# 13 Math Jokes That Every Math Geek Will Find Hilarious

Back when the internet was young, the primary users were its builders, math and tech-oriented academics spread around the country.

As a result, math jokes have an elemental role in the history of the internet.

From the earliest Usenet threads to the techiest subreddits, geeky math jokes — some implicit swipes at less-pure disciplines, other puns or plays on words of different concepts — have been a major part of the modern history of math.

What’s more, these japes also have the effect of making those who didn’t get the joke to look into what makes it funny, teaching people some of the more obscure concepts.

Here are just a few of the best ones. Where necessary, we’ll do the unthinkable and the tacky and explain the joke.

### JOKE #1

Three statisticians go out hunting together. After a while they spot a solitary rabbit. The first statistician takes aim and overshoots. The second aims and undershoots. The third shouts out “We got him!”

Source: chjilloutdamnit / Reddit

### JOKE #2

Two random variables were talking in a bar. They thought they were being discrete but I heard their chatter continuously.

Source: armchairdetective /  reddit

Explanation: When you roll a die, you either get a 1, 2, 3, 4, 5, or 6. Since there are a finite number of possibilities, the statistic involved is called a discrete random variable. When you select any real number from between 0 and 1, there are an infinite number of possible draws. The statistic involved is called a continuous random variable.

### JOKE #3

There was a statistician that drowned crossing a river… It was 3 feet deep on average.

Source: anatiferous_outlaw / reddit

### JOKE #4

Write the expression for the volume of a thick crust pizza with height “a” and radius “z”.

Source: Reddit

Explanation: The formula for volume is π·(radius)2·(height). In this case, pi·z·z·a.

### JOKE #5

A: “What is the integral of 1/cabin?”

B: “log cabin.”

A: “Nope, houseboat–you forgot the C.”

Source: Reddit

Explanation: We’re treating “cabin” is a variable.

The integral of 1/x is loge(x).

However, since it’s integration, you’ve got to add a constant.

So ∫(1/cabin) = loge(cabin) + c, or “a log cabin plus the sea.”

### JOKE #6

Q: Why did the chicken cross the road?

A: The answer is trivial and is left as an exercise for the reader.

Source: Reddit

Explanation:

This is a common refrain found in mathematics texts.

It is widely considered a cruel professor’s malicious cop-out by particularly lazy students of mathematics.

### JOKE #7

Q: How many mathematicians does it take to change a light bulb?

A: One: she gives it to three physicists, thus reducing it to a problem that has already been solved.

Source: MathOverflow

Explanation: Mathematicians try to reduce an unsolved problem to a form which has already been solved before. Once that’s done it’s considered complete, as the previously derived formula is taken as written.

There are many light bulb jokes about physicists. Finding several are left as an exercises to the reader.

### JOKE #8

A physicist, a biologist, and a mathematician are sitting on a bench across from a house. They watch as two people go into the house, and then a little later, three people walk out.

The physicist says, “The initial measurement was incorrect.”

The biologist says, “They must have reproduced.”

And the mathematician says, “If exactly one person enters that house, it will be empty.”

Source: Reddit

### JOKE #9

The B in Benoît B. Mandelbrot stand for Benoît B. Mandelbrot.

Source: Reddit

Explanation: The Mandelbrot set is a fractal. As you zoom in on portions of the fractal, you ee a self replicating image. So the infinite paradox in the joke is a shoutout to the problem. Here’s an example of what we’re talking about with a gif of zooming in on a point of infinite complexity in the Mandelbrot set:

### JOKE #10

Infinitely many mathematicians walk into a bar. The first says, “I’ll have a beer.” The second says, “I’ll have half a beer.” The third says, “I’ll have a quarter of a beer.” The barman pulls out just two beers. The mathematicians are all like, “That’s all you’re giving us? How drunk do you expect us to get on that?” The bartender says, “Come on guys. Know your limits.”

Source: Reddit

Explanation: This is a reference to a converging infinite series.

The limit of this:

from n=0 to ∞   Σ (1/2n) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …  = 2

### JOKE #11

An infinite number of mathematicians walk into a bar. The first one orders a beer. The second orders half a beer. The third orders a third of a beer. The bartender bellows, “Get the hell out of here, are you trying to ruin me?”

Source: Reddit

Explanation: This is another hilarious reference to an infinite series — the harmonic series — which is not convergent but instead diverges to infinity.

from n=1 to ∞   Σ (1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …  =

See a full explanation in this slideshow >

### JOKE #12

When a statistician passes the airport security check, they discover a bomb in his bag. He explains. “Statistics shows that the probability of a bomb being on an airplane is 1/1000. However, the chance that there are two bombs at one plane is 1/1000000. So, I am much safer…”

Source: Andrej and Elena Cherkaev

Explanation: While this statistician is correct that the joint probability there are two bombs on a plane is 1/1,000,000, his bringing one on doesn’t change the prior probability that there is still a 1/1,000 chance of his flight being the one with a random bomb.

### JOKE #13

What do you get when you cross a mosquito with a mountain climber?

Nothing. You can’t cross a vector and a scalar.

Source: Reddit

Explanation: A vector is a mathematical entity with both magnitude and direction in any number of dimensions. You can take the cross product of two vectors to form a new vector, similar to multiplication of real numbers.

A scalar is just a real number, a directionless magnitude in vector space. You cannot take a cross product of a scalar and a vector.

Hence, you can’t cross a mosquito (disease vector) and a mountain climber (a scalar).

That is one terrible pun. I’m sorry.

# 数学家和数学笑话【最新汇总】

（0）有两个数学家在争论现在大众对数学了解的程度，一个比较乐观，另一个比较悲观，谁也说服不了谁。争到要吃中饭的时候，大家决定暂停争论，先吃饭。悲观的那个有点事，叫乐观的那个先去饭馆占张桌子，他随后就到。乐观的那个跑到饭馆里坐下，眉头一皱计上心来，把服务员小姐叫过来对她说：“等一会儿我会问你个问题，你不管我问什么，你就说：‘三分之一乘以X的三次方。’”“三分之一乘以……X的……三次方？”“对啦，就是这，别忘了。”然后悲观的那个来了，两人又接着争。乐观的那个就说：“让我们来看看吧。”就问在邻桌服务的服务员小姐：“小姐，X平方的积分是什么？““三分之一乘以X的三次方。”小姐想也没想头也没抬回答得挺快，离开后，她又回来补充了一句：“嗯——还要加上一个常数项。”

（1）一个英国某大学的数学教授发现自己家的下水道堵了，就请来一个水管工来修。30分钟后，水管疏通了。教授相当满意水管工的表现，但当他看到账单后不禁叫：“what！就30分钟你收的钱够我一个月收入的1/3了！我去当水管工好了！”。水管工说，“你可以去啊。我们公司正招人呢，还包培训。不过你得说你只是小学毕业。公司不喜欢学历太高的人”。于是教授就去参加培训，当了水管工。他的收入一下翻了三倍。他比以前高兴多了。几年后，公司突然决定把水管工们的文化水平提高到初中毕业，便要求旗下的工人们都去上夜校。夜校的第一堂课是数学。老师想先看一下这些水管工的基础有多好，于是他随便抽了一个人上来写圆面积的公式。这个教授被抽中了，不过干了这么多年水管工，他已经忘了圆面积的公式是PI * R^2。于是他只好从头推导：把圆无限分割后积分。但他得出的结果是负的PI * R^2。尴尬ing，教授从来又来，结果还是负的。他非常尴尬，于是回过头向教室里坐着的几十个水管工同事求助。只见这些同事正在交头接耳，纷纷给他说：把积分上下限交换一下。

（2）数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里, 看着人们从街对面的一间房子走进走出.他们先看到两个人进去. 时光流逝. 他们又看到三个人出来.

（3）工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里. 当晚先是工程师的咖啡机着了火, 他嗅到烟味醒来, 拔出咖啡机的电插头, 将之扔出窗外,然后接着睡觉.

