2. 刚性定理

考虑二次多项式 $f_{a}(x)=ax(1-x), a\in[0,4]$ , $f_{a}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ .

问题：

$\{ a\in[0,4]: f_{a} \text{ satisfies Axiom A} \}$ 是否在 [0,4] 中稠密？

引理： $f_{a}$ 满足 Axiom A $\Leftrightarrow$ $f_{a}$ 有双曲吸引周期轨。

定义 Kneading 序列： $K(f_{a})=\{ i_{1}, i_{2},... \},$ $i_{k}=L \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})<\frac{1}{2};$ $i_{k}=c=\frac{1}{2} \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})=\frac{1}{2};$ $i_{k}=R \text{ if } f_{a}^{k}(\frac{1}{2})>\frac{1}{2}.$

例子：

$K(f_{4})=(R,L,L,L,...)=RLLL,$

$K(f_{1})=(L,L,L,L,...)=LLLL,$

$K(f_{2})=(c,c,c,c,...)=cccc,$

$K(f_{1.9})=(L,L,L,L,...)=LLLL,$

在这里， $f_{1}$ 和 $f_{1.9}$ 不是拓扑共轭的，即使它们的 Kneading 序列是一样的。

定义：f 和 g 称为拓扑共轭，如果存在同胚映射 h 使得 $h\circ f= g \circ h$ .

性质1: 如果 $f_{a_{1}}$ 和 $f_{a_{2}}$ 拓扑同胚，则有 $K(f_{a_{1}})= K(f_{a_{2}}).$

引理：如果 $f_{a_{1}}$ 和 $f_{a_{2}}$ 没有双曲吸引或者双曲中性周期轨，则 $K(f_{a_{1}})= K(f_{a_{2}}) \Rightarrow$ $f_{a_{1}}$ 和 $f_{a_{2}}$ 拓扑同胚 $\Rightarrow a_{1}=a_{2}.$

定义：拟共形映射的分析定义： $\varphi: \Omega\rightarrow \tilde{\Omega},$ 在这里 $\Omega, \tilde{\Omega}$ 都是复平面上面的连通开集, $\varphi$ 是保持定向的同胚映射，称 $\varphi$ 是 K 拟共形映射 ( $K\geq 1$ ), 如果

(1) $\varphi$ 是 ACL 的，也就是线段上绝对连续，absolutely continuous on lines.

(2) $| \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}} | \leq \frac{K-1}{K+1} |\frac{\partial \varphi}{\partial z}|$ 几乎处处成立。

拟共形映射的一些性质：假设 $\varphi$ 是 K－拟共形映射， $K\geq 1$ .

(i) $\varphi$ 几乎处处可微。对几乎所有的 $z_{0}\in \Omega$ 有

$\varphi(z) = \varphi(z_{0}) + \frac{\partial \varphi}{\partial z}(z_{0})(z-z_{0}) + \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}}(z_{0})\overline{(z-z_{0})}+ o(|z-z_{0}|).$

$| \frac{\partial \varphi}{\partial z}|>0$ 几乎处处成立。

定义 $\varphi$ 的复特征是 $\mu_{\varphi}= \frac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}} / \frac{\partial \varphi}{\partial z},$ 则 $||\mu_{\varphi}||_{\infty} \leq \frac{K-1}{K+1} <1.$