Manjul Bhargava and his 290 theorem

Fight with Infinity

ICM 2014今天在韩国首尔召开。正如之前所预测的那样,Manjul Bhargava获得了2014年的Fields Medal. 一同获奖的还有Artur Avila, Martin HairerMaryam Mirzakhani.

这份名单相当有趣:史上第一位女性获奖者(或许是为了赶在美国第一位女总统之前?);4人广义上的“祖国”(印度、巴西、奥地利以及伊朗)此前均无Fields奖得主(何其政治正确!当然这也反映了现今欧美基础学科研究人员的“去欧美化”趋势);3人的研究工作和遍历理论紧密相关;2人有参加IMO的经历(有此经历的Fields奖得主越来越多,当然,其中并没有华人的身影——丘成桐或许会愿意就数学研究和奥林匹克数学的关系作进一步的评论);等等。

本文将介绍获奖者Manjul Bhargava的一项“初等”工作:简化了Conway-Schneeberger 15定理的证明,并进一步证明了Conway的290猜想。

1.
我们感兴趣的是在整格$latex Bbb Z^n$上取整值的$latex n$元多项式$latex f$。若$latex f$是齐次的,这相当于要求$latex f$的系数为整数。对可表示集$latex R_f:=f(Bbb N^n) subset Bbb Z$(约定$latex 0 in Bbb N$)的研究贯穿了整个数论史:
(1.1)Fermat集中研究了用2元2次整系数多项式表示素数$latex p$的问题,并发现
若$latex f(x,y)=x^2+y^2$,则$latex p in R_f$当且仅当$latex p$形如$latex 4a+1$;
若$latex f(x,y)=x^2+2y^2$,则$latex p in R_f$当且仅当$latex p$形如$latex 8a+1$或$latex 8a+3$;
若$latex f(x,y)=x^2-2y^2$,则$latex p in R_f$当且仅当$latex p$形如$latex 8a+1$或$latex 8a+7$;
若$latex f(x,y)=x^2+3y^2$,则$latex p in R_f$当且仅当$latex p$形如$latex 3a+1$;
若$latex f(x,y)=x^2+5y^2$,则$latex p in R_f$当且仅当$latex p$形如$latex 20a+1$或$latex 20a+9$;
此类现象是代数数论乃至类域论的渊薮。
(1.2)由Fermat二平方和定理开始,Euler等数学家获得了一系列经典结果。
(Fermat二平方和定理, 由Euler证明) 若$latex f(x,y)=x^2+y^2$,则自然数$latex k in R_f$当且仅当$latex k$的奇素因子(若有)均形如$latex 4a+1$。
(Lagrange四平方和定理) 若$latex f(x,y,z,w)=x^2+y^2+z^2+w^2$,则$latex R_f=Bbb N$。
(Legendre三平方和定理) 若$latex f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$,则自然数$latex k in R_f$当且仅当$latex k$不能写成$latex 2^{2a}(8b+7)$的形式。
(1.3) 平方数有一类推广,即所谓的多边形数:填满正多边形内部的点的个数。
(Gauss三角数定理,“Eureka定理”)令$latex f(x,y,z)=frac{x(x+1)}{2}+frac{y(y+1)}{2}+frac{z(z+1)}{2}$,则$latex R_f=Bbb N$。
推广Gauss三角数定理和Lagrange四平方和定理,我们有如下结果:
(Fermat多边形数定理,由Cauchy证明) 任意自然数均可表示为不超过$latex n$个$latex n$边形数之和。
(1.4)从Lagrange四平方和定理出发,我们也可以研究高次幂多项式的表示问题:
(Waring问题,由Hilbert解决) 给定$latex k geq 2$,$latex f=sum_{1 leq i leq g} x_i^k$。对于充分大的$latex g$,$latex R_f=Bbb N$。
关于$latex g$的下确界$latex…

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