（4）物理教授走过校园，遇到数学教授。物理教授在进行一项实验，他总结出一个经验方程，似乎与实验数据吻合，他请数学教授看一看这个方程。一周后他们碰头，数学教授说这个方程不成立。可那时物理教授已经用他的方程预言出进一步的实验结果，而且效果颇佳，所以他请数学教授再审查一下这个方程。又是一周过去，他们再次碰头。数学教授告诉物理教授说这个方程的确成立，“但仅仅对于正实数的简单情形成立。”

（5）工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务：将一根钉子钉进一堵墙。工程师造了一件万能打钉器，即能把任何一种可能的钉子打进任何一种可能的墙里的机器。物理学家对于榔头、钉子和墙的强度做了一系列的测试，进而发展出一项革命性的科技——超低温下超音速打钉技术。数学家将问题推广到N维空间，考虑一个1维带扭结的钉子穿透一个N-1维超墙的问题。很多基本定理被证明…当然啦，这个题目之深奥使得一个简单解的存在性都远非显然。

（6）一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设时间允许，他可以把木纤维拉的和赤道一样长，他认为围起半个地球总够大了。数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在外面。”

（7）物理学家和工程师乘着热气球，在大峡谷中迷失了方向。他们高声呼救：“喂——！我们在哪儿？”过了大约15分钟，他们听到回应在山谷中回荡：“喂——！你们在热气球里！”物理学家道：“那家伙一定是个数学家。”工程师不解道：“为什么？”物理学家道：“因为他用了很长的时间，给出一个完全正确的答案，但答案一点用也没有。”

（8）常函数和指数函数e的x次方走在街上，远远看到微分算子，常函数吓得慌忙躲藏，说：“被它微分一下，我就什么都没有啦！”指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样，我是e的x次方！”指数函数与微分算子相遇。指数函数自我介绍道：“你好，我是e的x次方。”微分算子道：“你好，我是d/dy！”

（9）物理学家、天文学家和数学家走在苏格兰高原上,碰巧看到一只黑色的羊.“啊,”天文学家说道,“原来苏格兰的羊是黑色的.”“得了吧,仅凭一次观察你可不能这么说.”物理学家道,“你只能说那只黑色的羊是在苏格兰发现的.”“也不对,”数学家道,“由这次观察你只能说:在这一时刻,这只羊,从我们观察的角度看过去,有一侧表面上是黑色的.”

（10）一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭。”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着。”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”

（11）一个数学家、物理学家和工程师，来到了一个农场，这个农场养的鸡生病了，农夫试过了各种方法，兽医也没有办法，一个动物学教授在仔细研究之后建议农夫尝试去请教一下别的科学家。数学家仔细观察了那些鸡，并且做了一些测量，然后计算了很多次，并且做了大量的统计分析，但是最后他最后得出结论说他没有办法找出那里出了问题。工程师搬来一大堆各种仪器，让后对鸡进行了了各种测量，包括比较正常的鸡和生病的鸡的重量等等，但是他也没有办法得出任何有用的结论。最后轮到物理学家了，他只是看了一眼那些鸡就开始计算起来，经过大概一个小时的计算，他终于说：“我已经找到挽救你的鸡的方法了，不过这种方法只对在真空中的球形的鸡有效。”

（12）证明所有大于2的奇数都是质数,不同专业的人给出不同的证明:

（13）Pi是什么?

Landau这位俄国最伟大的物理学家惊叹道：“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的。”据说这是Landau看了Goldbach(哥德巴赫)猜想之后的感觉。

Hilbert曾有一个学生，给了他一篇论文来证明Riemann猜想，尽管其中有个无法挽回的错误，Hilbert还是被深深的吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事死了，Hilbert要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，Hilbert说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走，应该有可能证明Riemann猜想，再接下来，Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单变量的复函数…..”众人皆倒。

1976年徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》在全国引起轰动以后， 中科院数学所收到过无穷多关于证明了哥德巴赫猜想的信件，后来实在没有精力处理，就印了一批卡片，样子大概是这个样子的

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A.Coble是上个世纪美国的院士，做代数几何，一度很有影响。据称，他有无穷多个博士论文的题目：当你证明了一个2维的情况的时候，他叫下一个博士生去证明3维的情况，然后叫下下个博士生去做4维的。后来有个叫Gerald Huff的博士，不但做了5维的情况，而且对一般的n也解决了。这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了。Coble很怒。

von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少的这种。应该先求出相遇的时间，再乘狗的速度。如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到有什么困难了。von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望，说你以前一定听说过这个诀窍吧，他指的是上面的这个做法。von Neumann说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次跑得都算出来，然后算出那个无穷的级数。”……

Kolmogorov大概在17岁左右，写了一片关于牛顿力学的论文，就去了Moscow State University，他刚刚开始学的不是数学，他经常会提到他为什么后来去学数学。一开始，Kolmogorov喜欢历史学，并且写了一篇很不错的历史学的论文，他的历史老师告诉他说在历史学中你要证明自己的观点需要几个甚至十几个论据来才足够，Kolmogorov就问说什么学科只需要一个证明就够了，他的老师说是数学，于是他就选择了数学系

Bernoulli 家族

1． John Bernoulli在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出，公开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi.Bernoulli,这两个人在学术让一直相互不忿，据说当年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了，Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志好像是Leibniz搞得，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后，Jhon收的了5份答案，有他自己的，Leibniz的,还有一个L.Hospital侯爵的 （我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好像是他雇人做的，是个有钱人）然后是他哥哥Jacobi的，最后一份是盖着英国邮戳的，必然是Newton的，John自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子．”据说当年Newton从造币厂回去，看到了Bernoulli的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌晨4点，就搞定了。这么多解答当中，John的应该是最漂亮的，类比了Fermat原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，Jacobi的做法真正体现了变分思想。

2． Bernoulli一家在欧洲享有盛誉，有一个传说，讲的是Daniel Bernoulli（他是John Bernoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoullis。”那个人当时就怒了，说：“我是还是Issac Newton 呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。

3． 法国有一个哲学家，叫做Denis Diderot，中文的名字叫做狄德罗，是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽，于是他请Euler来教育一下Diderot，其实Euler本来是弄神学的 ，他老爸就是的，后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲，才让Euler做数学了。Euler邀请Diderot来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，然后，在众人面前说：“ 先生，( a + bn ) / n = x, 因此上帝存在；请回答!”Diderot自然不懂代数，于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家，他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎……

1． Graham说：“我知道一数论学家，他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错的，2，3，5，7；但是到月终的日子就显得难过了，先是素数变稀，19，23，然后是一个大的间隙，一下子就蹦到了29，……”

2． 由于Fermat大定理的名声，在New York的地铁车站出现了乱涂在墙上的话： x^n + y^n = z^n 没有解对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时间写出来，因为我的火车正在开来。

3． 有一个人叫做Paul Wolfskehl,大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他被无数次被拒绝。感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告别这个世界，再也不理会尘世间的事。Wolfskehl在剩下的日子里依然努力的工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快,被Kummer解释Cauchy等前人做Fermat大定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云……这样他重新立了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，讲给第一个证明Fermat定理的人10万马克… …这就是Wolfskehl奖的来历。

Gottingen的传说

Gottingen市政厅底层的墙上 直言不讳的镌刻着： “Gottingen以外没有生活。”

1． 1854年，Riemann为了在Gottingen获得一个讲师的席位，发表了他划时代的关于几何学的演说。由于当时听这个演说的人很多是学校里的行政官员，对于数学根本就不懂，Riemann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber的回忆说，当演说结束后，Gauss怀着少见的表情激动的称赞Riemann的想法。如果读读Riemann的讲稿，就会发现那几乎就是哲学，尽管这样子，当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss。而整个数学界,为了完善消化Riemann的这些想法，却话了将近100年的时间。有人说Riemann的著作，更接近于哲学而不是数学，甚至在一开始，欧洲的很多数学家认为Riemann的东西是一种家庭出版物，更接近物理学家的看法，与数学家没有关系。一次 ，Helmholz和Weiestrass一起外出度假，Weiestrass随身带了一篇Riemann的博士论文，以便能在一个山清水秀的环境里静静的研究这篇他认为是复杂又宏伟的工作。但是Helmholz大惑不解，他认为，Riemann的文章再明白不过了，为什么Weiestrass作为数学家要这么化功夫呢？

