1.一维动力系统中的双曲性

定理： 假设 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 是 $C^{k}$ , $k$ 是正整数，则存在 $C^{k}$ 函数 $f_{n}:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 使得 $|| f_{n}- f ||_{C^{k}}=\max_{x\in[0,1]} \max_{0\leq m\leq k} |D^{m}f_{n}(x)-D^{m}f(x)| \rightarrow 0$ as $k\rightarrow \infty$ , 这里的每个 $f_{n}$ 都满足Axiom A。

假设 $X$ 是紧致度量空间， $f:X\rightarrow X$ 是连续函数。如果 $n$ 是使得 $f^{n}(x)=x$ 的最小正整数，则称x是以n为周期的周期点。

定义：

$\omega(x)=\{ y\in X: \exists n_{k} \rightarrow \infty, f^{n_{k}}(x)\rightarrow y\}$ .

正向不变集： $f(A)\subseteq A$ ,

反向不变集： $f^{-1}(A)\subseteq A$ ,

完全不变集： $f^{-1}(A)=A$ i.e. $f(A)\subseteq A$ and $f^{-1}(A)\subseteq A$ .

假设 $X=[0,1]$ , $f(x)\in C^{1}[0,1]$ , $\{ x, f(x), ... , f^{n-1}(x)\}$ 是以n为周期的周期轨道，定义乘子(multiplier) $\lambda=Df^{n}(x)=Df(x)\cdot Df(f(x)) ... Df(f^{n-1}(x))$ 。

$|\lambda| \neq 1$ 称为 $orb(x)=\{ f^{k}(x): k=0,1,2... \}$ 是双曲周期轨。

$|\lambda|=1$ 称为中性周期轨。

$|\lambda|<1$ 称为双曲吸引轨。

$|\lambda|>1$ 称为双曲斥性轨。

双曲集合（hyperbolic set）:假设 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 是 $C^{1}$ 映射，A是紧集并且 $f(A)\subseteq A$ 。如果存在 $C>0, \lambda>1$ 使得对任意的 $x\in A, n\geq 1$ , 有 $|Df^{n}(x)| \geq C\lambda^{n}$ ，则称A是双曲集。

Axiom A：假设 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 是 $C^{1}$ 映射，称 f 满足 Axiom A是指：

（1）f 有有限多个双曲吸引轨 $\theta_{1},...,\theta_{m}$ ,

（2） $B(\theta_{i})$ 是双曲吸引轨 $\theta_{i}$ 的吸引区域, $\Omega=[0,1]\setminus \cup_{i=1}^{m}B(\theta_{i})$ 是双曲集。

例子1： $f(x)=-x^{2}$ ，1是双曲斥性不动点，0是双曲吸引不动点。 $B(\{0\})=(-1,1)$ , $\Omega=[-1,1]\setminus B(\{0\})=\{-1,1\}$ . $f^{n}(x)=x^{2^{n}}$ , $Df^{n}(x)=2^{n}x^{2^{n}-1}$ . 取 $C=1, \lambda=2$ .

例子2： $f(x)=2x(1-x), f(x)=ax(1-x)$ .

性质1: 双曲斥性周期轨一定是双曲集。

性质2: 双曲集中没有临界点。

性质3: 双曲集合中任何一个周期轨都是双曲斥性的。

命题：假设 $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ 属于 $C^{1+\alpha}$ 并且 $\alpha \in(0,1)$ . i.e. $Df(x)$ 是 $\alpha-Holder$ 连续的， $|Df(x)-Df(y)|\leq C|x-y|^{\alpha}.$ 如果A是双曲集，则A的Lebesgue测度是零。