生平介绍
Lars Valerian Ahlfors（1907年4月18日－1996年10月11日）是芬兰著名数学家，以在黎曼曲面和复分析领域的开创性工作闻名于世。他出生于芬兰赫尔辛基，母亲因难产去世，父亲是赫尔辛基理工大学的工程学教授。作为瑞典语家庭的后代，Ahlfors早年就读于瑞典语私立学校，1924年进入赫尔辛基大学，师从Ernst Lindelöf和Rolf Nevanlinna，1928年毕业。
Ahlfors在1929年协助Nevanlinna完成了关于整函数渐近值数量的Denjoy猜想证明，该成果后被称为Denjoy-Carleman-Ahlfors定理，奠定了他早期学术声誉。1930年获得博士学位后，他于1933-1936年担任赫尔辛基大学副教授。1936年，他与Jesse Douglas共同成为首届菲尔兹奖得主，时年29岁。
二战期间，Ahlfors曾短暂任教于瑞士苏黎世联邦理工学院（1944-1945），后于1946年重返美国哈佛大学任教直至1977年退休，期间担任William Caspar Graustein数学教授。他还在1962年和1966年两度访问普林斯顿高等研究院。除菲尔兹奖外，Ahlfors还获得1981年沃尔夫数学奖、1982年美国数学会Leroy P. Steele奖等重要荣誉，并担任1986年国际数学家大会名誉主席。
其学术贡献涵盖拟共形映射、共形几何、克莱因群有限性定理等多个领域。1953年出版的经典教材《复分析》至今仍是该学科的权威著作，其他代表作包括《黎曼曲面》（1960）和《共形不变量》（1973）。他培养的博士生中包括Paul Garabedian、Robert Osserman等著名学者。
Ahlfors于1933年与奥地利移民Erna Lehnert结婚，育有三个女儿。晚年定居美国马萨诸塞州，1996年因肺炎在匹茨菲尔德逝世，享年89岁。他的学术遗产通过以他命名的Ahlfors函数、Ahlfors测度猜想等理论持续影响着现代数学发展。
拟共形映射
拟共形映射（Quasiconformal Mappings）是复分析和几何函数论中的一个重要概念，它在数学的多个领域（如Teichmüller理论、Kleinian群、复动力系统等）中具有广泛的应用。Lars Valerian Ahlfors（拉尔斯·瓦莱里安·阿尔福斯）在拟共形映射的研究中做出了奠基性的贡献，不仅重新定义了拟共形映射，还推动了其在现代数学中的应用。
1. 拟共形映射的基本概念
拟共形映射是一类介于共形映射（Conformal Mappings）和一般同胚之间的映射，它允许一定程度的“变形”，但保持某种几何控制。具体来说：
经典定义（Grötzsch & Teichmüller）：最初，拟共形映射被定义为几乎处处可微的同胚映射，其复导数（Beltrami系数）满足
Ahlfors的几何定义：Ahlfors抛弃了对光滑性的要求，转而通过 四边形的模（Modulus of Quadrilaterals）来定义拟共形映射。一个同胚 
这种定义不依赖于微分结构，适用于更广泛的映射类。
2. Ahlfors在拟共形映射中的主要贡献
Ahlfors在拟共形映射领域的贡献主要体现在以下几个方面：
(1) 重新定义拟共形映射（1954）
在论文 On Quasiconformal Mappings（1954）中，Ahlfors提出了拟共形映射的几何定义，去除了传统定义中对光滑性的要求。这一突破使得拟共形映射的理论更加普适，并能够应用于更广泛的数学问题。为Teichmüller空间的理论奠定了坚实的基础，使得拟共形映射成为研究非光滑几何结构（如分形、Kleinian群的极限集）的有力工具。
(2) 可测Riemann映射定理（Measurable Riemann Mapping Theorem, 1960）
Ahlfors与Bers合作，在论文 Riemann’s Mapping Theorem for Variable Metrics（1960）中证明了：