2． Klein上了年纪之后，在Gottingen的地位几乎就和神一般，大家对之敬畏有加。那里流行一个关于Klein的笑话，说Gottingen有两种数学家，一种数学家做他们自己要做但不是Klein要他们做的事；另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事。这样Klein不属于第一类，也不属于第二类，于是Klein不是数学家。

3． Wiener去Gottingen拜访这位老人家，他在门口见到女管家时，问道教授先生在么？女管家训斥道，枢密官先生在家。一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数学家在英国科学界的地位，譬如说Newton。Wiener见到Klein的时候，感觉就像去拜佛，后者高高在上，Wiener的描述是“对他而言时间已经变得不再有任何意义”。

4． 关于Klein还有一个故事，当初王诗宬老师请了一个法国的拓扑学家来北大做报告，他讲的东西和双曲几何有些关系，半路上，突然讲到了Klein和Poincare的故事，说是Klein和Poincare都在研究自守函数什么的，对于2维的的情况，Poincare把自己的结果用Fuchs的名字来命名，因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大的影响，Klein感到特别的不爽，他也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一无所知，如此冠名，他自然觉的很不妥。后来，他和Poincare分别做3维的情况，无奈自己不是Poincare那样的天才，用功过度，体力不支，身体都垮了，从此结束了自己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么东西，于是把3维自己得到的群命名为Klein群。当时王老师也特别想将这个故事，自己踌躇了半天，后来说这个东西是法国人很有面子的一件事情，还是让这个法国人讲了。

D.Hilbert

5． David Hilbert并不是Gottingen毕业的。19世纪80年代，Berlin大学的博士论文答辩， 需要2名学生作为对手，他们向你不停的发问。Hilbert的一个对手是Emil Wiechert(埃 米尔.魏恰特),后来是最著名的地震学家。那时候，德国（也许叫做普鲁士）的大学教授特别少。Berlin之后3名数学教授，一般的大学至多2个。 Hilbert的博士宣誓仪式，校长主持：“我庄严的要你回答，宣誓是否能使你用真诚的良心承担如下的许诺和保证：你讲勇敢的去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩；既不为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大。”欧很想知道现在北大的授予博士仪式是不是也有类似的话

6． Hilbert上了年纪的时候，一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道数学家。那时候，Minkowski这些他很熟的人，有很多都已经故去。他特别关心正在被谈论的这个人，当大家说完这个人有几个孩子之类的事情之后，他就问说：“…他还‘存在’么.…….”

7． Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事，说是他在街上散步，发现一个年轻人正在默默想着某个很重要的问题，于是Minkowski轻轻的拍拍他的肩膀，告诉他“收敛是肯定的”，年轻人感激而笑。

8． H.刚去Gottingen的时候,被拒之“圈”外。所谓的圈，是指Toeplitz, Schmidt, Hecke和Haar等一

9． von Karman（冯.卡门）通过Haar的介绍来到Gottingen,等到Haar去了匈牙利之后，他很快成为“圈”内的领袖。圈外人Weyl再一次证明了他的优秀，他和Karman同时爱上了才貌双全的一个女孩，并且展开了一场竞争。最终圈内人都感到特别的沮丧，因为那个女孩子选择了Weyl。

L.V.Ahlfors说这些话的时候，正是二战受封锁的时候 “Feilds奖章给了我一个很实在的好处， 当被允许从芬兰去瑞典的时候， 我想搭火车去见一下我的妻子，可是身上只有10元钱。我翻出了Fields奖章，把它拿到当铺当了， 从而有了足够的路费…… 我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章……”

Hilbert写的第一篇关于Dirichlet原理的文章，希望Fredholm能够欣赏，但是Fredhold根本就没看；F.Riesz写了很多文章，希望Hilbert能够欣赏，但是Hilbert根本就没看；M.Riesz写了很多文章，希望F.Riesz能够欣赏，但是F.Riesz根本就没看……

1939年的时候，Kolmogorov决定在冰水中游泳，结果以住院告终，医生一致认为他差点点死掉；但是，70岁的时候，突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水，这一次却没有事情。

10． E.Landau是后来的Gottingen的数学系系主任，此人不仅解析数论超强，而且超级有钱。曾有人问他怎么能在Gottingen找到他，他很轻描淡写的说：“这个没有任何困难，它是城里最好的那座房子。”

11． E.Landau是比较自大的那种人，根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的应用有关的东西贬为“润滑油”。一次Steinhaus的博士考试需要一个天文学家的提问。Landau似乎很关心，就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关3体问题的微分方程的时候，大声的说：“啊，如此说来，他知道这个.……”

12． A.Rosenthal曾经和Landau住一个房间。一天，Landau回到房间向Rosenthal抱怨老年的Dedekind和他絮叨了一下午的废话，Dedekind狠狠的抱怨当年Guass对他不公平，在他的博士学位考试时，问了一些特别难的问题。

13． Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候，经过苏联，换火车的时候，在海参崴逗留了一阵，闲来无事去了当地的图书馆，这里的数学书仅仅占一个架子，全部都是Spring er-Verlag的黄皮书。

14． Poincare也曾去Gottingen演讲，顺便攻击了一下Cantor的集合论，Zermelo当时恰好证明的每个集合都可以良序化，Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子上，然而Poincare并不认识Zermelo，他大喊道：“Zermelo那个几乎独创的证明也应该彻底的毁掉，扔到窗外去！”Zermelo本来就性情古怪暴躁，那天更是绝望盛怒。Courant甚至认为Zermelo一定会在那天吃正餐的时候杀死Poincare。

15. Caratheodory是希腊的一个富人子弟，后来在测度等很多方面有着重要的贡献，北大图书馆还有他的一本讲复变函数的书，非常的几何化，特别优美。他当初是一个工程师， 26岁突然放弃了这样一个有前途的职业来学习数学，众人很不理解，他说：“通过不受束缚的专心的数学研究，我的生活会变得更有意义，我无法抗拒这样的诱惑。”他选择的学校是Gottingen.

16. W.F.Osgood是原来Havard的数学教授，来中国讲过课，我这里还有他在中国的讲稿:-)。他也是Gottingen毕业的，娶了一德国姑娘，在美国保持着德国的传统。大概是在Gottingen受的影响太大，Osgood做事都模仿F.Klein。他留着欧洲式的头发，抽烟的时候不停的用小刀戳雪茄，一直抽到发苦的烟蒂头。

17. 由于纳粹对犹太人采取的政策，很多数学家都离开了Gottingen。一次纳粹的教育部长问Hilbert说Gottingen 的数学现在怎么样了，Hilbert说：“Gottingen的数学，确实，这儿什么都没有了。”
Gottingen从那时开始一蹶不振。

18. 这一个几乎和Gottingen没有什么关系，很多数学家都是这个样子，开始的时候自己的工作的不到承认的，譬如说S.Lie当初的李群，Cantor当初的集合论，等等。Grassmann最初是一个预科学校的教员，尽管那个时候，他就做出了反交换代数这一大堆重要的东西，但是那个时代数学家从来不曾重视他的成果。Grassmann自己不的不放弃数学这个没有前途的职业，化了不少功夫在印度的梵文，把一个叫做Rig-Veda的印度古经译成了德文。所以Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重。在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann的写的维数论，标题页上面用铅笔写着Minkowski的名字，序言后的脚注是：“书付印时作者已去世。”Minkowski用几行字，清楚的表达了Grassmann的成就：“新版本将比三十多年前收到更多的尊重。”

Einstein和他的广义相对论

Einstein构思广义相对论的时候，尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann几何，他的数学还是不尽如人意。后来，他去过一次Gottingen,给Hilbert等很多数学家做过几次报告，他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程，Hilbert的数学当然比Einstein好很多。不久，Einstein也得出来了，有人建议Hilbert考虑这个东西的署名权问题， Hilbert很坦诚的说：“Gottingen马路上的每一个孩子，都比Einstein更懂得四维几何，但是，尽管如此，发明相对论的仍然是Einstein而不是数学家。”

