离散数学第一讲：集合论的创立和第三次数学危机

所谓集合，就是把我们直观或者思维中确定的相互之间有明确区别的那些对象（叫做集合的元素）作为一个整体来考虑。

－－Cantor

如果集合X和自然数集合N之间能够建立一一的对应关系，那么称X是可数的（countable）。

$X=\{ x_{0}, x_{1},...\} \text{ and } \mathbb{N}=\{0,1,2,...\}.$

$|X|=|\mathbb{N}|=\aleph_{0}.$

$2\mathbb{N}=\{ 0,2,4,6,...\}, |2\mathbb{N}|=\aleph_{0}$

$\mathbb{Z}=\{...,-1,0,1,...\}$ is countable. The set $\mathbb{Q}$ is countable.

$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ is also countable.

有理系数多项式方程的根叫做代数数（algebraic number）。

有理数是代数数，不是代数数的数叫做超越数，比方说 $\pi, e$ 都是超越数。

全体代数数可数。

对于整系数多项式

$f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}, (a_{i} \in \mathbb{Z}, a_{n}\neq 0)$

定义它的高度 $h(f(x))= \sum_{i=0}^{n} |a_{i}| +n$ .

高 $h(f(x))$ 小的先数。因此整系数多项式是可数的。

实数集合是不可数的，无理数也是不可数的。实的超越数也是不可数的，但是代数数可数。

超越数远远“多于“代数数。

连续统假设：不存在集合X，使得 $|\mathbb{R}| =\aleph_{1} > |X|> \aleph_{0}=|\mathbb{N}|$ .

Russle 悖论（Russel Paradox ）

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