。

当时，我意识到这个课题已经做完了之后，毕业的压力瞬间就是消失了，无论我做什么都不会再有毕业的压力了。可以尽情的享受生活，enjoy my life。2014 年 6 月份有段时间我还去过 NUS 的 Central Library，在那里回顾了一下自己这四年的科研旅途，毕竟第一年我没有 Office 的时候，可是整天泡在 Science Library 和 Central Library 的。

做完了课题之后，顿时觉得新加坡的天空十分晴朗，正好此时巴西世界杯也在 2014 年的 6 月份开战，于是自己白天在办公室整理自己的论文，或者去 Vivo City 的 Golden Village 去看电影，晚上就回宿舍看世界杯。此刻也感受了球迷 Zhoufeng 的热情，每天都去买零食和可乐，分给大家喝，于是我在不知不觉中又变胖了。此刻在 NUS 的第四年生涯也算是结束了。

第五年的讨论班

由于 2014 年一整年的努力奋斗，攻克了难题之后，在科研上已经没有任何东西能够阻挡自己了。此时需要做的事情就是整理自己的论文。不知不觉两个月就要过去了。在 2014 年 9 月 30 日的时候，师门的大师兄返回新加坡参加了毕业答辩，顺利地结束了硕博八年的数学生涯。在大师兄的毕业答辩上，有一个国内的教授问我：“你打算什么时候毕业，是不是明年？”我当时恰好把论文写得差不多了，立刻回答：“我打算今年就交论文毕业”。回想起师兄们的 6 年，7 年，8 年，当时觉得自己真的是毕业神速。

对自己而言，除了论文之外，主要任务依然是助教，一周有五节课，其中星期一有四节课，星期五只有一节课。不过这段时间倒是把 MA1505 的讲义完整地整理在自己的 Blog 上。作为助教，监考也是另外一个必要的任务。在 2014 年 11 月 29 日 2:00-4:00pm 的 MPSH4 参加了在 NUS 的最后一次监考。

一转眼就到了 2015 年 1 月份，到了最终交论文的时刻。根据 NUS 的规定，PHD交论文之前都需要交 535SGD 到 YIH，作为审稿的费用。由于 NUS 内部的打印室的队伍实在是太长，只好还专门跑到 Queenstown 地铁站去寻找打印店。这个打印店也是系内的杰出 Tutor ZHOU Feng 告诉我的。到了 2015 年 2，3 月份的时候就是农历的新年，此时自己已经回国过年，不幸的是在除夕的时候还被审稿人拉着提供毕业论文的细节。这些琐碎的事情一直持续了三个月，直到毕业答辩的前一天才结束。而此时自己的下一站则是没有任何的着落，连续四个月没有任何收入，并且还要在新加坡支付着自己的生活费，压力颇大。历经千辛万苦，终于在 2015 年 4 月 24 日顺利地通过了博士生毕业答辩，当时答辩的时候也有很多的同学过来支持，在此再次感谢大家。答辩之后，一周内交了材料和上传论文，博士生的生涯算是告一个段落了。

答辩完了之后其实还需要向学校提交一些材料和流程，提交材料的地点就是 NUS 的 YIH。记得当时提交论文不仅需要在网站上提交论文的 PDF 文件，并且把论文刻在一个光盘内才行（PS：这年头用光盘的时候真的是不多了）。当年在南京买的电脑 Y530 还带着光驱，但是从来没有使用过，在 2008 年买的时候绝对没有想到这台电脑刻的唯一一张光盘就是自己的博士毕业论文。

2015 年 5，6 月份的时候回国寻找工作，有时间去做自己想做的事情，因为此时再也没有人拉着我修改论文了。找工作的时候也经历了不少的困难，不过也得到了很多人的帮忙，再次感谢大家。后续的职场发展中，第一份工作确实给了我很大的帮助，也为我以后的个人发展铺平了道路。虽然在工作中也会遇到各种各样的事情，也会有很多阻碍，但是再大的阻碍可能都没有那篇论文给我带来的阻碍大。

《博士生涯的回忆》

我曾经在书海里迷茫
寻找着知识的光芒
我曾经在学术里挣扎
追求着真理的方向

我不怕困难和磨难
我不畏艰辛和挫折
我只有一个目标和信念
那就是完成我的博士学位

终于有一天，我站在了舞台上
手握着毕业证和学位证
我感到了无比的欣喜和自豪
我感谢所有支持我的人

我知道这不是终点，而是起点
我知道这不是结束，而是开始
我会继续我的学习和探索
我会继续我的奋斗和创造