Albert Einstein的广义相对论发表没有多久，有记者去采访Eddington,说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论，不知这三个人都是谁？Eddington低头沉思，很久没有回答。那个记者忍不住又问了一遍，Eddington说：“我正在想谁是第三个人……”

Einstein描述广义相对论，用的数学就是弯曲空间上的几何学，意大利的数学家 Levi-Civita在这种几何学上做出了突出的贡献。所以，有人问Einstein他最喜欢意大利的什么,他回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita。

Einstein是Minkowski的学生，旷了无穷多的课，至于多年以后，Minkowski知道了Einstein的理论的时候，感叹道：“噢，Einstein,总是不来上课——我真的想不到他能有这样的作为。”

von Neumann移居美国的动机，很有特别的地方。他用了一种自己认为合理的方法，发现在德国将来的3年中，教授的职位的期望值是3，而候补的人数期望为40，这是一个不理想的就业前景，所以到美国去势在必行。这就是他的根据，此时并没有涉及到政治的形势。

von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少的这种。应该先求出相遇的时间，再乘狗的速度。如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到有什么困难了。

von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望，说你以前一定听说过这个诀窍吧，他指的是上面的这个做法。von Neumann说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次跑得都算出来，然后算出那个无穷的级数。”……

Banach在1927年参加一个数学的聚会的时候，他伙同众多数学家，一起用伏特加灌Neumann，最终Neumann不胜酒力，去了厕所，估计是呕吐。但是Bananch回忆道，当他回来继续讨论数学的时候，丝毫没有打断他的思路。

von Nuemann的年纪比Ulam要大一些，不过两个人是最好的朋友，经常在一起谈论女人。包括他们坐船旅行，除了数学之外，就是旁边的美女，每次Nuemann就会评论道：“她们并非完美的。”他们一次在一个咖啡馆里吃东西，一个女士优雅的走过，Neumann认出她来，并和她交谈了几句，他告诉Ulam这是他的一位老朋友，刚离婚。Ulam就问：“你干吗不娶她？”后来，他们两个结了婚。

de Moivre 21岁的时候，已经靠教数学为生，并且深信自己完全精通了这门学问。一个偶然的机会，他在一个公爵家里做客，且好Newton送来了自己的《原理》，他信手翻了 一下，惊奇的发现，数学竟然如此精深如此美丽的一门学问。这样，他买下了这本书，尽管为了教学需要四处奔波，他还要撕下书页，以便能够带在口袋里，空闲时进行研究 。

de Moivre（棣.莫佛）有个定理好像我们中学的课本里就有，说的是一个复数n次方的事情。

Pascal据说14岁的时候，就已经出席了法国高级数学家的聚会，18岁发明了一台计算机 ，是现在计算机的始祖。尽管如此，Pascal成年之后最终致力于神学，他认为上帝对他的安排之中不包含数学，所以完全的放弃了数学。35岁的时候，Pascal牙疼，不得不思考一点数学问题来打发时间，不知不觉间，竟然疼痛全无。于是，Pascal认为这是上天的安排，所以继续开始做数学家。Pascal这次复出的时间不到一周，但是已经发现旋轮线的最基本的一些性质。尔后，他继续研究神学。

Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)是苏联最伟大的数学家之一，在很多很多的领域做出了开创性的工作；Cauchy(柯西）就不用介绍了，从中学开始我们就认识这个法国人了。

Kolmogorov关于数学天赋的见解。当然，很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一下。柯牛人认为，一个人作为普通人的发展阶段终止的越早，这个人的数学天赋就越高。“我们最天才的数学家，在四五岁的时候，就终止了一半才能的发展了，那正是人成长中热衷于割断昆虫的腿和翅膀的时期。”Kolmogorov认为自己13岁才终止了普通人的发展，开始成长为数学家；而Aleksandrov是16岁。

Lagrange曾经预见了Cauchy的天才，苦心的告诫Cauchy的父亲，一定不要让Cauchy在十七岁之前接触任何数学书籍。这个巨象当年某些人不让张无忌学武功（好像有点不恰当 ）。:-))

Mondelbrolt是靠着画分形出名的，其实他的叔叔，Mandelbrojt是个更为出色的数学家，曾经是Bourbaki最早的几个成员。他做学生的时候，大老远从波兰到法国读数学，去了之后精神上受到了严重的伤害，因为他选了Goursat的分析课，然而Goursat上课永远用一种语气，讲述二三十年前就有的旧东西，听了三周左右的课，Mandelbrojt感觉和自己梦想当中的课差的太远，竟然哭了出来。不过，几年后，Bernstein来到巴黎，安慰Mandelbrojt说Goursat二十多年前就这么讲课。不过Goursat对人是很热情的。

Lebesgue尽管开始研究的东西很奇怪，不过他的讲课确实出奇的得受欢迎。
Picard则是个古怪高傲的人，他的老丈人是Hermite,两个人都是对分析很感兴趣。

Picard总给人一种高不可攀的感觉，令人不敢接近。每次Picard上课的时候，前面有一个戴有银链子的校役引路，他高傲的踱入教室，在椅子上放有一杯水，Picard先喝一口水，然后开始讲课，大约半个小时，他再喝一口水，一个小时以后，那个银链子校役就会来请他下课。

Lindemann，也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的的几个人之一。此处收集他的故事两则，一个是说他讲课，一个回忆了一下他在巴黎求学的两件小事，还是蛮可爱的。

Lindemann到巴黎学习的时候，听过Bertrand和Jordan的课，当时学数学的人太少，尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家，听他的课的人只有3个，偶尔会达到4个，其中却中一人是因为教室里暖和。

Lindemann还曾拜访过Hermite,让他难忘的一点事，那里有一把椅子，是当年Jacobi 坐过的。：-））

Rota曾讲了一个Lefschetz的故事，关于他的课是如何难懂得，因为他经常语无伦次。这是几何课的开场白：“一个Riemann曲面是一定形式的Hausdroff空间。你们知道Hausdroff空间是什么吧？它也是紧的，好了。我猜想它也是一个流形。你们当然知道流形是什么。现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理–Riemann-Roch定理。”要知道第一节Riemann曲面的课如果这样进行的话，恐怕Riemann复生也未必可以听懂。：-）

Wiener尽管是个天才，却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来一定要写一大堆积分符号。有一个关于他和中文的事情，Wiener天真的认为自己懂一种汉语，一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会，但是服务员却根本不知道他讲的是汉语。最后，Wiener不得不评论：“他必须离开这里，他不会说北京话。”……

Galois一共参加了2次Polytechnique的考试，第一次，由于口试的时候不愿意做解释，并且显得无理，结果被据了。他当时大概十七八岁，年轻气盛，大部分东西的论证都是马马虎虎，一般懒的写清楚，并拒绝采取考官给的建议。第二次参加Polytechnique的考试，他口试的时候，逻辑上的跳跃使考官Dinet感到困惑，后来Galois感觉很不好，一怒之下，把黑板擦掷向Dinet,并且直接命中。Galios的天才是不可否认的，不过personality是少一点了，后者在Polytechnique考试中很重要。最后和Galois决斗的那个人， 是当时法国最好的枪手，Galois的勇气令人钦佩。两个人决斗的时候，相距25步， Galois被击中了腹部。

1856年的时候，Hermite患了严重的天花，并好之后，经过Cauchy大力怂恿，竟然皈依了罗马的天主教。就在这个期间，他和德国的Fuchs一直通信联系，于是，Klein说 Hermite“在气质上不是一个领袖人物”。当然，Klein如此的评论有些个人恩怨的成分 ，可以参见这个系列文章的(9).

