调和分析

之前在北京大学学了整整一个学期的调和分析,是由BICMR的苗老师主讲。在这门课上我受益匪浅,故写一篇文章来感激下这位老师,同时写一下自己学习调和分析的感受。

调和分析起源于 Fourier 这位数学家的研究,故也可以称为 Fourier 分析。其主要内容包括算子插值方法,Hardy-Littlewood 极大算子,Fourier变换,Calderon-Zygmund’s Inequality, 函数空间,Ap 权等等。下面一一介绍这些基本内容。

(1) 算子插值方法

里面主要有 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 和 Riesz Thorin Interpolation Theorem两个定理,分别是用实变方法和复变方法证明的。这两个定理则是研究算子的 L^p 有界性的关键定理,是整个调和分析的基础。

(2) Hardy—Littlewood Maximal Operator

这个是一个相当重要的拟线性算子,利用 Vitali Covering Theorem 和 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 可以证明该算子是 L^p 有界的。证明过程不超过10行,但是证明过程相当的漂亮。

(3) Fourier Transformation

调和分析的主要工具,这个工具不仅仅在调和分析上有用,在 PDE 和随机过程中,这也是一个相当重要的工具。它把一个物理空间上的函数,转换成频率空间上的函数,从而获得了很多很好的性质。

(4) Calderon-Zygmund’s Inequality

这个定理是调和分析的经典定理之一,是处理卷积型的奇异积分的。可以看成是 Minkowskii 不等式的推广。Zygmund 把定理的条件放的很弱,只需要加上 Hormander 条件就可以得到算子的 L^p 有界性。然后也可以考虑其条件的充要条件。

(5) 函数空间

调和分析里面提到的函数空间包括 Sobolev space, Lipschitz space, Hardy space, Besov space 等等。 其中 Sobolev space 在 PDE 上面用处广泛,其代表作就是 Adams 的 Sobolev Space. Besov Space 里面有一个插值定理,也相当的重要,差不多5页吧,当时苗老师让我们全部背下来,嘿嘿。另外, Hardy Space里面有一个相当重要的定理,就是所谓的 Duality of BMO and H^1 Space. 其证明过程大概有10页吧,是由 C.Fefferman 和 Elias.M.Stein 在上个世纪70年代给出的,方法太经典了,看完之后甚至会觉得自己没有必要学数学了。

(6) Ap weight

这个也是调和分析的分支之一,其中周民强老先生的书上有详细记载,就不一一阐述了。

以上的这些内容就是之前一个学期在北大学习所学到的东西,学了调和分析之后,基本上就不怕所谓的硬分析了。总之收获还是蛮多的,非常欣赏那位老师,一个学期讲了那么多东西。其实以上我提到的只是他讲的东西的一半内容,他后面还讲了很多 Schrodinger 方程的内容,由于本人实力有限,实在是没有能力再学后面的内容了。

ps:这是2009年的事情了,一晃眼7年过去了。

参考文献:
Loukas Grafakos GTM249 Classical Fourier Analysis
Loukas Grafakos GTM250 Modern Fourier Analysis
(上面这两本书是调和分析的经典之作,几乎涵盖了实变方法的所有内容。不过有点厚,差不多1100页。)

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