定理：对于任何可测函数 
意义：该定理是Teichmüller理论的核心工具，允许通过Beltrami微分参数化Teichmüller空间，在复动力系统（如Sullivan的“无游荡域定理”）中起到关键作用。
(3) 边界对应理论（Boundary Correspondence, 1956）
在 The Boundary Correspondence under Quasiconformal Mappings（1956，与Beurling合作）中，Ahlfors研究了拟共形映射的边界行为：证明了拟共形映射在Jordan域上的边界对应是拟对称（Quasisymmetric）的。构造了奇异边界对应的例子，即存在拟共形映射，其边界对应完全不绝对连续（与共形映射的F. & M. Riesz定理形成对比）。为后续研究Kleinian群的极限集（如Ahlfors测度零猜想）提供了工具，在双曲几何（如Mostow刚性定理）中有重要应用。
(4) 拟圆周（Quasicircles）的刻画（1963）
在 Quasiconformal Reflections（1963）中，Ahlfors给出了拟圆周的几何刻画：
定理：一条Jordan曲线 
意义：拟圆周是复分析中重要的曲线类，出现在Teichmüller空间、共形动力系统等领域。Ahlfors的条件成为研究拟共形映射边界行为的标准工具。
共形几何与Kleinian群
在共形几何领域，Ahlfors的工作主要集中在黎曼曲面的类型问题与共形不变量上。他通过引入“共形度量”的概念，重新定义了判断黎曼曲面属于抛物型（共形等价于复平面）还是双曲型（共形等价于单位圆盘）的几何准则。这一成果将经典的皮卡定理（Picard’s Theorem）和布洛赫定理（Bloch’s Theorem）统一为类型问题的特例。他与阿尔内·贝林（Arne Beurling）合作发展的“极值长度”（Extremal Length）理论，成为共形不变量的核心工具，广泛应用于拟共形映射和曲面分类问题。此外，阿尔福斯将奈望林纳（Nevanlinna）的亚纯函数值分布理论几何化，提出“覆盖曲面理论”，将函数的增长性与曲面的拓扑性质联系起来。他的广义施瓦茨引理（Ahlfors-Schwarz Lemma）通过比较不同共形度量的曲率，为复流形理论（如小林度量、格里菲斯的高维奈望林纳理论）奠定了基础。
在克莱因群的研究中，Ahlfors摒弃了传统的三维拓扑方法，转而采用复解析工具。他于1964年提出的“有限性定理”指出，有限生成的克莱因群在普通集（ordinary set）上的商空间是一个有限型的轨道曲面（orbifold），这一结果揭示了克莱因群作用的几何结构，为后来的瑟斯顿（Thurston）三维流形理论提供了关键启示。他通过推广伯斯（Bers）的艾希勒上同调（Eichler Cohomology）方法，构造了光滑势函数以处理非光滑边界问题，并引入“软化子”（mollifier）技术克服了极限集（limit set）分析的困难。尽管他提出的“极限集测度零猜想”（Ahlfors Measure Zero Conjecture）未被完全证明，但推动了沙利文（Sullivan）等人在遍历理论和双曲动力系统上的突破性工作。阿尔福斯与伯斯的合作还催生了“面积不等式”（Bers-Ahlfors Area Theorems），量化了克莱因群的几何有限性，并启发了后续对拟共形映射边界对应问题的研究。
数学贡献
Ahlfors的贡献不仅在于具体定理的证明，更在于他构建的理论框架深刻连接了复分析、微分几何与拓扑学。他的方法——如将奈望林纳理论重构为覆盖曲面的几何性质，或通过艾希勒上同调描述群作用——展现了将复杂分析问题转化为几何直观的非凡能力。这些工作不仅解决了当时的核心问题，更为泰希米勒空间（Teichmüller Space）、复动力系统（Complex Dynamics）和高维双曲几何等领域提供了持久的研究方法。
ZHANG RONG 