“什么，两次？”
“是呀，礼拜二和礼拜五。”
“怎么可能呢？”
“下午三点半开始，五点之前就结束了。”
“这个绝对不肯能！！！”这个时候Birkhoff已经快疯了。

——S.Cappel

Riemann的父亲是个牧师，家里特别的穷，从小体弱多病，也打算做牧师。有一个人（据说是Rieamnn的中学校长）发现他在数学上比在神学上更有潜力，送给他一部Legendre的数论书。Legendre是一个伟大的法国数学家，他的书十分的晦涩难懂。六天之后，Riemann就找到那个人把这本859页的名著还了，说：“这本书的确十分的精彩，我已经看懂了。”这个时候Riemann只有14岁。

Riemann19岁的时候去Gottingen读神学，平时也会听一些数学的课程。他比较喜欢泡在图书馆里。一次，他在那里找到了Cauchy的分析的著作，如获至宝，读完之后，便坦然的决定放弃神学，从此开始读数学了。

Siegal曾经说过，他可以从早上9点起，研究数学，一直到深夜12点，不吃不喝，最后把一天的食物一并吃掉，弄得胃很不舒服。Siegal被Kodaira称为“非常勤奋”，被Kodaira称为勤奋，可见其勤奋成都是何等的可怕。

Kodaira一天的生活（1949年4月19日）：
8:00起床，剃须，穿西服，外出早餐（玉米片，牛奶，咖啡）；

9:40–10:40 Siegal的关于3体问题的课；
11:15–12:00 Weyl的讨论班； 到食堂吃午饭； 坐车去Priceton，
1:20–2:20在自己的讨论班上讲论文； 回家继续写论文；
5：30到街上的餐馆吃饭； 回家继续工作到深夜。

Banach在数学界的登场是一段美丽的传说// :”-))

1916年的一个夏夜，Steinhaus在一个公园里散步，突然听到了一阵阵的谈话声，更确切的是有几个词让他感到十分的惊讶，当听到“Lebesgue积分”这个词的时候，他就毫不犹豫的走向了谈话者的长椅，原来是Banach和Nikodym在讨论数学。Steinhuas就这样子发现了Banach,并把他带到了学术界。他说：“Banach是我一生最美的发现。”

1. M.Stone写了一本关于Hilbert空间的书，他的父亲谈到自己的儿子时，总是自豪的说：“我困惑又很高兴，我的儿子写了一本我完全不理解的书。”

2. 1932年J.J.Gergen不的不在一门讲授Fourier级数课程时，不使用一直收敛的概念，原因是Havard大学的数学系一致的认为一致收敛这个概念对本科生来说太难了。

Newton的一生落落寡合，没有结婚，也没有知心的朋友，人们结交他都是因为他很高的地位和渊博的学识。一个同事回忆说他只见过Newton笑过一次，当时，有一个人问Newton说Euclid的几何原本如此的老朽，不知道有什么价值。对此，Newton放声大笑。:-))

Hardy每次做船的时候，总是怕沉了。克服这个东西的一个方法是，每次不得不坐船航行的时候，他会给同事发个电报或者明信片什么的，说已经搞定了Riemann猜想回来之后会给出细节的。他的逻辑是，上帝不会允许他被淹死，否则这又将是第二个类似于Fermat大定理的事情。

Mandelbrojt一次在Levi-Civita家里做客，恰好E.Landau去玩。Landau在当时也算是成了名的前辈，于是Levi-Civita举行了一个小小的聚会。其间，一个老先生对Levi-Civita讲，最近有一个荷兰的年轻人Mondebroht做的工作很出色，Landau问到那是谁呀？ Mandelbrojt不得不跳出来解释说，那个人不是荷兰人，是波兰人；那个人也不叫Mondebroht，叫Mandelbrojt；那个人其实就是我……

mm数学家之二

mm数学家之三

Germain不久对数论尤为倾心，可能受Lagrange的影响吧，他年轻的时候靠变分法出名，年长之后在数论方面贡献卓越。Germain选择的题目是Fermat大定理，她把自己的结果寄给Gauss，令Gauss特别的欣赏，她当年才刚刚20岁，而她做出的成果是当时最好的。当然，她还是怕Gauss对女性有偏见，于是仍然选择了Le Blanc这个名字。后来，Napolean的军队攻入德国，Germain怕Gauss重蹈Archimedes之覆辙，于是给自己的朋友，也就是当时通领三军的一位将军写信，这位将军果然对Gauss很为关照。
Germain后来又在物理上面做了很多东西，尤其是在弹性理论上面。由于她在数学物理上的突出贡献，她最终荣获了法国科学院的金质奖章，并成为第一位不是一某位成员的夫人出席科学院讲座的女性。在生命的最后几年，Gauss说服了Gottingen大学，授予Germain名誉博士学位。在那个时代，这是极大的荣誉。可惜在她的有生之年，未能亲自带上那令人骄傲的帽子。

Whitney是很著名的美国数学家，做了很多很重要的工作，譬如说向量丛的Stiefel- Whitney类是用他的名字命名的，还有一个著名的定理，说每一个n维的流形都浸入一个 2n-1维的欧氏空间嵌入一个2n维的欧氏空间，也是他的结果。我们的图书馆里还有他的论文集的。
Whitney的本科时候读的不是数学，话说他学业完成，到欧洲大陆去玩，大概是到了Gottingen还是什么地方了，反正是个很有名的地方，当时有一个很牛的物理学家（不是海森堡就是薛定谔）正在做一个关于量子力学的讲座.

Whitney回美国之后就开始发奋学习数学，据说半年之后就可以参加很高级的讨论班了.

Landau讲过Fourier级数的课，其中会涉及到一个叫做Gibbs现象的东西，当他讲到这里的时候，振振有词的评论道：“这个现象是Jail的英国数学家Jibbs发现的。”
Landau是典型的德国人，从这句话我们可以看到他的英文水平。因为这个时候，不得不有人跳出来指出他的错误：“第一他是个美国数学家；第二他叫Gibbs不是Jibbs；第三 ，也是最为重要的一点时，他更不在Jail（监狱）里面，而在Yale大学。”:-))

Dirichlet是Riemann的老师
Wierestrass是Cantor, Killing 和 Frobenius的老师
Noether 是van de Wearden， Alexandroff的老师。
Hardy是Wiener的高等数学的老师,
Hermite是Dini的老师
Kronecker是Kummer的老师
Sylow是S.Lie的老师
Hodge是Atiyah的老师
Gauss的小学老师是Lobachevsky的大学老师
Hilbert是无穷多个人的老师
Kummer的妻子是Dirichlet的表妹。
Laurent Schwartz是Paul Levy的女婿

