离散数学第一讲:集合论的创立和第三次数学危机

所谓集合,就是把我们直观或者思维中确定的相互之间有明确区别的那些对象(叫做集合的元素)作为一个整体来考虑。

--Cantor

如果集合X和自然数集合N之间能够建立一一的对应关系,那么称X是可数的(countable)。

X=\{ x_{0}, x_{1},...\} \text{ and } \mathbb{N}=\{0,1,2,...\}.

|X|=|\mathbb{N}|=\aleph_{0}.

2\mathbb{N}=\{ 0,2,4,6,...\}, |2\mathbb{N}|=\aleph_{0}

\mathbb{Z}=\{...,-1,0,1,...\} is countable. The set \mathbb{Q} is countable.

\mathbb{N}\times \mathbb{N} is also countable.

有理系数多项式方程的根叫做代数数(algebraic number)。

有理数是代数数,不是代数数的数叫做超越数,比方说\pi, e 都是超越数。

全体代数数可数。

对于整系数多项式

f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}, (a_{i} \in \mathbb{Z}, a_{n}\neq 0)

定义它的高度h(f(x))= \sum_{i=0}^{n} |a_{i}| +n .

h(f(x)) 小的先数。因此整系数多项式是可数的。

实数集合是不可数的,无理数也是不可数的。实的超越数也是不可数的,但是代数数可数。

超越数远远“多于“代数数。

连续统假设:不存在集合X,使得|\mathbb{R}| =\aleph_{1} > |X|> \aleph_{0}=|\mathbb{N}| .

Russle 悖论(Russel Paradox )

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