数学学科划分是一个系统化、层次化的分类体系，目的是在对数学研究领域进行标准化归类。目前最权威的分类系统是MSC2020（Mathematics Subject Classification 2020）这个系列的材料。由国际数学数据库《数学评论》（Mathematical Reviews）和zbMATH的编委会联合制定。该分类体系广泛应用于学术论文、期刊和文献的主题标识，便于研究者检索和归类研究方向。

MSC2020采用三级分层编码结构，每一级对应不同的分类精度。第一级由两位数字组成，代表数学的宏观领域，例如“03”表示数学逻辑与基础，“11”为数论，“35”为偏微分方程。第二级在第一级的基础上增加一个字母，用于细化子领域，例如“53A”代表经典微分几何，属于第一级“53”（微分几何）。第三级进一步精确到具体的研究方向或问题，例如“53A45”专指向量与张量分析。此外，特殊代码（如“-00”）用于标识通用材料类型，如教科书、会议录等。

该分类体系覆盖了数学的各个分支，从纯数学到应用数学均有涉及。基础数学部分包括数论、代数、几何、拓扑等；应用数学涵盖概率统计、数值分析、优化理论、数学物理等；交叉学科则涉及计算机科学、经济学、生物学等领域。此外，辅助分类如数学史（01）和数学教育（97）也被纳入其中，确保体系的全面性。

MSC2020在学术出版和数据库检索中具有重要作用。期刊通常要求作者在论文中标注MSC代码，以明确研究主题。MathSciNet、zbMATH等数据库依赖该分类体系实现文献的高效检索。编码规则要求至少标注第一级代码，但推荐使用更精确的三级代码以提高分类准确性。 该分类体系自20世纪40年代起历经多次修订，如MSC2000、MSC2010等。2020年版（MSC2020）通过数学社区的广泛协作，对部分分类进行了调整和扩充，以反映学科的最新发展，例如计算数学和数据科学相关领域的细化。

MSC2020与其他学科分类体系存在关联。例如，物理学领域的PACS（Physics and Astronomy Classification Scheme）常用于数学物理交叉研究；计算机科学的ACM CCS（Computing Classification System）与MSC的计算机数学部分（如68）有所重叠；而arXiv等跨学科平台则结合MSC、PACS等多个分类体系以适应不同领域的需求。 就以动力系统学科为例来看这份文档：

37-动力系统与遍历理论（Dynamical Systems and Ergodic Theory）学科分类介绍

动力系统与遍历理论（Dynamical Systems and Ergodic Theory） 是数学中的一个重要分支，研究随时间演化的系统及其长期行为。该学科结合了微分方程、拓扑学、测度论、概率论和统计力学等多个数学领域的理论和方法，并在物理学、天文学、生物学、工程学和计算机科学等领域有广泛应用。在MSC2020数学学科分类系统中，该学科被归类为37，并进一步细分为多个子领域。

1. 动力系统（Dynamical Systems）

动力系统研究的是由微分方程、差分方程或迭代映射定义的系统的演化规律。根据时间变量的连续性，动力系统可分为：连续时间动力系统（由微分方程描述，如哈密顿系统、耗散系统）和离散时间动力系统（由映射或递推关系定义，如逻辑斯蒂映射、双曲映射）。

主要研究方向包括：

• 稳定性理论：研究平衡点、周期轨道和不变流形的稳定性（如李雅普诺夫稳定性）。
• 混沌理论：研究系统对初始条件的敏感性（如蝴蝶效应）、混沌吸引子（如洛伦兹吸引子）和分形结构。
• 分岔理论：研究参数变化时系统定性行为的突变（如鞍结分岔、霍普夫分岔）。
• 哈密顿系统与辛几何：研究守恒系统的动力学，如天体力学中的多体问题。
• 随机动力系统：研究受随机扰动影响的动力系统（如随机微分方程驱动的系统）。
• 拓扑动力系统（Topological Dynamics）：从拓扑角度研究系统的长期行为，如符号动力系统、极小系统。核心工具包括拓扑熵、回归性理论。
• 齐次动力系统（Homogeneous Dynamics）：研究李群作用下的动力系统，如格点流（Geodesic Flow）、齐次空间上的遍历性。应用于数论（如丢番图逼近）和几何。

2. 遍历理论（Ergodic Theory）

遍历理论研究动力系统的统计行为，特别是系统在长时间演化后的平均性质。其核心概念是遍历性，即时间平均等于空间平均。遍历理论在统计力学、信息论和量子混沌等领域有重要应用。

主要研究方向包括：

• 遍历定理（如伯克霍夫遍历定理、冯·诺伊曼平均遍历定理），研究系统轨道的均匀分布性质。
• 测度熵与拓扑熵：量化系统的复杂性和不可预测性（如柯尔莫哥洛夫-西奈熵）。
• 双曲系统与均匀双曲性：研究具有强混沌性质的系统（如阿诺索夫系统）。
• 保测动力系统：研究保持测度的变换（如伯努利系统、马尔可夫链）。
• 量子遍历理论：研究量子系统的统计行为，如量子混沌和能级分布。

3. 与其他数学领域的交叉

动力系统与遍历理论与多个数学分支密切相关：

• 微分方程（34, 35）：动力系统的许多模型来自ODE和PDE。
• 概率论（60）：随机动力系统和马尔可夫过程的研究。
• 拓扑学（54, 55, 57）：动力系统的全局行为涉及流形和拓扑空间的结构。
• 数论（11）：遍历理论在丢番图逼近和均匀分布问题中有应用。
• 统计力学（82）：遍历理论为热力学极限和相变提供数学基础。

动力系统与遍历理论的新兴方向

• 计算遍历理论：通过数值方法研究复杂系统的统计性质。
• 高维混沌系统：如高维洛伦兹模型、湍流理论。
• 生物动力系统：如基因调控网络、神经元放电模型。
• 信息动力系统：应用于密码学（如伪随机数生成）。

MSC2020通过层级化、标准化的编码系统，为数学研究提供了全面的分类框架。其权威性和广泛适用性使其成为全球数学学术交流的重要工具。如需查阅完整分类，可参考https://msc2020.org/或zbMATH的相关页面。