Stone 20000 $Albert 16000$
S.S.Chern 16000 $Maclane 16000$
Zygmund 16000 $Kaplansky 13000$
P.R.Halmos 13000 $其实好像也不少了，那个时候是50年代末，有这么多钱肯定衣食无忧了，这也是为什么美国的数学家能够专心研究吧。 从现在来看，好像学数学收入更少了，很多人出国读数学没几年就转行了，毕竟计算机 经济之类的专业转化为生产力的速度更快。 说到了转行的事情，想到了一个“内部周转”的事情，Spencer在离开英国去Princeton 的时候，Littlewood去火车站送他，叮嘱：“不要改行。”于是，Spencer研究了10年的Bieberbach的系数问题，后来终于受不了了，改做复流形，没有多少功夫就和Kodaira 一起发表了他们著名的工作。 说一说数学家之间的恩怨，由于门派喜好乃至政治上的分别，他们之间也往往有些小小的过节。 法国曾经有一个很著名的Dreyfus事件，这是对法国的政局甚至日常生活影响很深的一个政治的风波（至于具体是什么，我也不知道，不过上面的信息对理解后面数学家们的行为已经足够了）。 Hadamard个人算是一个Dreyfus派的人，不过他个人当然是对政治事件很淡的那种人了。适值那年的元旦，按照巴黎高等师范学校的传统，年轻的老师要给年长的老师拜年。Hadamard于是跑到Hermite那里去拜谒一下子，Hermite本身是个反Dreyfus的人，看到 Hadamard来拜年，第一句话就说：“你是个叛徒！”Hadamard很难理解这句话：“为什么？”Hermite本身做分析，而且个人固执的看不起几何等分支，那时候Hadamard有一项关于负曲率曲面的文章很是著名，Hermite就对Hadamard说：“你为几何而背叛了分析 。” Picard也曾为了这个政治的原因对Hadamard说：“由于你是数学家，我很尊重你。”言下之意，已经很明显了。不过Picard这个人一向目中无人，无论对谁都是贬多褒少，一个有意思的事情说，Picard在法国科学院收到了一份Bourbaki的报告，看到了Nicolas Bourbaki的名字，说：“呃，这些外国人。” 继续说数学家们之间的过节。整体而言，做学问的人总是让人尊敬，很少有令人讨厌的。要说几个人，他们的学问的确是一流的，但是在同行里的口碑却不是很好。 第一个要说的人是Koebe,此人作为数学家还是很出色的但是从做人的方面来说，极为自负（其实对于数学家而言，这一点很可爱）而令人讨厌，偶尔还剽窃年轻人的想法。 Courant（柯朗）当初就很受他的排挤。一次在Gottingen, Courant要报告一个题目，当 时Koebe恰好也要报告，但是，Courant是年轻人，按照不成文的规矩，他是初学者，而且刚刚完成了博士论文，有特权先报告。当Klein问大家谁先报告的时候，Koebe迫不及待的说：“我先讲。” 后来Courant的朋友很愤怒，在Koebe的课上，把一个藏有警报器的便壶藏在讲台下面， Koebe最终找出了这个发声的东西，引起哄堂大笑。不久，他的朋友在当地的报纸上公开了这个恶作剧。 数学史上还有两个大师级的人物，同样的是学术很好，但是名声不济，和很多人有这样那样的误会和矛盾。 第一个是Kronceker,大家用的很多的Kronecker符号就是用的他的名字。此人身体瘦小无比只有5尺高，当初经商和务农很牛，赚了一大笔钱，30岁之后致力于数学。他在德国算是很权威的人，但是特别烦的是，很专断，根本不相信无理数的存在。当初Linderman和他讨论π的问题的时候，他竟然说这个东西根本不存在; Cantor后来疯了，很大程度上是因为Kronecker的废话太多；据说Weiestrass都差点被他弄哭了，就是因为他对无理数抱有一种病态的看法。 第二个人就是Brouwer,直觉学派的领头人，感觉上特别想当年的Kronecker，对于和自己不用的意见不能容忍。他称Hilbert等人为敌人，认为无穷这个东西是不存在的，不仅如此，凡是有人不同意的话，他总是想方设法刁难。他原来是某一著名杂志的主编，别人寄来的文章通常都是高置于案头，没有一年半年他决不会给人家发表。一次，他和van de Wearden的一起在朋友家里做客，后者讲到了Hilbert和Courant，并且以朋友相称。这时候，Brouwer竟然一怒之下，拂袖而去。 提一个波兰的数学家，学过Fourier分析人应该对他很熟悉，他就是Fejer。关于他的数学水平可以用Poincare的评论来证实，Fejer关于Fourier级数的Cesaro和的工作是大四做的，1905年的时候，H.Poincare到匈牙利去领取Bolyai奖，很多政界的人都去接见，Poincare见面就问：“Fejer在哪里？”众人面面相觑：“Fejer是谁？”Poincare说：“Fejer是匈牙利最伟大的数学家，也是世界上最伟大的数学家之一。” 其实政界的人去接见Poincare并不是因为他是那种最最伟大的数学家，而是因为Poincare的的哥哥原来是法国的总理什么的，一般来说，政界的人对于谁是数学家并不关心，要不不也就不至于不知道Fejer了。 据说，Fejer比较喜欢到处乱说话，有两件事情来证明。Fejer和Riesz的关系很好，但是他比Riesz晚生了两个星期，于是，就到处声称他其实比Riesz要大，因为Riesz早产了；Fejer和Kerekjarto不和，后者是一个拓扑学家，Fejer说Kerekjarto说的话和真理只不过是拓扑等价。 Kolmogorov 这是苏联最伟大的数学家之一，也是20世纪最伟大的数学家之一，在实分析，泛函分析，概率论，动力系统等很多领域都有着开创性的贡献，而且培养出了一大批优秀的数学家。特别的用两次的时间来介绍他，因为Kolmogorov不仅作为数学家很传奇，更是有着丰富多彩经历。 Kolmogorov一开始并不是数学系的，据说他17岁左右的时候写了一片和牛顿力学有关的文章，于是到了Moscow State University去读书。入学的时候，Kolmogorov对历史颇为倾心，一次，他写了一片很出色的历史学的文章，他的老师看罢，告诉他说在历史学里，要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正确证明才行，Kolmogorov就问什么地方需要一个证明就行了，他的老师说是数学，于是Kolmogorov开始了他数学的一生。 二十年代的莫斯科大学，一个学生被要求在十四个不同的数学分支参加十四门考试；但是考试可以用相应领域的一项独立研究代替。所以，Kolmogorov从来没有参加一门考试，他写了十四个不同方向的有新意的文章。Kolmogorov后来说，竟然有一篇文章是错的，不过那时考试已经通过了。 Kolmogorov总是以感激的口气提到斯大林：“首先，他在战争年代为每一位院士提供了一床毛毯；第二，原谅了我在科学院的那次打架。”Kolmogorov一次在选举会上打了Luzin一个耳光，他说：“（打架）那是我们常用的方式。”Luzin在实变函数方面有着很重要的贡献，但是以打架而论，远非Kolmogorov的对手，因为Kolmogorov经常自豪的回忆他在Yaroslovl车站和民兵打架的经历。 一个人如果打架很牛的话，经验告诉我们他必然身体强壮，而Kolmogorov的确很擅长运动，并经常以此自诩。譬如说，他经常提到一件事情，并且深以为撼，三十年代的一个冬天，Kolmogorov身穿游泳裤雪橇，在得意的飞速下滑，碰到两个戴相机的年轻人请他停下来，他原以为他们仰慕他的滑雪技术会为他拍照，结果他们请他为他们拍照。再譬如说，39年的时候，他突然决定在冰水中游泳以表达对自己健康体魄的高度信任，结果以住院告终，医生一致认为他差点死掉；但是，70岁的时候，突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水，这一次却没有事情。 最后一个笑话，问：为什么数学家应该有一个情人和一个妻子呢？答案是，当妻子以为你和情人在一起，情人以为你和妻子在一起的时候，你就有时间研究数学了~~ # Plane Hyperbolic Geometry Assume $\mathbb{D}=\{ z: |z|<1\}$ is the unit disc on the complex plane $\mathbb{C},$ $\mathbb{H}=\{z: \Im{z}>0\}$ is the upper half plane on the complex plane, $\mathbb{B}=\{ z: |\Im{z}|<\pi/2\}$ is the band between $y=-\pi/2$ and $y=\pi/2$. Definition 1. Hyperbolic metric on the unit disc. The hyperbolic metric on the unit disc $\mathbb{D}$ is defined as $\rho_{\mathbb{D}}(z)=\frac{2}{1-|z|^{2}} |dz|$ for all $z \in \mathbb{D} .$ If $\phi : U \rightarrow \mathbb{D}$ is a conformal mapping, where $U \subseteq \mathbb{C}$, then we can also define the hyperbolic metric on the domain U, $\rho_{U}(z)=\frac{2 |\phi^{'}(z)|}{1-|\phi(z)|^{2}} |dz|$ for all $z\in U.$ From above and $\phi(z)=(z-i)/(z+i)$ is a conformal mapping which maps the upper half plane $\mathbb{H}$ onto the unit disc $\mathbb{D}.$ From above formula, we can calculate the hyperbolic metric on $\mathbb{H}$ is $\rho_{\mathbb{H}}(z)=\frac{1}{\Im{z}} |dz|$ for all $z\in \mathbb{H}.$ The hyperbolic metric on the band $\mathbb{B}$ is $\rho_{\mathbb{B}}(z)=\frac{1}{\cos \Im{z} } |dz|$ for all $z\in \mathbb{B}.$ Similarly, we can define the one dimensional hyperbolic metric. On the real line $\mathbb{R}$, if the interval $I=(-1,1)$, then the restriction of the hyperbolic metric on the unit disc $\mathbb{D}$ is $\rho_{I}(x)= \frac{2}{1-x^{2}} dx$ for all $x \in (-1,1).$ This is called the hyperbolic metric of the interval I. Using the same idea, we can extend the definition of hyperbolic metric on any real interval $I=(a,b)$. Since there exists a linear map $\phi$ which maps a to -1 and b to 1, i.e. $\phi(x)=(2x-b-a)/(b-a)$. Its derivative is $\phi^{'}(x)= 2/(b-a)$. Therefore, the hyperbolic metric on the interval I is $\rho_{(a,b)}(x)=\frac{2|\phi^{'}(x)|}{1-|\phi(x)|^{2}} dx= \frac{b-a}{(x-a)(b-x)} dx= (\frac{1}{x-a}+ \frac{1}{b-x}) dx$ for all $x\in (a,b).$ Moreover, assume $(c,d) \subseteq (a,b)$, then the hyperbolic distance between c and d is $\int_{c}^{d} \rho_{(a,b)}(x) dx = \int_{c}^{d} (\frac{1}{x-a} + \frac{1}{b-x}) dx = (\ln\frac{x-a}{b-x}) |_{x=c}^{x=d} = \ln \frac{(d-a)(b-c)}{(b-d)(c-a)}.