多项式的根之美

 

 

deg5木遥按:这是美国数学家 John Baez 今年 11 月 14 日在他的网页上贴出来的一篇文章(原文),很快引起了许多人的兴趣。标题中的“根”是指数学中一个多项式的解。如果你还没有忘光你的高中数学课,就应该知道下面这两个事实:任何一个多项式在复数域中必有根,并且每个复数都可以在复平面上对应于一个点。这样,给定一系列多项式,我们就可以把它们的根都画在复平面上,从而形成一些特定的图案。请放心,即使你对多项式毫不了解,也不会妨碍你欣赏这些图案之美的。也许你曾经听说过经典的曼德布洛特集合(Mandelbrot set),那你很容易就能在这里看到某些相似之处。所不同的是,人们对这些新的图案还所知甚少。

下面所有括号中的文字都是我所添加,以帮助不熟悉复平面的朋友了解所说那些的点的位置。每幅图都可以点击放大。


我的朋友 Dan Christensen 发现了一幅令人赞叹的图画(见题图)。它是由所有系数为 -4 到 4 之间的整数的 5 次以下多项式的根在复平面上的对应点构成的。

 

点击图片可以看大图。二次多项式的根是灰色的,三次多项式的根是青蓝色的,四次多项式的根是红色的,五次多项式的根是黑色的。横轴是实轴,纵轴是虚轴,中间的大洞的中心是原点。两侧小一点的洞的中心是 ±1,在 ±i 处和 1 的所有六个虚根出也各有一个小洞(即中间那个大洞上下不远处对称的那些小洞)。

你可以在这里看到许多迷人的图案,给人的感觉是这些整系数多项式的根在竭力避开那些整点和单位根似的,──除非这些整点和单位根本身就是多项式的根。如果你把图案放大,可以看到更多细节:

deg5_closeup

在这里你可以看到,在 1 这个点所在的空白区域周围环绕着一些美丽的羽毛,在 exp(iπ/3) 这个点周围有一个六瓣的星形(即左上角那个梅花形状的洞),还有一条奇特的红色连线把这两个点连接起来,还有很多其他的点周围的星形的洞,诸如此类。

人们应该开始研究这些东西才对!让我们把所有系数为 -n 到 n 之间的整数的 d 次以下多项式的全体根构成的集合称为 Christensen 集 Cd,n,很显然当 d 和 n 越大, Cd,n 这个集合就越大,并且当 n 趋于无穷大时这个集合趋于布满全复平面。如果固定 d, 令 n 趋向于无穷大,那么我们就能得到全体有理复数;如果令 d 和 n 同时趋于无穷大,那么我们就能得到全体代数复数。于是一个有趣的问题就是,如果我们固定 n,令 d 趋于无穷大,会得到什么呢?

在上面这些图片的鼓舞下,Sam Derbyshire 决定绘制一些分辨率更高的多项式根的图片。试验了几次之后,他觉得他最喜欢的是系数为 ±1 的多项式。他把所有 24 次以下的这样的的多项式的根绘制成一副高清晰度的图片,这些多项式一共有 224 个,其根大约共有 24 × 224 个,也就是大约四亿个。他用 mathematica (一个数学软件)花了大概四天时间才计算出所有这些根,得到了大约 5G 的数据。然后他用 Java 语言生成了这幅美妙的图案:

polynomialrootssmall

颜色表示根的密度,从黑色到暗红色到黄色再到白色。上图是低分辨率版本,这里有一个 90M 的文件可供下载。我们可以放大一点看到更多细节:

polynomialroots_closeup

请注意单位根周围的那些小洞,还有圆弧内部的那些羽毛。为了更清楚地观察,我们把下面这些标记出来的区域放大:

polynomialrootscrops

这里是 1 这个点处的那个洞。(即上面最右边那个标记出来的区域。)

polynomialroots1

中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。

然后这里是 i 这个点处的洞。(即最上面那个标记区域。)

polynomialrootsi

这是 exp(iπ/4) 这个点周围。(差不多位于 1 和 i 正中央。)

polynomialrootsexpi025p

请注意,根的密度在接近这个点的时候会变大,然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。

但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案!这里是实轴附近的样子,这个图的中心位于 4/5 点处。(右边数第二个标记区域。)

polynomialroots08

在 (4/5)i 点处的样子就截然不同了。(从上数第二个标记区域。)

polynomialroots08i

但是我觉得最漂亮的还要说是 (1/2) exp(i π / 5) 这个点周围的区域。(剩下的那个标记区域。)这幅图生动的展示出,在我们的数学研究中,规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的,就像从薄雾中隐约显现出来一样。

polynomialroots05expi02

这里有太多东西需要解释了,每幅图片都至少需要一两个定理来描述。如果想看到更多的这类结果,可以参见:

Loki Jörgenson, 限定系数多项式的根 以及 相关图片
Dan Christensen,整系数多项式的根的图案

http://songshuhui.net/archives/23604

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