$ If we use the notation of cross ratio, then assume $l=(a,c), j=(c,d), r=(d,b),$ $t=(a,b)$. Therefore, the hyperbolic distance between c and d in the interval (a,b) equals to $\ln \frac{(|l|+|j|)\cdot (|j|+|r|)}{|l| \cdot |r|} = \ln (1+ \frac{|t|\cdot |j|}{|l| \cdot |r|}) = \ln (1+ Cr(t,j)),$ where $Cr(t,j)= (|t|\cdot |j|) / (|l| \cdot |r|).$ Definition 2. (Curvature of conformal metric) Let $\rho$ be a $C^{2}$ positive function on an open subset $U \subseteq \mathbb{C}$. Then the curvature of the metric $\rho(z)|dz|$ is given by $K(z)=-\frac{(\Delta \ln \rho)(z)}{\rho^{2}(z)},$ where $\Delta$ is the Laplacian operator $\Delta= \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}.$ Remark. Use the identities $\frac{\partial}{\partial \overline{z}} =\frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y}),$ $\frac{\partial}{\partial z} =\frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}),$ we get $\Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} = 4 \frac{\partial^{2}}{\partial z \partial \overline{z}}.$ Theorem 1. The curvature of hyperbolic metric of the unit disc $\mathbb{D}$, the upper half plane $\mathbb{H}$ and the band $\mathbb{B}$ is -1. Theorem 2. If $\phi: U\rightarrow \mathbb{D}$ is a conformal mapping, where $U \subseteq \mathbb{C}$ is an open subset of the complex plane $\mathbb{C}$. From above, the hyperbolic metric on U is $\rho_{U}(z)=\frac{2 |\phi^{'}(z)|}{1-|\phi(z)|^{2}} |dz|$ for all $z \in U\subseteq \mathbb{C}.$ Then the curvature of the metric $\rho_{U}(z)$ is $-1$. Theorem 3. On the complex sphere $\hat{\mathbb{C}}$, the sphere metric on $\hat{\mathbb{C}}$ is defined as $\rho(z)=\frac{1}{1+|z|^{2}} |dz|$ for all $z\in \hat{\mathbb{C}}.$ Then the curvature of the sphere metric is 1. # The Cross Ratio Tool and the Koebe Principle Let $j \subseteq t$ be intervals and let l, r be the components of $t \setminus j$. Then the Cross Ratio is defined as $C(t,j) = (|t| \cdot |j|) / ( |l| \cdot |r|).$ Assume g is a $C^{3}$ monotone function on the interval t, and g(t)=T, g(j)=J, g(l)=L, g(r)=R. Then define $B(g,t,j)=\frac{C(T,J)}{C(t,j)} = \frac{|T|\cdot |J|}{|L| \cdot |R|} \cdot \frac{|l|\cdot |r|}{|t|\cdot |j|}.$ Define the Schwarzian Derivative for $C^{3}$ function g, $Sg(x)=\frac{D^{3}g(x)}{Dg(x)} -\frac{3}{2}(\frac{D^{2}g(x)}{Dg(x)})^{2}.$ Proposition 1. Assume f and g are $C^{3}$ functions, then $S(f\circ g)(x)= Sf(g(x)) \cdot |Dg(x)|^{2}+ Sg(x).$ $S(f^{n})(x)= \sum_{i=0}^{n-1}(Sf(f^{i}(x)) \cdot |D(f^{i})(x)|^{2}.$ Proposition 2. If $f(x)=x^{\ell}+c$ for some $c\in \mathbb{R}$ and $\ell \geq 2$, then $Sf(x)<0$ for all $x \neq 0$. Proposition 3. Minimum Principle. Assume $I=[a,b]$, $f: I \rightarrow \mathbb{R}$ is a $C^{3}$ diffeomorphism with negative schwarzian derivative, then $|Df(x)| > \min \{|Df(a), |Df(b)|\} \text{ for all } x \in (a,b).$ Theorem 1. Real Koebe Principle. Let Sf<0. Then for any intervals $j \subseteq t$ and any n for which $f^{n}|t$ is a diffeomorphism one has the following. If $f^{n}(t)$ contains a $\tau-$scaled neighbourhood of $f^{n}(j)$, then $(\frac{\tau}{1+\tau})^{2} \leq \frac{|Df^{n}(x)|}{|Df^{n}(y)|} \leq (\frac{1+\tau}{\tau})^{2} \text{ for all } x, y \in j.$ Moreover, there exists a universal function $K(\tau)>0$ which does not depend on f, n, and t such that $|l| / |j| \geq K(\tau),$ $|r| /|j| \geq K(\tau).$ Theorem 2. Complex Koebe Principle Suppose that $D \subseteq \mathbb{C}$ contains a $\tau-$scaled neighbourhood of the disc $D_{1} \subseteq \mathbb{C}$. Then for any univalent function $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ one has a universal function $K(\tau)>0$ which only depends on $\tau>0$ such that $1/K(\tau) \leq \frac{|Df(x)|}{|Df(y)|} \leq K(\tau) \text{ for all } x, y \in D_{1}.$ Theorem 3. Schwarz Lemma (Original Form) Assume $\mathbb{D}=\{ z: |z|<1\}$ is the unit disc on the complex plane $\mathbb{C}$, $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ is a holomorphic function with $f(0)=0$. Then $|f(z)|\leq |z|$ for all $z \in \mathbb{D}$ and $|f^{'}(0)| \leq 1.$ Moreover, if $|f(z_{0})|=|z_{0}|$ for some $z_{0}\neq 0$ or $|f^{'}(0)|=1,$ then $f(z)= e^{i\theta} z$ for some $\theta \in \mathbb{R}.$ Corollary 1. Assume $\mathbb{D}$ is the unit disc on the complex plane $\mathbb{C}$, and $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ is a holomorphic function, then $|\frac{f(z)-f(z_{0})}{1-\overline{f(z_{0})}f(z)}| \leq |\frac{z-z_{0}}{1-\overline{z}_{0}z}| \text{ for all } z, z_{0} \in \mathbb{D}.$ $\frac{|f^{'}(z)|}{1-|z|^{2}} \leq \frac{1}{1-|z|^{2}} \text{ for all } z \in \mathbb{D}.$ Corollary 2. Assume $\mathbb{H}$ is the upper half plane of the complex plane $\mathbb{C}$, $f: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$ is a holomorphic map. Then $\frac{|f(z_{1})-f(z_{2})|}{|f(z_{1})-\overline{f(z_{2})}|} \leq \frac{|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-\overline{z_{2}}|} \text{ for all } z_{1}, z_{2} \in \mathbb{H} .$ $\frac{|f^{'}(z)|}{\Im{f(z)}} \leq \frac{1}{\Im{z}} \text{ for all } z\in \mathbb{H} .$ Corollary 3. Pick Theorem The hyperbolic metric on $\mathbb{D}$ is $\rho(z)= \frac{2}{1-|z|^{2}}dz$, assume $d(z_{1}, z_{2})$ denotes the hyperbolic distance between $z_{1}$ and $z_{2}$ on $\mathbb{D}$. Assume $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ is a holomorphic function, then $d(f(z_{1}), f(z_{2}))\leq d(z_{1}, z_{2}) \text{ for all } z_{1}, z_{2} \in \mathbb{D}.$ Moreover, if $d(f(z_{1}), f(z_{2}))= d(z_{1}, z_{2})$ for some points $z_{1}, z_{2} \in \mathbb{D}$, then $f \in Aut(\mathbb{D})$, where $Aut(\mathbb{D})=\{e^{i\theta}\frac{z-z_{0}}{1-\overline{z_{0}}z}: \theta \in \mathbb{R}, z_{0} \in \mathbb{D}\}.$ Background in hyperbolic geometry Define $\mathbb{C}_{J}=(\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}) \cup J$ where $J \subseteq \mathbb{R}$ is an interval. It is easy to show that $\mathbb{C}_{J}$ is conformally equivalent to the upper half plane and define $D_{k}(J)$ as $D_{k}(J)= \{ z: \text{the hyperbolic distance to J is at most k} \}.$ k is determined by the external angle $\alpha$ at which the discs intersect the real line. Moreover, $k=\ln \tan( \frac{\pi}{2}- \frac{\alpha}{4}) .$ Define $D_{*}(J)=D(J,\frac{\pi}{2}) .$ Corollary 4. (NS) Schwarz Lemma (1) Assume $G: \mathbb{C}_{I} \rightarrow \mathbb{C}_{J}$ is a holomorphic map, then $G((D_{*}{I})) \subseteq D_{*}(J).$ (2) Assume $F: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ is a real polynomial map, its critical points are on the real line. Assume $F: I \rightarrow J$ is a diffeomorphism, then there exists a set $D \subseteq D_{*}(I)$ such that $D\cap \mathbb{R} =I$ and $F: D \rightarrow D_{*}(J)$ is a conformal map. Corollary 5. Assume $f: D \rightarrow \mathbb{C}$ is a univalent map and D contains $\tau-$scaled neighbourhood of $D_{1},$ and assume f maps the real line to the real line. For each $\alpha \in (\pi/2, \pi)$ there exists $\alpha^{'} \in (\alpha, \pi)$ such that if J is a real interval in $D_{1}$, then $f(D(J,\alpha)) \supseteq D(f(J), \alpha^{'}).$ The Hyperbolic Metric On the Real Interval and Cross Ratio As far as we know, the hyperbolic metric on the unit disc $\mathbb{D}=\{|z|<1\}$ is $\rho_{D}(z)= \frac{2}{1-|z|^{2}}|dz| \text{ for all } z\in \mathbb{D}.$ Then the restriction to the real line is $\rho_{I}(x)=\frac{2}{1-x^{2}} dx \text{ for all } x \in I=(-1,1).$ Moreover, from it, we can deduce the hyperbolic metric on the real interval $I=(a,b)$ is $\rho_{I}(x)=\frac{b-a}{(x-a)(b-x)} dx \text{ for all } x \in I=(a,b).$ If $(c,d) \subseteq (a,b)$, then the hyperbolic length of the interval $(c,d)$ on the total interval $(a,b)$ is $\ell_{(a,b)}((c,d))=\ell_{t}(j)=\ln(1+Cr(t,j)),$ where $l=(a,c), j=(c,d), r=(d,b), t=(a,b).$ Theorem 4. Assume $f: T \rightarrow f(T) \subseteq \mathbb{R}$ is a $C^{3}$ diffeomorphism with negative schwarzian derivative. Assume $J \subseteq T$, then $\ell_{f(T)}(f(J)) \geq \ell_{T}(J).$ That means f expands the hyperbolic metric on the real interval. Proof. Since the schwarzian derivative of f is negative, $C(f(T),f(J)) \geq C(T,J).$ Therefore, $\ell_{f(T)}(f(J)) \geq \ell_{T}(J).$ That means f expands the hyperbolic metric on the real interval. Remark. From Schwarz-Pick Theorem, for a holomorphic map $f: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$, $f$ contracts the hyperbolic distance in the unit disc $\mathbb{D}$. Conversely, from above, for a $C^{3}$ diffeomorphism $f$ with negative schwarzian derivative, $f$ expands the hyperbolic distance in the real interval. Exercise 1. “Mathematical Tools for One Dimensional Dynamics” Exercise 6.5, Chapter 6 Let $f: I \rightarrow f(I) \subseteq \mathbb{R}$ be a $C^{3}$ diffeomorphism without fixed points ( $I$ being a closed interval on the real line). If $Sf(x)<0$ for all $x \in I$, then there exists a unique $x_{0} \in I$ such that $|f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x|$ for all $x \in I$. Proof. If $f$ is a decreasing map, then the right boundary of the real interval I is the $x_{0}$. Therefore, assume that $f$ is an increasing map on the real interval I. Since $f(x)$ has no fixed points on the real interval I, then $f(x)>x$ or $f(x) for all $x \in I$. Without lost of generality, assume $f(x)>x$ for all $x\in I$. Since $f(x)-x$ is a continuous function on the closed interval I, there exists $x_{0} \in I$ such that $|f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x|$ for all $x\in I$. By contradiction, there exist two distinct points $x_{0}, x_{1}$ $(x_{0} such that $|f(x_{0})-x_{0}| \leq |f(x)-x|$ and $|f(x_{1})-x_{1}| \leq |f(x)-x|$ for all $x\in I$. From here, we know that $|f(x_{0})-x_{0}|= |f(x_{1})-x_{1}|$. From Langrange’s mean value theorem, there exists $\xi \in (x_{0}, x_{1})$ such that $(Df)(\xi)=1$. Since the schwarzian derivative of $f$ is negative, from the minimal principle, we get $(Df)(\xi) > \min(Df(x_{0}), Df(x_{1})).$ i.e. $Df(x_{0})<1, Df(x_{1})<1$. However, from the definition of $x_{0}$ and $x_{1}$, we get $Df(x_{0}) = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 1$ $Df(x_{1}) = \lim_{x\rightarrow x_{1}^{-}} \frac{f(x_{1})-f(x)}{x_{1}-x} \leq 1$ This is a contradiction. Therefore, the existence of $x_{0}$ is unique. Assume $f: I \rightarrow f(I) \subseteq \mathbb{R}$ is a $C^{3}$ diffeomorphism, define the non-linearity of $f$ as $f \mapsto Nf=\frac{D^{2}f}{Df} = D \ln Df \text{ whenever } Df \neq 0.$ Proposition 4. $N(f \circ g)= (Nf \circ g) \cdot Dg+ Ng.$ Proposition 5. $Sf=\frac{D^{3}f}{Df} -\frac{3}{2}(\frac{D^{2}f}{Df})^{2}=D(Nf)-\frac{1}{2}(Nf)^{2}.$ Theorem 5. Koebe Non-linearity Principle. Given $B, \tau>0$, there exists $K_{\tau,B}>0$ such that, if $f: [-\tau, 1+\tau] \rightarrow \mathbb{R}$ is a $C^{3}$ diffeomorphism into the reals and $Sf(t)\geq -B$ for all $t\in [-\tau,1+\tau],$ then we have $|\frac{f^{''}(x)}{f^{'}(x)} | \leq K_{\tau,B}$ for all $0\leq x \leq 1.$ Show that $K_{\tau,B} \rightarrow 2/\tau$ as $B\rightarrow 0.$ (This recovers the classical Koebe non-linearity principle). # test LaTex in WordPress$latex \LaTeX&s=3\$

$\alpha + \beta =\gamma$ Hello World!  $\LaTeX$ $f(z)=z^{\ell}+c_{1}$ $\LaTeX$

$f(z)=z^{\ell}+c$,

$f(z)=z^{\ell}+c$,

$f(z)=z^{\ell}+c$, $f(z)=z^{\ell}+c$$f(z)=z^{\ell}+c$$f(z)=z^{\ell}+c$

Theorem 1.  Real Koebe Principle